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María de los ángeles villanueva cañizalez

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  • 1. María de los Ángeles Villanueva cañizalezC.I.: V- 20469295INFORMATICA/ SECCION “C” Algebra booleana o Algebra Boole  Aplicaciones De Los Circuitos Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico en el año 1854. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.  Definición Literal: se refiere a una variable o a su complemento (por ej. A, X, ) Termino producto: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre sí por un AND (por ej. A·B, C·A, ·Y·Z) Termino suma: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre sí por un OR (por ej. A+B, C+A, +Y+Z) Termino normal: termino producto o termino suma en el que un literal no aparece más de una vez Termino canónico: termino en el que se encuentra exactamente uno de cada uno de los literales de la función. Si el término canónico es un producto, se denominará min término. Si es una suma se denominará Max término, Forma normal de una función: es la que está constituida por términos normales. Puede estar en la forma suma de términos productos o productos de términos sumas. Forma canónica de una función: es aquella constituida exclusivamente por Términos canónicos que aparecen una sola vez.  Circuito combinaciona Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanasbásicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salidacorresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementavarias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste hecho, cada salidarepresenta una función booleana diferente.Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se tratade un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se debeniluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, sedeben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatroentradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario enel rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cadafunción lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal
  • 2. segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para losvalores 0000, 0010, 0110 y 1000. En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor deentrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, losdecodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad paradesplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representacioneshexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a laaquí representada para los valores numéricos.0 a b c d e f1 b c2 a b d e g3 a b c d g4 b c f g5 a c d f g6 c d e f g7 a b c8 a b c d e f g9 a b c f g Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema decómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir ymuchas otras aplicaciones más.  Álgebra Booleana y circuitos electrónicos La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, dehecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos decompuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico yviceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOTpodemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando lascompuertas lógicas homónimasUn hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando unasola compuerta, ésta es la compuerta NANDPara probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertasNAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y unacompuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementarcualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Paraconstruir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND.
  • 3. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos lasalida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a AAND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuertaAND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND seanlo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizares la compuerta lógica OR, esto es sencillo si utilizamos los teoremas de De Morgan, que ensíntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se inviertecada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:A OR BA AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de De MorganA AND B.....................Segundo paso para aplicar el teorema de De Morgan(A AND B)..................Tercer paso para aplicar el teorema de De Morgan(A AND B) = A NAND B.....Definición de OR utilizando NANDSi se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dosbuenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundolugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observeque es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR= NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre lacorrespondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchoscircuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.  Aplicaciones del algebra booleana  Algebra booleana aplicada a la informática Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente. Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no sonbooleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricosnormalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizandoen valor booleano.  Algebra de boole ligada a la cotidianidad: Toda las operaciones que se realiza en un sistema digital, ya sea un computador, un teléfonomóvil, un reloj o una calculadora utiliza las operaciones definidas por el algebra de boole pararealizar sus funciones. Unas veces estas funciones vendrán implementadas por un software yotras por un hardware. Tengamos en cuenta que el algebra boole se extiende a partir de la lógicapara definir todas las operaciones aritméticas como las sumas y las multiplicaciones.  Compuertas lógicas Puerta SÍ la puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (buffer en inglés). Su tabla de verdad es la siguiente:Tabla de verdad puerta SIEntrada A Salida A 0 0 1 1
  • 4. Puerta AND La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND ( ), realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B. Su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta ANDEntrada Entrada Salida 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Puerta OR La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR ( ), realiza la operación de suma lógica. Su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta OREntrada A Entrada B Salida 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si al menos una de sus entradas está a 1. Puerta OR-exclusiva (XOR) La puerta lógica OR-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana AB+AB. Su símbolo es el más (+) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica. su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta XOREntrada A Entrada B Salida 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
  • 5. Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej.: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). Se obtiene cuando ambas entradas tienen distinto valor. Si la puerta tuviese tres o más entradas, la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa, para tres entradas XOR de tres entradasEntrada A Entrada B Entrada C Salida 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la puerta XOR implementa la suma módulo 2, pero mucho más simple de ver, la salida tendrá un 1 siempre que el número de entradas a 1 sea impar.  Lógica negativa Puerta NO (NOT) La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión o negación de una variable lógica. Una variable lógica a la cual se le aplica la negación se pronuncia como "no A" o "A negada". Su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta NOT Entrada A Salida 0 1 1 0 Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en su entrada. [Puerta NO-Y (NAND) La puerta lógica NO-Y, más conocida por su nombre en inglés, realiza la operación de producto negado. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica. su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta NAND Entrada A Entrada B Salida 0 0 1
  • 6. 0 1 1 1 0 1 1 1 0Podemos definir la puerta NO-Y como aquella que proporciona a su salida un 0 lógicoúnicamente cuando todas sus entradas están a 1.Puerta NO-O (NOR)La puerta lógica NO-O, más conocida por su nombre en inglésNOR, realiza la operación desuma lógica negada. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolosen electrónica.su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta NOREntrada A Entrada B Salida 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0Podemos definir la puerta NO-O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico sólocuando todas sus entradas están a 0. La puerta lógica NOR constituye un conjunto completode operadores.Puerta equivalencia (XNOR)La puerta lógica equivalencia, realiza la función booleana AB+~A~B. Su símbolo es unpunto (·) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolosen electrónica. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puertaXNOR es: su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta XNOREntrada A Entrada B Salida 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1Se puede definir esta puerta como aquella que proporciona un 1 lógico, sólo si las dosentradas son iguales, esto es, 0 y 0 ó 1 y 1 (2 encendidos o 2 apagados). Sólo es verdadero siambos componentes tiene el mismo valor lógico.