2. COORDENADAS
• Las Coordenadas son grupos de números que
describen una posición: posición a lo largo de una
línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y
longitud o la declinación y ascensión recta, son
sistemas de coordenadas en la superficie de una
esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los
cielos.
3. UN POCO DE HISTORIA
El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con
el nombre de René Descartes, un científico y filósofo
francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática
de designar cada punto en el plano por medio de dos
números.
4. SISTEMA COORDENADO
BIDIMENSIONAL
• El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"),
perpendiculares entre sí, cada una marcada con las
distancias desde el punto donde se juntan ("origen").
5. PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes
de coordenadas:
El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas.
El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas.
En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se
cruzan en el cero.
y
0
X
6. DEFINICIÓN DE ABSCISA Y
ORDENADA
• Abscisas: los números tomados
sobre el eje X que miden la distancia
en magnitud y signo desde el origen.
El eje X se llama, eje de las abscisas.
•
Ordenadas: los números tomados
sobre el eje Y miden la distancia en
magnitud y signo desde el origen.
El eje Y recibe el nombre de eje de
ordenadas.
7. PAR ORDENADO
Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para
localizar puntos en un plano, se expresan en forma
de pares ordenados. El orden en que se escribe es
muy importante.
8. Ejemplo de Par Ordenado
Ejemplo:
En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde
al número localizado en el eje de ( x ) y el
5 corresponde al número localizado en el
eje de ( y ).
9. Par Ordenado ( 3 , 5)
Y
0
(3,5)
5
4
3
2
1
X
1
Origen
2 3 4
22. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
SOBRE UN EJE
• Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el
eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas: |x2 – x1|
• Ejemplo: La distancia entre los puntos (- 4, 0) y (5, 0)
es 5 – (-4) = 9 unidades
23. DISTANCIA ENTRE DOS
PUNTOS CUALESQUIERA
Ejemplo:
En una carta de navegación el origen se sitúa en un
puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro
en el (2, 3). ¿Qué distancia hay entre ellos, si las
unidades de la carta corresponden a kilómetros?
24. Solución:
Construimos el triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa
al segmento que une los puntos (-5,6) y (2,3), como se muestra
en la siguiente figura.
(-5,3)
Las longitudes de los catetos son:
2 (5) 7
36 3
25. Recordemos que el teorema de Pitágoras establece:
“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos”.
7 2 32 49 9
58 7.6
Los dos barcos se encuentran a una distancia que es
aproximadamente de 7.6 kilómetros.
26. Ahora, sean A(x1,y1) y B(x2,y2), dos puntos cualesquiera cuyas
parejas de coordenadas se encuentran en el plano cartesiano como
se muestra en la figura.
Se tiene también un punto C de coordenadas (x2,y1). Al
fragmentar la recta por los puntos dados se tiene:
AC x2 x1
CB y2 y1
27. Además la distancia que se busca es la comprendida por el
segmento:
AB d AB
El punto C servirá de referencia para construir un triángulo
rectángulo ACB, de donde se puede establecer con el
teorema de Pitágoras.
AC 2 CB 2 AB2
Reconocemos aquí los catetos y la hipotenusa del triángulo.
Sustituyendo se tiene:
AC x2 x1
CB y 2 y1
d AB x2 x1 y2 y1
2
2
2
28. Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de
ambos miembros, para eliminar los cuadrados.
d AB
x
x1 y2 y1
2
2
2
Ejercicio.
Calcular la distancia entre los puntos A y B cuyas
coordenadas son (3, 2) y (-3, -1) respectivamente.
29. Solución:
Paso 1 Traza un plano cartesiano
Paso 2 Coloca en él los puntos dados y
únelos para visualizar la distancia a
calcular.
Paso 3 Se designa al punto A
como inicial y se aplica la
fórmula dada.
d AB
3 3
d AB 45
2
2 1
2
30. O bien, si designamos a B como el punto inicial se tiene:
d BA
3 3
2
1 2
2
d BA 45
Como puedes observar la distancia es la misma. No pueden
obtenerse resultados diferentes. Respeta los signos negativos de
la fórmula así como los valores de cada par de coordenadas,
recuerda que esto te evitará cometer errores.
33. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN
UNA RELACIÓN DADA
• Dividir un segmento AB en una relación dada r es el
determinar un punto P de la recta que contiene al segmento
AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la
relación r:
34. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA
RAZÓN DADA
Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de
recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una
razón dada por la expresión que se muestra a continuación,
r
C1C
C2C
se puede decir que las coordenadas del punto C están
dadas por:
x1 rx 2
y1 ry 2
x
,y
; r 1
1 r
1 r
35. Demostración
Considere la figura
Por triángulos semejantes
C1C
r
CC 2
r
Al despejar x
x x1
x2 x
rx 2 rx x x1
Factorizando
x(1 r ) x1 rx2
Finalmente se tiene:
x1 rx 2
x
1 r
x xr x1 rx2
36. Análogamente para y
y1 ry 2
y
1 r
Que corresponde a las coordenadas del punto C(x, y)
Ejemplo: Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A,
que divide al segmento determinado por E(-1, 6) y F(3, -3) en
la razón r = ¾.
37. Solución
La coordenada x, según la expresión
x1 rx 2
x
1 r
y1 ry 2
1 r
Análogamente para la coordenada y,
y
Las coordenadas del punto A serán
5 15
,
7 7
3
1 3
5
4
x
3
7
1
4
3
6 3
15
4
y
3
7
1
4
38. Punto medio de un segmento de recta
Un caso particular que encontramos, es cuando r = 1, en las
ecuaciones:
x
x1 rx 2
1 r
y
y1 ry 2
1 r
Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente:
x
x1 x2
2
y
Que se conoce como punto medio
y1 y 2
2
39. Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto medio del
segmento comprendido por los puntos
C(3, 6) y D(-4, -2).
Solución: Identificando al punto C como punto inicial se tiene:
x
34
1
2
2
y
62
2
2
Por lo tanto las coordenadas del punto medio son:
1
A ,2
2
