Parte cuatro de los registros de representación, comprensión ...
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Parte cuatro de los registros de representación, comprensión ...

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  • 1.   [Escribir texto]    Parte cuatro: De los registros de representación, comprensión y aprendizaje en matemáticas Una característica importante de la actividad matemática es el uso de diversos sistemas de expresión y representación, además del lenguaje natural: variados sistemas de escritura para los números, escrituras algebraicas para expresar relaciones y operaciones, figuras geométricas, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas, etc. Un autor que se ha interesado particularmente por este uso variado de los sistemas de representación semiótica es Duval (1995), quién se pregunta: "¿Es esencial esta utilización de varios sistemas semióticos de representación y expresión, o al contrario no es más que un medio cómodo pero secundario para el ejercicio y para el desarrollo de las actividades cognitivas fundamentales?" (p. 3) Considera que esta pregunta sobrepasa el dominio de las matemáticas y de su aprendizaje y apunta hacia la naturaleza misma del funcionamiento cognitivo del pensamiento humano. Duval da una respuesta afirmativa a esta cuestión aportando los siguientes argumentos: 1) No puede haber comprensión en matemáticas si no se distingue un objeto de su representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números, funciones, rectas, etc.) con sus representaciones (escrituras decimales o fraccionarias, los símbolos, los gráficos, los trazados de figuras, etc.), pues un mismo objeto matemático puede darse a través de representaciones muy diferentes. 2) Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones, ideas, creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación y sobre aquello que les está asociado. "Permiten una mirada del objeto en ausencia total de significante perceptible". Las representaciones mentales están ligadas a la interiorización de representaciones externas, de la misma manera que las imágenes mentales lo están a una interiorización de los preceptos. 3) Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los demás. Además de sus funciones de comunicación, las representaciones semióticas son necesarias para el desarrollo de la propia actividad matemática. La posibilidad de efectuar tratamientos (operaciones, cálculos) sobre los objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico utilizado. El progreso de los conocimientos matemáticos se acompaña siempre de la creación y del desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos que más o menos coexisten con el de la lengua natural.
  • 2.   [Escribir texto]    4) Diferentes representaciones no pueden oponerse como dominios totalmente diferentes e independientes. La pluralidad de sistemas semióticos permite una diversificación tal de las representaciones de un mismo objeto, que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto de sus representaciones mentales. Esta interdependencia entre las representaciones internas y externas la expresa Duval afirmando que "no hay noesis sin semiosis; es la semiosis la que determina las condiciones de posibilidad y de ejercicio de la noesis" (p. 5). La aprehensión conceptual no es posible sin el recurso a una pluralidad al menos potencial de sistemas semióticos, y por tanto su coordinación por parte del sujeto. 5) La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere un aprendizaje específico. El problema esencial de la semiosis es el de la diversidad de sistemas de representación y los fenómenos de no-congruencia que resultan por la conversión de las representaciones. La coordinación entre registros no es una consecuencia de la aprehensión conceptual (noesis) sino que, al contrario, el logro de dicha coordinación es una condición esencial de la noesis. 6) Las actividades cognitivas inherentes a la semiosis son tres: formación de representaciones en un registro semiótico particular, para "expresar" una representación mental, o para "evocar" un objeto real; el tratamiento o transformación de una representación dentro del mismo registro; conversión, cuando la transformación de la representación de un objeto, de una situación o de una información produce una representación en un registro distinto al de la representación inicial. Esta otra propuesta presentada por Luis Puig, nos dice: Es habitual que una descripción del lenguaje en que están escritos los textos matemáticos distinga dos subconjuntos de signos en él: uno formado por signos que se ven como propios de las matemáticas y suelen calificarse de “artificiales”, y otro formado por los signos de alguna lengua vernácula. Así lo hace, por ejemplo, Javier de Lorenzo, que atribuye al lenguaje usual “una muy clara misión: ser el vehículo o instrumento práctico que permite indicar cómo han de manejarse los elementos del lenguaje artificial”. Esa separación en dos subconjuntos se torna radical cuando se concibe que las verdaderas matemáticas "son" las escritas en un lenguaje totalmente formalizado y el lenguaje usual aparece como un substituto torpe y grosero de éste, pero está presente también en descripciones hechas desde presupuestos filosóficos contrarios al formalismo. Es el caso de Brian Rotman quien, desde una posición que él califica de post-estructuralista, afirma que la distinción entre lo que llama en su modelo semiótico de la actividad matemática el “Código” y el “meta-Código” “opera tanto dentro del término ‘símbolo’ como contra él. De ellos es igual oposición entre ideogramas concebidos formalmente (+, ×, 0, 1 2, 3, =, >, sin t,…, dy/dx, log(z), etc.), que se corresponden con signos en su manifestación Codificada, propia — podríamos llamarla ‘literal’—, y los diagramas matemáticos (puntos, líneas, círculos, ángulos, aplicaciones, curvas, triángulos, gráficas, figuras, flechas, gráficos, etc.), que constituyen el campo del meta-Código, es decir del discurso matemático informal —que podríamos llamar ‘metafórico’—”, y que “el legado de la persecución del rigor ha sido la
  • 3.   [Escribir texto]    marginación del meta-Código […] en favor de los textos formales del Código.” La distinción entre signos matemáticos “artificiales” y el lenguaje natural se acompaña pues de una tipología de los signos “artificiales”. En el caso de Rotman, es una simple dicotomía entre diagramas, que se usan metafóricamente, y lo que parece ser que concibe como los signos propiamente matemáticos que “han de ser entendidos como ideogramas en el sentido usual de caracteres escritos que invocan, transmiten o denotan un contenido conceptual”. Javier de Lorenzo es más prolijo y distingue entre: 1) Signo estrictamente artificial, como ", #, $, %, que carecen de referente en el lenguaje natural; 2) Signo gráfico único, como todas las letras de diversos alfabetos, N, e, &, ', con las que se designa convencionalmente diversos objetos matemáticos; 3) signo compuesto por varias letras, como dx, ln, tg, que provienen de abreviaturas de palabras con las que se designan términos técnicos; 4) término, como ‘grupo’, ‘anillo’, ‘cuerpo’, ‘matriz’, que existen en el lenguaje natural, pero que se usan en los textos matemáticos con un significado ajeno a su campo semántico en el lenguaje natural; 5) figura, como las figuras geométricas, diagramas de Euler-Venn, etc., y 6) signo artificial, como 0, 1, (,), cuyo uso no es exclusivo de los textos matemáticos. Ahora bien, Javier de Lorenzo señala que “la caracterización del texto matemático no va a estar en la mera utilización del signo artificial, sino en el modo de emplearlo y en el modo por el cual se le da un referente o contenido semántico posterior” y de ahí deriva el interés que pueda tener la elaboración de una tipología de los modos de uso o de asignación de referente de los signos “artificiales” en los textos matemáticos a lo largo de la historia y la determinación de lo que llama “estilos matemáticos”. Sin embargo, desde el punto de vista en que yo quiero situarme, una semiótica de las matemáticas no ha de centrarse en el estudio de los signos, sino de los sistemas de significación y los procesos de producción de sentido. Entonces, esa diferencia entre un “signo artificial” —que sería el propiamente matemático y cuyos modos de uso o de asignación de referente específicos habría que estudiar— deja de ser crucial, para colocar en primer plano el sistema de signos considerado globalmente — o los sistemas de signos—, y lo que hay que calificar de “matemático” no es sólo un tipo particular de signos, sino sobre todo determinados sistemas de signos —es decir, no hay que hablar de sistemas de signos matemáticos sino de sistemas matemáticos de signos, y sólo en el interior de tales sistemas matemáticos habrá que estudiar el modo particular de combinación en que se presentan signos cuya materia de la expresión es heterogénea. Eugenio Filloy introdujo hace ya algún tiempo la necesidad de usar una noción de sistemas matemáticos de signos lo suficientemente amplia como para que pueda servir como herramienta de análisis de los textos que producen los alumnos cuando se les está enseñando matemáticas en los sistemas escolares —y estos textos se conciben como el resultado de procesos de producción de sentido—, así como de los textos matemáticos históricos —tomados como monumentos, petrificaciones de la acción humana o de
  • 4.   [Escribir texto]    procesos de cognición propios de una episteme. Al tomar como objeto de estudio estos textos matemáticos y no unos supuestos textos ideales concebidos como manifestaciones del “lenguaje matemático”, o textos que se miden con respecto a ellos, tanto la noción de sistemas matemáticos de signos como la de texto ha de abrirse en varias direcciones. Así, Filloy afirma que hay que hablar de sistema matemático de signos, con su código correspondiente, cuando se da la posibilidad convencionalizada socialmente de generar funciones sígnicas, incluso cuando las correlaciones funcionales han sido establecidas en el uso de artefactos didácticos en una situación de enseñanza, con la intención de que sean efímeras. Por otro lado, también hay que considerar los sistemas de signos, los estratos de sistemas de signos que los aprendices producen con el fin de dotar de sentido a lo que se les presenta en la situación de enseñanza, aunque se rijan por un sistema de correspondencias que no ha sido socialmente establecido, sino que es idiosincrático. Como los textos no han de concebirse como manifestaciones del lenguaje matemático, ni identificarse con los textos escritos, es pertinente utilizar la noción de texto elaborada por Jenaro Talens y Juan Miguel Company como “el resultado de un trabajo de lectura/transformación hecho sobre un espacio textual” y la distinción que ellos introducen entre significado y sentido. Con ello, el sujeto empírico, que no tenía cabida en el reino de las matemáticas, retorna como aprendiz, productor de sentidoi . BIBLIOGRAFÍA  BENSE, Max; WALTER, Elizabeth, La semiótica, guía alfabética, Ed. Anagrama, 1973. “S” pp. . 137-143; 184-189  CASSETI, F. Introducción a la Semiótica, Ed. Fontanela. Barcelona, 1980. “Capítulo V. Discurso” p.p. 357-369  Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et functionnement cognitive de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 5: 37-65 (IREM de Strasbourg). Duval, R. (1995). Sémiosis et penseé humaine. Berna: Peter Lang.  ECO, Umberto, La estructura ausente, “Los códigos visuales” pp. 217-235.  Tratado de semiótica general, Ed. Lumen, 5a edición, Barcelona, 2000. “Sistemas y códigos” p.p. 63-66 “El problema de una tipología de los signos” p.p. 260-286. “Crítica del iconismo” p.p. 287-318 “Tipología de los modos de reproducción de los signos” p.p. 319-366.  KONDRATOV, A.M. Del sonido al signo, "De que trata la semiótica" p.p. 13-33.  LOPEZ RODRIGUEZ, Juan Manuel, Semiótica de la comunicación gráfica, Ed. INBA y UAM. 1993, “Propuesta del marco teórico para el análisis del discurso” p.p. 146-150 "Capítulo noveno" p.p. 413-451.  MALMBERG, Bertil. Teoría de los signos, “Sistemas no lingüísticos y signos gráficos” p.p. 144-164 “Sistemas estéticos y símbolos ideológicos” p.p. 165-175  PÉREZ MARTINEZ, Herón. En pos del signo, Ed. El colegio de Michoacán, México, 1995. “Introducción” p.p. 19-35  PUIG, Luis. Semiótica y Matemáticas, Editores-fundadores/Founding Editors,
  • 5.   [Escribir texto]    Universidad de Valencia, 1994  ROSSI-LANDI, Ferrucio. Semiótica y praxis, "Programación social y comunicación" p.p. 5-30.  ROTMAN, Brian. Mathematical Writing, Thinking, and Virtual Reality, en Paul Ernest, ed. Mathematics, Education and Philosophy: An International Perspective. London: The Falmer Press, 1994, page. 80.  VERDERBER, F. Rudolph; Comunicación oral efectiva, Internacional Thompson Editores, 2000.  VALE, Eugene. Técnica cinematográfica, Editorial Leyenda, México, DF.                                                              i Tomado de http://es.slideshare.net/gpx7/02-marcos-cm y http://es.slideshare.net/fmorenomoreno0/fran- matematicas (páginas 21-22 y 1-2) documentos referenciados “Signos, Textos y Sistemas Matemáticos de Signos” de Luis Puig de la Universidad de Valencia y “Marcos Teóricos de Referencia sobre la Cognición Matemática” de Juan D. Godino.