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  • 1. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MP SCIENCES INDUSTRIELLESLe sujet comporte 8 pages dactylographiées et un document réponse. Train pendulaireL’extension du réseau dédié aux TGV est actuellement revue à la baisse en rai-son des coûts élevés et des délicats problèmes de l’impact de ces nouvelles voiesferrées sur l’environnement. Ainsi, la SNCF doit aujourd’hui adapter sa gammede matériels à ces nouveaux impératifs : construire moins de nouvelles lignes,mieux exploiter le réseau classique.Pour valoriser le réseau classique il est nécessaire de relever la vitesse au-delàde la barre des 160 km ⁄ h afin d’obtenir un gain de temps conséquent.Cependant pour assurer le confort du pas-sager lorsque le train aborde une courbe, ilfaut limiter la sensation physique due àl’accélération centripète. L’effet de lacourbe sur le passager peut être compensépar le dévers de voie qui rehausse le railextérieur relativement au rail intérieur.Sur les voies dédiées spécifiquement auxtrains à grande vitesse, les dévers sont suf-fisants pour assurer le confort du passager.Ils correspondent aux rayons de courbepour la vitesse de circulation «maximale».Le réseau classique admet un dévers insuf-fisant pour effacer les effets ressentis parle voyageur dans un virage abordé àgrande vitesse. Pour compenser cette Figure 1insuffisance, en plus du dévers de voie, ildevient nécessaire d’incliner la caisse de la voiture transportant le passager,c’est la pendulation.En France la pendulation n’est pas une idée neuve. Elle commence avec la voi-ture prototype Chartet-Mauzin construite en 1956 et a accompagné les débutsdu TGV : le TGV 001 en 1970, puis le TGV 002 commandé mais resté à l’état demaquette. Très développés sur le plan mécanique, ces systèmes ont souffert dumanque de performance des automatismes. Lancés trop tôt au regard des tech-Concours Centrale-Supélec 2000 1/16
  • 2. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MP Filière MPniques de l’époque, les véhicules pendulaires sont restés en France à l’état deprototypes. En revanche, l’Espagne avec le Talgo pendulare et l’Italie avec lesETR ont continué à développer le système pendulaire.Pour le TGV pendulaire, la traverse de pendulation suspendue au bogie seraplacée sous la suspension secondaire. Cette solution, a été retenue parce qu’elles’applique le mieux aux rames articulées : liaison intercaisse, suspension secon-daire et intercirculation restent identiques aux autres TGV (voir Figure 4).Ces investissements ne présentent un intérêt que si le gain de temps est suffi-sant. Pour cela, les trains devront pouvoir atteindre une vitesse de 220 km ⁄ hsur lignes classiques, ces lignes pouvant présenter des courbes d’un rayon de 1200 m . ÉTUDE FONCTIONNELLEQ.1 - Afin de mettre en évidence les fonctions remplies par le système dependulation et le dévers de voie de la caisse d’une voiture d’un matérielferroviaire, reproduire et compléter le diagramme FAST donné ci-dessous : (F.P.fonction principale ; F.T. fonction technique). FP FT FT système de 1 11 pendulation FT dévers de voie 12 Amortir et diminuer les FT Filtrer les irrégularités FT amplitudes des mouvements suspension primaire 2 des voies 21 du bogie par rapport au galiléen lié au sol Amortir et diminuer les FT amplitudes des mouvements suspension 22 de la caisse par rapport au secondaire bogie Figure 2Concours Centrale-Supélec 2000 2/16
  • 3. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MP ÉTUDE DES FONCTIONS FT11 ET FT12 Partie IAfin d’étudier l’ordre de grandeur du dévers que devrait avoir une courbe d’unrayon de 1200 m , abordée par un train non pendulé roulant à 220 km ⁄ h , consi-dérons le modèle très simplifié ci-après (voir figure 3).Le passager est modélisé par un point matériel M , de masse m , se déplaçant àla vitesse V ( M ⁄ R0 ) = – V M x 1 ( V M constante) en décrivant une trajectoire horizon-tale circulaire de centre O et de rayon R .Les repères et le paramétrage sont les suivants :• R 0 ( O ;x 0 , y 0 ,z 0 ) est galiléen ; l’axe ( O ;z 0 ) perpendiculaire au plan de la trajec- toire de M , est vertical ascendant et on désigne par g = – gz 0 l’accélération de la pesanteur ;• R 1 ( O ;x 1 , y 1 ,z 1 ) avec z 1 = z 0 , suit le point M dans son mouvement, tel qu’à tout instant OM = R y 1 et ( x 0 ,x 1 ) = ( y 0 , y 1 ) = ψ = ψ t ( ψ constant). ˙ ˙• R M ( M ;x C , y C, z C ) avec x C = x 1 , z C étant le vecteur directeur de la normale au plancher de la caisse de la voiture transportant le passager : ( y 1 , y C ) = ( z 0 , z C ) = α ( α constant). z0 = z1 zC z0 yC trajectoire de M O yC M y1 M y1 O x1 = xC y1 O y0 M z0 = z1 x0 x1 y0 x0 x1 Figure 3Q.2 - Écrire l’accélération du point M par rapport au repère R 0 en fonction deV M et R : a ( M ⁄ R0 ) .Q.3 - Soit A L = ( g – a ( M ⁄ R0 ) ) ⋅ y C l’accélération latérale équivalente "ressentie"par le passager. Déterminer l’angle de dévers α qui permettrait d’effacerConcours Centrale-Supélec 2000 3/16
  • 4. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPl’accélération latérale équivalente "ressentie" par le passager, c’est à dire pourlequel A L = 0 .Q.4 - Application numérique : calculer l’angle α en degrés pour les valeurs –2numériques suivantes : V M = 220 km ⁄ h ; R = 1200 m ; g = 10 m ⋅ s . Partie IILes dévers de voie des lignes classiques n’atteignent pas cette valeur.Considérons pour toute la suite que la courbe abordée a un rayon R = 1200 m et un angle de dévers de voie α v de 0, 11 rd soit 6, 3° . Nousl’appellerons désormais courbe de référence.Afin de mettre en évidence l’insuffisance de dévers de la courbe de référence,conservons le modèle simplifié de la partie I.Q.5 - Pour un train non pendulé et en négligeant l’effet de la suspension,α = α v . α v étant petit nous allons poser cos α v = 1 et sin α v = α v . Dans cesconditions, exprimer A L = ( g – a ( M ⁄ R0 ) ) ⋅ y C en fonction de V M , R , g et α .Q.6 - Répondre à cette question sur le document réponse donné en annexe.L’accélération latérale équivalente "ressentie" par le passager ne doit pas être –2 –2supérieure en valeur absolue à 1, 2 m ⋅ s . En prenant g = 10 m ⋅ s , calculerles valeurs numériques de :A L0 ( V M 0 ) pour V M0 = 0 ; V M1 pour A L1 ( V M 1 ) = 0 ; V M2 pour –2A L2 ( V M 2 ) = +1, 2 m ⋅ s et A L3 ( V M 3 ) pour V M 3 = 220 km ⁄ h .La courbe A L ( V M ) est donnée sur le document réponse. Sur cette courbe, noterles quatre points calculés.Q.7 - Appliquer le théorème de la résultante dynamique au passager enmouvement par rapport à R 0 . Écrire cette équation en projection sur y C et faireapparaître A L . Indiquer sur la courbe A L ( V M ) du document réponse les plagesde vitesses pour lesquelles : le voyageur est attiré vers l’intérieur du virage ; levoyageur est attiré vers l’extérieur du virage ; la compensation est suffisante ;la pendulation est nécessaire. Partie IIIDans cette partie on se propose d’estimer l’ordre de grandeur de l’angle de dé-vers que devra ajouter le système de pendulation.Pour toute la suite posons (voir Figure 4) α = α v + α 2 + α 3 avec :• α angle de dévers total,• α v angle de dévers de voie seule,• α 2 angle de dévers dû à la pendulation seule,• α 3 angle de dévers dû à la suspension secondaire seule.Concours Centrale-Supélec 2000 4/16
  • 5. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPQ.8 - L’accélération latérale équivalente "ressentie" par le passager ne doit pas –2être supérieure à 1, 2 m ⋅ s . En supposant α 3 négligeable, déterminer α 2 ( α 2petit) pour un passage de la courbe de référence à 220 km ⁄ h . ÉTUDE DU COMPORTEMENT DYNAMIQUE D’UNE VOITURE. zC Profil de la caisse (C) Anneau d’intercirculation yC y3 Suspension 3 secondaire G Traverse 3 pendulaire y3 2 y2 Châssis de 2 bogie y2 x1=x2 =x3=xC O2 v y1 Figure 4Afin d’étudier le système de pendulation développé par GEC Alstom pour leTGV, on adopte une modélisation plane et on considère un bogie sur lequelrepose une voiture.Les repères, les bases et le paramétrage seront désormais les suivants :• R 0 ( O ; x 0 , y 0, z 0 ) est galiléen ; l’axe ( O ; z 0 ) , est vertical ascendant et on dési- gne par g = – gz 0 l’accélération de la pesanteur ;• R 1 ( O ; x 1 , y 1, z 1 ) , avec z 1 = z 0 , suit le point O 2 dans son mouvement, tel qu’à tout instant : OO 2 = R y 1 , R = 1200 m ; ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ) = ψ = ψ t ˙ (ψ ˙ constant) ; V ( o 2 ⁄ R 0 ) = – V 2 x 1 et V 2 = 220 km ⁄ h ;Concours Centrale-Supélec 2000 5/16
  • 6. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MP• R 2 ( O 2 ; x 2 , y 2, z 2 ) , avec x 2 = x 1 , lié au bogie (2), z0 trajectoire de O2 étant le vecteur directeur de O2 la normale aux rails passant y1 O par O 2 : ( y 1 , y 2 ) = ( z 0 ,z 2 ) = α v et α v = 6, 3° . y0 x0• b 3 ( x 3 , y 3 ,z 3 ) , avec x 3 = x 1 , lié x1 à la traverse pendulaire (3) : ( y2 , y3 ) = ( z2 ,z3 ) = α2 ;• R C ( G ; x C , y C, z C ) , avec x C = x 1 , lié à l’anneau d’intercirculation ( C ) : ( y3 , yC ) = ( z3 ,zC ) = α3 .• G est le centre d’inertie du solide ( C ) , supposé indéformable, constitué de l’anneau d’intercirculation et d’une caisse de voiture supportés par le bogie étudié. Soit m C = 50000 kg la masse de ( C ) . ( C ) a pour matrice d’inertie dans la base ( x C , y C, z C ) : AC 0 0 [ I ( G ,( C ) ) ] = 0 BC 0 avec A C = 2 m C et C C – B C = 0, 6 m C ; 0 0 CC ( xC , yC ,zC ) 2 A C , B C et C C en kg ⋅ m . Partie IDans un système de pendulation passive il n’y a pas d’actionneur, la voiturepeut s’incliner naturellement dans un virage en s’appuyant sur la suspension.Dans cette partie on se propose de rechercher la position de l’axe de rotation dela voiture qui permettrait d’ajouter un dévers α 3 de 5° au dévers de voie de lacourbe de référence lorsqu’elle est abordée à 220 km ⁄ h . Pour effectuer une étudesuccincte de cette solution adoptons le modèle simplifié suivant.La traverse pendulaire n’existant pas dans ce type de solution, posons α 2 = 0 .Le mouvement du repère R C par rapport au repère R 2 sera considéré comme unmouvement de rotation d’axe ( I ;x 1 ) fixe dans R 2 avec GI = az C a constant.Concours Centrale-Supélec 2000 6/16
  • 7. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPL’action de la suspension secondaire sur le solide ( C ) sera modélisée par untorseur :   R( S → C ) ; MI (S → C)   avec : MI (S → C) 2 = – 2d b K zb α 3 x 1 ;  I• d b demi-distance entre deux ressorts de suspension : d b = 1 m ; 5 –1• K zb raideur verticale de la suspension secondaire K zb = 3, 6 10 N ⋅ m .Les actions mécaniques prises en compte sont :• l’action de la pesanteur sur le solide ( C ) ;• l’action de la suspension secondaire sur le solide ( C ) .α v et α 3 étant petits, posons cos ( α v + α 3 ) = 1 et sin ( α v + α 3 ) = α v + α 3 . On seplace en régime établi, α 3 = constante. Rappelons que α 2 = 0 .Q.9 - Établir la relation entre R , ψ et V 2 . ˙Q.10 - On note δ I ( ( C ) ⁄ R 0 ) ⋅ x 1 la projection sur x 1 du moment dynamique en Idu solide ( C ) en mouvement par rapport à R 0 . Exposer clairement la démarchequi sera adoptée pour aborder la détermination de δ I ( ( C ) ⁄ R 0 ) ⋅ x 1 , en se limitantà l’écriture des relations vectorielles nécessaires. Ces calculs de cinétique neseront pas développés dans cette question.Q.11 - Il est raisonnable de faire l’approximation suivante :V ( O2 ⁄ R ) = V ( G ,( C ) ⁄ R0 ) . Justifier cette hypothèse. 0Q.12 - Déterminer δ I ( ( C ) ⁄ R 0 ) ⋅ x 1 selon ladémarche exposée en Q.10 avec l’hypothèsedonnée en Q.11, en fonction des paramètresgéométriques, de la masse du solide ( C ) , desmoments d’inertie concernés et de la vitesse 2,6 mV 2 du train. 3mQ.13 - Écrire l’équation scalaire issue de Gl’application du théorème du momentdynamique, en I en projection sur x 1 , 1,30 mappliqué au solide ( C ) en mouvement parrapport à R 0 .Q.14 - En déduire a , puis faire l’application 0,5 m 1,45 mnumérique. Figure 5Q.15 - Considérons le profil extérieur de lavoiture défini par la figure 5. Placer I par rapport à ce profil, et esquisser ceprofil incliné de 5° . Quel est le principal inconvénient de cette solution mis enévidence par cette étude graphique ?Concours Centrale-Supélec 2000 7/16
  • 8. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPC’est la solution adoptée pour le Talgo pendulare qui admet un angle de pendu-lation de 3° maximum. Elle nécessiterait une modification de la suspension duTGV et de plus elle n’est pas entièrement satisfaisante pour le confortdes passagers. Partie -IIOn se propose d’étudier le système de pendulation développé par GEC Alstompour le TGV. Afin d’élaborer un modèle satisfaisant pour une étude en dynami-que de l’actionneur, commençons par une étude de la cinématique de ce système. Biellettes L1 et L2 A C Châssis de 2 bogie B D Traverse 3 pendulaire E H Vérin Figure 6Il est composé d’un vérin, qui est l’élément actionneur permettant l’inclinaisonforcée de la traverse pendulaire. z2 Figure 7 0,394 m A C Biellette 0,45 m Châssis de 2 bogie y2 B D Traverse 3 0,6 m pendulaireCelle-ci est suspendue au bogie grâce à deux biellettes L 1 et L 2 , dont le mouve-ment de rotation en roulis est libre afin de ne pas empêcher son inclinaison. Cesystème incline l’anneau d’intercirculation placé entre deux voitures. Les biel-lettes L 1 et L 2 sont en liaisons pivot d’axes respectivement ( A ; x 1 ) et ( C ; x 1 )avec le châssis du bogie et en liaisons pivot d’axes ( B ; x 1 ) et ( D ; x 1 ) avec la tra-Concours Centrale-Supélec 2000 8/16
  • 9. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPverse pendulaire. Le corps du vérin est en liaison sphérique de centre E avec lechâssis du bogie et le piston en liaison sphérique de centre H avec la traversependulaire.Le schéma cinématique simplifié de la figure 7 représente le système d’inclinai-son de la caisse de la voiture en position médiane : α 2 = 0 .Q.16 - Répondre sur le document réponse donné en annexe. Pour la positionmédiane représentée sur cette figure, tracer le support de la vitesse du point Bde la traverse pendulaire ( 3 ) en mouvement par rapport au châssis de bogie( 2 ) : V ( B ,3 ⁄ 2 ) . Faire de même avec V ( D ,3 ⁄ 2 ) . Placer alors sur ce dessin le centreinstantané de rotation du mouvement de ( 3 ) par rapport à ( 2 ) . Ce point seranoté I 32 .Q.17 - Répondre sur le document réponse donné en annexe. La figure dudocument réponse représente le système de pendulation lorsque le châssis debogie est incliné de 6, 3° par rapport à l’horizontale du lieu et lorsque la traversependulaire est inclinée de +5° par rapport au châssis de bogie. Pour cettenouvelle position de la traverse pendulaire ( 3 ) , placer le centre instantané derotation du mouvement de ( 3 ) par rapport à ( 2 ) . Partie IIICette étude a pour but de mettre en évidence le moment de rappel exercé sur lacaisse de voiture et de prédimensionner le vérin. Pour cela une étude graphiqueest suffisante. On se place dans le cas où le système de pendulation est en régi-me établi pour l’inclinaison maximum de la voiture qui aborde à 220 km ⁄ h lacourbe de référence. Pour conduire cette étude nous allons prendre comme réfé-rence le repère R 1 et adopter le modèle simplifié ci-après.On néglige les masses de la traverse pendulaire, de la suspension secondaire, duvérin et des biellettes par rapport à la masse de la voiture.Nous allons négliger l’inclinaison due à la suspension secondaire, α 3 = 0 .Les actions mécaniques prises en compte qui s’exercent sur le solide ( C ) sont :• l’action de la pesanteur sur le solide ( C )Pour toute la suite l’ensemble { ( C ) , suspension secondaire, traverse pendulai-re} est considéré comme un solide indéformable et est désigné simplement ( C ) .• l’action centrifuge sur le solide ( C ) . À travers l’application numérique de l’étude dynamique, effectuée en Q.14, on peut montrer qu’il est raisonnable de modéliser cette action par un glisseur :    Q y 1 ;0  ; Q = 156000 N ;  GToutes les liaisons sont supposées parfaites.Concours Centrale-Supélec 2000 9/16
  • 10. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPLes hypothèses retenues permettent de se placer dans le cadre d’un problèmeplan, le plan ( O 2 ; y 1 ,z 1 ) . Figure 8 G Châssis de bogie 2 C 1,10 m A Solide (C), Suspension (C) et Traverse pendulaire 3 D’ 0,586 m 0,143 m H B’ 0,575 m z1 E 0,424 m vérin v= 6,3° y1Q.18 - Répondre sur le document réponse donné en annexe.  Soit G :  G ;0  l’action résultante de l’action de la pesanteur et de l’action  Gcentrifuge. G est un glisseur, tracer son support, représenter G et déterminergraphiquement G (donner un résultat en N ). Prendre comme échelle desforces : 1 cm pour 50000 N .À l’aide du dessin, calculer le moment de G en I 32 et en projection sur x 1 :MI 32 ⋅ x1 .Q.19 - Quel est l’intérêt de ce choix de la position relative de I 32 par rapport àG ?Q.20 - L’action résultante des deux actions exercées par les biellettes L 1 et L 2sur la traverse pendulaire est modélisable par un glisseur K :  K ;0    . Indiquer  Kla position d’un point K de l’axe central de ce glisseur. Justifier brièvement sansaucun calcul.Concours Centrale-Supélec 2000 10/16
  • 11. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPQ.21 - Quel est le support de l’action de la tige du vérin sur la traversependulaire ? Justifier brièvement.Q.22 - Sur le document réponse effectuer graphiquement l’étude de l’équilibredu solide ( C ) dans R 1 , en prenant comme échelle des forces : 1 cm pour50000 N . En déduire l’intensité de l’action du vérin sur la traverse pendulaire. ÉTUDE DE L’ASSERVISSEMENT EN ROULIS D’UNE VOITURE PENDULÉELes actionneurs utilisés dans les systèmes de pendulation active sont des vérinshydrauliques, pneumatiques ou électromécaniques. L’étude suivante corres-pond à la solution du vérin hydraulique unique double effet piloté par une servo-valve.Le but de l’étude est donc l’asservissement en position angulaire de l’ensemble{traverse pendulaire, caisse de la voiture}. La consigne de position angulaire àobtenir est calculée à partir d’informations provenant de capteurs (accéléromè-tres…) implantés sur les différentes voitures du train. La gestion de ces infor-mations n’est pas abordée dans l’étude proposée.Le modèle retenu correspond à l’étude préliminaire du système qui devra êtreréalisée sur un banc d’essai fixe. Partie ILa Figure 9 représente le sché- Figure 9 Ima de principe retenu pourl’installation.La charge à déplacer est la Bogiecaisse de la voiture penduléequi est modélisée par un solide α2 (C)( C ) . Ce solide ( C ) est en liaison Courant i(t) Servo-pivot d’axe ( I ,x ) avec le bogie valvefixe du banc d’essai. Débit q(t)La servo-valve est un organe E H ycommandé par un courant i ( t ) Vérinet permettant d’obtenir un débitd’huile q ( t ) proportionnel au courant d’alimentation.Ce débit q ( t ) correspond à l’alimentation d’un vérin double effet (actionneur dusystème).Le vérin développe une force F ( t ) qui va permettre de mettre en rotation lacharge ( C ) .Concours Centrale-Supélec 2000 11/16
  • 12. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPUn capteur de position permet de connaître la position y de la tige du vérin parrapport au corps de vérin.Un correcteur permet d’élaborer une tension de commande u ( t ) qui, via un con-vertisseur tension-courant, génère le courant i ( t ) qui alimente la servo-valve.On notera :• y la position de la tige du vérin,• α 2 la position angulaire du solide ( C ) (pour y = 0 et α 2 = 0 on a IH⊥EH ) IH = R .Hypothèse : y et α 2 étant petits, on considère y = Rα 2 . L’étude de l’asservisse-ment en position angulaire du solide ( C ) revient donc à l’étude de l’asservisse-ment en position de la tige de vérin.Q.23 - Donner le schéma bloc permettant de décrire le dispositifd’asservissement de la position y de la tige de vérin à la position de consigne y c .Pour cette question, l’huile circulant dans le vérin pourra être assimilée à unfluide incompressible ou compressible. Préciser uniquement les noms descomposants de chaque bloc ainsi que les grandeurs physiques intermédiaires etleurs unités. α 2 et R n’interviennent pas à ce niveau. Partie IILa modélisation du comportement du vérin et de sa charge sera menée à partirdes éléments suivants :• le débit q ( t ) délivré par la servo-valve et entrant dans le vérin est relié à la pression σ ( t ) existant dans le vérin par la relation : dy V 0 dσ q ( t ) = 2S ------ + ------ ------ - - - dt b dtS : section du vérin σ : pression utile dans le vérinVo : demi volume du vérin b compressibilité de l’huiley : position de la tige de vérin• la charge est constituée du solide ( C ) qui admet J comme moment d’inertie par rapport à l’axe ( I, x ) ;• le moment de rappel appliqué à ( C ) et introduit par l’étude mécanique sera modélisée par un couple de moment – µα 2 x .Le mouvement α 2 ( t ) du solide C est déterminé par la relation : 2 d α2 J ------------ = F ⋅ R – µα 2 . 2 dtConcours Centrale-Supélec 2000 12/16
  • 13. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MPOn note : dy ( t ) V ( p ) = L [ v ( t ) ] la transformée de Laplace de v ( t ) = ------------- , - dt dv ( t ) dv ( t ) Γ ( p ) = L ------------- la transformée de Laplace de ------------- , - - dt dt Q ( p ) = L [ q ( t ) ] la transformée de Laplace de q ( t ) , Σ ( p ) = L [ σ ( t ) ] la transformée de Laplace de σ ( t ) .Q.24 - Reproduire et compléter le schéma bloc de la figure 10 représentant leséquations de comportement du vérin. Ce schéma admet Q ( p ) comme entrée etY ( p ) comme sortie. (Préciser la transmittance de chaque bloc ainsi que lessignes des entrées des comparateurs). µ J On notera k = ------ et M = ------ . - 2 - 2 R R Figure 10 Q(p) Σ(p) F(p) Γ(p) V(p) Y(p) 1/pQ.25 - Déterminer la fonction de transfert entre la position de la tige du vérinet le débit d’huile entrant dans le vérin : Y ( p) H 1 ( p ) = ------------- en fonction de b , k , M , S et Vo . Q( p)Discuter la stabilité du système représenté par cette fonction de transfert. Partie IIILe contrôle de l’amortissement du vérin peut être abordé en mettant en œuvreune des deux solutions suivantes :• Première solutionUn débit de fuite réglable est créé entre les deux chambres du vérin. Le débitréel utile entrant dans le vérin est alors q ( t ) – λ ⋅ σ ( t ) (avec q ( t ) = débit sortantde la servo-valve).Q.26 - Indiquer la modification à apporter au schéma bloc demandé à laquestion Q.24. (Porter, dans une couleur différente, cette modification sur leschéma que vous avez tracé pour répondre à la question Q.24).Concours Centrale-Supélec 2000 13/16
  • 14. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MP Y ( p)Q.27 - Déterminer la nouvelle fonction de transfert H 2 ( p ) = ------------- . Q( p)Discuter la stabilité du système représenté par cette fonction de transfert. Don-ner un inconvénient majeur de cette solution.• Deuxième solutionLa solution du débit de fuite n’est pas retenue. On envisage une architecturecomposée d’une boucle de vitesse et d’une boucle de position. Le système peutalors se ramener au schéma bloc de la figure 11. δ Vc (p) + U(p) I(p) Q(p) V(p) Y(p) + p2 50 C’(p) C(p) A G 1+ 1/p - - β2 1+τp g Figure 11 hQ.28 - On s’intéresse à la correction de la boucle de vitesse. Le schéma ci-dessusmontre que cette correction est réalisée par l’ensemble constitué d’un correcteurproportionnel C ( p ) = γ et d’un terme 1 + τp placé en aval du capteur de vitesse.Déterminer la fonction de transfert : V ( p) H 3 ( p ) = --------------- . - V c( p) 0 aPrésenter H 3 ( p ) sous la forme littérale canonique : -------------------------------------- . 2 1 + b1 p + b2 pDiscuter la stabilité du système représenté par cette fonction de transfert.Les valeurs numériques suivantes seront utilisées pour répondre à la suite decette question : 1 3 –1 –1 –1 –1 –2 –1 A ⋅ G = -------- m ⋅ s ⋅ V - ; g = 10 V ⋅ m ⋅ s ; δ = 28, 1 m ; β = 77 rd ⋅ s 300En utilisant les abaques donnés sur la figure 12, déterminer numériquement γet τ pour respecter un dépassement de 10% par rapport au régime permanentet un temps d’établissement à 5 % de 0, 017 s dans la boucle de vitesse. Les aba-ques correspondent à un système du second ordre décrit par sa fonction detransfert : 1 H ( p ) = --------------------------------- . - 2 2ξ p 1 + ----- p + ----- - - ω0 ω 2 0Concours Centrale-Supélec 2000 14/16
  • 15. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MP 18 Temps de mont ée tm et temps ω0 tm 16 détablissement t e à 5% en régime i ndiciel en fonction de ω0 te l amortissement 14 ω0 te ω0 tm 12 10 8 6 4 2 ξ 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 100 Dépassement en régime i ndiciel D% 90 ∆φ=5° pour un système du second ordre en fonction de lamortissement 80 ∆φ=10° 70 ∆φ=15° 60 ∆φ=20° 50 ∆φ=25° ∆φ=30° 40 ∆φ=35° 30 ∆φ=45° 20 ∆φ=60° 10 ∆φ=70° ξ 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Concours Centrale-Supélec 2000 15/16
  • 16. SCIENCES INDUSTRIELLES Filière MP Partie IVUn ensemble servo-valve et vérin associé à une structure de correction internea été retenu. L’architecture est représentée par la figure ci-dessous : Yc(p) + Y(p) 50 C’(p) H4(p) 1/p - h Figure 13La position y de la tige du vérin est mesurée par un capteur de gain –1h = 50 V ⋅ m .La boucle de position est corrigée par un correcteur proportionnel C′ ( p ) de gainν.La fonction de transfert H 4 ( p ) est représentée par les diagrammes de Bode (mo-dule et phase) donnés sur le document réponse.Q.29 - Déterminer la valeur du gain ν du correcteur C′ ( p ) permettant d’assurerune marge de phase de 60° de l’asservissement en position. (Vous justifierezvotre réponse en indiquant, sur les courbes de Bode du document réponse 29, lesvaleurs utilisées et en indiquant, sur votre copie, l’utilisation faite de cesvaleurs).Déterminer l’erreur en régime permanent du système, en réponse à une consi-gne en échelon unitaire. ••• FIN •••Concours Centrale-Supélec 2000 16/16

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