Lógica básica

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  • Excelente apoyo argumentativo y sustentador de que los docentes de Matemática no deben menospreciar la disciplina de otros docentes y, en especial, de la disciplina de Lenguaje. Súper, gracias mil
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Lógica básica

  1. 1.   [Escribir texto]    LÓGICA BÁSICA Objetivo general Conocer a groso modo los elementos básicos de la teoría de la lógica proposicional. Objetivos específicos 1. Conocer la historia de la lógica y su clasificación. 2. Establecer la relación entre lógica y lingüística. 3. Aprender los conectivos lógicos: disyunción, conjunción, negación, implicación y equivalencia. 4. Identificar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lógicas. En el módulo de LÓGICA MATEMÁTICA, reescrito en su segunda edición para la UNAD, por GEORFFREY ACEVEDO GONZÁLEZ (2007: 37-40), hace una exposición sencilla y clara de algunos conceptos introductorios los cuales se presentan a continuación: Historia y clasificación Etimológicamente la lógica es la ciencia del logos. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se definió la lógica como la rama de la gramática que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje. Como la palabra es la expresión, o manifestación del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofía, puede decirse en general, que la lógica es la ciencia del pensamiento racional; es de aclarar que la lógica no se ocupa del contenido de los Pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos. En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los demás, Aristóteles, considerado por los griegos el padre de la lógica., creo métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrolló la lógica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.
  2. 2.   [Escribir texto]    El gran matemático Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lógica clásica, planteando que la dependencia lógica entre proposiciones es demostrada, reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecánico y a éste esquema (lógica simbólica) lo llamó una característica universal. El proceso de la lógica continuó en el siglo XIX. En 1847 el matemático inglés George Boole en compañía de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lógicas con las matemáticas, pues a partir de los operadores aritméticos de adición, multiplicación y sustracción crearon los operadores lógicos equivalentes de unión, intersección y negación; además formularon los principios del razonamiento simbólico y el análisis lógico. A Boole se le atribuye la invención de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas. Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra. Principio Matemático., quienes codificaron la lógica simbólica en su presente forma definiéndola como la .Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles., por esta razón la fundación de la lógica formal moderna se le atribuye a ellos. Clasificación de la lógica La lógica se puede clasificar como: 1. Lógica tradicional o no formal. 2. Lógica simbólica o formal. En la lógica tradicional se consideran los procesos psicobiológicos del pensamiento lógico, y los métodos de inferencia que están relacionados con la destreza para interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto; se puede considerar que la lógica no formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observación del mundo circundante. La lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamiento simbólico, las palabras se manipulan, según las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.
  3. 3.   [Escribir texto]    Conceptualización La lógica ofrece métodos que enseñan cómo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; además, la lógica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisión, claridad y generalidad en los razonamientos. La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función primordial eliminar las ambigüedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad. La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos básicos de un argumento lógico, tanto en su representación simbólica como en su significado para luego establecer un lenguaje simbólico artificial, que le permita simplificar argumentos lógicos complicados; de esta manera, el símbolo permite concentración sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. Lógica y lingüística Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos básicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales. Los lenguajes naturales no se establecieron a través de ninguna teoría, entre ellos están el castellano, el francés y el inglés. Las teorías y gramáticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir después de que el lenguaje ya había madurado. Los lenguajes formales como las matemáticas y la lógica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teoría, la cual da las bases para que a través de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teoría. Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en común, en principio, se tiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual está constituido de símbolos simples llamados comúnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y árabe-persa, entre otros. En los formales como la lógica se tiene el léxico del cálculo proposicional y de predicados. Mediante la concatenación de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones o enunciados que se forman con palabras del diccionario.
  4. 4.   [Escribir texto]    En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de símbolos, (lógicos o matemáticos) sujetos a diversas interpretaciones. En un lenguaje formal, las palabras y las oraciones están perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquier componente semántico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usados para modelar una teoría de la ingeniería de sistemas, mecánica, eléctrica, entre otras. Simbolización: proposiciones La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento básico de análisis a la proposición, que no es otra cosa que una oración del lenguaje cotidiano con un significado mucho más limitado, en tales condiciones, se puede considerar una proposición como una excepción lingüística que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados; crea un lenguaje simbólico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente. Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas, las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugación del verbo ser. Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural. Proposiciones simples: Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lógicos: p: El eclipse es un fenómeno natural. q: La luna es un satélite de la tierra. r: 2 es el inverso multiplicativo de .2. s: -3 es el inverso aditivo de 3.
  5. 5.   [Escribir texto]    El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición. Conectivos Lógicos: Los conectivos lógicos son llamados; conjunción, disyunción, negación, condicional y bicondicional, los cuales al igual que a las proposiciones se les asignan un lenguaje simbólico, así: NOMBRE LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL CONJUNCIÓN Y  DISYUNCIÓN O  NEGACIÓN NO  CONDICIONAL ENTONCES → BICONDICIONAL SI Y SOLO SI  De estos se hace uso para la creación de proposiciones compuestas. Proposiciones Compuestas : Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o más proposiciones simples mediante términos de enlace: p: Está lloviendo. q: El sol brilla. p  q: Está lloviendo y el sol brilla. x : Quieres café?. y : Quieres té?. x  y : quieres café o té?. s : Llueve. r : Hace frío. s → r : Si llueve entonces hace frío.
  6. 6.   [Escribir texto]    p: Un triángulo es equilátero. q: Un triángulo tiene sus tres lados iguales. p  q: Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus tres lados iguales. La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estén combinadas; para establecer este valor, se fijan criterios que se estudiarán en las próximas secciones de este capítulo. Construcción de tablas de verdad Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad, teniendo en cuenta que: Teorema: si se tienen n proposiciones entonces se dan 2n valores de verdad. Ejemplos: Dada la proposición p: hoy es domingo, existen dos opciones, que sea verdadero o que sea falso. Dadas las proposiciones: P: hoy es domingo q: hoy hace frio se dan las siguientes 4 posibilidades Dadas las proposiciones: P: hoy es domingo q: hoy hace frio r: hoy voy a cine se dan las siguientes 8 posibilidades
  7. 7.   [Escribir texto]    p 21 = 2 valores de verdad v f p q 22 = 4 valores de verdad v v v f f v f f p q r 23 = 8 valores de verdad v v v v v f v f v v f f f v v f v f f f v f f f OPERACIONES BÁSICAS ENTRE PROPOSICIONES: Negación: Es una operación unaria en la cual, si se tiene una proposición y esta es verdadera, se puede negar lo cual hace que quede falsa y si la proposición inicial es falsa al negarla se vuelve verdadera. Ejemplo: PROPOSICIÓN VALOR NEGACIÓN DE LA PROPOSICIÓN VALOR p: El eclipse es un fenómeno natural v  p: el eclipse no es un fenómeno natural f q: La luna es un satélite de la tierra v  q: la luna no es un satélite de la tierra f p p v f f v
  8. 8.   [Escribir texto]    r: 2 es el inverso multiplicativo de -2 f  r: 2 no es el inverso multiplicativo de -2 v s: -3 es el inverso aditivo de 1/3 f  s: -3 no es el inverso aditivo de 1/3 v t: 2>3 f  t: 2<3 v u: 3 + 5 = 8 v  u: 3 + 5 ≠ 8 f Conjunción: Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p  q se denomina la conjunción de p y q. bajo esta operación se considera que pq es verdadera si p es verdadera y q es verdadera: La proposición compuesta r  s: 3 es número impar y primo positivo, está formada por: p: 3 es un número impar.  : y s : 3 es primo positivo. Analizando esta proposición compuesta tenemos: p: 3 es un número impar. (V) q: 3 es primo positivo. (V) r  s: Verdadera (V) p: 3 es un número impar. (V) q: 3 no es primo positivo. (F) r  s: Falsa (F) p: 3 no es un número impar. (F) q: 3 es primo positivo. (V) r  s: Falsa (F) p : 3 no es un número impar. (F) q: 3 no es primo positivo. (F) r  s: Falsa (F) p q pq V V V V F F F V F F F F
  9. 9.   [Escribir texto]    Disyunción: Sean p y q dos proposiciones simples, la proposición p o q simbolizada p  q se llama disyunción. El operador : o se puede usar de dos formas: como o incluyente () ó como o excluyente (). En el primer caso (o incluyente) hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva; mientras que en la segunda forma (o excluyente) el valor de verdad de una proposición excluye la veracidad de la otra proposición, esto hace que la proposición disyuntiva tome el valor verdadero. Uso del  incluyente: r  s: Juan estudia ingeniería o Paola estudia medicina. r : Juan estudia ingeniería.  : o s: Paola estudia medicina. Bajo esta operación se considera que pq es falsa únicamente si p es falsa y q es falsa: La proposición compuesta r  s: Carlos come helado o va a cine, está formada por: r: Carlos come helado  : o s : Carlos va a cine Analizando esta proposición compuesta tenemos: r: Carlos come helado (V) s: Carlos va a cine (V) r  s: Verdadera (V) r: Carlos come helado (V) s: Carlos no va a cine (F) r  s: Verdadera (V) r: Carlos no come helado (F) s: Carlos va a cine (V) r  s: Verdadera (V) r: Carlos no come helado (F) s: Carlos no va a cine (F) r  s: Falsa (F) r s rs V V V V F V F V V F F F
  10. 10.   [Escribir texto]    Uso del ⊻ excluyente: p  q: Quieres helado o gaseosa. p: Quieres helado.  : o q: Quieres gaseosa. Bajo esta operación se considera que pq es verdadera únicamente si p y q toman valores de verdad diferentes: La proposición compuesta r  s: quiere pizza o hamburguesa, está formada por: p: quiere pizza  : o q: quiere hamburguesa Analizando esta proposición compuesta tenemos: p: quiere helado (V) q: quiere gaseosa (V) r  s: Verdadera (F) p: quiere helado (V) q: quiere gaseosa (F) r  s: Verdadera (V) p: quiere helado (F) q: quiere gaseosa (V) r  s: Verdadera (V) p: quiere helado (F) q: quiere gaseosa (F) r  s: Verdadera (F) p q pq V V F V F V F V V F F F
  11. 11.   [Escribir texto]    Condicional: Se dice que una proposición compuesta es condicional si está formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresión si entonces, si p y q representan dos proposiciones la expresión si p entonces q se simboliza así: p → q se lee p implica q. La proposición precedida por la expresión si, se llama antecedente o hipótesis y la proposición precedida por la expresión entonces, se llama consecuente o conclusión de la implicación. En la expresión p → q el antecedente es p y el consecuente es q. Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras así: Si p entonces q, p sólo si q, q si p, p es suficiente para q, q es necesaria para p. Ejemplos: Si un entero es múltiplo de 5 entonces es divisible por 5. No me echan sólo si trabajo. El algoritmo está bien enunciado si el programa corre. Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas. Cuando una proposición condicional se escribe en una de las anteriores formas probablemente en el lenguaje común habrá alguna que no se interprete como se desea, pero como la lógica no permite ambigüedades éstas se deben escribir según la definición dada en la sección. Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales así: Implicación directa: p → q Implicación contraria: q → p Implicación recíproca: ~ p → ~ q Implicación contra-recíproca: ~ q → ~ p Implicación directa: p → q Bajo esta operación se considera que p → q es verdadera si p es verdadera y q es verdadera:
  12. 12.   [Escribir texto]    Dadas las proposiciones p → q: si un número entero es de la forma 2m entonces es divisible entre 2 P: un número entero es de la forma 2m. →: entonces es q: un número es divisible por 2 Analizando esta proposición compuesta tenemos: p: si un número entero es de la forma 2m (V) q: un número es divisible por 2 (V) r  s: (V) p: si un número entero es de la forma 2m (V) q: un número es divisible por 2 (F) r  s: (F) p: si un número entero es de la forma 2m (F) q: un número es divisible por 2 (V) r  s: (V) p: si un número entero es de la forma 2m (F) q: un número es divisible por 2 (F) r  s: (V) La proposición directa es: p → q: si un número entero es de la forma 2m entonces es divisible entre 2, La proposición contraria es: q → p: Si m es un número divisible entre 2 entonces el número es de la forma 2m, La proposición recíproca es: ~ p → ~ q: si un número entero no es de la forma 2m entonces no es divisible entre 2, La proposición contra-recíproca es: ~ q →~ p : Si m es un número no es divisible entre 2 entonces el número no es de la forma 2m. p q p → q V V V V F F F V V F F V
  13. 13.   [Escribir texto]    La tabla correspondiente para los diferentes casos de la condicional es: Bicondicional: Se denomina a la proposición formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresión sí y sólo sí (). El bicondicional está formado por las implicaciones p  q y q  p, las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposición p es equivalente a la proposición q. La proposición bicondicional tiene varias formas de traducción más no de significación, éstas son: p sí y sólo si q, q sí y sólo si p, Si p entonces q y recíprocamente, Si q entonces q y recíprocamente, p es una condición necesaria y suficiente para q, q es una condición necesaria y suficiente para p. Bajo esta operación se considera que p  q es verdadera si p es verdadera y q es verdadera: p q p → q q → p p → q q → p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V p q p  q V V V V F F F V F F F V
  14. 14.   [Escribir texto]    Dadas las proposiciones p → q: p: Un triángulo es rectángulo si y solo si tiene un ángulo recto. p: Un triángulo es rectángulo.  : si y solo si q: Un triángulo tiene un ángulo recto. Analizando esta proposición compuesta tenemos: p: Un triángulo es rectángulo (V) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (V) r  s: (V) p: Un triángulo es rectángulo (V) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (F) r  s: (F) p: Un triángulo es rectángulo (F) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (V) r  s: (F) p: Un triángulo es rectángulo (F) q: Un triángulo tiene un ángulo recto (F) r  s: (V) El bicondicional p  q se puede traducir de las siguientes formas: Un triángulo es rectángulo sí y sólo sí tiene un ángulo recto. Un triángulo tiene un ángulo recto sí y sólo sí es un triángulo rectángulo Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto y si un triángulo tiene un ángulo recto entonces es un triángulo rectángulo. Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo es que tenga un ángulo recto. Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo tenga un ángulo recto es que sea un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es equivalente a un triángulo con un ángulo recto. TAUTOLOGÍA Es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes. Se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran.
  15. 15.   [Escribir texto]    Equivalencia lógica (≡): Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes. Ejemplo: Las dos fórmulas siguientes son equivalentes: (p → ¬q)  (¬p  r) y ¬p  ¬q  r p q r ¬q ¬p p → ¬q ¬p r (p → ¬q) (¬p  r) ¬ p  ¬q ¬p  ¬q r V V V F F F V V F V V V F F F F F F F F V F V V F V V V V V V F F V F V F V V V F V V F V V V V V V F V F F V V V V V V F F V V V V V V V V F F F V V V V V V V Se puede observar que la última y la antepenúltima columnas son iguales. Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma. Teorema: Si dos fórmulas lógicas son equivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondicional es una tautología. Si F ≡ G entonces F G Las siguientes son tautologías. p  ¬p Ley del medio excluido ¬ (p  ¬p) Ley de no contradicción ((p → q)p) → q Modus ponendo ponens ((p → q)  ¬ q) → ¬ p Modus tollendo tollens ((p  q) ¬ p) → q Silogismo Disyuntivo ((p → q)  (q → r)) → (p → r) Silogismo Hipotético
  16. 16.   [Escribir texto]    La comprobación de cualquiera de las tautologías anteriores es directa, es suficiente hacer la tabla de verdad y se obtendrá la columna correspondiente a la fórmula con valores verdaderos únicamente. Las siguientes son equivalencias lógicas. ¬(¬p) ≡ p Doble Negación ¬(p  q) ≡ ¬p  ¬q Ley 1 de De Morgan ¬(p  q) ≡ ¬p  ¬q Ley 2 de De Morgan (p → q) ≡ (¬ p  q) Condicional como cláusula ((p → q) ≡ (¬ q → ¬ p) Contra-positiva ¬(p → q) ≡ p  ¬q Negación de la Implicación CONTRADICCIÓN: una proposición compuesta que es falsa en todos los casos independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman se llaman contradicciones. p q  q p   q (p   q)  q V V F F F V F V V F F V F F F F F V F F FALACIA: Es un razonamiento incorrecto que aparenta ser correcto. El que un razonamiento que sea falaz no implica que su conclusión sea falsa. Lo que lo hace falaz es la incorrección del razonamiento en sí. Todo razonamiento falaz es inválido, es decir
  17. 17.   [Escribir texto]    que sus premisas no garantizan la verdad de su conclusión, pero en ocasiones pueden ser muy sutiles y persuasivas, y puede hacer falta mucha atención para detectarlas. Para crear un razonamiento válido se parte de una serie de premisas para, mediante mecanismos válidos, llegar a una conclusión. Un ejemplo de falacia es este: Premisa 1: Los perros son bonitos. Premisa 2: lukas es bonito. Conclusión: lukas es un perro. El siguiente ejemplo es el mismo que el anterior, pero al cambiarle un simple elemento deja de ser tan persuasivo. Premisa 1: Los perros son bonitos. Premisa 2: El Everest es bonito. Conclusión: El Everest es un perro. La conclusión puede llegar a ser verdadera de manera casual. En este caso podría coincidir que hubiese un perro al que llamasen El Everest. El razonamiento seguiría siendo una falacia, ya que esto no depende de la conclusión, sino del razonamiento en sí mismo. Bibliografía Ivorra, Carlos, (2011).Lógica y teoría de conjuntos. Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. Mc Graw-Hill. Cibergrafía http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/principal.html Tomado del sitio web www.unad.edu.co/.../Modulo_de_Logica_febrero_26_de_2009.pdf Documento "Lógica Matemática", Universidad Nacional Abierta y a Distancia –Unad-. Versiones 2006 a 2009: GEORFFREY ACEVEDO GONZÁLEZ

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