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Tema1 a sistema_de_fuerzas_y_equilibrio_de_un_cuerpo_rigido

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  • 1. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 1 UNIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA FACULTAD DE TECNOLOGIA TEMA 1: SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO MATERIA: RESISTENCIA DE MATERIALES CUARTO SEMESTRE Docente: ALBERTO AYAVIRI PANOZO SUCRE – JULIO DE 2013
  • 2. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 2 TEMA 1 SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO 1.1 INTRODUCCIÓN 1.1.1 MECANICA Es parte de la física que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas que actúan sobre cuerpos sólidos, líquidos, gaseosos. La estática que estudia a los cuerpos rígidos y la resistencia de materiales estudia los cuerpos deformables es lo que veremos en esta materia. En realidad, en la naturaleza no existen cuerpos absolutamente rígidos. Todos los cuerpos se DEFORMAN EN MAYOR O MENOR GRADO, BAJO LA ACCION DE LAS FUERZAS QUE INTERVIENEN. Pero en el caso de los materiales utilizados en las estructuras, las deformaciones que sufren (dentro de ciertos límites), SON PEQUEÑAS Y PUEDEN NO SER CONSIDERADAS SIN MAYOR ERROR (Hipótesis de la Rigidez). Para que una ESTRUCTURA no se destruya es necesario, que todas las fuerzas ACTUANTES SOBRE LA MISMA ESTÉN EN EQUILIBRIO. EL MATERIAL DEBE RESISTIR A LAS FUERZAS EN EQUILIBRIO Y LO DEBE HACER CON SEGURIDAD Y ECONOMÍA. (Que se estudia en RESISTENCIA DE LOS MATERIALES) Cuando hablamos de fuerzas hay que pensar en todas aquellas que son PERMANENTES o las que aparecen en forma accidental (vientos). 1.1.2 EQUILIBRIO DE FUERZAS Existen dos clases de magnitudes • Escalares • Vectoriales Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente definidas dando un número y la unidad correspondiente. Ejemplo: el volumen (5 litros), la longitud, la masa
  • 3. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 3 Magnitudes vectoriales: son aquellas en el que el número y la unidad correspondiente no son suficientes para que la Magnitud quede bien definida ya que requiere de dirección para que este bien definida. Ejemplo: La fuerza, el desplazamiento, la velocidad CONCEPTO DE FUERZA: Fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los materiales Es una magnitud vectorial Los elementos que definen con precisión a la magnitud de la Fuerza son CUATRO: Figura 1.1 En la Fig. 1.1 se muestra una esfera apoyada sobre una superficie plana a la que aplicamos una fuerza y empujamos horizontalmente, la esfera tendera a desplazarse. Se ha modificado su estado de reposo por efecto de la acción exterior, moviéndose en el sentido en que la hemos ejercido la fuerza. Esto nos permite establecer que para que una fuerza pueda perfectamente ser definida es necesario conocer 4 parámetros: 1. Intensidad De La Fuerza 2. Punto De Aplicación 3. Dirección 4. Sentido 1. INTENSIDAD DE LA FUERZA: Es el valor de esa fuerza, expresada en en Newton, Libras Fuerza 2. PUNTO DE APLICACIÓN: donde se encuentra aplicada la fuerza. 3. DIRECCIÓN: la recta A-A define la dirección en que la fuerza tiende a mover a la esfera. 4. SENTIDO: el sentido de la misma será igual al sentido del movimiento de la esfera. HIPÓTESIS DE LA ESTÁTICA 1. Hipótesis de la Rigidez, expresa que todos los cuerpos son indeformables.
  • 4. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 4 2. Una fuerza puede trasladarse a lo largo de su recta de acción sin que su efecto varíe. La fuerza puede ser aplicada en A, B, o C y el efecto que ello produce no varia. Cuando coloco en B dos fuerzas IGUALES en sentido contrario, no altera el Problema = ( A ) ( B ) ( C ) Figura: 1.4 SISTEMA DE FUERZAS: Dos o más fuerzas constituyen lo que denominamos un SISTEMA DE FUERZA. Según la posición RELATIVA que guardan las fuerzas entre sí, clasificamos a los sistemas en: • SISTEMA DE FUERZAS COLINIALES O COINCIDENTES: son aquellas en que todas las fuerzas están aplicadas sobre una misma recta. • SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES O ANGULARES: constituidas por fuerzas cuya RECTA DE ACCIÓN concurren a un mismo punto.
  • 5. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 5 • SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS: son las constituidas por fuerzas cuyas recta de acción son PARALELAS. • SISTEMA DE FUERZAS NO CONCURRENTES: son las constituidas por fuerzas que no pertenecen a ninguno de los sistemas anteriormente definidos. TIPOS DE FUERZAS: Resultantes: Si tenemos un sistema de fuerzas cualesquiera actuando sobre un cuerpo y podemos reemplazar todas las fuerzas por una única, que cause el mismo efecto que todas las fuerzas del sistema, esa fuerza recibe el nombre de RESULTANTE. Componentes: las fuerzas que originan a la resultante reciben el nombre de COMPONENTES. Equilibrante: es una fuerza que siendo colineal con la resultante, tenga igual intensidad pero sentido contrario. Figura 1.9 1.1.3 PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA La solución de los diferentes problemas de la Estática se basa en la aplicación de diferentes AXIOMAS llamados PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA. PRIMER PRINCIPIO: Denominado el principio del paralelogramo de las fuerzas. Si dos fuerzas representadas por los vectores AB y AC que forman un Angulo entre sí “α” como se muestra en la Fig. 1.10 a
  • 6. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 6 Figura 1.10 Están aplicadas a un cuerpo en el punto A, su acción es equivalente a la de una única fuerza, representado por el vector AD, obtenido como diagonal del paralelogramo constituido sobre los vectores AB y AC y dirigido en la forma que indica la figura 1.10a De igual modo se puede construir el triángulo ACD (Fig. 1.10b), de aquí deducimos que el vector AD obtenido constituye la SUMA GEOMÉTRICA de los vectores AC y CD. Ahora bien si el ángulo α es infinitamente pequeño, entonces la RESULTANTE de dos fuerzas COLINEALES es igual a su SUMA ALGEBRAICA. • Del principio del paralelogramo de las fuerzas, se deduce que dos fuerzas aplicadas en un punto pueden ser reemplazadas por su resultante que es equivalente a ellas. • Dos fuerzas colineales solo pueden estar en equilibrio si su resultante es cero. SEGUNDO PRINCIPIO: Dos fuerzas pueden estar en equilibrio únicamente en el caso en que sean de igual magnitud y que actuando a lo largo de la misma recta de acción tengan sentidos opuestos. Figura 1.11 AD es resultante de AB y AC que son componentes de la fuerza AD.
  • 7. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 7 TERCER PRINCIPIO: La acción de un sistema de fuerza dada no se altera, en modo alguno, si agregamos o quitamos a estas fuerzas cualquier otro sistema de fuerza en equilibrio. (a) (b) (c) Figura 1.12 De aquí surge el TEOREMA DE LA TRANSMISIBILIDAD DE UNA FUERZA, una fuerza P que actúa en el punto A de un cuerpo rígido (Fig., 1.12a) puede trasladarse a cualquier otro punto B de su recta de acción sin alterar el efecto de la fuerza sobre el cuerpo. CUARTO PRINCIPIO: Cualquier presión ejercida sobre un apoyo, determina una presión igual y de sentido contrario por parte del apoyo, de manera que acción y REACCIÓN son dos fuerzas iguales y de sentido contrario. 1.2 MOMENTO DE UNA FUERZA 1.2.1 FORMULACIÓN ESCALAR Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, está producirá una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta tendencia a girar se denomina momento de una fuerza. El momento Mo con respecto a un punto O, o con respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud y dirección especifica. Mo = F.d (Nm) La magnitud del momento es directamente proporcional a la magnitud de F y a la distancia perpendicular o brazo de momento d.
  • 8. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 8 La dirección de Mo está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d. Figura 1.13 Como convención consideraremos de manera general los momentos positivos a los que tienen sentido contrario a las manecillas del reloj. El momento resultante (MR) con respecto al punto O de la figura 1.13, puede determinarse al encontrar la suma algebraica de los momentos causados por todas las fuerzas en el sistema. (MR)o = ∑F.d (MR)o = F3d3 - F2d2 - F1d1 1.2.2 FORMULACIÓN VECTORIAL Figura 1.14 EI momento de una fuerza F con respecto al punto O (Fig. 1.14), o realmente con respecto al eje del momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, puede expresarse por el producto vectorial. Mo = r x F
  • 9. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 9 r es un vector de posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F. La magnitud del momento MO es: Mo = rFsen θ PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD Figura 1.16 • La fuerza F aplicada en cualquier punto A, crea un momento respecto a O dado por MO = rA x F • F tiene las propiedades de un vector deslizante, ya que puede ser aplicada en cualquier punto de su línea de acción (principio de transmisibilidad). • Por lo tanto FORMULACIÓN CARTESIANA • Para la fuerza expresada en forma cartesiana, Si r se aplica en un punto de la línea de acción, ya que d = r sinθ, MO = rF sinθ = F (rsinθ) = Fd La dirección y sentido de Mo están determinados mediante la regla de la mano derecha (Fig.1.15) Figura 1.15
  • 10. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 10 donde; rx, ry,rz : Representan las componentes r del vector de posición trazado desde el punto O hasta cuaIquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Fx, Fy,Fz:. Representan las componentes x, y , z del vector fuerza El significado físico de esas tres componentes de momento resulta evidente al estudiar la figura1.18. En la componente i, Mo puede determinarse a partir de los momentos Fx, Fy, y Fz con respecto al eje x. La componente Fx no genera un momento o tendencia a girar con respecto al eje x. puesto que esta fuerza es paralela al eje x. La línea de acción de Fy para por el punto B y entonces la magnitud del momento de Fy con respecto al punto A sobre el eje x es rzFy. Por la regla de la mano derecha, esta componente actúa en la dirección i negativa. De igual forma, Fz pasa por punto C y por lo tanto aporta una componente de momento de ry Fzi con respecto al eje. Así, (MO)x = (ryFz- rzFy) como se muestra en la ecuación. Mo siempre será perpendicular al plano que contiene los vectores r y F. MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS Si un sistema de fuerza actúa sobre un cuerpo. El momento resultante de las fuerzas respecto a O puede determinarse mediante adición vectorial. MRo = Σ(r x F) Figura 1.17 MO = (ryFz – rzFy)i – (rxFz - rzFx)j + (rxFy – ryFx)k Figura 1.18
  • 11. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 11 1.3 PRINCIPIO DE MOMENTOS Conocido también como el teorema de Varignon: F = F1 + F2, MO = r X F = r X (F1 + F2) = r X F1 + r X F2 1.4 MOMENTO DE UN PAR Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con direcciones opuestas. y están separadas Por una distancia perpendicular d, figura 1.24. Como la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es producir una rotación o tendencia a rotar en una dirección específica. Por ejemplo, imagine que usted conduce un automóvil con ambas manos en el volante y está haciendo un giro. Una mano empujará el volante mientras que la otra lo jalará, con esto el volante girará. Momento del par es igual a la suma de los momentos de las fuerzas del par respecto a cualquier punto arbitrario. “El Momento de una fuerza respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de esa fuerza respecto al punto” Figura 1.19 Figura 1.23 Figura 1.24
  • 12. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 12 1.4.1 FORMULACIÓN ESCALAR El momento de un par, M, figura 1.25, se define con una magnitud de: M = Fd Donde F es la magnitud de una de las fuerzas y d la distancia perpendicular o brazo de momento entre las fuerzas. La dirección y sentido de M son determinados por la regla de la mano derecha. M actúa perpendicularmente al plano que contiene las fuerzas. 1.4.2 FORMULACIÓN VECTORIAL El momento de un par se expresa como: M = r X F 1.4.3 PARES EQUIVALENTES Dos pares son equivalentes si producen el mismo momento con la misma magnitud y dirección. Las fuerzas de pares equivalentes están en el mismo plano o en planos paralelos. Figura 1.26 Por ejemplo, los dos pares mostrados en la figura 1.26 son equivalentes porque cada momento de par tiene una magnitud M = 30 N(0.4m) =40 N(0.3m) = 12 N.m, y cada uno de ellos está dirigido hacia el plano de la página. Observe que en el segundo caso se requieren fuerzas más grandes para crear el mismo efecto de giro, debido a que las manos están colocadas más cerca una de la otra. Además, si la rueda estuviera conectada al eje en un punto distinto de su centro, ésta giraría de igual forma al aplicar cada uno de los pares porque el par de 12 N.m.es un vector libre. Figura 1.25
  • 13. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 13 Como los momentos de par son vectores libres, sus resultantes pueden determinarse mediante la suma de vectores. MR=∑(rxF) 1.5 SIMPLIFICACIÓN DE SISTEMA DE FUERZAS Y PARES En ocasiones es conveniente reducir un sistema de fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo a una forma más sencilla, esto se puede hacer si se reemplaza con un sistema equivalente, que conste de una sola fuerza resultante la cual actúe en un punto específico y un momento de par resultante. Un sistema equivalente es aquel que causa los mismos efectos externos que los causados por el sistema de fuerzas y pares originales. Los efectos externos que causan un sistema son los movimientos de traslación y la rotación de un cuerpo si este es libre de moverse, o se refieren a las fuerzas reactivas en los soportes si el cuerpo se mantiene fijo. Figura 1.27 Por ejemplo, considere que se sujeta la varilla de la figura 1.27a, la cual está sometida a la fuerza F en el punto A. Si añadimos un par de fuerzas iguales pero opuestas F y -F en el punto B, que se encuentra sobre la línea de acción de F (figura 1.27b), observamos que -F en B y F en A se cancelarán entre sí. y queda sólo F en B, figura 1.27c. Ahora, la fuerza F se ha movido desde A hasta B sin modificar sus efectos externos sobre la varilla; es decir, la reacción en el agarre permanece igual. Lo anterior demuestra el principio de transmisibilidad, el cual establece que una fuerza que actúa sobre un cuerpo (varilla) es un vector deslizante puesto que puede aplicarse sobre cualquier punto a lo largo de la línea de acción. Figura 1.28 El procedimiento podemos usar para mover una fuerza hasta un punto que no está sobre la línea de acción de la fuerza. Si F se aplica en forma perpendicular a la varilla, como en la figura 1.28a, podemos añadir un par de fuerzas iguales pero opuestas F y -F a B (figura 1.28b). Ahora la fuerza F se aplica en B, y las otras dos fuerzas, F en A y -F en B, forman un par que produce el momento de par M = Fd (figura 1.28c). Por lo tanto la fuerza F puede moverse desde A hasta B siempre que se añada un momento de par M
  • 14. SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1 ALBERTO AYAVIRI PANOZO 14 para mantener un sistema equivalente. Este momento de par se determina al tomar el momento de F con respecto a B. Como M es en realidad un vector libre, puede actuar en cualquier punto de la varilla. En ambos casos los sistemas son equivalentes, lo que produce una fuerza descendente F y un momento de par M = Fd en el sentido de las manecillas reloj, que se siente en el punto de sujeción. Para simplificar un sistema de fuerza y par a una fuerza resultante FR que actúe en el punto O y un momento de par resultante (MR)o, puede generalizarse mediante la aplicación de las dos ecuaciones siguientes. La primera ecuación establece que la fuerza resultante del sistema es equivalente a la suma de todas las fuerzas; y la segunda ecuación establece que el momento de par resultante del sistema es equivalente a la suma de todos los momentos de par ∑M más los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas ∑MO. Si el sistema de fuerzas se encuentra en el plano X- Y y cualesquier momentos de par son perpendiculares a este plano, entonces las ecuaciones anteriores se reducen a las siguientes tres ecuaciones escalares: PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS 1. Establecer los ejes de coordenadas con el origen en el punto O con una determinada orientación. 2. Sumar las fuerzas. Si el sistema de fuerzas es coplanar, descomponga cada fuerza en sus componentes x y y. Si una componente está dirigida a lo largo de los ejes x y y positivos, representa un escalar positivo; mientras que si está dirigida a lo largo de los ejes x y y negativos, es un escalar negativo. En tres dimensiones, represente cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las fuerzas. 3. Sumar los momentos. Por lo general, al determinar los momentos de un sistema de fuerzas coplanares con respecto a O, es conveniente aplicar el principio de momentos de las componentes de cada fuerza en vez del momento de la fuerza en sí. En tres dimensiones use el producto vectorial.