1. VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES
Concepto de vector en R2 y R3
Las aplicaciones matemáticas suelen relacionarse con cantidades que poseen
magnitudes y dirección. Un ejemplo de este tipo de cantidad es la velocidad. Tal es el
caso de la velocidad de un avión que tiene magnitud (la rapidez del movimiento) y
dirección (lo determina el curso del avión). Otros modelos de esta clase de cantidades
son la fuerza, el desplazamiento y la aceleración.
En física e Ingeniería suele llamarse vector a un segmento rectilíneo dirigido, y las
cantidades que tienen tanto magnitud como dirección se denominan cantidades
vectoriales. A diferencia de una cantidad que tiene magnitud pero no dirección se llama
cantidad escalar. Algunas cantidades escalares son la longitud, área, volumen y rapidez.
Al estudio de los vectores se le llama Análisis Vectorial y se puede hacer en forma
geométrica o analítica.
 Si el estudio es geométrico primero definimos un segmento rectilíneo dirigido como
el que va desde un punto B y lo representamos AB . El punto A se llama punto
inicial, y el punto B, punto terminal.
B
D
C
A
El segmento dirigido AB es el vector de A a B y se puede decir que dos segmentos
dirigidos AB y CD son iguales si tienen la misma longitud y la misma dirección, y
escribimos AB = CD .
Con la interpretación anterior de vector, podemos suponer conveniente que todo vector
tiene su punto inicial en algún punto de referencia fijo. Tomando este punto como el
origen de un sistema rectangular de coordenadas cartesianas, un vector se puede definir
analíticamente en términos de números reales.
 Si el estudio es analítico designamos un vector en el plano por una pareja
ordenada o par ordenado de números reales y empleamos la
n
notación X  x 1 , x 2 , x 3 ,...., x n  elementos de  .
Un vector en el Plano es un par ordenado de números reales x 1 , x 2 , x 3 ,...., x n  los números
x 1 , x 2 ,....
etc. Se llaman componentes del vector X.
Ejemplos:
2,3,5   3
[Escribir texto]
 4,7,2,5  4
3,4  2

2. Descomposición vectorial en R2 y R3
 La Magnitud o Norma de un vector corresponde a la longitud de cualquiera de
sus representaciones, la magnitud del vector X, se representa por
Si el vector X es el vector x 1 , x 2 , x 3 ,...., x n  , entonces X 
X1
Ejemplo:
.
2
2
2
x12  x2  x3  ..........  xn
X=(x1, x2)
2
X  x12  x2
X2
X
X2
X1
X  12  3 2   42  5 2  1  9  16  25  51
Si X  1,3,4,5 entonces
n
Sean X y Y los puntos de  . La distancia entre X y Y denotada por
.
En caso de estar X y Y en  o  , esto coincide con la fórmula de distancia entre los
puntos.
Así
y
,
entonces
Por lo que:
2
3
Ejemplo:
Si
y
, calcular
Dado que:
Entonces:
 La dirección de un vector distinto de cero es la dirección de cualquiera de sus
representaciones.
[Escribir texto]

3. El ángulo director de cualquier vector distinto de cero es el ángulo β que se mide desde el
lado positivo del eje x en sentido contrario al del reloj hasta la representación de posición
del vector, si x se mide en grados será 0º  β  360º ; pero si se mide en radianes, será
0  β  2π
Si X  x 1 ,x 2  , entonces
director de X, entonces
Tanβ 
x2
x1
.
Obsérvese que si X  x 1 ,x 2  y β es el
x 1  X  Cosβ
y
x 2  X  Senβ
X1
X2
ángulo
X=(x1, x2)
2
X  x12  x2
X2
α
Ejemplo:
Si
X1
entonces el ángulo de dirección del vector ubicado en esta coordenada será
. Debido a que
, de donde,
. Por tanto
En el caso en el que se identifique claramente la magnitud y el ángulo de dirección del
vector, podemos calcular las coordenadas cartesianas del mismo, así:
Ejemplo:
Sean
y
y
, calcular las componentes rectangulares del vector. Si
Por lo cual será;
por tanto
por tanto
De lo cual se puede concluir que
y
; por tanto la coordenada es
Operaciones entre vectores en R2 y R3

Igualdad entre vectores
n
Sean X  x 1 , x 2 , x 3 ,...., x n  y Y  y 1 , y 2 , y 3 ,...., y n  elementos de  , se dice que X = Y si x i  y i
donde
[Escribir texto]

4. Ejemplo:
Si 3  x 1 ,2  x 2 ,5  x 3   3,4,8 , hallar el valor de x 1 , x 2 , x 3 .
Para esta situación tenemos que igualar los compontes de cada uno de los vectores:
3  x 1  3  x 1  6
2  x2  4  x2  2
5  x 3  8  x 3  3
Así se concluye que x1=6, x2=2 y x3=-3

Vectores equivalentes
Sean U  AB y V  CD ; se dice que U es equivalente a V si
B  A  DC
Ejemplo:
Si A  3,4,8 , B  7,5,4 , C  4,6,2 , D  8,7,2
Demostrar que los segmentos de recta U  AB y V  CD son equivalentes entre sí.
Para esta situación tenemos que los vectores cumplen con B  A  D  C :
B  A  7  3,5  4,4  8  4,1,4
D  C  8  4,7  6,2  2  4,1,4

Vector por un escalar
n
Sean X  x1 , x2 , x3 ,...., xn  elementos de  , y c un número real (escalar), se define
como c  X  cx1 , cx 2 , cx3 ,...., cx n  , donde cX es un nuevo vector de  .
n
Ejemplo:
hallar
el
valor
X   3,4,8 ,
así,  2 X   2 3,24,28  6,8,16
Si
de
–2X.
Es
La multiplicación de un vector por un escalar y la norma de un vector para el caso de dos
dimensiones, se puede visualizar para el caso de tres dimensiones y abstraer para
dimensiones mayores.
La multiplicación de un escalar c por un vector X consiste en amplificar el vector X, c
veces. El análisis geométrico de la diferencia de dos vectores X y Y nos conduce a:
[Escribir texto]

5. cX = (cx1, cx2)
cx2
x2
x1

cx1
Suma de vectores
n
La suma de dos vectores X  x1 , x2 , x3 ,...., xn  y Y   y1 , y 2 , y3 ,...., y n  elementos de  ,
es un nuevo vector X + Y, que se define por
X  Y  x1  y1 , x 2  y2 , x 3  y3 ,....., x n  y n 
Vamos a analizar geométricamente la suma de dos vectores. Sean X  x1 , x2  y
2
Y   y1 , y 2  dos vectores en 
X+Y=(x1+y1, x2+y2)
x2+y2
x2
X = (x1, x2)
y2
Y = (y1, y2)
x1
y1
x1+y1
Por tanto, la manera como hemos definido la adición de dos vectores coincide con la Ley
del Paralelogramo.
n
Para cualesquier vectores X, Y, Z de  , y cualesquier c y d números reales, se tiene:
a.
b.
c.
d.
e.
[Escribir texto]
 X  Y   Z  X  Y  Z 
X Y  Y  X
X 0  X
X   X   0
c X  Y   cX  cY

6. f. c  d X  cX  dX
g. cdX   cd X
h. 1X  X

Resta de Vectores
n
La resta de dos vectores X  x1 , x2 , x3 ,...., xn  y Y   y1 , y 2 , y3 ,...., y n  elementos de  ,
es un nuevo vector X - Y, que se define por X  Y  x1  y1 , x 2  y2 , x 3  y3 ,....., x n  yn 
También se puede expresar que la resta de los dos vectores X y Y, representada por X –
Y, es el vector que se obtiene al sumar el vector X con el vector negativo de Y; es decir X
- Y = X + (-Y) de modo que X  Y  x1  y1 , x2  y 2 
Vamos a analizar geométricamente la suma de dos vectores. Sean X  x1 , x2  y
2
Y   y1 , y 2  dos vectores en 
X = (x1, x2)
x2
X-Y=(x1-y1, x2-y2)
y2
Y = (y1, y2)
x1-y1
x1
x2-y2

y1
X-Y=(x1-y1, x2-y2)
Producto Interno o Producto Escalar
Sean X  x 1 , x 2 , x 3 ,...., x n  y Y  y 1 , y 2 , y 3 ,...., y n  dos vectores de  , se define su producto
interno
o
escalar
denotado
por
X
*
Y,
que
se
define
por
X  Y  x 1 y1 , x 2 y 2 , x 3 y3 ,....., x n y n 
. Nótese que el producto interno es un escalar.
n
Con esta definición podemos, escribir que
con
Podemos concluir que si X es perpendicular (ortogonal) a Y
Luego
[Escribir texto]
; y por tanto
X
 Y  , entonces

7. Es claro que si
entonces
y por tanto
, luego X es perpendicular
a Y.
Ejemplo:
Si
y
, entonces
. Luego X es perpendicular a Y
Entonces
Por lo cual

, entonces X es perpendicular a Y.
Vector Unitario
Se dice que un vector U es unitario si
Ux 
cero, el vector
U 1
.
Si X es un vector arbitrario diferente de
1
X
X
Ejemplo:
Si
calcular el vector unitario.
Si
Por lo cual
Como la magnitud de los dos vectores (1,0) y (0,1) es la unidad, se les denomina vectores
unitarios. Se representan con la siguiente notación i  1,0
j  0,1
notación x 1 , x 2   x 1i  x 2 j
, usando otro tipo de
La ecuación expresa que cualquier vector en V2 puede expresarse como una combinación
lineal de los vectores i y j. Se dice que los vectores i y j forman una base para el espacio
vectorial V2 . El número de elementos en una base de un espacio vectorial se denomina
dimensión del espacio vectorial. Por lo tanto, V2 es un espacio vectorial bidimensional.
Las siguientes ecuaciones expresa el vector X en términos de su magnitud:
X  x1i  x2 j
X  X Cosi  X Senj
Si el vector no cero X  x1i  x2 j , entonces el vector unitario U que tiene la misma
[Escribir texto]

8. dirección que X está dado por U 
x1
x
i 2 j
X
X
Ejemplo:
Dados X = (3,1) y Y = (-2,4), Hallar el vector unitario que tenga la misma dirección que X
–Y
X  Y  (3i  j )  (2i  4 j )  5i  3 j
Entonces,
X Y  5 2   32  34
El vector unitario es U 

5
3
i
j
34
34
Producto Vectorial
Sean
Dos vectores de
define por
y
, el producto vectorial de X por Y es el vector denotado por
y se
Por tanto
Luego
Luego las coordenadas del nuevo vector serán:
Ejemplo:
Sean
Dos vectores de
define por
[Escribir texto]
y
, el producto vectorial de X por Y es el vector denotado por
y se

9. Por tanto
Después
Luego las coordenadas del nuevo vector serán
[Escribir texto]