1. MODEL INDEKS TUNGGAL
KELOMPOK 7
NAMA ANGGOTA :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
OCTAVIA ENDANG
PUNGKY RETNO.P.
ANISA NUR HAYATI
YULIANA KRISTANTI.H.
YOGI YUDHA P.
DEVY FITRIAWAN
RAMA SAN CAHYA
JAN QOMATULLAH

2. William Sharpe mengembangkan model
yang disebut dengan model indeks tunggal.
Dimana model ini digunakan untuk
menyederhanakan perhitungan di model
Markowitz dan juga digunakan untuk
menghitung return ekspektasian dan risiko
portofolio.

3. MODEL INDEKS TUNGGAL
• Model indeks tunggal didasarkan pada
pengamatan bahwa harga dari suatu
sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks
pasar.
• Hal ini menyarankan bahwa return-return
dari sekuritas mungkin berkorelasi karena
adanya reaksi umum (common response)
terhadap perubahan-perubahan nilai pasar.

4. Dengan dasar ini, return sekuritas ke-i dapat
dirumuskan:
Ri = ai + βi . RM
ai = αi + ei
Ri = αi + βi . RM + ei
Keterangan:
• Ri = retrun sekuritas ke i
• RM = tingkat retrun dari indeks pasar
• ai = kompenen dari retrun sekuritas ke-i
• βi = beta (dibahas bab 11)
• αi = nilai ekspektasian dari return pasar yg
independen thdp return pasar
• ei = kesalahan residu

5. Komponen Model Indeks Tunggal
• Model indeks tunggal membagi return
sekuritas ke dalam dua komponen utama,
yaitu:
1.Komponen return yang unik dan independen
terhadap return pasar (αi).
2.Komponen return yang berhubungan dengan
return pasar (βi).

6. • Model indeks tunggal juga dinyataka dalam
retrun ekspektasian, dirumuskan:
E(Ri) = E(αi) + E(βi . RM) + E(ei)
E(Ri) = αi + βi . E(RM)
Contoh:
Diketahui return ekspektasian dari indeks pasar
adalah 25%. Bagian dari retrun ekspaktasian suatu
sekuritas yg independen thdp pasar (αi) adalah 4%
dan βi sebesar 0,75. Ternyata return realisasi sebesar
26%.

7. • Jawaban:
E(Ri) = αi + βi . E(RM)
E(Ri) = 4% + 0,75 . 25%
E(Ri) = 22,75%
Jadi nilai retrun realisasi berdasarkan model indeks
tunggal adalah Ri = 22,75% + ei. Dan kesalahan
estimasi (ei) adalah sebesar 26% - 22,75% = 3,25%
Jika nilai retrun realisasinya sama dengan nilai
retrun
yang
diharapkan,
maka
investor
mengestimasi retrun ekspektasian tanpa kesalahan.

8. Asumsi Model Indeks Tunggal
• Kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak
berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j
atau ei tidak berkovari (berkorelasi) dengan ej
untuk semua nilai dari i dan j. Asumsi ini secara
matematis dapat dituliskan sebagai:
Cov (ei,ej) = 0
E (ei.ej) = 0

9. • Return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu
untuk setiap sekuritas (ei) merupakan variabelvariabel acak. Oleh karena itu, ei tidak berkovari
dengan return indeks pasar, RM. Asumsi ini
dapat dinyatakan secara matematis sebagai:
Cov (ei,RM) = 0
E (ei.[RM-E(RM)]) = 0

10. VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL
INDEKS TUNGGAL
Secara umum varians return dari suatu sekuritas
sebagai berikut:
Ri = αi + βi . RM + ei
disubtitusikan
E(Ri) = αi + βi . E(RM)
Maka rumus varian return sekuritas
berdasarkan model indekstunggal
sebagai berikut:

11. Resiko (varian retrun) sekuritas yang dihitung
berdasarkan model ini terdiri dari dua
bagian:
1. Resiko yang berhubungan dengan pasar
(market related risk), yaitu:
2. Resiko untuk masing – masing perusahaan
(unique rsik), yaitu:

12. Contoh A:
• Retrun saham PT.A dan return indeks pasar selama 7
periode dan rata-rata aritmatikanya adalah sebagai
berikut:
Periode
Retrun saham
Retrun Indeks
ke-t
PT.A (RA)
Pasar (RM)
1
2
3
4
5
6
7
0,060
0,077
0,095
0,193
0,047
0,113
0,112
0,040
0,041
0,050
0,055
0,015
0,065
0,055
Rata-rata
aritmatika
0,09957
0,04586
Diketahui αi dan βi adalah konstan dari waktu ke waktu.
Dan βA untuk sekuritas PT.A adalah 1,7.

13. Hitunglah :
1.
2.
3.
4.
5.
1.
Nilai ekspektasian PT.A (αA)
Nilai ekspektasian dari kesalahan residu E(eA)
Varian dari kesalahan residu
Varian dari retrun pasar
Total resiko berdasarkan model indeks tunggal dan varian
retrun sekuritas.

14. Period
e ke-t
1
2
3
4
5
6
7
eA,t = RA,t - αA – (ΒA . RM,t)
eA,1=0,060-0,0216-(1,7.0,040)=-0,0296
2.
eA,2=0,077-0,0216-(1,7.0,041)=-0,0143
E(eA) = (-0,0296-0,0143-0,0116+0,0779
eA,3=0,095-0,0216-(1,7-0,050)=-0,0116
+0,0001-0,0191-0,0031) / (7-1)
eA,4=0,193-0,0216-(1,7-0,055)=0,0779
=0
eA,5=0,047-0,0216-(1,7-0,015)=0,0001
eA,6=0,113-0,0216-(1,7-0,065)=0,0191
eA,7=0,112-0,0216-(1,7-0,055)=0,0031
3. 𝜎𝑒𝐴2 = [(−0,0296 − 0)2 + (−0,0143 − 0)
+(-0,0116-0)2 + (0,0779 − 0)2
+(0,0001-0)2 + (−0,0191 − 0)2
+(-0,0031-0)2 ]/(7 − 1)
= 0,0068/6
𝟒. 𝛔 𝐌 𝟐 =
= 0,00128
𝟎, 𝟎𝟒𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔
+ (𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔) 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔
+ 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔
+ 𝟎, 𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 /(𝟕 − 𝟏)
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝟔/𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔
𝟐
𝟐
𝟐

15. 5a.total resiko berdasarkan model indeks tunggal
𝜎 𝐴 2 = 𝛽 𝐴 2 . 𝜎 𝑀 2 + 𝜎𝑒 𝐴 2
= 1,7 2 . 0,00026 + 0,00128
= 0,002
b. Total resiko berdasarkan varian retrun sekuritas
𝜎𝐴2 = [(0,060 − 0,09957)2 + 0,077 − 0,09957 2
+ 0,095 − 0,09957 2 + 0,193 − 0,09957 2
+ 0,047 − 0,09957 2 + 0,113 − 0,09957 2
+ 0,112 − 0,09957 2 ]/(7 − 1)
= 0,002

16. KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS MODEL
INDEKS TUNGGAL
Rumus kovarian retrun antar dua sekuritas:
𝝈 𝒊𝒋 = 𝑬
Ri,j = αi + βi . RM + ei
E(Ri,j) = αi + βi . E(RM)
𝑹𝒊 − 𝑬 𝑹𝒊 .
𝑹𝒋 − 𝑬 𝑹𝒋
disubtitusikan
𝝈 𝒊𝒋 = 𝜷 𝒊 . 𝜷 𝒋 . 𝝈
𝑴
𝟐
Contoh :
Dua buah sekuritas A dan B masing-masing mempunyai Beta yaitu
βA=1,7 dan βB=1,3. Varian return dari indeks pasar diketahui sebesar
0,00026. Kovarian antara sekuritas A dan B adalah :
Jawab :
σij= βA . βB . σM²
= 1,7 . 1,3 . 0,00026
= 0,00057

17. PARAMETER – PARAMETER INPUT UNTUK
MODEL MARKOWITZ
Model indeks tunggal dapat digunakan
untuk menghitung return ekspektasi (E(Ri)),
varians dari sekuritas (σi2), dan kovarians
antar sekuritas (σij) yang merupakan
parameter-parameter input untuk analisis
portofolio menggunakan model Markowitz.

18. Contoh B:
Periode
Ke-t
Return saham
PT ‘A’ (RA)
Return
saham PT ‘B’
(RB)
Return index Pasar (RM)
1
2
3
4
5
6
7
0,060
0,077
0,095
0,193
0,047
0,113
0,112
0,15
0,25
0,30
0,40
0,27
0,15
0,55
0,040
0,041
0,050
0,055
0,015
0,065
0,055
Rata-rata
0,09957
0,2957
0,04586
Setelah perhitungan seperti contoh A :
Diketahui :
𝛽𝐴 = 1,7, 𝜎𝐴2 = 0,02, 𝜎𝑀2 = 0,00026,
𝛽𝐵 = 1,3, 𝜎𝐵2 = 0,01998, 𝑊𝐴. 𝐵 = 0,5

19. Hitunglah
1) Kovarian antara return PT.A dan PT.B
2) Resiko portofolio berdasarkan model indeks
tunggal
Jawab :
1.𝝈𝑨. 𝑩 = 𝜷𝑨. 𝜷𝑩. 𝝈𝑴 𝟐
= 1.7.1,3.0,00026
= 0,00057
2. 𝝈𝒑 𝟐 = 𝑾𝑨 𝟐 . 𝝈𝑨 𝟐 + 𝑾𝑩 𝟐 . 𝝈𝑩 𝟐 + 𝟐. 𝒘𝑨. 𝒘𝑩. 𝝈𝑨𝑩
= (𝟎, 𝟓) 𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 + (𝟎, 𝟓) 𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟗𝟖 + 𝟐 . 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕
= 0,0035

20. ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKAN MODEL
INDEKS TUNGGAL
1.
Return Ekspektasi Portofolio
𝒏
𝑬 𝑹𝑷 =
𝒘 𝒊. 𝜶 𝒊 +
𝒊=𝟏
2.
𝒏
𝒘 𝒊 . 𝜷 𝒊 . 𝑬(𝑹 𝑴 )
𝒊=𝟏
Resiko Portofolio
𝒏
𝝈𝒑𝟐 =(
𝒏
𝒘 𝒊 . 𝜷 𝒊 ) 𝟐 . 𝝈𝑴 𝟐 + (
𝒊=𝟏
𝒘 𝒊 . 𝝈 𝒆𝒊 ) 𝟐
𝒊=𝟏

21. Contoh C:
Jumlah sekuritas (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
50
100
200
500
1,000
5,000
10,000
jumlah parameter yang harus dihitung
model Makrowitz
model indeks tunggal
n + (n.(n-1)/2
(2.n+1)
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
210
1,275
5,050
20,100
125,250
500,500
12,502,500
50,005,000
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
41
101
201
401
1,001
2,001
10,001
20,001

22. Dari contoh A dan B, telah dihitung besarnya 𝝈𝑴 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔, 𝝈𝒆𝑨 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖
dan 𝝈𝒆𝑩 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟓𝟒. diketahui 𝜷 𝒂 = 𝟏, 𝟕, 𝜷 𝑩 = 𝟏, 𝟑, wA = 0,5 dan wB = 0,5.
Maka risiko portofolio yg dihitung berdasarkan model indeks tunggal:
𝒏
𝝈𝒑𝟐 =(
𝒏
𝒘 𝒊 . 𝜷 𝒊 ) 𝟐 . 𝝈𝑴 𝟐 + (
𝒊=𝟏
𝒘 𝒊 . 𝝈 𝒆𝒊 ) 𝟐
𝒊=𝟏
= (𝟎, 𝟓 . 𝟏, 𝟕 + 𝟎, 𝟓 . 𝟏, 𝟑) 𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔 + (𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟓𝟒) 𝟐
= 0,000585 + 0,0001084
= 0,0006934
Semakin banyak sekuritas dalam portofolio maka nilai resiko
yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dan akan
bernilai nol jika jumlah sekuritas semakin besar. Resiko
portofolio yang terdiversifikasi dengan baik hanya terdiri dari
unsur sistematik saja.
𝝈 𝑷 𝟐 = 𝜷 𝑷 𝟐. 𝝈
𝑴
𝟐

23. MODEL PASAR
Merupakan bentuk dari model indeks tunggal
dengan batasan yang lebih sedikit. Bentuk model
pasar yang sama dengan bentuk model indeks
tunggal mempunyai return dan return ekspektasian
sebagai berikut :
Ri = αi + βi . RM + ei
dan
E(Ri) = αi + βi . E(RM)

24. PORTOFOLIO OPTIMAL BERDASARKAN MODEL
INDEKS TUNGGAL
ERB i
E Ri
R BR
Bi
a
Dimana :
ERBi= excess return to beta securities
E(Ri)= Ekspektasi return berdasarkan model
indeks tunggal untuk sekuritas i
RBR = Return bebas resiko
Bi = Beta Sekuritas i

25. Langkah-langkah
untuk
menentukan
besarnya titik pembatas adalah sebagai berikut :
1. Urutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB
terbesar ke kecil, yang terbesar merupa-kan
kandidat untuk dimasukkan ke dalam
Portofolio Optimal
2. Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing
sekuritas ke i, sebagai berikut
Ai
E Ri
R BR . B i
2
ei
2.a
Bi
Bi
2
ei
2.b

26. 3. Menghitung nilai Ci
2
Ci
σm
1
σ
Ai
2
m
Bi
3.a
σm2 = varian dari return Indeks Pasar.
Dengan mensubstitusikan nilai Ai dan Bi maka
rumus Ci menjadi C*
4. Besarnya cut off point (C*) adalah nilai Ci yang
terbesar
Sekuritas yang membentuk Portofolio Optimal
adalah sekuritas yang mem-punyai nilai ERB
lebih besar atau sama nilainya. ERB di titik C*
adalah nilai ERB yang kecil, tidak disertakan
dalam pem-bentukan Portofolio Optimal.

27. 5. Menentukan besarnya proporsi sekuritas
xi
wi
zi
5.a
xi
i
2
ei
ERB i
C*
5.b
wi = Proporsi Sekuritas
k = jumlah sekuritas di portofolio
= beta sekuritas ke-i
i
2 = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i
ei
ERBi=excess retrun to Beta sekuritas ke-i
C* =nilai Ci terbesar

28. Contoh D:
Nilai Saham
E(Ri)
Bi
σei^2
ERBi
A
B
C
D
E
20
19
27
23
25
2,00
1,50
2,00
1,50
1,80
5,0
4,0
7,5
5,0
2,0
5
6
8,5
8,677
8,333
Diketahui:
1. Retrun aktiva bebas resiko
(RBR)=10%
2. Varian indeks pasar = 10%
Untuk masing –masing sekuritas dapat dihitung yg hasilnya disajikan ditabel berikut:
Nama E(Ri) Bi
Saham
𝝈 𝒆𝒊 𝟐 ERBi Ai
Bi
𝒊
𝒋
𝑨𝒊
𝒊=𝟏
D
C
E
B
A
23
27
25
19
20
1,50
2,00
1,80
1,50
2,00
5,0
7,5
2,0
4,0
5,0
8,677
8,5
8,33
6
5
3,9
4,533
13,5
3,375
4
0,45
0,533
1,62
0,563
0,8
3,9
8,433
21,933
25,308
29,308
Ci
𝑩𝒋
𝒋=𝟏
0,45
0,983
2,603
3,166
3,966
7,091
7,787
8,114
7,749
7,208

29. Perhitungan:
E Ri
Ai
R BR . B i
2
ei
23
Ai
10 . 1, 50
Bi
3 ,9
Bi
2
2
ei
1, 50
2
0 , 45
5,0
5,0
i
Aj
Ai
Ai sebelumnya
2
σm
j 1
Ci
i
Bj
Bi
1
Ai
2
σm
Bi
Bi sebelumnya
j 1
Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas
yang mempunyai Erb lebih besar dari Ci, yaitu sekuritas D, C, dan E

30. Nama E(Ri) Bi 𝝈 𝒆𝒊 𝟐 ERBi Ci
Zi
Wi
Saham
1
D
23 1,50 5,0 8,677 7,091 0,159 0,346
2
C
27 2,00 7,5 8,5 7,787 0,103 0,224
3
E
25 1,80 2,0 8,333 8,114 0,197 0,429
Total
1,000
i
Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus 5.b, sebagai berikut:
Z1=(1,50/5,0)(8,677 – 8,114) = 0,159
Z2=(2,00/7,5)(8,5 – 8,114) = 0,103
Z3=(1,80/20)(8,333 – 8,114) = 0,197
Besarnya nilai Σ Zj adalah sebesar Z1 + Z2 + Z3 atau 0,159 + 0,103 +
0.197=0,459.
Nilai wi merupakan proporsi sekuritas ke-i. dapat dihitung
berdasarkan rumus 5.a
W1 = 0,159/0,459 = 0,346 = 34,6%
W2 = 0,103/0,459 = 0,225 = 22,5%
W3 = 0,197/0,459 = 0,429 = 42,9%

31. SEKIAN
DAN
TERIMA KASIH