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Derivada interpretación geométrica
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Derivada interpretación geométrica

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  • 1. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADAUno de los problemas que posibilitan el surgimiento del CálculoDiferencial, fue el relacionado con las rectas tangentes a una curvacualquiera. Más precisamente, el relacionado con las rectastangentes a una curva cualquiera, encontrar una buena definiciónde recta tangente, y hallar un método que permitiera trazarla conexactitud.¿Cuál es esa buena definición de recta tangente a una curva, en unpunto dado de ella, y cómo trazarla?De acuerdo a tus conocimientos de geometría euclidiana contestalas preguntas: A Figura 1.¿Cuál es la definición de recta tangente a una circunferencia, enunos de sus puntos?¿Cómo trazas esa recta tangente?Ambas preguntas son fáciles de responder, si se considera elproblema de definir recta tangente a una curva cualquiera, en unosde sus puntos y, más aún si se pide un método de trazarla.El Cálculo diferencial respondió estas dos preguntas.El objetivo es hacer un análisis, desde el punto de vista matemático,de los conceptos involucrados en ella. 1
  • 2. ¿Qué es ángulo de inclinación de una recta?¿A qué es igual la tangente del ángulo de inclinación?¿A qué se le llama pendiente de una recta?¿Cómo determinas la pendiente de una recta?¿Cómo son las pendientes de dos rectas perpendiculares?¿Qué expresión simbólica indica el hecho de que dos rectas seanperpendiculares entre ellas?¿Qué diferencia hay entre el concepto de recta secante y el de rectatangente, a una curva dada?Interpretación geométrica de la derivada de una función.De la Figura 2, se sabe lo siguiente: las rectas S y T se llamansecante (que pasa por los puntos A y B) y tangente en el punto A,respectivamente, a la curva dada por y=f(x).Apóyate en esta Figura para responder las siguientes preguntas. 2
  • 3. Figura 2.Figura 2. Rectas secante y tangente a una curva¿Cómo defines recta secante a una curva?¿Cómo defines recta tangente en un punto A de una curva?La definición que diste de recta tangente, es este caso, ¿coincidecon la definición de recta tangente a una circunferencia?¿Por que?¿Crees que haya algún método geométrico para trazar la rectatangente a una curva?¿Cuál es?Interpretación geométrica de la derivada de una función,continuación 3
  • 4. Apóyate en la Figura 2 para seguir el siguiente razonamiento ycontestar las preguntas planteadas en seguida.Tal como está la Figura 2, el ángulo de inclinación de la rectasecante S es mayor que el ángulo de inclinación de la rectatangente T ¿Por qué?Considera que la recta secante S se mueve alrededor del punto A,siguiendo el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.Esto implica que el punto B tiende al punto A.Explica el sentido que tiene la expresión: B tiende al punto A.Considera que el ángulo de inclinación de la recta secante S es α αy el de la recta tangente T es θ. ¿Qué significado geométrico tienela expresión: ∆x →0 α = θ ? limDe la expresión lim α = θ ∆x →0 se sigue ∆x →0 tan α = tan θ ¿Qué limsignificado geométrico tiene esta última expresión simbólica?Explica, desde el punto de vista geométrico, la afirmación: lim tan α = tan θ = pendiente de la recta tangente en A. ∆x →0 ∆yEn símbolos: tan α = ∆x→0 lim , Explica, desde el punto de vista ∆xgeométrico, esta afirmación. 4
  • 5. Por otro lado: ∆y = f ( x +∆x) − f ( x) , de aquí que la expresiónsimbólica precedente se convierte en ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) tan θ = lim ∆x →0 ∆x = ∆lim0 x→ ∆x .Explica esta afirmación: f ( x + ∆x) − f ( x)Si ∆x = h , entonces la expresión simbólica ∆lim0 x→ ∆x = lim f ( x + h) − f ( x ) h→ 0 h¿Por qué?Información adicional sobre la interpretación geométrica de laderivada: f ( x + h) − f ( x )La expresión simbólica lim h→ 0 h = tan θ representa laderivada de la función.y=f(x) en el punto (x, f(x)). Las notaciones más comunes, en loslibros de Cálculo Diferencial, para simbolizar el concepto de d ∆y d ∆yderivada son (y), f’(x), ∆x . Así las siguientes dx ∆ x dx 5
  • 6. expresiones simbólicas son equivalentes, pues representanexactamente lo mismo lim f ( x + h) − f ( x ) d lim f ( x + h) − f ( x )a) h→ 0 h = f’ (x), b) dx y= h→ 0 h ,c) Tang. del ángulo de inclinación de la recta tangente m(x)=f’(x).De hecho, esta información puede ser resumida de la manerasiguiente: el valor numérico de la derivada en algún punto (x0, f(x0)) de la curva dada por la función y= f(x) es igual a lapendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. O ensímbolos: f’ (x0)= m(x0) f ( x + h) − f ( x )m (x)= f’(x) = lim h→ 0 h 6
  • 7. SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN PROBLEMA PLANTEADACON ANTERIORIDAD:Consideremos una función real continua con regla decorrespondencia y = f(x), su gráfica y los puntos P1(x1, y1) y P2(x2,y2) que se encuentran sobre la gráfica:En la gráfica se considera lo siguiente: • Por el punto P1(x1, y1) se traza una recta tangente T a la curva y = f(x). • Por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se traza una recta secante S a la curva y = f(x). • θ denota el ángulo de inclinación de la recta secante a la curva y = f(x). • Se marca el incremento de la variable independiente Δx, donde Δx= x2 - x1 • Se marca el incremento de la variable dependiente Δy, donde Δy= f(x2) – f( x1) • Se marca el triángulo rectángulo P1QP2. 7
  • 8. Del triángulo rectángulo P1QP2.La tangente trigonométrica del ángulo θ es: ∆f (x) tanθ = ∆xRepresenta la pendiente ms = de la recta secante a la curva y = f(x)en los puntos P1 y P2. Esto es: ∆f (x) f (x + ∆x) − f (x) ms = tan θ = = ∆x ∆x 8
  • 9. Si el punto P1 se mantiene fijo y se hace variar el punto P2 hacia elpunto P1 sobre la curva, el ángulo de inclinación θ de la rectasecante varía en cada una de las posiciones de la recta del punto P2.Sí el punto P2 se aproxima cada vez más al pinto P1, el valor de latangente trigonométrica del ángulo θ también variará.Como la curva y = f(x) es continua, el punto P2 se puede aproximaral punto P1 tanto como se quiera, de tal manera que:Sí Δx → 0, entonces Δf (x) → 0En consecuencia la recta secante S a medida que Δx → 0 seaproxima a la recta tangente T, esto es:Sí Δx → 0, entonces mS → mTPor lo tanto, en el límite cuando Δx → 0 f ( x + ∆x ) − f ( x)mT = ∆lim0 x→ ∆x = Dx f(x)Por lo tanto la derivada de una función evaluada en un punto,geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a lacurva en ese punto.En general, la derivada de una función es cualquiera de suspuntos, geométricamente representa la pendiente de las rectastangentes a la curva en esos puntos. Esto es:mT = Dx f(x)OBTENER LA DERIVADA DE f(x)= 4x2 -6x -8 9
  • 10. Aplicando la definición de la derivada: f ( x + h) − f ( x )Dx f(x)= lim0 h→ hResulta: 4( x + h)2 − 6( x + h) −8 − (4 x 2 − 6 x −8) = lim h→ 0 hElevando el binomio (x + h) al cuadrado y realizando los productosindicados, se tiene: 4( x 2 + 2 xh + h 2 ) − 6 x − 6 h − 8 − 4 x 2 + 6 x − 8 = lim h→ 0 h 4 x 2 + 8 xh + 4h 2 ) − 6 x − 6h − 8 − 4 x 2 + 6 x − 8 = lim h→ 0 hSimplificando: 8 xh + 4 h 2 − 6h = lim h→ 0 hRealizando la división: = lim (8 xh +4h −6) h→ 0Finalmente, calculando el límite cuando h 0 se obtiene la →derivada de la función:Dx f(x)=8x – 6 10

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