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El metodo-hungaro
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  • 1. EL MÉTODO HÚNGAROEste algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que elempleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que puedenpresentar los problemas de asignación. Las fases para la aplicación del método Húngaro son:Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; sedebe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrarpara esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A continuación se debe construir unanueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo desu columna.Paso 2: (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Consiste en trazar el númeromínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que serequieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneaspara cubrir todos los ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Sise requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. Elnúmero de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta esemomento se pueden realizar.Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costosreducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; a continuación se deberestar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elementode la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Por último se deberegresar al paso 2.Notas:1. Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la función objetivo, sedebe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (-1) y resolver el problema como uno deminimización.2. Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, el problema deasignación está desbalanceado. El método Húngaro puede proporcionar una solución incorrecta siel problema no está balanceado; debido a lo anterior, se debe balancear primero cualquierproblema de asignación (añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante elmétodo Húngaro.3. En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de filas necesariaspara cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se puede demostrar que si se necesitan jlíneas para cubrir todos los ceros, entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costocero en la matriz actual; esto explica porqué termina cuando se necesitan m líneas.Mediante el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la manera de aplicar el método Húngaro a lasolución de un problema de asignación de minimización:Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatro máquinas;las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tabla adjunta; el tiempo alaborar por cada operario en cada una de las máquinas se pretende que sea mínimo, para lo cualse busca la asignación óptima posible. OPERARIOS MAQUINAS 1 2 3 4 Antonio 10 14 16 13 Bernardo 12 13 15 12 Carlos 9 12 12 11 Diego 14 13 18 16
  • 2. Planteamiento del Modelo Primal:MIN W = 10 X11+ 14 X12+ 16 X13+ 13 X14+ 12 X21+ 13 X22+ 15 X23+ 12 X24+ + 9 X31+ 12X32+ 12 X33+ 11 X34+ 14 X41+ 16 X42+ 18 X43+ 16 X44sujeto a las siguientes restricciones:Aplicando el método Húngaro tenemos: 1 2 3 4 A 10 14 16 13 B 12 13 15 12 C 9 12 12 11 D 14 16 18 16Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada unade las filas correspondientes: 1 2 3 4 A 0 3 6 3 B 0 1 3 0 C 0 3 3 2 D 0 2 4 2En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal quecubran todos los ceros (Método de Flood): 1 2 3 4 A 0 3 3 3 B 0 0 0 0 C 0 2 0 2 D 0 1 1 2En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal quecubran todos los ceros (Método de Flood):
  • 3. 1 2 3 4 A 0 2 3 2 B 1 0 1 0 C 0 1 0 1 D 0 0 1 1Solución Optima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en lamáquina 1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3(12 horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas).La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de lasmáquinas.Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo.Cuando se tiene un problema de asignación de maximización se puede resolver de las siguientesformas: o Se multiplica la función objetivo por menos uno y se resuelve como un problema de minimización. o Se determina el costo más elevado de la tabla, se resta este costo de todos los elementos del tablero y se resuelve como un problema de minimización.PROBLEMA DE ASIGNACIÓN GENERALIZADO Si suponemos que existen m trabajadores y cada uno de ellos tiene cierta cantidad de recursosdisponibles y existen n tareas que deben llevarse a cabo, el problema de asignación generalizadopuede plantearse de la siguiente manera:Sujeta a:bj: Cantidad de recursos para el i - esimo trabajadorrij: Recursos del trabajador i – ésimo necesarios para realizar laj – ésima tarea.Cij: Costo para que el trabajador i – ésimo lleve a cabo la j – ésima tarea.El primer conjunto de restricciones asegura que no se utilizan más recursos de los que estándisponibles para cada trabajador; el segundo conjunto de restricciones afianza el hecho que cadauno de los trabajos lo lleva a cabo un solo trabajador.

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