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Sujet1 si-1-centrale-psi-2005 Sujet1 si-1-centrale-psi-2005 Document Transcript

  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR COMPORTEMENT DYNAMIQUE D’UN VEHICULE AUTO-BALANCÉ DE TYPE SEGWAY® Partie I - Analyse système et .n Poignée directionnelle Barre rs d’appui o u s c to u Plate-forme Photographies 1Le support de l’étude est le véhicule auto-balancé Segway® . Il s’agit d’un moyende transport motorisé qui permet de se déplacer en ville. En termes de presta-tions, il est moins rapide qu’une voiture ou qu’un scooter, plus maniable, plusécologique, moins encombrant et nettement plus moderne.La conduite du Segway® se fait par inclinaison du corps vers l’avant ou versl’arrière, afin d’accélérer ou freiner le mouvement (comme pour la marche à pieddans laquelle le piéton s’incline vers l’avant pour débuter le mouvement). Lesvirages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de lapoignée directionnelle située sur la droite du guidon (voir photographies 1).La spécificité de ce véhicule est d’avoir deux roues qui ont le même axe de rota-tion, avec son centre de gravité situé au-dessus de l’axe commun des roues, siConcours Centrale-Supélec 2005 1/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Filière PSIbien qu’on se demande comment rester à l’équilibre une fois monté sur la plate-forme. Tout comme le cerveau permet à l’individu de tenir debout sans tombergrâce à l’oreille interne, le système comporte un dispositif d’asservissementd’inclinaison, maintenant la plate-forme du véhicule à l’horizontale ou encore labarre d’appui, supposée orthogonale à cette plate-forme, à la verticale. tLe Segway® comporte à cet effet des capteurs et des microprocesseurs comman- edant les deux moteurs électriques équipant les deux roues. .nL’objectif de cette étude est de vérifier le non-dérapage des roues en virage, lesperformances de vitesse et d’accélération et enfin la stabilité en ligne droite. rsLe diagramme des interacteurs du Segway® , présenté figure 1, précise les fonc-tions assurées par le système. u co Route Conducteur FS 1 s FS 3 FS 2 u Segway to FS 5 FS 4 Milieu Environnement FS 6 Urbain Figure 1 : diagramme des interacteurs du systèmeÉnoncé des Fonctions de Service :• FS1 : permettre au conducteur de se déplacer aisément sur la route.• FS2 : donner au conducteur une sensation de stabilité.• FS3 : rester insensible aux perturbations provenant de la route.• FS4 : rester manœuvrable dans la circulation.• FS5 : être peu encombrant.• FS6 : contribuer au respect de l’environnement.La caractérisation de chacune des fonctions de service sera donnée au début dechaque partie.Concours Centrale-Supélec 2005 2/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Gyromètre et pendule Mouvement angulaire Chariot Ecart à la t verticale Couple Batteries e moteur .n Consigne de commande rs Groupe u Propulsion Vitesse de o rotation c Calculateur s Codeur incrémental u Figure 2 : schéma d’organisation structurelle toOn propose de s’appuyer sur une description structurelle du véhicule, composé(voir figure 2) :• d’un chariot (châssis + 2 roues uniquement), transportant le conducteur,• de deux moto-réducteurs entraînant les roues (un par roue),• d’un ensemble constitué d’un gyromètre et d’un pendule délivrant une information sur l’angle d’inclinaison du châssis par rapport à la verticale et sur sa dérivée,• d’un calculateur élaborant, à partir des informations issues des capteurs, les consignes de commande des groupes moto-réducteurs.• de batteries fournissant l’énergie aux divers composants.I.A - Questions préliminairesL’énergie maximale stockée dans les batteries vaut E b = 2 MJ . Les moto-réduc-teurs ont un rendement global de 0, 8 . La résistance moyenne à l’avancementdu véhicule peut être assimilée à un effort de 60 N .Concours Centrale-Supélec 2005 3/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSII.A.1) Déterminer la distance maximale que peut parcourir le Segway® entredeux recharges des batteries. Justifier la pertinence de ce moyen de transport.Le schéma d’organisation structurelle comporte des codeurs incrémentaux,fournissant au calculateur une image de la vitesse de rotation des moteurs.I.A.2) Rappeler en quelques lignes le principe de fonctionnement d’un codeurincrémental. Citer aussi un autre moyen d’acquisition d’une vitesse de rotation.I.A.3) Rappeler quelle est la grandeur physique mesurée par un gyromètremécanique et le principe de la mesure associée.I.B - Étude SystèmeLe système étudié est l’ensemble mobile (chariot, moto-réducteurs, capteurs, tcalculateur et batteries), sans le conducteur. Son diagramme SADT A-0 est edonné figure 3. .n Énergie électrique Inclinaison Consigne de temporaire conducteur direction rs Marche/arrêt u Conducteur à la Conducteur en co position initiale mouvement Transporter le conducteur s A-0 u Segway® Figure 3 : diagramme A-0 du Segway® toI.B.1) Compléter le SADT de niveau A0 proposé dans le document réponse. Partie II - Modèle de comportement mécaniqueObjectif : Proposer des relations cinématiques entre les paramètres du mouve-ment.II.A - Modèle et paramétrage• Soit R 0 ( O, x 0, y 0, z 0 ) un repère supposé galiléen lié à la route tel que z 0 soit dirigé suivant la verticale ascendante.• R 1 ( A, x 1, y 1, z 0 ) un repère en rotation par rapport à R 0 autour de z 0 tel que x 1 soit colinéaire à l’axe commun des roues et A le point milieu de l’axe des roues. On pose ϕ = ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ) l’angle de virage.Concours Centrale-Supélec 2005 4/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI• R 2 ( A, x 1, y 2, z 2 ) un repère lié au châssis du chariot, en rotation autour de ( A, x 1 ) par rapport à R 1 tel que z 2 soit colinéaire à la barre d’appui. On pose ψ = ( y 1, y 2 ) = ( z 0, z 2 ) l’angle d’inclinaison du châssis par rapport à la verti- cale. La régulation consiste à maintenir cet angle nul.• R 3 ( A, x 1, y 3, z 3 ) un repère intermédiaire en rotation par rapport à R 2 , autour de ( A, x 1 ) . On pose α = ( y 2, y 3 ) = ( z 2, z 3 ) l’angle d’inclinaison arrière-avant du conducteur. z2 z0 = z1 z3 z0 = z1 z3 α ψ z4 t α+ψ β Conducteur parallèle e à la barre dappui (cas α=0) .n z0 = z1 Conducteur rs incliné de α par rapport à G la barre dappui G o u s c y0 y3 = y4 α+ψ u y1 x1 = x3 to OG OD y3 x1 A y2 y1 IG ϕ OG ID x0 O IG Figure 4 : paramétrage cinématique Figure 5 : figure simplifiée dans le du système cas β = 0 soit z 3 = z 4• R 4 ( A, x 4, y 3, z 4 ) un repère lié au conducteur, considéré comme un solide indé- formable, en rotation par rapport à R 3 autour de ( A, y 3 ) tel que l’axe ( A, z 4 ) passe par le centre de gravité G du conducteur. On pose β = ( x 3, x 4 ) = ( z 3, z 4 ) l’angle d’inclinaison droite-gauche du conducteur et AG = hz 4 avec h cons- tante positive.Concours Centrale-Supélec 2005 5/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI• R D ( O D, x 1, y D, z D ) un repère lié à la roue Droite, en rotation autour de ( A, x 1 ) par rapport à R 2 où O D est le centre de gravité de la roue droite. θ D = ( y 2, y D ) = ( z 2, z D ) est l’angle de rotation de la roue droite par rapport au châssis. I D est le point de contact de la roue droite avec la route tel que I D O D = Rz 0 . On suppose que la roue droite roule sans glisser sur le sol au point I D .• R G ( O G, x 1, y G, z G ) un repère lié à la roue Gauche, en rotation autour de ( A, x 1 ) par rapport à R 2 où O G est le centre de gravité de la roue gauche. θ G = ( y 2, y G ) = ( z 2, z G ) est l’angle de rotation de la roue gauche par rapport t au châssis. I G est le point de contact de la roue gauche avec la route et on e suppose que la roue gauche roule sans glisser sur le sol au point I G (les deux .n roues ont même rayon R ). L rsOn note L l’empattement du chariot tel que O D O G = Lx 1 et O D A = --- x 1 = AO G . - 2II.B - Étude cinématique préalable uII.B.1) Proposer un graphe des liaisons du système restreint à l’ensemble de osolides {Route, Roue Gauche, Roue Droite, Châssis}. Préciser pour chaque cliaison ses caractéristiques géométriques. sII.B.2) En s’appuyant sur le paramétrage et en utilisant de la couleur, propo-ser un schéma cinématique du système {Roue Gauche, Roue Droite, Plate-forme, uConducteur}, en complétant l’épure du document réponse (ne pas schématiser le tocontact roue/route).II.B.3) Exprimer, en fonction du paramétrage, les torseurs cinématiques :• du châssis par rapport au sol : { V ( 2 ⁄ 0 ) } , en notant V ( A ∈ 2 ⁄ 0 ) = U x 1 + V y 1 ,• de la roue droite par rapport au châssis : { V ( R D ⁄ 2 ) } ,• de la roue gauche par rapport au châssis : { V ( R G ⁄ 2 ) }II.B.4) Énoncer ensuite les deux relations de roulement sans glissement desroues par rapport à la route et déterminer trois relations scalaires liant les 6 ˙ ˙ ˙ ˙paramètres inconnus ψ , ϕ , θ D , θ G , U et V aux dimensions L et R .Ces relations seront utilisées dans l’étude dynamique.II.C - Étude de la transmission de puissanceLa transmission de puissance choisie possède deux moteurs électriques (un pour 1chaque roue), associé chacun à un réducteur de rapport de réduction K r = ----- . - 24II.C.1) Une voiture ne possède généralement qu’un seul moteur et qu’un seulréducteur (la boîte de vitesses). Le différentiel permet de répartir la puissanceConcours Centrale-Supélec 2005 6/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSImotrice sur les deux roues motrices. Expliquer pourquoi le constructeur duSegway® n’a pas adopté cette solution.Un pré-dimensionnement des réducteurs a conduit à adopter les contraintessuivantes :• [ OO M ] = 90 mm (voir document réponse),• module m = 1 mm pour tous les engrenages,• nombre de dents minimum pour chaque roue dentée : Z i mini = 15 .Les points O et O M correspondent respectivement aux projections, dans le plan( O D, y 2, z 2 ) , des axes de rotation d’une roue et du moteur associé.II.C.2) Proposer, sur le document réponse, une architecture du réducteur t 1s’intégrant dans le carter et dont le rapport de réduction vaut K r = ----- en des- - e 24sinant une épure de la solution adoptée. .nReprésenter uniquement les diamètres primitifs des roues dentées, dans le plandu document réponse puis récapituler sous forme de tableau, sur votre copie, les rsnombres de dents choisis. Partie III - Validation de la FS4 o uObjectif : vérifier le non dérapage des roues et le non basculement du Segway® cpour les différents rayons de virage. sLe dérapage se définit comme le glissement suivant x 1 ou y 1 des roues parrapport à la route et le basculement du Segway® a lieu lorsque l’une des roues un’est plus en contact avec la route. Le tableau 1 est extrait du cahier des charges. toTrois configurations de vitesse du Segway® sont étudiées :• déplacement à la vitesse d’un homme marchant,• déplacement à la vitesse d’un homme courant,• déplacement à la vitesse maximale. Fonction de service Critère Niveau Dérapage Aucun FS4 : rester manœu- Basculement Aucun vrable dans la circu- lation Vitesse Rayon minimum 5 km ⁄ h ρ = 0, 5 m Rayon de virage minimum admissible 10 km ⁄ h ρ = 2, 5 m 20 km ⁄ h ρ = 10 m Tableau 1 : extrait du CdCF relatif à FS4Concours Centrale-Supélec 2005 7/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSIIII.A - Analyse du modèle de calcul des actions mécaniquesLe système étudié est celui de la question II.B.1, constitué des solides {Route,Roue Gauche, Roue Droite, Châssis}. Seuls les paramètres V , ϕ et Ψ sont con-sidérés, les autres paramètres étant fixes ou n’intervenant pas. Les contactsroue/route en I G et I D sont modélisés par des liaisons sphère plan avec frotte-ment. Cette modélisation conduit aux torseurs d’actions mécaniques exercéespar la route sur les roues suivants : ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ X G x1 + Y G y1 + ZG z0 ⎪ ⎪ X D x1 + Y D y1 + Z D z0 ⎪{ T ( Route → R ) } = ⎨ ⎬ { T ( Route → R D ) } = ⎨ ⎬ G ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ IG ⎩ ⎭ ID ⎩ ⎭ tIII.A.1) En s’appuyant sur le graphe des liaisons de la question II.B.1, edéterminer le nombre de mobilités m du système {Route, Roue Gauche, Roue .nDroite, Châssis}. En déduire alors le degré d’hyperstatisme h du mécanisme.Dans la suite de cette partie, l’asservissement d’inclinaison est considéré comme rsparfaitement réalisé, c’est à dire que Ψ = 0 . De plus, le conducteur est supposéuniquement incliné d’un angle β constant vers l’intérieur du virage. On impose ude plus α ≡ 0 , ce qui impose aussi V constant où V est négatif en marche avant. oEnfin, le virage est pris à vitesse de rotation ϕ constante et ϕ > 0 . ˙ ˙ cIII.B - Détermination de l’inclinaison du conducteur en virage sLa position naturelle d’un individu en virage (cas de la bicyclette, des rollers, ...) uest de s’incliner vers l’intérieur du virage. L’application du Principe Fondamen-tal de la Dynamique au conducteur montre alors que cette condition est équiva- tolente à g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) colinéaire à z 4 .Après calcul de Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) , la figure du document réponse donne les trois pro-jections de g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) dans la base ( x 4, y 4, z 4 ) en fonction de l’inclinaison βdu conducteur, avec les paramètres : –2 ϕ = 0, 8 rad ⁄ s , h = 0, 95 m , g = 9, 81 m ⋅ s et V = – 10 km ⁄ h ( soit ρ = 3, 5 m ) ˙III.B.1) Par un tracé sur le document réponse, justifié sur la copie, donner alorsla valeur de β qui permet de vérifier la condition exposée ci-dessus.III.C - Étude dynamique simplifiée du Segway® en virageDans ce paragraphe, un modèle simplifié où le conducteur est assimilé à unemasse concentrée m H en G et le chariot assimilé à une masse concentrée m Sen A est adopté. De plus, l’inertie des roues et linertie en rotation du Segway®sont négligées devant les termes liés à la masse du conducteur et du chariot. Leshypothèses V = constante, β = constante, ϕ = constante et Ψ ≡ 0 avec β tel que ˙Concours Centrale-Supélec 2005 8/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI g – Γ ( G ∈ 4 ⁄ 0 ) soit colinéaire à z 4 (comme défini en III.B) sont conservées. Onisole alors le système complet {Conducteur, Châssis, Roue Droite, Roue Gauche}.III.C.1) Faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures qui s’exercent surce système.L’application du Principe Fondamental de la Dynamique à ce système dans sonmouvement par rapport au sol permet d’obtenir, après réduction au point A , leséquations suivantes projetées sur la base : ( x 1, y 1, z 0 ) :Théorème de la résultante dynamique selon x 1 : – m H ϕ ( V + hϕ sin β ) – m S V ϕ = X G + X D ˙ ˙ ˙ tThéorème de la résultante dynamique selon z 0 : 0 = ZG + Z D – ( m H + mS ) g eThéorème du moment dynamique en A en projection selon y 1 : .n L L --- Z G + R X G – --- Z D + R X D = 0 - - rs 2 2III.C.2) Expliquer pourquoi le système d’équations obtenu ne permet pas de udéterminer toutes les inconnues d’effort et recenser celles qui ne peuvent pasêtre calculées sans hypothèse complémentaire. Expliquer l’origine de cette oimpossibilité. cLe modèle de frottement de Coulomb de coefficient f est choisi pour le contact sroue/sol et, en raison du déchargement de la roue gauche, l’hypothèse X G = 0 uest adoptée. toIII.C.3) Énoncer les lois de Coulomb en utilisant les notations du III.A pourune roue, dans les cas dadhérence et de glissement.La stabilité du Segway® impose de garantir un effort tangentiel minimal trans-missible suivant y 1 . Par conséquent, on suppose Y G = Y D = Y min donné.Le cahier des charges précise les valeurs minimales des rayons de courbure duvirage ρ , définis par V = ρϕ , pour différentes valeurs de vitesse. Compte tenu ˙des valeurs des paramètres de géométrie et de masse du Segway®, on trace surla figure du document réponse, avec Y min = 100 N et f = 0, 6 , deux graphiques : 2 2 Y min + X D• --------------------------------- en fonction de ρ , rayon de courbure du virage en mètre, - ZD Y min• ----------- en fonction de ρ , rayon de courbure du virage en mètre. - ZGConcours Centrale-Supélec 2005 9/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSIIII.C.4) En expliquant votre démarche et en complétant le document réponse,vérifier les performances attendues vis-à-vis des rayons de virage minimumstout en garantissant les critères de non basculement et de non dérapage. Partie IV - Validation de la FS1Objectif : Déterminer la relation entre l’inclinaison du conducteur et l’accéléra-tion du Segway® en ligne droite ainsi que les équations mécaniques nécessairesau modèle d’asservissement d’inclinaison.Pour une utilisation confortable et sûre, le Segway® doit satisfaire les perfor-mances de vitesse et d’accélération énoncées dans le tableau 2 extrait du cahierdes charges. t Fonction de service Critère Niveau e Vitesse 0 – 20 km ⁄ h .n FS1 : permettre –2 au conducteur de se Accélération et décélération 1, 5 m ⋅ s minimum rs déplacer aisément en fonctionnement normal dans un milieu urbain Distance d’arrêt maximale 3 m à 20 km ⁄ h u Manipulation intuitive Commande naturelle co pour les réflexes humains s Tableau 2 : extrait du CdCF relatif à FS1Hypothèses : u• le Segway® se déplace en ligne droite : ϕ ≡ 0 et β = 0 . On note donc pour to simplifier θ D = θ G = θ ,• l’angle α d’inclinaison du conducteur est constant : α = constante. Dans ce ˙ ˙ cas, V ( A ∈ 2 ⁄ 0 ) = V y 1 = – R ( ψ + θ ) y 1 .IV.A - Détermination des équations mécaniques régissant le systèmeOn pose pour la suite les notations suivantes : Conducteur : H Centre de gravité G avec AG = hz 4 ⎛ ⎞ A H = 18 kg ⋅ m 2 ⎜ AH 0 0 ⎟ IG( H ) = ⎜ 0 BH 0 ⎟ B H = 20 kg ⋅ m 2 h = 0, 95 m ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 C ⎟ 2 ⎝ H ⎠ x4, y4, z4 C H = 1, 2 kg ⋅ m m H = 80 kgConcours Centrale-Supélec 2005 10/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSI Châssis : S Centre de gravité A ⎛ ⎞ A S = 0, 8 kg ⋅ m 2 m s = 25 kg ⎜ AS 0 0 ⎟ I A ( S ) = ⎜ 0 BS 0 ⎟ B S = 1, 2 kg ⋅ m 2 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 C ⎟ 2 ⎝ S ⎠ x 1, y 2, z 2 C S = 1, 3 kg ⋅ m Roue gauche : R G Centre de gravité O G , 2 ⎛ ⎞ A R = 0, 28 kg ⋅ m t L avec AO G = --- x 1 - ⎜ AR 0 0 ⎟ I O ( RG ) = ⎜ 0 B R 0 ⎟ 2 2 B R = 0, 05 kg ⋅ m e Rayon R = 240 mm G ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 C ⎟ .n 2 L = 650 mm ⎝ R ⎠ x 1, y G, z G C R = 0, 05 kg ⋅ m rs m R = 5 kg Roue droite : R D o u Centre de gravité O D , L ⎛ ⎞ A R = 0, 28 kg ⋅ m 2 c avec O D A = --- x 1 - 2 ⎜ AR 0 0 ⎟ IO ( RD) = ⎜ 0 BR 0 ⎟ s 2 Rayon R = 240 mm D ⎜ ⎟ B R = 0, 05 kg ⋅ m ⎜ 0 0 C ⎟ u L = 650 mm 2 ⎝ R ⎠ x 1, y D, z D C R = 0, 05 kg ⋅ m to m R = 5 kgLa masse et l’inertie de la motorisation et de son réducteur associé sont suppo-sées négligeables. Le moto-réducteur fait partie du châssis.• l’action mécanique exercée par la route sur les roues est modélisée par ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ Y G y1 + ZG z0 ⎪ ⎪ Y D y1 + Z D z0 ⎪{ T ( Route → R G ) } = ⎨ ⎬ et { T ( Route → R D ) } = ⎨ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ IG ⎩ ⎭ ID ⎩ ⎭• l’action mécanique exercée par larbre de sortie du moto-réducteur sur la roue, identique pour chaque roue est modélisée par : ⎧ ⎫ ⎪ 0 ⎪ { T ( Moto-réducteur → R D ) } = { T ( Moto-réducteur → R G ) } = ⎨ ⎬ ⎪ CS x1 ⎪ A⎩ ⎭Concours Centrale-Supélec 2005 11/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSIDans cette partie, le problème est supposé plan dans ( A, y 1, z 0 ) .IV.A.1) Justifier lhypothèse de problème plan du point de vue des efforts.IV.A.2) Déterminer pour chaque solide (Conducteur, Châssis, Roue Gauche etRoue Droite) dans leur mouvement par rapport au repère galiléen R 0 :• la projection sur y 1 de la résultante du torseur dynamique notée, pour un solide S i , R D ( S i ⁄ 0 ) ⋅ y 1 ,• la projection sur x 1 du moment dynamique en A notée, pour un solide S i , δ A ( Si ⁄ 0 ) ⋅ x1 .On recherche les équations liant les couples moteurs aux mouvements du sys- ttème, c’est-à-dire V , Ψ et leurs dérivées. eIV.A.3) En exposant la séquence d’isolement et en appliquant le Principe Fon-damental de la Dynamique, montrer que l’on peut obtenir le système de deux .néquations suivant : rs 2 ˙˙ ˙ ⎧ ( m H h + A H + A S )Ψ – m H hV cos ( α + Ψ ) = m H hg sin ( α + Ψ ) – 2C s ⎪ ⎨ AR CS ˙2 u ⎪ ( m S + m H + 2m R )V – m H hΨ cos ( α + Ψ ) + m H hΨ sin ( α + Ψ ) = – 2 ------- ˙ – 2 ------ ˙ ˙˙ -V - ⎩ R 2 R oPréciser clairement pour chaque isolement le système considéré et l’équation cscalaire choisie. La relation cinématique suivante, issue de la question II.B.4 s ˙ ˙pourra être utilisée : V = – R ( θ + Ψ ) . uIV.A.4) Énoncer les hypothèses qui permettent d’envisager de linéariser le tosystème précédent. Sous ces hypothèses, montrer alors que le système linéarisépeut se mettre sous la forme : ˙˙ ˙ AΨ ( t ) – BV ( t ) = – 2 C S ( t ) + C ( α ( t ) + Ψ ( t ) ) 2C S ( t ) ˙˙ ˙ BΨ ( t ) – DV ( t ) = ----------------- - Roù vous préciserez les expressions des constantes A , B , C et D . Réaliser lesapplications numériques.IV.B - Relation entre l’inclinaison du conducteur et l’accélération duSegway®On souhaite trouver la relation entre l’inclinaison α ( t ) du conducteur et l’accé-lération du Segway®. L’asservissement est ici considéré comme parfaitementréalisé, c’est à dire Ψ ≡ 0 . ˙IV.B.1) Montrer que cette relation s’écrit sous la forme V ( t ) = Kα ( t ) où vouspréciserez la valeur numérique de K .Concours Centrale-Supélec 2005 12/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSIIV.B.2) Vérifier les performances attendues du cahier des charges en vousappuyant sur les configurations proposées figure 6. On utilisera ici –2 K = – 7 m ⋅ s ⁄ rad et on se souviendra que V est négatif en marche avant. et rs .n Figure 6 : configurations angulaires proposées u Partie V - Validation de la FS2 et de la FS3 oObjectif : vérifier les performances de l’asservissement d’inclinaison par rapport cà la verticale sPour une utilisation confortable et sûre, le Segway® doit satisfaire les perfor- umances énoncées dans le tableau 3 extrait du cahier des charges. to Fonction de service Critère Niveau Temps de réponse de 0 à 5 km ⁄ h 1 s maximum FS2 : donner Dépassement d’inclinaison < 30% au conducteur une sen- sation de stabilité Inclinaison du châssis par rapport Nulle à convergence à la verticale lim Ψ ( t ) = 0 t→∞ FS3 : rester insensible Hauteur de la marche de trottoir 5 cm maximum aux perturbations pro- franchissable à 5 km ⁄ h venant de la route Perturbations dues à la route, Plage de fréquen- nature du sol (pavés, franchisse- ces de 0 à 300 Hz ment d’un trottoir, ...) Tableau 3 : extrait du CdCF relatif à FS2 et FS3Concours Centrale-Supélec 2005 13/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSILa régulation d’inclinaison du Segway® est réalisée par :• un moto-réducteur qui permet de délivrer un couple C m ( t ) = K m u ( t ) où u ( t ) –1 est une grandeur de commande et K m = 24 N ⋅ m ⋅ V• le système mécanique dont les équations ont été déterminées question IV.A.4 et qui peuvent, dans le cas où l’angle α ( t ) n’est pas supposé constant, se met- tre sous la forme : ⎧A = 90 kg ⋅ m 2 ⎪ ⎧ 1⎛ C m ( t )⎞ ⎪B = 75 kg ⋅ m ⎪ V ( t ) = ---- Bχ ( t ) + 2 --------------- ˙ ˙˙ -⎠ ⎪ ⎪ D⎝ R ⎪ 750 kg ⋅ m s 2 –2 ⎨ ou ⎨ C = t ⎪ ( DA – B 2 )χ ( t ) = 2 ⎛ B + D⎞ C ( t ) + DCχ ( t ) ˙˙ ⎪D = 125 kg ⎪ ⎝ --- R - ⎠ m ⎪ ⎩ ⎪R = e 240 mm ⎪ ⎩χ(t) = α(t) + Ψ(t) .nPar commodité de signe, la notation C m ( t ) = – C S ( t ) est utilisée dans les équa- rstions ci-dessus. Les conditions initiales sont toutes nulles.V.A - Stabilisation du système u α( p) c o - U ( p) Cm ( p ) χ( p) Ψ( p) s Km H1( p) u + to Figure 7 : schéma bloc 1V.A.1) Montrer que le schéma bloc du système peut se mettre sous la formeprésentée figure 7 en déterminant l’expression littérale de H 1 ( p ) .Analyser la stabilité du système d’entrée u ( t ) et de sortie Ψ ( t ) en étudiant la Ψ( p)fonction de transfert F 1 ( p ) = ------------- . Pouvait-on sattendre à ce résultat ? - U ( p) K1On note alors H 1 ( p ) = ----------------- . - p2 ----- – 1 2 - ω1Les valeurs numériques utilisées par la suite seront : ω 1 = 4, 1rad ⁄ s et –1K s = K m K 1 = 0, 24 rad V .Afin de stabiliser le système, la grandeur de commande U ( p ) est élaborée à par- ˙tir des mesures de Ψ (réalisée par le gyromètre), et de Ψ (réalisée par combi-Concours Centrale-Supélec 2005 14/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSInaison de la mesure du gyromètre et du pendule). Le schéma bloc obtenu estcelui du document réponse.V.A.2) Dans le cas où α ≡ 0 , déterminer, en fonction de K s , k p , k v et ω 1 lafonction de transfert Ψ( p) F 2 ( p ) = -------------- . - W ( p)Déterminer les conditions sur k v et sur k p pour que le système soit stable.F 2 ( p ) est une fonction de transfert du second ordre pouvant se mettre sous laforme : Ψ( p) K2 t F 2 ( p ) = -------------- = --------------------------------- - - W ( p) 2ξ p 2 e 1 + ----- p + ----- - - ω0 ω0 2 .nV.A.3) Déterminer, en fonction de K s , k p , k v et ω 1 les expressions de K 2 , ξ , rsω0 .On choisit une pulsation propre ω 0 proche de celle du système mécanique, c’est uà dire ω 0 = 1, 5ω 1 = 6, 15 rad ⁄ s . oV.A.4) Déterminer les valeurs de k v et de k p telles que le temps de réponse à c5% soit minimal. sV.B - Asservissement d’inclinaison du chariot uLa consigne de la régulation de l’inclinaison Ψ ( t ) du châssis par rapport à la ver- toticale est notée Ψ C ( t ) . On introduit un correcteur de fonction de transfert C ( p )qui élabore le signal w ( t ) (de transformée de Laplace W ( p ) ) à partir de l’écartε ( t ) = ΨC ( t ) – Ψ ( t ) .V.B.1) Compléter le schéma bloc de l’asservissement fourni sur le documentréponse en faisant apparaître la régulation de l’inclinaison.La régulation d’inclinaison du Segway® consiste à maintenir la consigne Ψ C ( t )nulle. Cette régulation est réalisée si, quelle que soit l’inclinaison α ( t )du conducteur, la sortie Ψ ( t ) converge vers Ψ C ( t ) , valeur nulle ici.Le conducteur agit directement sur la valeur de α ( t ) pour accélérer ou décélérer.Pour le système Segway®, conducteur exclu, le parmètre α ( t ) peut être consi-déré comme une perturbation.Un correcteur proportionnel C ( p ) = K C est envisagé.V.B.2) Calculer l’inclinaison Ψ ( t ) du châssis en régime permanent, lorsque laperturbation α ( t ) est un échelon d’amplitude α 0 . Le cahier des charges est-ilsatisfait ?Concours Centrale-Supélec 2005 15/16
  • SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière PSIUn correcteur proportionnel intégral C ( p ) = K i ⎛ 1 + --------- ⎞ est envisagé. ⎝ 1 - T i p⎠V.B.3) Démontrer que ce correcteur permet de satisfaire le cahier des chargesvis-à-vis de l’écart en régime permanent pour une perturbation en échelon.On souhaite dimensionner le correcteur. Pour cela, on étudie le schéma blocconstruit en V.B.1. et on considère alors α ( t ) ≡ 0 . La Fonction de Transfert enBoucle Ouverte est pour cet asservissement : FTBO ( p ) = C ( p )F 2 ( p ) .V.B.4) Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques et réels (allure unique-ment) de la fonction de transfert F 2 ( p ) et tracer les diagrammes de Bode asymp-totiques de la fonction de transfert du correcteur C ( p ) , en utilisant lesparamètres K i et T i . Préciser les valeurs caractéristiques sur les diagrammes. t 1 ωCOn impose ω i = ----- = ------- où ω C est la pulsation de coupure à 0dB de la FTBO - e Ti 10 .ncorrigée par le correcteur proportionnel intégral.V.B.5) Déterminer ω C telle que la marge de la FTBO ( p ) soit M ϕ = 45° . En rsdéduire la valeur de T i .V.B.6) Déterminer alors K i tel que ω C soit effectivement la pulsation de cou- upure à 0dB de la FTBO corrigée. oV.C - Vérification graphique des performances attendues cLe modèle de comportement précé- s DIDACSYDE REPONSE TEMPORELLEdent est utilisé en simulation pour 25 χ(t) en degrés uvérifier le pré-dimensionnement.Les performances de la correction 20 tosont étudiées grâce aux évolutionsde χ ( t ) = α ( t ) + Ψ ( t ) , qui représente 15l’angle d’inclinaison du conducteurpar rapport à la verticale. La consi- 10gne α ( t ) , imposée par le conducteur,est un échelon d’amplitude 20°. 5Après réglages définitifs l’évolutiontemporelle est obtenue figure 8. 0V.C.1) Conclure quant au respectdes critères de dépassement et de -50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Temps (s)précision associés à la fonction de Figure 8 : réponse temporelle χ(t)service FS2. ••• FIN •••Concours Centrale-Supélec 2005 16/16