• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
อนุกรมเลขคณิต
 

อนุกรมเลขคณิต

on

  • 38,740 views

 

Statistics

Views

Total Views
38,740
Views on SlideShare
38,470
Embed Views
270

Actions

Likes
5
Downloads
424
Comments
0

4 Embeds 270

http://aoynattaya.wordpress.com 263
https://twitter.com 4
https://si0.twimg.com 2
https://www.google.co.th 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเลขคณิต Document Transcript

  • เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ใบความรู้ที่ 8สัญลักษณ์แทนการบวก (Sigma notation) สัญลักษณ์แทนการบวกจะใช้อักษรกรีก  (อ่านว่า ซิกมา) เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก n โดยที่ a1 + a2 + a3 + . . . + an =  ai i 1  และ a1 + a2 + a3 + . . . =  ai i 1 n ซึ่ง  a i อ่านว่า การบวก aI เมื่อ i = 1 ถึง i = n i 1   a i อ่านว่า การบวก aI เมื่อ i มีค่าตั้งแต่ 1 ขึ้นไป i 1 6 เช่น  i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 i 1  2 2 2  i2 = 1 + 2 + 3 + . . . i 1 ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 โดยใช้สัญลักษณ์การบวก วิธีทา 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 = 2(x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +x7) 7 =  2x i i2 ตัวอย่างที่ 2 จงเขียน 2 + 4 + 6 + . . . + 100 โดยใช้เครื่องหมาย  วิธีทา 2 + 4 + 6 + . . . + 100 = 2(1) + 2(2) + 2(3) + . . . + 2(50) 50 =  2i i 1 ตัวอย่างที่ 3 จงเขียน 3 + 6 + 9 + . . . + 180 โดยใช้สัญลักษณ์การบวก วิธีทา 3 + 6 + 9 + . . . + 180 = 3(1) + 3(2) + 3(3) + . . . + 3(60) 60 =  3i i 1
  • สาระสาคัญ สมบัติของ  ที่ควรทราบ มีดังนี้ n 1.  c  nc เมื่อ c เป็นค่าคงตัว i 1 n n 2.  c ai  c  ai เมื่อ c เป็นค่าคงตัว i 1 i 1 n n n 3.  (ai  bi )   ai   bi i 1 i 1 i 1สมบัติของ  ที่ควรทราบ สมบัติของ  ที่ควรทราบ มีดังนี้ n 1.  c  nc เมื่อ c เป็นค่าคงตัว i 1 n พิสูจน์ c = c + c + c + . . . + c (n พจน์) i 1 = nc n   c = nc i 1 n n 2.  c ai  c  ai เมื่อ c เป็นค่าคงตัว i 1 i 1 n พิสูจน์  c ai = ca1 + ca2 + ca3 + . . . + can i 1 = c(a1 + a2 + a3 + . . . + an) n n   c ai  c  ai i 1 i 1
  • n n n 3.  (ai  bi )   ai   bi i 1 i 1 i 1 n พิสูจน์  (ai  bi ) = (a1  b1 )  (a2  b 2 )  (a3  b 3 )  . . .  (an  bn ) i 1 = (a1  a2  a3  . . .  an )  (b1  b 2  b 3  . . .  bn ) n n n   (ai  bi )   ai   bi i 1 i 1 i 1ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 5 1.1  8 i 1 4 1.2  3i2 i 1 5 วิธีทา 1.1 8 i 1 = 8+8+8+8+8 = 85 = 40 4 4 1.2  5i i 1 2 = 5  i2 i 1 = 5(12 + 22 + 32 + 42) = 5(30) = 150 5ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ  (4i 2 - 5i  8) i 1 5 5 5 5 วิธีทา  (2i2 - 3i  7) =  i 1 4i 2 -  i 1 5i  8 i 1 i 1 5 5 5 = 4  i 2 - 5 i  8 i 1 i 1 i 1 = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 52) – 5(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (5  2 2 2 28) = 4(55) – 5(15) + 40 = 220 – 75 + 40 = 185
  • สาระสาคัญ n n(n  1)  i หมายถึง  i  2 i 1 n  i2 หมายถึง  i2  n(n  1)(2n  1) 6 i 1 n 2  i3 หมายถึง  i3    i 2  n(n  1)    2  i 1  การหาสูตรของ  i ,  i2 และ  i3 n n(n  1) 1.  i  2 i 1 n พิสูจน์  i = 1 + 2 + 3 + . . . + (n – 2) + (n – 1) + n …………  i 1 n  i = n + (n – 1) + (n – 2) + . . . + 3 + 2 + 1 …………  i 1 n + 2i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) ; i 1 (n วงเล็บ) = n (n + 1) n n(n  1)  i  2 i 1 10 ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ  6i i 1 10 10 วิธีทา  i 1 6i = 6 i i 1 10(10  1)  = 6   2  = 6(55) = 330 n n(n  1)(2n  1) 2.  i2  6 i 1
  • nพิสูจน์ ให้ S =  i2 i 1 = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 เนื่องจาก x3 – (x – 1)3 = 3x2 – 3x + 1 ถ้า x = 1 จะได้ 13 – 03 = 3(1)2 – 3(1) + 1 ถ้า x = 2 จะได้ 23 – 13 = 3(2)2 – 3(2) + 1 ถ้า x = 3 จะได้ 33 – 23 = 3(3)2 – 3(3) + 1 .. .. ‘ .. . . 3 ถ้า x = n – 1 จะได้ (n – 1) – (n – 2) = 3(n – 1)2 – 3(n – 1) + 1 3 ถ้า x = n จะได้ n3 – (n – 1)3 = 3(n)2 – 3(n) + 1นาพจน์ทางซ้ายมือของทุกสมการบวกกัน และนาพจน์ทางขวามือของทุกสมการบวกกันจะได้ n3 = 3(12 + 22 + 32 + . . . + n2) – 3(1 + 2 + 3 + . . . + n) + (1 1  1 .      . . 1)  n พจน์  n(n  1)  = 3S - 3    n  2  3n(n  1) n3 = 3S -  n 2 3n(n  1) 3S = n3  - n 2 6S = 2n3 + 3n2 + n 6S = n(2n2 + 3n + 1) 6S = n(n + 1)(2n + 1) n(n  1)(2n  1)  S = 6 4ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ  - k2 k 1 4 4วิธีทา  - k2 = (1)  k2 k 1 k 1 = (1)[1  22  32  4 2 ] 2  4(4 1)(8  1)  = (1)  6    = (1)(30) = 30
  • n 2  n(n  1)  3.  i3   2  i 1   n พิสูจน์ ให้ S =  i3 i 1 = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 แต่ x4 – (x – 1)4 = 4x3 – 6x2 + 4x – 1 ถ้า x = 1 จะได้ 14 - 04 = 4(1)3 – 6(1)2 + 4(1) – 1 ถ้า x = 2 จะได้ 24 - 14 = 4(2)3 – 6(2)2 + 4(2) – 1 ถ้า x = 3 จะได้ 34 - 24 = 4(3)3 – 6(3)2 + 4(3) – 1 .. . ถ้า x = n – 1 จะได้ (n – 1)4 – (n – 1)4 = 4(n – 1)3 – 6(n – 1)2 + 4(n – 1) – 1 ถ้า x = n จะได้ n4 – (n – 1)4 = 4(n)3 – 6(n)2 + 4(n) – 1นาพจน์ทางซ้ายมือของทุกสมการบวกกัน และพจน์ทางขวามือของทุกสมการบวกกัน จะได้ n4 =4(13 + 23 + 33 + . . . + n3) – 6(12 + 22 + 32 + . . . + n2) + (1 + 2 + 3 + . . . +n) + (-1-1.  - 1 1 - - . . - 1) n พจน์ 4 [(n(n  1)(2n  1)] n  n = 4S – 6 6  4  (n  1) - n 2   n4 = 4S – n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) – n 4S = n4 + n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) + n 4S = n [n3 + 2n2 + 3n + 1 – 2n – 2 + 1] 4S = n [n3 + 2n2 + n] 4S = n2 [n2 + 2n + 1] n 2 (n  1) 2 S = 4 2  n(n  1)  =  2    n 2  n(n  1)    i3   2  i 1  
  • 10ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ  (4i3 - 5) i 1 10 10 10วิธีทา  (4i3 - 5) =  4i 3 - 5 i 1 i 1 i 1 10 10 = 4  i3 -  5 i 1 i 1 2 10(10  1)  = 4  - (10  5)  2  2 = 4(55) – 50 = 4(3025) – 50 = 12100 – 50 = 12,050
  • แบบฝึกหัดที่ 11 เรื่อง สัญลักษณ์แทนการบวกคาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องโดยการกระจายในรูปการบวก 81. จงหาค่าของ  5 k 1 42. จงหาค่าของ  5n2 n 1 63. จงหาค่าของ  (5i2  3i  6) i 1 34. จงหาค่าของ  (6i - 4) i 1 105. จงหาค่าของ  (5i - 2) i 1 46. จงหาค่าของ  5(k  3) k 1คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องโดยการใช้สูตร 127. จงหาค่าของ  5i i 1 88. จงหาค่าของ  (5n2 - 2n) n 1 79. จงหาค่าของ  (6i3 - 2) i 1 1010. จงหาค่าของ  (i3  9i2  18i) i 1 2011. จงหาค่าของ  (3k 3  k) k  11
  • เฉลยแบบฝึกหัดที่ 11 เรื่อง สัญลักษณ์แทนการบวก1) 402) 1503) 5544) 245) 2556) 1107) 3908) 9489) 77010) 748011) 7610
  • เรื่องอนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์ คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์ข้อที่ ลาดับ อนุกรม ประเภทของอนุกรม อนุกรม อนุกรมอนันต์ จากัด 1 1, 7, 14, 21, 28, 35 1 + 7 + 14 + 21 + 28 + 35 / 2 1 1 1 1 , , , ... , n , ... 1 1 1 1    ...  n  ... / 2 4 8 2 2 4 8 2 3 3, 6, 9, 12, 15, 18 4 9, 7, 5, 3, 1, -1, -3 5 3, 4 , 5 , . . . , n + 2 , . . . 6 3, 5,7 . . . , 2n+1, . . . 7 -3, -6, -9, . . . , -3n, . . . 8 5,10,15,20,25,30,35 ดังนั้น อนุกรมจากัด คือ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. อนุกรมอนันต์ คือ ……………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….
  • เอกสารแนะแนวทางที่ 6 เรื่องอนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์ข้อที่ อนุกรม ประเภทของอนุกรม อนุกรมจากัด อนุกรมอนันต์ 3 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 / 4 8+6+4+2+0–2–4 / 5 2 + 3 + 4 + . . . + (n + 1) + . . . / 6 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) + . . . / 7 – 2 – 4 – 6 – . . . – 2n – . . . / 8 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 /ดังนั้น อนุกรมจากัด คือ อนุกรมที่ได้จากการบวกพจน์ของลาดับจากัด ถ้าให้ a1, a2, a3, . . ., an เป็นลาดับจากัด จะได้ a1 + a2 + a3 + . . . + an เป็นอนุกรมจากัด อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่ได้จากการบวกพจน์ทุกพจน์ของลาดับอนันต์ ถ้าให้ a1, a2, a3, . . ., an, . . . เป็นลาดับอนันต์ จะได้ a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . เป็นอนุกรมอนันต์
  • เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ใบกิจกรรมที่ 6 คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์ข้อที่ อนุกรม ผลต่างร่วม อนุกรมเลขคณิต เป็น ไม่เป็น 1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 2 / - 2 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) + . . . 2 - / 3 1 + 4 + 9 + 16 + 25 4 7 + 11 + 15 + 19 + 23 5 11 + 2 – 7 + . . . + (20 – 9n) + . . . 6 1 1 1    ...  1  ... 2 4 8 2n 7 (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + . . . + (x + 3n) + . . . 8 3 4 5    ...  n2  ... 4 5 6 n3 9 1 + 8 + 27 + 64 + . . . 10 3 + 3 + 3 + 3 + 3อนุกรมเลขคณิต คือ …………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….
  • เอกสารแนะแนวทางที่ 7 เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ข้อที่ ผลต่างร่วม อนุกรมเลขคณิต เป็น ไม่เป็น 4 4 / – 5 -9 / – 6 ไม่มี – / 7 3 / – 8 ไม่มี – / 9 ไม่มี – / 10 0 / –อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของแต่ละพจน์ของลาดับเลขคณิต ถ้าให้ a1, a2, a3, . . ., an เป็น ลาดับเลขคณิต a1 + a2 + a3 + . . . + an เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต
  • ใบความรู้ที่ 9สาระสาคัญ n ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คือ Sn = [2a1  (n - 1)d] 2 n หรือ Sn = (a1  a n ) 2สาระการเรียนรู้ การหาสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ผลบวกของพจน์ของลาดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต ในการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ทาได้ดังนี้ ให้ Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an (เมื่อ a1, a2, a3, . . ., an เป็นลาดับเลขคณิต) = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + [a1 + (n – 1)d] = a11 a11  d  2d  3d .  a     ...  a    . .  (n - 1)d   n ตัว n - 1 ตัว = na1 + [1 + 2 + 3 + . . . + (n – 1)]d = na1  n - 1 [1  (n - 1)]d 2 (n - 1) = na1  2 nd 2na1  (n - 1) nd = 2 n [2a1  (n - 1)d] = 2 n  Sn = 2 [2a1  (n - 1)d] ………………..  n หรือ Sn = 2 [a1  a1  (n - 1)d] n Sn = 2 (a1  a n ) ………………….  สรุป สูตรการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คือ Sn = n [2a1  (n - 1)d] 2
  • หรือ Sn = n (a1  an ) 2 เมื่อ Sn แทน ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต a1 แทน พจน์ที่ 1 ของอนุกรมเลขคณิต d แทน ผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต an แทน พจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิตตัวอย่างที่ 1 จากอนุกรมเลขคณิต 100 + 95 + 90 + . . . จงหา S15วิธีทา จากสูตร Sn = n [2a1  (n - 1)d] 2 จากโจทย์ จะได้ a1 = 100 , d = 5 , n = 15 แทนค่า S15 = 15 2(100)  (15 - 1)(5) 2 15 = [ 200 - 70 ] 2 15 = (130) 2 = 975ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 1 + 2 + 3 + . . . + 300วิธีทา จากอนุกรมเลขคณิต 1 + 2 + 3 + . . . + 300 จะได้ a1 = 1 , n = 300 , an = 300 จากสูตร Sn = n (a1  an ) 2 300 แทนค่า S300 = 2 (1  300) = 150(301) = 45,150ตัวอย่างที่ 3 ให้ลาดับเลขคณิตลาดับหนึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ 4 และพจน์ที่ 13 คือ 51 จงหาผลบวก 13 พจน์แรก วิธีทา จาก an = a1 + (n – 1)d จากโจทย์ จะได้ d = 4 และ a13 = 51 แทนค่า 51 = a1 + 12(4) a1 = 3 จากสูตร Sn = n (a1  an ) 2 13  S13 = 2 [a1  a13 ] 13 = 2 [3  51] 13 = 2 (54) = 351  ผลบวก 13 พจน์แรก มีค่าเท่ากับ 351
  • ตัวอย่างที่ 4 ให้อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มีผลบวก 11 พจน์แรกเท่ากับ 77 และ ผลต่างร่วมเท่ากับ 3 จงหาพจน์แรกและพจน์ที่ 11 วิธีทา จากโจทย์ จะได้ d = 3 และ S11 = 77 จาก an = a1 + (n – 1)d  a11= a1 + 0(3) a11 – a1 – 30 = 0 …………………….  n จากสูตร Sn = (a1  a n ) 2 11  S11 = [a1  a11 ] 2 11 77 = [a1  a11 ] 2 154 = 11a1 + 11a11 11a11 – 11a1 – 154 = 0 ……………………    11 11a11 – 11a1 – 330 = 0 ……………………  + 22a11 – 484 = 0 22a11 = 484 a11 = 22 แทนค่า a11 ใน  22 – a1 – 30 = 0 – a1 – 8 = 0  a1 = –8  พจน์แรก มีค่าเท่ากับ – 8 พจน์ที่ 11 มีค่าเท่ากับ 22 ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลบวกของทุกจานวนคี่จาก 61 ถึง 121 วิธีทา จากโจทย์ จะได้ a1 = 61 , d = 2 และ an = 121 จากสูตร an = a1 + (n – 1)d แทนค่า 121 = 61 + (n – 1)(2) 121 = 61 + 2n – 2 2n = 62  n = 31 n จากสูตร Sn = 2 (a1  a n ) 31 แทนค่า S31 = 2 [61  121] 31 = 2 (182) = 2,821 ผลบวกของทุกจานวนคี่จาก 61 ถึง 121 คือ 2,821
  • แบบฝึกหัดที่ 12 เรื่องอนุกรมเลขคณิตคาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา1.กาหนด จงหาผลบวก n พจน์แรกตามเงื่อนไขที่กาหนดในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1.1 a1 = -3 , d = 6 จงหา S10 1.2 a1 = 10 , d = 5 จงหา S20 1.3 a1 = 60 , d = -2 จงหา S20 1.4 a1 = 8 , d = 4 จงหา S30 1.5 a1 = 8 , d = 14 จงหา S152. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตต่อไปนี้ 2.1 2 + 4 + 6 + . . . + 100 2.2 10 + 20 + 30 + . . . + 400 2.3 1 + 3 + 5 + . . . + 413. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มีผลบวกพจน์ที่ 2 กับพจน์ที่ 4 เท่ากับ 15 และผลบวกของพจน์ที่ 5กับพจน์ที่ 6 เท่ากับ 25 จงหาผลบวกของ 20 พจน์แรก4. ผลบวกของจานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 50 และ 350 และมีหลักหน่วยเป็น 1 มีค่าเท่าไร5. จงหาผลบวกของจานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 65 กับ 193 ที่หารด้วย 4 ลงตัว6. นายปรีชาได้รับรายได้จากการขายของเดือนแรก 3,600 บาท และรายได้ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้นเดือนละ 200 บาททุกเดือน จงหารายได้ทั้งหมดเมื่อเขาทางานครบ 12 เดือน
  • เฉลยแบบฝึกหัดที่ 12 เรื่องอนุกรมเลขคณิต1) 1.1 240 1.2 1,150 1.3 820 1.4 750 1.52) 2.1 5,100 2.2 82,000 2.3 8613) 2,6604) 5,8805) 4,1606) 56,400