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Algebra De Matrices

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  • 1. ALGEBRA DE MATRICES Explicaciones generales matriz 3 x 4 fila columna El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz. El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz. Ejemplo: 1 2 3 4  3 filas 5 6 7 8    La matriz es 3 x 4 9 10 11 12     4 columnas Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A. Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B. Ejemplos:  a11 a12 a13  b11 b12 b13  A = a 21  a 22 a23   B = b21 b22  b23   a31  a32 a33   b31 b32  b33   En la siguiente matriz indica la posición del número circulado. 1 2 3 4 2 __________ 5 6 7 8 7 __________ A=  9 __________  9 10 11 12   14 __________ 13 14 15 16 Suma de matrices Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas. Definición de suma: Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.
  • 2. Ejemplo: Suma las matrices A + B 1+5=6 1 3 5 7 1 3 5 7 6 Suma a1 1 b1 1 A= B= + = + 5 7 4 8 5 7 4 8 3 + 7 = 10 1 3 5 7 6 10 Suma a1 2 + b1 2 + = 5 7 4 8 1 3 5 7 6 10 + = Suma a2 1 + b2 1 5 7 4 8 9 5+4=9 1 3 5 7 6 10 Suma a2 2 b2 2 + = + 5 7 4 8 9 15 7 + 8 = 15 Propiedades: Ley asociativa A + ( B + C ) = ( A + B) + C Ley conmutativa A+ B = B + A Elemento neutro 0 0 1 2 1 2 + = 0 0 3 4 3 4 Producto de un escalar Definición: Si kA = k(ai j) mxn Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar. Ejemplo: Opera 2A 1 5 1 5 2 10 A= 2A = 2 = 3 4 3 4 6 8
  • 3. Inverso aditivo (resta) 2 −3 −4 5 A= B= 4 −1 −1 2 Opera A – B 2 −3 − 4 5 6 −8 A− B = − = El orden es igual que en la suma pero debes 4 −1 −1 2 5 − 3 fijarte muy bien en los signos. HOJA DE TRABAJO En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B 1 2 −1 3 1) A = 3 4 B= 2 6 −1 0 0 4 5 −2 6 −3 2) A= B= 3 8 4 9 −2 5 6 −5 −2 7 3) A = − 4 7 −1 B = −3 4 −8 3 −4 2 −2 −9 −7 3 0 1 0 2 1 4) A= B= −2 −1 2 −1 − 2 3 5) A = 1 0 B = 0 −1 1 2 3 4 5 7 −9 4 −2 −3 −4 −5 0 3 1 −1 6) A = B= 0 3 2 1 4 6 −8 7 −1 2 − 2 0 5 0 3 4 7) A = 0 B = −1 8) A = 2 −5 B= 5 7 9
  • 4. −5 −3 2 −1 9) A= B= − 2 −8 −7 3 Multiplicación de matrices: Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si Matriz A Matriz B El tamaño de la respuesta es 3 x 2 Si los números centrales son 3 x 5 5 x 2 iguales entonces se puede multiplicar y el tamaño de la respuesta son los números de los Debe ser igual entonces si se puede multiplicar extremos 3 x 2 Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño de la matriz de la respuesta. Matriz A Matriz B ¿se puede multiplicar? Tamaño de respuesta 3x4 4x5 5x6 6x2 5x3 4x6 7x8 8x2 4x2 3x4 5x7 7x2 3x1 1x4 4x3 4x3 2x5 5x4 Ejemplo: 1) Reviso el tamaño de la matriz 6 7 8 A= 2x3 B=3x3 0 1 2 33  × 9 10 11 =   Como son iguales se puede 3 4 5 12 13 14   multiplicar. El tamaño de la matriz de la respuesta es 2 x 3 Se opera asi: 2) Siempre se toma la primera matriz ( 0 × 6) + (1× 9) + ( 2 ×12) = con la fila 1 (horizontal) con la 1 0 + 9 + 24 = 33 columna (vertical) marcada en la matriz.
  • 5. 6 7 8 0 1 2 33 36  × 9 10 11 =   3 4 5 12 13 14   ( 0 × 7 ) + (1×10) + ( 2 ×13) = 0 + 10 + 26 = 36 6 7 8 0 1 2 33 36 39 × 9 10 11 =   3 4 5 12 13 14   ( 0 × 8) + (1×11) + ( 2 ×14) = 0 + 11 + 28 = 39 6 7 8 0 1 2  33 36 39 × 9 10 11 =   3 4 5 114  12 13 14 ( 3 × 6) + ( 4 × 9) + ( 5 × 12) = 18 + 36 + 60 = 114 6 7 8 0 1 2  33 36 39 × 9 10 11 =   3 4 5 114 126  12 13 14 ( 3 × 7 ) + ( 4 × 10) + ( 5 × 13) = 21 + 40 + 65 = 126 6 7 8 0 1 2  33 36 39  × 9 10 11 =  3 4 5 114 126 138 12 13 14   ( 3 × 8) + ( 4 × 11) + ( 5 × 14) = 24 + 44 + 70 = 138 Respuesta: 6 7 8 0 1 2 33 36 39 × 9 10 11 = 3 4 5 114 126 138 12 13 14
  • 6. EJERCICIOS Encuentra AB y BA, si es posible. 3 5  5 − 2 1) A=  B=   2 − 6 1 7   4 − 3 2 1  2) A=  B=  − 2 1  4 2 3 0 − 1 1 − 5 0   2 B = 4 1 − 2 3) A = 0 4     5 − 3 1    0 − 1 3    5 0 0  3 0 0    B = 0 4 0  4) A = 0 − 3 0     0 0 2    0 0 − 2     2 1  4 − 3 1 5) A =   B =  0 1    − 5 2 2 − 4 7    1 2 0 2   − 1 − 2 6) A = 3 4 B=    5 6   3  4 1  7) A = [ − 1 1] B =  2    3   1 2 3 1 5 7  8) A=  B=   4 5 0 2 3 0 
  • 7. Resuelve el siguientes problema: 1) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañota de muebles .Por cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad. Producción Producción Salario/ enero febrero Unidad A B Caoba Cedro Pino Caoba Cedro Pino X José  Caoba 500  2 0 3  1  2 3   Cedro 400 Pedro  1 1 4  2 0 3  Arturo    Pino 100  1 2 3  2 1 4  Calcule las siguientes matrices y decida que representan. a) AX b) BX c) A + B D) ( A + B) X Evalúa la expresión matricial 3 − 3 7  - 9 5 - 8 2 6 − 2 y B =  3 - 7 1  A=    4 2  5  -1 2 6    Evalúa: a) A2 + B 2 b) 3 A − BA c) A2 − 5B d) A + A2 + B + B 2