Matematica 10. geometria kreemly perez

4,313 views
3,962 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
3 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
4,313
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
46
Actions
Shares
0
Downloads
376
Comments
1
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matematica 10. geometria kreemly perez

  1. 1. Editorial Rex, S ~A. Cz'Central No. 42, 30 de Mayo . Tels.:533-8204, 535-~242, Apdo'. 888-2 Santo Domingo, R. D.,-1991 (Círculo de estudio para la Matemática escolar - 1989) Este libro trata de enseñar el infin ito en el único en que se da: La Matemática. (David Hilbert - '900) "EI Infinito no se encuentra realizado e~parte a)gima . del universo", "El tema más cerecterlstico de la M~temática es el del Intinito". Matemática 1O GEOMETRI'A
  2. 2. Impreso en República Dominicana Printed in Dominican Republic Prohibida. la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización. 2da. Edición 1991. © Editorial Rex, S. A. Editora de Colores, S. A. Calle Juan Tomás Mejía y Cotes No. 8, Arroyo Hondo, Santo Domingo, R. D. .Tels.: 567-3214/ 17 Impresión: Margot SantosDiagramación: Editorial Rex, S. A.Composición: Kreemly PérezCoordinador: Rita Abbott Haydee Miller Vidalina González Consuelo Ruiz Kreemly Pérez Autores: Matemática lO-GeometríaTítulo:
  3. 3. 1991 Santo Domingo, República Dominicana Editorial Rex, S.A., Rita Abbott Haydee Miller Vidalina González Consuelo Ruiz Kreemly Pérez Autores: Matemática 1O GEOMETRIA
  4. 4. Desde que en la Grecia de los siglos V y IV a.C. se escribieron los primeros textos de Geometría (de los cuáles el de Euclides alcanzó un éxito secular), se ha recono- cido que es en esta teoría donde con más claridad se aprecia la naturaleza íntima de la Ciencia Matemática. La estructura axiomático-deductiva, ensamblada en el interior de la lógica, ha dado como resultado los sistemas formalizados de los cuales la Geometría es un claro exponente. Así la extraordinaria labor de los grandes matemáticos de principio. de siglo -entre los cuáles brilla el gran David Hilbert- no ha hecho más que sacar en relieve pronunciado lo que venimos apuntando. No puede, entonces, permitirse en modo alguno la existencia de un texto de Geometría actual que no transparente la específica e íntima naturaleza c....:!ümático-deductiva de la Ciencia Matemática. Si se hiciera, significaría estropear la verdad y deformar las mentes juveniles res- pecto de lo que la matemática de hoy significa. Los autores de este texto, miembros del "Círculo de Estudio para la Matemática Escolar", quieren poner en manos de los docentes un instrumento idóneo, seria- mente trabajado, que llene el vacío total, que late en nuestro medio, de un texto auténtico de Geometría actual. En este sentido podemos reseñar las principales características del presente texto: 1. Uso del sistema de axiomas propuesto por David Birkoff en la variante usada por el "Grupo de Estudio de la Matemática Escolar' (SMSG). La columna vertebral de un sistema formal es el sistema de axiomas o Postula- dos. Sin ellos tendríamos el tristísimo espectáculo de muchos pseudotextos de Geometría: el espectáculo de la "Geometría invertebrada ", A los Profesores PRESENT ACION
  5. 5. Los Autores Un sistema de axiomas 'es fruto de un arduo trabajo lógico para llenar los diflciles requisitos de: a) Independencia b) Consistencia c) Completicidad, que debe cumplir todo sistema de Postulados para ser correcto y válido. Eso quiere decir que nadie, antojadizamente, puede quitar o poner axiomas a voluntad ain caer en el vacio lógico, quitando la sensación de seguridad y de sustentación a toda la teoria. . En algunas ocasiones hemos completado el sistema de forma casi redundante poniendo algunos Postulados que precisan otros. Esto, aún cuando redunda, no daña el valor científico, y así ayuda en el aspecto pedagógico del texto. 2. El sistema de definiciones ha sido cuidadosa y armónicamente diseñado, de manera que cada definición cumpla con las condiciones lógicas de una buena definición, y que no sean ni más ni menos que las necesarias para eldesarrollo dela teoría. Advertimos a todos los docentes elcuidado que debe ponerse en este aspecto. 3. La estructura de la demostración de cada Teorema sigue un orden no sólo lógicosino además pedagógico. Para muchos de los Teoremas, sobre todo aquellos que son largos y complicados, hemos diseñado demostraciones informales que llamamos "demostracián. intuitiva". Con ellas intentamos dar claridad al objetivo del teorema y al modo de alcanzarlo. Como los Postulados y Teoremas demostrados son las razones básicas de una demostración, hemos impreso un folleto aparte, (comocomplemento de este texto) que contiene, en orden, los Postulados del sistema y elenunciado de cada uno delos Teoremas con su numeración y página correspondientes. Esto permite nombrar los Postulados y Teoremas por sus números en cada demostración y que el estudiante lo.localice en el folleto rápidamente para conocer.su enunciado, sin necesidad inmediata de tener que hojear a cada momento eltexto. Ello ayudaría a no perder hilación a la demostración. Los autores consideramos que este sistema es una buena aportación pedagógica en la utilidad del texto. 4. Los apartados sobre "La Matemática a través de su historia" han sustituido definitivamente a los "Piensa' de los primeros cursos. Todo el espíritu crítico y la nueva óptica de la Matemática de hoy están contenidos en las cuestiones de este texto de Geometría, aunque, fundamentalmente, estos apartados históricos deben ser leídos como parte del texto. Nunca dejaremos de insistir a los docentes que la lectura continua y el estudio del texto ha de servir de base en la explicación de las clases. Es fundamental la preparación concienzuda de la clase para que las mismas lleven el auténtico mensaje de la Ciencia. La formación Matemática adecuada de la juventud de hoy es un imperativo categórico del desarrollo de nuestro mundo futuro. Finalmente, los autores quieren hacer un reconocimiento de agradecimiento a todo el personal de Editorial Rex, por el enorme derroche, esfuerzos, sacrificios y colaboración para que los textos necesarios de Matemática puedan ser hoy una brillante realidad; y a todos nuestros compañeros en la docencia les pedimos nuevamente su colaboración a través de esta editora, para que nos hagan llegar sus sugerencias y críticas, de modoque en elfuturo podamos mejorar aún más estos textos que han sido elaborados para el servicio de toda persona que los necesite.
  6. 6. UNIDAD 111: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMET,RiA .., 6 Puntos. Rectas. Distancia , ,., , .. , ..,'.., ,. 78 6.1- Puntos. Rectas. , , , , , , . , , . , ', . . . . . . . . .. 79 6.2- Distancia . , .. , , .. , , , . , , , , . , .. ,: , . . . . .. 81 7 "Entre" segmentos: Medida de' segmentos ' 87 7.1- Idea de punto "entre" otros dos , 89 7.2- Medidas de segmentos. Propiedades , ~. . . . . . . . . .. 91 8 Rayos, Punto medio: Existencia y Unicidad, , .. , 99 8.1- Rayos. Rayos opuestos" , 101 8.2- Vectores euclídeos. Operaciones y propiedades , 102 8.3- Propiedades de la suma vectorial y el producto por un número , 107 8.4- Teoremas de existencia y unicidad. Punto medio 110 8.5- Mínima distancia entre dos puntos ,. , , ' 115 La Matemática a través de su historia: "Los Elementos", Punto de partida: Euclides. ' , , , . , , , .. , . , , , 117 9 Figuras geométricas. Angulos Centra les 118 9.1- Figuras geométricas. . , 119 9.2- Circunferencia inferior y exterior. Círculo ' 119 9.3- Curvas. Sus clases , , 121 9.4- Conjunto convexo. , , , 123 9.5- Angulos Centrales. Clases. Rectas perpendiculares 127 UNIDAD 11: CONJUNTOS y NUMEROS 4 Los números reales, , , , . , , , , . , , .. , , . , , , . , . , , , . , . , , . , , . , :. 55 5 Ideas de la teoría de conjuntos, , , , , , , , " 64 5.1- Conceptos elementales. Repaso general .. , . , , , , : , .. 65 5.2- Conjuntos finitos, infinitos, limitados e ilimitados , ~ , 69 La Matemática a través de su historia: Las Paradojas del Infinito': Bernardo Bo/zano ,~ : c; '. 76 LOGICA El alma de la Matemática: La Lógica........................ 9 1.1- Lenguaje informal y formal. Lógica e intuición 11 1.2- Palabras o conceptos no definidos y definidos. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 1.3- Postulados y teoremas 20 2 La Lógica Simbólica 26 2.1- Proposiciones y sus clases 27 2.2- Proposiciones compuestas básicas. Tablas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 2.3- Contingencia y equivalencia lógica. Tautologías y contradicciones , 37 La Matemática a través de su historia: Tres grandes Geámetras: Pasch - Hilbert - Birkhoff ";' 40 3 Los métodos' de demostración :. 42 3.1- La implicación y sus cIases , , , , , , , . , , , , . , . , , : : ,·.43 3.2- Los tres métodos para "demostrar" a. Directo b. Indirecto c. Contrarrecíproco ",.,.,,:, .... , 46 Pág. INDICE DE GEOMETRIA UNIDAD 1:
  7. 7. UNIDAD VII: SEMEJANZA 19 Proporcionalidad. Propiedades - 247 19.1- Proporcionalidad 249 19.2- Propiedades de las proporciones 251 La Matemática a través de su historia: José Louis Lagrange. La más grandiosa pirámide 254 20 Noción de semejanza 256 20./- Definición de figuras semejantes 257 20.2- Triángulos semejantes , 262 UNIDAD VI: 'LA CIRCUNFERENCIA 18 Líneas y Angulos 228 18.1- Líneas principales. Arcos y Angulos Centrales 229 18.2- Angulos inscritos y semi-i nscritos 241 UNIDAD V: LINEAS PARALELAS 14 Paralelismo. Secantes y Angulos importantes 184 14.1- Definición. Secante. Angulos alternos internos y correspondientes 185 14.2- Postulado de Euclides. '.' 190 15 Paralelas y Triángulos 196 15.1- Suma de los ángulos de un triángulo 197 15.2- Angulo externo de un triángulo 198 15.3- La congruencia de triángulos LLA , 201 La Matemática a través de su historia: Se prueba un Postulado ...................•........... , ' .205 16 Desigualdades en el triángulo zue 17 Cuadriláteros : 214 17.1- Definición y clasificación. Paralelogramo ~ 215 17.2- Paralelas y Secantes 224 UNIDAD IV: CONGRUENCIA y TRIANGULOS 11 Figuras congruentes. Triángulos congruentes 148 11.1- Idea general de congruencia 149 11.2- Triángulos y su clasificación 153 11.3- Congruencia de triángulos 154 12 Triángulos Superpuestos 160 1'2.1- Construcciones en las demostraciones 161 12.2- Triángulos superpuestos 165 13 Bisectrices y Mediatrices 172 13.1- Bisectriz de un ángulo 173 13.2- Mediatriz. Lugar geométrico 180 10 Medida de ángulos. Congruencia de segmentos y ángulos .. " - 132 10.1- Angulo. Exterior e interior. Medidas 133 10.2- Arcos de circunferencia. Medida de ángulos 135 10.3- Idea de congruencia. Congruencias de segmentos y ángulos : 142
  8. 8. UNIDAD VIII: POLIGONOS y AREAS 22 Regiones poligonales y cálculo de áreas 287 22.1- Regiones poligonales. Postulados sobre el área 289 22.2- Areas de cuadriláteros y proporcionalidad con áreas 297 23 Polígonos regulares ' 302 23.1- Propiedades generales de los polígonos 303 23.2- Polígonos regulares 307 23.3- Semejanza y relaciones métricas con polígonos regulares 313 La Matemática a través de su historia: F:I Teorema de Pitdgoras. i Pruebas famosas.' . ...........• 318 24 Areas de figuras circulares 320 24.1- La moderna idea de límite 321 24.2- Longitud de la circunferencia y área del círculo 326 24.3- El cálculo de 1T •.••.•.••.......•••..•.•••.•....•.•.•••..... 332 La Matemática a través de su historia: Las Geometrías no euclídeas , 337 21 Relaciones métricas y Teorema de Pitágoras 269 21.1- Líneas principales de un triángulo 271 21.2- Proporcionalidad en triángulos rectángulos 276 21.3- Teorema de Pitágoras " 280 La Matemática a través de su historia: Geómetras de ocacián. La geometría en los palacios · ·.285
  9. 9. . EL ALMA DE LA MATEMATICA LA LOGICA Capítulo UNIDAD I Lógica
  10. 10. 11 Cualquiera de estos tres aspectos en una "discusión': podrían hacerla interminable y se detendría cuando sus participantes "no deseen seguir discutiendo "por cansancio. Los proble- * * l. Algunas de las palabras empleadas en la discusión no significan lo mismo para cada integrante del grupo. 2. Cada uno acepta como verdad irrefutable lo que afirman y los demás no lo aceptan en lo absoluto. 3. El razonamiento que expresa uno de los 'miembros del grupo no es entendido clara- mente por los otros miembros. * Han terminado las vacaciones y estamos de regreso en la escuela. Este año tendremos una materia interesante: GEOMETRIA. El dibujo muestra la discusión que sostienen varios com- pañeros en el patio de la escuela. Están discutiendo sobre lo que es Geometría y lo que van a estudiar en este año escolar recién iniciado. Si escuchas con atención esta conversación podrás notar que surgen dificultades como las que te señalamos en el cuadro siguiente: En este pasaje del conocido cuento hay algunas enseñanzas muy útiles: ION o debemos hablar sin precisión usando de cualquier modo las palabras, puesto que eso es censurable, sobre todo cuando se trata del lenguaje científico. 2° El lenguaje de la ciencia debe ser hablado con corrección. La lógica te ayudará, en éste y en los demás cursos, a hablar con propiedad el lenguaje matemático. 3° Para hablar con propiedad hay que conocer a fondo el asunto. Debemos hacer, entonces, el propósito de estudiar con dedicación este curso de Geometría, como lo has hecho con tus cursos anteriores, para que entiendas a fondo su contenido y puedas hablar con propiedad el lenguaje matemático, que es la herramienta principal de la ciencia de nuestro siglo.{?<~) 1.1- LENGUAJE INFORMAL Y LENGUAJE FORMAL (Alicia en el país de las Maravillas, Lewis Carroll). "Alicia censuraba a Humpty Dumpty por las libertades que se tomaba con las palabras. Cuando yo uso una palabra -replicó Humpty con tono despectivo- ello significa precisamente aquello que yo quiero decir, ni más ni menos. La cuestión es -dijo A licia- si puedes hacer que una palabra signifique tan (as cosas diferentes. La cuestión es -dijo Humpty- conocer afondo el asunto, eso es todo".
  11. 11. 12 I 0.,- l. ® Es un lenguaje donde: Se escogen conceptos claves cuyo significado se establece en forma precisa, y a partir de los cuales se definen los demás conceptos que van a ser usados. Se señalan las proposiciones que todos deben aceptar como válidas, sin discusión alguna, y a partir de éstas se demuestran las demás proposiciones. Se establecen los métodos correctos para obte- ner "demostraciones" de proposiciones a partir de las ya admitidas previamente. ¿Qué es un Lenguaje Formalizado? G Todo conocimiento o discusión que desee tener carácter científico debe ser hecho en un Ienguaie formalizado. La "discusián" en la Ciencia no es igual que la del hombre corriente. En la Ciencia el lenguaje' se formaliza convenientemente. Cuando se trata de usar los enfoques de la ciencia, las cosas no pueden pasar de manera informal. Si deseamos obtener resultados útiles no es posible que discutamos interminable- mente, sólo por el deseo de ganar la discusión. Los resultados de las,discusiones deben ser de utilidad para todos los que nos rodean y deben realizarse sobre bases sólidas, las cuales podemos lograr por medio de las formalizaciones que tiene el lenguaje de la ciencia. La ciencia ha demostrado, en todas las épocas, la necesidad de formalizar su lenguaje, porque no puede emplear exclusivamente el lenguaje informal. El lenguaje no formalizado o informal es el len- guaje del habla común con el que nos comunica- mos diariamente. mas que observaste en esta situación, se presentan con frecuencia cuando usamos el lenguaje corriente. Si nos acostumbramos a enfocar los problemas y situaciones como lo hace el científico, tendríamos mucho cuidado en el modo en que empleamos el lenguaje. Cuando tengamos aclarados los tres aspectos que indicamos en el cuadro anterior evitaremos las discusiones. Si no se llega a acuerdos sobre esos tres aspectos es inútil "discutir".
  12. 12. 13 Galileo por intuición predijo el resultado de que la pluma y la piedra caerían al mismo tiempo en el vacío. LA INTUICION Ya sabes que en el siglo IV a.C. el filósofo griego Aristóteles de Estagira_esr.ribió el primer libro de Lógica llamado el "Organon". . Pero si la Lógica nos ayuda a crear los "Sistemas Formales ",no menos cierto es que ella ayuda muy poco a descubrir e inventar. La Lógica estudia las leyes del funcionamiento del pensamiento que hacen posible las formalizaciones científicas. Tienes así el esquema completo de lo que es el Lenguaje Formalizado, que algunos llaman "un Sistema Formal" Para' realizar la tarea de formalizar el 'lenguaje contamos con una Ciencia muy antigua: La Lógica. . 2- PROPOSICIONES DERIVADAS O TEOREMAS Son aquellas proposiciones que se "demuestran" usando los rnttodos de demostración a partir de las proposiciones pri- marias o postulados, o de otras ya demostradas. 1- CONCEPTOS DEFINIDOS Son los conceptos cuya definición se hace a partir de los no definidos (, de otros ya previamente definidos. Las consecuencias de la formalización son: 1- CONCEPTOS PRIMARIOS O PRIMITIVOS No diremos la definición de ellos, pero sabremos qué signifi- can cada uno en cada caso. 2- PROPOSICIONES PRIMARIAS O POSTULADOS Son proposiciones que se aceptan como válidas sin pedir demostración de ellas. 3- METODOS DE "DEMOSTRACION" Son procedimientos para determinar la validez o no de las proposiciones que no son primarias. Al tomar en cuenta estas condiciones del lenguaje formalizado se eliminan las dificultades que señalamos como no científicas en una "discusión". Para formalizar el lenguaje necesitamos entonces:
  13. 13. 14 Al ser la geometría una ciencia vamos a tomar muy en cuenta estos dos momentos. Cuando las "demostraciones" vayan a ser muy largas y algo complicadas, realizaremos juntos lo que ILOGICA+INTUICIONCIENCIA I Así que la Ciencia se mueve endos momentos: Ciencia que formaliza lo descubierto o inven- tado por la imaginación creadora y que luego se encarga de extraer consecuencias razonables. INTUICION - ~ ~ - Es la imaginación creadora; la visión inme- diata de las ideas o relaciones sin que inter- venga el razonamiento. Por eso, el primer momento de cualquier Teoría es la explicación intuitiva, y el segundo el de la formalización. Gran parte de los grandes descubrimientos de la ciencia se logran por medio de la fantasía, de la imaginación. Sólo después que se descubre o se inventa es cuando se formaliza el conocimiento así descubierto. La intuición es el origen de los grandes descubrimientos. Valiéndose de intuiciones como éstas descubrió que los cuerpos caían con aceleración constante. La intuición alumbra en forma instantánea una idea, un conocimiento o una relación.
  14. 14. 15 a. Busca en tu Diccionario la palabra casual". Anota lo que en él se te dice, que probablemente sea algo como esto: "qué sucede por casualidad; qué es impre- visto, fortuito". Los pensadores griegos de 103 siglos anteriores a Cristo sabían que no todo puede ser definido, pues la pretensión de hacer ésto llevaba a grandes errores. l.2- CONCEPTOS NO DEFINIDOS y CONCEPTOS DEFINIDOS iDe esa manera todos hemos sido, alguna vez, descubridores de algo ya descubierto! Esas experiencias tuyas serán las mejores pruebas de cómo funciona la intuición y de cómo premian nuestros esfuezos en el estudio. En las próximas secciones estudiaremos cada una de las partes de un sistema formal por separado, para conocerlas mejor. iLa intuición no llega por arte de magia! iNO! La intuición es el premio del esfuerzo atento y disciplinado del estudio constante. Si estudias con atención, pensando en lo que lees ytratando de entender, descubrirás cosas que no sospechabas que existían. Serás un descubridor. Pero no te engañes: Si aprendes de memoria las demostraciones formales y no entiendes el espíritu íntimo de cada cosa, es decir, si no intuyes, no habrás aprendido ... nada. J 1 ,.. vamos a llamar "demostración intuitiva". Apelaremos a tu intuición, a tu imaginación creadora para que hagas el esfuerzo de penetrar en el corazón de las "demostraciones ". Es muy seguro que alguna vez, cuando has leído o estudiado algo con atención, te habrá venido una idea o habrás descubierto la relación clave de lo que lees. Entonces se te ilumina el rostro y dices: "He entendido ':·Eso es lo que deseamos que te suceda mientras leeseste libro de Geometría. Nos proponemos que intuyas.
  15. 15. 16 Es muy importante que comprendas esto. Si te decimos que "gato" es un concepto primario, no definido, y luego te preguntamos: ¿Qué es un gato? • CONOCEMOS lo que significa cada uno. • CONOCEMOS los símbolos que los señalan. • CONOCEMOS para qué se usan. • PERO NO decimos qué son; es decir, no los definimos. En una ciencia debe haber Conceptos Primarios o Primitivos los cuales: Cuando pretendemos definir todas las ideas (conceptos) u objetos, caemos en "círculos viciosos". ¿Sabes por qué las definiciones que te dá el.diccionario son un círculo vicioso? Porque en el diccionario se intenta dar una definición para todas las ideas (conceptos) u objetos. Una definición es un "CIRCULO VICIOSO"cuando se vuelve al concepto que se deseaba definir. Este Piensa ha puesto en claro cómo las definiciones del diccionario son "círculos viciosos". casual es casual. e. ¿Crees que una definición así es científica? f. ¿Aclara esa definición lo que significa ser casual? g. ¿Se ha avanzado algo en el conocimiento de lo casual? lo que quiere deci.r que: b. Busca ahora estas palabras: casualidad, imprevisto, fortuito. Anota la definición de cada una de ellas. c. Continúa haciendo lo mismo con las palabras más importantes que aparezcan en cada definición. d. Si lo haces así, verás cómo vuelves en algún momento a la palabra original: casual. Sencillamente el camino seguido por el diccionario ha sido: casual == fortuito = casual
  16. 16. 17 "Saltar es la acción de brincar". Esa definición de saltar es claramente "circular", pues saltar y brincar son la misma idea. "Los ángulos rectos son aquellos que son iguales" La definición es falsa porque no es reversible. Si lees con cuidado el enunciado, te darás cuenta que el enunciado reversible de esa definición es "Los ángulos que son iguales son rectos". ¿Es cierto este enunciado reversible? Sin duda, has contestado que no, porque no todos los ángulos que son iguales son a su vez rectos. Por eso decimos que nuestro enun- ciado: "Los ángulos rectos son aquellos que son iguales': es falso. Para que comprendas bien cada una de estas características estudia los ejemplos siguientes: o CARACTERES DE UNA BUENA Q) No debe ser "circular". ® Debe ser reversible. o Los conceptos que .contenga deben haber sido definidos o ser primarios. 8) No debe ser ni ancha ni estrecha. (1) No debe ser negativa si puede ser positiva. El gráfico de la derecha que simboliza cada uno de estos conceptos primarios no debe conducirnos a interpretaciones que lleven a definirlos. En realidad, un punto puede ser una persona, una silla, un libro, etc. De igual manera pasa con los conceptos de recta y plano. Partiendo de los conceptos primarios se definirán los demás conceptos que habrán de ser usados en una determinada Teoría Científica. Eso quiere decir que debemos disponer de reglas que nos ayuden a hacer correctamente esas definiciones. El cuadro que sigue contiene las normas de una buena definición. Símbolos '" PUNTO '" RECTA En este curso de Geometría Plana tendremos tres conceptos no definidos básicos: ~T d .. d. ......._ o o concepto primario I!ue e ser cualquier idea u objeto que no llene ~ deflnicion alguna. _ • Si respondes que: "gato" es un felino, mamífero, de cuatro patas; tu respuesta es total- mente incorrecta . • Si respondes que: "gato" no tiene definición alguna; tu respuesta será correcta, pues ya hemos dicho que "gato" es un concepto primario, no definido.
  17. 17. 18 ¿Qué te parece la historia? Es verdad que un hombre es un bípedo implume, pero también lo es un orangután o un oso, etc. Esa definición resultó errada, porque es muy ancha y caben muchos otros seres además del hombre. Una definición como: "Zapato es una cobertura de cuero para los pies': es muy estrecha, pues aunque es cierto que hay zapatos de cuero, también los hay de tela, de metal, de madera, etc. En esa definición no caben todas las clases de zapatos por lo que no puede ser una definición de zapato. Si decimos: "E! agua no es un sólido" esta es una definición muy mala de agua, puesto que-dice algo de 10 que ella no es, pero no nos informa nada de 10 que ella es. Pero si decimos: "El agua es una combinacián de hidrógeno y oxígeno". Esta definición nos dice realmente lo que es el agua. Este ejemplo te enseña que si la definición puede ser positiva, no tiene que hacerse en forma negativa. Claro que hay casos en que, desgraciadamente, la definición tiene que ser negativa. Esto ocurre con frecuencia cuando el concepto que se define es contrario de otro ya definido. Por ejemplo: si se conoce el concepto de "Limitado", se puede decir que "llimitado es lo que no es limitado", y esa definición es coYrecta. "A qui les va vuestro hombre " Ciertamente aquello era un bípedo implume, pero no un hombre. l.os discípulos de Platón, el gran filósofo griego que había fundado la escuela llamada "Academia ",tra- taron de dar una huena definición de Hombre. Encontraron que esta era buena: ..[in hombre es un bipedo implume" Ante esta definición otro sabio griego, Diógenes, Idesplumó un pollo y lo lanzó sobre la verja de la Academia gritándole a los académicos, en medio de su risa: "Un sabio es un fuertepenso ". N unca sabremos lo que dice esta definición de sabio. En ella entran dos conceptos: sabio y fuertepenso. Tenemos idea de lo que es sabio en el habla corriente, pero no sabemos qué quiere decir fuertepenso. Ese concepto debe ser definido o debe indicarse que es un concepto primario. El error más común en una definición es ponerla o muy ancha o muy estrecha. Lee la historia siguiente para que puedas entender.
  18. 18. 19 l. Usa tu diccionario para buscar la definición de cada una de las siguientes palabras. De es momento deREVISAR 1 Esa experiencia indica que cuando se tienen diagramas de Venn-Euler para definir, hay que ir en un orden que va de los conceptos más cercanos a los más alejados. Por eso podemos decir que: "Polígono es una figura cerrada cuyos lados son segmentos". Esa es una buena definición de polígonos. ¡Todos son triángulos! ¿Verdad que resulta caótico? y todo por causa de una mala definición. Esa definición es mala porque es muy ancha. Sin embargo, si decimos: "Triángulo es un polígono de tres lados". entonces un triángulo sólo puede lucir así: Ella sugiere cómo debemos hacer la definición de triángulo. Si decimos: Triángulo es una línea quebrada de tres segmentos, entonces un trián- gulo podría lucir de cualquiera de las maneras siguientes: Ya en nuestros cursos anteriores los habíamos usado para graficar conjuntos. También sirven para .delirnitar los con- ceptos y ayudar así a hacer buenas definiciones. ~ ¿Recuerdas ... los diagramas de Venn-Euler?
  19. 19. 20 *. decir lo que significa. * decir como funciona con los otros conceptos. * ponerle límite. un concepto es... DECLARAR O DEFINIR Una vez que damos la definición de un concepto decimos que 10 hemos declarado. 1.3- POSTULADOS y TEOREMAS Contesta: a) ¿Qué ha entendido Pedro por un triángulo isósceles? b) ¿Encuentras correcto entender que un triángulo isósceles sea eso? e) ¿Encuentras bueno ese chiste geométrico? ¿No habría sido mejor poner un padre, una madre y un hijo? 4. En las siguientes listas de objetos geométricos, dibuja diagramas de Venn-Euler de modo que puedas ver qué concepto contiene a otro en cada caso. Para eso usa tus conocimien- tos adquiridos en cursos anteriores. a) Figuras - Rectángulos - Polígonos - Cuadrados. b) Aristas - Caras - Vértices. e) Prismas - Poliedros - Paralelepípedos - Prisma oblicuo. 5. Tomando en cuenta los diagramas del ejercicio 4. anterior, construye las posibles definiciones de los conceptos siguientes: a) Cuadrado b) Cara e) Prisma oblicuo. Me gustaría presentarle al Sr. y la Sra. Isósceles y su sirvienta Grenalda. Yte gustaría alquilar • un triángulo isósceles 3. 2. Estudia cada una de las siguientes definiciones y determina si tienen alguna falla. Si la hay señala cuál es. a) Un triágulo equilátero es un triángulo isósceles. b) Un triángulo acutángulo es una figura con tres ángulos agudos. e) Todo cuadrado es un polígono. d) Un pentágono no es un cuadrado. e) La suma es la adición de ángulos. f) Un ángulo es agudo si sus lados no son perpendiculares. I g) Veneno es aquello que tiene un efecto tóxico., b) Segmento d) Gratoe) Libroa) Figura esas definiciones continúa buscando los conceptos contenidos en ellas. Anota tus expe- riencias en cada caso.
  20. 20. 21 Esta es la característica fundamental de las proposiciones, luego deben tener sentido dentro de la ciencia a que pertenece. Para determinar la verdad o falsedad de las proposiciones cada ciencia tiene sus propio~ métodos de prueba. Con las proposiciones pasa algo similar que con la definición de loy conceptos: ¡NO TODAS LAS PROPOSICIONES PUEDEN SER PROBADAS! Si se pretende demostrar como verdaderas o falsas todas 'las proposiciones de una ciencia se cae en el "círculo vicioso" de la demostración. Hay necesidad de admitir como verdaderas algunas proposiciones sin pedir demostración alguna, ni evidencia alguna de ellas. A estas proposiciones se les llama: proposiciones primarias, postulados o axiomas. Toda proposición es verdadera o falsa. Ahora FUATE en expresiones que no son proposiciones. "3 = +" "(N¡)H20" "a + - b" Ninguna tiene sentido dentro de la ciencia a que pertenece. (proposición química) "Los ángulos opuestos por el (proposición geométrica vértice son congruentes". (proposición algebraica)"a + b - c 3 "2 + 2 = 4" (proposición aritmética) 2" un conjunto de diferentes clases de aserciones o proposiciones: Proposición, aserción o afirmación es una expre- sión oral o escrita de una relación entre conceptos de una Ciencia, de la cual podemos decir, sin ambigüe- dad, si es verdadera o falsa. Al declarar o definir un concepto, lo principal es decir como funciona con los demás conceptos. Los conceptos se relacionan entre sí produciendo las proposiciones.
  21. 21. 22 Fila 2 5 110 4 t8 3 t6 2 ¡ 4 1 t2 Fila 1 8 9 t S16 18 7 114 6 112 Pero lOS grandes matemáticos del siglo pasado (XIX) mostraron que esto es un ERROR. Fíjate lo que ocurrió con el siguiente axioma de Euclides. HEl todo 'es mayor que cualquiera de sus partes". Se creía "tan evidente que no necesitaba demostración". Pero no es así. Bernardo Bolzano (1781-1848) probó que esa proposición no es tan evidente. OBSERVA Si a cada número le asignas su doble UNA HISTORIA IMPORTANTE Desde que en el Siglo II a.C. el genial Euclides escribiera el primer libro de Geometría se creyó que los axiomas eran: r----------------------------------------------------' I En nuestro curso preferiremos la palabra Postulado para nombrar las proposiciones pnrnanas. Las Proposiciones Primarias =Postulados =Axiomas son pro- posiciones que se admiten como verdaderas sin pedir prueba alguna de esa verdad. POSTULADOS IH REGLA Con las proposiciones primarias pasa como con las "reglas" de cualquier juego. Las reglas no pueden ser demos- tradas porque simplemente son las reglas, y como tales hay, simplemente, que aceptarlas. las reglas sirven para chequear todas las jugadas y determinar si las mismas son verdaderas o falsas. A nadie se le ocurre cuestionar por qué en ajedrez el alfil avanza en diagonal. Es así porque esa es la regla, y nada más. Como las reglas de unjuego, los Postu- lados o Axiomas chequean la verdad o falsedad de todas las otras proposicio- nes pero ellos se admiten como una regla, y nada más.
  22. 22. 23 Las proposiciones que deben ser probadas se llaman. TEOREMAS Esta es la función más importante de los Postulados. Como se supone que los postulados son las primeras proposiciones verdaderas, entonces ellos deben servir para determinar cuáles de las demás proposiciones son verdaderas y cuáles no lo son. Los Postulados sirven para chequear la verdad o falsedad de las demás proposiciones. Ya tú sabes que hoy nuestra posición es otra. No es que "no necesite demostración" es que "no se pide demostración" si la proposición es un Postulado. Es que se le admite como verdad sin importar realidad alguna. Esa es la característica fundamental de .una proposición para que esta sea un Postulado. que mucha gente cayera en el error de creer que un axioma era "una verdad' tan evidente que no necesitaba demostracián". PERO ESO HIZO ~ LO QUE PASA ES-z+ que siempre los matemáticos han escogido, desde Euclides hasta hoy, como Postulados las proposiciones más sencillas que se ajustan a la realidad de nuestro mundo, buscando la utilidad práctica del pensa- miento matemático. que no decimos que los axiomas tengan que ser proposiciones verdaderas con respecto al mundo que nos rodea. Pudiera ser que las mismas fueran contrarias a lo que conocemos del mundo circundante, pero si es un Postulado lo aceptaremos como verdadero, aunque sea contrario a todo lo que sabemos. FlJATE~ - - -como verdaderas sin .._. son proposiciones que se admiten pedir demostración de ellas. -sino que: Postulados ·t -- j Aqui el todo no es mayor que la parte! ¡Son ambos iguales! Eso y otras muchas razones, hizo ver que los: Postulados no son verdades tan evidentes Que no necesiten demostración. podrías preguntar, ¿cuál de las dos filas tiene más números? Claro que tu respuesta habrá de ser: ambas tienen la misma cantidad puesto que todo número tiene doble y todo par mitad. Si te fijas bien el conjunto de números de la Fila 2 es un subconjunto del conjunto de números de la Fila l. Se ve que
  23. 23. 24 Un teorema es una proposición que consta de dos proposiciones. HIPOTESIS: los ángulos son rectos. TESIS: los ángulos son congruentes. Tenemos: Si los ángulos son rectos entonces son congru mes. Por eso en el Teorema: La proposición que sigue al si se llama Hipótesis. La proposición que sigue al entonces se llama Tesis. antecedente o hipótesis HIPOTESIS y TESIS ~ consecuente o i j entonces Por ejemplo el siguiente teorema: "Un triángulo equilátero tiene sus tres ángulos congruentes" Se puede escribir: "Si ABe es un triángulo equilátero entonces sus ángulos son congruentes". Todo teorema en Matemática tiene la forma: Si ..entonces ..., o se puede poner siempre de esa forma. Se puede decir que:'Ñ OBSERV A que en todos hay una forma común Si ...entonces ... Un teorema es una proposición de la cual ~ebe darse una "demostración". FUATE en los siguientes ejemplos de Teoremas; algunos son aritméticos, otros alge- braicos y otros geométricos. • Si un número es par entonces es la suma de dos primos. • Si X2 + 9x + 14 = O entonces x + 2 = O ó x + 7 = O. • Si dos ángulos son rectos entonces son congruentes . • Si Xl - 27 = X2 + 3x +9 entonces Xl - 27 = (x - 3) (x2 + 3x + 9) x-3 • Si un triángulo es equilátero entonces es isósceles. • Si x es un número par entonces es divisible entre dos.
  24. 24. 25 es momento deREVlSAR 2 (9 Sobre cada raya a la derecha escribe V si la proposición dada es verdadera y F si es falsa. a. Un teorema es una proposición que debe ser probada. b. Un postulado es una verdad tan evidente que no necesita demostración. c. Toda proposición debe ser probada. d. Un teorema tiene dos partes, hipótesis y tesis. e. Un postulado siempre es verdadero. f. La hipótesis de un teorema debe ser probada. g. Con los postulados se determina la verdad o falsedad de las demás proposiciones. h. Un postulado siempre tiene la forma "si ...entonces ... " I 1. La tesis de un teorema es la proposición a ser probada. J. Todo teorema es una proposición que contiene dos proposiciones 2. En el ejercicio 1. anterior escribe de nuevo aquellas proposiciones que resultaron ser falsas de modo que sean verdaderas. 3. En los teoremas siguientes subraya con una raya la hipótesis y con dos rayas las tesis. a. Si dos triángulos tienen sus tres lados congruentes son congruentes. b. Si un cuadrilátero es un cuadrado tiene sus cuatro ángulos rectos. c. Si dos rectas son perpendiculares entonces forman ángulos rectos. 4. Escribe cada uno de los teoremas siguientes en la forma "si ... entonces ... ''. a. Ningún número primo, mayor que dos, es divisible entre dos. b. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente respectivamente son semejantes. c. Los ángulos alternos internos formados por una secante y dos paralelas son congruentes. d. Todo número divisible entre tres es un múltiplo de tres. e. Dos circunferencias son siempre semejantes. * "los ángulos son rectos" es una proposición verdadera, es decir que se supone que tenemos ángulos rectos. "los ángulos son congruentes" debe ser probada; es decir que si tenemos ángulos rectos entonces hay que probar que estos son congruentes. * En el teorema: Si los ángulos son rectos entonces son congruentes tendremos que: La hipótesis se supone verdadera. La tesis es lo que debe ser probado.* En un teorema: .........*
  25. 25. " -LA LOGICA SIMBOLICA Capítulo
  26. 26. 27 COMPUESTAS Las proposiciones compuestas contienen uno o más conectivos lógicos o el modificador. C......m...ie-n..tr-a·s·).... Las proposiciones simples no contienen conectivos lógicos.SIMPLES Estas son proposiciones compuestas. Desde tus cursos elementales ya conoces cual es la manera de ditinguir ambas clases de proposiciones. El cuadrado es una figura y el cubo es un cuerpo. Estudio Algebra o Geometría. Si un número es par entonces es divisible entre dos. * * * * * * Estas proposiciones son simples. AHORA FIJATE en las siguientes: * Jesús Manuel es un buen muchacho. * .El cuadrado es una figura de cuatro lados. * El área del círculo es rrr2 FIJ ATE en las siguientes proposiciones: SIMPLES y COMPUESTAS Las proposiciones se dividen de forma general en: DIVISION GENERAL DE LAS PROPOSICIONES Según has visto en el capítulo anterior todo teorema es una proposición que contiene dos proposiciones enlazadas por la expresión "Si ... entonces ...': de modo que un Teorema es una proposición compuesta de otras dos. Por eso. Toda proposición es verdadera o falsa. Una proposición o afirmación es una expresión escrita de una relación entre conceptos de una Ciencia, de la cual podemos decir, sin ambigüedad, si es verdadera o falsa. 2.1- PROPOSICIONES Y SUS CLASES Por eso te habíamos dicho que ...
  27. 27. 28 Ese pequeño Piensa anterior nos enseña que no siempre es posible determinar el valor a. ¿Cuál de los dos valores veritativos asignarías a la proposición? "Duarte es un Padre de la Patria Dominicana"! Si conoces la historia dirás que asignas el valor veritativo, V. b. Pero ¿qué valor asignarías a la proposición" Hostos no es puertorriqueño'? c. En ambos casos a. y b. no te ha sido difícil asignar el valor veritativo que corresponde a la proposición dada. Sin embargo, si te pedimos el valor corres- pondiente a la proposición: "José estudia en Río Piedras". estarías en un gran apuro. No sabes de qué J osé se trata ni de qué escuela de Río Piedras (Puerto Rico), se habla. Si lo piensas bien concluirás que esa proposición puede igualmente ser verda- dera que falsa. Piensa. ... 2 Pero con esto de los valores veritativos de una proposición se nos presenta un problema interesante. Observa el siguiente Piensa. Falso Verdadero VALORES DE VERDAD' O VALORES VERITATIVOS que pueden ser asignados a una proposición. Q Q MODIFICADOR Y CONECTIVOS LOGICOS Todos ellos los has usado en tus cursos anteriores. Has aprendido que toda proposición debe ser verdadera o falsa; esos dos, son sus "valores veritativos" o "valores de verdad". y sabes que los conectivos lógicos son: * Es simple. Es compuesta. Colón descubrió América. José Martí no es dominicano. *
  28. 28. 29 Recuerda que cuando las proposiciones son compuestas se presenta el problema de tener los conectivos lógicos enlazando proposiciones simples. En la tabla funcional de una proposición P están todos los valores veritativos posibles que puede tomar la proposición. V F Esta es la tabla funcional de la variable lógica P. Por costumbre y abuso del lenguaje a la variable lógica P se le dice "proposición P"y a su tabla funcional s·ele llama ..Tabla veritativa". P • • • • José estudia en Río Piedras. La Universidad es un buen sitio. La figura de que se trata es un cuadrado. Rita es sobrina de Josefa. ... etcétera ... Como el valor veritativo de cualquiera de esas proposiciones es sólo uno de dos, verdadero -falso, a cada variable lógica podemos asignarle cualquiera de estos dos valores, así se forman las funciones lógicas. Las tablas que presentan los valores veritativos de la variable lógica sellaman tablas funcionales. Así, si decimos que P es una proposición simple entonces P puede ser cualquiera de las siguientes proposiciones simples. El dominio de una variable lógica es un conjunto de proposiciones simples que la variable puede tomar. Regularmente se usan las letras mayúsculas P, R, S, T, etc.' I I Una variable lógica es una letra que se usa en lugar de una proposi- ción simple cualquiera. veritativo de una proposición en forma clara y precisa, cuando se carece de información suficiente. Cuando esto ocurre los lógicos y matemáticos sustituyen la proposición por una variable lógica, y lo continúan haciendo así con cualquier proposición. De esa manera crearon un álgebra lógica.
  29. 29. 30 2. Usando los símbolos de los conectivos lógicos escribe simbólicamente cada una de las proposiciones compuestas del ejercicio l. anterior. l. Escribe en la raya en blanco, S si la proposición dada es simple, y e si es compuesta. a) José David está brincando. b) Te comes la comida o no vas al cine. e) Tatiana y Tito se fueron de paseo. d) Si llueve entonces no podrás ir al campo. e) La tarde está hermosa. f) No corras. g) Amelia está estudiando bien. h) Un número es divisible sólo por sí mismo y la unidad si y sólo si es primo. es momento. deREVISAR 3 El valor veritativo que corresponda a P A Q dependerá en cada caso de los valores de las proposiciones simples P, Q. Por esa razón P A Q es una función de P y Q. Q J osé estudia en Río Piedras. Miguel lo hace en la UASD. simboliza simboliza P donde: i (se lee: "P y Q), Por eso la proposición compuesta: "José estudia en Río Piedras y Miguel lo hace en la UASD': se puede escribir simbólicamente: ...Si y sólo si... FIJA TE en la tabla de símbolos de los conectivos lógicos y el modificador que va a continuación . Para construir la tabla funcional de las proposiciones compuestas de un modo sencillo hizo falta crear símbolos especiales para los conectivos lógicos y el modificador.
  30. 30. 31 V F V F que en este cuadro están las cuatro posibles combinaciones Observa además que se cumplen las reglas que siguen: l. Están todas las parejas ordenadas de valores veritativos, sin repetir, ninguna. 2. El orden en que se coloquen las parejas no tiene impor- tancia en el resultado. v Para que podamos hacer un cálculo lógico seguro, cada una de las proposiciones compuestas básicas deberá tener definida con claridad la tabla de valores funcionales que le corresponde en cada caso. Esas tablas ya las conoces. Puedes recordarlas repasando tu libro de 8vo. Curso, donde empezaste a aprenderlas. Te las vamos a escribir nuevamente, con toda la simbología lógica, de manera definitiva. En esas tablas deben aparecer todas las combinaciones posibles que puedan hacerse con los valores veritativos de las proposiciones simples que componen la compuesta. En las proposiciones compuestas básicas hay (excepto en el caso de la negación) dos proposi- ciones simples; así tendremos cuatro posibles combinaciones. El valor veritativo de una proposición compuesta depende de los valores veritativos asignados a las proposiciones simples que la componen. Conoces bien estas proposiciones compuestas básicas, aunque la forma simbólica de ellas las estés aprendiendo ahora. Estas son las proposiciones compuestas más sencillas que se puedan tener. SIMBOLO PROPOSICION BASICA NOMBRE A PAQ Conjunción v pVQ Disjunción -P Negación > P-->Q Implicación ~ ~ P<->Q Biimplicación Para cada uno de los conectivos lógicos identificaremos una proposición compuesta básica, que por ser así tendrá un' nombre especial. 2.2- PROPOSICIONES COMPUESTAS BASICAS. TABLAS 3. Escribe, usando el lenguaje corriente, una proposición para cada una de las expresiones siguientes. a) M A Q b) -P e) N v R d) -S -> T
  31. 31. 32 Tanto en el cuadro de la conjunción como en el de la disjunción los valores del resultado van dentro de una columna de diferente color. Escribe por ti mismo dos o tres modos distintos de organizar la tabla funcional de la disjunción. La proposición compuesta que llamamos negación o modificador se forma con una proposi- ción simple. Esto hace que su tabla veritativa sólo disponga de dos filas. V F V F Q La disjunción es verdadera si una o. ambas proposiciones simples lo son. ¿Puedes hacer por ti mismo. otra ordenación diferente y hacer las correspondencias? Hazlo. Fila 1 _._.-.- Fila 3 Fila 2 _._._._... Fila 1 Fila 3 _._._.- Fila 2 Fila 4 _._._._' Fila 4 CUADRO 2CUADRO l p Q PAQ V F F F V F V V ~tF F Cuadro 2 que pudimos haber dispuesto la tabla en esta otra forma. No habríamos alte- rado los resultados pues las filas se corresponden en ambos €uadros así: V F V F v V F La conjunción sólo es verdadera si ambas proposiciones simples lo Q Analiza otra vez la segunda regla y te darás cuenta que las parejas de valores veritativos no tienen que ser colocadas siempre en el mismo orden. Puedes colocarlas en el orden que quieras. siempre que estén todas sin repetirlas.
  32. 32. 33 La biimplicación corresponde a la expresión •••si y sólo si ... Así por ejemplo: * Dos números son primos entre si, si y sólo si tienen únicamente al 1 como divisor común. P ,. Q V F 'GY En un Teorema Si una Hipótesis es verdadera y se "demuestra" que la Tesis es .falsa entonces tendremos una Implicación o Teorema falso ..PORESOI+?t bien los casos en que un Teorema es verdadero. que decimos "el Teorema "y no la tesis, que es lo que se pretende "demostrar" de un teorema. OBSERVA ... FlJATE... Una implicación sólo es falsa si la Hipótesis es ver- dadera y la tesis es falsa. p Q P____"Q .- V V V V F F F V V F F V La implicación es la forma que adopta todo teorema en matemática; por eso esde importancia que le pongas atención a su tabla. La negación es el modifrcador que invierte el valor veritativo de la proposiciÓn simple.V F p
  33. 33. 34 Puedes ver que -A"'B es verdadera únicamente cuando A es falsa y Bverdadera. Si lo piensas con cuidado te darás cuenta que cuando A es falsa -A es verdadera, quejunto a la verdad de B hace la verdad de -A~B, pues la conjunción es verdadera. únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas. ¿Verdad que es interesante? Hemos creado un álgebra lógica, o mejor dicho hemos algebri- zado la lógica. - Estudia las tablas veritativas de -P v -Q y de M ->-N que van a continuación, Saca tus concluciones cuidadosamente. Partiendo de los valores de A y B, que se han colocado arbitraria- mente según las reglas que ya cono- cemos, se obtienen los valores de. las demás hasta conseguir los valo- res de la proposición deseada. V V V F F V F --- -A"'BA B ~A A B -A -A"'B V V F F V F F F- F V V V F F V F .. Se colocan las proposiciones simples A y B de primeras. Luego -A Y por último se hace la conjunción de -A"'B. Los valores arbitrarios son sólo para A y B. OBSERVA como se construye la tabla de -A"'B. f. .prende y maneja correctamente estas proposiciones compuestas básicas, pues te servirán para determinar la tabla de valores veritativos de proposiciones compuestas más complicadas. Para que puedas hacer eso'necesitas próceder ordenadamente, primero debes partir de las proposiciones simples a las compuestas básicas que forman parte de la compuesta cuyos valores se buscan. Fíjate que siempre hay algunos "pasos intermedios". P Q Sólo es verdadera SI Vambas proposiciones simples V tienen el m ism o valor F F veritativo, F V V F
  34. 34. 35 Fv * Si la Ástronomía estudia los astros entonces la Biología es una 'fama de la Ingeniería Civil = A -> B, es falsa. , , ~ A B A->B v VFv B , +A La Astronomía estudia los astros o la Biología no es una rama de la Ingeniería Civil = A v -B, es verdadera. • v vFv -BB • 4 AI-B i tI •A A = La Astronomía estudia los astros. B = La Biología es una rama de la Ingenierfa Civil. . Se ve que: • La Astronomía estudia los astros y la Biología no es' una rama' de la Ingeniería Civil = A A -B, es verdadera. . . Los valores veritativos de las proposiciones compuestas serán fáciles de determinar si estas proposiciones se forman a partir de proposiciones simples cuyos valores veritativos son fácilmente reconocibles. Tu podrías cambiar el orden de las filas en esas tablas al intercambiar las parejas de valores veritativos para las proposiciones simples: Haz un ejemplo con cada tabla y establece las correspondencias 'entre tus resultados y las tablas del texto. Es un buen ejercicio. M N -N M --N V V F F V F V V F V F V F F V V • e , " a-, p Q -p -Q _p v_Q '... yv. 4? • F v.. ti: ..~ • v' B=zs . P Cv • v~ ~ ,.F F V
  35. 35. 36 Si haces las tablas veritativas de: -P; --P; ---P; ----P, etc. puedes sacar una interesante conclusión sobre el modificador. Conociendo la verdad o falsedad de las proposiciones simples determina la verdad o falsedad de cada proposición compuesta que sigue: a. Si los astrónomos estudian los astros entonces la bomba atómica no daña las personas. b. Duarte y Espaillat son prohombres dominicanos. c. San Martín libertó Argentina o Bolívar nació en Colombia. d. España está en Europa si y sólo si los españoles son europeos. h. -P v - Qe. (P v Q) ~-P f. -P ->(P /'. Q) g. -M r-; N b. -P <...->-Q d. -(-P)c. -P->Q Escribe correctamente las proposiciones que hayan resultado falsas en el problema 2 anterior. Escribe las tablas veritativas de cada proposición que sigue: 3. c. Repite ese ejercicio para la disjunción y la implicación. Escribe V sobre .la raya si la proposición es verdadera y F si es falsa. a. Si una de las proposiciones simples es falsa la conjunción es falsa. b. Si la tesis es falsa la implicación siempre es falsa. c. La negación modifica los valores veritativos de una proposición. d. Si los valores veritativos de las proposiciones simples son diferentes la biimplicación es verdadera. e. Si la hipótesis es falsa la implicación es siempre verdadera. f. La disjunción es falsa únicamente si ambas proposiciones simples tienen el mismo valor veritativo. 3 2 etc. l 2 3 Esto indica, por ejemplo, que en la Tabla 2 la Fila 3 corresponde a la Fila l de la Tabla 1y corresponde a la Fila 2 de la Tabla 3. l. En la tabla de la conjunción intercambia las parejas de valores arbitrarios pata las proposiciones simples P y Q de todos los modos posibles. a. ¿Cuántas ordenaciones posibles obtuviste? b. Establece las correspondencias por filas de todas esas tablas. Hazlo en un cuadro así, numerando las tablas. es momento deREVISAR 4
  36. 36. 37 Para denotar la equivalencia lógica usaremos el símbolo: ede modo que: ~(P A Q) = ~P v -Q Dos proposiciones cuyas tablas ventativas tienen el mismo resultado, sin tomar en cuenta el ordena- miento de las mismas, se dice que son proposiciones lógicamente equivalentes. OBSER VA los resultados de ambas tablas. Hemos tomado las parejas de valores arbitra- rios para P y Q en el mismo orden en ambas tablas expresamente para que puedas apreciar que el resultado en ambas tablas es el mismo. Sin embargo recuerda que ambas tablas pueden tener ordenamientos diferen- tes sin que eso altere el resultado. Las proposiciones seguirán siendo lógica- mente equivalentes. ~(P A Q) Y ~P v ~Q son lógicamente equivalentes P Q. PAQ ~(P A Q) P Q -P ~Q _p V_Q V V V F 0 V V F F F V F F V V F F V V F V F V F V V F V F F F V F F V V V Entre las proposiciones que son contingencias hay algunas que tienen la misma tabla verita- tiva, aunque estén escritas con ordenamientos diferentes. De esas proposiciones se dice que son lógicamente equivalentes. Es toda proposición cuyos valores veritativos son de ambas clases: verdaderos y falsos. • ......-..."p Q PVQ ~(P v Q) PAQ (P A Q) .......~(P v Q) V V V F • V F V F V F ~ F V F V V F .. F V F F F V - F V Todas las proposiciones que son así se llaman contingencias. Los resultados de las proposiciones compuestas básicas contienen valores veritativos de las dos clases, verdaderos y falsos. Así mismo pasa con (P A Q) ->~(P v Q), pues: 2.3- CONTINGENCIAS y EQUIVALENCIA LOGICA. TAUTOLOGIAS y CONTRADICCIONES.
  37. 37. 38 Según el resultado de la tabla veritativa las proposiciones pueden ser: c. Contradiccionesb. Tautologías Es una proposición cuya tabla veritativa tiene cOlitOresultado únicamente el valor falso en cada caso. Todos los resultados son el valor veritativo falso. Esta es también una situación muy especial, diferente de las contingencias y tautologías por lo cual debemos darle un nombre; diremos que esa proposición es una contradicción. P Q PAQ _(P A Q)P A Q <-> -(P A Q) V V V F F . V F F V F F V F V F F F F V F Fíjate ahora en el resultado de la tabla de: p!" Q <-> -(P A Q) Es muy curioso observar que las proposiciones que forman una Tautolo- gía son siempre lógicamente equivalentes. ,.' Es una proposición cuya tabla veritativa tiene como resultado únicamente el valor verdadero en cada caso. Observamos como todos los valores veritativos del resultado son iguales a verdadero. Esta cla- se de proposiciones recibe un nombre especial. Se llaman tautologías. OBSERVA la siguiente tabla de -(P A Q)<-> -P v -Q y piensa en surelación con la equivalencia lógica anterior. P Q -P -Q PAQ _(P A Q) _p V_Q _(PA Q)<->_P V_Q V V F F V F F V .. IV F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V
  38. 38. 39 .. a. (PAQ) V P->-(P v Q) AP b. -M A (P v M) <-> M v (~P A M) c. M v-M d. P A Q-> P e. P_>(QA~Q)_>~P f. P->(P v Q) g. _(P-> Q) <-> PA -Q h. P V"'(_Q_>P 4. Escribe las proposiciones lógicamente equivalentes del ejercicio 3anterior comobiimpli- caciones y verifica que se forman tautologías. 5. Como un repaso general sobre la confección de tablas veritativas de proposiciones- compuestas te pedimos que hagas las correspondientes a las siguientes proposiciones. a. (~p-> -Q) y Q->p -, b. (P v Q) y ~(_P A ~Q) ;{ 4 c. -(P AQ) Y (_P v ~Q) d. (P -> Q) y (~Q -> -Q) 1. Haz las tablas veritativas de ~(M v N) y de ~M A ~N y-prueba que ~(M v N) = ~M A -N. '" 2. Dí que clase de proposiciones son cada una de las que siguen luego de hacer sus respectivas tablas veritativas. a. (P-> Q)<-> (~P-> -Q) b. (P->Q)<->(~Q->-P) c. MA ~N ¡ d. (P v Q) v (_P v ~Q) e. -(P v Q) A -(-P V -Q) f. (M A N)-> ~(M A N) 3. Construye tablas veritativas para mostrar que las siguientes parejas de proposiciones están formadas por p:-'>posicionesequivalentes. es momento deREVISAR 5 • Todas las proposiciones compuestas básicas son contingencias. • Toda biimplicación tautológica liga proposiciones lógicamente equivalentes.
  39. 39. 40 Si decimos: «Sea ABC un triángulo rectangular ..." ¿A cuál. de los' triángulos de la gráfica nos estamos refiriendo? Te darás cuenta que puede ser cualquiera de los allí dibujados. • El primer geómetra que estudió el valor y la relati- vidad de las figuras en la Geometría fue elprofesor de 'la Universidad alemana de Giesseu Maritz Pasch, En su libro "Sobre la Naturaleza de la Geometría" (1882) nos explicó el uso de las figuras y lo que eran "en realidad" los axiomas o postulados. • Fue leyendo este libro de Pasch desde donde el más grande de los matemáticos contemporáneos David Hilbert, nacido en Konigsberg, alemania (1862), concibió el estudio del formalismo y el método axiomático. Estudió la lógica de los Postu- lados y en 1900 publicó su muy famoso y genial libro sobre: "Fundamentos de la Geometria" ("Grundlagen der Geometrie"), George D. Birkhoff 1884-1944 David Hilbert 1862-1943 David Hilbert Es el primer libro de Geometria según la mentalidad contemporá- nea. Hilbertenseñá en la Univer- sidad de Gottingéri hasta 1930, y mientras estuvo allí aquella Uni- versidad fu la Meca de los estu- dios de Matemática en el mundo. Hilbert precidiá el Congreso de Matemática mundial en París, en 1900, donde propuso sus célebres 23 problemas. Murió, cargado de honores, en Gothingen, en 1943. Mariz Pasch 1843-1930 LA MATEMATICA ATRAVES DE SU HISTORIA Tres Grandes Geámetras
  40. 40. 41 No debes olvidar nunca que un Sistema de Postulados no es producto del azar ni de las ocurrencias casuales de un maestro. Son el producto de seriae y difíciles inuestigacionee lógicas y pedagógicas. El si~tema de Postulados diseñado por Birkhoff fue luego sometido a una elaboraci6n peda 6gica para acercarlo más a tipor el trabajo de un centenar deprofesores norteameri- canos reunidos en el SMSG, "Grupo de estudio para la Matemática Escolar" (HSchool . Mathematics Study Group"). Este ultimo sistema es el que hemos seguido, haciendo algunas modificaciones que no lo alterare pero que lo aclaran más, para que tu puedas aprender la Geometría con provecho. George D. Birkhoff • Pero el sistema de axiomas del famoso libro de Hilbert era muy complicado para ser explicado a muchachos, como lo eres tú, en el nivel de secundaria. Se necesi- taba un estudio profundo para lograr poner ese sistema al alcance de este nivel sin que per- diera calidad y verdad científica. Esto fue logrado por varios mate- máticos de renombre mundial entre los que se encontraba el eminente matemático norteame- ricano George David Birkhoff.
  41. 41. I ' LOS METODOS DE DEM·OSTRACION· Capítulo
  42. 42. -";43 -P -> -.(P A_.Q) Contrarrecíproea _,( P A Q) -:-> _:P Contraria Recíproca p_>PAQ Directa PAQ_>P Por ejemplo: Sea 1"~ Q_.-> PI una implicación o teorema. Fíjate cómo se forman las tres derivadas en el cuadro siguiente: Es decir, que dada una implicación o teorema hay otros tres que le están asociados y que ·se derivan de ella; son sus derivadas.· . ______ .....- [¿T~> -HJ Contrarrecíproca . , . ... .,'~,-----IT~> Al Recíproca Contraria (A->rl Directa y el mismo Aristóteles d~Jcubrió que entre ellas había relaciones muy importantes, '"y;p~;eso les puso .los nombres que aparecen en el cuadro lógico siguiente: ..',' i '. ' :.(• t ...~¡ • • •i":h 'c.' .......... :',' H-->T (Original) .." Desde el siglo Hl a.C.; el gran filósofo griego Aristóteles, quien escribió el primer libro de lógica, descubrió que junto a una implicación había otras tres implicaciones derivadas: TODO TEOREMA ES UNA IMPLICACION En el capítulo anterior estudiaste que: 3.1- LA IMPLICACION y SUS· C·LASES
  43. 43. 44 CONTRARRECIPROCO Si dos ángulos no son congruentes, entonces los ángulos no son rectos. CONTRARIO Si dos ángulos no son rectos, entonces no son congruentes. DIRECTO Si dos ángulos son rectos, entonces son congruentes. RECIPROCO Si dos ángulos son congruentes, entonces son ángulos rectos. Vamos ahora a ver cómo ocurre todo lo anteriormente dicho literalmente. Pondremos un teorema que consideraremos directo, y luego te escribiremos los tres derivados. Observa bien para que aprendas a hacerlo luego por ti mismo. CONT~ARIO H T ---H -T --H ->-T V V F F ¡,~ IV F F V F V V F F F V V CONTRARRECIPROCO H T -H -T ~T->-H V V F F V Y F F V F F V V F V F F V V V V V F V V F V F V V F F TH RECIPROCO y de igual manera: V F V V V F V F v V F F H->TTH DIRECTO El teorema directo es lógicamente equivalente al contrarrecíproco. El teorema recíproco es lógicamente equivalente al contrario.* Es decir que: * Recíproca p_>PAQ Contrarrecíproca Contraria _(P A Q) ->-P o o Directa ~(P ->~(P A Q) Si hacemos las tablas veritativas de cada una veremos que:
  44. 44. 45 a. Si dos.:ángulos son correspondientes entre paralelas, entonces son congruentes. b. Si dos números son primos entre sí, entonces su divisor común es sólo el número uno. c. Si un número es primo entonces no es divisible entre tres. d. si dos triángulos tienen sus tres lados congruentes, entonces son congruentes. e. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. f. Si dos triángulos tienen sus tres ángulos congruentes, entonces son semejantes. el 1 3. Para cada uno de los teoremas siguientes escribe sus tres derivados correspondientes poniéndoles a cada uno su nombre respectivo. P -> (P -> Q)-(P -> Q) -> -P :=:::: :=:::: -P->-(P->Q)(P -> Q) -> Pb. P -> (P -> Q) Directa _(PAQ)_>_P:=::::p_>PAQ _P_>_(PAQ):=::::PAQ_>Pa. P A Q -> P Directa 2. Usa las tablas veritativas en cada pareja de proposiciones y verifica que efectivamente hay equivalencia lógica entre ellas: Si la primera implicación se toma como directa,pon en la raya que hay debajo de cada una la clase de derivada de que se trata. _Q _> _P v Q -P->Q _(P A_Q)_> P A Q -P -> -(P -> Q) -(P -> -Q) ->-Q a. -P v Q->-Q b. P ->-Q c. -(P A Q) -> P A -Q d. P -> (P -> Q) e. Q -> (P -> -Q) Para cada implicación a la izquierda ponemos otra a la derecha y una raya a conti- nuación. Escribe sobre la raya cuál de las derivadas es la segunda proposición con respecto a la de la izquierda. eS mome"to aeREVISAR 6 Q) *Contrarrecíproco Fíjate ahora en un teorema directo con su correspondiente contrarrecíproco. Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes. Si dos ángulos no son congruentes entonces no son opuestos por el vértice. 111Directo
  45. 45. 46 IV Para averiguarlo, toma el siguiente conjunto formado por cuatro triángu- los diferentes. l. Con el transportador y siendo muy cuidadoso, trata de medir los ángu- los del triángulo '1. Súmalos. 2. Haz el mismo trabajo con los res- tantes triángulos. -' . 3. Compara los resultados. ¿Cuál sería, ante esos resultados, tu opinión sobre la respuesta a lo que se busca? ¿No podría ser cualquier otro número? Claro que sí. Hay muchos números posibles. ¿Cuánto suman las medidas de los tres ángulos de un triángulo? , , Para que comprendas por qué los sabios griegos pensaban de esa manera, vamos a hacer juritos el .siguiente experimento. ' LA MATEMATICA EMPLEA EL METODO LOGICO-DEDUCTIVO Las Ciencias Naturales "demuestran" experimentando. ~ Pero la Matemática "demuestra" razonando deductivamente. Pero en Matemática no se "demuestra" de la misma manera que lo hacen las Ciencias Naturales. ',La Físi~a tLa Química emplean el método experimental. ',La Biología 3.2- LOS TRES METODOS PARA "DEMOSTRAR": DIRECTO, INDIRECTO, CONTRARRE!CIPROCO "MATEMATICA ES DEMOSTRAR" Seis siglos antes de Cristo los sabios griegos comprendieron esta importante verdad. En matemática hay que "demostrar" todas las proposiciones que no sean p<:>stulados. 4. Es bueno que repases la construcción de tablas veritativas. Realiza las de estasproposi- ciones que siguen determinando la clase a que pertenecen: a. (P A Q) A. -Q) b. P ->(P v Q) c. Q -> (P A - P) d. - [(P A -Q) -> Q] e. P <->(P A Q) f. (P -> Q) A (-P -> -Q)
  46. 46. s a b ¿Observas seis estrenas puntiagudas o tres. cubos dentro del círculo? 47 ¿Es el centro de la figura más grande en A ó en B? ¿Qué tu ves? Ahora' mira de nuevo. ¿Qué forma tiene la figura ABe? ¡,Son las líneas a y b curvas o rectas'? •e El experimento anterior puede ser bueno en Ciencias Naturales, .ya que cualquiera de esos valores "aproximados" puede ser admitido. Pero en Matemática deseamos tener el valor "exacto", exactamente el que es, no sus "aproximados". Ese valor no puede ser conseguido experimentalmente, Ese valor es el resultado de una "demostración"lógico-deductiva. Ya lo estudiarás en este curso. Hay algunos que pretenden fiarse de los sentidos para decir que la "demostración" no es necesaria. Esto es' otro gran error. Observa atentamentecada una de las figuras de esta página para que te convenzas de cómo pueden los sentidos engañarnos. Debes -tener presente que éstas sólo son algunas de las muchas ilusiones que nos crean los -sentidos.
  47. 47. 48 Porque los triángulos son muy "particulares ": son triángulos rectángulos. En el caso del Fijate anterior No escogeríamos la pareja -- ~ - - - De todas las figuras posibles se trata de escoger alguna que sea L."suficientemente" general. ---- - Sin embargo, Eso ejemplifica el hecho de que un Teorema no tiene una figura única posible. a. ¿Cuál de las tres parejas de triángu- los escogerías como la figura del Teorema? Cualquiera de. estas tres parejas cum- plen la condición de ser dos triángulos con sus lados correspondientes respec- tivamente congruentes. b. ¿Hay más parejas de triángulos cuyo dibujo cumpla dicha condición? Hay infinitas parejas de triángulos cumpliendo esta condición. Si decimos: "Sean dos triángulos cuyos lados son respectivamente congruen- tes... H. Fíjate por ejemplo: No es única. No es imprescindible. * * Pero la figura: r La figura, en un Teorema es una ayuda para guiarnos en la~ I "demostracián H. J ..... Por lo que acabamos de decir, no hay nada que nos permita afirmar que lo mostrado en una figura no sea mera ilusión. - UNA FIGURA NO "DEMUESTRA" UN TEOREMA. Al llegar a este punto es bueno que te digamos algunas palabras sobre las figuras que nevan los teoremas.
  48. 48. 49 OBSERV A el Teorema que Carroll quiere probar. Tiene su Hipótesis y su Tesis. Luego sigue el cuerpo de la "demostración "y, por último, la conclu- sión. Los "pasos" de la demostración te los numeramos para tu mejor entendimiento. "Sobre mi escritorio tengo un lote de cartas, luego: Teorema Si esta es una carta del Sr. Abbott, entonces yo no puedo leerla. Hitótesis: Esta es una carta del Sr. Abbott. Tesis: Yo no puedo leerla .~ 1 El Método Directo de demostración es una cadena de con- junciones de implicaciones que, partiendo de.Ia Hipótesis, an a la Tesis. . El Método lógico-deductivo tiene tres formas básicas Método directo. Método indirecto o reducción al absurdo. Métddo de la contrarrecíproca, • • • Porque no son una clase tan especial de triángulo, sino -que son los "más cuales- quiera" posibles. Escogeríamos la pareja Si se quiere probar que P -> Q _Se puede tener: (¡es sólo un ejemplo!) (P -> R) " (R -> T) A (T -> Q) :. P -> Q Cada implicación es "un paso" de la "demostracián". Vamos a ponerte un bello ejemplo de "demostración" directa debido al célebre autor de "Alicia en el País de las Maravillas': el gran lógico y matemático Lewis Carroll. Porque son los "especiales" triángulos isósceles. En realidad, como decía el eminente geómetra alemán Moritz Pasch (1843-1930), "lafigura más general es la que no se dibuja". Por eso la figura no es imprescindible en un Teorema. Sin embargo, ya verás lo útil que te resulta cuando vayas a hacer una "demostración". No escogeríamos la pareja
  49. 49. 50 ¡Ahora entiendes! Fíjate cómo la implicación de un'''paso''se encadena con la del siguiente o con su contrarrecíproca. Es un buen ejemplo del método directo de demostración. Para demostrar casi todos los teoremas de la matemática se usa este método. Observa en la carta anterior cómo un argumento de palabras puede ser expresado con símbolos lógicos y se obtiene una conclusión acertada. (X ->Y) A (Y ->-S) ." (-S ->-R) A (-R -> W)A (W -> V) 0 (V -> P) A. (P-> Q)A (Q->T) A (T-> -U) (contrarrecíproca) (contrarrecíproca) (contrarrecí proca) •Después de haberla leído. es casi seguro que no entenderás esa demostración ..Vamos a ponerle una letra a cada proposición simple y a escribir cada paso como una implicación. Así: P: La carta está fechada. Q: La carta está escrita en papel azul. R: La carta está escrita con tinta negra. S: La carta está escrita en tercera persona. T: La carta está archivada. U: Yo puedo leer la carta. V: La carta está escrita en una hoja. W: La carta está marcada. X: La carta está escrita por el Sr. Abbott. Y: La carta empieza por "Estimado Sr.". Numeremos, con los mismos números de la carta, cada "paso" traduciendo a símbolos las implicaciones. Chequea cada proposición. 1. X->Y 2. Y -> ~S 3. ~S -> ~R 4. ~W -> R ~ ~R -> W 5. ~V -> ~W ~ W -> V 6. V -> P 7.P-> Q 8. Q->T 9. U->~T~T->~U ..X->-U • Demostración 1. Las cartas escritas por el Sr. Abbott empiezan con" Estimado Sr.". 2. Ninguna carta que empieza por "Estimado Sr. "está escrita en tercera persona. 3. Ninguna carta está escrita con tinta negra excepto las escritas en tercera persona. 4. Todas las cartas que no están marcadas están escritas con tinta negra. 5. Ninguna de las escritas en más de una hoja está marcada. 6. Ninguna de las escritas en una sóla hoja está sin fechar. 7. Todas las cartas fechadas están en papel azul. 8. Todas las escritas en papel azul están archivadas. 9. No tengo archivada ninguna carta que yo pueda leer. Por tanto Si la carta es del Sr. Abbott yo no la puedo leer.
  50. 50. 51 En resumen: para hacer una "demostración indirecta". 1. Negamos la tesis, con la misma Hipótesis. 2. Aplicamos el método directo a P -> -Q hasta llegar a una contradicción. Por lo tanto: P es verdadera y -Q es verdadera P es verdadera y Q es falsa Es el único caso en que una implicación es falsa. P -> Q V : F '..(ij pBSER ~ algo muy importante: ~ Si dices que (P -> Q) no es verdadera, es decir falsa. eso quiere decir que: es verdadero y entonces P->Q-(P -> Q) es falsa Suponiendo que -(P -> Q) es verdadero se usa el método directo hasta llegar a una implicación que sea una contradicción. Si se llega a una contradicción partiendo de -(P -> Q), entonces la suposición de que ésta es verdadera no es correcta, y por lo tanto -(P -> Q) es verdadero por lo tanto Para probar un Teorema por el método indirecto o "reducción al absurdo" se siguen los siguientes pasos: o Se supone que el Teorema es falso. P->Q es falso METODO INDIRECTO Carroll no pone en su libro el ejemplo anterior en forma ordenada. Nosotros lo hemos ordenado para que entiendas más pronto y ahorrarte tiempo. Pero en la realidad muchas veces los razonamientos discursivos hay que ordenarlos convenientemente para "modelarlos con la lógica y verificarlos. El segundo método que debes conocer es el indirecto o de "reducción al absurdo". A este método tienes que ponerle mayor atención. Es menos sencillo que el directo. Por suerte que se usa con menos frecuencia, aunque en Teoremas muy importantes. La lógica es la espina dorsal de todo razonamiento que quiera ser científico y válido.
  51. 51. 52 Te pondremos el mismo ejemplo que nos sirvió para hacerte elFíjate iEn todos los casos en que pueda haber confusión te alertaremos! Casi siempre el razonamiento empleado con el método indirecto es igual al empleado en la contrarrecíproca, y por eso muchos confunden ambos métodos. I¡ALERTA::> DEI CONTRARRECIPROC METO DO Como el teorema directo y el contrarrecíproco son lógicamente equivalentes, el demostrar uno de ellos equivale a demostrar el otro. Cuando el directo se torna difícil de probar se usa probar el contrarrecíproco y entonces se dice que se ha empleado el método del contra- rrecíproco. Pero debemos advertirse algo de mucho interés. DEMOSTRACION l. Vamos a asumir que: X2 es par -> x no es par. O sea: X2 es par -> x es impar. 2. x es impar -> x = 2n - 1, n E N. 3. x = 2n - 1, n E N -> X2 = (2n - 1)2 = 4n2 - 4n + 1, n E N 4. X2 = 4n2 - 4n + 1, n E N -> X2 = 2 (2n2 - 2n) + 1, n E N 5. X2 = 2m + l,.m = 2n2 - 2n, n E N -> X2 es impar Entonces nos resulta que: ) >"x es par - x es impar. y esto es una contradicción. Por tanto la implicación X2 es par -> x no es par es falsa por conducir a una contradicción. Luego debemos admitir que: X2 es par -> x es par es verdadera para evitar la contradicción • Fíjate cómo en los "pasos 11 1, 2, 3, 4 y 5 se sigue el modelo de la udemostración 11 directa, al concatenarse el final de una implicación con el inicio de la siguiente. A través de tu estudio de la Geometría ya tendrás ocasión de aplicar este metodo indirecto de demostración muchas veces. El método por el contrarreciproco es una aplicación de la equivalencia lógica del teorema directo y del teorema contrarrecíproco, TEOREMA Si X2 es par entonces x es par. Hipótesis: X2 es par. Tesis: x es par. FU ATE en este ejemplo. Es una elegante udemostración indirecta". Repítela con nosotros.
  52. 52. 53 a. Si dos triángulos rectángulos tienen sus ángulos agudos congruentes, entonces sus catetos son congruentes. b. Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes. c. Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos correspondientes congruentes, entonces los triángulos son congruentes. 1. Escoge la pareja de triángulos que sería la más adecuada para ser usada en cada uno de los teoremas que siguen. es momento deREVISAR 7 FIJATE OBSERVA que ahora no·hay contradicción alguna, como en el método indirecto, sino que la Hipótesis lleva a la Tesis, de esa manera el Teorema contrarre- cíproco queda probado. Al quedar probado el contrarrecíproco el directo es verdadero también. como se representa el Teorema directo: X2es par -> x es par. Si estudias las demostraciones de los dos ejemplos anteriores, verás que los pasos numerados son todos iguales. Por eso te decíamos que mucha gente confunde los métodos indirecto y contrarrecíproco. Esperamos que a ti no te pase lo mismo, porque sabrás distinguir entre uno y otro. TEOREMA X2es par -> x es par. su contrarrecíproco es: TEOREMA x no es par -> X2no es par. HIPOTESIS: x no es par. TESIS: X2no es par. DEMOSTRACION La demostración, como siempre, es desde aquí directa, partiendo de la Hipótesis hasta llegar a la Tesis. Te numeramos los pasos: . 1. x no es par -> x = 2n - 1, n E N. 2. x=2n-l, nEN-> x2=(2n-l)2=4n2-4n+ 1, nEN. 3. X2= 4n2 - 4n + 1, n E N -> X2= 2 (2n~ - 2n) + 1, n E N.. 4. X2= 2m + 1, m = 2n2 - 2n, n E N -> X2no es par .• ejemplo del método indirecto. Verás la diferencia entre aquél y el del contrarrecíproco.
  53. 53. 54 4. Usa el método de la contrarrecíproca para probar cada uno de los teoremas del ejercicio 3 anterior. En cada uno observa bien la diferencia entre el método directo y el de la contrarrecíproca. 3. Para las implicaciones o teoremas siguientes realiza una demostración indirecta. Trata de seguir el mismo procedimiento del ejemplo del texto. a. X2 es impar -> x es impar. b. x + 2 es par -> x es par. c. x + 2 es impar -> x es impar. d. x - 3 es par -> x es impar. e. x - 3 no es par -> x no es impar. 2. Simboliza con letras las proposiciones simples que componen las implicaciones de cada argumento, y verifica que se cumple en cada caso el Método Directo de demostración, quedando probada la implicación resultante. Si necesitas organizar el argumento debes hacerlo; lo mismo que si necesitas usar la contrarrecíproca. a. l. La Tierra es un planeta -> Saturno también lo es. 2. Saturno es una estrella -> Saturno no es un planeta . . . (por lo tanto). Saturno es una estrella -> La Tierra no es un planeta. b. l. El movimiento es variado -> la aceleración no es constante. 2. El movimiento es uniformemente variado -> la aceleración es constante. 3. El movimiento no es uniformemente variado -> la velocidad es constante. 4. El movimiento no es uniforme -> la velocidad no es constante. 5. El movimiento no es uniforme -> viajo tranquilo. El movimiento es uniforme -> viajo tranquilo.
  54. 54. LOS NUMERaS REALES Capítulo UNIDAD 11 Conj untos y Nú meros
  55. 55. .57 3 - 0.75 ..0.74999 ••• - 0.74(9) 4 ES DECIR QUE ... -3 5 -3 - - :: -0.999. ~. ::-O. (9) -5 -1 - = 3. (9) 8 4 .. - = 3.999 ••• 2 RECUERDA QUE: Son los números reales que no pueden ser escritos en forma de quebrados y, por tanto, son decimales infinitos no periódicos. Son los números reales que pueden ser escritos en forma de quebrados y, por lo tanto, como decimales exactos o periódicos puros o periódicos mixtos. Este es el cuadro del conjunto de todos los números reales. Básicamente los números reates son de una de dos clases. IRRACIONAl.ES REALES RACIONALES 1 POSITIVOS = NATURALES ENTEROS CERO NEGATIVOS r QUEBRADOS EXACTOS FRACCIONARIOS ~ . PERIODICOS DECIMALES ~ PUROS PERIODICOS MIXTOS En los cursos anteriores de matemática, los NU MEROS REALES han sido los números con los que hemos trabajado. En este capítulo sólo haremos un recuento rápido de ellos, puesto que continuarán siendo la base de todo cuanto hagamos en matemática. 4.1- NUMEROS REALES.
  56. 56. 58 La relación "<''. "menor o igual que ":o la cquiv alcntc ">''. "niavor o igual que "ordenan a los números reales, de modo que podemos decir qué número es posterior o anterior a uno dado. Las operaciones directas van abreviándose una a otra. Así: Q La multiplicación abrevia la suma de sumandos iguales. Q La potenciación abrevia la multiplicación de factores iguales. Los números reales son además un conjunto ordenado. Una operación es inversa si dado el resultado de-una directa y uno de sus términos, se pide hallar el otro término. De tal modo que: OPERACIONES DIRECTAS OPERACIONES INVERSAS Sustracción División Radicación Suma Multiplicación Potenciación Sobre los números reales se definen las operaciones aritméticas, que son de dos clases: Un número real es aquel que puede ser escrito como: Q Un decimal periódico infinito, y entonces se llama racional. @ Un decimal infinito no periódico, y entonces se llama irracional. RECAPITULANDO TODO LO ANTERIOR PODEMOS DECIR: 11" = 3.14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 ... .Ji = 1.41 42 13 56 2 . .j3 = 1.73 20 50 80 8 . son ejemplos de algunos números irracionales. Así por ejemplo: Los irracionales son decimales infinitos no periódicos. ~o ....., ...__ ~
  57. 57. 59 (i) Reflexivo--------Si a e R. entonces a < a. G) Antisimétrico----Si a e R, b f R con a < b Y b < a, entonces a = b. (2) Transitlvo------Si a e R, b f R Y e f R con a < b y b < c, entonces a < c. POSTULADO • Entonces: Escribiremos: .....,.. * Si x es un número real tal que x >O,entonces x es un número positivo. * Si x es un número real tal que x <O,entonces x es un número negativo. POSTULADOS DEL ORDEN Para cada número real x =1: Oexiste un x-1 tal que: xx" = x-I X = 1 x (y + z) = xy + xz o Recíprocos "-G) Distributiva • Para cada número real x, existe un (-x) tal que: x + (-x) = (-x) + x = O o Opuestos Existe un número real uno (1) tal que para todo nú- mero real x, x·l=l·x=x Neutro Multiplicativo Existe un número real cero (O) tal que para todo número real x, x+O=O+x=x x + (y + z) = (x + y) + z x (yz) = (xy) z x + y = y + x xy = yxo Conmutativa o Asociativa e Neutro Aditivo MULTIPLICACIONPOSTULADO SUMA Tanto las operaciones como la relación de orden entre los números reales están sujetas a propiedades que conocemos como los Postulados del Algebra. Vamos a listar ordenadamente estos postulados en el cuadro siguiente:
  58. 58. _60_ • La primera colección A aumenta constantemente sin parar según la flecha. de izquierda a derecha. • La segunda colección B disminuye constantemente sin parar según la flecha. de derecha a izquierda. B donde: ---> 0<0.3 <0.38 <0.384.< 0.3846< 0.38461< 0.3.84615< 0.3846153< < ... < ('?) < ... < 0.3846154< 0.384616< 0.38462< 0.3847< 0.385 < 0.39 < 0.4 < 1 A Recordemos que si colocamos dos colecciones ordenadas de números racionales como: El último postulado que estudiaremos es el de completitud de los números reales. En nuestro curso de Algebra ya hemos estudiado esta propiedad y allí hemos aprendido que es la propiedad que denota con mayor claridad la naturaleza de los números reales. y establece con mayor propiedad la diferencia entre los números reales y los números racionales. Si a = b y b = e entonces a = c. Si a = b entonces b = a. DE LA IGUALDAD Para todo a t R se tiene a = a.oIdentidad oSimetría oTransitividad Así mismo pueden probarse las propiedades de la igualdad. x > y si x - y >0. y recíprocamente. Si a < b. entonces a + e < b + e, para todo c e R. Si a < b y e > O. entonces ac < be. Si a < b y e < O, entonces ac > be. Si a =1= O. entonces a'::> O. 1>0. Si a < b y e < d. entonces a + e < b + d. TEOREMA 1 TEOREMA 2 TEOREMA 3 TEOREMA 4 TEOREMA 5 TEOREMA 6 TEOREMA 7 Como consecuencia de estos postulados podemos escribir un conjunto de propiedades que pueden ser probadas a partir de ellos. Fíjate en los teoremas que van a continuación. ~ Tricotomía------Si a t R y b e R. entonces una y sólo' una de las tres ;,:;,¡ relaciones que siguen es correcta:" a<b b<a b=a
  59. 59. 61 Dadas dos coleccionesordenadas de números racionales,de tal modo que los elementos de lasegunda colección difieren de sus correspondientes de la primera colección en una unidad de la última cifra decimal, encontes lafrontera exacta entre ambas colecciones es un número real, que puede ser racional o irracional. POSTULADO DE COMPLET~T'-ID DE R) Fíjate cm los ejemplos siguientes: 2 < 2.2 < 2.23 < 2.236 < 2.2360 < 2.23606 < 2.236068 < ...<0< .. . ... < 2.236069 < 2.23607 < 2.2361 < 2.237 < 2.24 < 2.3 < 3 3 < 3.1 < 3.14 < 3.141 < 3.1415 < 3.14159 < 3.141592 < ... <rr< ... ... < 3.141593 < 3.1416 < 3.142 < 3.15 < 3.2 < 4 En ambos casos la frontera exacta es un número irracional: .J5y tt . Si hubiéramos requerido que la frontera exacta fuera un número racional, entonces estas dos parejas de colecciones ordenadas de números racionales no habrían tenido frontera exacta alguna. Por eso el postulado de completitud de los n:úmeros reales dirá: La frontera exacta entre dos colecciones ordenadas de números racionales, " donde la primera aumenta sin parar, mientras la segunda disrninuye sin parar, r ¿será siempre un número racional? e Ya sabes que la respuesta es~No siempre la frontera exacta entre dos colecciones ordenadas es racional. Puede i~ente ser un número irracional. . Los elementos de la colección ordenada B son las aproximaciones nor exceso de 5/1l. Pero fíjate que 5/13 es una número racional. Por eso se nos hace interesante una nueva pregunta como esta: • Los números de la colección B difieren de sus correspondientes de la colección A en una unidad de la última cifra decimal. La frontera exacta entre ambas colecciones la simbolizamos por < (?) < La pregunta natural que .surge de todo lo anterior es: ¿Habrá algún número que sea la frontera exacta entre ambas colecciones de números racionales A y B? Podemos contestarte que @ La frontera exacta entre ambos es 1; Pero diremos que: • Los elementos de la colección ordenada A son las aproximaciones por defecto de ~113 . • •
  60. 60. 62 g. 2 9 4 f. 5 5 e. 6 7d. 15 11c. 13 3b. - 4 3 a. - 7 l. Escribe en forma decimal los quebrados siguientes: Como puedes ver la segunda conclusión es una consecuencia lógica de la primera. Estas propiedades de los números reales tendrán mucha importancia durante todo nuestro curso de Geometría. ¡Recuérdalo! es momento deREVISAR 8 • No importa cuál! cercanos estén dos números reales; entre ellos siempre habrá infinitos números reales . Ningún número real tiene un siguiente o precedente inmediato. ... y así sucesivamente. Tanto la propiedad de completitud como la propiedad de densidad nos permiten afirmar que: • Así por ejemplo: 1 4 lo '; <-;-"- 2. 1 < 5 <~2 7 5 3. 1 <.1. < ~ <.1.. < 4 " 2 3 I 4 5 para escribir todas lase d Así, si : < ~ podemos usar la fórmula: ~ < ::~ < fracciones deseadas entre las dos fracciones dadas. Esto último se nota cuando podemos colocar infinitas fracciones entre dos fracciones dadas. Entre dos números racionales hay siempre infinitos núme- ros racionales. Igualmente se puede decir· números reales hay siempre infinitos número Debes tener presente que la propiedad de completitud de los números reales no debe confun- dirse con la propiedad de densidad. La propiedad de densidad la poseen tanto los reales como los racionales.
  61. 61. 63 [x] = 5 (5 y -5) a. Determina el valor absoluto de: -7, 25, -125, O. b. Usando la definición de valor absoluto, calcula los valores de x en cada igualdad: (debajo están las respuestas correctas). !x-21 = l !2x-I!'" O 14-x! = 1 (3 y 1) ( 1/2 ) ( 1 y 7) J -aa SS1. 1 sr a = O entonces ! a !Si a f R Recuerda lo que se llama valor absoluto ele un número real. Completa la definición de es" idea: 10. e. yT5d. 1/5c. {I2ib. 3/8a. v'7 9. Escribe, ayudándote de una calculadora de bolsillo, las colecciones ordenadas de núme- ros racionales que son las aproximaciones por defecto y por exceso de los siguientes números reales: 3927 1250 754 240 355 113 223 71 22 7 a. El número 2.7 1828 es irracional. b. Todo número que puede escribirse como un quebrado es racional. c. El número 0.10 110111O1111O.. es irracional. d. Los números reales no son la unión de los números racionales y de los números irracionales. e. El número 3.1416 es una aproximación de 7T hasta las diezmilésimas por exceso. f. Los números racionales tienen la propiedad de completitud. g. Los números racionales son densos. 7. Trata de demostrar con ayuda de tu profesor los teoremas 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7. 8. Dí hasta qué unidad decimal será cada fracción de las siguientes una aproximación de 7T, y determina si es por exceso o por defecto. 5. Coloca 10 fracciones entre 7/ 15 y 21/31 ordenadas de menor a mayor. 6. Escribe V eh la raya colocada alIado de cada una de las proposiciones siguientes, si ésta es verdadera, y F si es falsa. 0.17430.3789,0.17631,0.388,0.1753,0.378, 4. Dí cómo se determina cuándo un decimal es mayor que otro, y ordena de menor a mayor los decimales siguientes: 27-, 31 L-, 2 5681--, 7021 251--, 1171 3-, 7 376--, 587 3. Dí cómo se determina cuándo un quebrado es mayor que otro, v ordena de menor a mayor los quebrados que siguen: e. 3.(9) j. 0.9 (9) d. 0.(9) i. 0.(99) 2. Escribe corno un quebrado los decimales siguientes: a. 0.13 b. 0.(12) c. 0.3 (6) f. 0.15 (9) g. 0.1 (6) h. 0.(3)
  62. 62. IDEAS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS Capítulo
  63. 63. Así por ejemplo, si N = f 1, 2, 3, 4. 5.... J y P = 12.4,6,8,10,12, ... l, entonces P C N Un conjunto A es subconjunto de otro B ACB si todos los elementos de A están en B. Así decimos que 2 E P (2 "pertenece" a P), porque 2 es un elemento de P. De ese modo, decir "pertenece a" es decir "es un elemento de ". Dos conjuntos pueden relacionarse entre sí o no tener relación alguna. Otra relación primaria o concepto sin definición en .a teoría de conjuntos es la idea de "pertenencia". (2n es un múltiplo de 2) La lectura de P = [x]x = 2n, n € N} debe ser: "P es el conjunto de todos los x tales que x = 2n donde n es un número Así que por ejemplo * P = i2, 4, 6, 8, 10, 12,... }... es el conjunto de todos los pares escrito por extensión. * P [x [x = 2n, n € N}... es el conjunto de todos los pares escrito por comprensión POR COMPRENSION ... mediante una expresión que represente a todos sus elementos POR EXTENSION ...escribiendo cada uno de sus elementos. La teoría de los conjuntos, inventada a fines del siglo pasado por George Cantor, ha sido el nuevo lenguaje sobre el cual se ha edificado la matemática contemporánea. Por eso es que se hace necesario el dominar sus ideas fundamentales, y sobre todo manejar los símbolos 'j operaciones conjuntistas. En esta sección vamos a repasar estos conceptos elementales. La idea de conjunto es una idea intuitiva. No se precisa definición alguna de la misma, es decir, que se toma como un concepto sin definición. Eso no quiere decir que no sepamos de alguna manera de qué cosa hablamos cuando nos referimos a un conjunto determinado. -. Los conjuntos los especif camos de dos modos: 5.1- CONCEPTOS ELEMENTALES
  64. 64. 66 Verás que la Geometría realmente estudia conjuntos de puntos, a los cuales dá nombres especiales según su conformación. Durante todo este curso de geometría tendrás ocasión de ver muchas intersecciones interesan- tes entre conjuntos de puntos. A = {x E N I 1 < x: < 4} y B =. [x ENI 4 < x <7} se ve que An B= tXE NI x= 4}= {4j OBSER VA los conjuntos"> S~ llama intersección de dos conjuntos A y B A n B al conjunto cuyos elementos son todos los elementos comunes a A y a B. Con la ayuda de tu profesor trata de leer correctamente estos conjuntos fijándote bien cómo se escriben. A = {x EN I 1 < x <41 B=fxENI4<x<7j A U B = {x E NI l < x < 7}entonces: Si A = {t, 2, 3, 4} y B = {4, 5,6, 7}, entonces A U B = {t,2,3,4,5,6,7} Esos tres conjuntos se pueden escribir comprensivamente de este modo: Se llama unión de dos conjuntos A y B A U B al conjunto cuyos elementos son todos los de A y todos los de B sin repetir alguno de ellos. Los conjuntos M = {a, b, c} y N = {l, 2, 3, 4} carecen de relación alguna. No se relacionan. Entre los conjuntos se han definido las llamadas operaciones conjuntistas de unión, intersec- ción y diferencia. Si A e B y B e A, entonces A= B. Pues si todo elemento de A está en B y todo elemento de B está en A, entonces A y B son iguales.
  65. 65. 67 Para los conjuntos que tienen por intersección el conjunto vacío, reservamos un nombre especial: Una situación muy 'interesante ocurrirá en nuestro curso. Cuando dos rectas LI y L2 no se intersequen, es decir: 1:7 n 'G = cJ> siempre que dichas rectas 'estén sobre una misma superfi- cie plana, se dirá que las rectas son paralelas. El círculo C y la recta L no se intersecan; su intersección es vacía. Tn C=cJ> FIJATE que:~ " Así que en el ejemplo anterior M n N = ';P- Un conjunto es vacío cuando carece de elementos, y se simboliza Pero ya sabemos que hay conjuntos que no tienen relación alguna entre sí, como M ={a, b,c} y N = {I, 2, 3, 4}. Entonces, evidentemente ocurrirá que M n N no contendrá elemento alguno. Para simbolizar situaciones como esta Cantor definió lo que se llama conjunto vacío. El punto P está en la intersección de las rectas L I Y L2 ..fa Así, por ejemplo, una recta es un conjunto de puntos dispuestos en "forma rectilínea ", como un cordel estirado; la circunferencia es un conjunto de puntos "los cuales distan igual distancia de un puma llamado centro ": etc. Por eso podremos hablar de que:
  66. 66. 68 B = {x E R I (x + 1) (x - i). = O} N=cP S=cb BI = {xE R I 1 - x = - 2} 82 = {x E RI x:! - 5x + 14 = O} "o,. a. A = {x E R I x + 7 = l} b. M = {l, 2, 3} c. R = cP • d. Al ={x E R I X2 - 5x + 6 = O} e. A2 = {x E R 1I ~ = 2} l. Usando caria pareja de conjuntos, determina el conjunto que es la unión de-ellos: es momento deREVISAR 9 Si'la superficie del rectángulo E es el conjunto '.básico, entonces el complemento del círculo es la parte sombreada. Dado un conjunto básico E, se llama complemento de un conjunto A e E al conjunto de todos los elementos de E que no están en A. Así que: AC = E - Á' . FUATE en estos dos conjuntos: A = {a, b, e, d] Y B = lb, c, m, n} entonces A - B= {a, d] y también B- A = {m, n] Un caso de diferencia entre conjuntos es e.lcomplemento. Pero éste se determina en el caso en que haya un conjunto respecto al cual seestén tomando todos los conjuntos con los que se est.' trabajando. La diferencia entre dos conjuntos A y B A - B es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B~ Así, dos rectas paralelas son disjuntas. Dos conjuntos cuya intersección es el conjunto vacío sellaman disjuntos.
  67. 67. En esta' corta sección vamos a recordar las ideas de (..onjuntos finitos e infinitos. que hemos. . 5.2- CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS. liMITADOS E iliMITADOS. a. Al = {x E Z I (x + 1) (x - 2) = O} b. - A2 = [x E Z 1 x2 - 2 = O} c. A3 = {x E R I O < x < 3} 6. Si el conjunto básico es Z. determina el complemento de cada uno de los siguientes conjuntos: AI-A~ Y A~-AI c.b. Ca a. 4. En el' ejercicio 1 anterior determina la intersección de las parejas de conjuntos dadas: 5.. 'Dibuja con color rojo la diferencia entre los dos conjuntos en cada caso. 3. En cada figura determina y escribe el conjunto intersección. El círculo e1 con el círculo C~ ELtriángulo ABC con el triángulo MNR. c.. •eb. a. La recta L con el círculo C. 2. Dibuja con un lápiz rojo la intersección de:
  68. 68. 70. No importa que el conjunto dado tenga un número muy grande de elementos y que sea físicamente imposible contarlo. Por nuestros cursos anteriores ya sabes que hay conjuntos con un número enorme de elementos, pero que por eso no dejan de ser finitos. El no poder contar sus elementos NO es señal de infinitud. Por esa razón el conjunto es finito siendo 4 su cardinal. Es decir, que el conjunto {a, b, e, d} tiene 4 elementos. El conjunto {a, b, e, d] lo podemos aparear o coordinar con la sección inicial de N, {I, 2, 3, 4} así: d t4 e ¡ 3 b ¡ 2 a ¡ 1 Por ejemplo: El último número de esa' sección inicial recibe el nombre de cardinal del conjunto. Un conjunto cualquiera esfinitosi sus elementos pueden ponerse en correspondencia biunívoca con una sección inicial de N. De lo contrario el conjunto es infinito. Por eso: [t}, fl, 2}, {l, 2, 3}. {I, 2, 3, 4}, ... , {I, 2, 3, ..., n] son secciones iniciales de N. Pero: {l, 3}, {l, 4,5, 6}, {2, 3,4, 5} no son secciones iniciales de N Diremos entonces que: Llamamos sección inicial de N a un subconjunto de N que contiene todos los números desde 1, en forma ordenada y sin saltos, hasta otro número natural determinado. estudiado en cursos anteriores, y a precisar las de conjuntos limitados e ilimitados. Debido al importante papel que estas ideas tienen en este curso, es necesario clasificarlas. Cuando deseamos establecer la altura de una pared con respecto a otra, usamos una unidad de comparación o medida. De igual manera para determinar e1 "tamaño" de un conjunto, debemos usar un conjunto-tipo o patrón de comparación entre conjuntos. Ese conjunto especial es el conjunto N, de los números naturales menos el cero. IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} I
  69. 69. 71 volumen V( de la Tierra . .Si llamas G al número de granos de arena que caben en el globo terrestre, podrás establecer la siguiente proposición: Vt G . m • Vt Vp=-;-; y despejando a G, G = Vp quedando calculado el número de granos de arena contenidos en un globo del tamaño de la Tierra. Verás que ese número no es mayor que 1040 ¡muchísimo menor que un googol! * J 3 -1T r 4 Sabiendo que el radio del globo terrestre es de 6400 kms., calcula el Toma una pelota de juguete que sea hueca y de radio conocido, r. Empiezas a echar granos de arena dentro de dicha pelota, contántolos cuidadosamente, hasta que la pelota esté bien llena de ellos. Supón que el número de granos echados es m. Calcula el volumen de la pelota Vp, sabiendo que el volumen de una esfera es igual a: Para el.ejemplo A, el genial Arquímedes de Siracusa, en el siglo 111a.C., escribió el libro que ha llegado hasta nosotros: 11El arenario" o 11El contador de arena" en el cual establece mediante una simple proposición que: 11••• si la Tierrafuera un globo hueco y se llenara de granos de arena, el número de los mismos no es infinito como piensan algunos ¡Rey Gelonl". Para que sepas cómo se hace este cálculo, aquí te lo explicamos: GOOGOLPLEX un uno seguido de cien ceros. 10100 un uno seguido de un googol de ceros. 1oJO .100 GOOGOL Los conjuntos A, B y C contienen un número muy grande de elementos, pero son ¡finitos! Sabemos que los matemáticos han escogido dos números enormes para guiarse entre los demás números grandes. Ellos son: El conjunto de todos los protones y electrones que componen toda la materia del Universo conocido. El conjunto de todas las gotas de agua que han caído por las Cataratas del Niágara desde su formación hasta hoy. El conjunto de todos los granos de arena contenidos en todas las playas del globo terrestre. POR EJEMPLO:

×