0
Wstep
   ˛                     Twierdzenia               Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




           Sztuczna ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów      Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierws...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia         Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierws...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunki wy˙ szych rz˛
        ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia     Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów         Postscriptum




Twierdzenie o zwarto´ c...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów     Postscriptum




Twierdzenie Herbranda
       ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia     Prawa Rachunku Predykatów      Postscriptum




Twierdzenie Herbranda



  ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia           Prawa Rachunku Predykatów           Postscriptum




Twierdzenie Crai...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Problem rozstrzygalno´ ci
     ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




                s´
Nierozstrzyga...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia        Prawa Rachunku Predykatów    Postscriptum




                s´
Nierozs...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Definicje


              A – ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




                              ´
...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia        Prawa Rachunku Predykatów    Postscriptum




Prawa dla kwantyfikatorów

...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły równowa˙ no´ ci (1)
 ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia        Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły równowa˙ no´ ci (2)...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia          Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły równowa˙ no´ ci (...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia          Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły wnioskowania



 ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia       Prawa Rachunku Predykatów          Postscriptum




Aksjomatyczna teoria ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia         Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Aksjomatyczna teoria liczb...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia          Prawa Rachunku Predykatów      Postscriptum




Rekurencja
           ...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Materiały zródłowe
          ´

...
Wstep
   ˛                     Twierdzenia       Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




                            ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Rachunek predykatów pierwszego rzędu

2,712

Published on

Published in: Education, Technology
1 Comment
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
2,712
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
31
Comments
1
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Rachunek predykatów pierwszego rzędu"

  1. 1. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu Aleksander Pohl Wy˙ sza Szkoła Zarzadzania i Bankowo´ ci z ˛ s 10 marzec 2009 Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  2. 2. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  3. 3. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  4. 4. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu Klasyczny rachunek logiczny to system logiczny, na ◮ ´ który składaja sie rachunek zdan oraz rachunek ˛˛ predykatów pierwszego rz˛ edu (czyli rachunek kwantyfikatorów). Klasyczny rachunek logiczny w pełni wystarcza do przeprowadzenia zdecydowanej wiekszo´ ci ˛ s ´ rozumowan matematycznych. Tautologia to definicja, twierdzenie lub zdanie warunkowe, ◮ które jest uniwersalnie prawdziwe w ka˙ dej niepustej z dziedzinie (np. Zachodzi p lub nie p) Term to wyra˙ enie składajace sie ze zmiennych oraz z ˛ ˛ ◮ symboli funkcyjnych o dowolnej liczbie argumentów (w tym o zerowej liczbie argumentów, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  5. 5. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu Rachunek predykatów pierwszego rzedu (ang. first ˛ ◮ order predicate calculus) to system logiczny, w którym kwantyfikatory moga mówi´ tylko o obiektach, nie za´ o ich ˛ c s zbiorach. Tak wiec nie moga wystepowa´ kwantyfikatory ˛ ˛ ˛ c s´ typu dla ka˙ dej funkcji X na Y. . . istnieje własno´ c p, taka z ˙ ze. . . czy dla ka˙ dego podzbioru X zbioru Z. . . z Rachunek ten nazywa sie te˙ po prostu rachunkiem ˛z ◮ kwantyfikatorów. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  6. 6. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu System rachunku predykatów pierwszego rz˛ edu składa sie z: ˛ 1, “a“, π – stałych ◮ a, b, c, x, y, z – zmiennych ◮ f (x), g(x, y) – funkcji n-argumentowych dla pewnego ◮ n naturalnego has(x, y) – relacji n-argumentowych dla pewnego ◮ n naturalnego ∨ ∧ ¬ ⇒ – symboli logicznych (takich jak alternatywa, ◮ koniunkcja, negacja czy implikacja) ∀ ∃ – kwantyfikatora ogólnego i egzystencjalnego ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  7. 7. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunki wy˙ szych rz˛ z edów Rachunek drugiego rz˛ edu: ∀F : F (x) ∨ ¬F (x) ◮ W ogólnym wypadku nie jest równowa˙ ny rachunkowi z ◮ pierwszego rz˛ edu Nie istnieje dobry model dowodów dla rachunków drugiego ◮ rz˛ edu – nie u˙ ywany przez logików z W teorii zło˙ ono´ ci definiujemy klasy problemów z s ◮ rachunkiem drugiego rz˛ edu W rachunkach wy˙ szych rz˛ z edów predykaty staja sie ˛˛ parametrami Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  8. 8. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  9. 9. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu – twierdzenia Wa˙ niejsze twierdzenia: z twierdzenie o zwarto´ ci s ◮ twierdzenie Herbranda ◮ twierdzenie Craiga ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  10. 10. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie o zwarto´ ci s ´ Twierdzenie o zwartosci (ang. compactness theorem) to ˙ ´ ´ twierdzenie mówiace, ze nieskonczony zbiór zdan rachunku ˛ predykatów pierwszego rz˛ edu jest spełnialny (istnieje jego model – czyli zbiór obiektów matematycznych, które go ´ spełniaja), je´ li tylko ka˙ dy jego skonczony podzbiór jest ˛ s z spełnialny. Równowa˙ nie, je´ li taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego z s ´ skonczony podzbiór, który jest sprzeczny. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  11. 11. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie Herbranda Rozwiniecie Herbranda dla formuły rachunku predykatów ˛ pierwszego rz˛ edu, to formuła, w której: wszystkie kwantyfikatory ogólne (tak˙ e zmienne wolne) z ◮ ∀x : φ(x) zostały zastapione przez koniunkcje ˛ φ(x1 ) ∧ φ(x2 ) ∧ . . . ∧ φ(xn ), wszystkie kwantyfikatory egzystencjalne ∃x : φ(x) przez ◮ alternatywy φ(x1 ) ∨ φ(x2 ) ∨ . . . ∨ φ(xn ), ´ gdzie x1 , x2 , . . . , xn to pewien podzbiór skonczony ◮ uniwersum Herbranda (które zawiera wszystkie zamkniete ˛ termy zło˙ one ze stałych i symboli funkcyjnych z wystepujacych w formule). ˛ ˛ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  12. 12. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie Herbranda Formuła jest tautologia, gdy ka˙ de jej rozwiniecie ˛ z ˛ ◮ Herbranda jest tautologia. ˛ Formuła nie jest tautologia, gdy które´ jej rozwiniecie ˛ s ˛ ◮ Herbranda nie jest tautologia.˛ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  13. 13. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie Craiga ˙ Twierdzenie Craiga mówi, ze: dla ka˙ dego zdania rachunku predykatów pierwszego z ◮ rz˛ edu postaci X ⇒ Y bedacego tautologia ˛˛ ˛ ˙ istnieje interpolant, czyli taka formuła Z , ze: ◮ X ⇒ Z i Z ⇒ Y sa tautologiami i ˛ ◮ ˙ w Z nie wystepuje zadna relacja ani symbol funkcyjny ˛ ◮ (w tym stała), która nie wystepuje jednocze´ nie w X i Y . ˛ s Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  14. 14. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Problem rozstrzygalno´ ci s Teoria T w jezyku L jest rozstrzygalna, je´ li istnieje ˛ s ◮ algorytm, który dla ka˙ dego zdania X napisanego w jezyku z ˛ L rozstrzyga, czy T dowodzi X . Rachunek predykatów pierwszego rz˛ edu jest ◮ ´ ´ nierozstrzygalny (w przeciwienstwie do rachunku zdan), ale nadaje sie do komputerowej analizy (co ju˙ ˛ z niekoniecznie mo˙ na powiedzie´ o rachunku predykatów z c wy˙ szych rz˛ z edów, które dopuszczaja kwantyfikowanie po ˛ zbiorach). Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  15. 15. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum s´ Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu def f(g) if(zatrzyma_sie(g)) nieskonczona_petla else return end end Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  16. 16. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum s´ Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu Sprawdzamy f(f): je´ li sie zatrzyma, to zatrzyma_sie(f) zwróciło false, s ˛ ◮ s´ czyli f nie mo˙ e sie zatrzyma´ – sprzeczno´ c z ˛ c je´ li sie nie zatrzyma, to s ˛ ◮ albo zatrzyma_sie(f) nie zatrzymało sie – wadlie ˛ ◮ zatrzyma_sie, s´ albo f powinno wykona´ return – sprzeczno´ c c ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  17. 17. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  18. 18. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Definicje A – wyra˙ enie z ◮ x – zmienna ◮ t – term ◮ Stx A – instancjacja A, t instancja x ◮ ∀x : φ(x) – kwantyfikator uniwersalny ◮ ∃x : φ(x) – kwantyfikator egzystencjalny ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  19. 19. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum ´ Prawa Klasycznego Rachunku Zdan (X ⇒ Y ∧ ¬Y ) ⇒ ¬X – kontrapozycja, Modus Tolens ◮ ((X ⇒ Y ) ∧ X ) ⇒ Y – dedukcja, twierdzenie o odrywaniu, ◮ Modus Ponens Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  20. 20. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Prawa dla kwantyfikatorów ∀x : φ(x) ⇒ Stx φ instancjacja uniwersalna φ ⇒ ∀x : φ(x) generalizacja uniwersalna Stx φ ⇒ ∃x : φ(x) generalizacja egzystencjalna x ∃x : φ(x) ⇒ Sa φ instancjacja egzystencjalna Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  21. 21. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły równowa˙ no´ ci (1) zs ∃x : A ⇔ A dla x wolnej w A ∀x : A ⇔ A dla x wolnej w A ∃x : A ⇔ Stx A ∨ ∃x : A dla dowolnego t ∀x : A ⇔ Stx A ∧ ∀x : A dla dowolnego t Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  22. 22. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły równowa˙ no´ ci (2) zs x ∃x : A ⇔ ∃y : Sy A dla x wolnej w A ∃x : A ∧ B ⇔ A ∧ ∃x : B dla x wolnej w A ¬∀x : A ⇔ ∃x : ¬A ¬∃x : A ⇔ ∀x : ¬A Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  23. 23. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły równowa˙ no´ ci (3) zs ∃x ∃y : P(x, y) ⇔ ∃y ∃x : P(x, y) ∀x ∀y : P(x, y) ⇔ ∀y ∀x : P(x, y) ∀x : A(x) ∧ ∀x : B(x) ⇔ ∀x : (A(x) ∧ B(x)) ∃x : A(x) ∨ ∃x : B(x) ⇔ ∃x : (A(x) ∨ B(x)) Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  24. 24. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły wnioskowania ∃x ∀y : P(x, y) ⇒ ∀y ∃x : P(x, y) ∃x : P(x) ∧ ∀x : Q(x) ⇒ ∃x : (P(x) ∧ Q(x)) ∀x : P(x) ∨ ∀x : Q(x) ⇒ ∀x : (P(x) ∨ Q(x)) ∃x : P(x) ∧ ∃x : Q(x) ⇐ ∃x : (P(x) ∧ Q(x)) Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  25. 25. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych Peano (1889) 0 jest liczba naturalna ˛ ˛ ◮ s(n) – nastepnik liczby n ˛ ◮ Je´ li n jest liczba naturalna to s(n) jest liczba naturalna s ˛ ˛ ˛ ˛ ◮ ∀n : s(n) = 0 ◮ s(n) = s(m) ⇒ n = m ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  26. 26. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych – cd. Suma: ◮ ∀n : n + 0 = n ◮ ∀n ∀m : (m + s(n)) = s(m + n) ◮ Iloczyn: ◮ ∀n : (n ∗ 0 = 0) ◮ ∀n ∀m : (n ∗ s(m) = n ∗ m + n) ◮ Indukcja ◮ P(0) ∧ ∀n : (P(n) ⇒ P(s(n))) ⇒ ∀n : P(s(n)) ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  27. 27. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rekurencja G-ciag dla predykatu binarnego G(x, y) ˛ ◮ x = s(y) ⇒ G(x, y) – zachodzi Domena jest dobrze okre´ lona ze wzgledu na G je´ li s ˛ s ◮ ´ wszystkie G-ciagi sa skonczone ˛ ˛ Dowód rekurencyjny: ◮ ˙ Wybieramy predykat G i dowodzimy, ze wszystkie G-ciagi˛ ◮ ´ sa skonczone ˛ Je´ li x jest elementem minimalnym, to dowodzimy, ze P(x ) ˙ s ◮ zachodzi Dla dowolnego x zakładamy, ze P(y ) zachodzi dla ˙ ◮ wszystkich y , takich, ze G(x , y ) zachodzi ˙ Udowadniamy, ze P(x ) zachodzi ˙ ◮ Wniosek: ∀x : P(x ) ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  28. 28. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  29. 29. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Materiały zródłowe ´ W.K. Grassman, J.P. Tremblay „Logic and Discrete ◮ Mathematics – A Computer Science Perspective” Slajdy zostały przygotowane za zgoda˛ ◮ dr. Michała Korzyckiego na podstawie jego wykładu. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  30. 30. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Dziekuje! ˛ ˛ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×