Aceleracion centripeta

con consideraciones dinámicas
Aceleración Centrípeta: una derivación

Propósito
Desarrollar una derivación de la aceleración centrípeta que:
que se acerque a la dinámica del proceso, y con esto queremos decir que se vea la presencia de una fuerza, de momentum, y de energía.
que se las perciba animadas, con vida.

pregunta previa
Observando a este lanzador de martillo nos preguntamos:
-¿«contra» quien está utilizando sus músculos este lanzador? Es decir, ¿para qué utiliza su fuerza?

Nuestra respuesta
Principalmente la utiliza para evitar que la pesa siga su dirección natural que es aquella perpendicular a la cuerda, y tangente al círculo que describe el conjunto lanzador-martillo.

Interpretación
De esta manera podemos imaginarnos que el atleta va jalando a la esfera con pequeños pulsos dirigidos hacia el, y que van cambiando una y otra vez la dirección de la pesa, aproximando su recorrido al de un círculo a su alrededor.
A continuación «traduciremos» esta observación a términos matemáticos.

El esquema
Con ese objetivo, proponemos la siguiente situación:
La partícula se desplaza en sentido contra horario dentro de un polígono mientras va rebotando de sus lados según el trazo punteado de la Fig.1
Notamos que el rebote equivale al pulso hacia el centro que da el atleta.

Análisis del movimiento
Analicemos su movimiento fijándonos en la parte inferior, sobre el eje x.
La partícula, al colisionar con el borde, cambia la dirección de su velocidad, 𝑣, y por lo tanto, cambia también su momentum.

Solo importan los componentes verticales
A partir del de los componentes verticales de la velocidad, se establece que el cambio de momentum al pasar del trayecto B al A está dado por:
∆𝑝= 2(𝑚𝑣)sin𝜃.

El Rebote es Cambio de Momentum
El cambio se da por la aparición de una fuerza en el punto de colisión de la partícula con el canto del polígono (Tercera ley de Newton).

Escogemos un solo trayecto
Antes de proseguir, veamos dos aspectos:
Primero, aprovechamos la simetría de la situación que nos facilitará el establecimiento de las relaciones matemáticas, razón por la cual al inicio trabajaremos sólo el trayecto “A”, en vez de “A” y “B” juntos.

el ángulo 𝜃->0

Segundo, tenemos en cuenta los cambios que se dan cuando el ángulo 𝜔->0:
- el polígono se aproxima a un círculo,
- el ángulo 𝜃->0,
- ∆𝑝->𝑑𝑝, esto es, 𝑑𝑝= 2𝑑(𝑚𝑣)sin𝜃,
- la partícula se desplaza una distancia 𝑟𝜔.

Desarrollo de las Expresiones matemáticas
Recordando que un cambio de momentum implica una fuerza, anotamos:
𝐹=2𝑑𝑝sin𝜃
Expresiones más explícitas son:
𝑚𝑎=2𝑚𝑑𝑣sin𝜃,
𝑎=2𝑑𝑣𝑑𝑡sin𝜃

Considerando que 𝑑𝑡=𝑟 𝑑𝜔𝑣, la relación anterior se puede escribir como:
𝑎= 2 𝑣𝑑𝑣𝑟𝑑𝜔sin𝜃,
Despejando 𝑟𝑑𝜔 obtenemos:
𝑎 𝑟𝑑𝜔=2 𝑣 𝑑𝑣sin𝜃

Configuramos las sumas e integramos:
𝑎 0𝜔𝑟𝑑𝜔= 20𝑣𝑣 𝑑𝑣 sin𝜃
𝑎 𝜔=𝑣2𝑟 sin𝜃

Pero 𝜔=2𝜃, por lo que al reemplazar 𝜔 con 2𝜃, escribimos:
𝑎 2𝜃=𝑣2𝑟 sin𝜃,
𝑎= 𝑣 22𝑟 sin𝜃𝜃

En virtud de que cuando 𝜃->0, sin𝜃𝜃=1, la expresión anterior se convierte en:
𝑎= 𝑣22𝑟,
y, para el trayecto total “A” + “B”, queda como:
𝑎= 𝑣2𝑟
…y así, finalmente, hemos obtenido lo que buscábamos.

René Gastelumendi Dargent
Trujillo, 6 de febrero del 2011

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Aceleracion centripeta

by Rene Gastelumendi on Feb 11, 2011

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