Ecuaciones diferenciales 5e, Carmona
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Ecuaciones diferenciales 5e, Carmona Ecuaciones diferenciales 5e, Carmona Presentation Transcript

  • Prelim.indd viiiPrelim.indd viii 7/13/10 11:32:54 AM7/13/10 11:32:54 AM
  • Ecuaciones diferenciales Prelim.indd iPrelim.indd i 7/13/10 11:32:52 AM7/13/10 11:32:52 AM
  • Prelim.indd iiPrelim.indd ii 7/13/10 11:32:52 AM7/13/10 11:32:52 AM
  • Ecuaciones diferenciales Isabel Carmona Jover Ernesto Filio López REVISIÓN TÉCNICA María de Jesús Rivera Flores Instituto Tecnológico de Hermosillo Félix Rodrigo Villegas Valenzuela Instituto Tecnológico de Sonora Jorge Sierra Cavazos Ruth Rodríguez Gallegos Salvador García Lumbreras Víctor Segura Flores Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey José Manuel Nieto Jalil Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Sonora Norte Addison-Wesley Prelim.indd iiiPrelim.indd iii 7/13/10 11:32:52 AM7/13/10 11:32:52 AM
  • Editor: Rubén Fuerte Rivera e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Juan José García Guzmán QUINTA EDICIÓN, 2011 D.R. © 2011 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto, CP 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, foto- químico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-0206-0 ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-0207-7 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0208-4 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10 Addison-Wesley es una marca de Datos de catalogación bibliográfica Ecuaciones diferenciales Isabel Carmona Jover, Ernesto Filio López Quinta edición Pearson Educación, México, 2011 ISBN: 978-607-32-0206-0 Área: Matemáticas Formato: 20 × 25.5 cm. Páginas: 536 Prelim.indd ivPrelim.indd iv 7/15/10 2:51:36 PM7/15/10 2:51:36 PM
  • Prólogo a la cuarta edición El mundo es, en todas sus partes, una aritmética viviente en su desarrollo, y una geometría realizada en su reposo. PLATÓN: “TIMEO” Desde tiempo inmemorial, la matemática ha ejercido una fascinación especial sobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella toma partido, a favor o en contra: a favor por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitu- ción; en contra, por sentirse, quizás, ante una tarea superior a las propias fuerzas. Voy a decir algo a aquellas personas que piensan que la matemática no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura ma- temática, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lógicas, compara, infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces usando leyes lógicas, algebraicas, topológicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia. La matemática posee, a su vez, tal armonía, proporción, exactitud y belleza que se identifica con la “música de las esferas”, citando libremente a Pitágoras. El libro que está en sus manos en este momento pretende presentarle una introducción, a nivel elemental y básico, de una parte de la matemática sumamen- te útil y aplicable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferenciales. El texto contiene la exposición y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primero y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. Tam- bién se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los métodos de series y transformadas de Laplace. El libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el estudiante ponga a prueba su aptitud y, cuando resuelva los de opción múltiple, podrá aquilatar la precisión del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada capítulo contiene un resumen y un examen de autoevaluación; este último con un nivel de conocimiento medio, suficiente para detectar una clara com- prensión del texto. Además, en esta quinta edición, aparecen algunas soluciones con el uso de computadoras utilizando Matemáticas 7, incorporando solucio- nes gráficas. Se ha procurado rodear a cada capítulo de un ambiente humanístico me- diante biografías, comentarios, curiosidades y pasatiempos. El requisito para leer este libro es conocer el cálculo diferencial e integral. Prelim.indd vPrelim.indd v 7/13/10 11:32:53 AM7/13/10 11:32:53 AM
  • Este libro nació, creció y salió a la luz gracias a la colaboración de mis maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia. Cada uno de ellos aportó lo que a su área competía. Especialmente agradezco al licenciado Juan Manuel Silva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al doctor Christian Garrigoux Michel por su participación en la redacción de las biografías. Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra que deseo disfrute y le sea útil en su formación profesional y en su trabajo. vi Prólogo a la cuarta edición Prelim.indd viPrelim.indd vi 7/13/10 11:32:53 AM7/13/10 11:32:53 AM
  • Prólogo a la quinta edición Vivimos en un planeta que necesita renovarse para alcanzar las metas de pleni- tud que por impulso interior tiene que alcanzar. El libro que tiene usted en sus manos ha madurado a través de los años, ayudando a muchas personas a com- prender un poco mejor los temas que trata. La revisión efectuada tiene por objetivo agregar algunas soluciones con el uso de computadoras utilizando el software Mathematica e incorporando solu- ciones gráficas. Se busca favorecer la rápida aproximación de las gráficas y así obtener el esquema exacto de los fenómenos de movimiento que se presentan en el área de ingeniería. También, una vez que se haya expuesto la teoría para la comprensión de los temas y se hayan resuelto algunos ejemplos, se presentan los comandos necesarios para resolver otros ejercicios. Se añadieron, asimismo, algunos conceptos y se corrigieron aspectos seña- lados por los profesores para que el aprendizaje sea eficaz, sin perder por ello la riqueza didáctica e incluso amena que se procuró desde el primer momento. Agradecemos la colaboración del doctor Jorge Sierra Cavazos y del doctor Salvador García Lumbreras en la revisión del texto, cuyo esfuerzo significa una invaluable aportación. También damos las gracias a la casa editorial Pearson Educación que tan amablemente nos brindó su apoyo y confianza. ISABEL CARMONA JOVER VÍCTOR SEGURA FLORES Prelim.indd viiPrelim.indd vii 7/13/10 11:32:54 AM7/13/10 11:32:54 AM
  • Prelim.indd viiiPrelim.indd viii 7/13/10 11:32:54 AM7/13/10 11:32:54 AM
  • Estructura lógica de los capítulos 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 8 Series de Fourier 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 7 Transformadas de Laplace 9 Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales Prelim.indd ixPrelim.indd ix 7/13/10 11:32:54 AM7/13/10 11:32:54 AM
  • Prelim.indd xPrelim.indd x 7/13/10 11:32:54 AM7/13/10 11:32:54 AM
  • Contenido Prólogo a la cuarta edición v Prólogo a la quinta edición vii Estructura lógica de los capítulos ix CAPÍTULO 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? 1 ¿Cómo resolver una ecuación diferencial? 2 Definiciones básicas 3 Existencia y unicidad de las soluciones 27 CAPÍTULO 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 37 Ecuaciones diferenciales de variables separables 39 Ecuaciones diferenciales homogéneas 47 Ecuaciones diferenciales exactas 54 Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 65 Ecuaciones diferenciales lineales 73 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 91 Geometría 92 Ecuación de Bernoulli 108 Ecuación de Lagrange 111 Ecuación de Clairaut 113 Química 117 Biología 122 Física 126 Prelim.indd xiPrelim.indd xi 7/13/10 11:32:54 AM7/13/10 11:32:54 AM
  • CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 145 Introducción 146 Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden 146 Ecuaciones diferenciales lineales 151 Principio de superposición o linealidad 153 Dependencia e independencia lineal 154 Wronskiano 156 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 167 Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 167 Ecuación de Cauchy-Euler 170 Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes 179 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden 185 Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 186 CAPÍTULO 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 215 Aplicaciones geométricas 216 Osciladores 220 Oscilaciones forzadas 221 Caída libre y leyes de movimiento 225 Circuitos eléctricos 229 Flexión de vigas 232 Otras aplicaciones 239 CAPÍTULO 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 247 Introducción 248 Pruebas de convergencia de series 249 Desarrollo de una función en series 262 Operaciones con series de potencias 269 Puntos notables 273 Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos ordinarios, usando series de potencias 280 Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares 290 Método de Frobenius. Ecuación indicial 291 Ecuación de Bessel 315 xii Contenido Prelim.indd xiiPrelim.indd xii 7/13/10 11:32:54 AM7/13/10 11:32:54 AM
  • CAPÍTULO 7 Transformadas de Laplace 335 Introducción 336 Transformada inversa de Laplace 341 Traslación sobre el eje s 342 Existencia de la transformada 346 Propiedades de la transformada de Laplace 354 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace usando fracciones parciales 363 Derivación de transformadas 375 Integración de las transformadas 376 Función escalón unitario 385 Traslación sobre el eje t 390 Funciones periódicas 403 Convolución 405 Aplicaciones de la transformada de Laplace 414 CAPÍTULO 8 Series de Fourier 429 Introducción 430 Series trigonométricas y funciones periódicas 430 Fórmulas de Euler 440 Convergencia de las series de Fourier 450 Series de Fourier para las funciones pares e impares 467 Funciones de periodo arbitrario 474 Desarrollo de funciones no periódicas en series de Fourier 482 CAPÍTULO 9 Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales 499 Método de Euler 500 Bibliografía 515 Índice analítico 517 Contenido xiii Prelim.indd xiiiPrelim.indd xiii 7/13/10 12:45:13 PM7/13/10 12:45:13 PM
  • Prelim.indd xivPrelim.indd xiv 7/13/10 11:32:55 AM7/13/10 11:32:55 AM
  • ¿Cómo resolver una ecuación diferencial? Definiciones básicas Existencia y unicidad de las soluciones ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? 1 Georg Friedrich Riemann (1826-1866) Carmona-01.indd 1Carmona-01.indd 1 7/13/10 10:17:00 AM7/13/10 10:17:00 AM
  • 2 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Lo que precede en el ladillo escrito en clave Morse, es la frase que tarde o tem- prano decimos y la que todos queremos oír: es un lenguaje. Para representar la realidad en movimiento usamos también una clave espe- cial, una simbología sintética que nos informa acerca de una velocidad, de un ascenso de temperatura, de un aumento de población, de un monto de intereses, hasta del menor cambio en cualquier aspecto de nuestro planeta. Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en común que son variaciones a través del tiempo, esa dimensión inmutable (en el sentido de la cuarta dimensión) en la cual se mueven la materia y la conciencia. Así pues, en matemáticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para los hechos y los datos cambiantes. ¿Cómo resolver una ecuación diferencial? Hay dos maneras de aprender a patinar sobre hielo. Primera: En una librería se compra uno de los siguientes manuales: Cómo dominar el patinaje en 15 lec- ciones; Patinar y rascar, todo es empezar; Historia del patinaje sobre hielo en el Paleolítico y sus repercusiones en el mundo moderno; Agarre su patín; El patín, su constitución, desarrollo y reforzamiento, con bibliografía e ilustracio- nes a todo color; se va uno a casa se instala en su lugar favorito y se sumerge en la lectura sin olvidar tomar apuntes, hacer análisis comparativos y aplicar el cálculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegará un momento en el que ya está uno totalmente capacitado para estrenar los patines —regalo de la abuelita—, momento, repito, en el que quizá ya sufrió uno su primer reuma. Segunda: se toma el par de patines y amparándose en el instinto de conservación se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgos y posibles huesos rotos. Así se aprenden muchas cosas: haciéndolas. Para resolver una ecuación diferencial primero hay que identificarla y des- pués arriesgarse en su solución. Una realidad dinámica se caracteriza por sus cambios, los cuales se controlan en cálculo por medio de derivadas o diferenciales, por lo que una ecuación que contiene derivadas o diferenciales es una ecuación diferencial. Ya identificada intentemos integrarla, y si eso no resulta como un procedimiento inmediato, apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a integrales más o menos familiares. Por ejemplo, si tenemos la ecua- ción diferencial d y dx x 2 2 = __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ Carmona-01.indd 2Carmona-01.indd 2 7/13/10 10:17:01 AM7/13/10 10:17:01 AM
  • Definiciones básicas 3 estamos ante una ecuación diferencial que contiene una segunda derivada, por lo que la llamamos de segundo orden. Si integramos Y volvemos a integrar Obtenemos una función-solución que podemos comprobar al instante con sólo derivarla dos veces: d dx x c x c x c 3 1 2 2 1 6 2 + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = + d dx x c x 2 1 2 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Por lo que d y dx x 2 2 = El resultado nos convence de la exactitud del método empleado. Así, en este capítulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferencia- les y el método geométrico para obtener soluciones. Definiciones básicas Definición 1.1 Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o dife- renciales. Definición 1.2 Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden con- tenida en la ecuación. Definición 1.3 Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial. d y dx x 2 2 = ⇒ d dx dy dx x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⇒ d dy dx xd ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = xx ⇒ d dy dx xdx ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ∫∫ ⇒ dy dx x c= + 2 1 2 dy dx x c= + 2 1 2 ⇒ dy x c dx= + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 1 2 ⇒ dy x c= + 2 1 2 ⎛⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫∫ dx ⇒ = + +y x c x c 3 1 2 6 Carmona-01.indd 3Carmona-01.indd 3 7/13/10 10:17:02 AM7/13/10 10:17:02 AM
  • 4 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Tipo Ordinarias Parciales La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes. Orden Primer orden Segundo orden Tercer orden и и и Orden n F(x, y, yЈ) ϭ 0 F(x, yЈ, yЉ) ϭ 0 F(x, y, yЈ, yЉ, yٞ) ϭ 0 и и и F(x, y, yЈ, …, yn ) ϭ 0 Grado Lineales No lineales a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado. b) Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente x. Las que no cumplen las propiedades anteriores. Ejemplos de ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial Tipo Orden Grado Lineal dy dx e x = − 2 Ordinaria 1 1 Sí ∂ ∂ = ∂ ∂ + − ∂ ∂ y t x t kx y s Parcial 1 1 Sí x y xy y2 0′′ ′+ + = Ordinaria 2 1 Sí yy x y x′′ + =2 Ordinaria 2 1 No ∂ ∂ + ∂ ∂ = y t y s c 2 2 Parcial 2 1 Sí x d y dx x dy dx x v y2 2 2 2 2 0+ + −( ) = Ordinaria 2 1 Sí Clasificación de las ecuaciones diferenciales ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ { (Continúa) Carmona-01.indd 4Carmona-01.indd 4 7/13/10 10:17:03 AM7/13/10 10:17:03 AM
  • Definiciones básicas 5 Ecuación diferencial Tipo Orden Grado Lineal ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4 4 2 2 2 v t kv m n Parcial 4 1 No y y y yv ( ) − + − = 3 2 0′′′ ′′ Ordinaria 5 3 No y y x y ′ + = Ordinaria 1 1 No sen y y′ + = 0 Ordinaria 1 ? No EJERCICIOS 1.1 Elegir la opción que da la clasificación correcta de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. y xyy x′′ ′+ = sen a. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal. b. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. c. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. d. Ordinaria, orden 3, grado −1, no lineal. 2. c x t y r cte2 5 5 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = a. Ordinaria, orden 2, grado 2, lineal. b. Parcial, orden 5, grado 1, lineal. c. Parcial, orden 2, grado 2, no lineal. d. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. 3. x yy x yy y3 2 0′′′ − ′′ + = a. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. b. Parcial, orden 2, grado −1, no lineal. c. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. d. Parcial, orden 1, grado 1, lineal. 4. y x y x y xy′′ ′ −+ −( ) =2 13 3 2/ a. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. b. Parcial, orden 2, grado 3 2 , no lineal. c. Ordinaria, orden 3, grado 3 2, no lineal. d. Parcial, orden 3, grado 1, lineal. e. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. (Continuación) Carmona-01.indd 5Carmona-01.indd 5 7/13/10 10:17:04 AM7/13/10 10:17:04 AM
  • 6 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Definición 1.4 Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene deriva- das y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. Definición 1.5 Solución general de una ecuación diferencial es la función que satisface a la ecuación y que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones). Definición 1.6 Solución particular de una ecuación diferencial es la función que satisface la ecuación y cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico. EJEMPLO 1 La función x y c+ =2 es la solución general de la ecuación diferencial: dy dx y = − 1 2 Porque derivándola implícitamente se tiene: 1 2 0+ =y dy dx o bien 2 1yy′ = − . Sustituyendo y c x= −2 y y y ′ = − 1 2 se obtiene una identidad: 2 1 2 1c x c x − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ∴ − = −1 1 5. ∂ ∂ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂ ∂ = u x u y x y 2 2 2 a. Ordinaria, orden 2, grado 2, no lineal. b. Parcial, orden 1, grado 2, lineal. c. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal. d. Parcial, orden 2, grado 1, no lineal. Respuestas: 1. c; 2. b; 3. c; 4. a; 5. d. EJEMPLO 2 La función y e x = +− 8 es solución particular de la ecuación diferencial y e x ′ + =− 0 porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, se obtiene: y e x ' = − − − + =− − e ex x 0 ∴ 0 0= Carmona-01.indd 6Carmona-01.indd 6 7/13/10 10:17:05 AM7/13/10 10:17:05 AM
  • Definiciones básicas 7 EJEMPLO 3 La función y x c x c= + +3 2 1 2 es solución general de la ecuación diferencial y′′ = 6, porque: y x c′ = +6 1 y y′′ = 6 ∴ 6 6= EJEMPLO 4 La función t xy x y g y f x= + + +2 32 2 ( ) ( ) es la solución general de la ecua- ción diferencial parcial: ∂ ∂ ∂ = + 2 4 6 t y x y x porque ∂ ∂ = + + t x y xy f x2 62 ′( ) y ∂ ∂ ∂ = + 2 4 6 t y x y x; así que sustituyendo: 4 6 4 6y x y x+ = + . EJEMPLO 5 La función y c e c e c e c ex x x x = + + +− − 1 2 3 2 4 2 es solución general de la ecua- ción diferencial: y y yIV − + =5 4 0′′ Porque: y c e c e c e c e y c e c e x x x x x ′ ′′ = − + − + = + + − − − 1 2 3 2 4 2 1 2 2 2 xx x x x x x c e c e y c e c e c e + + = − + − + − − − 4 4 8 8 3 2 4 2 1 2 3 2 ′′′ cc e y c e c e c e c e x IV x x x x 4 2 1 2 3 2 4 2 16 16= + + + +− − Sustituyendo: c e c e c e c ex x x x yIV 1 2 3 2 4 2 16 16− − + + + −− − − −− − − 5 5 20 201 2 3 2 4 2 5 c e c e c e c ex x x x y′′ + + + +− − + 4 4 4 41 2 3 2 4 2 4 c e c e c e c ex x x x y = ∴ =0 0 0 Carmona-01.indd 7Carmona-01.indd 7 7/13/10 10:17:07 AM7/13/10 10:17:07 AM
  • 8 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? EJEMPLO 6 La función y e x xx = +( )3 2 2cos sen es solución particular de la ecuación diferencial y y y′′ ′− + =2 5 0, porque: y e x x e x x y e x x ′ ′′ = − +( )+ +( ) = 6 2 2 2 3 2 2sen sencos cos xx x x x e x x− −( )+ − +( )+12 2 4 2 6 2 2 2cos cossen sen e x x e x xx x − +( )+ +( )6 2 2 2 3 2 2sen sencos cos ; sustituyendo: e x x e x x e x x x − −( )+ − +( )+12 2 4 2 2 6 2 2 2 3 cos cossen sen ccos cos cos 2 2 12 2 4 2 6 2 x x e x x e x x x +( )+ −( )+ − sen sen −−( )+ +( )= − − 2 2 15 2 5 2 12 2 4 sen senx e x x e x x x cos [ cos ssen sen sen2 12 2 4 2 3 2 2 1 x x x x x− + + + +cos cos 22 2 4 2 6 2 2 2 5 2sen sen senx x x x x− − − + +cos cos 115 2 0 0 0 0 cos ] ( ) . x ex = = ∴ = EJEMPLO 7 La función definida por tramos y x x x = < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 03 si si es solución de la ecuación diferencial y xy′( ) = 2 9 porque y x x x ′ = < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 3 02 si si así que 0 0 9 04 2 si si x x x y < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ = ( )′ 99 0 0 0 0 3 x x x x y si si < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ = si si x x x < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 9 04 EJEMPLO 8 El par de funciones x e e y e e t t t t = + = − + − − 2 6 2 6 3 5 es solución del sistema de ecuaciones diferenciales dx dt x y dy dt x y = + = + 3 5 3 porque sustituyendo las derivadas dx dt e t = − − 2 2 + 18e6t y dy dt e et t = +− 2 302 6 se tiene: Carmona-01.indd 8Carmona-01.indd 8 7/13/10 10:17:08 AM7/13/10 10:17:08 AM
  • Definiciones básicas 9 EJEMPLO 9 Mathematica es de gran ayuda para la verificación de soluciones si el orden de la derivada es muy alto. Por ejemplo, si la función y xe xx = 5 2cos es solución de la ecuación diferencial y y y y yiv − + − + =20 158 580 841 0′′′ ′′ ′ , entonces: In[1]Clear[y] y[x_]:=x Exp[5x]Cos[2x] y[x] y′′′′-[x]-20y′′′[x]+158y′′[x]-580y′[x]+841y[x]// Simplify Out[3]e5x xCos[2x] Out[4]841e5x xCos[2x]-580y′[x]+158y′′[x]-20y′′′[x]+ y′′′′[x] x y e e e et t x t t y + = + + − +− − 3 3 3 52 6 2 6 ( ) ( ) = − + =− 2 182 6 e e dx dt t t y 5 3 5 3 3 52 6 2 6 x y e e e et t x t t y + = + + − +− − ( ) ( ) = + =− 2 302 6 e e dy dt t t EJERCICIOS 1.2 Averiguar si las siguientes funciones son solución de la correspondiente ecuación diferencial. 1. y cex = de y y′ − = 0 2. y e ex x = +− 2 1 3 2 de y y ex ′ + =2 3. y x c= +8ln de y x ′ = 64 2 4. y c e c ex x = +− 1 2 2 de y y y′′ ′− − =2 0 5. y e xex x = +8 de y y y′′ ′− + =2 0 6. y x x = sen 3 de xy y x′ + = cos 7. y x − = 1 0 cos de y y x′ − =tan 0 8. y x = − + 3 3 2 de y y′ = 3 2 9. y c x= + −1 1 2 de 1 2 −( ) + =x y xy x′ 10. y x x= −2 1 2 de yy x x′ = −4 8 3 11. y e xx = − cos 1 2 de 4 8 5 0y y y′′ ′+ + = Carmona-01.indd 9Carmona-01.indd 9 7/13/10 10:17:09 AM7/13/10 10:17:09 AM
  • 10 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? 12. y e xx = − cos 1 2 de y y e xx ′′ ′+ = − cos 1 2 13. x t y et = = ⎫ ⎬ ⎭ cos de y y x ′ + − = 1 02 14. y x x = cos de xy y x x x′ − = 2 tan sec 15. x t y t = = ⎫ ⎬ ⎭ cos 2sen de yy x′ + =4 0 16. y e x = − sen 1 2 de xy y y′ − =tanln 0 Respuestas: Sí son solución, excepto las de los ejercicios 6, 8 y 12. Definición 1.7 Solución singular de una ecuación diferencial es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto ( , )x y0 0 con la tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto ( , ),x y0 0 por pequeña que ésta sea. Estas soluciones no se obtienen a partir de la solución general. Un método para encontrar dichas soluciones es derivar la ecuación diferencial dada con respecto a y′, con lo cual formamos un sistema de ecuaciones: F x y y, , ′( )= 0 ∂ ∂ ( )= y F x y y ′ ′, , 0 del que, eliminando y′, se obtienen una o más soluciones singulares. EJEMPLO Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuación diferencial: y x′2 2 16= NOTA. Usando el triángulo: 1 t x Si x t= cos → sent x= −1 2 y la regla de la cadena, se pueden verificar algunas de las soluciones anteriores. 1 2 − x Carmona-01.indd 10Carmona-01.indd 10 7/13/10 10:17:11 AM7/13/10 10:17:11 AM
  • Definiciones básicas 11 Derivando con respecto a y′ se tiene: 2 0y′ = Por lo que y′ = 0; sustituyendo en la ecuación, se obtiene x = 0, que es la solución singular. En efecto, las soluciones generales de dicha ecuación son: y x c= +2 2 , y x c= − +2 2 , y para el punto (0, 0) su gráfica es y x= ± 2 2 y x ϭ 0 es el punto de contacto con las pendientes de y x= ± 2 2 en el punto (0, 0). Algunas soluciones de ecuaciones diferenciales se encuentran sometidas a ciertas condiciones previas que deben satisfacer. Un problema que implica resolver la ecuación d y dx f x y y y n n n = − ( , , , , )′ … 1 sometida a y x y y x y y x yn n( ) ; ( ) ; ; ( )0 0 0 1 1 0 1= = =− −′ … donde y y yn0 1 1, , ,… − son números reales, se llama problema con condiciones iniciales. Figura 1-1. 0 1 2 3 −1 −2 −3 −1−2−3 0 4 3 2 1 y x Carmona-01.indd 11Carmona-01.indd 11 7/13/10 10:17:13 AM7/13/10 10:17:13 AM
  • 12 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Definición 1.8 Problema con valores iniciales es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales. EJEMPLO 1 Resolver la ecuación diferencial: y xy′ − =4 0 Para la condición inicial: y = 1 5 cuando x = 0, o bien, brevemente: y( )0 1 5 = La ecuación puede expresarse como: dy xydx= 4 o bien dy y xdx= 4 , integrando ambos lados de la igualdad, se obtiene: dy y xdx∫ ∫= 4 ln y x c y ce x = + = 2 2 2 2 Sustituyendo los valores del punto 0 1 5 , , ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ se tiene que: 1 5 1 5 0 = → =ce c Por lo que la solución particular es: y e x = 1 5 2 2 EJEMPLO 2 Resolver la ecuación diferencial: y x′′ = , para y( )− =2 4 y′( )0 1= Integrando ambos lados de la ecuación se tiene: d dx dy dx x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⇒ d dy dx xdx ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =∫ ∫ ⇒ dy dx = xx c 2 1 2 + Carmona-01.indd 12Carmona-01.indd 12 7/13/10 10:17:14 AM7/13/10 10:17:14 AM
  • Definiciones básicas 13 Y volviendo a integrar: dy x c dx= + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫∫ 2 1 2 ⇒ y x c x c= + + 3 1 2 6 La cual es una solución general. Ahora, aplicando las condiciones iniciales dadas: Para y′ 1 0 11 1= + → =c c Para y 4 8 6 2 1 2= − − +c c 4 4 3 2 1 2= − − ( )+ c c2 22 3 = ∴ = + +y x x 3 6 22 3 es solución particular. Comprobación: derivando la solución particular y sustituyendo en la ecua- ción se tiene y x y x ′ ′′ = + = 2 2 1 . Observación: Se necesita igual número de condiciones iniciales que el del orden de la ecuación diferencial. EJEMPLO 3 Dada la función: y c e c e c ex x x = + +− 1 2 2 3 3 como solución (la forma de obtenerla se estudiará más adelante) de la ecua- ción diferencial: y y y y′′′ ′′ ′− + + =4 6 0 encontrar la solución particular para las siguientes condiciones iniciales: y y y y c c c ( ) , ( ) , ( ) ( ) 0 4 0 1 0 0 0 1 2 3 = = − = = + + → ′ ′′ c c c y c e c e c e y c x x x 1 2 3 1 2 2 3 3 1 4 2 3 0 2 + + = = − + = − ′ ′( ) −− + → − + = − = + +− c c c c c y c e c e cx x 2 3 1 2 3 1 2 2 3 2 3 1 4 9′′ 33 3 1 2 3 1 2 30 4 9 4 9 0 e y c c c c c c x ′′( ) = + + → + + = Carmona-01.indd 13Carmona-01.indd 13 7/13/10 10:17:15 AM7/13/10 10:17:15 AM
  • 14 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Resolviendo el sistema de ecuaciones: c c c c c c c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 3 1 4 9 0 + + = − + = − + + = se obtiene: c c c1 2 3 10 3 29 12 7 4 = = = −, , ∴ = + −− y e e ex x x10 3 29 12 7 4 2 3 es la solución particular para las condiciones dadas. EJERCICIOS 1.3 Dada la ecuación diferencial, su solución y las condiciones iniciales, deter- minar el valor de las constantes arbitrarias. Respuestas: 1. yy x′ + =6 0 y x c2 2 6= − + y c( )0 4 16= = 2. y y x2 4 0′ − = y x c3 2 6= + y c 1 2 0 3 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = − 3. y y′ = +1 2 y x c= +tan ( ) y c ␲ 4 1 0 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = = + − tan tan x c c x1 4. y y′ = −1 2 tanh− = +1 y x c y c( )0 0 0= = Donde − < <1 1y 5. yy e x ′ = +2 1 y e x cx2 2 2= + + y c( )0 1 2 3 4 = = − 6. 2 0y y y′′ ′+ − = y c e c e x x = + − 1 2 2 y c y c ( ) ( ) 0 0 2 3 0 1 2 3 1 2 = = = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ′ 7. y y x′′ + = +cos 4 y c x x c= +1 2sen y c y c ( )0 4 1 2 1 4 1 2 = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ′ ␲ Elegir la opción correcta. 8. Ecuación Condición inicial y x′ = 12 y 2 1( )= − Carmona-01.indd 14Carmona-01.indd 14 7/13/10 10:17:16 AM7/13/10 10:17:16 AM
  • Definiciones básicas 15 Solución general Valor de las constantes a. 24 2 y x c= + c = −22 b. y x c= +6 2 c = −13 c. y x c= +2 c = −3 d. x y c= − 1 6 c = −4 9. Ecuación Condición inicial xy′ = 7 y( )1 7= Solución general Valor de las constantes a. y x c= +7ln c = 7 b. y x c= + 7 2 2 0 c = 7 2 c. y x c= +ln c = 7 d. y cx= ln 7 c e= −7 10. Ecuación Condición inicial y x′′ = +2 1 y y ( ) ( ) 0 1 1 1 = = −′ Solución general Valor de las constantes a. 6 2 33 2 1 2y x x c x c= + + + c c 1 2 1 12 = = − ⎧ ⎨ ⎩ b. y x x c x c= + + + 1 3 1 2 3 2 1 2 c c 1 2 3 1 = − = ⎧ ⎨ ⎩ c. y x c x c= + +2 1 2 c c 1 2 3 1 = − = ⎧ ⎨ ⎩ d. y x x c x c= + + + 1 3 1 2 2 1 2 c c 1 2 13 6 1 = − = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 11. Ecuación Condición inicial y ex ′′ = y( ) ln0 2= y′(ln )2 0= Carmona-01.indd 15Carmona-01.indd 15 7/13/10 10:17:18 AM7/13/10 10:17:18 AM
  • 16 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Figura 1-2. y 4 3 2 1 0 x2 + y2 = 1 0−1−2−3−4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 Solución general Valor de las constantes a. y e c x cx = + +1 2 c c 1 2 2 1 2 2 2 1 = − = − + − ⎧ ⎨ ⎩ ln (ln )(ln ) b. y c e cx = +1 2 c c 1 2 0 2 = = ⎧ ⎨ ⎩ ln c. y c c x e x = + +1 2 2 c c 1 2 2 1 0 = − = ⎧ ⎨ ⎩ ln d. y e c x cx = + +1 2 c c 1 2 2 2 1 = − = − ⎧ ⎨ ⎩ ln 12. Ecuación Condición inicial yy x′ = cos y ␲ 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Solución general Valor de las constantes a. y x c2 2= +cos c = 9 b. ln cosy x c= + c = ln3 c. y x c 2 2 = +sen c = 7 2 d. ln y x c= +sen c = −ln3 1 Respuestas: 8. b. Solución particular y x= −6 132 9. a. Solución particular y x= +7 7ln 10. b. Solución particular y x x x= + − + 1 3 1 2 3 13 2 11. d. Solución particular y e xx = − + −2 2 1ln 12. c. Solución particular y x 2 2 7 2 = +sen o bien, y x2 2 7= +sen Geométricamente, la solución general representa una familia de curvas; el caso de x y c2 2 2 + = representa una familia de circunferencias (figura 1.2). La solución general y x c= +2 es una familia de parábolas (figura 1.3). La solución particular es una de las curvas de la familia, precisamente la que se obtiene cuando las constantes arbitrarias toman un valor específico a causa de las condiciones iniciales. Así en las figuras 1.2 y 1.3 la forma que tiene la solución particular para c = 1 y c = −4, es x y2 2 1+ = y y x= −2 4, respec- tivamente. Figura 1-3. y 4 3 2 1 0 0−1−2−3 1 2 −1 −2 −3 −4 y= x2 − 4 3 Carmona-01.indd 16Carmona-01.indd 16 7/13/10 10:17:21 AM7/13/10 10:17:21 AM
  • Definiciones básicas 17 Se pueden visualizar las soluciones de una ecuación diferencial trazando el campo direccional, en donde, para cada curva de la familia solución, la tangente en cada uno de sus puntos tiene la misma dirección que el campo en ese punto. Definición 1.9 La terna x y y, , ′( ) determina la dirección de una recta que pasa por el punto ( , ).x y El conjunto de los segmentos de estas rectas es la represen- tación geométrica del campo direccional. El conjunto de trazos es el campo direccional (figura 1.5). Cruzando con una curva los segmentos de igual pendiente, se obtienen curvas con la propiedad de atravesar segmentos con igual pendiente; entonces: Definición 1.10 Las isóclinas son curvas que atraviesan segmentos de pendientes iguales. Figura 1-5. EJEMPLO 1 El campo direccional de la ecuación diferencial y y x′ = −( )1 se puede dibujar dando valores enteros para x y y para después calcular las pendientes correspondientes: Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4 Ϫ3 12 8 4 0 Ϫ4 Ϫ8 Ϫ12 Ϫ16 Ϫ2 9 6 3 0 Ϫ3 Ϫ6 Ϫ9 Ϫ12 Ϫ1 6 4 2 0 Ϫ2 Ϫ4 Ϫ6 Ϫ8 0 3 2 1 0 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 Ϫ4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4 3 Ϫ6 Ϫ4 Ϫ2 0 2 4 6 8 4 Ϫ9 Ϫ6 Ϫ3 0 3 6 9 12 y x Figura 1-4. x y 1 2 3−1−2−3 0 −1 −2 0 1 2 3 Carmona-01.indd 17Carmona-01.indd 17 7/13/10 10:17:23 AM7/13/10 10:17:23 AM
  • 18 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Las isóclinas de la ecuación diferencial y y x′ = −( )1 son una familia de hipér- bolas. Para obtener las isóclinas, se iguala y′ a una constante: y k′ = y dando valores a k se tiene: si y k y x k′ = → −( ) =1 o bien, y k x = +1 que es la familia de hipérbolas. Para k = 0, y = 1 asíntota horizontal k = 1, y x = + 1 1 k = −1, y x = − + 1 1, etcétera En los cuadrantes 1 y 3, y′ > 0, (las soluciones crecen) y en los cuadrantes 2 y 4, y′ < 0 (las soluciones decrecen). Con esto ya se puede trazar aproxima- damente las curvas solución: una familia de funciones exponenciales que se ven como parábolas. La idea fundamental del campo direccional es que la derivada de una fun- ción proporciona su pendiente. Al tratar con ecuaciones diferenciales se trabaja con expresiones en las que la derivada aparece como una variable. Por ejemplo, la ecuación diferencial dy dx x= 2 se puede ver como pendiente x= 2 , lo cual im- plica la búsqueda de una función cuya pendiente en cualquier punto (x, y) en el plano es igual a x2 Así, por ejemplo, en el punto (1, 2) la pendiente es 12 ϭ 1, en el punto (5, 3) la pendiente es 52 ϭ 25 y en punto (Ϫ3, 11) la pendiente es (Ϫ3)2 ϭ 9. Cada una de estas pendientes se pueden dibujar por medio de peque- ñas rectas en cada punto con lo que, si se proponen suficientes puntos, se obtiene −2 −3 Figura 1-6. 1 2 3−1−2−3 0−4−5−6−7 1 2 3 1 2 3 −1 0 −1 3 Solución Isóclinas Carmona-01.indd 18Carmona-01.indd 18 7/13/10 10:17:24 AM7/13/10 10:17:24 AM
  • Definiciones básicas 19 el campo direccional. Mathematica puede reducir este laborioso trabajo y mostrar la gráfica del campo direccional de esta ecuación con los comandos: VectorPlot[{1,x^2},{x,2,2},{y,2,2},VectorStyle®Arrow heads[0],Axes®True]. Trazar un campo direccional como el de la ecuación dy dx e yx = −− 2 realmente es una tarea titánica y es aquí donde Mathematica puede ser muy útil, con los comandos: VectorPlot[{1,Exp[-x]-2y},{x,-1,1},{y,-1,1},Vector Style®Arrowheads[0],Axes®True]. EJEMPLO 1 Obtener la solución aproximada de la ecuación diferencial y x′ = por el método de las isóclinas y k′ = o sea x k= k = 0 y′ = 0 donde y′ > 0 para x > 0 k = 1 y′ = 1 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 2 2 1 0 1 2 0 1 2 1 Carmona-01.indd 19Carmona-01.indd 19 7/13/10 10:17:26 AM7/13/10 10:17:26 AM
  • 20 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? EJERCICIOS 1.4 Identificar las isóclinas de las siguientes ecuaciones diferenciales. Familia de isóclinas 1. y x y′ = − y x k= − 2. y x′ = + 3 x k= − 3 3. y y x′ = + y k x= − 4. y yex ′ = y ke x = − 5. y y x′ = − 3 y k x= + 3 6. y x y ′ = − y x k ′ = − 7. y y x′ = +( )2 y k x = + 2 8. y y x y′ = +( )2 k y xy= +2 9. y y ′ = 1 y k = 1 k = −1 y′ = −1 y y′ < 0 para x < 0 k = 2 y′ = 2 etcétera. Las isóclinas son rectas paralelas al eje y y las curvas solución forman una familia de parábolas. Mathematica muestra el campo de soluciones y las isóclinas con: VectorPlot[{1,x},{x,-2,2},{y,-2,2},VectorStyle→ Arrowheads[0],Axes-True,Vector]. Figura 1-7. 2 1 0 −1 −2 −2 −1 0 1 2 y x k=−1 k=0 k=1 Carmona-01.indd 20Carmona-01.indd 20 7/13/10 10:17:27 AM7/13/10 10:17:27 AM
  • Definiciones básicas 21 10. y x y′ = −( )cos k x n k x n = = = − = +( ) ⎧ ⎨ 1 2 1 2 1 ␲ ␲⎩⎩ n = ± ± ±( )0 1 2 3, , , , ... 11. y y x′ = −2 2 y k x2 2 = + 12. y x y′ = +2 2 x y k2 2 2 + = 13. y x x y′ = + + +2 2 2 1 k x y2 2 2 1= +( ) + 14. y x y x y′ = + − − +2 2 4 6 13 k x y2 2 2 2 3= −( ) + −( ) 15. y yx′ = −1 y k x = −1 16. y y x′ = + 2 y k x= − 2 En los siguientes ejercicios, trazar el campo direccional y algunas curvas solución. 17. y x y ′ = k = 1/3 k = 2 /3 k = 3 /3 k = −3 k = −3/3 k = −2 /3 y x k = 3 Figura 1-9. k = 1 k = 0 k = −1 k = 0 y x k = 1 Figura 1-8. Carmona-01.indd 21Carmona-01.indd 21 7/13/10 10:17:29 AM7/13/10 10:17:29 AM
  • 22 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? 18. y y x y x ′ = − + Definición 1.11 Dos curvas son ortogonales en un punto si, y sólo si, sus tangentes son per- pendiculares en el punto de intersección. y x Figura 1-10. 19. y xy′ = Respuesta: El campo direccional es semejante al de la figura 1.6, observar que la asíntota horizontal está en y = 0. 20. y x y′ = −3 k=−1k=0 k=1 y x Figura 1-11. Además del método de isóclinas para obtener soluciones de las ecuaciones diferenciales, también existen otros: el de Euler y el de aproximaciones suce- sivas, aparte de los métodos numéricos iterativos tan rápidamente elaborados por una computadora. Carmona-01.indd 22Carmona-01.indd 22 7/13/10 10:17:30 AM7/13/10 10:17:30 AM
  • Definiciones básicas 23 Las pendientes de estas tangentes son recíprocas y de signo contrario, excepto en el caso en el que las tangentes sean pa- ralelas a los ejes de coordenadas. EJEMPLO 1 Dadas las funciones y x = 1 y y x= 1 3 3 , averiguar si son or- togonales en los puntos de intersección. 1 1 3 3 x x= , 1 1 3 4 = x , 3 4 = x , x = 34 y = 1 34 los puntos de intersección en los reales son: P1 1 4 1 4 3 1 3 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ y P2 1 4 1 4 3 1 3 − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ , Derivando las funciones para obtener su pendiente, se tiene: m dy dx x 1 2 1 = = − m dy dx x2 2 = = → m m 1 2 1 = − Y m P1 1 1 3 ( )= − m P2 1 3( )= m P1 2 1 3 ( )= − m P2 2 3( )= En ambos puntos se cumple que m m 1 2 1 = − EJEMPLO 2 Las funciones y ex = y y e x = − tienen su punto de inter- sección en (0,1) m dy dx ex 1 = = m dy dx ex 2 = = − m1 0 1( ) = m2 0 1( ) = − ∴ = −m m 1 2 1 Figura 1-12. y x Figura 1-13. Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 0 0 1 2 3 4 y 1 2 3 4 m1 3= y x= 1 3 3 m2 1 3 = − y = 1–x x Figura 1-14. Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 1 2 3 0 4 y m2 y = exy = e−x m1 x Carmona-01.indd 23Carmona-01.indd 23 7/13/10 10:17:31 AM7/13/10 10:17:31 AM
  • 24 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Definición 1.12 Trayectorias ortogonales son las curvas que se intersecan formando un án- gulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuación F x y y( , , )′ = 0, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella es otra familia de la forma: F x y y ( , , )− = 1 0 ′ Para obtener trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma m dy dx f x y1 = = ( , ), y como m m 2 1 1 = − → m dy dx f x y 2 1 = = − ( , ) da la trayectoria ortogonal a la primera ecuación. EJEMPLO 1 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas y cx= . Su pendiente es m dy dx c1 = = ; es decir, dy dx y x = . Entonces una familia ortogonal a estas rectas será la que tenga como pendiente: m dy dx c 2 1 = = − o sea dy dx x y = − Que también se puede expresar como: ydy xdx= − Integrando: y x c 2 2 2 2 = − + , o bien, y x c2 2 + = Figura 1-15. −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 y = x y = −x y = − 1– 2 x y x Carmona-01.indd 24Carmona-01.indd 24 7/13/10 10:17:33 AM7/13/10 10:17:33 AM
  • Definiciones básicas 25 ∴ La familia de circunferencias con centro en el origen y la familia de rectas que pasan por el origen son mutuamente trayectorias ortogonales. Mathematica proporciona gráficas de curvas ortogonales para y x= −1 2 y y = x usando la instrucción: Plot[{x, Sqrt[1-x2 ]}.{x,0,1}AspectRatio -1] EJEMPLO 2 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas y cx= 2 . Se tiene: m dy dx cx1 2= = y como c y x = 2 ⇒ dy dx y x = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 x ⇒ dy dx y x = 2 Se busca: m dy dx x y 2 2 = = − , o bien, 2ydy xdx= − , así que integrando: y x c2 2 2 = − + o bien, x y c2 2 2+ = Observamos que es una familia de elipses. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Figura 1-16. y x 2 1 1 2 30 0 −1 −2 −1−2−3 Carmona-01.indd 25Carmona-01.indd 25 7/13/10 10:17:35 AM7/13/10 10:17:35 AM
  • 26 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? EJERCICIOS 1.5 Obtener las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas. Trayectorias ortogonales: 1. y cx= 2 2 2 2 y x c+ = 2. y x c= + 4 7 4 7y x c+ = 3. y x c= +( )2 2 8 3 3 2 y x c+ =ln 4. y x c2 2 − = xy c= 5. y x c3 2 6− = y x c(ln )+ = 4 6. y cxln = 3 2 93 2 y x c− = 7. y cex = y x c2 2+ = 8. y x c= + y x c= − + 4 3 3 2 9. r c2 2= cos ␪ r c2 2= sen ␪ Referencia: (vea cap. 3, pág. 93) 10. r c= −( cos )1 ␪ r c= +( cos )1 ␪ Referencia: (vea cap. 3, pág. 93) 11. r c= − sen␪ r c = + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 1 ln sec tan␪ ␪ Referencia: (vea cap. 3, pág. 93) 12. y c x= cos y c x2 2= ln( )sen 13. y x c2 2 + = y cx= 14. y cx2 2 4= + y x cy 2 2 4 2 + = ln 15. y c hx= cos y c hx2 2= ln( csc ) 16. y c x= ln 2 22 2 2 y x x x c= − + +ln 17. sen y ce x = − cos y ce x = − 18. y cex = 2 y cx2 1 = − ln 19. e y cx cos = e y cx sen = Carmona-01.indd 26Carmona-01.indd 26 7/13/10 10:17:36 AM7/13/10 10:17:36 AM
  • 20. 2 1 12 2 y x x x x c= − − + −( )+ln y h x c= − +− cos 1 21. x b y2 2 2 1+ = y x cx2 2 2+ = ln 22. Para la familia Respuesta: y x+ =ln 2 x y c2 2= −( ), determinar qué curva de las trayectorias ortogonales pasa por el punto (1, 2). 23. Para la familia y ax2 2= Respuesta: y x2 2 2 24+ = , (parábolas que pasan por el elipse con centro en el origen. origen), determinar qué curva de las trayectorias ortogonales pasa por el punto (2, 4). Existencia y unicidad de las soluciones En álgebra lineal nos encontramos con tres tipos de sistemas de ecuaciones en el plano: 2 3 0 2 5 3 5 0 y x y x + = − − = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ y x y x − = − = ⎧ ⎨ ⎩ 5 2 2 3 0 5 y x y x + = = + ⎧ ⎨ ⎩ Existencia y unicidad de las soluciones 27 Figura 1-18. Estos sistemas tienen: un número infinito de soluciones (cada punto de las rectas en el plano satisface ambas ecuaciones), ninguna solución (ningún punto en el plano es común a las dos ecuaciones) y una solución única (las dos ecuaciones tienen uno y sólo un punto en común), respectivamente. Figura 1-17. 2 4−2 0−4 0 2 4 5 −2 −4 y x 1 2−1 0−2 0 1 2 −1 −2 y x −1 0−2 0 1 2 −1 y x −3 −1 0−2 0 1 2 y x 3 Carmona-01.indd 27Carmona-01.indd 27 7/13/10 10:17:39 AM7/13/10 10:17:39 AM
  • 28 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Los dos primeros sistemas no nos ayudan mucho para obtener respuestas consistentes. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales que nos interesan son aquellas que tienen una sola forma y un único valor para ciertas condiciones iniciales. ¿Bajo qué condiciones se puede garantizar que una ecuación diferen- cial de primer orden tenga una y sólo una solución? Teorema 1. Existencia y unicidad Dada una ecuación diferencial y f x y′ = ( ), donde f x y,( ) está definida en una región rectangular R que contiene al punto (x0, y0). Si f x y,( ) satisface las condiciones: 1. f x y,( ) es continua en R, 2. ∂ ∂ f y es continua en R, → existe un intervalo I con centro en x0 y existe una y sólo una función y g x= ( ) definida en el intervalo I que satisface la condición inicial y x y0 0( )= . Dicho de otra manera, las condiciones para la existencia de soluciones son: • Continuidad de f x y,( ) en R. • Acotamiento de f x y,( ) por R. Figura 1-19. y y0 x0 x R I Carmona-01.indd 28Carmona-01.indd 28 7/13/10 10:17:40 AM7/13/10 10:17:40 AM
  • Y las condiciones para la unicidad son: • Continuidad de f x y,( ) y ∂ ∂ f y en R. • Acotamiento de f x y,( ) y ∂ ∂ f y por R. Estas condiciones son suficientes pero no necesarias, porque puede existir una solución única que satisface y x y0 0( )= , pero que no cumple la condición 1, o la condición 2, o ninguna de las dos. EJEMPLO 1 Si y y ′ = 3 2 → f x y y , ,( )= 3 2 ∂ ∂ = −f y y 6 3 En todos los puntos del eje x no se cumplen las condiciones 1 y 2 porque f x y( , ) y ∂ ∂ f y son discontinuas en y = 0; sin embargo, por cada punto del eje x pasa una sola curva solución. y x c= +93 , o bien, y x x= −( )9 0 3 EJEMPLO 2 Hallar la región del plano xy en la cual la ecuación diferencial: y xy′ = tiene una solución única en un punto x y0 0,( ) de esa región. Existencia y unicidad de las soluciones 29 Figura 1-20. 1 2−1 0−2 0 1 2 −1 −2 y x −3 Carmona-01.indd 29Carmona-01.indd 29 7/13/10 10:17:41 AM7/13/10 10:17:41 AM
  • 30 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Entonces, f x y xy( , ) = y ∂ ∂ = f y x; ambas son continuas en todos los puntos del plano xy, y por cualquier punto x y0 0,( )en el plano pasa una y sólo una solución y ce x = 2 2 , o bien, y ce x 0 2 2 = de donde: c y e x = ( ) 0 2 0 2 , y y e y e x x x x = = − ( )⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ −( )⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 EJEMPLO 3 Dada la ecuación diferencial y y′ = 23 Averiguar en qué región: 1. Tiene más de una solución. 2. Tiene solamente una solución. SOLUCIÓN: f x y y( , ) = 2 3 , ∂ ∂ = f y y 2 33 f es continua en todo el plano xy. ∂ ∂ f y es discontinua en el eje x. 1. En el eje x hay dos ecuaciones solución y = 0 y y x c = +( )3 27 que dan origen a un número infinito de parábolas cúbicas. 2. En todo el plano excepto en el eje x porque dy y dx2 3 = , 3 1 3 y x c= + y x c = +( )3 27 Figura 1-21. 12 y x 1086420−12−10−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −2 −4 −6 −8 Carmona-01.indd 30Carmona-01.indd 30 7/13/10 10:17:42 AM7/13/10 10:17:42 AM
  • Resumen Definiciones Ecuación diferencial: la que contiene derivadas o diferenciales. Orden: el de la derivada más alta. Grado: el exponente de la derivada más alta. Solución: función sin derivadas que satisface la ecuación. Solución general: con constantes arbitrarias. Solución particular: las constantes toman un valor determinado. Solución singular: su pendiente tiene un punto en común con la pendiente de otra solución. Problema con valor inicial: ecuación diferencial más condiciones iniciales. Campo direccional: conjunto de segmentos de la terna ( , , ).x y y′ Isóclinas: curvas que satisfacen y f x y k′ = =( , ) . Curvas ortogonales: sus pendientes son perpendiculares en el punto de intersección. Trayectorias ortogonales: familias de curvas cuyas pendientes son perpendiculares entre sí. Clasificación: Ordinarias: una sola variable independiente. Tipo Parciales: dos o más variables independientes. Orden {1°, 2°, … , n, … Lineales a) y y y y n ′ ′′ ′′′, , , ... , ,( ) de primer grado. Grado b) Cada coeficiente depende sólo de x. No lineales { No cumplen lo anterior. Teorema: Existencia y unicidad de las soluciones. Continuidad y acotamiento de f x y( , ) y ∂ ∂ f y en la región R. Autoevaluación 1 1. Definir: isóclinas. 2. Definir: campo direccional. 3. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones. 4. Elegir la opción que contiene la definición correcta de: trayectorias ortogonales. a. Familias de curvas paralelas entre sí. b. Familias de curvas cuyas pendientes las cortan en ángulo recto. c. Dos familias de curvas de la forma F x y y , ,− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 0 ′ . d. Familias de curvas que se intersecan formando un ángulo recto. Autoevalución 31 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Carmona-01.indd 31Carmona-01.indd 31 7/13/10 10:17:44 AM7/13/10 10:17:44 AM
  • 32 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? 5. Clasificar las siguientes ecuaciones por su tipo, orden y grado: a. ∂ ∂ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂ ∂ = y x z t xt y et 2 2 2 b. x y y y x−( ) + ( ) − =1 0 3 ′′ ′ 6. Elegir la opción que contiene la clasificación correcta de la siguiente ecuación di- ferencial: x x y xy y x 2 2 1−( ) + ( ) =′′′ ′ a. Ordinaria, orden 3, grado 2, lineal. b. Ordinaria, orden 3, grado 1, no lineal. c. Ordinaria, orden 4, grado 2, lineal. d. Parcial, orden 4, grado 1, no lineal. 7. Verificar si la función e cx yy = +( )2 2 es solución de la ecuación diferencial xyy y′ = + 2. 8. Elegir la opción que da la solución general de la ecuación diferencial correspon- diente: a. y e cx = +− 2 de y xy′ = =2 0 b. x y c2 + = de yy x′ = − c. x e cx2 2 + =− de yy xey ′ = 2 d. y ce x = cos de y y x′ − =sen 0 9. Sustituir la función y x= − sen 1 2 en la siguiente ecuación diferencial para ver si la satisface: y y′ = 2sec . 10. Elegir la opción que contiene la correcta solución particular de la ecuación diferen- cial x y xy+( ) =1 ′ para y( ) .0 1= a. y x= +ln( )1 b. y e xx = − c. y e xx = +( )1 d. y x ex ( )+ =1 11. Resolver el problema con valores iniciales y( )0 7= , y x′′ = −6 12. 12. Seleccionar la opción que contiene la solución particular correcta del problema con valores iniciales. Ecuación diferencial Condición inicial Respuestas a. xy y′′ ′= y y( ) , ( )0 1 1 4= =′ y x= +2 12 b. yy y′′ ′= ( )2 y y( ) , ( )0 1 0 3= =′ y e x = 3 c. yy y xy′ ′= + 2 y( )0 1= y y x c= + +ln 2 d. y x x′ = 2 2 2 sec y( )0 12= y x= tan 2 13. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: y c x x= +( )tan sec 14. Seleccionar la opción que contiene la familia de trayectorias ortogonales de: y xy′ = 2 . a. y cex = 2 b. y xyy = 2 Carmona-01.indd 32Carmona-01.indd 32 7/13/10 10:17:45 AM7/13/10 10:17:45 AM
  • c. y x c= +ln 2 d. y cx= ln 15. Señalar la región donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución única: y x y′ = −5 . Respuestas de la autoevaluación 1 1, 2 y 3, vea el texto. 4. d. La a es falsa porque la condición es la perpendicularidad, no el paralelismo. La b es falsa porque una pendiente es tangente y nunca corta a la curva. La c es falsa porque está incompleta, debe ser una familia de la forma F x y y( , , )′ con otra familia de la forma F x y y ( , , ).− 1 ′ 5. a. Parcial, orden 2, grado 1, no lineal. b. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. 6. b. La a es falsa porque el grado de la ecuación es el exponente de y′′′, es decir, 1. La c es falsa porque el orden no es la suma de los órdenes de las derivadas que exis- tan en la ecuación; el grado es 1 no es lineal porque y′ está al cuadrado. La d es falsa porque la ecuación es ordinaria, sólo hay una variable independiente y d y dx ′′′ = 3 3 y y dy dx ′ = ; el orden es 3. 7. Sí lo es. Derivando implícitamente: e dy dx cx y dy dx c yy = +( ) + +( )2 2 2 2 Sustituyendo c e x y y = +( )2 2 y tomando factor común dy dx dy dx e e y e x y y y − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 2 Dividiendo entre ey y simplificando dy dx y y x+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 1 → xyy y′ = + 2 8. c. La solución de la opción a debe ser y ce x = − 2 , aplicando correctamente las leyes de los exponentes. La solución de la opción b es y x c2 2 + = . La solución de la opción d es y ce x = −cos 9. Sí. Derivando dy dx x = − 2 1 4 2 Si y x x y= → =− sen sen1 2 2 y 1 4 2 − =x ycos derivando 2x y= sen dy dx y y y= → = 2 2 cos sec′ Respuestas de la autoevaluación 33 1 4 2 − x 1 2x Carmona-01.indd 33Carmona-01.indd 33 7/13/10 10:17:48 AM7/13/10 10:17:48 AM
  • 34 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? 10. d. Solución general y x cex +( ) =1 para y c( )0 1 1= → = . Por lo tanto, la solución particular es y x ex +( ) =1 . 11. y x x= − +3 2 6 7. 12. a. La opción b tiene intercambiados los valores de las condiciones iniciales y le falta el coeficiente 3 para satisfacer dicho cambio. En la opción c no se aplicó la condición inicial. Por error en la opción d se tomó y( )0 0= . 13. Derivando: dy dx c x x x= +( )sec sec tan2 , sustituyendo c y x x = +tan sec dy dx y x= sec → = − = − + = dy dx x y ydy xdx y x c cos , cos , 2 2sen 14. b. La solución de a contiene la solución de la ecuación dada. Las soluciones c y d emplean función logaritmo en vez de función exponencial. 15. Tomamos f x y x y y f y x y ,( ) = − ∂ ∂ = 5 5 2 ; f es discontinua en y = 0, es decir, en el eje x; en el eje x se infringe la condición 2 del teorema de existencia y unicidad, de hecho la solución es y x c2 2 5+ = ; en y( )0 no hay soluciones. ¿En qué parte del plano existe una y sólo una solución, en cada punto del mismo? En todo el plano xy, excepto en el eje x. Ejemplo vivo de la timidez y de la fragilidad física, Riemann impactó, sin embargo, el mundo de las matemáticas como pocos lo han hecho en la historia. Hijo del pastor de un pequeño pueblo en Alemania, recibió no obstante una buena educación que lo llevó a presentar su tesis doctoral delante de Gauss en Göttingen. Este último, reconocido como difícil de sorprender, quedó entusiasmado por el desarrollo que hizo Riemann sobre la teoría de la función de una variable compleja. Este episodio se recuerda como la única vez en la que Gauss haya expresado admiración por un trabajo ajeno. Ahí aparecen las famosas superficies de Riemann, las cuales generarían el enfoque topológico del análisis. Un poco más tarde clarificó la noción de integral mediante una nueva definición conocida como la integral de Riemann. Sus trabajos sobre los fundamen- tos de la geometría le permitieron generalizar la noción de espacio y son precursores de las teorías del siglo XX sobre los espacios abstractos. Pero su complexión débil lo hizo presa de la tuberculosis, un mal entonces incurable, y Riemann murió en 1866 a los 40 años. Sus obras, que caben en pocas páginas, son de una densidad tal que dejan trabajo e ideas incluso para los matemáticos de hoy en día. Estos acertijos, en cierto modo, más que ninguna otra rama de las matemáticas, reflejan el espíritu siempre joven, inquisitivo e intacto, de esta ciencia. Cuando un hombre deja de maravillarse, de preguntar y jugar, está acabado. E. KASNER Y J.R. NEWMAN Georg Friedrich Riemann Georg Friedrich Riemann (1826-1866) Carmona-01.indd 34Carmona-01.indd 34 7/13/10 10:17:49 AM7/13/10 10:17:49 AM
  • Averiguación La función y ax = hija de __________________________ y vio la luz en 1679. a. Descartes b. Leibniz c. Euler Demostración de la falacia: n n= +1 Sabemos que ( )n n n+ = + +1 2 12 2 ( ) ( ) ;n n n+ − + =1 2 12 2 restando de ambos miembros 2 2 n n+ : ( )n n n n n n n+ − − − − = − −1 2 1 2 22 2 2 2 sacando factor común: n n n n n n+( ) − +( ) +( ) = − +( )1 1 2 1 2 12 2 sumando 2 1 42 n +( ) a ambos miembros: n n n n n n n n+( ) − +( ) +( )+ +( ) = − +( )+ +1 1 2 1 2 1 4 2 1 2 12 2 2 (( )2 4; es decir: n n n n+( )− +( )[ ] = − +( )[ ]1 2 1 2 2 1 2 2 2 elevando a la ½ n n n n+ − +( ) = − +( )1 2 1 2 2 1 2 n n+ =1 ¿Dónde se generó el error? La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números. BLAVATSKY Propiedades metafísicas del número 1 Representa el principio de unicidad, de lo indivisible e ilimitado: Dios. Pitágoras dice que es el padre, creador de todas las cosas; el pensamiento, creador de todas las ideas; la memoria, el fundamento del conocimiento. Como número, representa al hombre, el único animal que camina erecto. El 1 es lo determinado, la iniciación, lo que insta para que las cosas sean, la voluntad. Es la identidad, la igualdad, la existencia y la persistencia. Representa lo espiritual, la Propiedades metafísicas del número 1 35 Carmona-01.indd 35Carmona-01.indd 35 7/13/10 10:17:51 AM7/13/10 10:17:51 AM
  • 36 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? luz, la inteligencia y la aptitud para proponer, considerar y resolver. Es meditación, reflexión y decisión, obrando como trabajo en la mano de obra y como volición en el pensamiento. Remontándonos a los orígenes: Sistema de numeración del antiguo Egipto (posi- blemente 3000 a. C.). HORIZONTALES 1. Curvas con pendiente constante. Nota musical. 2. Mil. Cierto tipo de ecuaciones diferenciales. 3. Artículo masculino singular. Entreguen. Exponente de la derivada de mayor orden en la ecuación diferencial. Vocal. 4. Pronombre relativo. Pasar la vista por lo escrito. (Al revés). Ser supremo. 5. Símbolo de “unión” en la teoría de conjuntos. Letra que se usa para designar la constante de integración. Conjunción copulativa que indica negación. Examiné, investigué, estudié. 6. El que profesa la ingeniería. 7. Descripción, cuento, relato. 8. Piedra sagrada del altar. Símbolo químico del azufre. Boni- ta, agradable. 9. Participio del verbo ser. Signo muy usado en las ecuacio- nes matemáticas. 10. Artículo. (Al revés). Descanso, paro del trabajo. Corriente caudalosa de agua. 11. Tipo de queso. Símbolo químico del aluminio. VERTICALES 1. Ingeniero mecánico electricista. Amo. 2. Función sin derivadas que satisface a una ecuación diferen- cial. Constante. 3. Lo da la derivada más alta de la ecuación diferencial. (Al revés). Clase, muestra. 4. Cien. Fino, exquisito. 5. Ecuación diferencial donde la y y sus derivadas son de pri- mer grado y cada coeficiente depende solamente de x. Lo- garitmo decimal. 6. Dos. Lengua provenzal o lemosín. Abreviatura de licencia- do. Nombre de varón. 7. Vocales. Pieza heráldica en forma de paja estrecha. Las tres primeras letras de Einstein. Especie de toro salvaje. 8. Símbolo químico del Radón. Uno en números romanos. Recubro en oro. Otorga. Vocales. 9. Perpendicular. Terminación propia de alcoholes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6 10 23 100 1 000 10 000 100 000 Carmona-01.indd 36Carmona-01.indd 36 7/13/10 10:17:52 AM7/13/10 10:17:52 AM
  • Definiciones básicas 37 Ecuaciones diferenciales de variables separables Ecuaciones diferenciales homogéneas Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferenciales con factores integrantes Ecuaciones diferenciales lineales Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 2 Agustín Louis, barón de Cauchy (1789-1857) Carmona-02.indd 37Carmona-02.indd 37 7/13/10 11:21:55 AM7/13/10 11:21:55 AM
  • 38 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden En el mundo de las bacterias se desató impensadamente un conflicto. Cuatro de entre las más jóvenes de éstas decidieron intervenir en la dimensión de los humanos, con el firme propósito de sumergirse en su sangre y mediante una rapidísima proliferación segregar una sustancia alrededor del corazón que lo inmunizara del mal, de la mentira y de la fealdad. A pesar de la oposición de la colonia bacteriana, las cuatro amigas estudiaron su plan. Vieron que si su rapidez de crecimiento era proporcional a la cantidad de bacterias presente en cada momento, en corto tiempo llegarían a recubrir un corazón humano con la sustancia que llamaron biverbe. Observaron que se dupli- caban al cabo de cinco minutos y su pregunta siguiente fue qué cantidad de bacterias debía tener la nueva y revolucionaria colonia para que en 20 minutos hasta el corazón más renuente fuera recubierto de biverbe. Aquí es donde acudimos a nuestro lenguaje simbólico para resolver a nuestras amigas su problema. Sea x la cantidad de bacterias presente en cada momento del proceso, entonces, la proporcionalidad observada viene dada por la relación dx dt x∝ . Para establecer una igualdad, usamos una constante k llamada constante de proporcionalidad y así obtenemos la siguiente ecuación diferencial: dx dt kx= la cual se resuelve por integración inmediata: dx x k dt∫ ∫= de donde ln x kt c= + x cekt = Esta función exponencial convenció a las bacterias de que su crecimiento iba a ser rápido, pero esta solución general les resultó ambigua porque había demasiadas incógnitas. Utilizando las condiciones iniciales de su experimento, se encontraron los valores de c y k de la siguiente manera: para t = 0, que fue el momento inicial, había x = 4 bacterias. Sustituyendo en la solución: 4 0 = ce c = 4 x ekt = 4 Y para t = 5 minutos el número de bacterias se duplicó x = 2 4( ). Al susti- tuir estos nuevos datos: 8 4 5 = e k 2 5 = e k k = ln2 5 Carmona-02.indd 38Carmona-02.indd 38 7/13/10 11:21:56 AM7/13/10 11:21:56 AM
  • Así, la solución general tiene la forma: x e t t = = ( )( ) 4 4 22 5 5ln Y la respuesta a la última pregunta quedaría: para t = 20 minutos x = ? entonces x = ( ) ;4 220 5 x = 64 bacterias. Por tanto, sólo 64 bacterias en un lapso de 20 minutos pueden inmunizar un corazón humano. Entonces las bacterias se desparramaron, comenzaron su tra- bajo y… En este capítulo trataremos especialmente las ecuaciones diferenciales ordi- narias de primer orden: variables separables, homogéneas (reducidas a variables separables), exactas, con factores integrantes (reducibles a exactas), y lineales. Ecuaciones diferenciales de variables separables Definición 2.1 Una ecuación diferencial de variables separables tiene la forma f x dx g y dy( ) + ( ) = 0, donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o una constante. MÉTODO DE SOLUCIÓN: integración directa. f x dx g y dy( ) + ( ) =∫ ∫ 0 Cuando no pueden separarse las variables de una ecuación y no pueden agrupar- se en términos, en cada uno de los cuales estén las mismas variables, habrá que usar otros métodos para encontrar la solución. EJEMPLO 1 Resolver e y xx y+ =′ , con las condiciones iniciales y = ln2 cuando x = 0. 1. Separar las variables usando las propiedades de las funciones involu- cradas y los artificios algebraicos necesarios: e e dy dx xx y = , e dy xe dxy x = − 2. Integrar cada miembro de la ecuación: e dy xe dxy x = − ∫∫ Ecuaciones diferenciales de variables separables 39 Carmona-02.indd 39Carmona-02.indd 39 7/13/10 11:21:58 AM7/13/10 11:21:58 AM
  • 40 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden e xe e cy x x = − − +− − , solución general en la forma implícita porque no está despejada la variable dependiente y, pero: y e x cx = − −( )+− ln ,1 solución general en forma explícita: y f x= ( ) 3. Aplicar las condiciones iniciales: y( ) ln0 2= en la solución general, ya sea en su forma explícita o implícita. En la forma implícita: e cln2 0 1= − − + 2 1= − + c c = 3 ∴ = − − +− − e xe ey x x 3, solución particular. En la explícita ln ln ;2 1 0 1= −( )+ c aplicando exponencial, se tiene: 2 1= − + c c = 3 ∴ = − −( )+− y e xx ln 1 3 cuya curva solución es y x 4 3 2 1 0 0−1 −1 −2 1 2 EJEMPLO 2 Resolver xyy y′ = +1 2 , para y = 3 cuando x = 1, o bien, y( ) .1 3= 1. Separar variables: xy dy dx y= +1 2 y y dy dx x1 2 + = Carmona-02.indd 40Carmona-02.indd 40 7/13/10 11:21:59 AM7/13/10 11:21:59 AM
  • EJEMPLO 3 Resolver sen senx ydx x ydycos cos2 0− = 1. Separar variables: sen senx x dx y y dy cos cos − =2 0 2. Integrar término a término: − − =ln cos cos x y c 1 ln cos secx y c+ = , solución general. 2. Integrar 1 2 1 2 ln ln ln+ = +y x c OBSERVACIÓN: La constante de integración no pierde su arbitrariedad, su carácter de cualquier número, si está afectada por funciones. Así, ln c c= porque el logaritmo natural de una constante también es una constante; del mismo modo se puede usar ec , c2 , senc, cosh ,c etcétera. Usando las propiedades de los logaritmos (por eso se introdujo “ ”ln c : ln ln1 2 1 2 + =y cx Aplicando exponencial: 1 2 1 2 + =y cx Elevando al cuadrado: 1 2 2 + =y cx ∴ − =cx y2 2 1, solución general implícita. 3. Aplicar las condiciones iniciales y( )1 3= c( )1 9 1− = c = 10 ∴ − =10 12 2 x y Ecuaciones diferenciales de variables separables 41 Carmona-02.indd 41Carmona-02.indd 41 7/13/10 11:22:01 AM7/13/10 11:22:01 AM
  • 42 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden EJEMPLO 4 Resolver: e y x xx− + = + +′ 1 1 62 para y e( )0 = 1. Separar variables: dy dx x x e x = + + − −1 1 62 dy x x e dxx = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − −1 1 62 2. Integrar y h x x e cx = + + +− − sen 1 2 3 , solución general explícita. 3. Aplicar condiciones iniciales: c e= +1 ∴ = + + + +− − y h x x e ex sen 1 2 3 1, solución particular. En este caso no se dieron condiciones iniciales, así que vamos a comprobar la solución. Derivando implícitamente: − + = sen x x dx y ydy cos sec tan 0 − + = sen senx x dx y y y dy cos cos cos 1 0 − + =sen senx ydx x ydycos cos2 0 O bien, sen senx ydx x ydycos cos2 0− = EJEMPLO 5 Hallar una curva que pase por el punto ( , ),0 6− de tal forma que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto más 7 unidades. SOLUCIÓN: la primera derivada se representa geométricamente por la pen- diente de la tangente; aprovechando esta identificación podemos plantear la ecuación diferencial que cumple con la condición pedida: dy dx y= + 7 Carmona-02.indd 42Carmona-02.indd 42 7/13/10 11:22:04 AM7/13/10 11:22:04 AM
  • EJEMPLO 6 Elegir la opción que contiene la ecuación diferencial, junto con su solución, de la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa de dicho punto. 1. y ky′ = y cekx = 2. y x′ = y x c= + 2 2 3. y kx′ = y k x c= + 2 2 4. y k x ′ = y k x c= +ln Separando variables e integrando: dy y dx + = 7 ln y x c+ = +7 Aplicando la condición de que la curva debe pasar por el punto ( , ):0 6− ln ,− + =6 7 c c = 0 ∴ + =ln ,y x7 o bien, y ex = − 7 En la gráfica se muestran la curva solución y las pendientes en los puntos (0, Ϫ6) y (3/2, Ϫ5/2). −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 x y 10 0 2 Ecuaciones diferenciales de variables separables 43 Carmona-02.indd 43Carmona-02.indd 43 7/13/10 11:22:05 AM7/13/10 11:22:05 AM
  • 44 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden La solución de una ecuación diferencial como dy dx x y x = − 2 2 2 3 separación de va- riables con Mathematica, se visualiza como: DSolve y'[x]==(x2y[x]2)/ Sqrt[3-x2],y,x ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ yy Function {x}, 2 x 3-x -3ArcSin x 3 -2C[1]2 → ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ⎡⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ EJERCICIOS 2.1 Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. Solución general 1. y x′ = −4 6 y x x c= − +2 62 2. y x′ = −1 7 2 y x x c= − + 7 3 3 3. y x x′ = + −8 2 3 2 y x x x c= + − +8 2 3 4. y x x x′ = − +5 2 1 y x x x c= + + + 6 2 6 1 2 5. y x x ′ = −9 62 2 y x x c= + +9 6 6. y x′ = +( )4 3 4 y x c= + + 1 15 4 3 5 ( ) 7. y e xx ′ = +−3 2 y e x cx = − + +−1 3 3 2 8. y x′ = 2 5cos y x c= + 2 5 5sen 9. ds dt t= −sen3 s t c= + 1 3 3cos 10. ds dt t t= +ln 4 s t t t t c= − + +ln 2 2 11. ds dt s= 2 s t c= +( )2 SOLUCIÓN: la opción correcta es la C, el resultado es una parábola. La op- ción A planteó el problema con respecto a la ordenada y no a la abscisa. La opción B no expresa correctamente el enunciado porque le falta la constante de proporcionalidad. La opción D considera el recíproco de la abscisa en vez de la abscisa que pide el enunciado del problema. Carmona-02.indd 44Carmona-02.indd 44 7/13/10 11:22:07 AM7/13/10 11:22:07 AM
  • 12. dy dx x x y y = + − 4 3 4 3 3 2 2 3 2 2 y y x x c− = + + 13. y x y y ′ = +3 162 2 16 2 3 + = +y x c 14. y x x y ′ = −3 4 3 1 y x c4 4 3 22 3 1= −( ) + 15. y ex y ′ = − e e cy x = + 16. y ex y ′ = + 4 4e e cx y + =− 17. y y x ′ = +1 2 ln tany x c= +−1 18. y y x ′ = − 2 2 1 1 1 y x c+ =− sen 19. y x y ′ = cos2 y x x c2 1 2 2= + +sen 20. y y x ′ = +2 1 ln y h x c= +− sen 1 En los siguientes ejercicios hallar la solución particular correspondiente a las condiciones iniciales dadas. 21. y x x′ = − −4 9 62 5 y( )1 2= y x x x= − − +4 3 23 6 22. y x x′ = − −4 9 62 5 y( )1 0= y x x x= − −4 3 3 6 23. y x x ′ = −6 12 2 y( )1 20= y x x = + +6 12 8ln 24. y e xx ′ = −4 5sen y( )0 5= y e xx = + − 1 4 5 1 4 4 cos 25. dr dt t= 1 2 1 2 cos r( )␲ = 0 r t= −sen 1 2 1 26. dr dt t e t = − − 2sen r( )0 4= r t e t = − + +− 2 5cos 27. y x y ′ = y( )1 0= y x2 2 1= − 28. y x x y ′ = −2 1 y( )− =1 1 y x2 2 3 22 3 1 1= −( ) + 29. y x x′ = −ln 9 2 y( )1 7= y x x x x= − − +ln 3 113 Ecuaciones diferenciales de variables separables 45 Carmona-02.indd 45Carmona-02.indd 45 7/13/10 11:22:09 AM7/13/10 11:22:09 AM
  • 46 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 30. y e yx ′ = cos2 y( )0 4 = ␲ tan y ex = 31. y e y x ′ = − sen y( )1 0= cos y e e x = + −− 1 1 32. y y x ′ = + 2 2 1 y( )1 4 = − ␲ 1 1 y x= − − tan 33. y e x y ′ = +3 2 y( )0 0= 2 3 53 2 e ex y + =− 34. y x y ′ = cos2 2 y( )␲ = −1 4 6 3 2 4 63 y x x= + − −sen ␲ 35. y y x ′ = −1 2 y( )0 1= ln tanhy x= −1 Elegir la opción que contiene la solución general o particular de la ecua- ción diferencial dada: 36. y xex y ′ = −2 a. e ey x = 2 2 , solución general b. e ey x = + 1 2 4 2 , solución particular c. e ey x = − 1 2 2 , solución particular d. e ey x = 1 2 2 , solución general 37. 10 1 2 xyy y′ = − a. 1 2 1 5 − − y cx= , solución general b. 1 2 1 5 − +− y x c= , solución general c. ln ,1 2 5 − = + − y x c solución general d. 1 2 1 5 − = − y x , solución general 38. y yy xln ln′ − = 0 para y( )1 1= a. y y x x x 2 2 1ln ln= − + b. y y y x x x c 2 2 2 1 4 ln ln− = − + c. y y y x x x 2 2 2 1 4 3 4 ln ln− = − + d. y y y x x xln ln− = − Carmona-02.indd 46Carmona-02.indd 46 7/13/10 11:22:12 AM7/13/10 11:22:12 AM
  • Definición 2.2 Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado. 39. dx x x dy= −2 16 para y( )4 0= a. x y c= +4 4sec b. x y= 4 4sec c. x y= 4 4cos d. ln lnx x y + −( )= +2 2 16 2 4 40. 1 1 0−( ) + −( ) =ln lnx dx y dy para y e e( ) = a. x x y y eln ln+ = 2 b. x x y x e2 2 2−( )+ −( ) =ln ln c. x x x y y y− + − =ln ln 0 d. 2 2 0x x x y y y− + − =ln ln 41. y y′ + + =3 5 0 a. y ce x = −( )− 5 3 b. y ce x = −( )−3 5 3 c. y e cx = + −( )−3 5 3 d. y e cx = + −( )− 5 3 Respuestas: 36. d 37. a 38. c 39. b 40. b 41. b Ecuaciones diferenciales homogéneas EJEMPLO 1 x y x y x y2 1 1 2 3 3 8+ − + La suma de los exponentes del primer término es 2 1 3+ = , lo mismo para el segundo 1 2 3+ = ; por lo tanto, los cuatro términos son de grado 3. EJEMPLO 2 xyz x y2 2 2 − Es un polinomio homogéneo de grado 4. Ecuaciones diferenciales homogéneas 47 Carmona-02.indd 47Carmona-02.indd 47 7/13/10 11:22:16 AM7/13/10 11:22:16 AM
  • 48 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Definición 2.3 La ecuación diferencial homogénea es de la forma: M x y dx N x y dy( , ) ( , )+ = 0 donde M y N tienen la propiedad de que para toda t Ͼ 0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n. M tx ty t M x yn ( , ) ( , )= N tx ty t M x yn ( , ) ( , )= Este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables separables mediante sustituciones apropiadas. EJEMPLO 3 Determinar si la función f x y xy x( , ) = +2 es homogénea; si lo es, indicar su grado: f tx ty tx ty tx( , ) = ( )( ) +2 = +2t xy tx = +⎡⎣ ⎤⎦t xy x2 como f tx ty t f x yn ( , ) ( , ),= n R∈ → la función es homogénea de grado 1. EJEMPLO 4 Sea la función f x y x y( , ) ;= + averiguar si es homogénea y su grado. f tx ty tx ty t x y t x y( , ) = + = +( ) = + 1 2 como f tx ty t f x y( , ) ( , ),= 1 2 la función es homogénea de grado 1 2 . EJEMPLO 5 Sea la función f x y x x y y( , ) ;= + +3 2 f tx ty tx tx ty ty( , ) = ( ) + ( ) ( )+3 2 = + + ≠ ( )t x t x y ty t f x y3 3 3 2 3 , ; la función no es homogénea. Carmona-02.indd 48Carmona-02.indd 48 7/13/10 11:22:18 AM7/13/10 11:22:18 AM
  • Definición 2.4 Las ecuaciones diferenciales homogéneas también tienen la forma: dy dx g u+ =( ) 0 donde u f x y= ( , ) MÉTODO DE SOLUCIÓN: usando sustituciones algebraicas apropiadas, las ecuaciones diferenciales homogéneas se convierten en ecuaciones de variables separables. Una de las sustituciones más comunes es: y x = ␷ → y x= ␷ EJEMPLO 6 Determinar el grado de la siguiente ecuación: y x y xy ′ = +2 2 Sean M x y x y( , ) = +2 2 y N x y xy( , ) = entonces, M tx ty tx ty t x y( , ) = ( ) + ( ) = +( )2 2 2 2 2 es de segundo grado y N tx ty tx ty t xy( , ) = ( )( )= 2 es de segundo grado; la ecuación es homogénea de orden 1. EJEMPLO 1 Resolver la ecuación diferencial x y dx xydy2 2 0+( ) − = Usando y x= ␷ y dy dx xd= +␷ ␷ x x dx x dx xd2 2 2 2 +( ) = +( )␷ ␷ ␷ ␷ Dividiendo entre x2 1 2 +( ) = +( )␷ ␷ ␷ ␷dx dx xd Separando variables: 1 2 2 + −( ) =␷ ␷ ␷ ␷dx xd dx x d= ␷ ␷ Integrando: ln x c= + ␷2 2 Ecuaciones diferenciales homogéneas 49 Carmona-02.indd 49Carmona-02.indd 49 7/13/10 11:22:20 AM7/13/10 11:22:20 AM
  • 50 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Como ␷ = y x → ln x y x c= ⋅ + 1 2 2 2 Entonces: ln x y x c= + 2 2 2 EJEMPLO 2 Resolver x y dx x y dy+( ) + + −( ) =4 0 para y = 0 cuando x = −1 Usando ␷ = +x y → y x= −␷ y dy d dx= −␷ ␷ ␷ ␷dx d dx+ −( ) −( ) =4 0 ␷ ␷ ␷ ␷dx d dx+ −( ) − −( ) =4 4 0 Separando variables: ␷ ␷−( ) = −4 4d dx Integrando: ␷ ␷ 2 2 4 4− = − +x c ␷ ␷2 8 8− = − +x c Como: ␷ = +x y → x y x y x c+( ) − +( )= − + 2 8 8 ∴ x y y c+( ) − = 2 8 Aplicando condiciones iniciales: ( )− − =1 02 c → c = 1 ∴ x y y+( ) − = 2 8 1 La ecuación diferencial homogénea dy dx y x xy = −3 2 2 puede resolver con Mathematica con los comandos: eqn=y′[x]Š-(x^2-3y[x]^2)/(x*y[x]); sol=DSolve[eqn,y,x] {{y®Function[{x}, x 2 ?x C1 2 6 ]},{y®Function[{x}, x 2 ?x C1 2 6 ]}} Carmona-02.indd 50Carmona-02.indd 50 7/13/10 11:22:23 AM7/13/10 11:22:23 AM
  • EJERCICIOS 2.2 Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: Solución general 1. xy y x′ = − y x c x = ln 2. xy y x′ = + y x cx= ln 3. ( ) ( )x y dx x y dy− + − + =1 0 2 2 2 1( ) ln ( )x y c x y+ = − + 4. y y x xy ′ = +2 2 2 y x cx2 2 − = 5. dy dx x y y x = + y x x c 2 2 2= +ln 6. y x y dx xdy+ +( ) =2 2 ln x h y x c= +− sen 1 7. x x y dy x y dy+( ) = +( )2 2 − = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ y x cx y x ln 1 2 8. xy y x ex ′ − = 2 y xe cxx = + 9. xy x x y′ = +2 sen y x x cx= − +cos 10. y x y x y+( ) = −′ y xy x c2 2 2+ − = 11. 7 2 2 7x y y x y+( ) = − −′ y xy x c2 2 7+ + = 12. 3 2 3 02 2 2 y x y xy x+( ) + + =′ y x y x c3 2 3 + + = 13. 2 3 2 3 02 2 2 2 xy x y y y xy x+ +( ) + + +( )=′ y x y x c+( ) +( )=2 2 Las curvas de solución de esta ecuación diferencial que aporta Mathematica se muestran enseguida: y 4 2 2 0.5 1.0 1.5 4 x Ecuaciones diferenciales homogéneas 51 Carmona-02.indd 51Carmona-02.indd 51 7/13/10 11:22:26 AM7/13/10 11:22:26 AM
  • 52 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 14. 2 2 2 2 02 2 2 2 2 2 xy y x y y x xy x y+ + +( ) + + + +( )=′ y x y x c+( ) +( )=2 2 15. y y x y x ′ = − − 3 4 2 3 y x y x c−( ) −( )=2 16. x y xyy2 2 − = ′ x x y c2 2 2 2−( )= 17. dy dx y x y x = − + − − 1 6 y x y x c−( )− − =2 12 2 18. dy dx x y x y = + + + − 2 4 y x y x c= + − + +3 1ln 19. x xy y x y xy2 2 2 2 3 2+( ) = − − −′ x x y xy c3 2 2 + + = 20. x xy y y xy2 2 2 2 3+( ) = − −′ x y x y c2 2 3 + = Encontrar la solución particular correspondiente a las condiciones inicia- les dadas: Respuestas: 21. 3 32 3 3 2 xy x y y x y+( ) = +′ y x= 2 para y( )1 2= y x y x3 2 3 10+ = 22. 3 32 3 3 2 xy x y y x y−( ) = −′ para y( )1 0= y = 0 23. y y x y x ′ = − + − − 8 1 para y( )1 2= − y x y x x−( ) − −( )= − 2 2 18 3 24. y y x y x ′ = − − − + 2 7 para y 1 2 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = y x y x−( ) + + = 2 14 4 9 25. y x y y−( ) + =′ 0 para y( )0 1= ye x y = 1 26. x y y xy2 2 ′ = + para y( )1 1= xe e x y = 27. x xy y x y y y x 2 2 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =sen sen′ para y( )1 2 = ␲ y e y x = ␲ 2 cos Carmona-02.indd 52Carmona-02.indd 52 7/13/10 11:22:29 AM7/13/10 11:22:29 AM
  • 28. 1 2 1 0− +( )⎡⎣ ⎤⎦ + + + =x y y x y′ para y( )1 0= Sugerencia: v x y= + ln x y x y+( )+ − =2 1 29. x y x y y y x x y x cos cos′ = − sen para y( )1 2 = ␲ x y x sen = 1 30. xy y x x y x y y y x cos cos+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =2 2 sen ′ para y( )1 2 = ␲ y y x sen = ␲ 2 Elegir la opción que contiene la solución particular de la ecuación dife- rencial dada: 31. x e y e y x y x y x − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = −( )1 ′ para y( )1 0= a. y e y x = +1 b. y xe y x = −1 c. No puede usarse cambio de variable. d. No se puede integrar por los métodos directos. 32. xe y x y x ye y x y x y x sen sen cos cos′ = +2 para y( )1 0= a. x e y x = + sen 1 b. x e y x = − sen 2 c. x e y x = sen d. x e y x = − sen 1 33. y y x y x ′ = − + − − 2 1 2 1 para y( )0 2= a. x y y x− − − + = −2 3 2 2ln b. x y y x− + − − = −2 2 1 2ln c. x y y x c− + − + =2 3 2ln d. x y y x c− + − − =2 2 1ln 34. x y y y x+( ) = − −2 2′ para y( )− =2 2 a. xy x y x c2 2 3 + + = Ecuaciones diferenciales homogéneas 53 Carmona-02.indd 53Carmona-02.indd 53 7/13/10 11:22:32 AM7/13/10 11:22:32 AM
  • 54 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden b. y x cx y x 2 2 2 2 = + ln c. y x x y x 2 2 2 4 2 = + ln d. y xy x2 2 4+ + = 35. 2 3 2x y y x y+( ) = −( )′ para y( )− =1 1 a. 3 4 2 5 02 2 y xy x+ − + = b. No puede aplicarse la sustitución y vx= porque la ecuación no es homogénea. c. No puede aplicarse la sustitución x y v− = porque la ecuación no es homogénea. d. 3 4 2 32 2 y xy x+ − = − Respuestas: 31. a. La opción a no consideró la constante de integración. La opción c niega el hecho de que sí puede usarse el cambio de va- riable y vx= La d opina que e v e dv dx x v v − − = 1 no puede integrarse, siendo que ya es de variables separables y la integración es inmediata. 32. c. En las opciones a, b y d se aplicaron mal las condiciones iniciales. 33. a. La opción b no tomó la integral correspondiente al diferencial de v. En la opción c no se aplicaron las condiciones iniciales. La opción d contiene los errores de las opciones b y c. 34. d. En la opción a faltan las condiciones iniciales. En las opciones b y c hay error en la integración de la variable v. 35. d. En la opción a están mal aplicadas las condiciones iniciales. La op- ción b ignora que la ecuación sí es homogénea y permite el uso de y vx= . La opción c contempla una sustitución no apropiada. Ecuaciones diferenciales exactas Donde fx y fy son las derivadas parciales de la función f x y( , ) con respecto a cada una de las dos variables independientes; además, se supone que estas deri- vadas parciales son continuas en una región R del plano xy. Definición 2.5 Dada la función z f x y= ( , ) se dice que la expresión dz f dx f dyx y= + es su diferencial total. Carmona-02.indd 54Carmona-02.indd 54 7/13/10 11:22:35 AM7/13/10 11:22:35 AM
  • EJEMPLO 1 Sea z x y xy x= − +4 2 32 3 ⇒ dz xy y dx x xy dy= − +( ) + −( )8 2 3 4 63 2 es la diferencial total de la función z. EJEMPLO 2 Sea z e xy x y = + ⇒ dz y e y dx x y e x dy x y x y = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 es la diferencial total de la función z. Si se toma el lado derecho de la expresión y se iguala a cero, entonces: Definición 2.6 La igualdad M x y dx N x y dy( , ) ( , )+ = 0 es una ecuación diferencial exacta, el primer miembro es una diferencial total. Es decir: Si df f dx f dyx y= + ⇒ f dx f dyx y+ = 0 es una ecuación diferencial exacta y f M x yx = ( , ), f N x yy = ( , ). Encontrar la solución de una ecuación di- ferencial exacta es hallar una función f x y( , ) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada. Usando la notación de la derivación parcial, se tiene: M f x = ∂ ∂ , N f y = ∂ ∂ Si se vuelve a derivar estas igualdades, pero cada una con respecto a la otra variable: ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ M y f y x 2 , ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ N x f x y 2 Por el cálculo se sabe que si las derivadas parciales son continuas entonces: ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 f y x f x y Esto significa que: ∂ ∂ = ∂ ∂ M y N x Ecuaciones diferenciales exactas 55 Carmona-02.indd 55Carmona-02.indd 55 7/13/10 11:22:36 AM7/13/10 11:22:36 AM
  • 56 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Por tanto, si la ecuación es exacta se cumple esta condición. Por eso se es- tablece el siguiente teorema. TEOREMA 1. La condición necesaria y suficiente para que la ecuación dife- rencial M x y dx N x y dy( , ) ( , )+ = 0 sea exacta es que: ∂ ∂ = ∂ ∂ M y N x La explicación anterior demuestra el teorema. Para ver si una ecuación di- ferencial es exacta se aplicará inmediatamente. EJEMPLO 1 Sea la ecuación diferencial: x ydx y xdysen + =cos .0 ¿Es exacta? Sean M x y= sen y N y x= cos ⇒ ∂ ∂ = M y x ycos , ∂ ∂ = − N x y xsen Como x y y xcos ,≠ − sen no es exacta. EJEMPLO 2 Averiguar si la ecuación diferencial e dx xe dyy M y N + = 0 es exacta ∂ ∂ = M y ey , ∂ ∂ = N x ey como M N ex y y = = , sí es exacta. EJEMPLO 3 Dada la ecuación diferencial xdy ydx− = 0, aplicar el teorema para probar que no es exacta. Mx = 1, Ny = −1, M Nx y≠ Si se intercambian los diferenciales, las derivadas parciales deben obtenerse con respecto a la variable independiente que no está multiplicando a la función. Así, en este caso M x= , N y= − , en vez de tomar ∂ ∂ M y y ∂ ∂ N x como indica el teorema, se toma ∂ ∂ M y y ∂ ∂ N x . Carmona-02.indd 56Carmona-02.indd 56 7/13/10 11:22:38 AM7/13/10 11:22:38 AM
  • MÉTODO DE SOLUCIÓN: 1. Dada la ecuación diferencial se ve si es exacta. 2. Se aplica la definición: f M x yx = ( , ) o bien f N x yy = ( , ) 3. Se integra con respecto a x o con respecto a y. f Mdx= ∫ o bien f Ndy= ∫ 4. Al resultado se deriva con respecto a y o bien con respecto a x. f y Mdxy = ∂ ∂ ∫ f x Ndyx = ∂ ∂ ∫ 5. Se iguala el nuevo resultado a N o bien a M. 6. Se integra por última vez la ecuación. EJEMPLO 4 Resolver la siguiente ecuación diferencial 6 2 3 4 02 2 xy y dx x xy dy−( ) + −( ) = , si es exacta. 1. M xy y= −6 2 2 , N x xy= −3 42 M x yy = −6 4 , N x yx = −6 4 Es exacta porque M Ny x= . 2. Existirá una función f tal que f M x yx = ( , ) y f N x yy = ( , ), por defini- ción; se toma cualquiera de las dos igualdades, por ejemplo: f M x yx = ( , ) ⇒ f xy yx = −6 2 2 3. Integrando con respecto a x f xy y dxx = −( )∫∫ 6 2 2 f x y xy f y= − +3 22 2 ( ) La constante arbitraria de integración será una función de y, puesto que y funge como constante en esta integral. 4. Derivando con respecto a y: f x xy f yy = − +3 42 ′( ) 5. Se sabe que f N x yy = ( , ) por definición, entonces: f x xyy = −3 42 Ecuaciones diferenciales exactas 57 Carmona-02.indd 57Carmona-02.indd 57 7/13/10 11:22:40 AM7/13/10 11:22:40 AM
  • 58 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden EJEMPLO 5 Verificar la solución del problema del ejemplo 6, tomando f N x yy = ( , ): 1. Se vio que M Ny x= . 2. f x xyy = −3 42 . 3. Integrando con respecto a y: f x xy dyy = −( )∫∫ 3 42 f x y xy f x= − +3 22 2 ( ) 4. Derivando con respecto a x: f xy y f xx = − +6 2 2 ′( ) 5. f xy y f x xy yx = − + = −6 2 6 22 2 ′( ) ⇒ f ′(x)=0. 6. Integrando: f x c( ) = ∴ − =3 22 2 x y xy c es la misma solución obtenida anteriormente. Como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí: 3 4 3 42 2 x xy f y x xy− + = −′( ) ⇒ f ′(y)=0 6. Integrando: f y c( ) = ∴ La solución es: f x y x y xy c( , ) = − +3 22 2 o bien, 3 2 02 2 x y xy c− + = , o bien, 3 22 2 x y xy c− = La comprobación se reduce a encontrar la diferencial total de la fun- ción solución. Se obtiene el mismo resultado, si en vez de tomar la ecuación f M x yx = ( , ), se toma f N x yy = ( , ) EJEMPLO 6 Resolver la siguiente ecuación diferencial, si es exacta: 2 2 4 6 2 3 1 03 2 2 y xy x dx x x y dy− + +( ) + − −( ) = para y( )− =1 0 1. M xy Ny x= − =2 6 2 , sí es exacta. Carmona-02.indd 58Carmona-02.indd 58 7/13/10 11:22:42 AM7/13/10 11:22:42 AM
  • EJEMPLO 7 Resolver 2 6 3 22 3 x x y dx x xy dy+( ) + −( ) = 0 1. M x x y= +2 6 2 N x xy= −3 23 M xy = 6 2 N x yx = −9 22 M Ny x≠ ∴ No es exacta. Observando la ecuación, vemos que puede dividirse entre x ≠ 0por lo que: 2 6 3 2 02 +( ) + −( ) =xy dx x y dy ⇒ = =M x Ny x6 ya es exacta. 2. f M x yx = ( , ) f xyx = +2 6 3. Integrando con respecto a x f x x y f y: ( )= + +2 3 2 4. Derivando con respecto a y f x f yy: ( )= +3 2 ′ 2. f M x yx = ( , ) por definición, entonces: f y xy xx = − + +2 2 4 63 3. Integrando con respecto a x: f xy x y x x f y= − + + +2 2 62 3 2 ( ) 4. Derivando con respecto a y: f x x y f yy = − +2 3 2 2 ′( ) 5. f N x yy = ( , ) 2 3 2 3 12 2 2 2 x x y f y x x y− + = − −′( ) ⇒ f ′(y)=−1 6. Integrando: f y y c( ) = − + ∴ la solución es: 2 2 62 3 2 xy x y x x y c− + + − = ; para y( )− =1 0 2 1 6 12 ( ) ( )− + − = c c = −4 ∴ 2 2 6 4 02 3 2 xy x y x x y− + + − + = es solución particular. Ecuaciones diferenciales exactas 59 Carmona-02.indd 59Carmona-02.indd 59 7/13/10 11:22:44 AM7/13/10 11:22:44 AM
  • 60 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Mathematica empieza por definir las funciones M y N como P y Q, y después verifica las condiciones de exactitud. Por ejemplo, para la ecuación diferencial dy dx x y y xy = + − + + 11 5 2 3 4 2 2 sen P[x_,y_]:=-(5 x^2-2 y^2+11) Q[x_,y_]:=(Sin[y]+4 x*y+3) Simplify[D[P[x,y],y]-D[Q[x,y],x]] o eqn = y'[x]==-P[x,y[x]]/Q[x,y[x]] y'[x]== 11+5x22 2 -2y[x] 3+Sin[y[x]]+4xy[x] sol = DSolve[eqn,y[[x],x] Solve -11x- 5x 3 -Coscos[y[x]]+3y[x]+2x 3 yy[x] == C[1],y[x]2⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ Para verificar esta solución: Solve D[sol[[1]],x],y'[x][ ] Simplify {y'[x] 11+ → 55x -2y[x] 3+Sin[y[x]]+4xy[x] ContourP 2 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ llot Evaluate sol[[,1]] .{y[x] y ,{x,-5,5 → ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ }},{y,-5,5} ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 5. f N x yy = ( , ) 3 3 22 2 x f y x y+ = −′( ) ⇒ f ′(y) = −2y 6. Integrando: f y y c( ) = − +2 ∴ + − =2 3 2 2 x x y y c Solución que satisface a las dos ecuaciones diferenciales. Carmona-02.indd 60Carmona-02.indd 60 7/13/10 11:22:46 AM7/13/10 11:22:46 AM
  • 4 2 2 4 0 0 −2 −4 −4 −2 EJERCICIOS 2.3 Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas; resolverlas si lo son. 1. 2 5 2 1 6 5 0x y dx y x dy− +( ) + − −( ) = Respuesta: x x y y xy c2 2 2 3 5+ − + − = 2. 2 4 4 3 3 4 03 2 2 xy y x dx x y x dy− + −( ) + −( ) = Respuesta: x y xy x x c2 3 2 4 2 3− + − = 3. 16 3 8 2 02 2 xy x dx x y dy−( ) + +( ) = Respuesta: 8 2 3 2 x y x y c− + = 4. − +( ) + −( ) =20 6 3 20 02 2 2 xy x dx y x y dy Respuesta: 3 102 2 2 3 x x y y c− + = 5. e y dx e x dyx y +( ) + +( ) = 0 Respuesta: e xy e cx y + + = 6. y y x e dx x x e dy y x y x + + =2 1 0a b a b− Respuesta: xy e c y x + = 7. 1 1 1 02 + +− = y x e dx x e dy y x y x a b a b Respuesta: e y x c y x + + = 8. 1 0+ =− y x e dx e dy y x y x a b Respuesta: xe ce y x = ecuación diferencial no exacta. Ecuaciones diferenciales exactas 61 Carmona-02.indd 61Carmona-02.indd 61 7/13/10 11:22:47 AM7/13/10 11:22:47 AM
  • 62 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 9. y xy dx x xy dy1 1 0+( ) + +( ) =cos cos Respuesta: xy xy c+ =sen 10. 6 1 9 03 2 2 xy y xy dx x y x xy dy+ +( ) + +( ) =sen sen Respuesta: 3 2 3 x y xy x c− + =cos 11. 3 3 02 2 x y xy dx y x xy dy+( ) + +( ) =cos cos Respuesta: x xy y c3 3 + + =sen 12. 4 4 4 4 03 2 3 2 x xy y dx y x y x dy− +( ) + − +( ) = Respuesta: x y xy c2 2 2 −( ) + = 13. sen sen seny y x y x dx x y x y x dy+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 1 cos == 0 Respuesta: x y y x csen + =cos 14. y xy x dx x xy y dycosh cosh+( ) + −( ) =2 2 0 Respuesta: sen hxy x y c+ − =2 2 15. e ydx xe ydyx x cos − =sen 0 para y(0) = ␲ Respuesta: No es exacta. 16. e ydx e ydyx x cos − =sen 0 para y(0) = ␲ Respuesta: e yx cos = −1 17. cos cosx y dx x y dy+( )−⎡⎣ ⎤⎦ + +( ) =1 0 para y(0) = ␲ Ϫ2 Respuesta: sen ( )x y x+ = +1 18. e ydx e y e dyx x y sen + +( ) =cos 0 para y( )0 0= Respuesta: e y ex y sen + = 1 19. 2 0x y ye dx x y e dyxy xy sen +( ) + +( ) =cos para y( )1 1= Respuesta: No es exacta. 20. 2 02 x y ye dx x y xe dyxy xy sen +( ) + +( ) =cos para y(0) = ␲ Respuesta: x y exy2 1sen + = 21. y dx x y dy+( ) + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =1 2 1 0 para y( )1 4= Respuesta: x y x y+ + = 7 22. 4 5 1 5 0+( ) + +( ) =y dx x dy para y( )− = −1 1 Respuesta: 4 5 0x xy y+ + = Carmona-02.indd 62Carmona-02.indd 62 7/13/10 11:22:48 AM7/13/10 11:22:48 AM
  • 23. 1 1 2 2 3 2 2 2 3 2 − +( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + − +( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ x x y dx y x y ddy = 0 para y( )0 2= − Respuesta: x x y y+ + + + = 1 3 2 0 2 2 24. 1 2 1 2 03 2x y dx x y dy+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = para y( )9 1= Respuesta: x xy y + + = 1 13 25. − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = 1 1 2 0 2 2 y x dx y x dy para y( )1 2= Respuesta: 1 42 2 + − =y x x 26. y xydx x xy y dycos cos+ +( ) =sen 0 para y( )3 0= Respuesta: sen xy y− + =cos 1 0 27. 1 2 1 1 0 x x dx y dy+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = para y( )1 1= Respuesta: ln xy x y+ − =2 0 28. 1 1 0 x ye dx y xe dyxy xy + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = para y 1 2 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Respuesta: ln xy e exy + = 29. 2 2 1 02 x y x y x dx y x y x dy− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =cos cos para y( )1 0= Respuesta: y x y x2 2 1+ + =sen 30. xy x x dx x dy 1 2 1 0 2 2 + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + = para y( )0 6= Respuesta: y x x1 62 2 + + = Elegir la opción que contiene la solución de la ecuación diferencial dada: 31. y y dx x x y dy− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 02 a. 1 1 2 + y b. xy y x c− = Ecuaciones diferenciales exactas 63 Carmona-02.indd 63Carmona-02.indd 63 7/13/10 11:22:51 AM7/13/10 11:22:51 AM
  • 64 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden c. xy x y c− = d. 1 2 2 2 2 2 − + + =ln y x x y c 32. 2 4 5 4 02 x y dx y x dy−( ) + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = para y( )1 5= a. x xy y c2 4 5 − + = b. 5 4 0 y xy− = c. fx = −4 d. x xy y 2 4 5 18 0− + + = 33. e y x e dx e y dy y x y x y x − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + +⎛ ⎝ ⎞ ⎠ =1 2 0 a. xe y x y x + − =2 0 b. − y x e y x 2 c. xe y x c y x + − =2 d. − − + = 1 22 3 x e y x e x c y x y x 34. y x y x dx x x dy 1 1 02 2 1 − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =− sen a. y x y x csen− + =1 b. 1 1 1 2 2 − − = x x c c. y x y x sen− + =1 1 d. No es diferencial exacta. 35. cos− − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =1 2 2 1 1 y y x e dx x y x e dy y x y x 00 a. No es diferencial exacta. b. 1 1 1 2 2 3 − − − y x e y x e y x y x c. x y e c y x cos− + =1 d. x y y x e c y x 2 2 3 2 2 1 1 −( ) + = Carmona-02.indd 64Carmona-02.indd 64 7/13/10 11:22:54 AM7/13/10 11:22:54 AM
  • Respuestas: 31. c. La opción a no es solución sino la parcial de M con respecto a y o la parcial de N con respecto a x. La opción b tiene un error de integración. La opción d tomó f y y y = − 1 en vez de f y y x = − 1 . 32. d. La opción a no tomó en cuenta las condiciones iniciales. En la op- ción b no se terminó el proceso para encontrar fy. La opción c da el teorema M Ny x= = −4 pero no es la solución. 33. c. La opción a supone unas condiciones iniciales que no fueron dadas. La opción b representa M Ny x= pero no es la solución. En la opción d se tomó mal fx que debe ser e y x e y x y x − −1. 34. a. La opción b contiene M Ny x= pero no es la solución. La opción c satisface a la ecuación diferencial pero no nos dieron condiciones iniciales, así que no es la opción correcta. La opción d está incorrec- ta porque sí es exacta. 35. c. La opción a es falsa, si es exacta. La opción b representa M Ny x= pero no es la solución. La opción d tomó f x y x ex y x = − + 1 1 2 por error. Ecuaciones diferenciales con factores integrantes Como se vio en el ejemplo 9 de la sección anterior, una ecuación diferencial que no es exacta puede convertirse en exacta mediante un factor apropiado. Definición 2.7 Si existe una función F x y( , ) tal que F x y Mdx F x y Ndy( , ) ( , )+ = 0 es exacta, entonces F x y( , ) se llama factor de integración de la ecuación dife- rencial Mdx Ndy+ = 0. Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios fac- tores integrantes; es decir, puede convertirse en exacta multiplicándola por x2 , xy, y x, x y, x y2 , etcétera. Métodos para encontrar el factor integrante F x y( , ): 1. Por inspección de la ecuación diferencial se supone una función que lue- go se prueba por el teorema 1 de la página 56. 2. Si el factor es sólo función de x. ⇒ F x e p x dx ( ) ( ) = ∫ donde p x M N N y x ( ) = − Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 65 Carmona-02.indd 65Carmona-02.indd 65 7/13/10 11:22:56 AM7/13/10 11:22:56 AM
  • 66 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 3. Si el factor es sólo función de y. ⇒ F y e p y dy ( ) ( ) = ∫ donde p y N M M x y ( ) = − EJEMPLO 1 Hallar el factor de integración de la ecuación: 3 4 0ydx ydy+ = M y= 3 N x= 4 My = 3 Nx = 4 Como M Ny x≠ no es exacta. Se observa que es de variables separables y su solución es x y c3 4 = , pero también se puede encontrar su factor integrante. Sea F x y x y( , ) = 2 3 sugerido por la forma de la solución. ⇒ 3 4 02 4 3 3 x y dx x y dy M N + = M x y Ny x= =12 2 3 , ya es exacta, f x yx = 3 2 4 f x y f y= +3 4 ( ) f x y f y x yy = + =4 43 3 3 3 ′( ) f y′( ) = 0 f y c( ) = ∴ =x y c3 4 que es la solución que ya se había obtenido por el método de variables sepa- rables. Por lo tanto, se puede usar la siguiente regla: Si la ecuación diferencial es de la forma pydx qxdy+ = 0 donde p q, ∈ℜ ⇒ F x y x yp q ( , ) = − −1 1 Si la ecuación diferencial es de la forma ydx xdy− = 0 ⇒ 1 1 1 2 2 y x xy , , son posibles factores integrantes. Carmona-02.indd 66Carmona-02.indd 66 7/13/10 11:22:57 AM7/13/10 11:22:57 AM
  • EJEMPLO 2 Hallar el factor de integración de 4 0ydx xdy− = My = 4, Nx = −1, no es exacta. Sea F x y xy ( , ) = 1 ⇒ 4 1 0 x dx y dy M N − = M Ny x= =0 , ya es exacta. f x x = 4 f x f y= +4ln ( ) f f y y y = = −′( ) 1 f y y c( ) ln ln= − + 4ln ln lnx y c− = x y c 4 = x cy4 = que es el mismo resultado que se obtiene usando separación de variables. EJEMPLO 3 Encontrar el factor de integración de: 3 02 x ydx ydy+ = M xy = 3 2 , Nx = 0 Probamos si F x e p y dy ( ) ( ) = ∫ es factor de integración. p x M N N x y y x ( ) = − = 3 2 es función de x, por lo que se busca F y e p y dy ( ) ( ) = ∫ con: p y N M M x x y y x y ( ) = − = − = − 0 3 3 12 2 , si lo es, ⇒ F y e e y dy y y ( ) ln = ∫ = = − − 1 con y ≠ 0 Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 67 Carmona-02.indd 67Carmona-02.indd 67 7/13/10 11:23:00 AM7/13/10 11:23:00 AM
  • 68 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden EJEMPLO 4 Resolver mediante un factor integrante: x xdx y xdytan cos− = 0 para y( )0 2= M x x= tan N y x= − cos My = 0 N y xx = sen ¿Existirá una F x( ) o una F y( ) que convierta en exacta esta ecuación dife- rencial?: p x y x y x x( ) cos tan= − − = 0 sen → = ∫ = = =− F x e e x x xdx x ( ) cos sec tan ln cos 1 x x xdx ydysec tan − = 0, ya es exacta Multiplicando la ecuación diferencial por este factor se tiene: 3 02 x dx dy+ = M x= 3 2 N = 1 My = 0 Nx = 0, ya es exacta. f x f x f y f f y f y y cx y= = + = = = +3 12 3 , ( ), ( ) , ( )′ x y c3 + = La familia de curvas solución para algunos valores de c es: x 3 2 1 1 −1 −2 −3 0−1 1 y Carmona-02.indd 68Carmona-02.indd 68 7/13/10 11:23:02 AM7/13/10 11:23:02 AM
  • EJERCICIOS 2.4 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando un factor de integra- ción apropiado. 1. x y dx x y dy− − − − + =2 5 3 4 0 Respuesta: factor x y3 5 . Solución: x y c2 2 + = 2. x xdx xydy2 0sen + = Respuesta: factor 1 x . Solución: 2 2 2 sen x x x y c− + =cos 3. y x dx dy+ +( ) + =2 0 Respuesta: factor ex . Solución: e y x cx + +( )=1 4. e y dx xy e y y dyx x +( ) + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =2 2 2 0 Respuesta: factor 1 y . Solución: e xy y cyx + − =2 3 5. xy y y dx x y dy+ +( ) + +( ) =2 2 0 Respuesta: factor ex . Solución: xye y e cx x + =2 6. 2 1 1 sen sen sey x x x dx y x x y x y − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + +cos cos cos nn y dy ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0 Respuesta: factor xy. Solución: xy x x y y ccos + =2 sen 7. 2 3 6 04 2 3 xy y dx x xy dy+( ) + +( ) = Respuesta: factor y2 . Solución: x y xy c2 3 6 + = 8. 6 4 2 4 02 2 4 3 3 x y y dx x y xy dy−( ) + −( ) = Respuesta: factor x3 . Solución: x y x y c4 2 2 2 −( )= f x x xdxx = sec tan f x x x x f y= − + +sec ln sec tan ( ) f f y yy = = −′( ) f y y c( ) = − + 2 2 ∴ − + − =x x x x y csec ln sec tan 2 2 Sustituyendo las condiciones iniciales y( )0 2= 0 1 1 0 4 2 ( ) ln− + − = c de donde c = −2 ∴ − + − = −2 2 42 x x x x ysec ln sec tan Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 69 Carmona-02.indd 69Carmona-02.indd 69 7/13/10 11:23:04 AM7/13/10 11:23:04 AM
  • 70 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 9. y x dx x xy dy2 2 1 1 0+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + +( ) =ln Respuesta: factor x. Solución: y xy x cln + =2 10. 1 1 3 02 3 y xy dx x y dy+( ) + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =ln Respuesta: factor y2 . Solución: x xy y cln − =3 11. y xy x dx x y dy1 2 2 02 + +( ) + −( ) =ln Respuesta: factor 1 y . Solución: x xy y x cln − + =2 2 Encontrar la solución particular: 12. xy x e dx x dyxy + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + =1 2 02 para y( )− =3 0 Respuesta: factor exy . Solución: xe xxy + =2 6 13. 4 5 6 5 02 2 y xy dx xy x dy−( ) + −( ) = para y( )1 2= Respuesta: factor x y3 4 . Solución: x y x y4 6 5 5 32− = 14. ( ) ( )ye x dx ye e x dyy y y2 2 2 1 0+ + + + − = para y( )1 0= Respuesta: factor ex y− . Solución: ye xe ex y x y+ − + = 15. − − +[ ] − =y x y dx ydycot( ) 0 para y( )␲ ␲= Respuesta: factor sen( )x y+ . Solución: y x y x ycos( ) ( )+ − + =sen ␲ En los siguientes ejercicios probar, mediante el teorema 1, si la función F x y( , ) es factor integrante de la ecuación dada: 16. F x y xy( , ) = de ye x dx xe y dyxy xy + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 1 0 Respuesta: Sí, pero no lo necesita porque ya es exacta. 17. F x y xy( , ) = de − − = 1 1 0 x dx y dy Respuesta: Sí, pero no lo necesita, se integra directamente. 18. F y y( ) = de ( ) cos − + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =sen x y dx x y x dy2 0 Respuesta: Sí. 19. F x x( ) = de y x y x hx dx hxdycosh + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + =sen sen 0 Respuesta: Sí. 20. F x ex ( ) = de ( ) ( cos )e y xy dx e y x dyx x sen + + + =2 02 Respuesta: No, pero la ecuación es exacta. Carmona-02.indd 70Carmona-02.indd 70 7/13/10 11:23:06 AM7/13/10 11:23:06 AM
  • 21. F x y xy( , ) = 2 de ( ) ( )6 24 9 56 05 2 4 y xy dx x x y dy− + − = Respuesta: Sí. 22. F x y x y( , ) = +2 2 de x x y y dx y x y x dy 2 2 2 2 0 + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = Respuesta: No, pero la ecuación es exacta. En los siguientes ejercicios elegir la opción que contiene un factor de integración de la ecuación diferencial dada: 23. ( )y x y dx x x y dy− + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =2 5 3 43 5 0 a. x y2 4 b. x y4 2 c. xy2 d. x y2 24. dx x y dy+ − + =( )6 0 a. ex b. e y x c. e x y d. ey 25. ( cosh ) ( cosh )xy hxy y xy dx x y hxy x xy d2 2 2sen sen+ + + yy = 0 a. y b. x c. y x d. x y 26. ( )1 02 + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =xy dx x y x dy a. 1 y b. x c. y d. 1 x En los ejercicios siguientes, elegir la opción que contiene el factor inte- grante y la solución de la ecuación diferencial dada: 27. 2 2 0+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = y x dx x y dy a. Factor: x y2 2 . Solución x y xy c2 2 + = b. Factor: xy. Solución 2 2x y c+ = c. Factor: xy. Solución x y xy c2 2 + = d. Factor: x y2 2 . Solución 2 3 1 2 3 2 2 3 x y x y c+ = Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 71 Carmona-02.indd 71Carmona-02.indd 71 7/13/10 11:23:09 AM7/13/10 11:23:09 AM
  • 72 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 28. y e dx x e dyxy xy + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 1 0 a. Factor: ex . Solución x y e x e cxy xy − = 1 2 b. Factor: exy . Solución e x y cxy + + = c. Factor: ey . Solución e y cxy + = 2 2 d. Factor: exy . Solución e y cxy + = 2 2 29. y x xy x xy y dx xy xy dycos cos+ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + +( )1 3 32 3 2 sen == 0 a. Factor: x. Solución x xy x y csen + =3 3 b. Factor: x2 . Solución − + + =x y xy x xy x y c2 2 2 2 9sen cos c. Factor: x. Solución − + + =x y xy x xy x y c2 2 2 2 9sen cos d. Factor: x2 . Solución x xy x y csen + =3 3 30. y x y xy dx x x xy dy 2 5 2 04 5 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = a. Factor: xy. Solución x x y x c 3 6 6 + = b. Factor: xy. Solución xy x y xy x y xy c+ + = 5 2 106 2 5 c. Factor: 1 2 xy . Solución xy x y c+ =5 d. Factor: xy. Solución − + + = xy xy xy x c 4 1 2 53 2 4 ( ) Respuestas: 23. b. El resto de las opciones no satisface el teorema de exactas. 24. d. 25. a. 26. c. y d. 27. c. La opción a muestra la solución correcta, de hecho, derivando y sus- tituyéndola en la ecuación, la satisface; sin embargo, el factor no es correcto; no cumple con el teorema de exactas. La opción b tiene el factor correcto, pero la expresión dada como solución es, en realidad, M x y Ny x= + =2 2 lo que demuestra que con el factor integrante la ecuación diferencial dada se convierte en exacta pero no es la solu- ción. La opción d presenta una solución dependiendo de que estuvie- ra correcto el factor de integración que propone. 28. b. La opción a presenta una exponencial que no es factor de integración y una solución equivocada, pues se tomó f Nx = suponiendo el fac- tor correcto. La opción c, además de no tener un factor correcto, tiene en la solución el resultado de igualar f My = suponiendo el factor Carmona-02.indd 72Carmona-02.indd 72 7/13/10 11:23:12 AM7/13/10 11:23:12 AM
  • correcto. La opción d tiene el factor adecuado, pero error de la solu- ción de la opción c. 29. d. La opción a tiene mal el factor de integración. La b tiene un correcto factor integrante; pero la expresión que funge como solución es M Ny x= y no la solución. La c tiene los errores de a y b. 30. c. La opción a tiene un factor correcto, pero la solución errónea provie- ne de haber igualado fx a N. La opción b supone correcto el factor que propone y toma Mx como la solución. La opción d tiene el factor co- rrecto, pero toma como solución M Ny x= . Ecuaciones diferenciales lineales Se vio en el capítulo 1 que las condiciones para que una ecuación diferencial fuese lineal son: a) la variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado, y b) cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x (o constante). Definición 2.8 La forma general de una ecuación lineal de primer orden es y f x y r x′ + =( ) ( ). Si r x( ) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nom- bre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas a cero); si r x( ) ≠ 0 entonces es lineal no homogénea. MÉTODOS DE SOLUCIÓN Si r x( ) = 0 ⇒ es de variables separables. Si r x( ) ≠ 0 ⇒ 1. Método del factor integrante. 2. Método de variación de parámetros. Y la forma de la solución es: Para r x( ) = 0 ⇒ r x( ) = 0 Para r x( ) ≠ 0 ⇒ y e e r x dx c f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫ Se obtendrá la solución para r x( ) ≠ 0 , usando el método de factor integrante y el de variación de parámetros. 1. Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta la ecuación diferencial y f x y r x′ + =( ) ( ) en exacta y se resolverá por el método de las exactas. Ecuaciones diferenciales lineales 73 Carmona-02.indd 73Carmona-02.indd 73 7/13/10 11:23:14 AM7/13/10 11:23:14 AM
  • 74 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogé- nea correspondiente sea y e f x dx = ∫− ( ) , sugiere la posibilidad de que un fac- tor para la no homogénea sea de la forma e f x dx( )∫ . Se probará esto. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos: e y f x ye r x e f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ + ∫ = ∫′ Al observar el primer miembro de la ecuación, se ve que está y en un término, su derivada y′ en otro y la exponencial que acompaña a la y es la derivada de la exponencial que acompaña a y′, realmente se puede expre- sar como la derivada de un producto de funciones: d dx e y f x dx( )∫⎛ ⎝ ⎞ ⎠ Entonces: d dx e y r x e f x dx f x dx( ) ( ) ( )∫⎛ ⎝ ⎞ ⎠ = ∫ Integrando con respecto a x e y r x e c f x dx f x dx : ( ) ( ) ( )∫ = ∫ +∫ Despejando y y e e r x c f x dx f x dx : ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫ que es la solución ge- neral ya indicada y satisface a la ecuación lineal. Como e f x dx( )∫ nos llevó a la solución propuesta, es el factor de inte- gración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogé- nea. Por ello, no es necesario memorizar la fórmula de la solución, basta buscar el factor, multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas. EJEMPLO 1 Dada la ecuación diferencial dy x y x dx+ −( ) =3 02 2 , ver si es lineal y resol- verla por medio del factor integrante. Se acomoda según la forma indicada: y f x y r x′ + =( ) ( ) quedando: dy dx x y x+ =3 2 2 Si es lineal, con f x x y( ) = 3 2 y r x x( ) = 2 Su factor integrante tiene la forma: F x e e e f x dx x dx x ( ) ( ) = ∫ = ∫ = 3 2 3 Multiplicando la ecuación, tenemos: e dy e x y x dxx x3 3 3 02 2 + −( ) = Carmona-02.indd 74Carmona-02.indd 74 7/13/10 11:23:15 AM7/13/10 11:23:15 AM
  • M e x y xx = −( ) 3 3 2 2 N ex = 3 M x ey x = 3 2 3 N x ex x = 3 2 3 , ya es exacta. Entonces: f e x y e xx x x = − 3 3 3 2 2 f ye e f yx x = − + 3 31 3 ( ) f e f y ey x x = + = 3 3 ′( ) f y′( ) = 0 y f y c( ) = ∴ = + − y ce x1 3 3 Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integra- ción, llegamos a la misma solución: y e e x dx c x dx x dx = ∫ ∫ ( ) +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫ 3 3 2 2 2 y e e x dx cx x = +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ − ∫ 3 3 2 y e e cx x = + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − 3 31 3 y ce x = + −1 3 3 2. Método de variación de parámetros. Es un procedimiento bastante usual en matemáticas introducir cambios de variables, hacer sustituciones o reem- plazar funciones por otras más sencillas que faciliten el proceso operativo. Se sabe que la solución general de la ecuación diferencial homogénea de primer orden y f x y′ + =( ) 0, es: y ce f x dx = ∫− ( ) . Como nos interesa una solución general para la ecuación diferencial lineal no homogénea: y f x y r x′ + =( ) ( ) se realizará la siguiente variación de parámetros en la solución general de la homogénea: Sea c u x= ( ) y v e f x dx = ∫− ( ) Entonces, y x u x v x( ) ( ) ( )= será una solución de la no homogénea, siempre y cuando podamos encontrar una función u x( ) tal que dicha solu- ción satisfaga a la ecuación. Si es solución, lo cual se supondrá de momen- to, entonces derivándola y sustituyéndola en la ecuación homogénea, se tiene: y uv u v′ ′ ′= + Ecuaciones diferenciales lineales 75 Carmona-02.indd 75Carmona-02.indd 75 7/13/10 11:23:16 AM7/13/10 11:23:16 AM
  • 76 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ⇒ uv u v fuv r′ ′+ + = u v v fv u r′ ′+ + =( ) Como v es la solución de la homogénea, el paréntesis se hace idénti- camente cero, ya que siempre que se sustituye la raíz o solución en una ecua- ción, ésta se hace cero. Se obtiene entonces: u v r′ = de donde u r v ′ = . Integrándola, u r v dx c= +∫ . La función u existe porque v ≠ 0 es solución, entonces y uv= es solu- ción de la lineal no homogénea y toma este aspecto: y e r x e dx c f x dx f x dx = ∫ ∫ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − −∫ ( ) ( ) ( ) Es decir, y e e r x dx c f x dx f x dx = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫ ( ) ( ) ( ) , que es hacia donde se quería llegar. EJEMPLO 2 Resolver por variación de parámetros: y y x′ = +2 . Se ve que y y x′ − =2 es lineal, donde f x( ) = −2, r x x( ) = . La ecuación diferencial homogénea correspondiente es y y′ − =2 0 que tiene como solución: y ce x = 2 . Tomando c u x= ( ), v x e x ( ) = 2 y sabiendo que la función u está dada por u r x v x dx c= +∫ ( ) ( ) ⇒ u x e dx c x e e cx x x = + = − − +∫ − − 2 2 2 2 1 4 Como la solución de la homogénea es y uv= , entonces: y x e e c ex x x = − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − 2 1 4 2 2 2 y y x ce x = − − + 2 1 4 2 Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integra- ción, se llega a la misma solución. y e e xdx c dx dx = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫ 2 2 y e e xdx cx x = +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ − ∫ 2 2 Carmona-02.indd 76Carmona-02.indd 76 7/13/10 11:23:20 AM7/13/10 11:23:20 AM
  • y e x e e cx x x = − − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − −2 2 2 2 1 4 y x ce x = − − + 2 1 4 2 EJEMPLO 3 Resolver por variación de parámetros: ( )x y xy x2 16+ − =′ y x x y x x ′ − + = +2 2 16 16 La ecuación homogénea correspondiente es: y x x y′ − + =2 16 0 Con la solución: y c x= +2 16 Sea v x x( ) = +2 16 y c u x x x x dx c= = + + +∫( ) ( )2 2 16 16 ⇒ u x x dx c= +( ) +∫ 2 3 2 16 u x c= − + + 1 162 ⇒ y uv x c x= = − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 1 16 162 2 y c x= + −2 16 1 que es la solución general de la ecuación dada. EJEMPLO 4 Resolver por cualquiera de los dos métodos: factor integrante o variación de parámetros; o bien, aplicando la fórmula general: y x y ′ = + 1 3 Ecuaciones diferenciales lineales 77 Carmona-02.indd 77Carmona-02.indd 77 7/13/10 11:23:21 AM7/13/10 11:23:21 AM
  • 78 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Se ve que no es lineal, pero tampoco se puede resolver por variables separa- bles, no es exacta ni homogénea. ¿Qué se puede hacer? Tomando la función recíproca: dx dy x y= + 3 y dx dy x y− = 3 Ya es una ecuación diferencial lineal en x. Usando el factor integrante F e e e g y dy dy y = ∫ = ∫ = − −( ) multiplicando la ecuación: e dx e x y dyy y− − − +( ) =3 0 M e y = − N e x yy = − +( )− 3 M ey y = − − N ex y = − − , ya es exacta. f ex y = − f xe f yy = +− ( ) f xe f y xe y ey y y y = − + = − −− − − ′( ) 3 f y y e y ′( ) = − −3 f y y e y e ye e cy y y y ( ) = + + + +− − − −3 2 3 6 6 ∴ + + + +( )=− − xe e y y y cy y 3 2 3 6 6 e x y y y cy− + + + +( )=3 2 3 6 6 o bien x y y y cey + + + +( )=3 2 3 6 6 Comprobación: derivando la variable x con respecto a y: dx dy y y cey + + + =3 6 62 dx dy y y e x y y y e y y + + + = + + + +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟3 6 6 3 6 62 3 2 dx dy x y= + 3 Carmona-02.indd 78Carmona-02.indd 78 7/13/10 11:23:22 AM7/13/10 11:23:22 AM
  • EJERCICIOS 2.5 Resolver por el método de factor integrante o por la fórmula general. 1. 3 8 3 0 y x dx dy− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = Respuesta: factor x. Solución: 3 4 2 xy x c− = 2. x y x dx dy+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − = 0 Respuesta: factor 1 x . Solución: y x cx= +2 3. 5 24 5 02y x x dx dy− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = Respuesta: factor x. Solución: 5 6 4 xy x c− = 4. dy dx y e x − = 2 Respuesta: factor e x− . Solución: y e cex x = +2 5. dy dx y e x + = 2 Respuesta: factor ex . Solución: y e cex x = + −1 3 2 6. y x y x′ + =3 2 2 Respuesta: factor ex3 . Solución: y ce x = + −1 3 3 7. y x y x′ + =(cos ) cos Respuesta: factor e xsen . Solución: y ce x = + − 1 sen 8. y y x x′ − = 4 Respuesta: factor 1 x . Solución: y x cx= + 5 4 9. xy y x x′ − = +2 3 22 Respuesta: factor 1 2 x . Solución: y x x x cx= − +3 22 2 ln 10. xy y x x′ + = +4 9 25 3 Respuesta: factor x4 . Solución: y x x cx= + + −5 3 42 7 11. xy y x x′ − = +3 5 5 2 Respuesta: factor 1 3 x . Solución: y x x cx= − + 5 2 5 2 3 12. xy y x ex ′ + = − 4 3 Respuesta: factor x3 . Solución: x y e cx4 = + 13. xy y x x′ − =3 4 sen Respuesta: factor 1 3 x . Solución: y x x c= − +( )3 cos Ecuaciones diferenciales lineales 79 Carmona-02.indd 79Carmona-02.indd 79 7/13/10 11:23:24 AM7/13/10 11:23:24 AM
  • 80 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 14. xy y x x′ − =5 6 2 sec Respuesta: factor 1 5 x . Solución: y x x cx= +5 5 tan 15. x y xy e x2 3 2 3′ + = Respuesta: factor x2 . Solución: 3 2 3 x y e cx = + Resolver por el método de variación de parámetros o por la fórmula general. 16. y y′ − = −2 6, u e cx = +− 3 2 . Solución: y ce x = +3 2 17. y y x′ − =2 , u e x cx = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +−2 2 1 4 . Solución: y x ce x = − − + 2 1 4 2 18. y xy x e x ′ − = 2 2 2 , u x c= + 3 3 . Solución: y e x c x = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 2 3 3 19. xy x y ex ′ − =2 2 2 , u x c= +ln . Solución: y e x cx = +( ) 2 ln 20. y x y x e x ′ + ( ) = ( ) − cos sec2 sen , u x c= +tan . Solución: y x c e x = +( ) − tan sen 21. y hx y xe x ′ − ( ) =sen cosh , u x c= + 2 2 . Solución: y e x cx = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ cosh 2 2 22. y x y x ′ − + = + 1 1 1 12 2. Solución: y ce x = − − tan 1 1 23. y x y x′ + ( ) =ln ln . Solución: y cex x = + −( ) 1 1 ln 24. y x y x′ + +( ) = +1 3 3 92 2 . Solución: y ce x x = + − −( )3 1 2 25. y x y x′ + ( ) =sec cos . Solución: y x x c x x = − + + cos sec tan Resolver las siguientes ecuaciones para las condiciones iniciales dadas y usando dos métodos (como comprobación uno del otro). 26. y y e x ′ + = − para y 0 1 4 ( )= − Respuesta: y e xx = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 1 4 27. y x y x x′ − ( ) =tan sec para y( )0 = ␲ Respuesta: y x x = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟sec 2 2 ␲ 28. y x y x ′ + − = − 1 1 3 12 2 para y( )0 4= Respuesta: y e x = + − − 3 1 sen 29. y x y e x ′ + + = −1 1 2 1 tan para y( )0 0= Respuesta: y xe x = − − tan 1 Carmona-02.indd 80Carmona-02.indd 80 7/13/10 11:23:26 AM7/13/10 11:23:26 AM
  • 30. y x x y x x ′ + ( ) =sec tan cos sen 2 para y( )0 6= Respuesta: y e x = + − 1 5 1 sec En los siguientes ejercicios elegir la opción correcta. 31. Dada la ecuación diferencial de primer orden: yy x xex ′ − =2 a. Es lineal en y porque y y y′ son de primer grado. b. Es lineal en y porque cada coeficiente depende solamente de x. c. No es lineal en y porque y no está elevada al exponente 1, sino al exponente −1. d. No es lineal en x porque es lineal en y. 32. Sea la ecuación diferencial lineal: y x y′ + − = 1 1 12 ; el factor integrante que le convierte en exacta es: a. e x− − sen 1 b. e xsen−1 c. e ysen−1 d. e y− − sen 1 33. Dada la ecuación y y x x′ − = 8 888 8 , el factor integrante que la convierte en exacta es: a. x8 b. x−8 c. No necesita factor integrante porque ya es exacta. d. No necesita factor integrante porque puede resolverse por la fórmula general de las lineales. 34. Sea la ecuación diferencial y x y x′ − ( ) =tan ¿qué forma tiene u x( ) para que y uv= sea solución de esta ecuación? a. u x x dx= ∫ cos b. u x xdx= ∫ cos c. u x = 1 cos d. u x= 35. Sea la ecuación diferencial y x y′ − ( ) =ln 1 ¿qué forma tiene v x( ) para que y uv= sea solución de esta ecuación? a. v ex x = −( )1 ln b. v e e dx x x x = ∫ ln c. v ex x = −( )ln 1 d. v e e dx x x x x = − ∫ ln Ecuaciones diferenciales lineales 81 Carmona-02.indd 81Carmona-02.indd 81 7/13/10 11:23:30 AM7/13/10 11:23:30 AM
  • 82 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 36. Sea la ecuación diferencial xy x y ex ′ − =2 2 2 (vea ejercicio 19) ¿qué fun- ción u x( ) es la que debemos tomar para hallar la solución por el método de variación de parámetros? a. u ex = 2 b. u x= −2 c. u x= ln d. u x c= +ln 37. Las condiciones de linealidad en x son: a. y y sus derivadas son de primer grado. Las funciones forman una combinación lineal. b. Los coeficientes son funciones de x solamente. y y sus derivadas son de primer grado. c. La ecuación debe ser de primer orden. Los coeficientes son funciones de x solamente. d. Las funciones forman una combinación lineal. La ecuación debe ser de primer orden. 38. Dada la ecuación x y xy ex2 2′ + = , encontrar la opción que contiene un paso intermedio de la solución, usando la fórmula general. a. y x e dx cx = +( )− ∫ 2 b. y x e x dx c x = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ∫ 2 2 c. y x x e x dx c x = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ∫ 2 2 2 d. y e f x dx = ∫− ( ) 39. Sea la ecuación lineal xy y x x′ − = 2 2 sec , encontrar la opción que contie- ne un paso intermedio de la solución, usando la fórmula general. a. y x x xdx c= +( )− ∫ 1 2 2 sec b. y x x= −1 tan c. y x xdx c= +( )∫sec2 d. y x x xdx c= +( )∫ 2 2 sec 40. Dada la ecuación lineal xy y x′ + = cos , ¿qué opción contiene la solución general? a. y x x x x c= + +( )−1 sen cos b. y x c= +sen c. y x c= +−1 d. y x x c= +( )−1 sen Carmona-02.indd 82Carmona-02.indd 82 7/13/10 11:23:33 AM7/13/10 11:23:33 AM
  • Respuestas: 31. c. La ecuación debe tener la forma y f x y r x′ + =( ) ( ) despejando y′ se tiene: y x y xe y x ′ − = 2 ⇒ a es falsa porque el grado de y es −1. b es falsa porque −x2 y xex coeficientes de y−1 , no de y. d es falsa porque si tomamos el recíproco: dx dy y xe xx = + 2 tampoco cumple la linealidad en y. 32. b. Laformadelfactorintegrantees(paralaslinealesenx) F x e f x dx ( ) . ( ) = ∫ Por eso no pueden ser ni a, ni c, ni d. 33. b. La a está mal porque la integral es positiva (ver ejercicio anterior). La c sugiere que es exacta, lo cual es falso, como puede comprobarse por el teorema de las exactas. La d no está del todo bien, puesto que la solución general siempre involucra a dicho factor, aunque obvia- mente puede resolverse la ecuación sin obtenerlo en primer lugar. 34. b. Porque u r x v x dx x x dx= =∫ ∫ ( ) ( ) cos 1 En a no se considera el cociente correcto. En c se toma, en realidad, la función u con la forma de la función v. En d, se toma r x( ) nada más en lugar de la integral antedicha. 35. c. En a se tomó mal el signo. En b aparece la forma de la función u x( ). En d todos los conceptos están revueltos. 36. d. En a se toma v x( ) en lugar de u x( ). En b se toma f x( ) en lugar de u x( ). La opción c tiene la función correcta, pero le falta la constante de integración para que aparezca como solución general al multipli- car por v x( ). 37. b. a y c presentan, cada una, una condición correcta. d no responde a la definición. 38. a. y e e e x dx cx dx x dx x = ∫ ∫ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − ∫ 2 2 2 . Automáticamente no cumplen b, c y d. 39. c. y e e x xdx c dx x dx x = ∫ ∫ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − − − ∫ sec2 . Por eso no cumplen a, b y d. 40. d. La opción a toma como r x x x( ) cos= ; en vez de cos x x . La opción b contiene a la función u x( ) por el método de variación de parámetros, pero no es solución. La opción c muestra a la función r x( ) del mis- mo método. Ecuaciones diferenciales lineales 83 Carmona-02.indd 83Carmona-02.indd 83 7/13/10 11:23:34 AM7/13/10 11:23:34 AM
  • 84 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Resumen Variables separables f x dx g y dy( ) ( )+ = 0 Método de solución: integración directa. Homogéneas y g u′ + =( ) 0, donde u f x y= ( , ). Método de solución: sustitución apropiada. Muy usual: y vx= . Exactas M x y dx N x y dy( , ) ( , )+ = 0. Definición: ∂ ∂ = F x y x M ( , ) , ∂ ∂ = F x y y N ( , ) Teorema: es exacta si ∂ ∂ = ∂ ∂ M y N x Método de solución: 1. Tomar f Mx = o f Ny = 2. Integrar en x o integrar en y. 3. Derivar con respecto a y o con respecto a x. 4. Igualar el resultado a N o igualar a M. 5. Integrar. Factores integrantes F x y( , ) es factor integrante si FMdx FNdy+ = 0 es exacta. Si el factor es función de x: → = ∫F x e p x dx ( ) ( ) donde p x M N N y x ( ) = − Si el factor es función de y: → = ∫F y e p y dy ( ) ( ) donde p y N M M x y ( ) = − Si el factor es función de x y y, se obtiene por inspección, por tanteo o por métodos que no se van a considerar en este curso. Método de solución: Multiplicada la ecuación por el factor integrante, se resuelve por exactas o por variables separables según el caso. Lineales Condiciones de linealidad: 1. La variable y y todas sus derivadas son de primer grado. 2. Cada coeficiente depende solamente de x (o constante). Carmona-02.indd 84Carmona-02.indd 84 7/13/10 11:23:36 AM7/13/10 11:23:36 AM
  • Forma general: y f x y r x′ + =( ) ( ) Si r x y ce f x dx ( ) ( ) = → = ∫− 0 , es solución. Si r x y e e r x dx c f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ≠ → = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫0 , es solución. 1. Método del factor integrante: si la ecuación es lineal en x F x e f x dx → = ∫( ) ( ) . Si la ecuación es lineal en y F y e f y dy → = ∫( ) ( ) . Al multiplicar la ecuación por este factor se convierte en exacta y se resuelve por exactas. 2. Método de variación de parámetros: y uv= es la solución, donde: v e u r x v x dx c f x dx = ∫ → = + − ∫ ( ) ( ) ( ) Por lo tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la fórmula ge- neral; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variación de parámetros. Autoevaluación 2 Elegir la opción u opciones que contienen la forma general de las ecuaciones que se indican: 1. a. 4 02 x ydx xydy+ = , variables separables. b. 4 02 2 3 x y dx x ydy+ = , homogénea y variable separable. c. x y xy y2 2 ′ + = , homogénea y variables separables. d. y y y′ + = 2 , homogénea. 2. a. y e yx ′ + = 0, lineal, variables separables. b. e ydx dyx +( )= 0, exacta, lineal. c. e ydx dyx +( )= 0, variables separables. d. 2 02 2 2 2 x y dx x y dy+ + + = , exacta. 3. Elegir la opción u opciones que presentan un factor de integración apropiado para la ecuación cosh coshxy x y dx x y xydy+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = 0. a. F y y( ) = b. F x x( ) = c. F x y y x ( , ) = d. F x y xy( , ) = 4. Demostrar el siguiente teorema: Dada la ecuación M x y dx N x y dy( , ) ( , )+ = 0 la condición suficiente y necesaria para que sea exacta es: ∂ ∂ = ∂ ∂ M y N x Autoevaluación 85 Carmona-02.indd 85Carmona-02.indd 85 7/13/10 11:23:38 AM7/13/10 11:23:38 AM
  • 86 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 5. Establecer las propiedades de linealidad. 6. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método apropiado: e y xy ′ = ln 7. Encontrar la opción que contiene la solución general de: x y dx x y dy+( ) − + +( ) =3 0 a. x x y x y c= + + +( )+ + 3 4 2 3ln b. x x y x y c= + + +( )+ + 3 2 2 3ln c. y x y xy y c= + + + + 2 2 2 2 3 d. x x y x y c= +( )+ +( )+ + 1 2 3 4 2 3ln 8. Resolver la siguiente ecuación diferencial: y x dx xy dy4 4 3 0−( ) + = con la condi- ción inicial: y( )1 1= 9. Resolver por el método apropiado: x y dx x y dy+( ) + + −( ) =2 0 10. Elegir la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación diferencial: e y dx e x dyx y −( ) − −( ) = 0 a. e xy cx − = b. e xy cy − = c. e xy e cx y − + = d. e xy ex y − + = 0 11. ¿Cuáles son los posibles factores integrantes de la ecuación?: y x y x x dx xdy 1 02 1 1 + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + =− − tan tan a. tan−1 y b. 1 y c. 1 x d. x 12. Hallar la forma que debe tener la función u(x) para que y u x v x= ( ) ( ) sea solución de la siguiente ecuación: y x y xe x ′ − − = −1 1 2 1 sen Carmona-02.indd 86Carmona-02.indd 86 7/13/10 11:23:40 AM7/13/10 11:23:40 AM
  • 13. Escoger la opción que contiene un paso intermedio de la solución de la siguiente ecuación diferencial por fórmula general de las lineales: y x y x x′ + = 1 1 cos a. y e e xdx c dx x dx x = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫ cos b. y e e xdx c dx x dx x = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − ∫ cos c. y x x xdx c= +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ − ∫ 2 cos d. y x xdx c= +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ − ∫ 1 cos 14. Resolver la siguiente ecuación diferencial: y e y ex e x ′ + =− − para y e( )0 = 15. Elegir la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación: xydx x x dy− −( ) =2 0 a. y x= −( )1 b. y x c( )− =1 c. y c x= −( )1 d. cy x= −1 Respuestas de la autoevaluación 2 1. Son correctas a y b. La opción c falla al decir que es de variables separables. La op- ción d contiene una ecuación que sí es de variables separables y no es homogénea. 2. Son correctas a, b y c. 3. a. Las demás opciones no cumplen el teorema M Ny x = . 4. Ver el texto. 5. Ver el texto. 6. La ecuación es de variables separables: e dy xdx e x x x c y x x x c y y = = − + = − +⎡⎣ ⎤⎦ ln ln ln ln 7. Es homogénea. Tomando v x y= + y dy dv dx= − , se obtiene como paso inter- medio: dx v v dv= + + 3 2 3 , y como solución, la opción d. La opción c fue resuelta como exacta y no lo es. Respuestas de la autoevaluación 87 Carmona-02.indd 87Carmona-02.indd 87 7/13/10 11:23:42 AM7/13/10 11:23:42 AM
  • 88 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 8. Es homogénea. Tomando y vx= , se obtiene como paso intermedio: dx x v dv v = − − 3 4 2 1 Y como solución general: x c y x − = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 8 4 4 2 1 Para y c( ) ,1 1 1= = ∴ la solución particular es: x y x − = −8 4 4 2 1 9. Es exacta, ya que M Ny x = =1 f x y f x xy f y f x f y x y f y y x y = + = + + = + = + − = − 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ′ ′ 22 2 2 2 f y y y c( ) = − + ∴ + + − =x y xy y c2 2 2 4 , solución general. 10. Es exacta M Ny x = − =1 . La correcta es c. Las opciones a y b presentan parte de la solución nada más y la opción d supone condiciones iniciales que no nos han dado. La solución debe quedar en su forma general, con la constante de inte- gración. 11. d. Como se comprueba por el teorema de exactas. 12. La solución de la homogénea es: y cesen x = −1 v esen x = −1 u r x v x dx xe e dx sen x sen x = = − −∫∫ ( ) ( ) 1 1 → = +u x c 2 2 es la forma que debe tener u para que y uv e x csen x = = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −1 2 2 sea la solución general. 13. d. En la a falta un factor de la r x( ). En la b además del error anterior, tiene cambia- dos los signos. En la c el error es de signos intercambiados. Carmona-02.indd 88Carmona-02.indd 88 7/13/10 11:23:43 AM7/13/10 11:23:43 AM
  • Agustín Louis, barón de Cauchy 89 14. y e e e dx c e dx e dx e x x x = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − − − − ∫ y e x ce x = + − ( ) para y e c( )0 1= → = . y e xe x = + − ( )1 . 15. c y d. La opción a no tiene la constante de integración y no se dieron condiciones iniciales. La b contiene un error en el manejo de funciones logarítmicas. Cauchy nació en París el 21 de agosto de 1789, un mes después de la toma de la Bas- tilla. A los pocos días, el padre llevó a toda su familia a la provincia para escapar de la Revolución y del régimen de terror. A los 11 años regresó a París para estudiar y La- grange reconoció en él grandes cualidades matemáticas En contraste con sus ideas políticas y religiosas —conservadoras hasta la terque- dad—, Cauchy fue un gran innovador en matemáticas. El cálculo diferencial tal como lo legaron Newton y Leibniz contenía aún algunos conceptos nebulosos y de poco ri- gor. Cauchy emprendió la tarea de reestructurarlo sobre bases sólidas y rigurosas, con la doble meta de poder “enseñar el análisis con la claridad de la geometría” y de dejar la materia sentada sobre buenos cimientos. Esta tarea fue llevada a su último término por Weierstrass en Alemania. El trabajo de Cauchy apareció por primera vez en 1821 en el curso de análisis que impartió en la escuela politécnica. A pesar de su constitución débil, Cauchy fue un trabajador infatigable; de hecho uno de los matemáticos más prolíficos junto con Euler y Cayley. Entre otras muchas cosas, destacó su contribución a la teoría de las permutaciones, al establecimiento de la noción de grupo y al desarrollo de todas las bases de la teoría de la función de varia- ble compleja. Se interesó también en la teoría de las ecuaciones diferenciales y dejó su nombre a la famosa ecuación de Cauchy-Euler, ecuación resuelta por Euler antes que naciera Cauchy, pero investigada por este último en el caso más general de la variable compleja. Con toda seguridad, el lector conoce también otro de sus legados de importancia: el conjunto de conceptos de límite, continuidad y derivada. El que se enseña en los textos actuales es, esencialmente, el que estableció Cauchy. Cuando murió, el 22 de mayo de 1857, sus capacidades extraordinarias para las matemáticas lo habían hecho miembro de diez de las academias más famosas de Europa. Agustín Louis, barón de Cauchy Agustín Louis, barón de Cauchy (1789-1857) Carmona-02.indd 89Carmona-02.indd 89 7/13/10 11:23:45 AM7/13/10 11:23:45 AM
  • Carmona-02.indd 90Carmona-02.indd 90 7/13/10 11:23:45 AM7/13/10 11:23:45 AM
  • Definiciones básicas 91 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 3 Geometría Ecuación de Bernoulli Ecuación de Lagrange Ecuación de Clairaut Química Biología Física Daniel Bernoulli (1700-1782) Carmona-03.indd 91Carmona-03.indd 91 7/13/10 11:24:59 AM7/13/10 11:24:59 AM
  • 92 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Les gustaba practicar porque era rápido y excitante y les satisfacía esa hambre por aprender que crecía con cada lección. Pero ni uno de ellos, ni siquiera Pedro Pablo Gaviota, había llegado a creer que el vuelo de las ideas podía ser tan real como el vuelo del viento y las plumas. JUAN SALVADOR GAVIOTA, R. BACH La matemática es una abstracción de la realidad. Es poner en símbolos lo que nos rodea. Es una herramienta poderosa que nos conduce a través de la aplica- ción rigurosa de sus leyes y de la lógica a soluciones precisas. Ante una situación real: ajuste de especificaciones en las áreas de ingeniería, sistemas computacio- nales, economía, etc. El camino a seguir es: • Establecer la ecuación diferencial que traduce fielmente al lenguaje simbó- lico el fenómeno a estudiar. • Catalogar y resolver dicha ecuación. • Analizar la solución. Para mayor facilidad se expondrán juntos los problemas concernientes a varias ramas del saber. Geometría 1. Un problema típico de esta área es obtener la ecuación de una curva que pase por un punto prefijado y de la que conocemos su pendiente. EJEMPLO 1 La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) vale x + 2y. Determinar la ecuación de dicha curva si, además sabemos que pasa por el origen de coor- denadas. 1. “Traducimos” al lenguaje simbólico la primera parte de la información. La pendiente se representa en geometría analítica por la letra m y en cálculo diferencial por la expresión dy dx , → = + dy dx x y2 es la traducción literal del enunciado. La simbología de la segunda parte de la información es y( )0 0= , puesto que la curva pasa por el origen. 2. Esta ecuación es lineal, no homogénea y de primer orden dy dx y x− =2 Carmona-03.indd 92Carmona-03.indd 92 7/13/10 11:25:00 AM7/13/10 11:25:00 AM
  • Geometría 93 donde f x( ) = −2, r x x( ) = → = ∫ ∫ +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = + − − − − ∫ ∫ y e e xdx c y e e xdx c dx dx x x 2 2 2 2⎡⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − − + − − y e x e e c y x ce x x x2 2 2 2 1 4 2 1 4 22x Para y( )0 0= : 0 0 1 4 1 4 2 1 4 1 4 4 2 1 2 = − + = = − − + = − − + c c y x e y x x , o ee x2 3. La curva pedida tiene esta ecuación y se verifica derivando la solución general y sustituyéndola en la ecuación. 2. Otro problema es el de obtener la ecuación de las trayec- torias ortogonales de una familia de curvas. Aquí va a ampliarse el concepto usando coordenadas polares. Sea una curva C y su tangente T, ␺ es el ángulo del radio a la tangente: tan␺ = rd dr ␪ Supongamos que una familia de curvas cuya ecuación diferencial en coordenadas polares es Hdr Gd+ =␪ 0 puede escribirse: d dr H G ␪ = − y r d dr r H G ␪ = − Entonces la familia de trayectorias ortogonales responde a la ecuación: r d dr G Hr ␪ = + r d dr G H Gdr r Hd2 2 0 ␪ ␪= − =o dr C T ψ (r, θ) ψ rdθ θ θd Figura 3-1. y x 3 2 1 0 0 1 2−1−2 Carmona-03.indd 93Carmona-03.indd 93 7/13/10 11:25:01 AM7/13/10 11:25:01 AM
  • 94 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden EJEMPLO 2 Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas r c= cos2␪. 1. Derivando con respecto a ␪ ␪ ␪: dr d c= 2 2sen . 2. Sustituyendo la constante c por c r = cos2␪ : dr d r ␪ ␪= −2 2tan o bien, dr r d+ =2 2 0tan ␪ ␪ Donde H = 1 y G r= 2 2tan ␪ 3. La familia de trayectorias ortogonales tendrá como ecuación diferen- cial 2 2 1 02 r dr r dtan ( )␪ ␪− = : Separando variables: dr r d r c r c = = ( )+ = ( ) 1 2 2 1 4 2 2 1 cot ln ln ln ␪ ␪ ␪ ␪ sen sen 44 4 2r c= sen ␪ Forma alternativa: acomodada la ecuación como en el paso 2, se cambia dr d␪ por − =r d dr 2 ␪ . A modo de verificación, se usará este cambio. De dr d r ␪ ␪= −2 2tan , pasamos a: − = −r d dr r2 2 2 ␪ ␪tan , que representa a la nueva familia de trayectorias ortogonales: d dr r r c c ␪ ␪ ␪ ␪ tan ln ln ln 2 2 1 2 2 2 2 1 2 = ( )= + ( ) = sen sen rr2 o su equivalente r c4 2= sen ␪. 3. Esto que se acaba de ver es un caso particular del problema de encontrar la familia de curvas que forma con otra familia un cierto ángulo ␤. Cuando ␤ ␲ = 2 las trayectorias se llaman ortogonales, y cuando tan␤ = k, k cte= , las trayectorias se llaman isogonales y la ecuación original dada como f x y y( , , )′ = 0 tiene por ecuación de trayectorias isogonales: f x y y k ky , , ′ ′ − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 0 Carmona-03.indd 94Carmona-03.indd 94 7/13/10 11:25:03 AM7/13/10 11:25:03 AM
  • EJEMPLO 3 Sea la familia de rectas y c x= − 1 , encontrar la familia de trayectorias isogo- nales que forman con dichas rectas un ángulo de ␲ 4 radianes. La ecuación diferencial de la familia de rectas es y c′ = − 1 y como c y x1 = − → =y y x ′ (1) Además ␤ ␲ ␤= → = 4 1tan y k = 1 → − + = − + y k ky y y ′ ′ ′ ′1 1 1 Sustituyendo en (1) y′ por y y ′ ′ − + 1 1 tenemos: y y y x xy x y yy y x y x y ′ ′ ′ ′ ′ − + = − = + = + − 1 1 Sea y vx dy vdx xdv= → = + vdx xdv x vx x vx dx xdv v v v dx xdv + = + − = + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 1 1++ − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −( ) + = + − v v v v dx v dv v dx x v dv v 2 2 2 1 1 1 1 1 ddv v dx x v v x c v 2 1 2 1 1 1 2 1 + = − + = + = − − tan ln( ) ln ln tan lln tan ln tan ln cx v v cx v y x cx y 2 1 2 2 2 1 1 +( ) = +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = + xx x y x c y x 2 2 2 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = +( )tan ln Geometría 95 Carmona-03.indd 95Carmona-03.indd 95 7/13/10 11:25:05 AM7/13/10 11:25:05 AM
  • 96 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 4. Muchas veces nos interesa conocer la longitud de la tangente desde un punto P hasta que corta al eje x o al eje y. Supongamos una curva C y su tangente T en un punto P de la curva, como se muestra en la figura 3.2. y x (x1 , y1 ) (x, y) p C T Q Figura 3-2. Al segmento comprendido entre P y A lo llamaremos tangente; al segmento PB: “normal”; la proyección AD se denominará “subtangente” y la proyec- ción DB: “subnormal”. Para encontrar la ecuación de la tangente, tomamos otro punto Q sobre la tangente. Como la pendiente de la recta es y′, su ecuación será: y y y x x1 1− = −′( ) de donde: y y y x x ′ = − − 1 1 en general. si queremos para y y y x x 1 1 0= → = − − ′ Es decir, que en A, x x y y 1 = − ′ Esto indica que la recta tangente corta al eje x en: x y y − ′ De la misma forma, si queremos que x1 0= : → = − − y y y x ′ 1 y y y xy1 = − ′ es donde corta la tangente al eje y; siguiendo este procedimiento obtene- mos la siguiente tabla: Carmona-03.indd 96Carmona-03.indd 96 7/13/10 11:25:06 AM7/13/10 11:25:06 AM
  • Intersección de la tangente con el eje x x y y : − ′ Intersección de la tangente con el eje y y xy: − ′ Intersección de la tangente con el eje x x yy: + ′ Intersección de la tangente con el eje y y x y : + ′ Además podemos establecer las longitudes siguientes: Longitud de la tangente desde P hasta el eje x: y y y 1 2 + ( )′ ′ Longitud de la tangente desde P hasta el eje y: x y1 2 + ( )′ Longitud de la normal desde P al eje x: y y1 2 + ( )′ Longitud de la normal desde P al eje y: x y y 1 2 + ( )′ ′ Longitud de la subtangente: y y′ Longitud de la subnormal: yy′ EJEMPLO 4 Demostrar que la longitud de la tangente P hasta el eje x es: y y y 1 2 + ( )′ ′ La ecuación de la tangente es: y y y x x ′ = − − 1 1 En y1 0= es y y x x ′ = − −1 Geometría 97 Carmona-03.indd 97Carmona-03.indd 97 7/13/10 11:25:07 AM7/13/10 11:25:07 AM
  • 98 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden La longitud de una curva viene dada por la expresión L y dt y x x dt t y x a b x x = + ( ) → + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = + ∫ ∫ 1 1 1 2 1 2 2 1 ′ 11 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 −( ) = −( ) + −( ) = −( ) + x x x y x x x x y x x pero x x y y 1 − = − ′ ; sustituyendo: −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = + ( ) ( ) y y y y y y y′ ′ ′ 2 2 2 2 2 2 = + ( ) ( ) y y y 1 2 2 ′ ′ o sea: y y y 1 2 + ( )′ ′ EJEMPLO 5 La intersección con el eje x de la tangente a una curva en cualquier punto es 2x. Si la curva pasa por el punto (2, 3) encontrar su ecuación. x y y x y y x y y x dy y dx x − = − = = − = − ′ ′ ′ 2 ln yy x c xy c xy c= − + = =ln ln ln ln Para y c( ) ,3 2 6= = y y x = 6 x y −4 −2 −2 −4 −6 2 4 2 4 6 0 0 Carmona-03.indd 98Carmona-03.indd 98 7/13/10 11:25:09 AM7/13/10 11:25:09 AM
  • EJEMPLO 6 Supongamos que una gota esférica se evapora a una velocidad proporcional a su superficie; si al principio el radio de la gota es 2 mm, y al cabo de 10 minu- tos es de 1 mm, hallar una función que relacione el radio r con el tiempo t. Volumen de la esfera: V r= 4 3 3 ␲ Superficie de la esfera: S r= 4 2 ␲ La variación del volumen con respecto al tiempo es: dV dt r dr dt = 4 2 ␲ La gota se evapora proporcionalmente a su superficie: dV dt kS= Sustituyendo: 4 42 2 ␲ ␲r dr dt k r dr dt k dr kdt r kt c = → = = = + Tomando las condiciones iniciales: t r t r = → = = → = ⎧ ⎨ ⎩ 0 2 10 1 Se obtienen k y c: 2 0 2 2 1 10 2 1 10 = + = → = + = + → − = = − c c r kt k k k 11 10 1 10 2∴ ( )= − +r t t 5. También usamos la geometría para resolver problemas físicos: EJEMPLO 7 Un recipiente en forma de cilindro circular recto tiene una sección transver- sal de 2 m2 . Se llena de agua hasta una altura de 6 m. En la base posee un orificio de sección de 4 cm2 . Se desea calcular la altura del agua en cual- quier instante y también el tiempo necesario para vaciar completamente el recipiente. Geometría 99 Carmona-03.indd 99Carmona-03.indd 99 7/13/10 11:25:10 AM7/13/10 11:25:10 AM
  • 100 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Llamando: A = área (sección transversal) del recipiente. B = área (orificio). h = altura del agua en el instante t. ⌬h = variación de la altura. t = tiempo. ⌬t = variación del tiempo. g m = 9 8 2 . seg Consideraremos: 1. Cantidad de agua que sale por el orificio = cantidad de agua que des- ciende en el cilindro. 2. El volumen que bajó en el cilindro es V A h= ⌬ (con signo negativo por ser decrecimiento). 3. El volumen que sale por el orificio es V B m= ⌬ , donde ⌬m es la dis- tancia que recorre el agua durante ⌬t segundos si el chorro saliera hori- zontalmente. 4. v dm dt = es la velocidad instantánea de la caída del líquido. 5. Tomaremos v gh= 2 en condiciones ideales (masa del agua = su ener- gía cinética), suponiendo que no hay pérdidas. Entonces la primera ecuación es: − =A h B m⌬ ⌬ . Como la variación de la altura es con respecto al tiempo, dividimos entre ⌬t: − =A h t B m t ⌬ ⌬ ⌬ ⌬ Cuando ⌬t → 0 tenemos: − =A dh dt B dm dt por lo tanto: − =A dh dt Bv (consideración 4) y − =A dh dt B gh2 (consideración 5), que ya es la ecuación diferencial del proceso, con la condición inicial de que h h= 0 cuando t = 0 . Resolviendo por variables separables: dh h B A gdt= − 2 obtenemos 2 2h B A g t c= − + , que es la solución general del problema. Aplicamos las condiciones iniciales para saber el valor de c. 2 2 2 2 0 0 h c h B A g t h = ∴ = − + Carmona-03.indd 100Carmona-03.indd 100 7/13/10 11:25:12 AM7/13/10 11:25:12 AM
  • EJEMPLO 8 Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (0, 1) con las siguientes propiedades: 1. El área bajo la curva limitada por los ejes coordenados y la ordenada de cualquier punto es igual a: 2. La longitud de la curva correspondiente a dicha región. Por la condición 1 tenemos: S ydx x = ∫0 que representa el área. Por la condición 2: L y dx x = +∫ 1 2 0 ' , que representa la longitud de la curva en el tramo correspondiente. Entonces: 2 0 0004 2 2 2 6h gt= − + . 2 0 0008854 4 8989795 0 0004427 2 449 h t h t = − + = − + . . . . 44898 2 ( ) , es la altura del agua h en cualquier instante t. Para calcular el tiempo necesario que se necesita para vaciar el recipiente, tomamos h = 0. Entonces: t = = 4 8989795 0 0008854 5533 07 . . . .seg t = =92 22 1 53. min . .horas Geometría 101 Figura 3-3. y (0, 1) Carmona-03.indd 101Carmona-03.indd 101 7/13/10 11:25:13 AM7/13/10 11:25:13 AM
  • 102 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Entonces, como S = L, tenemos: ydx y dx x x 0 2 0 1∫ ∫= + ' Derivando con respecto a x: y y= +1 2 ' de donde: dy y dx 2 1− = Con solución general: x y y c= + −( )+ln 2 1 para el punto ( , ),0 1 0c = y la solución es: x y y= + −( )ln 2 1 Reconociendo la identidad de este logaritmo con las funciones hiperbólicas inversas, tenemos: x y= − cosh 1 es decir: y x= cosh es la ecuación de la curva pedida. EJEMPLO 9 Un joven está situado en la esquina A de un estanque rectangular y sostiene una cuerda de 5 m de longitud, en cuyo extremo opuesto está atada una boya en C. El joven camina hacia B manteniendo tensa la cuerda. Encontrar la posición del joven y de la boya cuando la boya está a 3 m de AB. Figura 3-4. y y C A E D B x 5 ␪ tan tan ␪ ␪ = = − = = − − − = dy dx ED y dy dx y y y y dy 25 25 25 2 2 2 −−dx Carmona-03.indd 102Carmona-03.indd 102 7/13/10 11:25:14 AM7/13/10 11:25:14 AM
  • Integrando: 25 5 5 252 2 − − + −⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − +y y y x cln Cuando la boya está en C x y: ,= =0 5 0 5 1 0− = =ln ,c c Entonces: x y y y= + −⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − −5 5 25 25 2 2 ln , es la ecuación que da la tra- yectoria de la boya. La distancia AD, a la que está el joven, puede expresarse como: AD AE ED= + Sea AE x= ; entonces: AD x y= + −25 2 Sustituyendo la ecuación de la trayectoria: AD y y = + − 5 5 25 2 ln Cuando la boya está a 3 m de AB, es decir, cuando y = 3 , entonces: ED AE AD ED x = − = = − = + − = − = 25 9 4 5 5 4 3 4 5 3 4 1 5 ln ln . m Por lo tanto, para y = 3 tenemos: Posición del joven: AD = =5 3 5 5ln . m Posición de la boya: AE = 1 5. m EJERCICIOS 3.1 APLICACIONES A LA GEOMETRÍA 1. Hallar una curva que pase por el punto (0, −3), de manera que la pen- diente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea el doble de la orde- nada en el mismo punto. Respuesta: y e x = −3 2 2. Encontrar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0, 2) y en cada punto (x, y) tiene pendiente −xy. Respuesta: y e x = − 2 2 2 Geometría 103 Carmona-03.indd 103Carmona-03.indd 103 7/13/10 11:25:15 AM7/13/10 11:25:15 AM
  • 104 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 3. Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, e) y en cada punto (x, y) la pendiente de su normal es x y 2 Respuesta: y e x = 1 4. Encontrar la ecuación de una familia de curvas tal que todas sus tangentes pasen por el origen. Respuesta: y kx= 5. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus norma- les pasan por un punto fijo es una circunferencia. 6. Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de cada tan- gente a la curva, comprendido entre los ejes de coordenadas, se divide por la mitad en el punto de tangencia. Respuesta: xy c= 7. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto, la recta tangente es perpendicular a la que une el punto con el origen de coordenadas. Respuesta: x y c c2 2 0+ = >, 8. En cierto punto de una curva, la pendiente es igual al recíproco de la abscisa. Hallar la familia de curvas que tienen esta propiedad. Respuesta: y x c= +ln 9. Hallar las curvas para las cuales cada normal en un punto dado y su in- tersección con el eje x tienen la misma longitud. Respuesta: x y cx k2 2 2+ + = 10. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto la pendiente de la normal se obtiene del recíproco de la abscisa restándole la unidad. Respuesta: y x x c= + −( )+ln 1 11. Encontrar la curva que pasa por el punto (0, 3) y tal que la proyección de su tangente en dicho punto sobre el eje x siempre tenga una longitud igual a 2. Respuesta: y ex2 9= 12. La proyección de la recta normal desde un punto P de la curva sobre el eje x tiene una longitud igual a la abscisa en P. Encontrar la ecuación de dicha curva que pasa por el punto (2, 3). Respuesta: y x2 2 13+ = 13. La pendiente de una curva, en cualquier punto (x, y) es 2x y− . Determi- nar la ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (0, D). Respuesta: y x e x = − + − 2 2 3 14. La pendiente de una curva en cualquier punto es 3 2 x . Determinar la ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 1). Respuesta: y x= 3 15. Hallar una curva que pase por el punto (0, −1), de modo que la pendien- te de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la abscisa del punto, aumentada en 5 unidades. Respuesta: y x x= + − 2 2 5 1 Carmona-03.indd 104Carmona-03.indd 104 7/13/10 11:25:16 AM7/13/10 11:25:16 AM
  • 16. Demostrar que la curva cuya pendiente de la tangente en cualquier pun- to (x, y) es proporcional a la abscisa del punto x y0 0,( ), en una parábola. 17. Hallar la curva para la que se cumple que la pendiente de la tangente en cualquier punto es k veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. Respuesta: y cxk = 18. Hallar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada y la mitad de la abscisa del punto. Respuesta: y x ce x = − − + 1 4 1 8 2 19. Hallar la ecuación de la familia de curvas con la propiedad de que la distancia del origen a la recta tangente en un punto P de una curva es igual a la abscisa en P. Respuesta: x y cx2 2 + = 20. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que la recta normal en cualquiera de sus puntos P coincida con la recta que une al punto P con el origen. Respuesta: x y c2 2 + = 21. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: r c= −( )sen␪ ␪cos Respuesta: r c= +( )cos␪ ␪sen 22. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: r c= cos2 ␪ Respuesta: r c2 = sen␪ 23. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: r c = −( )1 cos␪ Respuesta: r c = +1 cos␪ 24. Sea la familia de rectas y c x= 1 ; encontrar la familia de trayectorias iso- gonales que forman con dichas rectas un ángulo de ␲ 3 radianes. Respuesta: 2 3 1 2 2 tan ln− = +( )y x c x y 25. Demostrar que la recta normal corta al eje x en x x yy1 = + ′ 26. Demostrar que la longitud de la normal desde un punto P hasta el eje y es: x y y 1 2 + ′ ′ Geometría 105 Carmona-03.indd 105Carmona-03.indd 105 7/13/10 11:25:18 AM7/13/10 11:25:18 AM
  • 106 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 27. Demostrar que la longitud de la subtangente es y y′ . 28. Hallar la longitud de la recta tangente a una curva desde el punto (1, 1) al eje x, sabiendo que su pendiente es 2x. Respuesta: 5 2 1 118= . 29. La intersección con el eje y de la normal a una curva en cualquier punto es y 2 . Si la curva pasa por el punto (1, 1), encontrar su ecuación. Respuesta: y x2 2 2 3+ = 30. La tangente a una familia de curvas en el punto P corta a los ejes coor- denados formando con ellos un triángulo; ya que las coordenadas del punto P forman con los ejes un rectángulo, hallar la familia de curvas con la propiedad de que el área del triángulo es siempre el doble que la del rectángulo. Respuesta: xy c= 31. Encontrar la curva que cumple la condición de que el área acotada por dicha curva desde (0, 1) a (x, y), el eje x y la ordenada, es igual a la or- denada. Respuesta: y ex = 32. Hallar la curva en el plano xy, con la propiedad de que el área acotada por esta curva, el eje x y la ordenada, es igual a la longitud de la curva desde el punto (0, 1) al punto (x, y). Respuesta: y x= cosh 33. Hallar las coordenadas del punto o puntos de la curva y x= 2 2 que están más próximos al punto (9, 0). Respuesta: (1, 2) 34. Hallar las coordenadas del punto o de los puntos de la curva x y2 2 9− = que están más cercanos al punto (0, 7). Respuesta: −( ) ( )4 7 4 7, , , En los siguientes ejercicios, elegir la opción que contiene la solución correcta. 35. La derivada dx dt es proporcional a x. Sea x( )0 10= y x( )5 15= . Hallar el valor de x cuando t = 20 . a. 4 05. b. 50 6. c. 0 81. d. 16 21. 36. Dada la ecuación y xy′2 36= , elegir la opción que contiene dos solucio- nes que pasan por el punto ( , )4 1 . a. y x y x= −( ) = − −( )2 17 2 17 3 2 2 3 2 2 , b. No tiene solución porque no es lineal Carmona-03.indd 106Carmona-03.indd 106 7/13/10 11:25:19 AM7/13/10 11:25:19 AM
  • c. y x y x= −( ) = − +( )2 15 2 17 3 2 2 3 2 2 , d. No puede tener dos soluciones porque contradice el teorema de exis- tencia y unicidad. 37. Seleccionar la opción que contiene las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje x y pasan por el origen. a. x y kx2 2 + = b. y y x xy ′ = −2 2 2 c. y xy x y ′ = − 2 2 2 d. x y cy2 2 + = 38. Elegir la opción que contiene la ecuación de la curva C que se muestra en la figura, sabiendo que el área del triángulo APB es constante. a. y kx c3 6= + b. A k= c. tan␪ = AB y d. y dy kdx2 2= C θ P (x, y) Figura 3-5. 39. Hallar la curva que pasa por el punto (1, 1), cuya normal en cualquier punto (excepto en x = 0) queda dividida en dos partes iguales por el eje y. a. y x2 2 2 3+ = b. yy x′ = −2 c. y x c 2 2 2 = − + d. c = 3 2 Geometría 107 Carmona-03.indd 107Carmona-03.indd 107 7/13/10 11:25:20 AM7/13/10 11:25:20 AM
  • 108 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 40. ¿Qué opción contiene la familia de trayectorias ortogonales de la fun- ción cos y ae x = − ? a. cos y aex = b. sec y aex = c. sen y cex = d. sen y ce x = − Respuestas: 35. b. Los demás valores son resultados intermedios. 36. c. Es no lineal y admite dos soluciones por ser cuadrática, como puede verificarse. 37. d. La opción a contiene precisamente la familia de circunferencias cu- yos centros están en el eje x y pasan por el origen (que es dato del ejercicio). La opción b representa la ecuación diferencial de la fami- lia de la opción a. La opción c es la ecuación que da la solución co- rrecta en la opción d. 38. a. Las demás opciones representan los pasos intermedios en la solución del problema. 39. a. Las demás opciones son pasos intermedios. 40. d. Ecuación de Bernoulli1 Es una ecuación de la forma: y f x y r x y nn ′ + = ≠( ) ( ) , ,0 1 Para n = 0 1, la ecuación es lineal. MÉTODOS DE SOLUCIÓN: 1. Convertirla en lineal mediante la sustitución: u y n = −1 2. Sin convertirla en lineal, mediante la sustitución: y u x v x= ( ) ( ) 1 James Bernoulli la estudió en 1695. EJEMPLO 1 Resolver la ecuación: y x y xy′ + = − 2 2 2 1. Aquí: n = 2 Entonces, u y y u= → =− −1 1 y y u u′ ′= − −2 Sustituyendo, − + = −− − − u u x u xu2 1 22 2′ Carmona-03.indd 108Carmona-03.indd 108 7/13/10 11:25:21 AM7/13/10 11:25:21 AM
  • Dividiendo entre − − u 2 : u x u x′ − = 2 2 , que ya es una ecuación lineal en la variable u, con solución: u x x cx= +2 2 2 ln Como u y= −1 , entonces: y x x cx = + 1 2 2 2 ln 2. Sea y uv= Sea v x( ) la solución de y x y′ + = 2 0, es decir, v x x ( ) = 1 2 la ecuación dada se transforma en: vu u v x v xu v′ ′+ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − 2 2 2 2 sustituyendo v(x), después de haber dividido la ecuación: u u x x x xu x u x u du ′ ′ + − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = − = − 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 uu dx x u x c u x c 2 12 2 1 2 = − = + = + − ln ln Como y uv= y x x c = +( ) 1 22 ln EJEMPLO 2 Resolver y xy xy′ + = −1 2 Sea u y y= = − −( )1 1 2 3 2 Entonces, y u= 2 3 , y u u′ ′= −2 3 1 3 Ecuación de Bernoulli 109 Carmona-03.indd 109Carmona-03.indd 109 7/13/10 11:25:23 AM7/13/10 11:25:23 AM
  • 110 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Sustituyendo: 2 3 1 3 2 3 1 3 u u xu xu − − + =′ u xu x′ + = 3 2 3 2 lineal en u u e e x dx u e e x xdx xdx = ∫ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = − − ∫ 3 4 3 2 3 2 3 3 2 xx x x x dx u e e c 2 2 2 4 3 4 3 4 3 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∫ − uu ce y ce x x = + ∴ = + − − 1 1 3 4 3 2 3 4 2 2 Utilizando Mathematica, las ecuaciones diferenciales de Bernoulli a y y x x y b y y x x y ) ) ( ) ′ ′ − = + = − 2 2 3 1 2 2 3 3 sen sen se resuelven con stepone =Integrate[xExp[-x]Sin[3x],x] 1 50 e (-x --3(1+5x)Cos[3x]+(4-5x)Sin[3x]) solutionone =ssteptwo^(1/2)//PowerExpand ce + 1 50 e (-3(1-x -x ++5x)Cos[3x]+(4-5x)Sin[3x]) solutiontwo =stepttwo^(1/2)//PowerExpand; cs= Range[-5,7] {-5,-44,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} tographone = Tablee[solutionone/.c®cs[[i]],{i,1,13}]; 0 1 2 3 4 5 6 7 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figura 3-6. Carmona-03.indd 110Carmona-03.indd 110 7/13/10 11:25:24 AM7/13/10 11:25:24 AM
  • tographtwo = Table[solutiontwo/.c®cs[[i]],{i,11,13}]; Plot[Evaluate[tographtwo],{x,0,5}PlootRange®{0,15}] EJEMPLO 1 Resolver la ecuación: y y x y= +( ) +1 2 ′ ′ Sea y p′ = , entonces y p x p= +( ) +1 2 Diferenciando y sustituyendo dy por pdx: pdx p dx xdp pdp dx x p dp dx dp x p = + + + − = + = − − ( ) ( ) 1 2 2 2 de donde dx dp x p+ = −2 ya es lineal en x, cuya solución es: x p ce p = − + − 2 2 Ecuación de Lagrange 111 Figura 3-7. Ecuación de Lagrange Es una ecuación de la forma: y x y y= +␾ ␺( ) ( )′ ′ MÉTODO DE SOLUCIÓN Sea y p′ = Se diferencia y se sustituye dy por pdx quedando una ecuación lineal con respecto a x. La solución queda en forma paramétrica. Pueden existir soluciones singulares de la forma y c x c= +␾ ␺( ) ( ), donde c es una raíz de la ecuación c c= ␾( ). 1 1 1 Carmona-03.indd 111Carmona-03.indd 111 7/13/10 11:25:25 AM7/13/10 11:25:25 AM
  • 112 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Sustituyendo este valor de x en la ecuación de y, tenemos: y p p ce p y p c p e p p = +( ) − +( )+ = − + +( ) − − 1 2 2 2 1 2 2 Por lo tanto, la solución es: x p ce y p c p e p p = − + = − + + − − 2 2 2 12 ( ) Para hallar una solución singular, se deriva la ecuación dada con respecto a y′: 0 2= +x y′, como y p′ = entonces: x p+ =2 0 Esta ecuación, junto con y p x p= + +( )1 2 , forman un sistema del cual se eli- mina p. p x y x x x y x x = − = + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + = − 2 1 2 4 4 2 2 Comprobando: y x′ = −1 1 2 sustituyendo: x x x x x x x x − = + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − + − + 2 2 2 4 1 1 2 1 2 2 2 1 xx x x 2 2 4 4 1= − + Como x x x x − ≠ − + 2 2 4 4 1, la función y x x = − 2 4 no es solución singular. Carmona-03.indd 112Carmona-03.indd 112 7/13/10 11:25:27 AM7/13/10 11:25:27 AM
  • EJEMPLO 2 Resolver la ecuación: y xy y= + +′ ′1 2 Sea y p′ = , entonces y xp p= + +1 2 diferenciando: pdx xdp pdx p p x p p dp = + + + = + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 0 1 2 2 Si dp = 0, entonces p c= Y la solución general de la ecuación es: y cx c= + +1 2 Si x p p + + = 1 0 2 ; entonces x p p = − +1 2 Tomando esta ecuación y y xp p= + +1 2 para eliminar el parámetro p, tenemos: p x x 2 2 2 1 = − además: y p p p p y p p y y = − + + + = + → = − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Igualando: x x y y 2 2 2 2 1 1 − = − ∴ x y2 2 1+ = es una solución singular. Ecuación de Clairaut Tiene la forma: y xy y= +′ ′␺( ) MÉTODO DE SOLUCIÓN El mismo que el de la ecuación de Lagrange. La solución general tiene la forma: y cx c= + ␺( ) Ecuación de Clairaut 113 Carmona-03.indd 113Carmona-03.indd 113 7/13/10 11:25:28 AM7/13/10 11:25:28 AM
  • 114 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden También puede tener solución singular, la que se obtiene eliminando p de las ecuaciones: y xp p= + ␺( ), x p+ =␺′( ) 0 EJEMPLO 1 Resolver la ecuación: y xy y = −′ ′ 1 Sea y p′ = , entonces y xp p = − 1 Diferenciando y tomando dy pdx= pdx xdp pdx p dp x p dp = + + = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 0 1 2 2 Si dp p c= =0, ∴ = −y cx c 1 es la solución general. Si x p x p + = = − 1 0 1 2 2 , Sustituyendo en y xp p = − 1 tenemos: y p p p y p = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − = − 1 1 2 2 2 Tomando las ecuaciones: x p = − 1 2 y y x = − 2 eliminando p: y p 2 2 4 = , p x 2 1 = − 4 1 4 2 2 y x y x = − = − Para saber si es o no solución singular, la comprobamos: Derivando: 2 4yy′ = − yy′ = −2, y y ′ = − 2 Carmona-03.indd 114Carmona-03.indd 114 7/13/10 11:25:30 AM7/13/10 11:25:30 AM
  • Sustituyendo: y x y y y y y y = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 2 1 4 2 2 2 ′ y y y = + 2 2 ∴ Sí es solución. Un ejemplo de lo que puede hacer Mathematica con la ecuación de Clairaut se ve en la ecuación y xy y ey = + +′ ′ ′2 sol = DSolve[y[x]== x*y'[x]+y'[x]^2+Exp[y'[x]],,y[x],x] {{y[x]®e +xC[1]+C[1]}} Plot[Eva c[1] 2 lluate[Table[y[x]/.sol/.{C[1]1/k},{k,-5,5,2}}]],{x,1,5}] EJERCICIOS 3.2 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli. 1. y x y x y′ + = 1 2 3 4 4 Respuesta: 1 3 3 2 x y x c+ = 2. y xy xy′ + = −2 Respuesta: y ce x 3 3 2 1 2 = + − 3. y x y x y′ + = −1 4 3 1 Respuesta: y x cx2 4 24 3 = + − 4. y xy xy′ − = 2 1 2 Respuesta: y ce x = + 2 4 2 5. 3 2 3 2 xy y x y′ − = − Respuesta: y x cx3 3 2 − = Ecuación de Clairaut 115 Figura 3-8. 8 6 4 2 2 2 3 4 5 Carmona-03.indd 115Carmona-03.indd 115 7/13/10 11:25:31 AM7/13/10 11:25:31 AM
  • 116 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Resolver las siguientes ecuaciones de Lagrange y Clairaut. 6. 2y xy y y= +′ ′ ′ln Respuesta: x cp p y c p p = − − = − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ln 2 2 2 7. y y y= + −′ ′1 2 Respuesta: x p p c y p p = − + = + − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ − ln sen 1 2 1 8. y xy y= +2 ′ ′sen Respuesta: x c p p p p p y c p p p p = − − = − − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 2 2 2 cos cos sen sen 9. y xy ey = + 3 2 ′ ′ Respuesta: x e p e p e p c p y e p e p c p p p p p p = − + − + = − + − 2 4 4 6 6 3 2 2 2 3 3 2 2 eep ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 10. y xy y = −′ ′ 1 Respuesta: y cx c y x = − = − 1 42 , . , solución general soluciónn singular. ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 11. y xy y= +′ ′ Respuesta: y cx c= +{ , solución general. 12. y xy y= +′ ′3 2 Respuesta: y cx c y x = + = − 3 12 2 2 , solución general soluc . , iión general. ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 13. y xy y = +′ ′ 2 Respuesta: y cx c = + ⎧ ⎨ ⎩ 2 , solución general. 14. x xy y = +′ ′ 1 2 Respuesta: y cx c y x = + = 1 3 4 2 2 3 , solución singular solu . , cción general. ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 15. y xy y = +′ ′ 5 Respuesta: y cx c y x = + = 5 202 , solución general. , soluciónn singular. ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ Carmona-03.indd 116Carmona-03.indd 116 7/13/10 11:25:33 AM7/13/10 11:25:33 AM
  • Química Proceso primario: Ley de crecimiento o decaimiento EJEMPLO 1 Un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 40 mg de material y al cabo de una hora se observa que ha perdido 8% de la cantidad inicial, hallar: 1. La cantidad de masa en cualquier momento t. 2. La masa del material después de 3 horas. 3. El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la canti- dad inicial. SOLUCIÓN: 1. Sea y la cantidad, en miligramos, presente de material radiactivo, en- tonces dy dt ky= , es la ecuación del proceso. Integrando: ln y kt c y cekt = + = Para t = 0 se cumple que y = 40 Sustituyendo en la solución, se obtiene c = 40 → =y ekt 40 Para t y= = − =1 40 3 2 36 8, . . porque el 8% de 40 es 3.2 mg. 36 8 40 36 8 40 40 0 0834 . ln . . = = ∴ = − e k y e k t es la ecuación que da la cantidad de material radiactivo en cualquier tiempo t. 2. Para t = 3: y e y = = − 40 31 15 0 25. . .mg Química 117 Carmona-03.indd 117Carmona-03.indd 117 7/13/10 11:25:34 AM7/13/10 11:25:34 AM
  • 118 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 3. Para y = 20 mg: t e t t t = = = = − ? ln . . . 20 40 2 0 0834 8 31 0 0834 h. Si se utiliza Mathematica hay que definir el problema con valor inicial, por ejemplo y t ky t′( ) ( )= − sujeto a y y( )0 0 = , y después recurrir a la instrucción decay. Clear[d1] d1= DSolve[{y'[t]==-ky[t],y[0]== y0},,y[t],t] d1[[1,1,2]] e y0 decay[t_,k_,y0_]= -kt dd1[[1,1,2]] e y Plot[decay[1,k,10],{k,0,1} -kt ]] Proceso de segundo orden: reacciones químicas EJEMPLO 2 Partiendo de dos sustancias A y B se desea obtener un compuesto C. La ley de conversión para estas sustancias es: la rapidez de transformación de la cantidad x del compuesto C es proporcional al producto de las cantida- des no transformadas de las sustancias A y B. Tomando medidas unitarias suponemos que una unidad de A y una unidad de B producen una unidad de C. 1. Demostrar que la ley de conversión en t = 0 viene dada por la ecua- ción diferencial: dx dt k a x b x= −( ) −( ) 2. Si en t = 0 hay m unidades de la sustancia A, n unidades de la B y nin- guna del compuesto C, hallar la solución para x. 3. Si a = 4 kg, b = 5 kg, x = 1 kg, en t = 50 min; hallar el valor de x cuando t = 1 h, 40 min. Carmona-03.indd 118Carmona-03.indd 118 7/13/10 11:25:35 AM7/13/10 11:25:35 AM
  • SOLUCIÓN: 1. Si al principio hay m unidades de A, n unidades de B y cero unidades de C, entonces, las x unidades de C en un tiempo t constan de: mx m n+ unidades de A y nx m n+ unidades de B; por lo tanto, quedan sin combinar: a mx m n0 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ unidades de A y b nx m n0 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ unidades de B y la ecua- ción es: dx dt K a mx m n b nx m n K a m n = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +( ) 0 0 0 −− + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +( )− + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +( ) mx m n b m n nx m n Kmn m n a 0 2 00 0 0 0m a n mx m b m b n nx n Kmn m n + −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +( )22 0 01 1a n m x b m n x+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = kk a x b x−( ) −( ) Donde k Kmn m n a a m n m b b m n m = +( ) = +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 0 0, , .. 2. dx a x b x kdt −( ) −( ) = CASO 1. a = b → −( ) = dx a x kdt2 1 a x kt C − = + Para t = 0 y x = 0 → =C a 1 1 1 a x kt a− = + despejando x: x a kt akt = + 2 1 unidades de C Química 119 Carmona-03.indd 119Carmona-03.indd 119 7/13/10 11:25:38 AM7/13/10 11:25:38 AM
  • 120 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden CASO 2. a≠b → −( ) −( ) = 1 a x b x dx kdt Por fracciones parciales tenemos: 1 1 1 a x b x A a x B b x a x b a a b b x−( ) −( ) = − + − = −( ) −( ) + −( ) −(( ) Integrando: − − −( )− − −( )= + 1 1 b a a x a b b x kt Cln ln 1 b a b x a x kt C b x a x b a kt − − − − = + − − = − [ln( ) ln( )] ln ( )( ++ C) Para t = 0, x = 0 ln ; ln b a b a C C b a b a = −( ) = − Entonces, ln ln b x a x b a kt b a − − = −( ) + ln ln ln ( ) ( ) b x a x b a b a kt a b x b a x b a kt − − − = −( ) − − = −( ) bb x a x b a e b a kt− − = −( ) de donde: x ab e a be b a kt b a kt = −( ) − −( ) −( ) 1 si b>a 3. Si a = 4 kg; b = 5 kg; x = 1 kg y t = 50 mn, entonces: 1 20 1 4 5 16 15 50 50 50 = −( ) − = e e e k k k k ; == 1 50 16 15 ln Para t = 100 minutos: x x= − ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ − ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ = = 20 20 16 15 4 5 16 15 31 19 1 6 2 2 ; . 332 kg de C. Carmona-03.indd 120Carmona-03.indd 120 7/13/10 11:25:39 AM7/13/10 11:25:39 AM
  • EJERCICIOS 3.3 1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 g y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa original, hallar: a. La ecuación que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t. b. La cantidad de uranio después de 5 horas. Respuestas: a. y = e−0.026t b. y = 8.781 g 2. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200 g de M y una hora más tarde 75 g, calcular el porcentaje de M transformada después de 2 horas. Respuesta: 85.93 por ciento. 3. Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente el 80% de la masa permanecía en ese momento. Hallar: a. La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. b. ¿Qué cantidad permanece cuando t = 5 h? c. ¿Para qué valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial? Respuestas: a. y = 60 e(tln0.8)/3 b. y = 41.365 mg c. t = 18.6 h 4. Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente se cuenta con 300 g del material y después de dos años se observa que el 14% de la masa original se ha desintegrado, hallar: a. Una expresión para la cantidad de material en un tiempo t. b. El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 por ciento. Respuestas: a. y = 300 et[0.5ln(43/50)] b. t = 4.73 años 5. Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después de una hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del material. Respuesta: 3.11 horas 6. Los experimentos demuestran que la rapidez de conversión del azúcar de caña en solución diluida es proporcional a la concentración de azú- car aún no diluida. Supongamos que en t = 0 la concentración de azúcar es 1/150 y en t = 5 h es 1/200. Hallar la ecuación que da la concentración de azúcar sin diluir en función del tiempo. Respuesta: y = 1/150 e−0.058t 7. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapi- dez proporcional a la cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 años ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año? Respuesta: 0.043 por ciento. 8. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la can- tidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento? Respuesta: ocho veces más. Química 121 Carmona-03.indd 121Carmona-03.indd 121 7/13/10 11:25:39 AM7/13/10 11:25:39 AM
  • 122 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 9. La conversión de una sustancia A sigue la ley del “proceso de primer orden”. Si al cabo de 20 segundos apenas una cuarta parte de la sustancia se transformó, hallar cuándo se transformarán nueve décimas partes de esa sustancia. Respuesta: t = 160 segundos 10. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 40 horas. Hallar cuánto tiempo tardará en desaparecer el 90% de su radiac- tividad. Respuesta: 132.8 horas Biología EJEMPLO 1 Por experiencia se sabe que en una cierta población la rapidez de nacimientos y de muertes es proporcional al número de individuos que instantáneamente estén vivos en un momento dado. Encontrar el modelo matemático del com- portamiento del crecimiento de esta población. Sea y el número de individuos de la población. Llamamos dN dt a la rapidez de nacimientos, además, dM dt a la rapidez de muertes. Entonces: dN dt K yn = y dN dt k ym = N M y La ecuación del proceso es: dy dt = entrada-salida dy dt K y K yn m = − dy dt K K yn m = −( ) dy y K K dtn m = −( ) ln lny K K t cn m = −( ) + y ce K K tn m = −( ) Carmona-03.indd 122Carmona-03.indd 122 7/13/10 11:25:40 AM7/13/10 11:25:40 AM
  • EJEMPLO 2 En cierto instituto tecnológico se declara una epidemia de hepatitis. Se quiere encontrar el modelo matemático de la propagación de la enfermedad, partiendo del hecho de que ya existe un número determinado de estudiantes enfermos. Haremos las siguientes suposiciones: El número de estudiantes E, es grande. Ei es el número de estudiantes infec- tados. En es el número de estudiantes no infectados. La razón de cambio de alumnos infectados es dEi dt. dEi dt a bEi cEi= + + 2 ; porque esta función cuadrática se acerca más a la reali- dad, ya que al principio de la epidemia hay pocos enfermos; luego este nú- mero aumenta y se espera que después disminuya; entre los estudiantes En están los inmunes y los ya recuperados (a, b y c son constantes). Se cumple que E Ei En= + en cualquier tiempo t, y también: dEi dt = 0, cuando Ei = 0 y Ei E= . Tomando en la ecuación propuesta dEi dt = 0 tenemos: 1. Si Ei = 0, entonces a = 0 2. Si Ei E= , entonces bE CE+ =2 0, c b E = − Sustituyendo estos valores: dEi dt bEi bEi E = − 2 , dEi dt b E Ei E Ei= −( ) Llamaremos K b E= , constante. Entonces: dEi dt KEi E Ei= −( ) Inicialmente, en t = 0 hay Eo estudiantes infectados, de ahí que: Ei Eo= Resolviendo la ecuación diferencial: dEi Ei E Ei Kdt −( ) = 1 1 E Ei E E Ei Kt cln ln− −( )= + En t = 0: c E Eo E Eo = − 1 ln Biología 123 Carmona-03.indd 123Carmona-03.indd 123 7/13/10 11:25:41 AM7/13/10 11:25:41 AM
  • 124 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden EJERCICIOS 3.4 1. Gracias a ciertos estudios realizados se sabe que la mosca del Mediterrá- neo crece en proporción al número presente en cada momento. Después de 2 horas de observación se forman 800 familias de la mosca y después de 5 horas se forman 2000 familias. Encontrar: a. La ecuación que repre- senta el número de familias en función del tiempo, y b. el número de familia que había al inicio. Respuestas: a. y e t = 434 0 305. b. y = 434 2. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un momento dado en ella. Si después de 5 años, la población se ha triplicado y después de 8 años es de 45 000 habitantes, hallar el número de ciudadanos que había inicialmente. Respuesta: 7760 habitantes. 3. Una industria le ha encargado a una de sus empacadoras procesar pesca- do para producir un concentrado rico en proteínas para mejorar la ali- mentación de los consumidores. Se sabe que 6 kg de pescado son los que se necesitan para producir un kilogramo de este producto. Para esto hay que secar el pescado en cuartos especiales, en los cuales se hace pasar una corriente de aire seco sobre ellos para quitarles la humedad. Por otra parte, los investigadores han demostrado que la velocidad de secado es proporcional a la humedad que contenga el pescado y además que a los 25 minutos del proceso se ha perdido la mitad de la humedad inicial. Para producir este concentrado se requiere que el pescado contenga so- lamente 10% de su humedad inicial. ¿Cuánto tiempo tiene que permane- cer el pescado en el cuarto para perder el 90% de su humedad? Respuesta: 1 hora 23 minutos, aproximadamente. 4. En el proceso de respiración absorbemos aire que contiene principal- mente nitrógeno y oxígeno, y al exhalar despedimos bióxido de carbono. Se quiere purificar el ambiente de un salón donde se encuentran bailan- do un gran número de personas; para ello, se hace pasar una corriente de aire puro de 3500 m3 /h de aire al que llamaremos Qa1 , y se hace salir 3000 m3 /h de aire contaminado (Qa2 ), con bióxido de carbono. A la con- centración de bióxido de carbono por C fCO2 . Se sabe que el volumen del salón es de 10000 m3 y que la concentración inicial de bióxido de carbo- no en el cuarto es de 0.1% del volumen de éste. Suponiendo que la den- Entonces: 1 1 E Ei E Ei kt E Eo E Eo ln ln − = + − Ei E Eo Eo E Ei ektE −( ) −( ) = Ei E E Eo e ktE = −( ) +− 1 1 Carmona-03.indd 124Carmona-03.indd 124 7/13/10 11:25:43 AM7/13/10 11:25:43 AM
  • sidad permanece constante, ¿cuál es la concentración de bióxido de car- bono, C fCO2 , al cabo de 4 horas de haberse iniciado el baile? La concentración se expresa en g/m3 . Respuesta: C f g mCO2 0 030119 3 = . 5. La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si después de 18 años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200 000 habitantes, hallar: a. el número inicial de habitantes y b. cuántos habitantes tendrá al cabo de 100 años. Respuestas: a. 76 372 habitantes. b. 3 588 954 habitantes. 6. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumen- ta proporcionalmente al número actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y después de 7 años el número de animales es 576, hallar el número de animales con que se contaba el día de la inauguración del zoológico. Respuesta: 218 animales. 7. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: dx dt x a by= +( ) dy dt y c gx= +( ) fue diseñado por el matemático Volterra (1860-1940), para describir el comportamiento de dos especies que compiten para sobrevivir en el mis- mo hábitat. Resolver esta ecuación, usando la regla de la cadena: dy dx dy dx dt dx = • Respuesta: y e kx ea by c gx = 8. Ciertas enfermedades se propagan mediante picaduras de insectos (la malaria), o por transmisiones (la tifoidea). Supongamos que x representa la cantidad de transmisores en una cierta población, y y es la cantidad de sanos, en el instante t. Si los transmisores se eliminan de la población con rapidez β, de manera que se cumple: dx dt x= −␤ Y si la enfermedad se propaga con una rapidez proporcional al producto xy, tendremos: dy dt xy= −␣ a. Para x(0) = X0, hallar x en cualquier instante t. b. Para y(0) = Y0, hallar y en cualquier instante t (usar el resultado anterior). c. Cuando t →∞, ¿cuál es el valor límite de y y qué significa?: Respuestas: a. x x e t = − 0 ␤ b. y y eax e t = − − 0 10( )␤ ␤ c. y y e ax = − 0 0 ␤ Biología 125 Carmona-03.indd 125Carmona-03.indd 125 7/13/10 11:25:44 AM7/13/10 11:25:44 AM
  • 126 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 9. Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de car- bono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido del 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3 /min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. a. Encontrar una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto en cualquier instante. b. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo: 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. En- contrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. Respuestas: a. C e t = ( ) −( )− 9 200 1 30000 b. t = 4 horas 10. En una estación de metro subterráneo de 7500 m3 se ha comprobado que hay una concentración de 0.2% de CO2. Para renovar a atmósfera, unos ventiladores introducen aire del exterior (el cual tiene una concentración CO2 de 0.06%) a una velocidad de 7000 m3 /min. Hallar el porcentaje de CO2 después de 15 minutos. Respuesta: 0.06 por ciento. Física EJEMPLO 1 Según la ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28° y la sustancia se en- fría de 100° a 80° en 12 minutos, ¿en qué momento estará a una temperatura de 50 grados? Llamaremos T a la temperatura de la sustancia a los t minutos. Entonces, dT dt k T= − −( )28 es la ecuación del proceso, donde la constante negativa representa pérdida o disminución. La solución por el método de variables separables es: T ce kt = +− 28 Aplicando las condiciones iniciales: t = 0 T = 100 tenemos: 100 28= +C , C = 72 y para t = 12 , T = 80 80 72 2812 = +− e k k = 1 12 13 18 ln Entonces: T e t = + −( ) ( ) 72 28 1 12 13 18ln Carmona-03.indd 126Carmona-03.indd 126 7/13/10 11:25:45 AM7/13/10 11:25:45 AM
  • Para T = 50 50 28 72 1 12 13 18− = −( ) ( ) e tln ln ln 11 36 1 12 13 18 = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ t t = 43 72. minutos EJEMPLO 2 Un objeto que pesa 30 kg se deja caer desde una altura de 40 m, con una velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire es pro- porcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser de 40 m/seg. Encontrar: 1. La expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t, 2. la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y 3. la velocidad después de 8 segundos. 1. La fuerza neta F sobre un cuerpo es F mg kv= − , donde m es la masa del objeto, g es la fuerza de la gravedad y kv es la fuerza debida a la resistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad). Además, por la segunda ley de Newton, tenemos: F m dv dt = m dv dt mg kv= − (1) En este problema: ␻ = 30 kg y como ␻ = mg, entonces mg = 30 kg y m = = 30 9 8 3 06 . . kg masa (tomamos m = 3) v.lim = 40 m seg, donde v mg k .lim = ; entonces: 40 = mg k , k mg = = 40 3 4 Sustituyendo estos valores en la ecuación (1): dv dt v+ = 1 4 10 ecuación lineal, cuya solución es: v C e t = +− 1 4 40 Con condición inicial: para t = 0, v = 3, 3 40 371 1 = + → = −C C ∴ = − +− v e t 37 404 Física 127 Carmona-03.indd 127Carmona-03.indd 127 7/13/10 11:25:47 AM7/13/10 11:25:47 AM
  • 128 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 2. Para encontrar la posición del cuerpo tomamos v dx dt = , entonces: dx dt e t = − +− 37 404 , ecuación de variables separables, con solución: x e t Ct = + +− 148 404 2 Para t x= → =0 0 y C2 148= − ∴ = + −− x e tt 148 40 1484 3. Para t = 8 v e= − +− 37 402 ∴ =v 35 m/seg EJEMPLO 3 Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una inductancia de 1 henrio, una resistencia de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la corriente en el circuito para cualquier tiempo t. El circuito más sencillo RL consta de: • Una resistencia R, en ohmios. • Una inductancia L, en henrios. • Una fuerza electromotriz, fem E, en voltios. La cantidad de corriente I, en amperios, queda expresada por la ecuación: dl dt R L I E L + = Entonces, para E =5, L =1 y R = 80, la ecuación del circuito es: dl dt I+ =80 5, ecuación lineal, cuya solución es: I ce t = + −1 16 80 Para t = 0, I = 0; entonces: c = − 1 16 Figura 3-9. E R L Carmona-03.indd 128Carmona-03.indd 128 7/13/10 11:25:48 AM7/13/10 11:25:48 AM
  • La corriente en cualquier tiempo t es: I e t = −( )−1 16 1 80 EJEMPLO 4 Un circuito RC tiene una fem de 200 cos 2t (en voltios), una resistencia de 50 ohmios y una capacitancia de 10−2 faradios. En t = 0 no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en un tiempo t. El circuito RC consta de: • Una resistencia R, en ohmios. • Una fem E, en voltios. • Una capacitancia C, en faradios (no hay inductancia). La ecuación que da la cantidad de carga eléctrica q, en culombios, es: dq dt RC q E R + = 1 , además I dq dt = Entonces: E t= 200 2cos , R = 50, C = − 10 2 y la ecuación es: dq dt q t+ =2 4 2cos ecuación lineal, cuya solución es: q t t ce t = + + − cos2 2 2 sen Para t = 0, q = 0; entonces: c = −1 ∴ = + − − q t t e t cos2 2 2 sen NOTA: 4 2 2 22 2 e tdt e t tt t cos cos= +( )∫ sen Una vez obtenida la carga, podemos encontrar la corriente: I dq dt t t e t = = − + + − 2 2 2 2 2 2 sen cos Figura 3-10. R L E Física 129 Carmona-03.indd 129Carmona-03.indd 129 7/13/10 11:25:50 AM7/13/10 11:25:50 AM
  • 130 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden EJEMPLO 5 Un resorte de peso despreciable está suspendido verticalmente. En su ex- tremo libre se ha sujetado una masa de m = 40 kg. Si la masa se mueve con velocidad de v0 = 1 m/seg, cuando el resorte está sin alargar, hallar la veloci- dad v cuando el resorte se alarga 2 metros. La fuerza del resorte es proporcional (y opuesta) al alargamiento (Ley de Hooke). Además se cumple: fuerza neta sobre el objeto = peso del objeto − fuerza del resorte. Entonces: m dv dt mg kx= − O también m dv dx dx dt mv dv dx mg kx ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = − , ecuación de variables separables, cuya solución es: v gx k m x c2 2 2= − + , o bien, mv mgx kx c2 2 2= − + Para x = 0, v v= 0 . Entonces, c mv= 0 , por tanto: mv mgx kx mv2 2 0 2 2= − + Para los valores del problema, la velocidad del alargamiento queda en fun- ción de la constante k; cuyo valor puede especificarse mediante condiciones iniciales. En este caso, la velocidad es: v g k2 4 10 1= − + EJEMPLO 6 En cierto depósito hay 189 L de solución salina que contiene 10 kg de sal. Se vierte agua en el depósito con una velocidad de 4 L por minuto y sale la mezcla con velocidad de 3 litros por minuto. La concentración se mantiene homogénea. Hallar la cantidad de sal al cabo de media hora. Volumen inicial: V0 180= ,L cantidad de sal Q0 10= kg, velocidad del agua al entrar e = 4, velocidad de la mezcla al salir f = 3. Sea Q la cantidad de sal en el depósito en un momento dado. El volumen de solución salina en cualquier momento es: V et ft0 + − . La concentración de sal es Q V et f0 + −( ), y la sal que sale del depósito lo hace a una razón de f Q V et ft0 + −⎡⎣ ⎤⎦ kg/minuto. Entonces: dQ dt V e f t Q+ + −( ) = L 0 0 Carmona-03.indd 130Carmona-03.indd 130 7/13/10 11:25:51 AM7/13/10 11:25:51 AM
  • dQ t Q+ + = 3 180 0 dQ dt t Q= − +( ) 3 180 , dQ dt dt t = − + 3 180 ln ln lnQ t C= − +( )+3 180 Q C t = +( )180 3 Para t = 0 , Q a= = 10 c = ×58 32 106 . Para t = 30 , Q = 6 3. kg de sal. EJERCICIOS 3.5 1. Una sustancia se enfría desde 100° hasta 70° en 15 minutos estando al aire libre (temperatura del aire 20°), hallar la temperatura después de 30 minutos. Respuesta: T = 51° 2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en la cual hay una temperatura constante de 18°. Si después de 15 minu- tos la temperatura del cuerpo es de 8° y después de 25 minutos es de 12°, hallar la temperatura inicial del cuerpo. Respuesta: T = 3.5° 3. Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una temperatura constante de 5°. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8° y después de 40 minutos está a 6°. Hallar la tempera- tura inicial de la sustancia. Respuesta: T = 86° 4. Un cuerpo a una temperatura de 30° está inmerso en un baño cuya tem- peratura se mantiene en 50°. Después de una hora la temperatura del cuerpo es de 40°, hallar: a. La temperatura del cuerpo después de dos horas a partir de la inmersión. b. El tiempo que se necesita para que la temperatura del cuerpo sea de 48°. Respuestas: a. T = 45° b. t = 3 19 18h segmin 5. La temperatura del aire es de 40°. Si un objeto se enfría en el aire pasando de una temperatura de 120° a otra de 100° en 20 minutos, encontrar: a. la temperatura del cuerpo después de 50 minutos. b. El tiempo necesario para que la temperatura del objeto sea de 70 grados. Respuestas: a. T = 79° b. t = 68 minutos Física 131 Carmona-03.indd 131Carmona-03.indd 131 7/13/10 11:25:53 AM7/13/10 11:25:53 AM
  • 132 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 6. Un cuerpo de masa m = 2 kg se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial v0 = 3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar: a. La ecuación del movimiento. b. La velocidad en un tiempo t = 20 seg. c. El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su altura máxima altura. Respuestas: a dv dt k m v g b v g k g k e c t k . . ( ) . + = − = − + + −2 3 2 10 == + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 3 2 1 k k g ln 7. Un cuerpo de masa 14.7 kg se suelta con velocidad inicial de 0.5 m/seg y encuentra una fuerza debida a la resistencia del aire dada por 8 v2 , ha- llar la velocidad para el momento t = 2 segundos. Respuesta: v = 4.23 m/seg 8. Un cuerpo con una masa de 9.7 kg se suelta de una altura de 300 m sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser de 95 m/seg, encontrar: a. La velocidad del cuerpo en un tiempo t. b. La posición del cuerpo en un tiempo t. c. El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 50 m/seg. Respuestas: a v e b x t e t t . ( ) . . ( ) . . = − = + − − − 95 1 95 921 5 1 9 7 9 7 cc t. . seg= 7 24 9. Se deja caer un objeto que pesa 98 kg desde una altura de 50 m con una velocidad inicial igual a cero. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, hallar: a) La velocidad cuando t = 0.25 min. b) La posición del objeto cuando t = 3 seg. c) El tiempo invertido desde que se soltó el objeto hasta que tocó tierra. Respuestas: a v b x c t . . . . . m/seg m seg = = = 147 44 1 3 19 10. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial, hallar la corrien- te en el circuito para un tiempo t = 1/5 seg. Respuesta: I = 0.2992 amperios 11. Un circuito RL tiene una fem de 8 sen 2 t voltios, una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 2 henrios y una corriente inicial de 5 am- perios, hallar la corriente en el circuito cuando t = ␲ 2 seg. Respuesta: I = 0.2779 amperios Carmona-03.indd 132Carmona-03.indd 132 7/13/10 11:25:54 AM7/13/10 11:25:54 AM
  • 12. Un circuito RC tiene una fem de 300 cos 2t voltios, una resistencia de 200 ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios. Inicialmente no hay car- ga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en t = 4␲ seg. Respuesta: I = 0.2779 amperios 13. Hallar la corriente en un circuito RL que tiene un voltaje constante, R = 40 ohmios, y L = 8 henrios. Para t = 0, los valores de E e I son cero vol- tios y 10 amperios, respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que I = 5 amperios. Respuesta: t = 0.14 segundos 14. Un circuito que consta de un condensador y una resistencia se conecta como en la figura: Si lleva una carga q = 0.05 coulombios y el interruptor se cierra cuando t = 0, hallar la carga eléctrica después de 9 segundos si c = 3 × 10−3 fara- dios y R = 103 ohmios. Respuesta: q = 0.0025 coulombios 15. Un objeto que tiene una masa de 4 kg está suspendido de un resorte de peso despreciable. Si el objeto se mueve con velocidad v0 = 3m/seg cuando el resorte está sin alargar, hallar la velocidad cuando se alargue 50 centímetros. Respuesta: v = (18.8 − k/16)1/2 m/seg 16. Un tanque contiene inicialmente 100 L de una solución salina que con- tiene 25 kg de sal. Se vierte agua dulce en el tanque a una velocidad de 4 kg/min, mientras que sale del tanque una solución bien mezclada a la misma velocidad. Hallar: a. La cantidad de sal en el tanque en cualquier momento t. b. El tiempo que se necesita para que haya una cantidad de 10 kg de sal. c. Si t →∞, averiguar la cantidad de sal que queda en el tanque: Respuestas: a Q e b t c Q t . . . min . = = = − 25 22 9 0 25 17. Un depósito contiene inicialmente 200 L de una solución salina que con- tiene 40 kg de sal. En t = 0 se vierte agua en el depósito a una velocidad Figura 3-11. C Física 133 Carmona-03.indd 133Carmona-03.indd 133 7/13/10 11:25:55 AM7/13/10 11:25:55 AM
  • 134 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden de 8 litros por minuto y sale del depósito una solución bien mezclada a 6 litros por minuto. Hallar el tiempo necesario para que haya en el tan- que una cantidad de sal de 10 kilogramos. Respuesta: t = 58.74 minutos 18. Encontrar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilíndrico que tiene un radio de 4 m y una altura de 5 m a través de un orificio redondo con 1/24 m de radio situado en el fondo del tanque. La velocidad de sa- lida del líquido es aproximadamente v gh= 0 6 2. m/seg, donde h es la altura del líquido en el tanque y g la gravedad. Respuesta: t = 4 h 18 minutos 19. Hallar el tiempo que tarda en vaciarse un tanque semiesférico de 2 m de diámetro lleno de agua, si ésta sale por un orificio de 0.1 m de radio que hay en el fondo del tanque, sabiendo que la velocidad de salida de agua por un orificio es la dada en el problema 18. Respuesta: t = 35.16 segundos x r Figura 3-12. r h Δh Figura 3-13. 20. Para ir a su clase un joven recorre un camino en línea recta, de tal mane- ra que su velocidad excede en 3 a su distancia respecto del punto de partida. Si v = 4 cuando t = 0, encontrar la ecuación del movimiento. Respuesta: x = 4et – 3 21. Un tanque cónico de 10 m de altura y 6 m de radio pierde agua por un orificio en su fondo. Si el área de la sección recta del orificio es ¼ m2 , encontrar: Carmona-03.indd 134Carmona-03.indd 134 7/13/10 11:25:55 AM7/13/10 11:25:55 AM
  • a. La ecuación que representa la altura h del agua en un instante cualquiera. b. El tiempo que tarda en vaciarse. Respuestas: a h g t b t . . / / min 9 seg 5 2 5 2 10 125 2 72 2 = − = 22. Un trineo de 50 kg de peso se empuja en línea recta contra el viento con una fuerza de 10 kg. Si la fricción es despreciable, pero la resistencia del aire es, en magnitud, igual al doble de la velocidad del trineo, y si el tri- neo parte del reposo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida al final de 2 segundos. Respuesta: 2.72 m/seg, x = 6.55 m 23. Un tanque cilíndrico que tiene un volumen de 20 m cúbicos está lleno de aire atmosférico que se comprime de un modo adiabático, hasta que su volumen se hace igual a 15 m3 . Calcular el trabajo invertido en la com- presión. NOTA: El proceso adiabático se representa por la ecuación de Poisson: P P V V k 0 0 = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ donde k es una constante para el gas dado. Tomar P0 = 1 atmósfera. Respuesta: W k k k = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ≠ − 20 1 4 3 1 1 1 ; 24. Un tubo de 10 cm de diámetro contiene vapor a 100 °C. Se encuentra aislado con una capa de 3 cm de espesor y conductividad térmica k = 175 × 10−6 cal/cm grado seg. Si la superficie externa del aislante se mantiene a 45 °C, encontrar la pérdida de calor en un metro de longitud del tubo y la temperatura a la mitad del aislante. Respuesta: La pérdida de calor es 12.87 cal/seg. La temperatura para el radio 6.5 es de 69.29 grados centí- grados. 6.5 3 Figura 3-14. Física 135 Carmona-03.indd 135Carmona-03.indd 135 7/13/10 11:25:56 AM7/13/10 11:25:56 AM
  • 136 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Otras aplicaciones EJEMPLO 1 Un banco ofrece 10% de interés compuesto continuamente en una cuenta de ahorros. Determinar el importe del interés ganado en 1 año con un depósito de un millón de pesos. Sea x la suma de dinero al cabo de t años; entonces: dx dt x= 0 10. es la ecua- ción que satisface el problema, cuya solución es: x ce t = 0 1. Y para las condiciones iniciales: t = 0; x = 1000 000 tiene la forma: x = 1 000 000e0.1t Para t = 1, x = 1 105 170.90 se tiene: 1 105 170.90 – 1 000 000 = 105 170.90 es lo que ganó este año. EJERCICIOS 3.6 1. Hallar el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente al doble al 15% por año, con un interés compuesto continuo. Respuesta: t = 4.62 años 2. Un hombre tiene una fortuna que aumenta una tasa proporcional al cua- drado de su capital actual. Si tenía un millón de pesos hace un año y ahora tiene dos millones, determinar: a. La cantidad que tendrá dentro de seis meses. b. La que tendrá dentro de dos años. Respuestas: a. Cuatro millones. b. Infinito. 3. Sea ds dt = 0 4. s la variación de cantidad de dinero s con respecto al tiempo, donde 0.4 representa 40% de interés compuesto durante un año. Calcular: a. El tiempo necesario para que se duplique la cantidad. b. La cantidad inicial, si en 10 años el capital es de dos millones. Respuestas: a. t = 1.733 años. b. s0 = 36 631.28 4. El radio de la Luna es aproximadamente de 1738 km. La aceleración de la gravedad en su superficie es aproximadamente 1.67 m/seg2 . Determi- ne la velocidad de escape de la Luna. Respuesta: ve = 2.4 km/seg 5. Teniendo en cuenta el problema anterior, determinar la velocidad de escape de Marte, Júpiter y Venus, si: Carmona-03.indd 136Carmona-03.indd 136 7/13/10 11:25:56 AM7/13/10 11:25:56 AM
  • Los Bernoulli 137 Planeta Radio (km) * Tierra 6 372 1 Marte 3 389 0.37 Venus 6 195 0.86 Júpiter 69 880 2.64 Donde * representa la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta con respecto a la Tierra. Respuestas: Marte: ve = 4.9 km/seg Júpiter: ve = 59.67 km/seg Venus: ve = 10.21 km/seg La familia Bernoulli fue para la matemática lo que la familia Bach para la música. Entre 1654, fecha de nacimiento de Jacobo, y 1863, año en que murió Juan Gustavo, tataranieto de Juan, hermano del primero, esta familia suiza brindó 12 matemáticos de notoriedad. Sin lugar a dudas, los Bernoulli de más peso fueron Jacobo (1654-1705), Juan (1667-1748) y Daniel (1700-1782), hijo de este último. Debemos a Jacobo el uso de las coordenadas polares, la obtención del radio de curvatura, el estudio de la curva llamada catenaria y muchos más resultados, con- secuencia de la aplicación del cálculo a problemas de física. Los famosos números de Bernoulli, distribución de Bernoulli, lemniscata y polinomio de Bernoulli son obras de Jacobo. Su hermano Juan, maestro reputado y hombre de mal genio, fue aún más prolífico, especialmente en el desarrollo del cálculo que aplicaba indistintamente a problemas de matemáticas o de física. Así es como se encuentran entre sus obras el estudio de la propagación de la luz (reflexión y refracción), de las trayectorias ortogonales a ciertas familias de curvas o de la famosa braquistócrona —la trayectoria de más rapidez para el movimiento de una partícula pesada entre dos puntos—. Jacobo y Juan, a pesar de cierta tensión entre ellos debida a asuntos de prioridad de descubrimientos, intercam- biaron ideas toda su vida. También estaban en relación continua con Leibniz, padre de la herramienta que estaban usando. El tercer gran Bernoulli, Daniel, se interesó más en ciertas ramas de la física como la astronomía, la teoría cinética de los gases —creación suya— y, sobre todo, en la hidrodinámica. Sin embargo, sus trabajos en probabilidad y ecuaciones diferenciales parciales lo colocan también entre los grandes de la matemática. Tal como le había iluminado toda su vida, también ahora el entendimiento iluminó ese instante de la existencia de Juan Gaviota. Tenían razón. Él era capaz de volar más alto. JUAN SALVADOR GAVIOTA, R. BACH Los Bernoulli Daniel Bernoulli (1700-1782) Carmona-03.indd 137Carmona-03.indd 137 7/13/10 11:25:57 AM7/13/10 11:25:57 AM
  • 138 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden El par de amigos Un excursionista, Liborio, camina a la velocidad de 1.6 km/h por la orilla de un río de curso recto con 1 km de ancho. Su amigo, Nicasio, está en la orilla opuesta y se decide a alcanzar a Liborio nadando en todo momento en dirección a él. La velocidad a que nada Nicasio en aguas tranquilas es de 3.6 km/h y la corriente del río es de 1 km/h en sentido opuesto a la marcha de Liborio. Cuando Nicasio alcance a Liborio ¿cuál será la distancia recorrida por éste desde el momento en que Nicasio saltó al agua hasta el momento del alcance? SOLUCIÓN: 0.93 kilómetros. El caracol y el muro Un caracol sube verticalmente por un muro de 12 m de altura. Durante el día sube 2 m y durante la noche resbala, retrocediendo 1 m. ¿Cuántos días tardará en subir al muro, sabiendo que su velocidad promedio es de 16.6 cm por día? SOLUCIÓN: 11 días. Propiedades metafísicas del número 3 Representa el principio de la naturaleza en función, transmutación y manifestación. Según Pitágoras, genera la música, enseña la geometría, es la razón de la virtud y la síntesis del intelecto. Está formado por dos semicírculos que juntos constituyen el círculo completo, símbolo del alma. En la mente humana es creación, conservación y renovación. Numeración hebrea, aproximadamente 300 a. C. PREGUNTA: ¿Cómo construir la pista de patinaje más rápida entre dos puntos? (Bra- quistócrona). (Reto para Jacobo y Juan Bernoulli.) Llegaron a la ecuación que cumplía la máxima rapidez: y y c[ ( ) ]1 2 + =′ ¿Cómo se obtuvo? Con solución: x a= −( )␪ ␪sen ¡Una cicloide! y a= −( cos )1 ␪ ¿Y cómo se llegó a ella? Los libros tejieron, cavaron, deslizaron su serpentina y poco a poco, detrás de las cosas de los trabajos, surgió como un olor amargo con la claridad de la sal el árbol del conocimiento. Fragmento Los libros, PABLO NERUDA 1 5 10 50 100 500 1000 Carmona-03.indd 138Carmona-03.indd 138 7/13/10 11:25:57 AM7/13/10 11:25:57 AM
  • EL PAR DE AMIGOS Consideremos inmóvil la corriente del río y Liborio llevará su velocidad más la del río. V V S b t L N L = + = = = = 1 6 1 2 6 3 6 2 6 / . . . . km/h km/h S tN = 3 6. dy dx b y a x y a x = − − −′( ) == −2 6. t y Como t SN = 3 6. y a x S y y a x S y n n ′ ′ ( ) . . ( ) − = − − = − 2 6 3 6 13 18 Derivando: − + − = + −y a x y y y′ ′′ ′( ) 13 18 1 2 entonces: y y a x ′′ ′ = + − 13 18 1 2 ; sea y z y z′ ′′ ′= → = z z a x dz z dx a x ′ = + − + = − 13 18 1 18 13 1 18 13 2 2 ; ln(zz z a x c z z c a x + + = − − + + + = − − 1 1 2 2 13 18 ) ln( ) ln ( ) / Paraa x y z ca c a= → = → = = ∴ =− 0 0 0 1 13 18 13 18 ′ ; / / z z a x a a x a + + = − = −− − − 1 1 12 13 18 13 18 13 18 13/ / / / ( ) ( ) 118 2 13 18 1 1+ = − −− z x a z( ) / Elevando al cuadrado: 1 1 2 12 13 9 2 13 18 + = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − z x a z z x a / / 2 1 1 1 2 1 13 18 13 9 z x a x a dy dx − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − = − −/ / −− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − x a x a 13 18 13 18 1 / / Integrando: 2 18 5 1 18 31 1 5 18 13 18 y a x a a x a = − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ / / ++ c Para x y= → =0 0 Propiedades metafísicas del número 3 139 y b Figura 3-15. Carmona-03.indd 139Carmona-03.indd 139 7/13/10 11:25:58 AM7/13/10 11:25:58 AM
  • 140 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 0 18 5 18 31 18 5 18 31 = − + + = −a a c y c a a c a= 468 155 Para x = → = = = → =y c a a yL 2 234 155 1 234 155 , pero km km Como t yL L= = = 1 2 6 10 26 234 155 18 31. horas la distancia será t VL L = = = 18 31 1 6 144 155 0 93( . ) . km La braquistócrona Queremos resbalar desde A hasta B, ¿cuánto tiempo tardaremos? De acuerdo con la ley de caída, la velocidad v en cada punto depende solamente de la altura respectiva: v ds dt gx dt ds gx = = =2 2 , Ahora bien, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ds dx dy dx dy dx 2 2 2 2 2 2 1= + = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ddx y) ( )2 2 1+ ′ Elevando a la potencia ½: ds dx y dt y gx dx= + = + 1 1 2 2 2 ′ ′ entonces: Integrando, se obtiene el tiempo total de caída desde A a B: t g y x dx x = + ∫ 1 2 1 2 0 ′ Para diferenciales pequeños la curva puede sustituirse por la cuerda, entonces: y t g ′ = = tan␣ 1 1 2 11 1 2 2 + = − − ∫ ∫ tan cos ␣ ␣x dx g dx xx h x x h x Añadamos otro diferencial, donde similarmente: t g dx xx x h 2 1 2 = + ∫cos␤ Sumando: t g dx x g dx xx h x x x h 1 2 1 2 1 2 2 2 + − + = + = ∫ ∫cos cos cos ␣ ␤ ␣ gg x x h g x h x− −( )+ + −( )2 2cos␤ Figura 3-16. A(0, 0) B(x, y) y y1 y2 x y x − h h x x + h dy dx dx ␣ ␤ Carmona-03.indd 140Carmona-03.indd 140 7/13/10 11:25:59 AM7/13/10 11:25:59 AM
  • Derivando en función de los ángulos e igualando a cero para obtener un mínimo: 2 2 2 22 2 x x h g d x h x g d − −( ) + + −( ) cos cos␣ ␣ ␣ ␤ ␤ ␤sen sen == − −( ) = − +( ) 0 2 2 sen sen x x h x x h d ␣ ␣ ␤ ␤ ␤ cos cos También tenemos: tan tan␣ ␤= − = −y y h y y h 1 2 Sumando: tan tan␣ ␤+ = − + −y y y y h 1 2 h y y(tan tan )␣ ␤+ = − =2 1 constante Diferenciando sec sec2 2 0␣ ␣ ␤ ␤d d+ = y d d␣ ␣ ␤ ␤cos cos2 2 = − de donde x x h x h x− −( ) = + −( )sen sen␣ ␤ Multiplicando y dividiendo por el factor apropiado: x x h x x h x x h x h x x h x x h x − −( ) + −( ) + − = + −( ) + +( ) + + sen␣ ssen␤ sen sen␣ ␤ x x h x h x+ − = + + ; esta relación debe permanecer constante; por ejemplo, igual a 1 2␣ Tomando h suficientemente pequeño: sen sen␣ ␤ 2 2x x = de ahí que: sen sen␣ ␤= dy x ds= 2␣ como ds y dx= +1 2 ′ entonces y x y′ ′= + 2 1 2 ␣ de donde y x x ′ = −2␣ o sea: x x( )1 22 + =′ ␣ La braquistócrona 141 Carmona-03.indd 141Carmona-03.indd 141 7/13/10 11:26:00 AM7/13/10 11:26:00 AM
  • 142 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Cambiemos los ejes de coordenadas para que la ecuación adopte el aspecto clásico: y y c dy dx c y y y c y dy dx ( )1 2 + = = − − = ′ Sea: dx dy = tan␣ entonces, tan␣ ␣= − = y c y y y csen2 Diferenciando: dy c d dx dy c = = = 2 2 sen sen ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ ␣ cos tan tan ( cos␣␣ ␣ ␣ ␣ ) ( cos ) d c d= −1 2 Integrando: x c y c c c = − = = − = − 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( cos ) ( co ␣ ␣ ␣ ␣ sen sen ss )2␣ Tomando c a y 2 2 0= =␣ tenemos: x a y a = − = − ⎫ ⎬ ⎭ ( ) ( cos ) ␪ ␪ ␪ sen 1 ecuaciones paramétricas de la cicloide x dy dx y α Figura 3-17. Carmona-03.indd 142Carmona-03.indd 142 7/13/10 11:26:01 AM7/13/10 11:26:01 AM
  • HORIZONTALES 1. Matemático frances (1713-1765) autor de: Teoría de la forma de la Tierra, basada en los principios de la hidros- tática. Tosco, inculto, grosero. 2. Lenguaje hablado antiguamente en Francia. Letras de pira en desorden. Metal precioso. 3. Símbolo del nitrógeno. Introduciré, fundare. Símbolo de la aceleración de la gravedad. 4. Palabra latina que significa: dada. Atormentar, afligir. 5. (Al revés). Segunda letra del alfabeto. Dudosa, insegura, indecisa. Sociedad anónima. 6. Fruto del nogal. ABONA en desorden. (Al revés). Cami- no, carril de hierro. 7. Existir. Símbolo del argón. Nombre de varón. Vocal. 8. Símbolo del aluminio. Fuerza que atrae los cuerpos al centro de la Tierra. Símbolo del azufre. 9. Parte resguardada artificialmente en aguas navegables. Dios de la mitología egipcia. 10. Símbolo del oxígeno. Época, temporada de larga dura- ción. Infusión. Obra tejida de muchos hilos. 11. Dificultad que opone un conductor al paso de la corriente. Contracción de preposición y artículo. VERTICALES 1. Aparato para acumular electricidad. 2. Símbolo del litio. Madre del padre o de la madre. Vocal. 3. (Al revés). Flor del tilo. Terminación de infinitivo. Ani- mal doméstico. 4. Vocal. Planta gramínea. Letras de la palabra: gris. 5. En paz descanse, en latín. Exponente de una potencia in- determinada. Superficies. 6. Tranquilizarán, calmarán. Consonante. 7. Metal muy denso y radiactivo. Poeta. 8. Recta que toca a una curva en un punto. Preposición. 9. Aturdido, avergonzado. Símbolo del carbono. 10. Símbolo del número atómico. Con cuernos o astas (feme- nino, plural). Vocal. 11. Arteria principal. Publica, imprime. 12. Calenté, fastidié. Vocales. Nota musical. 13. Satélite de Júpiter descubierto por Galileo el 7 de enero de 1610. De esta manera. General romano y dictador oponente de Mario. 14. Vocal. Peligroso, enfermo, serio. Cloruro sódico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La braquistócrona 143 Carmona-03.indd 143Carmona-03.indd 143 7/13/10 11:26:02 AM7/13/10 11:26:02 AM
  • Carmona-03.indd 144Carmona-03.indd 144 7/13/10 11:26:02 AM7/13/10 11:26:02 AM
  • Definiciones básicas 145 Ecuaciones diferenciales de orden superior Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden Ecuaciones diferenciales lineales Principio de superposición o linealidad Dependencia e independencia lineal Wronskiano Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes Ecuación de Cauchy-Euler Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden Método de coeficientes indeterminados para obtener yp Leonard Euler (1707-1783) 4 Carmona-04.indd 145Carmona-04.indd 145 7/13/10 10:28:36 AM7/13/10 10:28:36 AM
  • 146 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Introducción Euler se preguntó si no habría una forma más práctica para la expresión eix . ¿Cómo procedió? Sea z = ix, entonces, e e z n ix z n = = ∑ ! Por tanto, ix n ix x ix x ix x ixn ( ) = + − − + + − − ! ! ! ! ! ! 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 77! ...+∑ Puesto que: i2 =−1; i3 =−i; i4 =1; i5 =i; etcétera. Entonces, e x x x i x x x xix = − + − + + − + − +1 2 4 6 3 5 7 2 4 6 3 5 7 ! ! ! ! ! ! … ... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ En donde reconocemos las series de dos importantes funciones trigonométricas, de ahí que: eix = cos x + i sen x Similarmente: e− ix = cos x − i sen x Estas son las famosas fórmulas de Euler que vamos a necesitar en este capítulo. Además, veremos algunas ecuaciones de orden superior a dos. Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden Dada la ecuación diferencial lineal de segundo orden y f x y g x y′′ ′+ + =( ) ( ) 0 es natural suponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la ecuación. De hecho, así se realizará, sólo que se utilizará el cambio z y z y= → =′ ′ ′′ para que las constantes de integración aparezcan en su momento. EJEMPLO 1 Dada la ecuación xy y′′ ′= , reducirla a una ecuación de primer orden y en- contrar su solución. Sea z y z y= → =′ ′ ″ la ecuación es, entonces, xz z′ = de primer orden. Integrando: dz z dx x = ln z = ln x + ln c o sea, z = c1xdx Como z y dy c xdx= → =′ 1 , entonces, y c x c= +1 2 2 2 . Es la solución general de la ecuación lineal de segundo orden. Comprobación: derivando la solución y c x y c ′ ″ = = 1 1 pero c y x y y x xy y1 = → = = ′ ″ ′ ″ ′y Carmona-04.indd 146Carmona-04.indd 146 7/13/10 10:28:36 AM7/13/10 10:28:36 AM
  • Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden 147 EJEMPLO 2 Veremos algunas ecuaciones de segundo orden en las que no aparece explí- citamente la variable independiente x, que pueden reducirse a primer orden y resolverse. Se hace la siguiente transformación: Sea y z y d y dx dz dx ′ ″ ′ = → = = ( ) Usando la regla de la cadena: y dz dy dy dx dz dy z″ = = entonces, en este caso, usaremos: y z y z dz dx ′ ″ = = Aplicando al siguiente ejemplo: y yy y z dz dy yz z ″ ′ ′− = − = dividiendo entre z: dz dx y dz y dy z y y c = + = + = + + 1 1 2 2 1 ( ) o sea, dy dx y y c= + + 2 1 2 dy y y c dx dy y y c dx 2 1 2 1 2 2 2 2 + + = + + = Completando el cuadrado en el denominador y tomando 2c1 −1 = c1 2 : 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 dy y c dx c y c x c y c +( ) + = + = + + = − tan tan(( ) tan( ) c x c y c c x c 1 2 1 1 2 1 + = + − Se comprueba como en el ejemplo anterior. Carmona-04.indd 147Carmona-04.indd 147 7/13/10 10:28:38 AM7/13/10 10:28:38 AM
  • 148 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJERCICIOS 4.1 Reducir el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales y resolverlas: Respuestas 1. xy y″ ′+ = 0 y c x c x y y = + − − = 1 2 1 0 ln ( )2. ″ ′ y c x c x c x y x = − + + = 1 2 1 2 2 2 13. ″ y x x x c= − + + +ln ( )1 1xx c x y y + + = 2 14. ( ) ″ ′ y c x c x c xy y x = + + − = 1 2 1 2 2 5. ″ ′ y x x c x = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 2 1 2 1 2 ln 22 2 2 2 + = c y y y 6. ″ ′ y c ec x = 2 1 7. yy y y ″ ′+ =2 0 22 1 2 3 2 2 0 = + − ( ) = c x c y y y8. ″ ′ 2 y c y c x yy y 3 1 2 2 3 1 + = − = +9. ″ ′ y c x c c = + +1 2 2 14 1 ( ) 10. (( )y y y y c− = =1 2 2″ ′ ee xy y xy c x1 1+ + =11. ″ ′ ′ y c x x x x c y = + + + + +1 2 3 2 4 18 [ln ...] 12. ″ ttanh cosh3 3 0 1 3 1x y y c− = =′ 33 4 0 2x c xy y + + =13. ″ ′ y c x c y y = + + = 4 3 4 0 1 3 4 2 / 14. ″ ′ y c e c xy x = +− 1 4 2 / 15. ″″ − = =3 0 1 2 2 x y x33 1 2 2 0 + + − = c x c y xy16. ′ ″ y c x c y y = + + = 1 3 2 3 3 2 017. ″ ′ y x c c= + + + 2 2 1 2 18. csc xxy y x″ = = +0 2 sen cc x c y y y 1 2 2 + =19. ″ ′ y c c x c= +1 1 2tan( ) 20. y xy′ − 4 ″ = 0 y c x c y y = + − = 4 5 2 0 1 5 4 2 2 / 21. ′ ″ y x c c= − + +2 1 2ln( ) Carmona-04.indd 148Carmona-04.indd 148 7/13/10 10:28:38 AM7/13/10 10:28:38 AM
  • y e=2 2 22. ″ xx y x y′2 4= − [ cc c e c c xy y x 1 1 2 1 2 1 2 − + + = ln( )] 23. 6 ″ ′ y c x c= + 6 7 1 7 6 2 / 244. yy y y″ ′ ′− = 2 y e y y x = − + = − = − 2 1 0 1 0 0( ) ; ( )′ Elegir la opción que contiene la solución de las ecuaciones de segundo orden reducibles a primer orden. 25. yy y a y c e c b x ″ ′= + = + 2 1 2. .. . . y c e c y e c d c x c x = = + 2 2 1 1 x y c y x c yy y a 2 1 2 2 2 1 + = − + + =26. ″ ′ . yy x c b y c x c y 2 2 2 2 1 2 2 = + = +. . == − = +( ) = x d y c x c y xy 2 2 1 2 2 2 4 . 27. ″ ′ a y c x c c. tan= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +−8 1 1 1 2 bb y c x c c y . tan . ln( = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = −8 8 1 1 1 xx c d y x c c y y + = + + = 1 1 28 1 3 ) . ln( ) 28. ″ ′′coth . cosh 3 1 3 3 1 x a y x c x= + b y c x c c y . cosh . cosh = + = 1 23 1 3 33 3 3 1 2 1 2 x c x c d y c x c + + = − +. cosh Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden 149 Carmona-04.indd 149Carmona-04.indd 149 7/13/10 10:28:39 AM7/13/10 10:28:39 AM
  • 150 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 29. − = = − +− y y x a y x c x ″ ′2 1 1 4 1 2 . b y x c c y c . / ( ) . = + = 1 2 1 2 1 1 ttan . − − + = − + + 1 1 2 1 1 2 2 1 2 x c c d y x c x c 30. paray yy y y′ ″ ′2 1 2 0 1 0 1= = − =( ) ; ( ) a y c x c b y x . . = − + = 1 3 1 2 3 −− = + = − 1 3 1 2c y c x c d y . . 11 1x + Respuestas: 25. b. La a y c están incorrectas porque se aplicaron mal las leyes logarít- micas y exponenciales. La d está mal porque tomó z′ =y″ y se resol- vieron de manera errónea las integrales, sin separar las variables y tomando algunas variables como constantes. 26. d. Las tres opciones restantes usan inadecuadamente las constantes de integración. 27. a. Las opciones b y c no tienen la constante c2 y además el integrado en C se tomó como 1 1x c+ . Este último error perdura en la opción d. 28. b. La opción a no respeta las leyes logarítmicas. La opción c tampoco y la d tiene el signo x y del cosh x son ambas positivas. 29. c. La opción a presenta la constante de integración de la primera inte- gral como sumando, en vez de divisor y le falta la segunda constante correspondiente a la segunda integral. La opción b es y′ en lugar de y. La opción d tiene el error de la constante c1 de la opción a. 30. d. La opción a presenta la solución general, sin aplicar las condiciones iniciales. La opción b supone correcta la solución que presenta la opción c y le aplica las condiciones iniciales. La opción c contiene un error de separación de variables. Carmona-04.indd 150Carmona-04.indd 150 7/13/10 10:28:39 AM7/13/10 10:28:39 AM
  • Ecuaciones diferenciales lineales Definición 4.1 Ecuaciones diferenciales lineales. Son de la forma: a x d y dx a x d y dx a x dy dx an n n n n n ( ) ( ) ( )+ + + +− − −1 1 1 1 00 ( ) ( )x y h x= con condiciones iniciales: y(x0) = y0 y′(x0) = y′0 y″(x0) = y″0 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ y(n − 1) (x0) = y0 (n − 1) donde y0, y′0, …, y0 (n − 1) son constantes arbitrarias. Para n = 2, tenemos: a2y″ + a1y′ + a0y = h(x) con y(x0) = y0 y′(x0) = y′0 dividiendo la ecuación por a2: y a a y a a y h x a ″ ′+ + =1 2 0 2 2 ( ) como ai, i = 0, …, n son funciones de x, podemos escribir: y f x y g x y x″ ′+ + =( ) ( ) ( ) que es la forma general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Si r(x) = 0 la ecuación se llama lineal homogénea. Si r(x) ≠ 0 la ecuación se llama lineal no homogénea. Ecuaciones diferenciales lineales 151 Carmona-04.indd 151Carmona-04.indd 151 7/13/10 10:28:40 AM7/13/10 10:28:40 AM
  • 152 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Las funciones f(x) y g(x) se llaman coeficientes de la ecuación. EJEMPLO 1 La ecuación xy x y x y x″ ′+ − =5 122 2 presentada en su forma más simple: y xy x y″ ′+ − =5 122 es una ecuación diferencial lineal no homogénea. La ecuación y xy x y″ ′+ − =5 02 es una ecuación diferencial lineal homogénea. Una ecuación diferencial de segundo orden que no pueda escribirse en la forma y f x y g x y r x″ ′+ + =( ) ( ) ( ) es no lineal. EJEMPLO 2 Son ecuaciones no lineales: y f x y y g x y y y y y x y y ″ ′ ″ ′ ″ ′ + + = + − = = − ( ) ( ) ( ) 0 4 2 1 2 Definición 4.2 La función y = h(x) se llama solución de la ecuación diferencial lineal (o no lineal) si está definida y es derivable n veces en algún intervalo de tal ma- nera que al sustituirla en la ecuación (junto con sus derivadas) se obtenga una identidad. EJEMPLO 1 Las funciones y = ex y y = e−x son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea: y″ − y = 0, para toda x. Así: y = ex y′ = ex y″ = ex Sustituyendo en la ecuación dada, ex − ex = 0. De modo similar para: y = e−x y′ = e−x y″ = e−x Sustituyendo: e−x − e−x = 0. Carmona-04.indd 152Carmona-04.indd 152 7/13/10 10:28:41 AM7/13/10 10:28:41 AM
  • Principio de superposición o linealidad Teorema 1. Principio de superposición o linealidad Sean y1(x) y y2(x) soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea y″ + f(x)y′ + g(x)y = 0 en un intervalo, entonces, y = c1y1(x), y = c2y2(x) y y = c1y1(x) + c2y2(x) son también solución en el intervalo. Donde c1, c2 ⑀ R. DEMOSTRACIÓN: y′ = c1y′1 + c2y′2 y y″ = c1y″1 + c2y″2 Entonces, y py qy c y c y p c y c y q c y″ ′ + ″ ′+ = + + + +( ) ( ) (1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ++ = + + c y c y c y p 2 2 1 1 2 2 ) ( ) (″ ″ cc y c y q c y c y1 1 2 2 1 1 2 2′ ′+ + +) ( ) = + + + + +c y py qy c y py qy1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( )″ ′ ″ ′ = + =c c1 20 0 0ؒ ؒ como y1 y y2 son soluciones, y = c1y1 + c2y2 es también solución. COROLARIO: Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre tiene una solución y ≡ 0, conocida como la solución trivial de la ecuación. NOTA: Este teorema no se aplica si la ecuación no es homogénea (vea ejemplo 2) o no es lineal (vea ejemplo 3). EJEMPLO 2 Las funciones y = ex − 1 y y = e−x − 1 son soluciones de la ecuación diferen- cial lineal no homogénea: y″ − y = 1, pero las funciones: y = ex + e−x − 2 y y = 3(ex − 1) no son soluciones de esta ecuación. EJEMPLO 3 Las funciones y2 = 2x y y2 = 4 son soluciones de la ecuación diferencial no lineal: y y″ + y′2 = 0 sin embargo, la función y x= +2 2 no es solución. EJEMPLO 4 Tomando las soluciones de la ecuación diferencial del ejemplo 1, probare- mos que la función y = c1ex + c2e−x es solución de y″ − y = 0. Derivando y: y′ = c1ex − c2e−x y″ = c1ex − c2e−x Principio de superposición o linealidad 153 Carmona-04.indd 153Carmona-04.indd 153 7/13/10 10:28:42 AM7/13/10 10:28:42 AM
  • 154 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Sustituyendo en la ecuación diferencial: c1ex + c2e−x − c1ex − c2e−x = 0. EJEMPLO 5 Las funciones y e x y e xx x 1 3 32= =cos y sen son soluciones de la ecua- ción diferencial homogénea: y″ − 2y′ + 4y = 0 Y y e A x B xx = +( cos )3 3sen también es solución. Verificamos derivando esta función y sustituyéndola en la ecuación diferen- cial dada: y e A x B x e A x Bx x ′ = − + + +( ) (3 3 3 3 3 3sen cos cos sen xx y e A x B x e A xx x ) ( ( )″ = − − + − + 3 3 3 3 3 3 3 cos sen sen BB x e A x B x e A x x x ) ( ) ( cos sen cos cos 3 3 3 3 3 3 + − + + ++ → − − − B x A e x B e x A ex x x ) cos sen sen s 3 3 3 3 3 3 een cos sen cos 3 3 3 3 3 3 3 x B e x A e x B e xx x x + − + + cosAe x Be x A e x B e x x x x 3 3 2 3 3 2 3 + + − sen sen ccos cos sen cos 3 2 3 2 3 4 3 x A e x B e x A e x x x x − − + + 44 3 0 3 3 3 3 2 3 2 4 B e x e x A B B A B A x x cos ( sen = − + + + − − + AA e x B A A B A B Bx ) ( )+ − + − + + − + =sen 3 3 3 3 2 3 2 4 0 ∴ Sí es solución. Dependencia e independencia lineal Definición 4.3 Dependencia lineal. Dos funciones y1(x), y2(x) son linealmente dependien- tes en un intervalo abierto, donde ambas están definidas, si son proporcio- nales en dicho intervalo, esto es, si y1 = k1y2 o y2 = k2y1 donde k1 y k2 son constantes ≠ 0. Definición 4.4 Independencia lineal. Si y1(x) y y2(x) no son proporcionales en el intervalo son linealmente independientes en el mismo. Carmona-04.indd 154Carmona-04.indd 154 7/13/10 10:28:42 AM7/13/10 10:28:42 AM
  • CONSECUENCIA: Las funciones y1(x) y y2(x) son linealmente dependientes en un intervalo ↔ el cociente y1/y2 es una constante en el intervalo. Si y1/y2 depende de x en el intervalo →y1 y y2 son linealmente independientes en él. Definición 4.5 Las funciones y1(x), y2(x), ..., yn(x) son linealmente dependientes en el inter- valo (a, b) si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras. En caso contrario, las funciones son linealmente indepen- dientes. EJEMPLO 1 Las funciones: y e y ex x 1 2 2 1 4 2 = =− − y son linealmente dependientes, puesto que y y e e x x 1 2 2 1 4 2 4= = − − y que es una constante. Las funciones: y1 = e−2x y y2 = e2x son linealmente independientes, puesto que: y y e e e x x x1 2 2 2 4 = = − − , que no es una constante. Teniendo en cuenta el principio de superposición podemos concluir que las funciones linealmente independientes entre sí pueden formar una combina- ción lineal del tipo: y = c1 y1 + c2 y2 La base o sistema fundamental de solución de una ecuación diferencial en un intervalo está formado por n soluciones linealmente independientes. EJEMPLO 2 y = c1 e−2x + c2 e2x es solución de la ecuación diferencial y″ − 4y = 0, y como e−2x y e2x son fun- ciones linealmente independientes (vea ejemplo 1) forman un sistema funda- mental de soluciones en el intervalo −∞ < < ∞x . EJEMPLO 3 y c x c x= +1 2 es una posible solución de y″ + xy′ − y = 0 que consta de dos funciones: y c x y c x1 1 2 2= =, Estas funciones son linealmente dependientes en x > 0; se puede elegir c1 = −c2; pero son linealmente independientes en el intervalo −∞ < < ∞x , pues basta encontrar un punto en los reales en donde una de ellas no es múltiplo de la otra o elegir c1 = 0 y c2 = 0. Dependencia e independencia lineal 155 Carmona-04.indd 155Carmona-04.indd 155 7/13/10 10:28:43 AM7/13/10 10:28:43 AM
  • 156 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior ∴y1 y y2 forman una base o sistema fundamental de soluciones de la ecua- ción dada. EJEMPLO 4 y = c1lnx + c2lnx3 consta de las funciones lnx y lnx2 que son linealmente de- pendientes en el intervalo 0 < < ∞x ; por tanto, no son base o sistema funda- mental de soluciones. Veamos: ln ln ln ln x x x x3 3 3 1 3 = = = constante en 0,∞( ) . Definición 4.6 Sean y1, y2, y3, …, yn, funciones que admiten derivadas hasta el orden (n − 1), continuas en el intervalo a ≤x ≤b. W y y y y x y x n( , ,..., ) ( ) ( ) 1 2 1 2 = .... ( ) ( ) ( ) .. y x y x y x n 1 2′ ′ .. ( ) . y xn ′ . . yy x y x yn n n n 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...− − − (( )x se llama wronskiano de estas funciones. Wronskiano EJEMPLO 1 Hallar el wronskiano de las funciones: y x x y x x y x W y y 1 2 3 1 2 1( ) cos , ( ) , ( ) , ( , , = = =sen yy x x x3 1 ) cos = sen sen− cos cos sen sen cox x x x0 0 2 − − = + ss2 1x = Para el caso de tres funciones: W y y y y y y ( , , )1 2 3 1 2 3 = y1′ y2′ y3′ y1″ y2″ y3″ Carmona-04.indd 156Carmona-04.indd 156 7/13/10 10:28:43 AM7/13/10 10:28:43 AM
  • El wronskiano se usa para determinar si dos o más funciones son linealmente dependientes o independientes. Teorema 2 Sean f(x) y g(x) funciones continuas en [a, b]. Sean y1(x), y2(x) dos soluciones en [a, b] de y f x y g x y″ ′+ ( ) + =( ) 0, entonces, y1 y y2 son linealmente indepen- dientes en a b W y y x, ( , )( )⎡⎣ ⎤⎦ ↔ ≠1 2 0 para toda x a b∈⎡⎣ ⎤⎦, . Este teorema se puede generalizar para ecuaciones diferenciales de orden n. EJEMPLO 2 Hallar el wronskiano de las funciones: y x e y x e y e W y y y x x x 1 5 2 3 2 1 2 3 ( ) , ( ) , ( , , ) = = = = − e e e e x x x x − − − 5 2 5 5 ee e e e e x x x x x 2 4 2 5 2 25− − == − 42e x2 EJEMPLO 3 Hallar el wronskiano de las funciones: y x y x y x W 1 2 3 2 2 = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =cos ; ; ␲ ␲ sen sen yy y y x x 1 2 3 2 2 , , cos ( )= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +sen ␲ ␲⎛⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ sen sen c x x ␲ 2 oss os cos x x x + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ␲ ␲ 2 2 c seen senx x+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − = ␲ 2 0 porque el primero y el último renglones son proporcionales. EJEMPLO 1 Las funciones de los anteriores ejemplos 1 y 2 son linealmente independien- tes en ( , )−∞ ∞ ; las funciones del ejemplo 3 son linealmente dependientes en ( , )−∞ ∞ , porque si tomamos c1 = 1; c2 = 0 y c3 = −1→ (1) sen x + (0) cos x + (−1)sen x = 0. Como encontramos c c1 3 0≠ ≠ →0 y son linealmente dependientes en el intervalo. NOTA: cos cosx x y x− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ␲ ␲ 2 2 sen sen xx Wronskiano 157 Carmona-04.indd 157Carmona-04.indd 157 7/13/10 10:28:44 AM7/13/10 10:28:44 AM
  • 158 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Una secuencia en Mathematica que indaga si el conjunto de funciones y1 = 1 −2sen2 x; y2 = cos2x es linealmente dependiente o independiente es: rowone={1-2Sin[x]2 ,Cos[2x]} {1-2Sin[x]2 ,Cos[2x]} rowtwo=D[rowone,x] {-4Cos[x]Sin[x],-2Sin[2x]} matrix={rowone,rowtwo};MatrixForm[matrix] 1-2Sin[x] Cos[2x] -4Cos[x]Sin 2 [[x] -2Sin[2x] ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ wronskian=Det[matrix] 4Cos[x]Cos[2x]Sin[x]-2Sin[2x]+4Sin[x]2 Sin[2x] Expand[wronskian,Trig→True] 0 El wronskiano puede ser cero, aun cuando las funciones consideradas en un cierto intervalo sean linealmente independientes en él. EJEMPLO 2 Dadas las funciones y x x x y x x1 2 2 ( ) = ( ) =y , probar que son linealmente independientes en − ≤ ≤1 1x , aunque su wronskiano es igual a cero. y x x x x x 1 2 2 0 1 1 ( ) = ≤ ≤ − − ≤ si si << ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ = − ≤ ≤ 0 1 12 2 y x x x( ) si En [−1, 0] W y y x x x x ( , ) [ , ] 1 2 2 2 2 2 0 0 1 = − − = En WW y y x x x x W y y ( , ) ( , 1 2 2 2 1 2 2 0= = → 22 0) = en el intervalo − ≤ ≤1 1x . Vamos a suponer que son linealmente dependien- tes en el intervalo, entonces debemos encontrar dos constantes c1 y c2 no ambas cero, tales que: Figura 4-1. y x 3 2 1 0 0 1 2−1−2 −1 −2 y2 = x2 y1 = x2 y1 = −x2 Carmona-04.indd 158Carmona-04.indd 158 7/13/10 10:28:45 AM7/13/10 10:28:45 AM
  • c x x c x x x c 1 2 2 1 0 1 1 1 0 + = − ≤ ≤ → − ≤ ≤ − en en xx c x x c c x 2 2 2 2 1 20 0 0 1 + = − + = ≤ ≤ , ( ) en c x c x x c c1 2 2 2 2 1 20 0+ = + =, ( ) Para c c1 20 0≠ ≠o este resultado es imposible. Esto prueba que las funcio- nes son linealmente independientes en − ≤ ≤1 1x . EJEMPLO 3 Dadas las funciones y x x x y x x1 2 2 ( ) ( )= =y probar que son solución de la ecuación diferencial x y y2 2 0″ − = . Para x > 0. → = + = + = + y c x c x y c x c x y c c 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ′ ″ Sustituyendo en la ecuación diferencial: 2 2 2 2 01 2 2 2 1 2 2 2 c x c x c x c x+ − − = , sí es solución Para x < 0. → = − + = − + = − + y c x c x y c x c x y c c 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ′ ″ 22 Sustituyendo en la ecuación diferencial: − + + − =2 2 2 2 01 2 2 2 1 2 2 2 c x c x c x c x , sí es solución. ∴ =y c x x c x1 2 2 + , es la solución general. Además, acabamos de ver que son linealmente independientes y su W = 0; esto parece contradecir al teorema; sin embargo, observamos que la hipóte- sis del mismo no se cumple en este caso, puesto que g(x) no es continua en un punto del intervalo; despejando y″ de nuestra ecuación: y x y″ − = 2 02 → = −g x x ( ) 2 2 es discontinua en x =0. Por lo tanto, no se puede aplicar dicho teorema. EJEMPLO 4 Hallar la dependencia o independencia lineal de las siguientes soluciones de y″+4y = 0. y1 = cos2 x; y2 = cos2 x − sen2 x Wronskiano 159 Carmona-04.indd 159Carmona-04.indd 159 7/13/10 10:28:46 AM7/13/10 10:28:46 AM
  • 160 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJERCICIOS 4.2 Usando el principio de superposición, probar si las funciones dadas son solu- ción de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. y c e y c xe y y yx x 1 1 2 2 2 0= = + + =− − , de ″ ′ Respuesta: sí. 2. y c e y c xe y y y ex x x 1 1 2 2 2= = − + =, de ″ ′ Respuesta: no, porque no es homogénea. 3. y c e x y c e x y y yx x 1 1 2 22 2 2 5= = + +− − cos , sen de ″ ′ == 0 Respuesta: sí. 4. y c e x y c e x y y yx x 1 1 2 22 2 2 5= = − + =cos , csen de ″ ′ oos2x Respuesta: no, porque es homogénea. 5. y c e y c e y y yx x 1 1 2 2 2 5 10 3 0= = − =−/ / , de ″ ′ − Respuesta: sí. 6. y c e y yy yx x 1 1 2 2 2 1= = =, de ″ ′ Respuesta: no, porque no es lineal. En los siguientes ejercicios, elegir la opción que contiene la solución de la ecuación diferencial dada, usando el principio de superposición para verificarla. 7. x y xy y2 1 4 0″ ′+ − = a. y c x y c x y c x y c x y 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 3 2 2 2 1 2 = = = = − − / / / / , , 11 1 1 2 2 2 3 2 1 1 3 2 2 2 3 2 = = = = − − c x y c x y c x y c x / / / / , , b. c. d. 8. y y y″ ′ +− =2 0 a. y c e y c e y c e y c e y c e y x x x x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = = = = = − , , , 22 2 1 1 2 2 2 = = = c xe y c e y c e x x x , b. c. d. 9. y″ −y = 0 a. y c e y c e y c xe y c xe y c e x x x x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = = = = = − , , , , y c e y c e y c e x x x 2 2 3 1 1 2 2 2 = = = b. c. d. → = − = = y y x x x x x 1 2 2 2 2 2 2 1 cos cos cos cossen El cociente es constante en ( , )−∞ ∞ ; entonces, las funciones son linealmente dependientes en el intervalo (en realidad es la misma solución). Carmona-04.indd 160Carmona-04.indd 160 7/13/10 10:28:47 AM7/13/10 10:28:47 AM
  • 10. y″ −3y′ + 2y = 0 a. y c e y c e y c e y c e y c e x x x x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = = = = = − − − , , , , y c xe y c e y c e x x x 2 2 1 1 2 2 2 = = = b. c. d. 11. y″ +y = 0 a. y c x y c x y c x y c 1 1 2 2 1 1 2 2 = = = = sen sen , tan , cosxx y c x y c x y c x x y c x 1 1 2 2 1 1 2 2 = = = = cos , tan ,sen b. c. d. 12. x2 y″ +4xy′ + 2y = 0 a. y c x y c x y c x y c x y c x 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 = = = = = − − − , , , yy c x y c x y c x 2 2 2 1 1 2 2 2 = = = − , b. c. d. 13. y″ +4y = 0 a. y c x x y c x y c x y c x 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 = = = = sen sen , cos , coss , cos , 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 x y c x x y c x x y c x y = = = = sen sen cc x2 2cos b. c. d. 14. y″ − 2y′ + 2y = 0 a. y c x y c x y c e x y c x y x 1 1 2 2 1 1 2 2 = = = = sen sen , cos , cos 11 1 2 2 1 1 2 2 = = = = c e x y c e x y c x y c e x x x sen sen , cos , coosx b. c. d. 15. x2 y″ + 4xy′ + 2y = 0 a. y c e x y c x y c e y c e x x x 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3= = = = sen , cos , cos33 3 1 1 2 2 1 1 2 2 x y c x y c e y c e x y c e x x x = = = = sen sen , , coos3x b. c. d. Respuestas: 7. a. 8. c. La opción b no puede formar una base de soluciones porque son LD, de hecho, es la misma solución. Las opciones a y d dan soluciones que pertenecen a otra ecuación diferencial. Los errores de los si- guientes ejercicios son similares. 9. a. 10. d. 11. b. 12. b. 13. d. 14. c. 15. d. Wronskiano 161 Carmona-04.indd 161Carmona-04.indd 161 7/13/10 10:28:49 AM7/13/10 10:28:49 AM
  • 162 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Averiguar si las funciones dadas a continuación son linealmente indepen- dientes (LI) o linealmente dependientes (LD) en su dominio, usando las defi- niciones 4.3, 4.4 y 4.5. 16. 1, x, 2x LD 17. 7, x2 LI 18. x −3, x +3 LI 19. 6, x − 3, x +3 LD 20. 1, 4, x, x2 LD 21. 1, x−1 , x−2 LI 22. ex , e−x LI 23. ex , e2x , e3x LI 24. e−x , xe−x , x2 e−x LI 25. 1, x, ex LI 26. e3x , 4e3x LD 27. lnx2 , lnx3 LD 28. x2 , e2lnx LD 29. lnx, xlnx, x2 lnx LI 30. sen2x, cos2x LI 31. senx cosx, sen2x LD 32. 1, sen2 x, cos2 xLD 33. sen2 x, cos2 x LI 34. 1, sen−1 x, cos−1 x LD 35. coshx, ex , e−x LD 36. 1, senh2 x, cosh2 x LD Encontrar el wronskiano de las funciones de los ejercicios 37 a 57. 37. W(1, x, 2x) = 0 38. W(7, x2 ) = 14x 39. W(x −3, x +3) = −6 40. W(6, x − 3, x +3) = 0 41. W(1, 4, x, x2 ) = 0 42. W(1, x−1 , x−2 ) = −2x−6 43. W(ex , e−x ) = −2 44. W(ex , e2x , e3x ) = −7e6x 45. W(e−x , xe−x , x2 e−x ) = 2e−3x 46. W(1, x, ex ) = ex 47. W(e3x , 4e3x ) = 0 48. W(lnx2 , lnx3 ) = 0 Carmona-04.indd 162Carmona-04.indd 162 7/13/10 10:28:49 AM7/13/10 10:28:49 AM
  • 49. W(x2 , e2lnx ) = 0 50. W(lnx, xlnx, x2 lnx) = 2ln3 x 51. W(sen2x, cos2x ) = −2 52. W(senx cosx, sen2x ) = 0 53. W(1, sen2 x, cos2 x) = 0 54. W(sen2 x, cos2 x) = −sen2x 55. W(1, sen−1 x, cos−1 x) = 0 56. W(coshx, ex , e−x ) = 0 57. W(1, senh2 x, cosh2 x) = 0 En los siguientes ejercicios, determinar, mediante el wronskiano, si las fun- ciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo correspondiente. 58. x x x+ +2 22 , , en −∞ ∞( ), Respuesta: W = x +( )2 2 LI 59. x +2, x, 1, en −∞ ∞( ), Respuesta: W = 0 LD 60. e3x , ex , en −∞ ∞( ), Respuesta: W = −2e4x LI 61. 3ex , ex en −∞ ∞( ), Respuesta: W = 0 LD 62. e−x , xe−x , en −∞ ∞( ), Respuesta: W = e−2x LI 63. lnx, xlnx, en 0, ∞( ) Respuesta: W = ln2 x LI 64. lnx5 , 2lnx, en 0, ∞( ) Respuesta: W = 0 LD 65. x x x, , , 1 2 en 0, ∞( ) Respuesta: W = − ≠ 6 0 x x; LI 66. ex , e−2x , e2x , en −∞ ∞( ), Respuesta: W = −12ex LI 67. 1, cos x, en 0,␲( ) Respuesta: W = −sen x LI 68. x x+ +1 1, , en (2, 2) Respuesta: en (−2, −1) W = 0, en (−1,2) W = 0 LI 69. e x e xx x sen 1 2 1 2 , cos , en −∞ ∞( ), Respuesta: W = − 1 2 2 e x LI Wronskiano 163 Carmona-04.indd 163Carmona-04.indd 163 7/13/10 10:28:50 AM7/13/10 10:28:50 AM
  • 164 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 70. senhx, e−x en −∞ ∞( ), Respuesta: W = −1 LI En los siguientes ejercicios elegir la opción que contiene soluciones lineal- mente independientes o linealmente dependientes mediante el wronskiano o a través de la definición 4.5. 71. y1 = x, y2 = ex a. LD LI porque en el porque x W c x c ex = = + 1 0 1 2 , == → = = −∞ ∞ + = → 0 0 0 1 2 1 2 c c c x c ex en porque ( , ) LD cc W x 1 0 = −∞ ∞ = constante en porque en ( , ) LI == 1 b. c. d. 72. y y x y x1 2 31 1= = = + −∞ ∞, , , ( , )en a. LD porque podemos encontrar c c c1 2 31 1= = −, , == = = 1 0 0 LI LD LI porque porque porque W W c11 2 3 1 2 31 0 0+ + + = → = = =c x c x c c c( ) b. c. d. 73. y e y xe y x ex x x 1 2 2 2 3 2 2 = = = −∞ ∞/ / / , , ( , ), en a. LI LD porque porque c y c y c y x W 1 1 2 2 3 3 0 0+ + = → = == + + = → = = = 0 0 01 1 2 2 3 3 1 2 3porqueLD c y c y c y c c c LLI porque W e x = ≠2 03 2/ b. c. d. 74. x2 y″ +4xy′ + 2y = 0 a. LD LI LI porque 0 porque porque W W y = − ≠ = − ≠ 3 3 0 2 22 3 2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 0 + = + + = → = y y c y c y c y c cporqueLD == =c3 0 b. c. d. Respuestas: 71. b. La a falla porque el wronskiano puede ser cero cuando las funciones en el intervalo dado son LI como se comprueba por la definición c x c e c cx 1 2 1 20 0+ = → = = −∞ ∞( )en , . La c representa el mismo error, pero dicho de otra manera. La d supone W = 0 para la indepen- dencia lineal y debería ser W ≠ 0. 72. c. 73. d. 74. b. 75. a. Carmona-04.indd 164Carmona-04.indd 164 7/13/10 10:28:52 AM7/13/10 10:28:52 AM
  • Esta definición se extiende a una ecuación diferencial de orden n, con n condi- ciones iniciales. Definición 4.7 La ecuación diferencial y f x y g x y r x″ ′+ + =( ) ( ) ( ) con las condiciones li- neales iniciales y x y y x y0 0 0 0( )= ( )=; ′ ′ donde y y0 0 , ′ son constantes arbitra- rias se llama problema con valores iniciales. EJEMPLO 1 Dado el siguiente problema con valores iniciales: y y y y y″ ′ ′− + = = =3 2 0 0 1 7 0 3 5 con ( ) , ( ) comprobar que y c e c ex x = +1 2 2 es solución general y encontrar la solución particular para las condiciones iniciales dadas. 1. Para comprobar la solución general, la derivamos dos veces y la susti- tuimos en la ecuación diferencial para ver si resulta una identidad. y c e c ex x = +1 2 2 y c e c ex x ′ = +2 1 2 2 y c e c e c e c e x x x x y ″ = + + 4 4 1 2 2 1 2 2 " − − + +6 3 2 21 2 2 3 1 2 2 2 c e c e c e c ex x y x x ′ yy = 0 Como 0 = 0, si es solución. 2. Aplicamos las condiciones iniciales en la solución y en su primera de- rivada: 1 7 3 5 2 1 2 1 2 = + = + c c c c Resolviendo el sistema tenemos: c c 1 2 16 35 11 35 = = − ∴ y e ex x = − 16 35 11 35 2 es solución particular para las condiciones dadas y puede verificarse como la solución general. Wronskiano 165 Carmona-04.indd 165Carmona-04.indd 165 7/13/10 10:28:53 AM7/13/10 10:28:53 AM
  • 166 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Esta verificación también se puede hacer con Mathematica con los si- guientes comandos. EJEMPLO 1 Fácilmente se verifica que y e e xx x = + +−1 50 49 50 1 5 5 5 es solución del pro- blema con valores iniciales y y x″ − = −25 5 ,con y y( ) ( ) .0 1 0 5= =y ′ Los coeficientes de la ecuación y r x x( ) = −5 son funciones continuas en cualquier intervalo que contenga a x0 0= → se concluye, por el teorema anterior, que la solución es única. EJEMPLO 2 Tenemos y x x x= + +− − 2 3 21 1 ln , solución del problema con valores ini- ciales: x y xy y2 3 2″ ′+ + = con y y( ) ( )1 0 1 1= =y ′ donde x x2 3 1 2, , y son funciones continuas en todos los reales y x = 1 está en los reales. (Además, x ≠ 0) Por lo tanto, la solución es única. La insistencia con la continuidad se debe a que en una función discontinua en algún punto puede, aparentemente, contradecir el teorema de existencia. Por ejemplo, la solución de la ecuación diferencial dy dx x y = en y(0) = 0, parece co- rresponder a y = x y y = −x, como lo muestra Mathematica: DSolve[{y''[x]-3y'[x]+2y[x]==0,y[0]==1/7,y'[[0]==3/5},y[x],x] {y[x] 1 35 e (-11+16ex x →{ }} Teorema 3. Existencia y unicidad de las soluciones Sea el problema con valores iniciales h x y f x y g x y r x y x y y x( ) ( ) ( ) ( ); ( ) , ( )″ ′ ′+ + = =0 0 0 == y′0 , donde h(x), f(x), g(x) y r(x) son continuas en un intervalo I, y sea h x( ) ≠ 0 para toda x I∈ . Si x x= 0 es cualquier punto en este intervalo, entonces, la solución y(x) del problema con valores iniciales existe y es única en el intervalo abierto I. ivp = DSolve y'[x]== x/y[x],y[0]==0 y[x],x{ }[ ], Carmona-04.indd 166Carmona-04.indd 166 7/13/10 10:28:53 AM7/13/10 10:28:53 AM
  • y[[x] - x y[x] x ivp [1,1,2] - x ivp [2, 2 2 2 →{{ } → }{ } [ ] , 11,2] x Plot[{ivp [1,1,2] ivp [2,1,2]},{ 2 [ ] [ ] [ ], xx,-1,1},AspectRatio 1]→ Esta aparente contradicción se debe a que x y no es continua en el punto (0, 0). Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 1. Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes. 2. Ecuación de Cauchy-Euler. 3. Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes. Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes a y b, tiene la forma y ay by″ ′+ + = 0. En el capítulo 2 encontramos que la solución de y f x y′ + =( ) 0 resuelta por variables separables es y e f x dx = ∫− ( ) . Si f(x) es la constante k, → = ∫ = − − y e ce kdx kx es solución. Esto nos sugiere la posibilidad de que y ce kx = − también es solución de y ay by″ ′+ + = 0. Veamos, para facilitar el proceso tomemos: y ce c k y e kx x = = − = → = − , con y es solu 1 ␭ ␭ cción de y ky′ + = 0 Derivando esta solución: y e y e x x ′ ″ = = ␭ ␭ ␭ ␭2 Sustituyéndola en y ay by″ ′+ + = 0. ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ 2 2 0 0 e a e be e a b x x x x + = + + =( ) Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 167 1.0 y x 0.5 0.5 0.5 0.5 1.01.0 1.0 Carmona-04.indd 167Carmona-04.indd 167 7/13/10 10:28:55 AM7/13/10 10:28:55 AM
  • 168 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Como e x␭ ≠ 0, para toda x a b∈ −∞ ∞( )→ + + =, ␭ ␭2 0 es la ecuación auxiliar o característica de la ecuación diferencial de segundo orden, que nos va a dar dos raíces que utilizaremos en la solución. Sabemos que ␭ = − ± −a a b2 4 2 De ahí que si: a b a b 2 1 2 2 1 4 0 4 0 − > → ≠ − = → = ␭ ␭ ␭ son raíces reales. ␭␭ ␭ ␣ 2 2 4 0 son .raíces reales e iguales a b− < → = ±± i␤ son .raíces complejas Estudiaremos tres casos: CASO 1. Las raíces de la ecuación característica son reales y diferentes. → y = c e c ex x 1 2 1 2␭ ␭ + , es solución general de la ecuación diferencial. CASO 2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales. → y = c e c xex x 1 2 ␭ ␭ + , es solución general de la ecuación diferencial. CASO 3. Las raíces de la ecuación característica son complejas y conjugadas. → = +y e A x B xx␣ ␤ ␤( cos )sen es solución general de la ecuación diferencial. EJEMPLO 1 Sea la ecuación y y y″ ′− − =2 3 0 una ecuación diferencial lineal homogé- nea de coeficientes constantes, cuya ecuación auxiliar o característica es: ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ 2 1 2 1 2 3 0 1 3 0 1 3 − − = +( ) −( ) = → = − = ∴ = − , y c e xx x c e+ 2 3 es solución general. EJEMPLO 2 Comprobar que la función y xe x = 5 es solución de la ecuación diferencial: y y y″ ′− + =10 25 0 Sea y xe x = 5 y xe e y xe e e x x x x x ′ ″ = + = + + 5 25 5 5 5 5 5 5 5 sustituyendo 25 10 50 105 5 5 5 10 xe e xe ex x y x x y + − − ″ ′ + =25 05 25 xe x y Por lo que es solución. Así que la solución general es y c e c xex x = +1 5 2 5 Carmona-04.indd 168Carmona-04.indd 168 7/13/10 10:28:56 AM7/13/10 10:28:56 AM
  • EJEMPLO 3 Encontrar la forma de la solución del caso 3 a partir de las raíces: ␭ ␣ ␤ ␭ ␣ ␤1 2= + = −i iy En este caso la solución de la ecuación diferencial y ay by″ ′+ + = 0 tiene la forma: y c e c e y c e e i x i x x = + = + − 1 2 1 ( ) ( ) ,␣ ␤ ␣ ␤ ␣ de donde: ii x i x x i x i x x c e e y e c e c e ␤ ␣ ␤ ␣ ␤ ␤ + = + − − 2 1 2( ) Usando las fórmulas de Euler: e i e i i i ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ ␪ = + = − ∈− cos cos sen sen para RR y e c x i x c x ix → = + + −␣ ␤ ␤ ␤1 2(cos ) (cossen sen sen ␤ ␤␣ x y e c c x i c cx ) ( )cos ( ) [ ] = + + −1 2 1 2 ␤x[ ] Como e x xx x␣ ␣ ␤ ␤cos , e sen son LI forman un sistema fundamental de solucio- nes en ( , ),−∞ ∞ podemos tomar como constantes A c c= +1 2 y B i c c= −( ).1 2 ∴ y e A x B xx = +␣ ␤ ␤( cos ),sen es solución general. EJEMPLO 4 Encontrar la solución de la ecuación diferencial: y y y″ ′+ + =2 5 4 0 La ecuación auxiliar es: ␭ ␭2 2 5 4 0+ + = cuyas raíces son: ␭ = − ±1 1 2 i → = − =␣ ␤1 1 2 , , ∴ y e A x B xx = +− ( cos ), 1 2 1 2 sen es la solución general. En este tipo de soluciones, Mathematica identifica a A y B como las constan- tes c1 y c2. Para el ejemplo 4, la solución aparece como: DSolve[{y''[x]+2y'[x]+5/4y[x]==0,y[x],x] {y[xx] e C[2]Cos x 2 e C[1]Sin x 2 -x -x → ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ⎧ }⎨⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 169 Carmona-04.indd 169Carmona-04.indd 169 7/13/10 10:28:58 AM7/13/10 10:28:58 AM
  • 170 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJEMPLO 5 Hallar la solución de la ecuación diferencial: y y y″ ′+ + =14 49 0, con las condiciones iniciales y y( ) , ( ) .0 2 0 10= − =′ La ecuación auxiliar es: ␭ ␭2 14 49 0+ + = → + = → = = −( )␭ ␭ ␭7 0 72 1 2 ∴ = +− − y c e c xex x 1 7 2 7 , es la solución general. Aplicando las condiciones iniciales: Tomando y c e c x e c ex x x ′ = − − +− − − 7 71 7 2 7 2 7 → − = + = − − + 2 0 10 7 0 1 0 1 0 2 0 c e c e c e c c c c 1 1 2 2 2 10 7 10 14 = − = − + = +, , c2 4= − . ∴ = − −− − y e x ex x 2 47 7 , es la solución particular. EJEMPLO 6 Dada la solución de una ecuación diferencial: y c e c x ex x = +1 2 5 2 2 5/ / , encon- trar la ecuación diferencial. Como y c e c x ex x = +1 2 5 2 2 5/ / → = =␭ ␭1 2 2 5 ( ) ,␭ − = 2 5 02 será la ecuación auxiliar ␭ ␭2 4 5 4 25 0 4 5 4 25 0 − + = → − + =y y y″ ′ O bien, 25 20 4 0y y y″ ′− + = , que es la ecuación buscada. Ecuación de Cauchy-Euler Es de la forma x y axy by2 0″ ′+ + = , donde a b R, .∈ Para encontrar su solu- ción, usamos la siguiente sustitución: y xm = , y sus derivadas: y m x y m m x m m ′ ″ = = − − − 1 2 1( ) Carmona-04.indd 170Carmona-04.indd 170 7/13/10 10:29:00 AM7/13/10 10:29:00 AM
  • Sustituyendo: x m m x a x m x bx m m x a m m m m m 2 2 1 1 0 1 ( ) ( ) − + + = − + − − x bx x m m am b m m m + = − + +[ ]= 0 1 0( ) Como xm ≠ 0, por ser la solución propuesta, → − + + =m m am b( )1 0 y m a m b2 1 0+ − + =( ) es la ecuación auxiliar cuyas raíces m1 y m2 si son reales y diferentes dan y c x c xm m = +1 2 1 2 como solución general. Si son reales e iguales: m m y c x c x xm m 1 2 1 2= → = + (ln ) es solución general. Si son complejas: m i y x A x B xa = ± → = +⎡⎣ ⎤⎦␣ ␤ ␤ ␤ cos(ln ) (ln )sen es solución general. EJEMPLO 1 Resolver la siguiente ecuación de Cauchy-Euler: x y xy y2 2 0″ ′− + = . En esta ecuación tenemos: a = −1 y b = 2. Su ecuación auxiliar es: m a m b m m 2 2 1 0 2 2 0 + − + = → − + = ( ) m i= ± = = 1 1 1␣ ␤ ∴ = + seny x A x B x( cosln ln ), es la solución general. EJEMPLO 2 Resolver: x y xy y2 3 0″ ′+ + = a = 3, b = 1 La ecuación característica es: m a m b m m 2 2 1 0 2 1 0 + − + = → + + = ( ) ( )m m m + = = = − 1 0 1 2 1 2 ∴ = +y x c c x 1 1 2 ( ln ) es solución general. Ecuación de Cauchy-Euler 171 Carmona-04.indd 171Carmona-04.indd 171 7/13/10 10:29:01 AM7/13/10 10:29:01 AM
  • 172 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJEMPLO 3 Resolver: x y xy y2 0″ ′+ − = . Usando la transformación x et = para obtener su solución. y dy dx dy dt dt dx ′ = = por la regla de la cadena. Como x e t xt = → = ln y dt dx x = 1 sustituyendo en la primera derivada, queda: y dy dt x ′ = ؒ 1 volviendo a derivar con respecto a x: y dy dx x x d y dt dt dx x ″ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = − 1 1 1 2 2 2 2 ؒ dy dt x d y dt + 1 2 2 2 Sustituyendo en la ecuación diferencial dada: x x dy dt x d y dt x x dy dt 2 2 2 2 2 1 1 1 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −− = − + + − = y dy dt d y dt dy dt y 0 0 2 2 d y dt y 2 2 0− = Cuya ecuación auxiliar es: ␭2 1 0− = ( )( )␭ ␭+ − = ∴ = +− 1 1 0 1 2y c e c et t que es la solución para la variable t, pero t x y c e c ex x = → = +− ln ln ln 1 2 ∴ = +− y c x c x1 1 2 es la solución general para la variable x. EJEMPLO 4 Encontrar la ecuación diferencial que tiene como solución: y c x c x= +1 2 3 . De aquí se sigue que: m1 1= y m2 3= → − − = − + =( )( ) ,m m m m1 3 0 4 3 02 Como la ecuación auxiliar tiene la forma m a m b2 1 0+ − + =( ) → − = −a 1 4 y b a= → = −3 3 y, x y axy by2 0″ ′+ + = se transforma en: x y xy y2 3 3 0″ ′− + = . Carmona-04.indd 172Carmona-04.indd 172 7/13/10 10:29:02 AM7/13/10 10:29:02 AM
  • EJERCICIOS 4.3 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de se- gundo orden correspondientes a los casos 1, 2 y 3. Respuestas: 1. y y y″ ′− + = 5 2 0 y c e c ex x = +1 2 2 2/ 2. y y y″ ′− + = 1 2 1 16 0 y c e c xex x = +1 4 2 4/ / 3. y y y″ ′+ + =2 3 0 y e A x B xx = +− ( cos )2 2sen 4. y y y″ ′− − =2 3 0 y c e c ex x = + − 1 3 2 5. y y y″ ′+ + =10 25 0 y c e c xex x = +− − 1 5 2 5 6. y y y″ ′− + =4 13 0 y e A x B xx = +2 3 3( cos )sen 7. 16 16 3 0y y y″ ′+ + = y c e c ex x = +− − 1 4 2 3 4/ / 8. y y y″ ′+ + = 2 3 1 9 0 y c e c x ex x = +− − 1 3 2 3/ / 9. y y y″ ′− + =6 13 0 y e A x B xx = +3 2 2( cos )sen 10. 5 24 5 0y y y″ ′+ − = y c e c ex x = + − 1 5 2 5/ 11. y y y″ ′− + =2 3 3 0 y c e c xex x = +1 3 2 3 12. y y y″ ′− + =8 17 0 y e A x B xx = +4 ( cos )sen 13. y y y″ ′− − =8 9 0 y c e c ex x = + − 1 9 2 14. y y y″ ′− + = 4 3 4 9 0 y c e c xex x = +1 2 3 2 2 3/ / 15. y y y″ ′+ + =4 5 0 y e A x B xx = +−2 ( cos )sen En los siguientes ejercicios elegir la opción que da la solución de: 16. y y y″ ′+ + =6 9 0 a. y e A x B x y e A x B x x = − + −[ ] = + − − 3 3 3 3 3 cos( ) ( ) cos sen ssen 3 1 3 2 3 1 3 2 3 x y c e c e y c e c xe x x x x [ ] = + = + − − − − b. c. d. 17. y y y″ ′− + = 5 4 0 a. y c e c e y c e c e y e A x x x x x x = + = + = + − 1 2 2 1 2 2 2 / / / ( cos sen xx y e A x B xx ) cos( ) ( )/ = − + −[ ]2 sen b. c. d. Ecuación de Cauchy-Euler 173 Carmona-04.indd 173Carmona-04.indd 173 7/13/10 10:29:04 AM7/13/10 10:29:04 AM
  • 174 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 18. y y y″ ′+ + =2 2 0 a. y e A x B x y e A x B x y x x = +( ) = − + −[ ] − − cos cos( ) ( ) sen sen == + = + − − − c e c e y c e c xe x x x x 1 2 1 2 b. c. d. 19. y y y″ ′− + =6 8 0 a. y e A x B x y c e c e y c e c x x x x = + = + = + 2 1 2 2 4 1 2 2 4 4( cos )sen xxe y e A x x x x 4 4 2 2= +( )cos sen b. c. d. 20. y y y″ ′− + =2 02 ␲ ␲ a. y c e c e y e A x B x y c e c x x x x = + = +( ) = +− 1 2 1 ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲cos sen 22 1 2 xe y c e c xe x x x − = + ␲ ␲ ␲ b. c. d. Respuestas: 16. d. Las otras tres opciones están mal pues suponen las formas de solu- ción de los casos restantes y, además, la opción a tiene otro error: el ángulo no es negativo. Estas mismas razones sirven para los ejerci- cios siguientes. 17. c. 18. a. 19. b. 20. d. Hallar la ecuación diferencial correspondiente a cada una de las soluciones propuestas. Respuestas: 21. y c e c xe yx x = + +− − 1 2 2″ yy y y c e c ex x ′ + = = +− 0 1 2 6/ 6 5 0 1 2 y y y y c e c xex x ″ ′+ − = = + sen y y y y e A x B xx ″ ′− + = = +( 2 0 9 9cos )) − + = = y y y y e A xx ″ ′2 82 0 2 cos ++ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + = = − B x y y y y e x sen 4 2 8 5 0 3 ″ ′ AA x B x y y y y c e x cos2 2 6 13 0 1 4 +( ) + + = = + sen ″ ′ cc xe y y yx 2 4 8 16″ ′− + = 00 1 7 2 2 7 y c e c ex x = +/ / 49yy y y y c e c ex x ″ ′− + = = + 21 2 2 0 1 3 2 / 3y y y y c e c xex x ″ ′− + = = + 5 2 0 1 3 2 3 y y y″ ′− + =2 3 3 0 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Carmona-04.indd 174Carmona-04.indd 174 7/13/10 10:29:06 AM7/13/10 10:29:06 AM
  • En los siguientes ejercicios, elegir la ecuación diferencial que corresponde a la solución dada: 31. 32y c e c xex x = +− − 1 5 2 5 .. sen . y e A x B x y x = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 2 3 3 2 5 cos a ″ yy y y′ ″+ = +5 0 9 3.a 66 37 0 2 5 5 0 y y y y y ′ ″ ′ + = + − =.b . . b c y y y″ ′− + =4 37 0 .y y y″ ′− + =2 5 5 0 c . 9 36 37 0 2 5 5 0 y y y y y y ″ ′ ″ ′ − + = − − =d .d y y y″ ′+ + =4 37 0 33. yy c e c ex x = +− 1 2 5 2 3/ 34. . y c e c xe y y y x x = + − − = 1 6 2 6 5 17 6 0a ″ ′ .a y y y″ ′− + =12 36 0 .b 5 13 6 0y y y″ ′− − = . . b c y y y y y ″ ′ ″ ′ + + = + + 12 36 0 5 17 6yy y y y= − +0 7 6.c ″ ′ == − + = 0 5 17 6 0.d y y y″ ′ .d y y y y c e cex ″ ′+ + = = + 7 6 0 1 235. ee y e y ey y e x . . a b ″ ′ ″ + +( ) + = + − 1 0 11 0 1 0 ( ) − = − +( ) + = y ey y e y ey ′ ″ ′.c d.. y e y ey″ ′− −( ) − =1 0 Respuesta: 31. a. Las incorrectas se obtienen al cambiar los signos de las raíces de la ecuación auxiliar. 32. c. 33. b. 34. a. 35. c. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de se- gundo orden con coeficientes constantes para las condiciones iniciales dadas: 36. y y″ − = 0 para y y( ) , ( )0 0 0 8= = −′ Respuesta: y e ex x = −− 4 4 37. y y y y″ + = =25 0 0 0( ) , ′′ ␲ 5 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Respuesta: y x= − 1 5 5sen 38. y y y y″ ′− = =16 0 0 2, ( ) , (( )0 4= Respuesta: y e ex x = +−1 2 3 2 4 4 39. y y y″ + = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =4 0 2 , ␲ −− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = −1 2 2, y′ ␲ Respuesta: y = cos 2x + sen 2x Ecuación de Cauchy-Euler 175 Carmona-04.indd 175Carmona-04.indd 175 7/13/10 10:29:07 AM7/13/10 10:29:07 AM
  • 176 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 40. 4 4 3 3 0 0 1 0 3y y y y y″ ′ ′+ + = = − =( ) , ( ) Respuesta: y e xex x = − +− −3 2 3 23 2 / / 41. 2 3 2 0 0 0 0 5y y y y y″ ′ ′− − = = =, ( ) , ( ) // 2 Respuesta: y = e2x − e−x/2 42. 144 24 0 0 4 0 2y y y y y″ ′ ′− + = = =, ( ) , ( ) Respuesta: y x ex = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟4 5 3 12/ 43. y y y y y″ ′ ′+ + = = −2 8 0 0 2 0, ( ) , ( ) == 1 Respuesta: y e x xx = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 2 7 7 7 7cos sen 44. y y y y y″ ′ ′− + = = =2 2 2 0 0 2 0 0, ( ) , ( ) Respuesta: y x e x = −( )2 2 2 45. 25 30 9 0 0 5 3 0 0y y y y y″ ′ ′− + = = =, ( ) , ( ) Respuesta: y x e x = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 5 3 3 5/ Elegir la opción que contiene la solución particular de las siguientes ecuaciones: 46. y y y y″ ′+ = =49 0 0 1para ( ) , (( )0 7= a. y x x y x x y x y x = + = + = = 7 7 1 7 7 7 7 7 7 cos cos sen sen cos sen b. c. d. 47. y y y y y″ ′ ′− + = = =6 9 0 0 3 0 5para ( ) , ( ) a. y x e y e y x e y x e x x x x = − = = − = − ( ) ( ) ( ) 5 12 5 3 4 3 9 3 3 3 3 b. c. d. 48. 4 3 0 0 3 0 1y y y y y v″ ′ ′− − = = − = −para ( ) , ( ) a. y e e y e e y e e x x x x x = − − = − = − − − − 8 5 7 5 8 5 13 5 8 5 7 5 4 4 4 / / / xx x x y e e= − −−8 5 13 5 4/ b. c. d. Carmona-04.indd 176Carmona-04.indd 176 7/13/10 10:29:08 AM7/13/10 10:29:08 AM
  • 49. 4 8 5 0 0 1 0 1y y y y y″ ′ ′− + = = =para ( ) , ( ) a. y x x y x x y ex = + = + = cos cos ( cos 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 sen sen 22 1 2 1 2 x x y e xx + = sen ) cos b. c. d. 50. y y y y y″ ′ ′+ − = = =6 0 0 0 0 6para ( ) , ( ) a. y e e y e e y e e x x x x x = − = + = − − − − 6 5 6 5 18 5 12 5 18 5 6 5 2 3 2 3 2 33 2 36 5 6 5 x x x y e e= + − b. c. d. Respuestas: 46. b. Las opciones equivocadas intercambian los valores de las condicio- nes iniciales o suponen otros. 47. c. 48. a. 49. d. 50. a. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler: Respuestas: 51. x y y2 12 0″ − = y c x c x x y xy y = + + − = − 1 4 2 3 2 2 3 2 9 0″ ′ y c x c= +1 2 3 2 / xx x y xy y − + − = 1 3 2 2 12 0 / ″ ′ y c x c x x y xy y = + + + = − 1 3 2 4 2 5 4 0″ ′ y x c c= +−2 1( 22 2 5 5 0 ln )x x y xy y″ ′+ − = y c x c x x y xy y = + + + = − 1 2 5 2 8 10 0″ ′ y c x c x= +− 1 5 2 −− − + = 2 2 3 5 0x y xy y″ ′ seny x A x B x= +2 ( cosln ln ) 52. 53. 54. 55. 56. 57. Encontrar la ecuación diferencial correspondiente a la solución propuesta: Respuestas: 58. y c x c x= +− 1 1 2 2 sen x y y y x A x B x 2 2 2 2 2 0″ − = = +− ( cosln ln ) x y xy y y x c c x 2 3 1 2 5 8 0″ ′+ + = = +( ln ) x y xy2 5″ ′− + 99 0 1 2 y y c x c x x = = + ln s x y xy y y x A x B 2 1 1 2 0″ ′− + = = +− ( cosln / eenln )/ x x y xy y1 2 2 3 5 4 0″ ′+ + = 59. 60. 61. 62. Ecuación de Cauchy-Euler 177 Carmona-04.indd 177Carmona-04.indd 177 7/13/10 10:29:11 AM7/13/10 10:29:11 AM
  • 178 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 63. x y xy y y y2 3 0 1 0 1 4″ ′ ′+ + = = =, ( ) , ( ) Respuesta: y x x= 4 ln 64. x y xy y y y2 2 2 0 1 4 1 0″ ′ ′+ − = = =( ) , ( ) Respuesta: y x x = + 8 3 4 3 2 65. x y xy y y y2 1 4 0 1 0 1 1″ ′ ′+ − = = =, ( ) , ( ) Respuesta: y = −x−1/2 + x1/2 66. p y x y xy y+ + =2 9 3 0″ ′ ,, ( ) , ( )y y1 3 1 0= =′ Respuesta: y = x1/3 (3 − ln x) 67. x y xy y y− + =2 10 0 1, ( )″ ′ == =1 1 1, ( )y′ Respuesta: y = x cos ln x3 68. x y xy y y− + =2 10 0 1, ( )″ ′ == =1 1 1, ( )y′ Respuesta: y = −x−1/2 + 3x−1/3 Elegir en cada caso la opción correcta: 69. Qué contiene la solución de 25 152 x y x″ + yy y a y x A x B x ′ + = = +− 0 7 4 3 4 3 . ( cosln lnsen )) . . / / b y c x c x c y x = + = − 1 1 5 2 1 5 11 5 1 2 7 1 2 / ( ln ) . ( ln ) c c x d y x c c x + = +− 70. Qué contiene la solución de x y xy y2 4″ ′+ + = 00 1 2 15 2 15 . ( cosln ln/ / / a y x A x B xsen= +− 22 1 2 2 2 1 ) . . ( b y c c x c y x c c = + = + 22 2 2 ln ) . cosln ln x d y A x B xsen Qu = + 71. éé contiene la solución de x y xy y2 7 2 3 2 0″ ′+ − = . . / / a y c x c x b y x x = + = − 1 2 2 3 1 2 (( cosln ln ) . ( cosln A x B x c y x A 3 3 3 + = − sen xx B x d y x c c x 1 2 1 2 1 2 1 2 3 / / / ln ) . ( + = + − sen lln )x 72. Qué contiene la ecuación diferencial correspondiente a la solución y = c1x + c2x5 . a. x y xy y x y xy y x y xy y x 2 2 2 5 5 0 6 5 0 6 5 0 ″ ′ ″ ′ ″ ′ + − = − + = + − = 22 5 5 0y xy y″ ′− + = b. c. d. Carmona-04.indd 178Carmona-04.indd 178 7/13/10 10:29:11 AM7/13/10 10:29:11 AM
  • 73. Qué contiene la ecuación diferencial correspondiente a la solución y = A cos ln x + B sen ln x. a. x y y x y y x y xy y x y xy y 2 2 2 2 0 0 0 0 ″ ″ ″ ′ ″ ′ + = − = + + = − − = b. c. d. 74. Qué contiene la ecuación diferencial correspondiente a la solución y = x−4 (c1 + c2 ln x). a. x y xy y x y xy y x y xy y 2 2 2 8 16 0 8 16 0 7 16 ″ ′ ″ ′ ″ ′ + + = − + = − + == + + = 0 9 16 02 x y xy y″ ′ b. c. d. 75. Qué contiene la solución de la ecuación diferencial x2 y″ − 6xy′ + 12 = 0 para las condiciones iniciales y(1) = 1, y′(1) = 8. a. y x x y x x y x x y x x = − = − + = + = − 2 6 4 5 5 2 2 6 3 4 3 4 3 4 3 4 b. c. d. Respuestas: 69. c. 70. d. 71. a. 72. d. 73. c. 74. d. 75. b. Todas las opciones erróneas son soluciones que satisfacen la ecuación, pero no las condiciones iniciales. Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes Una ecuación diferencial con coeficientes constantes tiene la forma general: a y a y a y a y a yn n n n( ) − −( ) + + + + + =1 1 2 1 0 0... ″ ′ donde a i ni , , ,...,= 0 1 son constantes. Su ecuación auxiliar o característica es: a m a m a m a m an n n n + + + + + =− − 1 1 2 2 1 1 0 0... que tendrá n raíces. Estas raíces pueden ser, como en el caso de las de segundo orden, reales o com- plejas, iguales o distintas. Si las raíces son reales y distintas, la solución es: y c e c e c em x m x n m xn = + + +1 2 1 2 ... Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes 179 Carmona-04.indd 179Carmona-04.indd 179 7/13/10 10:29:13 AM7/13/10 10:29:13 AM
  • 180 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Si las raíces son reales e iguales, la solución es: y e c c x c x c xmx n n = + + + + − ( ... )1 2 3 2 1 Si las raíces son reales y de ellas unas son iguales y otras diferentes, se usan las dos leyes anteriores según el caso; así, supongamos seis raíces: m m m m m m m m 1 2 3 4 1 4 5 6 ≠ = ≠ ≠ = = Entonces, la solución es y c e c e c xe c e c xe c xx x x x x = + + + + +1 2 3 4 5 6 21 2 3 4 5␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ee x␭6 Si las raíces son complejas, para cada par conjugado la solución es: y e A x B xx = +␣ ␤ ␤( cos )sen Si hay otro par igual → = +y e x A x B xx␣ ␤ ␤( cos )sen es solución, y así sucesiva- mente. EJEMPLO 1 Resolver y y y y′′′ ″ ′+ + + =6 11 6 0 Su ecuación auxiliar es: ␭ ␭ ␭3 2 6 11 6 0+ + + = cuya factorización es: ␭ ␭ ␭+( ) +( ) +( ) =1 2 3 0 con raíces ␭ ␭ ␭1 2 31 2 3= − = − = −; ; ∴ = + +− − − y c e c e c ex x x 1 2 2 3 3 es la solución general, como puede comprobarse fácilmente. EJEMPLO 2 ¿Cómo aparecieron las raíces de la ecuación ␭ ␭ ␭3 2 6 11 6 0+ + + = del ejer- cicio anterior? Usamos división sintética; una vez que el coeficiente de la variable de mayor grado es 1, se buscan los divisores enteros del término independiente. Así: 6 2 3 2 3 1 6 1 6 = ( )( ) −( ) −( ) ( )( ) −( ) −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ Se elige uno de ellos, si el residuo de la operación es cero, el factor es co- rrecto; si no da cero, hay que probar otro. Probemos el 6: 1 6 11 6 +6 +72 +498 6 1 12 83 ≠0 Carmona-04.indd 180Carmona-04.indd 180 7/13/10 10:29:14 AM7/13/10 10:29:14 AM
  • Por supuesto, Mathematica puede encontrar las raíces con más eficiencia utilizando el comando Solve: Solve[x +6x +11x+6==0] {x -3},{x -2},{x -1} 3 2 → → →{ }} no es divisor puesto que el residuo no es cero en la operación. Probemos el 3: 1 6 11 6 +3 +27 +114 3 1 9 38 ≠0 Tampoco lo es. Probemos el −3: 1 6 11 6 −3 −9 −6 −3 1 3 2 0 ¡Sí! Esto significa que ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭3 2 2 6 11 6 3 2 3+ + + = + +( ) +( ). Por último, ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭3 2 6 11 6 1 2 3+ + + = +( ) +( ) +( ) y ␭ ␭ ␭1 2 31 2 3= − = − = −, , . EJEMPLO 3 Resolver y y y y yiv + + + + =4 10 12 5 0′′′ ″ ′ Su ecuación auxiliar es ␭ ␭ ␭ ␭4 3 2 4 10 12 5 0+ + + + = La factorización de este polinomio es ␭ ␭ ␭+( ) + +( )=1 2 5 02 2 o sea, ␭ ␭ ␭+( ) + −( ) + +( ) =1 1 2 1 2 02 i i Con ␭ ␭ ␭ ␭1 2 3 41 1 2 1 2= = − = − + = − +, ,i i ∴ = + + +− − − seny c e c xe e c x c xx x x 1 2 3 42 2( cos ) es la solución general. Por medio de Mathematica, las raíces del polinomio anterior son: Solve[x +4x +10x +12x+5==0] {x -1},{x -1},{x 4 3 2 → → →→ →{ }-1-2i},{x -1+2i} EJEMPLO 4 Resolver y y y y yv iv + + − − =4 5 6 4 0′′′ ′ . Su ecuación característica es polinomio de orden 5: ␭ ␭ ␭ ␭5 4 3 4 5 6 4 0+ + − − = 1 4 5 0 −6 −4 −2 −4 −2 4 4 −2 1 2 1 −2 −2 0de orden 4 Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes 181 Carmona-04.indd 181Carmona-04.indd 181 7/13/10 10:29:15 AM7/13/10 10:29:15 AM
  • 182 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJERCICIOS 4.4 Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: Respuestas: 1. y y y y′′′ ″ ′− − + =2 2 0 y c e c e c e y y y x x x = + + − − + − 1 2 3 2 32. ″′ ″ ′ 33 0 1y y c e x = = +− cc e c e y y y y x x 2 3 3 4 4 0 + − − + =3. ″′ ″ ′ y c e c e c e y x x x = + +− 1 2 2 3 2 4. ″″′ ″ ′− − + =2 4 8 0y y y yy c e e c c x y y y y x x = + + − + − = − 1 2 2 2 3 6 12 8 0 ( ) 5. ″′ ″ ′ y e c c x c xx = + +2 1 2 3( 22 3 3 0 ) 6. y y y y″′ ″ ′+ + + = y e c c x c x y y x = + + − + − ( )1 2 3 2 117. ″′ ″ 335 25 0 1 5 y y y c e ex x ′ − = = + (( )c c x y y y y y 2 3 2 3 4 4 0 + − − + + =8. iv ″′ ″ ′ y e c c x e c c x y x x = + + +− ( ) ( )1 2 2 3 4 9. iv −− + − + = =4 6 4 0y y y y y e cx ″′ ″ ′ ( 11 2 3 2 4 3 + + +c x c x c x ) −1 −1 0 2 −1 1 1 0 −2 0de orden 3 +1 2 2 +1 1 2 2 0de orden 2 → + + − − = −( ) +( ) +( ) + +( )␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭5 4 3 2 4 5 6 4 1 1 2 2 2 = −( ) +( ) +( ) + −( ) + +( )␭ ␭ ␭ ␭ ␭1 1 2 1 1i i y las raíces son ␭ ␭ ␭ ␭ ␭1 2 3 4 51 1 2 1 1= = − = − = − + = − −, , , ,i i Así que la solución general es: y c e c e c e e c x c xx x x x = + + + +− − − 1 2 3 2 4 5( cos )sen EJEMPLO 5 Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es: y c e c xe c x e c ex x x x = + + +1 2 3 2 4 2 Observamos que ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ 1 2 3 41 2 1 1 1 2 = = = = → −( ) −( ) −( ) −( ) y y ␭ ␭ ␭ ␭4 3 2 5 9 7 2 0− + − + = es la ecuación auxiliar, por lo que: y y y y yiv − + − + =5 9 7 2 0′′′ ″ ′ es la ecuación pedida. Carmona-04.indd 182Carmona-04.indd 182 7/13/10 10:29:16 AM7/13/10 10:29:16 AM
  • 10 35 50 2− + − +y y y y10. iv ″′ ″ ′ 44 0 1 2 2 3 3 4 4 y y c e c e c e c ex x x x = = + + + 11. yy y yiv − + =2 0″ y e c c x e c c x y y x x = + + + − − ( ) ( )1 2 3 4 512. iv ″″′ ″ ′+ − + = = +9 7 2 0 1 2y y y y e c cx ( xx c x c e y y y y x + + + − − = 3 2 4 2 2 2 0 ) 13. iv ″′ ′ y e c c x c x c ex = + + +− ( )1 2 3 2 4 xx y y y y y14. iv − + − + =4 7 6 2 0″′ ″ ′ seny e c c x c x c x y y x = + + + + + ( cos )1 2 3 4 13 315. iv ″ 66 0y y A= = cos33 3 2 2 4 8 8 x B x C x D x y y y + + + − + − sen sencos 16. iv ″′ ″ yy y y e A x B x xx ′ + = = + +4 0 sen( cos ) ee C x D xx ( cos )+ − +( ) sen Sugerencia: tome ␭ ␭2 2 2 2 == + + = 0 5 4 017. y y yiv ″ sen seny A x B x C x D x= + + +cos cos2 2 18. y c e c xe c ex x x = + + − 1 2 3 y y y y y c e x ″′ ″ ′− − + = = + 0 1 3 19. cc xe c x ex x 2 3 3 2 3 + y y y y y c e c e cx x ″′ ″ ′− + − = = + +− − 9 27 27 0 1 2 2 320. ee yx ″′ + 2yy y y y c e c xe c ex x x ″ ′− − = = + + 2 0 1 2 2 2 3 5 21. y y y y″′ ″ ′− + −9 24 20 == = + +− 0 1 2 3 6 22. y c e c e c ex x x y y y y y ″′ ″ ′− − + = = 6 6 0 23. cc e c x c xx 1 3 2 3+ +cos sen sen y y y y y c x c ″′ ″ ′− + − = = + 3 3 0 2 21 224. cos xx c x c x y y y y + + + + = = 3 45 5 29 100 0cos sen iv ″ 25. cc x c x c e c xe yx x 1 2 3 43 3cos + + +sen iiv − + − + =2 10 18 9 0y y y y″′ ″ ′ Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la solución dada: Resolver las siguientes ecuaciones para las condiciones iniciales dadas: 26. y y y yiv − = =0 0 2( ) ; (′ 00 1 0 4 0 2) ; ( ) ; ( )= = = −y y″ ″′ Respuesta: y e e x xx x = + − +−5 4 7 4 3 2 cos sen 27. y y y y yiv + + = = =5 4 0 2 0 2 1″ ′( ) ; ( ) ␲ ␲ ;; ( ) ; ( )y y″ ″′ ␲ ␲ 2 1 2 0= − = Respuesta: y x x x x= − + − + 1 3 2 1 6 2 4 3 1 3 cos cossen sen 28. y y y y y y y′″ ″ ′ ′ ″− + + = = = =7 4 12 0 0 1 0 0 0( ) ; ( ) ; ( ) 336 Respuesta: y e e ex x x = − +−16 7 5 2 17 14 2 6 29. y y y y y y y″′ ″ ′ ′ ″− + − = = =2 2 0 0 5 0 2 0( ) ; ( ) ; ( )) = 0 Respuesta: y e xx = +2 4cos 30. y y y y yiv + + = = =2 0 0 0 0 0″ ′( ) ; ( ) ;yy y″ ″′( ) ; ( )0 2 0 2= = − Respuesta: y x x x x x= − + +sen sencos Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes 183 Carmona-04.indd 183Carmona-04.indd 183 7/13/10 10:29:17 AM7/13/10 10:29:17 AM
  • 184 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Elegir la opción que contiene la respuesta correcta: 31. La solución de: y y yiv + + =8 16 0′′ a. y c e c xe c e c xe y A x B x x x x = + + + = + − − − 1 2 2 2 3 2 4 2 2( cos senn sen sen 2 2 2 2 2 2 1 x y A x B x Cx x Dx x y c e ) cos cos= + + + = −22 2 2 3 2 2 4 3 2x x x x c xe c x e c x e+ + +− − − b. c. d. 32. La solución de: y y y′″ ″+ − =6 32 0 a. y c e c e c xe y c e c x c x x x x = + + = + + − − 1 2 2 4 3 4 1 2 2 34cos sen44 2 2 1 2 2 4 3 4 1 2 3 x y c e c e c e y c x c x c x x x = + + = + + − cos sen ee x−4 b. c. d. 33. La ecuación diferencial correspondiente a la solución: y c e c e c ex x x = + +− 1 2 2 3 2/ / a. 4 4 0 4 4 0 4 4 y y y y y y y y y y y y ″′ ″ ′ ″′ ″ ′ ″′ ″ ′ − + − = + + + = + − − == − − + = 0 4 4 0y y y y″′ ″ ′ b. c. d. 34. La ecuación diferencial correspondiente a la solución: y c e c e c xex x x = + +− − 1 2 3 3 3/ / a. 9 15 7 0 9 3 5 0 9 15 y y y y y y y y y y ″′ ″ ′ ″′ ″ ′ ″′ ″ + + + = − − − = − + 77 0 9 15 5 0 y y y y y y ′ ″′ ″ ′ − = + + + = b. c. d. 35. La solución particular de y″′ − y′ − 3y = 0 con las condiciones iniciales y(0) = 2; y′(0) = 0; y″(0) = −6 a. y e e e y c e c e c e y e x x x x x x x = + + = + + = − − − − − − 1 2 1 2 3 3 1 2 3 3 ee y e e x x x − − = + 3 33 2 1 2 b. c. d. Respuestas: 31. c. Los errores provienen, en general, de mezclar los tipos de solución o de intercambiar los signos de las raíces de la ecuación auxiliar. 32. a. 33. d. 34. b. 35. c. La b representa la solución general, pero se pide la particular; por eso no es la respuesta correcta. Carmona-04.indd 184Carmona-04.indd 184 7/13/10 10:29:19 AM7/13/10 10:29:19 AM
  • Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden Una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, es de la forma: y″ + f(x) y′ + g(x) y = r(x), donde f(x), y g(x) son constantes (1). La diferencia con las anteriores ecuaciones estudiadas estriba en que está igualada a una función de la variable independiente x. Esto nos sugiere una re- lación entre: y f x y g x y y f x y g x y r″ ′ ″ ′+ + = + + =( ) ( ) ( ) ( )0 y (( )x Llamaremos yh a la solución general de la ecuación homogénea correspon- diente y yp a una solución particular de la no homogénea que podamos encontrar de alguna manera; entonces, se puede establecer el siguiente teorema: Teorema 4 Si yh es la solución general de y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 y yp es cualquier solución particular de (1), entonces, y = yh + yp es la solución general de (1). DEMOSTRACIÓN: Supongamos y = yh + yp es solución de (1): → = + = + y y y y y y h p h p ′ ′ ′ ″ ′ ″ Sustituyendo en (1): yh + yp + f(x)(yh + yp) +g(x)(yh + yp) = r(x)″ ″ ′ ′ Agrupando: (yh + f(x)yh + g(x)yh) + (yp + f(x)yp + g(x)yp) = r(x)″ ″′ ′ Como yh es solución de la homogénea, el primer paréntesis se hace cero, y como yp es solución de la no homogénea (1), el segundo paréntesis se convierte en r(x), por lo que 0 + r(x) = r(x) Por lo tanto, y = yh + yp satisface a la ecuación (1). Conocida la solución yh por los métodos anteriores, el problema se reduce a encontrar la solución yp para resolver las ecuaciones no homogéneas. Los métodos para encontrar yp son: coeficientes indeterminados y variación de parámetros. El método de variación de parámetros, llamado también método general, supone el cambio de las constantes c1 y c2 de la solución yh, por funciones de x. El método de coeficientes indeterminados es más sencillo y se usa para ciertos tipos de la función r(x). Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden 185 Carmona-04.indd 185Carmona-04.indd 185 7/13/10 10:29:20 AM7/13/10 10:29:20 AM
  • 186 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Aquí, se centra la atención en la búsqueda de yp; por lo que, para hallar yh, se puede recurrir a Mathematica, con el comando DSolve. Por ejemplo, yh de y″ + 5y′ − 6y = sen x es: sol = DSolve[y''[x]+5*y'[x]-6y[x]==0,y,x] {y F→ uunction {x},e C[1]+e C[2] }-6x x ⎡⎣ ⎤⎦{ } y con condiciones iniciales sol1= y[x] sol [1] {C[1] 2,C[2] 3} 2e +3e-6x x [ ] → → cuya gráfica es: Plot[{sol1},{x,-0.5,0.5}] 2 2 1 1 0.2 0.40.20.4 Método de coeficientes indeterminados para obtener yp Se usa para tres formas de r(x): r(x) = polinomio, r(x) = exponencial, r(x) = fun- ción trigonométrica, o combinaciones de ellas, que pueden resumirse, en forma general, de la siguiente manera: r x e P x x Q x xx m n( ) [ ( )cos ( ) ]= +␣ ␤ ␤sen Donde ␭ ␣ ␤= ± i es raíz de la ecuación auxiliar y Pm(x) y Qn(x) son polinomios de grado m y n, respectivamente. Se busca una solución particular yp de la forma: y x e p x x q x xp z x k k= +␣ ␤ ␤[ ( )cos ( ) ]sen Carmona-04.indd 186Carmona-04.indd 186 7/13/10 10:29:20 AM7/13/10 10:29:20 AM
  • Donde k = máx (m, n), pk(x) y qk(x) son polinomios en x de grado k, cuyos coefi- cientes están indeterminados, y z es la multiplicidad de la raíz ␭ ␣ ␤= ± i de la ecuación auxiliar. La forma de yp, se puede resumir en el siguiente cuadro: Forma de r(x) Raíces de la ecuación auxiliar Forma de yp para k = máx (m, n) Pm(x) ␭i i z≠ =0 1 2, , ,..., Pm(x) Alguna ␭i = 0 xz Pm(x) P x em x ( ) ␣ α no es raíz P x em x ( ) ␣ α es raíz repetida z veces (de orden z) x p x ez m x ( ) ␣ P x x Q x xm n( )cos ( )␤ ␤+ sen ±i␤ no son raíces p x x q x xk k( )cos ( )␤ ␤+ sen ±i␤ son raíces de orden z x p x x q x xz k k( ( )cos ( ) )␤ ␤+ sen e P x x Q x xx m n ␣ ␤ ␤[ ( )cos ( ) ]+ sen ␣ ␤± i no son raíces e p x x q x xx k k ␣ ␤ ␤( ( )cos ( ) )+ sen ␣ ␤± i son raíces de orden z x e p x x q x xz x k k ␣ ␤ ␤( ( )cos ( ) )+ sen EJEMPLO 1 Encontrar yp dada la ecuación y y y x x x″ ′+ + = + −2 4 5 34 2 → = + − + + = = − ±r x x x x i( ) ;5 3 2 4 0 1 34 2 2 y ␭ ␭ ␭ Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de un polinomio de grado cuatro: y Ax Bx Cx Dx Ep = + + + +4 3 2 Nótese que aunque faltan términos del polinomio en r(x), en la yp deben apa- recer todos. El método consiste en derivar dos veces la yp y sustituir yp y sus derivadas en la ecuación dada, igualando después los coeficientes. Así: y Ax Bx Cx D y Ax Bx C p p ′ ″ = + + + = + + 4 3 2 12 6 2 3 2 2 Sustituyendo en la ecuación dada: 12 6 2 8 6 4 22 3 2 2 Ax Bx C Ax Bx Cx D y y + + + + + + ″ ′ + + + + +4 4 4 4 44 3 2 4 Ax Bx Cx Dx E y = + −5 34 2 x x x Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 187 Carmona-04.indd 187Carmona-04.indd 187 7/13/10 10:29:21 AM7/13/10 10:29:21 AM
  • 188 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Dado que los coeficientes del primer miembro de la igualdad han de ser igual a los coeficientes del segundo miembro, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 4 5 8 4 0 12 6 4 3 6 4 4 1 2 2 4 0 A A B A B C B C D C D E = + = + + = + + = − + + = donde A B C D E= = − = = = − 5 4 5 2 3 4 11 4 7 4 ; ; ; ; ∴ = − + + −y x x x xp 5 4 5 2 3 4 11 4 7 4 4 3 2 EJEMPLO 2 Encontrar yp dada la ecuación 9 6 9 3 y y y x″ ′− + = − → = + + + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =y Ax Bx Cx Dp 3 2 2 1 3 0␭ y Ax Bx Cp ′ = + +3 22 y Ax Bp ″ = +6 2 Sustituyendo: 54 18 18 12 62 6 Ax B Ax Bx C A y y + − − − + ″ ′ xx Bx Cx D x y 3 2 3 9+ + + = − Agrupando términos semejantes: Ax A B x A B C x B C D x3 2 3 18 54 12 18 6 9+ − + + − + + − + = −( ) ( ) ( ) A = −1 − + =18 0A B 54 12 0A B C− + = 18 6 9B C D− + = A B C D yp = − = − = − = − ∴ 1 18 162 639; ; ; == − − − −x x x3 2 18 162 639 EJEMPLO 3 Encontrar yp dada la ecuación y″ − y = 8 → = = = y A y y p p p ′ ″ 0 0 Carmona-04.indd 188Carmona-04.indd 188 7/13/10 10:29:23 AM7/13/10 10:29:23 AM
  • Sustituyendo en la ecuación: 0 8 8 8 − = → = − ∴ = − A A yp EJEMPLO 4 Hallar yp de la ecuación diferencial y y e x ″ + = − 4 2 Observamos que k = −1 La ecuación auxiliar es: ␭2 4 0+ = con raíces ␭ ␭ ␭= ± = = −2 2 21 2i i i; ; Como k k≠ ≠␭ ␭1 2y , la solución yp tiene la forma y Aep x = − ; usando el mé- todo de coeficientes indeterminados se hallan las derivadas, se sustituyen en la ecuación dada y se igualan los coeficientes: y Ae y y p x p = − ′ = − = + − − − − Ae Ae Ae Ae x p x x x ″ 4 == = → = = ∴ = − − − 2 5 2 5 2 2 5 e Ae e A A y x x x p ; 22 5 e x− EJEMPLO 5 Hallar yp de la ecuación diferencial y y y e x ″ ′+ − = −6 5 2 donde k = 2. La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es: ␭ ␭2 6 0+ − = con raíces ␭ ␭ ␭1 2 23 2= − = → =y k; por tanto, la solución yp tiene la forma y Axep x = 2 . Derivando: y Axe Ae y Axe Ae p x x p x x ′ ″ = + = + 2 4 4 2 2 2 2 Sustituyendo en la ecuación no homogénea e igualando coeficientes: 4 4 2 6 52 2 2 2 2 2 Axe Ae Axe Ae Axe ex x x x x x + + + − = − 5 5 1A A= − → = − ∴ = −y xep x2 Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 189 Carmona-04.indd 189Carmona-04.indd 189 7/13/10 10:29:24 AM7/13/10 10:29:24 AM
  • 190 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJEMPLO 6 Hallar yp de la ecuación diferencial y y y e x ″ ′+ + = − 2 3 donde k = −1 y la ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es: ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ 2 2 1 2 2 1 1 0 1 + + = +( ) = = = − Por tanto, yp tiene la forma y Ax ep x = −2 Derivando: y Ax e Axe y Ax e Axe Ae p x x p x x x ′ ″ = − + = − + − − − − − − 2 2 2 2 2 2AAxe x− Sustituyendo en la ecuación dada: Ax e Axe Ae Ax e Axe Ax ex x x x x x2 2 2 4 2 2 4 3− − − − − − − + − + + = ee A x− =2 3 →→ = ∴ A 3 2 y x ep x = −3 2 2 EJEMPLO 7 Hallar yp de la ecuación diferencial y y y y y e xxiv − + − + = +5 9 7 2 2″′ ″ ′ La ecuación homogénea correspondiente es: y y y y yiv − + − + =5 9 7 2 0″′ ″ ′ cuya ecuación característica es: ␭ ␭ ␭ ␭4 3 2 5 9 7 2 0− + − + = con raíces ␭ ␭ ␭ ␭1 2 3 41 2= = = =y La parte exponencial de r(x) con k = 1, sugiere una solución del tipo Ax ex3 puesto que hay tres lambdas iguales a k, y la parte polinomial de r(x) debe ser Bx + C un polinomio de primer grado, entonces, y Ax e Bx Cp x = + +3 Derivando: y Ax e Ax e B y Ax e Ax e Axe y p x x p x x x p ′ ″ ″ = + + = + + 3 2 3 2 3 6 6 ′′ = + + + = + Ax e Ax e Axe Ae y A x e Ax x x x x p x 3 2 3 2 9 18 6 12iv ee Axe Aex x x + +36 24 Carmona-04.indd 190Carmona-04.indd 190 7/13/10 10:29:25 AM7/13/10 10:29:25 AM
  • EJEMPLO 8 Hallar yp de la ecuación diferencial: y y y x′′ ′− − = 3 2 3cos donde m = 1 La ecuación homogénea correspondiente es: y y y″ ′− − = 3 2 0 y su auxiliar o característica es: ␭ ␭2 3 2 1 0− − = con raíces y y ␭ ␭ ␭ ␭ 1 2 1 2 2 1 2 = = − → ≠ ≠m mm Por tanto, la forma de yp es: y A x B xp = +cos .sen Derivando: y A x B x y A x B x p p ′ ″ = − + = − − sen sen cos cos Sustituyendo: Ax e Ax e Axe Ae Ax e Ax x x x x x 3 2 3 12 36 24 5 45 + + + − − 22 3 2 90 30 9 54 54 7 e Axe Ae Ax e Ax e Axe Ax x x x x x x − − + + + − 33 2 21e Ax ex x − − + 7 2 3 B Ax ex + +2C 22 2Bx e xx = + _______________________________________________________ 0 00 0 6− Aex ++ + − = +2 2 7 2Bx C B e xx − = → = −6 2 2 3 A A 2 1 1 2 B B= → = 2 7C B− = 00 7 4 → =C ∴ = − + +y x e xp x1 3 1 2 7 4 3 Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 191 Carmona-04.indd 191Carmona-04.indd 191 7/13/10 10:29:27 AM7/13/10 10:29:27 AM
  • 192 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Sustituyendo: − − + − − − =A x B x A x B x A x B xcos cos cos csen sen sen 3 2 3 2 3 oos ( )cos ( ) cos x A B A x B A B x x− − − + − + − = 3 2 3 2 3sen Igualando coeficientes: − − = − = = − = − ∴ = 2 3 2 3 3 2 2 0 24 25 18 25 A A B A B yp y −− − 24 25 18 25 cosx xsen EJEMPLO 9 Hallar yp de la ecuación diferencial: y y x″ + =4 12 2sen donde m = 2 La ecuación auxiliar de la homogénea es: ␭4 4 0+ = con raíces: ␭ ␣ ␤= ± = =2 0 2i, donde y Como m = ␤, la solución yp tendrá la forma: y x A x B xp = +( cos )2 2sen Derivando: y x A x B x A x B x y p p ′ ″ = − + + + = ( cos ) ( cos )2 2 2 2 2 2sen sen xx A x B x A x B x( cos ) cos− − − +4 2 4 2 4 2 4 2sen sen Sustituyendo en la ecuación dada: − − − + + 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 Ax x Bx x A x B x Ax x cos cos cos sen sen ++ =4 2 12 2Bx x xsen sen Igualando coeficientes: − = → = − =4 12 3 0A A B; . ∴ = −y x xp 3 2cos Carmona-04.indd 192Carmona-04.indd 192 7/13/10 10:29:29 AM7/13/10 10:29:29 AM
  • EJERCICIOS 4.5 Encontrar yp mediante el método de coeficientes indeterminados. Respuestas: 1. seny y x yp″ + = = − 11 2 x x y y e xx cos 2. ″ + = + y e x y y y e p x x = + − + = 1 2 4 2 53. ″ ′ y e y y y e e y p x x x = − − + = + − 5 3 24. ″ ′ pp x x x x e e y y y e e = − + + − = − − − 2 1 5 6 7 3 2 5. ″ ′ yy e e y y y e e y p x x x x p = + + − = + = − −1 3 1 12 12 8 7 2 2 3 6. ″ ′ 33 3 e xex x− + EJEMPLO 10 Hallar yp de la ecuación diferencial: y y y x″ ′− + =2 8cos donde m = 1. La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es: ␭ ␭ ␭ ␭ ␭ 2 2 1 2 1 2 2 1 0 1 0 1 − + = − = = = = = + ( ) m y c e c xeh x x como 1≠ ±i tomamos y A x B xp = +cos sen Derivando: y A x B x y A x B x p p ′ ″ = − + = − − sen sen cos cos Sustituyendo: − − + − + + =A x B x A x B x A x B xcos cos cos cossen sen sen2 2 8 xx B− =2 88 4→ = −B 2 0 0A A= → = sen∴ = −y xp 4 Comprobación: sen sen se y x y x x x p p′ ″= − = → + − 4 4 4 8 4 cos , cos nn x x= 8cos Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 193 Carmona-04.indd 193Carmona-04.indd 193 7/13/10 10:29:29 AM7/13/10 10:29:29 AM
  • 194 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Hallar la solución general: 26. y y y″ ′− + =4 4 6ee xx2 + y e c c x x x y y y e x x = + + + + − + = 2 1 2 2 3 1 4 1 4 2 6 ( ) 27. ″ ′ ++ − =− 8 2 1e y cx ee c xe x e e y y x x x x x + + + − + = + − 2 2 2 3 2 2 8 48 6528. se″ ′ nn x y c= +1 cc e x x xx 2 8 3 8 2− + − +cos sen − + − 3 4 3 16 2 x x y29. ″ 22 2 4 22 y e xx ′ = + cos seny c c e xe x xx x = + + − −1 2 2 2 1 2 2 1 2 2cos 11. 12. 13. sen y y e x y y x x x ″ ″ − = − − = + 9 9 6 9 20 3 3 4 2 sen sen y y y x x y y x ″ ′ ″ − + = − − = 2 4 3 2 2 4 8 2 cos 14. 155. 16. 1 seny y x y y y x x ″ ″ + = + − = + 4 4 2 3 5 1 5 5 2 ' cos 77. 18. sen y y y x y y y x x ″ ″ ′ − + = + + = + 2 8 3 9 12 9 ' cos 119. 20. y y y x e y y x x ″ ′− − = − + = − 3 9 4 2 5 4 cos '' cos −− 2sen x 21. seny y x″ + = −4 16 2 y x x y y p = − + 4 2 2 cos 22. ″ ′ 55 17 2 15y x x= +cos yy x x x y y x p = − + + + = − cos cos 2 4 2 3 6 5 9 24 3 16 sen 23. ″ ssen senx y xp = 4 33 2 6 10 7 142 x x y y x e xx − − = − + − + sen sen24. ″ seny x xe x y p x = + + − 3 5 7 3 2 25. ″ yy y x e e x yx x p′ − = − + + = −− 10 50 5 7 12 20 35 29 2 cos cos55 15 29 5 2 x x xe x − + − sen − − +e xx 2 3 5 y xe x x y x x p x p = + + + = − − − 3 2 2 3 8 9 16 81 2 1 3 2 27 3 4 2 2 sen yy x x xp = − − − + 8 25 3 6 25 3 8 25 2 6 25 2cos cossen sen xx y x y x x y x x x p p p = − = − = − + − sen sen 2 2 2 3 1 3 25 2 cos cos −− − = − = − + + − 150 700 4 36 73 96 73 x y x y x x x p p sen sencos 11 3 52 205 2 24 205 2 2 y x x e y x x x p x p = − − + = + − cos cos sen ssen x 7. 8. 9 y y y e x y y e x x x ″ ′ ″ − − = − + = +− 2 3 2 8 2 2 .. 10. y y e e x y y e x x x x x ″ ″ − = + + − = + − − − 2 2 8 22 3 y xe x x y e x y xe xe x y p x p x p x x p = + − + = + = − − − − 2 21 2 1 2 3 4 8 == − −−8 3 42 3 e x xx Carmona-04.indd 194Carmona-04.indd 194 7/13/10 10:29:31 AM7/13/10 10:29:31 AM
  • 30. y y x ex ″ + = − +16 8 4 17sen seny A x B x x x ex = + + +cos cos4 4 4 31. cosy y e x xx ″ − = − + +− 4 12 15 82 y c e c e xe x x y x x x = + + − −− − 1 2 2 2 2 3 3 2cos 32. ″ ++ + = +− 6 9 4 503 y y e xx ′ sen seny c c x x e x x y x = + + − +− ( ) cos1 2 2 3 2 3 4 33. ″′ −− − + = − + − 2 2 8 6y y y e ex x ″ ′ y c e c e c e xe xe y y x x x x x = + + + + − + − − 1 2 3 2 4 634. ″′ ″ 112 8 6 162 2 1y y e x y cx ′ − = + = +( cc x c x x e x x y y e x x 2 3 2 3 2 2 2 2 6 6 16 1 + + − − − − = − ) 35. iv 55cosx y = cc e c e c x c xx x 1 2 2 2 3 42 2− + + +cos sen + + 1 32 2 xe x ccosx 36. y y y x x″ ′− + = − +4 13 40 13cos a. y Ae x Be x y Ae x Be x x x x x = + = + + 2 2 2 2 3 3 3 3 cos cos sen sen CC x D x Ex F y e A x B x xx cos ( cos ) cos + + + = + − sen sen2 3 3 3 ++ + + = − + + sen sen x x y x x x 4 13 3 4 13 cos b. c. d. 37. y y y e xx ″ ′− − = − −− 8 9 10 425 2cos a. y c e c e xe x x y xe x x x x = + + + + = − − − − 1 2 9 13 2 16 2 13 cos sen 22 2 2 13 2 1 2 9 cos cos x x y c e c e xe xx x x + = + + − +− − sen sen22 13 2 16 2 x y xe x xx = + +− cos sen b. c. d. 38. y y y e x xx '' '− + = − +2 8 1 6 33 a. y c c x x e x x y x e x x y x x = + + − + = − − + = ( )1 2 2 3 2 3 2 4 1 6 3 4 1 6 2 cc e c e x e x x y c e c xe x e x x x x x x 1 2 2 3 1 2 2 4 1 6 3 4 + + − + = + + − 11 6 23 2 x x− + b. c. d. 39. y y y e x xx ″ ′+ + = − −2 18 42 2 sen a. y c c x e e x x y c c x e x x x = + + − − = + + − − ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 18 4 sen 22 2 4 6 2 2 2 2 2 2 e x x x y e x x y e A x x x + − + − = + − = − cos cos ( ccos ) cosx B x e x xx + + + −sen 2 22 2 b. c. d. Elegir la opción que contiene la solución general y = yh + yp en los siguientes ejercicios: Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 195 Carmona-04.indd 195Carmona-04.indd 195 7/13/10 10:29:31 AM7/13/10 10:29:31 AM
  • 196 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 40. y y y y e xx ″′ ″ ′− + − = − +4 5 2 6 10cos a. y c e c xe c e x x y c c x x x x x = + + + + = + + 1 2 3 2 1 2 2 2 3 cos ( ) sen ee c e x x y c e c e c e x e x x x x x x + + + = + + + 3 2 1 2 3 2 2 2 3 cos sen ++ + = + + cos cos x x y x e x xx 2 3 22 sen sen b. c. d. Respuestas: 36. c. La opción a contiene solamente la yh. La opción d contiene a yp. La opción b debe tener especificados los valores de las constantes C, D, E y F. 37. a. La opción b tiene error en las derivadas de yp y le falta yh. La opción c tiene error en las derivadas de yp. La opción d sólo tiene a yp. 38. d. La opción a tiene equivocada la yp. La opción b sólo contiene yp, le falta yh. La opción c tiene confundidas la yp y la yh. 39. b. La opción a en vez de yp tiene a r(x) como solución. La opción c tiene yp con error y le falta yh. La opción d tiene yh en forma trigono- métrica y las raíces de la ecuación auxiliar son reales; además, tiene a yp con errores. 40. b. En la opción a le falta un término a yp. En la opción c le falta una x al segundo término de la yh, pues hay raíces iguales en la ecuación auxi- liar. En la opción d falta la yh. Método general Variación de parámetros para obtener yp. Se usa para cualquier forma de r(x). Sabemos que la solución general de una ecuación diferencial de la forma: y f x y g x y y c y x c y x′′ ′+ + = = +( ) ( ) , ( ) ( )0 1 1 2 2es (1) Si tenemos una ecuación no homogénea, es natural suponer que su solución yp tiene algo que ver con (1), como observamos en el método anterior. El cambio de parámetros que se va a realizar en (1) es y u x y x v x y x= +( ) ( ) ( ) ( )1 2 cambiando las constantes por funciones de x; y además vamos a pedir que u y v y′ ′1 2 0+ = (2) Pero, ¿qué forma han de tener u(x) y v(x) para que y uy vy= +1 2 sea la solu- ción particular yp de la ecuación y f x y g x y r x″ ′+ + =( ) ( ) ( )? Suponiendo que y uy vyp = +1 2 es solución. Derivando: y uy u y vy v yp ′ ′ ′ ′ ′= + + +1 1 2 2 Carmona-04.indd 196Carmona-04.indd 196 7/13/10 10:29:32 AM7/13/10 10:29:32 AM
  • Como tenemos la condición (2), entonces, y uy vy y uy u y vy v y p p ′ ′ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ′ = + = + + + 1 2 1 1 2 2 Sustituyendo en la ecuación no homogénea: uy y 1 + u′y1 + vy2 + v′y2 + f(x)(uy1 + vy2 + g(x)(uy1 + vy2) = r(x) '' f x y g x y( ) ' ( ) ″ ″′ ′ ′ ′ Reacomodando términos y sacando como factor común a u y v: u(y1 + f(x)y1 + g(x)y1 + v(y2 + f(x)y2 + g(x)y2 + u′y1 + v′y2 + r(x)″ ″′ ′ ′′ cero cero Lo que hay entre paréntesis se anula porque y1 y y2 son solución; entonces, u y v y r x′ ′ ′ ′1 2+ = ( ), que junto con la suposición (2) forman un sistema de ecua- ciones, cuyas incógnitas son u′ y v′. Este sistema va a resolverse por la regla de Cramer. Entonces, u y v y u y v y r x ′ ′ ′ ′ ′ ′ 1 2 1 2 0+ = + = ( )) ( ) ( ) ( , ) u y r x y y y y y y r x W y y v ′ ′ ′ ′ ′ = = − 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 == = y y r x y y y y y r x W y y 1 1 1 2 1 2 1 1 2 0 ′ ′ ′ ( ) ( ) ( , ) Como y1 y y2 son LI en el intervalo; entonces, el wronskiano es diferente de cero en él; por lo tanto, existen u′ y v′. De tal manera: u y r x W dx v y r x W dx= − =∫ ∫2 1 ( ) ; ( ) Concluimos que sí existe una solución de la forma y uy vyp = +1 2 : y y y r x W dx y y r x W dxp = − + ∫∫1 2 2 1 ( ) ( ) Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 197 Carmona-04.indd 197Carmona-04.indd 197 7/13/10 10:29:33 AM7/13/10 10:29:33 AM
  • 198 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJEMPLO 1 Hallar la solución particular yp de la ecuación: y y y e xx ″ ′− + =3 2 sen La ecuación auxiliar ␭ ␭2 3 2 0− + = tiene las raíces ␭ ␭1 21 2= =, ; por lo que, y c e c eh x x = +1 2 2 . Sea y e y ex x 1 2 2 = =y → = = − =W e e e e e e e x x x x x x x 2 2 3 3 3 2 2 sen sen → = − + ∫∫y e e e x e dx e e e x e p x x x x x x x x 2 3 2 3 sen seny e xdx e e xdxp x x x = − + − ∫∫ 2 seny e x e e xp x x x = + − +− cos [ ( cos2 1 2 xx y e x e x xp x x )] cos ( cos )sen= − + 1 2 (seny e x x xp x = − −[cos cos )] 1 2 1 2 seny e x xp x = − 1 2 (cos ) Una solución por variación de parámetros utilizando Mathematica, se mues- tra en la ecuación diferencial: y y x e x ′′ − =4 1 3 4 Clear[y1,y2,yc,yp,u1,u2] {{m→-2},{m→2}} Solve[m2 -4==0] f[x]=Exp[-4x]/x3 e x -4x 3 y1[x_]=Exp[2x]; y2[x_]=Exp[-2x]; wronskian = Det {y1[x],y2[x]},{y1'[x]y2'[x]}{ }⎡⎡⎣ ⎤⎦ -4 u1prime =-y2[x]f[x]/wronskian e 4x -6x 3 Carmona-04.indd 198Carmona-04.indd 198 7/13/10 10:29:34 AM7/13/10 10:29:34 AM
  • EJEMPLO 2 Resolver por variación de parámetros: y y x″ + = cos Las raíces de la ecuación característica ␭2 1 0+ = son ␭ = ±i con ␣ = 0 y ␤ = 1. La solución de la ecuación homogénea correspondiente es: y A x B xh = +cos sen Sean y x y x1 2= =cos , sen y W y y x x x x x x( , ) cos cos cos1 2 2 2 1= − = + = sen sen sen sen sen→ = − +y x x xdx x xp cos cos cos cos xxdx y x xp ∫∫ = − ⎛ ⎝⎜ sencos 1 2 2 ⎞⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟sen senx x x 1 2 1 4 2 sen sen sen sy x x x x x xp = − + + 1 2 1 2 1 4 22 cos ( cos ) een sen x y x xp = 1 2 u1[x]=Integrate[u1prime,x] 1 4 (e - 1 2x + 3 x +18ExpIntegralEi[-6x])-6x 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ uu2prime = y1[x]f[x]/wronskian - e 4x u2[x] -6x 3 ==Integrate[u2prime,x] 1 4 (-e - 1 2x + 1 x -2x 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟⎟ -2ExpIntegralEi[-2x]) yp[x] = y1[x]u1[x] + y2[x]u2[x] 1 4 e (e - 1 2x + 3 x +18ExpI2x -6x 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ nntegralEi[-6x])+ 1 4 e (-e - 1 2x + 1 x -2x -2x 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ --2ExpIntegralEi[-2x]) yc[x] = c[1]Exp[-2x] ++ c[3]Exp[2x] e c[1] + e c[3] y[x] = yp[x -2x 2x ]] + yc[x] e c[1] + e c[3]+ 1 4 e (e - 1 2x -2x 2x 2x -6x 22 -2x + 3 x +18ExpIntegralEi[-6x])+ 1 4 e -e ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ( --2x 2 - 1 2x + 1 x -2ExpIntegralEi[-2x]) ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 199 Carmona-04.indd 199Carmona-04.indd 199 7/13/10 10:29:35 AM7/13/10 10:29:35 AM
  • 200 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior EJEMPLO 3 Qué forma han de tener u y v para que y uy vyp = +1 2 sean solución de: y y y xe x ″ ′− + =8 16 4 Como ␭ ␭ ␭ ␭2 1 28 16 0 4− + = → = = Entonces, y c e c xeh x x = +1 4 2 4 Sean y e y xex x 1 4 2 4 = =, y W e xe e xe e xe e xe e u x x x x x x x x x = + = + − = 4 4 4 4 4 8 8 8 8 4 4 4 4 == − ( ) = − → = − = ( ) ∫ xe xe e dx x u x v e xe e x x x x x 4 4 8 3 3 4 4 3 3 88 2 2 2 2x dx x v x = → =∫ COMPROBACIÓN: y x e x xe y x e p x x p x = − + = + 1 3 2 1 6 3 4 2 4 3 4 Derivando y sustituyendo en la ecuación dada: y x e xp x ′ = + 2 3 1 2 3 4 2 ee y x e x p x 4 3 48 3 ″ = + 44 8 3 4 2 4 4 3 4 2 4 4 x e xe x e x e xe x x x x x y + + + ″ − − + = 16 3 4 8 3 3 4 2 4 8 3 4 16 x e x e x ex x y x y′ xxe xe x4 ∴ 44 4x x xe= EJEMPLO 4 Resolver por variación de parámetros, la ecuación de Cauchy-Euler x2 y″ + 8 10 1 xy y x x′ + = − ln . Su ecuación auxiliar es: m m2 7 10 0+ + = con raíces m m1 2 2 5= − = −y . → = + =− − − y c x c x r x x xh 1 5 2 2 3 y ( ) ln Carmona-04.indd 200Carmona-04.indd 200 7/13/10 10:29:36 AM7/13/10 10:29:36 AM
  • Sean: y x y x1 5 2 2 = =− − y W y y x x x x x x x( , )1 2 5 2 6 3 8 8 8 5 2 2 5 3= − − = − + = − − − − − − − y x x x x x dx x x x p = − +− − − − − − − 5 2 3 8 2 5 3 3 ln lln ln x x dx x x xdx x 3 3 8 5 3 − − − ∫∫ = − + 22 5 4 4 3 3 4 1 16 ln ln xdx x x x x ∫∫ = − − − ⎛⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − − x x x x 2 3 ( ln ) = − + + − = − − − − − −x x x x x x x x 1 1 1 1 1 12 48 3 3 1 4 15 48 ln ln ln xx x x y x xp − − − = − ∴ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 1 4 15 12 4 5 4 (ln ) ln La solución general será y y yh p = + → = + + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − − y c x c x x x1 5 2 2 1 4 5 4 ln EJERCICIOS 4.6 Encontrar la solución yp mediante variación de parámetros: 1. y y y e xx ″ ′− + = 5 4 2/ cos Respuesta: y e x xp x = 1 2 2/ ( )sen 2. y y y x ex ″ ′− + =4 3 2 Respuesta: y e x x xp x = − − − − 1 24 4 6 6 33 2 ( ) 3. y y y xe x ″ ′− + =4 3 2 Respuesta: y xep x = − 2 4. y″ + 4y = 2cos 2x Respuesta: y x xp = 2 2sen 5. y″ + y′ − 2y = 3xe4x Respuesta: y e xp x = − 1 12 2 14 ( ) 6. y″ + y′= x2 e3x Respuesta: y e x xp x = − + 3 2 864 72 84 37( ) Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 201 Carmona-04.indd 201Carmona-04.indd 201 7/13/10 10:29:37 AM7/13/10 10:29:37 AM
  • 202 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 7. y y y e x x ″ ′+ + = − 2 Respuesta: yp = −xe−x + xe−x ln x 8. y'' − y = e2x sen2x Respuesta: y x x ep x = − − 1 65 2 8 2 2 ( cos )sen 9. y″ + y = −8x cos x Respuesta: yp =−2x cos x + sen x(1 − 2x2 ) 10. y″ − y = ex cos x Respuesta: y e x xp x = − 4 2 ( cos )sen 11. y″ − 4y' = 4xe4x Respuesta: y e x xp x = − + 4 2 16 8 4 1( ) 12. y″ + 9y′ = 18ex sen x Respuesta: y e x xp x = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 81 101 99 101 sen cos 13. y″ − 9y′ = 18x2 e9x Respuesta: y e x x xp x = − + − 2 729 243 81 18 29 3 2 ( ) 14. y″ − y = 4x3 ex Respuesta: y e x x x xp x = − + − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 3 2 3 2 3 4 4 3 2 Encontrar yp en las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler por el método de variación de parámetros: 15. x2 y″ − xy′ = 4x2 ex Respuesta: yp = 4ex (x −1) 16. x2 y″ − xy′ + y = 2x Respuesta: yp = x(ln x)2 17. x2 y″ − 2xy′ = 2y = 6x3 e2x Respuesta: y xep x = 3 2 2 18. x2 y″ − xy′ − 3y + 8x4 sen x Respuesta: y x x x x x x x p = − − + +8 24 48 482 sen sencos cos 19. x2 y″ − xy′ + 2y = x ln x Respuesta: yp = x ln x Encontrar la solución general y = yh + yp de las siguientes ecuaciones: 20. y″ − 4y′ = 8xe3x Respuesta: y c c e xe ex x x = + − −1 2 4 3 38 3 16 9 Carmona-04.indd 202Carmona-04.indd 202 7/13/10 10:29:39 AM7/13/10 10:29:39 AM
  • 21. y″ − y′ − 6y = 5e2x sen x Respuesta: y c e c e e x xx x x = + + − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 1 2 2 3 2 15 34 25 34 cos sen 22. y″ − 2y′ = 6xe2x Respuesta: y c c e e x xx x = + + − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟1 2 2 2 23 2 3 2 3 4 23. y″ − y = 4ex cos x Respuesta: y c e c e e x xx x x = + + −− 1 2 4 5 2( cos )sen 24. y″ − 6y′ + 5y = 8xe−x Respuesta: y c e c e e xx x x = + + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 1 2 5 2 3 4 9 En los siguientes ejercicios, resolver las ecuaciones para las condiciones ini- ciales dadas: 25. y y x y y′′ + = =4 4 2 0 1cos ; ( ) , ′′( ) ␲ 2 0= Respuesta: y x x x x= − + + ␲ 2 2 2 2sen sencos 26. y y y e x y y x ″ ′ ′− + = =4 4 2 1 0 2 ; ( ) , (( )1 1= Respuesta: y e e e xe xe xx x x = − + + −( ) (ln )2 1 1 2 12 2 2 2 2 27. y y e x y yx ″ ′ ′− = + =3 12 1 0 04 ( ); ( ) , (00 4) = Respuesta: y e xe ex x x = − + + − 7 12 4 3 3 3 4 3 4 4 28. y y x e yx ″ − = =4 4 0 02 2 ; ( ) ,, ( )y′ 0 0= Respuesta: y e e x x xx x = + − + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −1 32 3 4 8 1 32 2 2 3 2 29. y y y e x y yx ″ ′+ − = =6 10 0 2 17 sen ; ( ) , ′′( )0 0= Respuesta: y e e e x xx x x = − + − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ −91 85 6 85 25 17 15 17 2 3 sen cos ⎟⎟ 30. y y xe yx ″ ′− = − =− 8 8 02 ; ( ) 1144 25 0 402 25 , ( )y′ = Respuesta: y e e xx x = + + − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 4 2 2 5 6 25 8 2 31. x y y x e yx2 3 2 9 1″ − = ; ( ) == =9 1 1e y, ( )′ Respuesta: y x x e x x x = − + + − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −1 3 1 3 9 2 21 2 Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 203 Carmona-04.indd 203Carmona-04.indd 203 7/13/10 10:29:40 AM7/13/10 10:29:40 AM
  • 204 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 32. x y xy y y2 3 2 2 1″ ′+ + = =; ( ) 11 1 5, ( )y′ = Respuesta: y x x = +5 1 senln 33. x y xy x x y2 3 6 0″ ′− = sen ; ( ) == =0 2 , ( )y′ ␲ ␲ Respuesta: y x x x x= + − −6 6 62 sen cos Elegir, en cada caso, la opción correcta. 34. La forma que han de tener u(x) y v(x) para que yp = uy1 + vy2 sea solución de y y e xx ″ − = − 4 2 sen . a. u x v= − 1 4 cos == − − = − 1 4 1 16 1 4 sen x x u x cos cos senv e x xx = − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ −4 1 4 1 16 cos ⎟⎟ =u x 1 4 cos senv e x x u x x = − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −4 1 17 1 68 1 4 cos cos v e= − −1 20 4xx x x e xsen −( )−4 cos b. c. d. 35. Reconocemos la yp de: y y x ex ″ ′+ = 2 a. y c c e y e y e x x y e p x p x p x p = + = − = − − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − − 1 2 2 2 2 1 4 xx x x 1 2 3 2 7 4 2 − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b. c. d. 36. Encontrar la solución general de: y y e xx ″ ′− = −4 8 16 ( ) a. y c c e e x y c c e y c c x x x = + + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + = + 1 2 4 6 1 2 4 1 2 3 10 9 22 4 6 1 2 4 6 3 7 18 3 2 e e x y c c e e x x x x x − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎠ ⎟ b. c. d. 37. Resolver para las condiciones iniciales dadas: y″ + y′ − 2y = 9xe3x ; y(0) = 0.37, y′(0) = −0.01. a. y e e y e e e x x x x x x = + = + + − − − 0 126 0 244 2 3 1 3 3 3 10 2 2 2 3 . . 11 100 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟b. Carmona-04.indd 204Carmona-04.indd 204 7/13/10 10:29:42 AM7/13/10 10:29:42 AM
  • c. y c e c e e x y e x x x x x = + + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − 1 2 2 3 3 3 3 10 21 100 9 10 −− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 63 100 d. 38. Encontrar la solución general: x2 y″ − 3xy′ + 4y = 7x4 a. y c x c x x x x x x y c x c = + − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + 1 2 2 2 2 2 2 1 2 7 2 1 4 ln ln 22 2 4 1 2 2 2 4 1 2 2 7 2 7 4 x x x x y c x c x x x y c x c ln ln ln + = + + = + xx x2 ln b. c. d. 39. Encontrar la función u para que y = uy1 + vy2 sea solución particular de: x y xy y x x2 2 2 2 2″ ′− + = −ln ln donde y1 = x; y2 = x2 a. u x x x u x x u x x u = − + + = − + = − − − 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (ln ln ) (ln ) ln == + + 1 2 1 2 1 4 2 ln lnx x b. c. d. 40. La solución general de la ecuación x y xy y x x2 2 2 2 2″ ′− + = −ln ln es: a. y x x x x y c x c x y = − + + + = + = −2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 ( ln ln ) ln22 1 2 2 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 x x y c x c x x x + + = + + + + ln ln ln b. c. d. Respuestas: 34. c. Dado que la función u y r x W dx= −∫ 2 ( ) y la función v y r x W dx= ∫ 1 ( ) las opciones a, b y d contienen errores en cuanto a la aplicación correcta de las fórmulas o en el proceso de integración. 35. d. La opción a contiene a la yh en vez de la yp. La opción b es el wrons- kiano de y1 = 1 y y2 = ex . La opción c presenta parte de la solución, es sólo vy2, falta añadir uy1 36. a. La opción b presenta a la solución general de la homogénea y″ − 4y′ = 0. La opción c está incompleta, le falta añadir vy2. La opción d también está incompleta, le falta añadir uy1. Método de coeficientes indeterminados para obtener yp 205 Carmona-04.indd 205Carmona-04.indd 205 7/13/10 10:29:44 AM7/13/10 10:29:44 AM
  • 206 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 37. b. La opción a presenta la solución particular de la ecuación homogé- nea correspondiente. La opción c no aplica las condiciones iniciales, es la solución general. La opción d contiene yp. 38. c. La opción a contiene yh más una parte de yp = uy1 + vy2 que es uy1. La opción b contiene yh más la otra parte de yp, que es vy2. A la opción d le falta añadir la yp. 39. c. La opción a es el resultado de x xdx− ∫ 2 2 ln . La opción b es el resul- tado de x x dx− ∫ 2 2 ln . La opción d contiene, precisamente a yp. 40. d. La opción a contiene a la función v. La opción b contiene a yh. La opción c contiene a yp. Resumen Ecuaciones de segundo orden reducibles a primer orden 1. Si la ecuación es de la forma f x y y( , , )′ ″ = 0 , entonces, usamos z = y′; z′ = y″. 2. Si la ecuación es de la forma f y y y( , , )′ ″ = 0, entonces, usamos z y z dz dy y= =′ ″; . La ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma: y f x y g x y r x″ ′+ + =( ) ( ) ( ). • Si r x( ) ≡ →0 es lineal homogénea. • Si r x( ) ≠ →0 es lineal no homogénea. Principio de superposición o linealidad Sean y1 y y2 soluciones en un intervalo, y c1 y c2 constantes, entonces, y = c1y1 + c2y2, es solución en el intervalo de la ecuación homogénea y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) .0 Este principio no se aplica si la ecuación es no lineal o no homogénea. Dependencia lineal 1. y1, y2 son LD en un intervalo si y1 = k1y2 o y2 = k2y1, con k1, k2 = constantes. 2. y1, y2,…,yn son LD en un intervalo si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras. 3. Sistema fundamental, o base de soluciones, de una ecuación diferencial es la com- binación lineal Y = c1y1 + c2y2 Donde y1, y2 son LI en un intervalo. 4. El wronskiano de n funciones se define como el determinante de orden (n) de la matriz: W y y y y x y x y x y x y n n ( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 = ′ ′ ( ... ( ) ... ... ... ... ( ) (( ) ( ) x) y x y x y n n n ′ 1 1 2 1− − xx y xn n ) ... ( )( )−1 Carmona-04.indd 206Carmona-04.indd 206 7/13/10 10:29:45 AM7/13/10 10:29:45 AM
  • 4. Sean f(x) y g(x) continuas en [a, b] Sean y1 y y2 soluciones en [a, b] de: y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 → ↔ ≠ y y a b W y y 1 2 1 2 0 y son LI en para [ , ] ( , ) , toda x a b∈[ , ] Problema con valores iniciales = ecuación diferencial + condiciones iniciales Teorema de existencia y unicidad h x y f x y g x y r x y x y y x( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , (″ ′ ′+ + = =con 0 0 00 0) = y′ Donde h, f, g y r son continuas en un intervalo I, y h x( ) ≠ 0. Si x =x0 es cualquier pun- to en este intervalo, entonces, la solución y(x) existe y es única en I. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 1. De segundo orden con coeficientes constantes. Son de la forma: y ay by″ ′+ + = 0; a, b = constantes, cuya ecuación auxiliar o característica es: ␭ ␭2 0+ + =a b . Si a b2 1 24 0− > → ≠␭ ␭ raíces reales diferenntes raíces reales igu . a b2 1 24 0− = → =␭ ␭ aales raíces complejas . .a b i2 4 0− < → = ± ⎧ ⎨ ⎪ ␭ ␣ ␤⎩⎩ ⎪ Solución general: Caso 1. Caso 2. ␭ ␭ ␭ ␭ 1 2 1 2 1 2 ≠ → = +y c e c ex x ␭ ␭ ␭ ␣ ␤ ␭ ␭ 1 2 1 2= → = + = ± → y c e c xe i x x Caso 3. yy e A x B xx = +␣ ␤ ␤( cos )sen 2. Ecuación de Cauchy-Euler. Es de la forma: x y axy by a b R2 0″ ′+ + = ∈; , . Ecuación auxiliar o característica m a m b2 1 0+ − + =( ) Solución general: Caso 1. Caso 2. m m y c x c xm m 1 2 1 2 1 2 ≠ → = + mm m y c x c x x m i m m 1 2 1 2= → = + = ± (ln ) Caso 3. ␣ ␤␤ ␣ ␤ ␤ → = +y x A x B x( cosln ln )sen Formas para encontrar la solución: a. Suponer una solución de la forma y xm = b. Usar la transformación x et = 3. Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes. Son de la forma a y a y a y a y a yn n n n( ) ( ) ... .+ + + + + =− − 1 1 2 1 0 0″ ′ Resumen 207 Carmona-04.indd 207Carmona-04.indd 207 7/13/10 10:29:47 AM7/13/10 10:29:47 AM
  • 208 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Ecuación auxiliar: a m a m a m a m an n n n + + + + + =− − 1 1 2 2 1 0 0... que tendrá n raíces. Si la solución es m m m y c e c n m x 1 2 1 1 ≠ ≠ ≠ = + ... 22 1 2 2 e c e m m m m x n m x n n + + = = =Si la solución ess y e c c x c x c xmx n n = + + + + − ( )1 2 3 2 1 Si hay raíces iguales y también raíces diferentes, se aplican los dos casos anterio- res a los grupos de ␭i que convenga. Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden Son de la forma y f x y g x y r x″ ′+ + =( ) ( ) ( ). Solución y = yh + yp. Formas para obtener yp: 1. coeficientes indeterminados; 2. método general; variación de parámetros. 1. Método de coeficientes indeterminados (vea el cuadro de la página 187). 2. Método de variación de parámetros: Suponemos como solución y = uy1 + vy2, donde y1 y y2 son solución de la ecuación ho- mogénea correspondiente, y, u y v tienen la forma: u y r x W y y dx v y r x W y = − =2 1 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( 11 2 1 2 2 1 , ) ( ) ( ) y dx y y y r x W dx y y r x W dxp ∫∫ ∫ ∫→ = − + Autoevaluación 4 1. Usar la sustitución apropiada para resolver y y″ ′− = 0 con y(0) = 2; y'(0) = 1 2. Elegir la opción que contiene la solución general de la ecuación y y yy″ ′ ′− = 1 2 : a y x x c b y c c x c . . tan ( ) = + + = − − + − 2 1 1 1 2 2 2 4 1 2 4 1 4 11 2 1 1 2 1 1 1 c y c c x c d x c y c . tan ( ) . tan ( ) = + = +− 3. Dadas las funciones cosx, cos(x − 1), cos(x +1), averiguar si son linealmente inde- pendientes o linealmente dependientes. 4. Seleccionar la opción que contiene soluciones linealmente independientes en el intervalo [1, 2]. a h x e e b i e e x x i i . , , . cosh , , sen2 2 2 2 2− − ␪ ␪ ␪␪ c e xe d x x x x . , , . og , ln ln l 1 10 10 − Carmona-04.indd 208Carmona-04.indd 208 7/13/10 10:29:49 AM7/13/10 10:29:49 AM
  • 5. Encontrar el wronskiano de las funciones: e x e xx x− − sen3 2 1, cos , 6. Elegir la opción que muestra la dependencia o independencia lineal, mediante el wronskiano, de las funciones coshx, ex a W e hx y hx e ex x x . Son LD porque sen sen= = − − 2 bb W c W e . . Son LI porque Son LI porque = = 1 xx hx d W h cos . Son LD porque 0, ya que sen= xx e e y e ex x x x = − = +− − 2 2 coshx 7. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones. 8. Resolver y y y″ ′+ − =3 4 0. 9. Seleccionar la opción que contiene la solución general de: 4 16 17 0y y y″ ′+ + = . a y e A x B x b y c e c e x x x . ( cos ) . / sen= + = + − − 2 1 2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 2 c y c e c xe d y e A x x x x . . ( cos( ) / / = + = − + − BB xsen( ))−2 10. Resolver 9 6 0y y y″ ′− + = . 11. Resolver x y xy y2 3 4 0″ ′− + = . 12. Elegir la opción que contiene la solución particular de x y xy y2 5 0″ ′− + = con condiciones iniciales y(1) = 1; y′(1) = 0. a y x x b y e A x B x c y e x x . . ( cos ) . ( = − = + = 2 2 2 2 sen ccos cos ) . (cosln 2 2 2 2 1 2 2 e x e x d y x x + = − sen sen seenln )x2 13. Demostrar que x = et es una transformación correcta para encontrar la solución de la ecuación de Cauchy-Euler. 14. Elegir la opción que contiene la solución general de: yiv − 7y″′ + 17y″ − 17y′ + 6y = 0. a y e c x c x c e c e b y c x x x . ( cos ) . = + + + = 1 2 3 2 4 3 1 sen ee c e c e c e c y e c c x c e x x x x x x + + + = + + + 2 3 2 4 3 1 2 3 2 . ( ) cc e d y c e c e e c c x x x x x 4 3 1 2 2 3 4 3 . ( )= + + + 15. Resolver la ecuación: y y y y y y″′ ″ ′ ′ ″− + − = = = =3 3 0 0 2 0 6 0 0con ( ) ; ( ) ; ( ) 16. Hallar la solución general por el método de coeficientes indeterminados: y y x x x″ − = + −2 84 2 Autoevaluación 209 Carmona-04.indd 209Carmona-04.indd 209 7/13/10 10:29:50 AM7/13/10 10:29:50 AM
  • 210 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 17. Elegir la opción que contiene la solución general de la ecuación diferencial, obte- nida por el método de coeficientes indeterminados: y y x″ − = − 4 9 23 a y c e c e x x b y c x x . . / / = + − − + = − 1 2 3 2 2 3 39 4 243 8 9 2 11 2 3 2 2 3 3 1 9 4 243 8 9 2 2 3 e c e x x c y c x x x/ / . cos + − − + = ++ − − + = − c x x x d y e cx 2 3 2 3 1 2 3 9 4 27 8 9 2 2 3 sen . ( cos/ xx c x x x+ − − +2 32 3 9 4 27 8 9 2 sen ) 18. Hallar la solución general de: y y y e xx ″ ′− + = − + 3 16 1 4 1 16 4/ 19. Elegir la opción que contiene la solución general de: y y y e xx ″ ′− + = − 25 2 6 10 4sen a y c e c e e xx x x . cos/ se= + − + +1 12 2 1 2 20 11 8 21 16 105 nn x b y c e c xe e xx x x . cos/ = + − − +1 12 2 2 20 11 8 29 16 1455 1 2 1 2 20 11 12 sen sen x c y e A x B x e d x x . ( cos ) . = + − seny e x xx = − − 20 11 8 29 16 145 cos 20. Elegir la opción que contiene la solución general de: y y y x x″ ′− − = −6 10 2 4 2 cos a y c e c xe x x x b x x . cos= + − + − +− 1 3 2 2 225 26 2 2 3 2 9 7 27 .. ( cos ) cosseny e A x B x x xx = + − + −−2 2 3 3 25 26 2 2 3 2 9 xx c y c e c e x xx x + = + − −− 7 27 25 26 2 5 26 21 3 2 2 . cos sen ++ − + = − − + 2 3 2 9 7 27 25 26 2 5 26 2 2 3 2 x x d y x x x. cos sen 22 2 9 7 27 − +x 21. Resolver por el método de coeficientes indeterminados la ecuación: y″ − 2y′ + y = 3e2x + 25 3 2sen x, para las condiciones iniciales y y( ) ; ( ) .0 1 0 0= =′ 22. Resolver por el método de coeficientes indeterminados y hallar la solución general de la ecuación y y y y e xx ″′ ″ ′− + − = +− 8 6 2sen . 23. Elegir la opción que contiene la forma que deben tener u y v para que yp = uy1 + vy2 sea la solución de la ecuación y y x x″ ′− =3 9 2sen . a u v e b x . . = − =1 3 uu x xdx v xe xdx c u x = − = − ∫∫3 2 3 23 sen sen . == =1 3 3 v e d u x . == =c v c e x 1 2 3 Carmona-04.indd 210Carmona-04.indd 210 7/13/10 10:29:52 AM7/13/10 10:29:52 AM
  • 24. Encontrar la yp de la ecuación y y x ex ″ − = 1 4 3 2 2/ . 25. Elegir la opción que contiene la solución de x y xy y x x2 2″ ′+ − = −( ln ) con condi- ciones iniciales: y y( ) ; ( ) .1 1 8 1 5 8 = − =′ a y c x c x x x x b y c e . ( ln ln ) . = + + − + − = − − 1 1 2 2 1 4 5 2 5 xx x c e x x x c y x x + + − + − = − + − + 2 2 4 5 2 5 1 4 4 3 2 ( ln ln ) . ( 55 4 5 2 5 2 2 ln ln ) . ( ln ln ) x x d y x x x − = − + − Respuestas de la autoevaluación 4 1. y ex = +1 2. b. La opción a representa y′ y no y. Las opciones c y d no respetan las constantes. 3. Son LD porque c x c x c x1 2 31 1cos cos( ) cos( )= − + + para c c c1 2 32 1 1= = =cos , . 4. c. No es la opción a porque 2 2 2 senhx e ex x = − − . No es la opción b porque 2 coshi␪ = + − e ei i␪ ␪ . Ni la d porque log ln ln .10 10 x x = 5. W e x = − − 30 2 . 6. b. El wronskiano antes de aplicar las identidades es e hx hxx ( cos )sen − . Por ello, las opciones a y b muestran un resultado incompleto. La opción d no tiene sentido. 7. Vea el texto. 8. y c e c ex x = +− 1 2 2 . 9. a. La opción b sería el caso de ␭ ␭1 22 1 2 = − =y . En la opción c se mezclan las formas de solución. En la opción d se intercambian los valores de ␣ y ␤. 10. y c e c xex x = +1 3 2 3/ / . 11. y c x c x x= +1 2 2 2 ln . 12. d. La opción a supone que la solución es del tipo de raíces diferentes y reales. La b muestra una solución general, sin condiciones iniciales y falta aplicar t = lnx. A la opción c también le falta la transformación. 13. Vea el texto. 14. c. La opción a supone raíces complejas. La b supone raíces desiguales. Y la d mez- cla conceptos y pone un término como si la ecuación fuera de Cauchy-Euler. 15. y e x xx = + + 1 5 9 5 27 5 3 cos sen 16. y c e c e x x xx x = + − − + −− 1 2 4 2 2 25 8 50. 17. a. La opción b supone raíces iguales de la ecuación auxiliar. La opción c supone raíces complejas y la yp tiene error algebraico. La d lo mismo. 18. y c e c e xe xx x x = + + + +1 3 4 2 4 41 2 1 3 16 9 / / / . Respuestas de la autoevaluación 211 Carmona-04.indd 211Carmona-04.indd 211 7/13/10 10:29:53 AM7/13/10 10:29:53 AM
  • 212 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 19. a. La opción b supone la solución de la homogénea con raíces iguales. La opción c supone raíces complejas de la ecuación auxiliar. La opción d presenta la yp, le falta sumar la yh. 20. c. La opción a considera raíces iguales a la ecuación auxiliar y le falta un término de la yp. La opción b considera raíces complejas de la ecuación auxiliar y también le falta un término de la yp. La opción d está incompleta, le falta sumar yp. 21. y e xe e x xx x x = − − + + − 10 3 2 3 3 4 3 22 cos .sen 22. y c e c x c x e x xx x = + + − + +− 1 2 3 2 2 5 2 4 5 2sen sencos cos . 23. b. La opción a representa −y1 y y2. La opción c contiene a y1 y al wronskiano de y1 y y2. La opción d presenta los términos cuya combinación lineal da yh. 24. y e x x xp x = − + −/ ( ).2 3 2 3 6 6 25. c. La opción a no aplica las condiciones iniciales. La opción b supone la solución exponencial sin efectuar la transformación t = lnx. La d representa la yp. En 1707 nació en Basel, Suiza, un niño que sería años más tarde el mejor alumno de Juan Bernoulli y, finalmente, el matemático más productivo de todos los tiempos: Leo- nard Euler. Su padre, pastor calvinista, a pesar de tener cierta formación matemática, deseó que su hijo estudiara teología. Sin embargo, la facilidad notoria del muchacho para la ciencia pura lo encaminó hacia las matemáticas. Con todo, la educación de Euler resultó com- pletísima, abarcando disciplinas tan variadas como la teología, la medicina, la física, la astronomía y las lenguas orientales. A los 20 años, recomendado por los Bernoulli, Euler fue invitado por la emperatriz Catalina I de Rusia para ocupar la cátedra de medicina y fisiología en San Petersburgo. Aceptó, pero poco después de su llegada, quedó como catedrático en matemáticas, puesto que conservó hasta 1741. Durante esta estancia, Euler perdió el uso de su ojo derecho, suceso que de ninguna manera alteró su producción diaria de descubrimientos ya que, como comentara el aca- démico francés Arago: “Euler calcula sin esfuerzo aparente, tal como el hombre respira, o el águila se sostiene en el aire.” Es sabido también que hacía matemáticas al tiempo que jugaba con sus niños. En 1741 aceptó una invitación de Federico “el Grande” y dejó San Petersburgo para irse a Berlín, donde vivió hasta 1766, fecha en la cual regresó definitivamente a Rusia, país en el que murió en 1783. La producción de Euler no sólo fue enorme en tamaño, sino también en variedad. Le debemos avances en mecánica celeste, hidráulica, construcción de barcos, teoría de la música, etc. Su intuición genial lo llevó a inventar buena parte de las notaciones que usamos hoy en día, a establecer algoritmos nuevos y a manejar formalmente ciertas expresiones hasta obtener resultados tan sorprendentes como el famoso ei␲ + =1 0, que contiene los cinco números más importantes de la matemática. Su nombre quedó rela- cionado con todas las ramas de la ciencia; por ejemplo, en ecuaciones diferenciales in- ventó el método del factor integral. Las obras completas de Euler ocupan 75 volúmenes de tamaño respetable, colocán- dolo, sin lugar a dudas, en el primer lugar en cuanto a productividad. Es de notar que este gran hombre pasó sus últimos 17 años en la ceguera total, sin que por ello decreciera Leonard Euler Leonard Euler (1707-1783) Carmona-04.indd 212Carmona-04.indd 212 7/13/10 10:29:54 AM7/13/10 10:29:54 AM
  • su ritmo de trabajo creativo. Para eso, escribió sintéticamente sus pensamientos en un pizarrón, del cual algunos discípulos copiaron a su vez los resultados. La leyenda re- lata que el día de su muerte se acercó al pizarrón poco después de haber encontrado algo de importancia y escribió: Ich sterbe (me muero) y cayó muerto. Dios creó el número entero, lo demás es obra del hombre. KRONECKER Anécdota Euler creía en Dios. Cierto día, Diderot fue a visitar la corte rusa, invitado por la empe- ratriz Catalina de Rusia (1773). La conversación con Diderot era liberal, amena y con tendencias ateas. Esta desenvoltura divertía mucho a la emperatriz, pero no tanto a sus ministros, que le pidieron cortara por lo sano la exposición de doctrinas sospechosas. La emperatriz utilizó un ardid: hizo saber a Diderot que un ilustre matemático había conse- guido demostrar por álgebra la existencia de Dios y que deseaba presentarle su demos- tración ante la corte. Diderot aceptó de buen grado. El matemático (que era Euler) anunció solemnemente con perfecta convicción: “Caballero: a b n x n + = , luego Dios existe; ¡Respondedme!” Diderot, que no sabía nada de álgebra, quedó atónito y desconcertado, mientras la corte entera se reía. Su regreso a Francia fue inmediato. Propiedades metafísicas del número 4 Representa el principio de realidad, fundamento de la ciencia de los números y causa permanencia. Para Pitágoras contiene en sí el fuego del 1, el aire del 2, el agua del 3 y la tierra del 4. En la materialización de la virtud divina en el hombre, es la afirmación y la nega- ción, la discusión y la solución. Además, representa el esfuerzo en la mano de obra y la voluntad en el pensamiento. Numeración maya (aproximadamente 300 a. C.) ¿Qué expresión contiene cada uno de estos símbolos, una y sólo una vez? 0 1, , , ,i e ␲ Euler era intuitivo y, a veces, no ahondaba en la precisión de sus resultados, por eso le sucedían cosas así: 1 1 1 1 221 1 1 1 x dx x− + − + ∫ = − = − − = − ¿Es posible este resultado negativo? Si hay error, ¿dónde está? Propiedades metafísicas del número 4 213 0 1 5 8 10 12 15 20 400 Carmona-04.indd 213Carmona-04.indd 213 7/13/10 10:29:56 AM7/13/10 10:29:56 AM
  • 214 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior HORIZONTALES 1. Determinante para encontrar si dos o más funciones son linealmente independientes o no. 2. Dios de los vientos en la mitología griega. Gran matemá- tico alemán autor de la famosa fórmula ei␲ + 1 = 0. 3. Abreviaturas de: eminencia y capital. Primeras letras de erosión. 4. Filósofo alemán que escribió “Crítica de la razón pura”. Lejano, apartado, distante. 5. Preposición. Separan, distancian, retiran. 6. Negación, habiten, vivan. Consonante. 7. Quinientos en números romanos. Río de Rusia. Cuatro- cientos seis, en números romanos. 8. Pieza de artillería. Río de Rusia. 9. Terminación de aumentativo. 10. Comercia al por mayor. El primero de su clase. VERTICALES 1. Fin de semana. Vacación, en inglés. OM. 2. Natural de Roma. Habitante de la Tierra del Fuego. 3. Terminación genérica de los alcoholes. Consonante. Pre- posición inseparable que significa; por causa, en virtud de, conjunción. 4. El que anda vagando en la noche. 5. Consonante. Vocal. Ocio en francés. 6. Astrónomo alemán famoso por sus tres leyes sobre los movimientos de los planetas, uno de los cuales es: los pla- netas giran alrededor del Sol formando elipses en la que el Sol ocupa uno de los focos. Pronombre personal. 7. Vocales. Realizó, elaboró, ajustició, aniquiló. 8. General macedonio, hijo de Filipo II, de sobrenombre: Magno. 9. Emperador romano, célebre por su crueldad y el incendio de Roma. Nula, inoperante, inútil. 10. Uno de los cuatro palos de la baraja española. Diez por cien. Consonante. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Carmona-04.indd 214Carmona-04.indd 214 7/13/10 10:29:57 AM7/13/10 10:29:57 AM
  • Definiciones básicas 215 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 5 Aplicaciones geométricas Osciladores Oscilaciones forzadas Caída libre y leyes de movimiento Circuitos eléctricos Flexión de vigas Otras aplicaciones Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Carmona-05.indd 215Carmona-05.indd 215 7/13/10 10:31:00 AM7/13/10 10:31:00 AM
  • 216 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden El secreto, según Chiang, consistía en que Juan dejase de verse a sí mismo como prisionero de un cuerpo limitado, con una envergadura de 104 centímetros y un rendimiento susceptible de programación. El secreto era saber que su verdadera naturaleza vivía con la perfección de un número no escrito, simultáneamente en cualquier lugar del espacio y del tiempo. Juan se dedicó a ello con ferocidad. JUAN SALVADOR GAVIOTA R. BACH Aplicaciones geométricas Para encontrar ecuaciones de curvas que satisfacen ciertas propiedades se usan ecuaciones diferenciales de segundo orden. Otra propiedad es la relacionada con el radio de curvatura de una curva. Si y f x= ( ) es una curva dada, entonces, su curvatura está dada por la ecuación: K y y = +( ) ″ ′1 2 3 2 Y el radio de curvatura es: r y y = +( )1 2 3 2 ( )′ ″ EJEMPLO 1 Hallar la ecuación diferencial de la familia de elipses con centro en el origen y cuyos ejes coincidan con los ejes de coordenadas. SOLUCIÓN: La ecuación de una elipse con ejes a y b es: x a y b 2 2 2 2 1+ = Derivando las veces que sean necesarias para obtener una ecuación, tenemos: 2 2 02 2 2 2 b x a yy yy b a x + = = − ′ ′ En la ecuación original: b a x y b 2 2 2 2 2 + = , de donde b a b y x 2 2 2 2 2 = − ; sustituyendo: Carmona-05.indd 216Carmona-05.indd 216 7/13/10 10:31:01 AM7/13/10 10:31:01 AM
  • Aplicaciones geométricas 217 yy b y x x xyy y b ′ ′ = − −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − 2 2 2 2 2 Tomando otra derivada: xyy y xy y yy xyy xy yy ′ ′ ′ ′ ″ ′ ′ + +( )= + = 2 2 ∴ = −y y y y x ″ ′ ′2 es la ecuación diferencial no lineal pedida. EJEMPLO 2 Si el radio de curvatura de una curva y f x= ( ) en un punto es r y y = +⎡⎣ ⎤⎦1 2 3 2′ ″ y la longitud de la normal desde dicho punto al eje x es y y1 2 + ′ , encontrar las curvas con la propiedad de que el radio es proporcional a la longitud de la normal. (Observar la diferencia entre k = 1 y k = −1). Tomemos k = 1; entonces, 1 1 1 2 3 2 2 2 + ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = + + = y y y y y y y ′ ″ ′ ′ ″ ( ) Mediante reducción de orden: 1 1 2 2 + = + = z yz dz dy zdz z dy y Integrando: 1 2 1 1 2 1 1 2 2 ln ln ln+( )= + = − z y c z c y Como z dy dx = , entonces, dy c y dx 1 2 2 1− = y por sustitución trigonométrica, la nueva integral da: c y e c yc x c 1 2 2 1 1 1 2 − = −+ Carmona-05.indd 217Carmona-05.indd 217 7/13/10 10:31:01 AM7/13/10 10:31:01 AM
  • 218 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden elevando al cuadrado y despejando y , tenemos: y c e e c x c c x c = +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ +( ) − +( )1 2 1 1 2 1 2 , que representa una familia de catenarias. y 3 2 1 0 10−1−2−3 x Tomemos k = −1, entonces, 1 12 3 2 2 +( ) = − +y y y y′ ′ ″ de donde yy y″ ′+ + =2 1 0 La expresión yy y″ ′+ 2 proviene de derivar yy′; entonces, yy x c ydy x c ′ + = + −( )= 1 1 0, integrando de nuevo: y x c c2 1 2 2+ −( ) = , que representa la familia de circun- ferencias con centro en el eje x. 0 0 1 −1 −1 −2 −3 2 y x 1 2 3 4 5 6 Carmona-05.indd 218Carmona-05.indd 218 7/13/10 10:31:04 AM7/13/10 10:31:04 AM
  • EJERCICIOS 5.1 1. Hallar la familia de curvas cuyo radio de curvatura es constante. Respuesta: x c y c k+( ) + −( ) =1 2 2 2 2 2. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que su radio de curvatura en cualquier punto es igual a la longitud de la normal en dicho punto y en su mismo sentido. Respuesta: y x c c2 1 2 2 + −( ) = 3. Lo mismo que en el problema anterior, pero con sentido opuesto. Respuesta: 2 11 21 2 1 2 c ye ec x c c x c+ +( ) = + 4. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que su radio de curvatura es proporcional al cubo de la longitud de la normal. Respuesta: y c x c c k 2 1 2 2 1 2 1 2 = +( ) + 5. Hallar la familia de curvas para las cuales el radio de curvatura es dos veces mayor que la normal (considerar y″ como ±y″). Respuestas: para y y″ ″= , 4 41 2 2 2 1 c y c x c− = +( ) , parábolas con ejes pa- ralelos al eje y. Para − = −( )y x a″, ␪ ␪sen y a= −( )1 cos␪ cicloides. 6. Encontrar el área bajo la curva y f x= ( ) y sobre el eje x, sabiendo que esta curva es tangente al eje x en el origen y satisface la ecuación dife- rencial: y y″ ′= sec Respuesta: la curva es: y x x x= + − −− sen 1 2 1 1, y el área pedida es 0.3565 unidades cuadradas. 7. Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de tal manera que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje x, sea proporcional al área bajo dicha curva, acotada por el eje x y la ordenada de este punto. Suge- rencia: el punto de intersección de la tangente con el eje x es: x y y − ′ . Respuesta: y cxk2 1− = 8. Encontrar la curva cuyo radio de curvatura es proporcional a la pendien- te de su tangente. Respuesta: y k x c k k k x c x c c= ± − +( ) + − − +( ) + +2 1 2 2 1 2 1 2 ln 9. Hallar el área bajo la curva y f x= ( ) y sobre el eje x, sabiendo que esta curva es tangente a la recta y = 4 en x = 0 y satisface la ecuación dife- rencial: y y y ″ ′ = −4 Respuesta: la función es y x= −4 2 y el área pedida 32/3 unidades cua- dradas. Aplicaciones geométricas 219 Carmona-05.indd 219Carmona-05.indd 219 7/13/10 10:31:07 AM7/13/10 10:31:07 AM
  • 220 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 10. Hallar la longitud de la curva y f x= ( ) , desde x = 0 hasta x = 1 , sa- biendo que pasa por el punto (0, 1) y que y e ex x ″ = +( )− 2 Respuesta: 1.1752 Osciladores Movimiento armónico simple (oscilación libre). Se rige por la ecuación: m d x dt kx 2 2 = − o d x dt a x 2 2 2 0+ = , para a k m 2 = donde −kx es la fuerza de restitución del resorte. La solución de esta ecuación tiene la forma: x c at c at= +1 2cos sen , con amplitud x c c= +1 2 2 2 , periodo 2␲ a seg y frecuencia a 2␲ ciclos/segundo. Movimiento amortiguado (oscilación libre). Se rige por la siguiente ecuación: m d x dt kx b dx dt 2 2 = − − , b > 0 o bien, d x dt n dx dt a x n b m a k m 2 2 2 2 2 0 2+ + = = =, , cuya ecuación auxiliar es: m nm a m n n a2 2 2 2 2 0+ + = = − ± −, Cuando n a2 2 > , la solución es x c e c em t m t = +1 2 1 2 y el movimiento se llama so- breamortiguado; para n a2 2 = , la solución es x c e c em t m t = +1 2 1 2 y el movimiento se llama críticamente amortiguado y se expresa x c e c temt mt = +1 2 , y si n a2 2 < , la solución es x e c a n t c a n tnt = − + −( )− 1 2 2 2 2 2 cos sen y el movimiento se lla- ma subamortiguado. En los tres casos se observa que cuando t → ∞, el desplazamiento x → 0. Una ecuación de este estilo, por ejemplo d x dt dx dt x 2 2 8 16 0+ + = , en Mathe- matica se muestra como Clear [de] de=DSolve[{x’’[t]+8x’[t]+16x[t] 0, x[0] 0,x’[0] 1},x[t],t] {{x[t]e-4t t}} sol[t ]=de[[1,1,2]] e-4t t Plot[sol[t],{t,0,5}] Carmona-05.indd 220Carmona-05.indd 220 7/13/10 10:31:08 AM7/13/10 10:31:08 AM
  • 1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 2 3 4 5 Oscilaciones forzadas Si se aplica una fuerza exterior sobre el sistema, la ecuación diferencial es: m d x dt kx b dx dt F t 2 2 = − − + ( ) o bien, d x dt n dx dt a x F t 2 2 2 2+ + = ( ), 2 2 n b m a k m = =, La solución general es x t x xh p ( ) = + , donde la solución xh tiene siempre el factor e−nt , el cual tiende a cero cuando t tiende a infinito; por eso, xh se llama solución transitoria. Si F(t) es periódica, entonces, xp se llama solución estacionaria. Si una oscilación forzada llega a una amplitud máxima, la frecuencia impul- sora recibe el nombre de resonancia. EJEMPLO 1 Una llanta de masa m cuelga de un resorte. Una vez conseguido el punto de equilibrio, se suelta la llanta con una velocidad inicial v0 a una distancia x0 debajo de la posición de equilibrio y simultáneamente se le aplica una fuerza externa F(t) dirigida hacia abajo. Encontrar la ecuación del movimiento. (Considerar la resistencia del aire.) Figura 5-1. Oscilaciones forzadas 221 m x0 F(t) x = 0 Carmona-05.indd 221Carmona-05.indd 221 7/13/10 10:31:11 AM7/13/10 10:31:11 AM
  • 222 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Se toma como positiva la dirección hacia abajo del eje x y se tiene en cuenta la fricción del aire (resistencia proporcional a la velocidad de la masa). En cualquier tiempo t, hay tres fuerzas que actúan en el sistema: F(t) es la fuerza externa medida en el sentido positivo. F kx kr = − >, 0 es la fuerza de restitución del resorte (ley de Hooke). F bx bb = − >′, 0 es la fuerza debida a la resistencia del aire y actúa siempre en dirección opuesta a la velocidad; por ello, tiende a retardar el movimiento. Fr y Fb son negativas porque van en sentido opuesto al eje x considerado. Por la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la masa es: F = (masa)(aceleración). Entonces, F F F F tr b = + + ( ) representa la aplicación de todas las fuerzas sobre la masa m. Es decir, mx kx bx F t″ ′= − − + ( ); o bien, x nx a x f t″ ′+ + =2 2 ( ), donde: 2 2 n b m a k m f F m = = =, , , es la ecuación que rige una oscilación forzada. Las condiciones iniciales del proceso son: x x( )0 0= y x v′( ) .0 0= EJEMPLO 2 A un resorte, que se estira 50 cm al aplicarle una fuerza de 4 N, se le cuelga un peso de 19.6 N. A este peso se le aleja de su posición de equilibrio jalán- dolo 1 m hacia abajo. Si se suelta el peso, estudiar el movimiento en los casos: a. no hay resistencia del aire, b. si la resistencia del aire es 8 dx dt y c. si ade- más de la resistencia del aire, hay una fuerza aplicada al peso de 80sen2t. El peso W del objeto es 19.6 y como W = mg, la masa m W g = = = 19 6 9 8 2 . . kg a. Sea x el alargamiento del resorte, por la ley de Hooke F kxr = ; en este caso: F Nr = 4 para x = 0 5. m. Entonces, k = = 4 0 5 8 . Además, Fb = 0 y F t( ) = 0 La ecuación del sistema es: m d x dt kx 2 2 = − es decir, x x″ + =4 0 cuya solución es: x c t c t= +1 22 2cos .sen Aplicando las condiciones iniciales: cuando t = 0, x = 1 y x′ = 0 se ob- tiene c c1 21 0= =, . Por tanto, x t= cos2 representa un movimiento ar- mónico de amplitud 1 m, periodo 2 2 ␲ ␲= seg y frecuencia: 2 2 1 ␲ ␲ = = 0.318 ciclos/segundo. Carmona-05.indd 222Carmona-05.indd 222 7/13/10 10:31:11 AM7/13/10 10:31:11 AM
  • b. En este caso, la ecuación es: m d x dt kx dx dt x x x 2 2 8 4 4 0 = − − + + =″ ′ cuya solución es: x e c c tt = +( )−2 1 2 . Aplicando de nuevo las condiciones iniciales: x e tt = +( )−2 1 2 El factor de amortiguamiento es e t−2 c. En este caso, tenemos la ecuación: m d x dt x t dx dt x x t 2 2 8 80 2 8 4 10 2 = − + − = − −( )− sen sen , ″ 44 4 4 40 2 x x x x t ′ ″ ′ , .+ + = sen Su solución es x x xh p = + , donde: x e c c th t = +( )−2 1 2 y x tp = −5 2cos . Para las condiciones iniciales dadas: x e t tt = +( )−−2 6 12 5 2cos , La parte e tt− +( )2 6 12 representa un movimiento transitorio y −5 2cos t es el movimiento estable. EJERCICIOS 5.2 1. Un resorte cuelga verticalmente; su extremo superior está fijo y del infe- rior pende una caja que pesa 196 N. Una vez en equilibrio se tira de la caja hacia abajo haciéndola desplazar 0.25 m y se suelta. Sabiendo que k N m = 80 y que la resistencia del aire es despreciable, hallar: a. La ley de movimiento de la caja. b. El tiempo necesario para que la caja se mueva desde la posición ini- cial hasta 0.0625 m por debajo de la posición de equilibrio. Respuestas: a. x t = cos2 4 b. t = 0 659. segundos. Oscilaciones forzadas 223 Carmona-05.indd 223Carmona-05.indd 223 7/13/10 10:31:13 AM7/13/10 10:31:13 AM
  • 224 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 2. Resolver el problema uno suponiendo que hay una resistencia del aire: a. v/4. b. 4v. Respuestas: a. x e t t t = +( ) − 1 160 0 25 1 996 0 00078 1 996. cos . . .sen b. x e t t t = + − 1 10 0 25 1 997 0 0125 1 997( . cos . . . )sen En ambos casos el movimiento es oscilatorio amortiguado. 3. Una masa de 98 N de peso se cuelga de un resorte con lo que éste inte- rrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k = 4.9 N/m, hallar el movi- miento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza de y gt= sen 2 metros. Respuesta: x g g t g gt= − − + − 0 7 2 0 49 2 0 7 0 49 0 49 2 2 . . . . . .sen sen 4. Se suspende una masa de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533 m. La masa se pone un movimiento desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1 m/seg. dirigida hacia arriba. Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida al aire es de 80v newtons. Respuesta: x e et t = −− −5 3 2 5. Supongamos que al sistema del problema anterior se le aplica una fuerza externa: f(t) = 10sent. Hallar el movimiento resultante de la masa. Respuesta: x e e t tt t = − + + −( )− −9 20 25 52 1 130 7 43 5 sen cos . 6. De un resorte que tiene una constante k = 50 se suspende un peso de 49 N. El peso se pone en movimiento desde el reposo, estirándolo 0.98 m ha- cia arriba de la posición de equilibrio y aplicando una fuerza externa f(t) = 10 sen2t. Si no hay resistencia del aire, hallar el movimiento del peso. Respuesta: x t t t= − − +0 98 10 0 21 10 1 3 2. cos . .sen sen 7. Dos pesos iguales están colgados del extremo de un resorte. Si uno de ellos se desprende, hallar la ecuación del movimiento del otro peso. Su- gerencia: x(0) = b. Respuesta: x b g b t= cos . 8. Una cadena de 8 m de longitud se desliza, sin rozamiento, desde un so- porte hacia abajo. Si el movimiento se inicia en el momento en que la cadena cuelga 1 m del soporte, hallar el tiempo que tardará en deslizarse toda la cadena. Respuesta: t = 2.49 segundos 9. Se cuelga de un resorte una masa de 2 kg, de tal manera que el resorte se alarga 0.6125 m. A esta masa se la aleja (aparta) de su posición de equi- librio jalándola 1 m hacia arriba y se la suelta. Hallar el movimiento re- sultante de la masa, sabiendo que hay una resistencia del aire de 16v. Respuesta: x e tt = − −( )−4 1 4 . Carmona-05.indd 224Carmona-05.indd 224 7/13/10 10:31:15 AM7/13/10 10:31:15 AM
  • 10. Un resorte cuelga verticalmente. En su extremo libre se coloca una masa de mkg. Si la masa se mueve con velocidad v0 m/seg cuando el resorte está sin alargar, hallar la velocidad en función del alargamiento. Respuesta: v gx k m x v2 2 0 2 2= − + . Caída libre y leyes de movimiento Se va a considerar la caída vertical de un cuerpo de masa m que está afectado por dos fuerzas: la aceleración de la gravedad y la resistencia del aire proporcio- nal a la velocidad del cuerpo. Suponemos que tanto la gravedad como la masa permanecen constantes y que la dirección positiva es hacia abajo. Por la segunda ley de Newton: F ma m dv dt = = . La fuerza de gravedad dada por el peso w del cuerpo es: w = mg, donde g = 9.8 m seg2 . La fuerza debida a la resistencia del aire es − ≥kv k, 0 por ser opuesta a la velocidad; k es la constante de proporcionalidad. Entonces, la fuerza neta sobre el cuerpo es: F mg kv= − es decir, m dv dt mg kv= − de donde dv dt k m v g+ = , es la ecuación del movimiento del cuerpo. Si la resistencia del aire es desprecia- ble, entonces, k = 0 y la ecuación es: dv dt g= La velocidad límite se define así: v mg k1 = . Si la resistencia del aire no es proporcional a la velocidad sino al cuadrado de la velocidad u otra relación, entonces las ecuaciones deben modificarse. EJEMPLO 1 Un paracaidista, junto con su paracaídas, cae partiendo del reposo. El peso total es w kilogramos. Sobre el sistema actúa una fuerza debida a la resisten- cia del aire que es proporcional a la velocidad. Si la caída es vertical, hallar: Caída libre y leyes de movimiento 225 Carmona-05.indd 225Carmona-05.indd 225 7/13/10 10:31:16 AM7/13/10 10:31:16 AM
  • 226 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 1. La ecuación del movimiento. 2. La ecuación con los siguientes datos: w = 98 kg y k = 10. 3. La distancia recorrida por el paracaidista. kυ w = mg Figura 5-2. a. La fuerza neta es: F mg kv= − de donde m dv dt mg kv= − y dv dt k m v g+ = es la ecuación diferencial del sistema con las condicio- nes para t v= =0 0, . La solución de la ecuación es: v mg k e kt m = −( )− 1 b. w mg= = 98 kg. Entonces, m g m = = = 98 9 8 10 9 8 2 . .kg, seg ∴v = 9.8 (1 − e−t ), cuando t → ∞, v se aproxima a mg k que es la velocidad límite constante. c. Como v dx dt = tenemos: dx mg k e dt kt m = −( )− 1 Con condiciones iniciales: x = 0 para t = 0 x mg k t m k e m k kt m = + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − , y para los datos del inciso b: x t e t = + −( )− 9 8 1. . Carmona-05.indd 226Carmona-05.indd 226 7/13/10 10:31:17 AM7/13/10 10:31:17 AM
  • Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación: d x dt dx dt x 2 2 9 20 0+ + = A partir de un punto a 2 m a la derecha del origen, la partícula en el tiempo t = 0 seg se dispara hacia la izquierda con una velocidad v m seg = 12 . Hallar: a. El tiempo en que la partícula pasa por el origen. b. El desplazamiento máximo negativo. c. La velocidad máxima (positiva). SOLUCIÓN: La ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es: ␭ ␭2 9 20 0+ + = con raíces ␭ ␭1 24 5= − = −, . Por tanto, las ecuaciones del desplazamiento y de la velocidad, son: x c e c e v c e c e t t t t = + = − − − − − − 1 4 2 5 1 4 2 5 4 5 , . Encontramos los valores de c1 y c2 mediante las condiciones iniciales; así: para t x= → =0 2 y también para t v= → = −0 12, 2 12 4 5 1 2 1 2 = + − = − − ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ c c c c c c 1 2 2 4 = − = . ∴ = − + = − − − − − x e e v e e t t t t 2 4 8 20 4 5 4 5 , . a. Cuando la partícula pasa por el origen: x = 0 . Entonces, 4 25 4 e et t− − = Multiplicando por 1 2 5 e t 2 2 0 6931= → = =e tt ln . segundos b. El desplazamiento máximo negativo se dará cuando v = 0. Entonces, 8 20 2 5 2 4 4 5 4 2 5 5 2 5 e e t x e e t t− − − − = → = = − + = ln . ln . ln . −− ( ) + ( ) = −( ) ∴ = − − − − 2 2 5 4 2 5 2 5 0 01024 4 5 5 . . . .x m. Caída libre y leyes de movimiento 227 Carmona-05.indd 227Carmona-05.indd 227 7/13/10 10:31:18 AM7/13/10 10:31:18 AM
  • 228 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden EJERCICIOS 5.3 1. Hallar el tiempo necesario para que un cuerpo caiga a la Tierra desde la altura de 400000 km. Se tiene conocimiento de que la altura se mide desde el centro de la Tierra y que el radio de ésta es de 6400 km, aproxi- madamente. Respuesta: y y k t2 122″ = − =, horas. 2. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ley: d x dt dx dt x 2 2 4 13 0+ + = Si esa partícula empieza su movimiento en x = 0, con una velocidad inicial de 6 m/seg hacia la izquierda, hallar: a. x en función de t. b. Los tiempos en que se producen las paradas. Respuestas: a. x e tt = − − 2 32 sen b. t n = +0 33 3 . ␲ radianes, n = 0 1 2 3, , , ,... 3. Una partícula de masa m se mueve por el eje x con una fuerza de repul- sión que es inversamente proporcional al cubo de la distancia desde el punto x0 al origen. Determinar la ley de movimiento. Respuesta: x c t c k c m 2 1 2 2 1 = +( ) + 4. Un cuerpo de masa m cae desde cierta altura con una velocidad v. Du- rante la caída, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ecuación del movimiento. Respuesta: x m k t= lncosh . kg m 5. Si en el problema anterior m = 4 kg, g = 9 8. , m seg2 k = 3 673. Hallar: c. La máxima velocidad se tendrá para: dv dt e e e e t t t t = − + = = − − − − 32 100 0 100 32 4 5 5 4 de donde t = ( )ln .25 8 Entonces, v e e= − − ( ) − ( )8 20 4 25 8 5 25 8 ln ln = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∴ = − − − 8 25 8 20 25 8 5 25 8 4 5 5 v 00 01677. m seg Carmona-05.indd 228Carmona-05.indd 228 7/13/10 10:31:19 AM7/13/10 10:31:19 AM
  • a. La velocidad al cabo de dos segundos. b. El tiempo necesario para caer a una distancia de 8 metros. Respuesta: v t= =3 26 2 68. , . m seg segundos. 6. Un hombre y su barca pesan 98 kg. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad. Determinar: a. La velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a mo- verse. b. La distancia recorrida al cabo de esos 20 segundos. Respuesta: a. v x= =2 4 36 97. , . m seg metros. Circuitos eléctricos Se puede establecer la siguiente analogía entre un sistema mecánico y un circui- to eléctrico: Sistema mecánico Circuito eléctrico m d x dt kx b dx dt F t 2 2 = − − + ( ) Desplazamiento: x Velocidad: v dx dt = Masa: m Amortiguamiento: b Constante del resorte: k Fuerza externa: F(t) L d q dt R dq dt c q E t 2 2 1 = − − + ( ) Carga: q (culombios) Corriente: I dq dt = (amperios) Inductancia: L (henrios) Resistencia: R (ohmios) Capacitancia: C (faradios) Voltaje aplicado, fem, E(t) (voltios) Tendremos presentes las siguientes leyes: • Segunda ley de Kirchhoff: la suma algebraica de los cambios de potencial en el recorrido de cualquier malla de un circuito es cero. • Es decir, el voltaje aplicado en un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito. • La caída de voltaje a través de la resistencia es: IR. • La caída de voltaje a través de la inductancia es: L dI dt . • La caída de voltaje a través del condensador es: 1 c q . EJEMPLO 1 Un circuito tiene una fem E e t = − 100 5 voltios, una resistencia de 10 ohmios y una capacitancia de 0.02 faradios. Si q( )0 0= , hallar: a. la carga y la in- tensidad de la corriente en cualquier instante t, y b. carga máxima y el tiempo necesario para obtener la carga máxima. Circuitos eléctricos 229 Carmona-05.indd 229Carmona-05.indd 229 7/13/10 10:31:20 AM7/13/10 10:31:20 AM
  • 230 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden EJEMPLO 2 Un circuito consta de una inductancia I = 0.25 henrios, una resistencia R = 1 ohmio, una capacitancia C = 0.2 faradios, una fem E = 10 sen 2t voltios y un interruptor k. Hallar: a. la ecuación diferencial de la carga en cualquier mo- mento t y b. la carga y la intensidad de la corriente en t si al cerrar el interruptor en t = 0, la carga es nula. Caída en la resistencia: IR E= Caída en la inductancia: L dI dt dI dt = 0 25. Caída en el condensador: q C q q= = 0 2 5 . Figura 5-3. Voltaje proporcionado: E e t = − 100 5 Caída de voltaje en la resistencia: IR I= 10 Caída en el condensador: q c q q= = 0 02 50 . a. Por la segunda ley de Kirchhoff: 10 50 100 5 I q e t + = − , como I dq dt = entonces, 10 50 100 5dq dt q e t + = − o dq dt q e t + = − 5 10 5 , con q( )0 0= cuya solución es: q te t = − 10 5 La intensidad de la corriente es I dq dt = , es decir, I dq dt e te e tt t t = = − = −( )− − − 10 50 10 1 55 5 5 b. La carga máxima ocurre cuando: dq dt = 0 entonces, 10 1 5 0 0 25 e t tt− −( )= =, . segundos. Para este tiempo, la carga es: q e e = = =− 2 2 0 7351 . culombios. Figura 5-4. R = 1 I = 0.25 C = 0.02 E R = 10 C = 0.02 E Carmona-05.indd 230Carmona-05.indd 230 7/13/10 10:31:21 AM7/13/10 10:31:21 AM
  • EJERCICIOS 5.4 1. Un circuito consta de una inductancia de L = 0.5 henrios, una resistencia R = 20 ohmios, un condensador cuya capacidad es C = 0.0025 faradios y una fem E = 100 voltios. Hallar la carga y la corriente, sabiendo que en t = 0, q = 0 e I = 0. Respuesta: q = 0.25[e−20t (−cos 20t − sen 20t) + 1], I = 10e−20t sen 20t 2. Un circuito eléctrico consta de una inductancia de L = 0.2 henrios, una resistencia R = 4 ohmios, un condensador cuya capacidad es C = 0.01 faradios. Hallar la carga q y la corriente I en el tiempo t, si en t = 0, q = 0.5 columbios e I = −1 amperio. Respuesta: q e t tt = +( )−10 0 5 20 0 2 20. cos . sen , I e t tt = − −( )−10 12 20 20sen cos a. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: I dI dt q t+ + =0 25 5 10 2. sen Como I dq dt = , entonces, 0 25 5 10 2 2 2 . d q dt dq dt q t+ + = sen o d q dt dq dt q t 2 2 4 20 40 2+ + = sen , es la ecuación diferencial que rige a este circuito, con las condiciones siguientes: en t = 0, q = 0 , I = 0. b. La solución qh es: q e c t c th t = +( )−2 1 24 4cos ,sen La solución qp es: q t tp = − +cos2 2 2sen Y la solución general es: q e c t c t t tt = +( )− +−2 1 24 4 2 2 2cos cossen sen Que para las condiciones iniciales dadas queda: q e t t t tt = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − +−2 4 1 2 4 2 2 2cos cossen sen La intensidad de la corriente es: I dq dt = ; entonces, I e t t t tt = − − + +− ( cos ) ( cos )3 4 4 4 2 2 2 2sen sen La parte transitoria de q y de I es: qh y q′h y la permanente es: qp y q′p. Circuitos eléctricos 231 Carmona-05.indd 231Carmona-05.indd 231 7/13/10 10:31:23 AM7/13/10 10:31:23 AM
  • 232 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 3. Resolver el problema 1, sabiendo que la fem aplicada es E t= 50 10cos Respuesta: q e t t tt = − −( )+ +−1 65 7 20 9 20 7 10 4 1020 cos cossen sen tt⎡⎣ ⎤⎦ Respuesta: I e t t tt = −( )− +−1 65 320 20 40 20 70 10 4020 sen sencos coos10t⎡⎣ ⎤⎦ 4. Un circuito tiene L = 10 henrios, R = 90 ohmios, C = 0.005 faradios y un voltaje E = 500 sen t. En t = 0 no hay carga en el circuito, pero sí hay una corriente inicial de 0.5 amperios, hallar la carga del condensador. Respuesta: q e e t tt t = −( )+ − +(− −9 442 169 119 25 221 9 194 5 cos sen )) Flexión de vigas Consideramos vigas horizontales a aquellas que son uniformes en forma y ma- terial. El eje de simetría (línea punteada) se llama curva elástica y su ecuación da información acerca de la flexión de la viga producida por su propio peso y por cargas externas. En mecánica se demuestra que el momento de flexión de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga está dado por: M EI R = Figura 5-5. donde E es el módulo de elasticidad de Young que depende del material y del diseño de la viga, I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x, tomado con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gra- vedad de la sección. El producto EI se llama rigidez a la flexión y es una cons- tante, r es el radio de curvatura de la curva elástica con ecuación: r y y = + ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦1 2 3 2 ′ ″ r Figura 5-6. Carmona-05.indd 232Carmona-05.indd 232 7/13/10 10:31:25 AM7/13/10 10:31:25 AM
  • EJEMPLO 1 Viga simplemente apoyada. Una viga uniforme, de longitud l = 5 m, apo- yada según se muestra en la figura 5.7 se flexiona bajo su propio peso, que es w = 2 kg/m. Hallar la ecuación de la curva elástica. Como y′ en todos sus puntos es muy pequeña, entonces, r y = 1 ″ de ahí que: M EIy= ″ El momento M en la sección transversal es la suma algebraica de los mo- mentos de las fuerzas exteriores. Suponemos que las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y las fuerzas hacia abajo dan momentos negativos, el eje y se toma positivo hacia arriba. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje x se llama flecha de la viga. Figura 5-7. Como la viga está simplemente apoyada, cada extremo soportará la mitad del peso de la viga: wl 2 5= . Tomando un punto P a una distancia x del origen, observamos primero las fuerzas que actúan a la izquierda de P: • Una fuerza hacia arriba wl 2 • Una fuerza hacia abajo wx en el centro de OP; entonces, el momento total de flexión en P es: y x x wx P l − x w(l − x) O Q wl 2 wl 2 Figura 5-8. Flexión de vigas 233 Carmona-05.indd 233Carmona-05.indd 233 7/13/10 10:31:25 AM7/13/10 10:31:25 AM
  • 234 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden EJEMPLO 2 Viga cantilever. (Apoyada en un extremo y libre en el otro). Una viga uni- forme de longitud l = 5 m y con w = 2 kg/m tiene libre un extremo. Hallar la curva elástica y la flecha del extremo libre. Para calcular M, es más sencillo estudiar el segmento a la derecha de P, en el que actúa la fuerza w l x−( ): M w l x l x w l x x= − − − = − −( ) = − −( )( )( ) 2 2 52 2 M wl x wx x wl x w x= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − 2 2 2 2 2 M x x= −5 2 Para demostrar que el momento flector en P es independiente del segmento estudiado, vamos a ver qué pasa en PQ. Hay dos fuerzas: • Una fuerza hacia arriba wl 2 a una distancia l − x de P. • Una fuerza hacia abajo w l x−( ) a una distancia l x− 2 de P. Entonces, M wl l x w l x l x M wl x w x = −( )− −( ) −( ) = − 2 2 2 2 2 (igual que antes) Sustituyendo el valor de M en la ecuación M EIy= ″ teniendo en cuenta que y = 0 cuando x = 0 y cuando x = l, tenemos: Ely wl x w x″ = − 2 2 2 Integrando: Ely wl x w x c x c= − + + 12 24 3 4 1 2 Para las condiciones dadas c2 0= y c wl 1 3 24 = − Por tanto: y w EI x lx l x= − + −( )24 24 3 3 y, en particular, para este caso: y EI x x x= − + −( )1 12 10 1254 3 Carmona-05.indd 234Carmona-05.indd 234 7/13/10 10:31:26 AM7/13/10 10:31:26 AM
  • Sustituyendo en la ecuación M EIy= ″ tenemos: Ely w l x ″ = − −( )2 2 con las condiciones siguientes: cuando x = 0, y = 0, y la pendiente de la recta tangente y′ = 0. Integrando: Ely w l x c′ = −( ) + 2 1 3 3 1ؒ Para x = 0, y = 0, entonces, c w l1 3 6 = − Integrando de nuevo: Ely w l x w l x c= − −( ) − + 24 6 4 3 2 Para x = 0, y = 0, entonces, c w l2 4 24 = y Ely w l x w l x w l= − −( ) − + 24 6 24 4 3 4 ∴ = − + −( )y w EI x lx l x 24 4 64 3 2 2 La flecha será la deformación máxima que ocurre cuando x = l, y w EI lmáx = − 8 4 y y x x P l − x w(l − x) O Q Figura 5-9. Flexión de vigas 235 Carmona-05.indd 235Carmona-05.indd 235 7/13/10 10:31:28 AM7/13/10 10:31:28 AM
  • 236 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden EJEMPLO 3 Una viga horizontal de 8 m de longitud está empotrada en un extremo y apoyada en el otro. Hallar: a. la ecuación de la curva elástica si la viga tiene una carga uniforme de 4 kg/m y soporta un peso de 100 kg en el punto me- dio y b. el punto en el cual la flecha es máxima En particular, para este caso, la curva elástica es: y EI x x x= − + −( )1 12 20 1504 3 2 y la flecha: y EI máx = 625 4 y l − x l − x w(l − x)w(l − x) O x C Q P2 P1 100 kg l − x 1 2 l − x 1 2 l − x 1 2 Figura 5-10. Consideramos dos intervalos 0 2< <x l y l x l2 < < , para PQ1 y P Q2 , res- pectivamente. a. Las fuerzas que actúan en P1Q son: C hacia arriba (desconocida) en Q situada a ( )l x− m de P1 ; la carga w l x−( ) kg en el punto medio de P1Q situada a 1 2 ( )l x− m de P1 y 100 kg a 1 2 l x− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ de P1. Entonces, EIy C l x w l x l x l x″ = − − − − − −( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 10 1 2 EIy C l x w l x l x″ = − − − − −( ) ( ) ( ) 2 100 1 2 2 Integrando: EIy C l x w l x l x c′ = − − + − + − + 1 2 6 50 1 2 2 3 2 1( ) ( ) ( ) Para x = 0, y′ = 0, Carmona-05.indd 236Carmona-05.indd 236 7/13/10 10:31:30 AM7/13/10 10:31:30 AM
  • Las fuerzas que actúan en P Q2 son C en Q a l x−( ) metros de P2 , la carga w l x−( ) kg a 1 2 l x−( ) m de P2 . Entonces, EIy C l x w l x″ = − − −( )( ) 2 2 EIy C l x w l x c′ = − − + −( ) + 2 6 2 3 1( ) EIy C l x w l x c x c= − − −( ) + + 6 24 3 4 1 2 ( ) Los valores de c1 y c2 deben coincidir con los obtenidos antes; por tanto, EIy C l x w l x C l w l l= − − −( ) + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠6 24 2 6 50 4 3 4 2 3 2 ( ) ⎟⎟ + + −x w l l C l 24 50 24 6 4 3 3 Para los valores dados: EIy C x x C x= − − −( ) + − − + 6 8 1 6 8 32 1024 3 800 20483 4 ( ) ( ) 33 3200 3 3 256+ − C . Si tomamos x = l para y = 0, se obtiene la fuerza C: 0 2 6 50 4 24 50 24 6 2 3 2 3 = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ l C l w l l l w l C ⎠⎠⎟ de donde: C wl= + = 3 8 125 4 173 4 Sustituyendo en las ecuaciones anteriores: y EI x x x= − − 1 24 355 2184 43 2 4 ( ), 0 2≤ ≤x l EIy C l x w l x l x Cl w ′ = − − + − + − + − 1 2 6 50 1 2 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 66 50 4 3 2 l l− Integrando de nuevo: EIy C l x w l x l x Cl w = − − − − − + − 1 6 24 50 3 1 2 1 2 3 4 3 2 ( ) ( ) ( ) 66 50 4 3 2 2 l l x c− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + Como y (0) = 0, entonces, EIy C l x w l x l x Cl w = − − − − − + − 1 6 24 50 3 1 2 1 2 3 4 3 2 ( ) ( ) ( ) 66 50 4 24 50 3 1 2 6 3 2 4 3 3 l l x w l l C l− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + −( ) Para los valores dados: EIy C x x x C= − − − − − + − − 1 6 8 1 6 8 50 3 4 32 1024 3 3 4 3 ( ) ( ) ( ) 8800 2048 3 3200 3 3 256 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + −x C . Flexión de vigas 237 Carmona-05.indd 237Carmona-05.indd 237 7/13/10 10:31:31 AM7/13/10 10:31:31 AM
  • 238 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y EI x x x x= − + − − 1 24 25600 19200 2616 45 42 3 4 ( ), l x l2 ≤ ≤ b. La y máxima de la flecha se presenta a la derecha del punto medio de la viga. Tomando y′ = 0: 16 135 5232 19200 03 2 x x x+ − + = tiene la raíz real x = 4.45, aproximadamente, e indica la distancia al origen a la que está situada la flecha máxima. EJERCICIOS 5.5 1. Una viga horizontal de 9 m de longitud está empotrada en ambos extre- mos. Hallar la ecuación de su curva elástica y su máxima deformación vertical cuando tiene una carga uniformemente distribuida de 1 kilogra- mo por metro. Respuesta: y EI x x x= − − 1 24 35 21873 4 ( ) , y EI máx = − 37179 128 2. Una viga horizontal simplemente apoyada tiene una longitud de 10 m y un peso despreciable pero sufre una carga concentrada de 40 kg que está a una distancia de 2 m del extremo izquierdo (origen). Hallar la ecuación de la curva elástica. Respuesta: y EI x x x EI x x = + ≤ ≤ − + + 1 3 4 400 0 2 1 3 16 120 400 3 3 2 ( ), ( xx x), 2 10≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 3. Una viga horizontal de 8 m de longitud está empotrada en un extremo y libre en el otro. Si la carga uniformemente repartida es w = 4 kg/m, hallar: a. La ecuación de su curva elástica. b. la flecha máxima. Respuestas: a. y EI x x x= − + − 1 6 384 322 3 4 ( ) b. y EI máx = − 2048 4. Una viga horizontal de 12 m de longitud está empotrada en ambos extre- mos. Si tiene una carga uniformemente distribuida de 3 kg/m hallar la ecuación de la curva elástica y la flecha máxima. Respuesta: y x EI x x= − + − 2 2 8 144 24( ) , y EI máx = − 162 5. Resolver el problema 4 si además actúa un peso de 20 kg en el punto medio de la viga. Respuesta: y EI x x x x EI x = − + − ≤ ≤ 1 24 792 112 3 0 6 1 24 648 2 3 4 2 ( ), ( ++ − − + ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 32 3 8640 17280 6 123 4 x x x x), y EI máx = − 342 Carmona-05.indd 238Carmona-05.indd 238 7/13/10 10:31:33 AM7/13/10 10:31:33 AM
  • 6. Una viga sujeta en un extremo y libre en el otro tiene 6 m de longitud y varias cargas: una carga uniformemente repartida de 2 kg m y dos cargas de w = 10 kg aplicadas cada una en los puntos que distan 2 y 4 metros del extremo fijo. Hallar la ecuación de la curva elástica y la flecha máxima. Respuesta: y EI x x x x EI x= − + − ≤ ≤ − 1 12 64 576 0 2 1 12 160 240 4 3 2 ( ), ( −− + − ≤ ≤ − − − 456 44 2 4 1 12 24 216 2 3 4 3 2 4 x x x x EI x x x ), , ( 11200 1440 4 6x x+ ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ), , y EI máx = − 804 Otras aplicaciones EJEMPLO 1 Cable colgante. Un cable de peso despreciable sostiene un puente uniforme. Determinar la forma del cable. La ecuación diferencial de un cable suspendido es: d y dx H dW dx 2 2 1 = ؒ donde H es la fuerza horizontal aplicada en el punto más bajo del cable y W es la carga vertical total. En este ejemplo, la carga es uniforme, por lo que dW dx k= es constante y la ecuación es: d y dx k H 2 2 = con condiciones y′(0) = 0 y y(0) = a (constante que representa la distancia del punto más bajo del cable al piso del puente). Integrando: dy dx k H x c= + 1 Para y′(0) = 0 tenemos c1 = 0 y: y k H x c= + 2 2 2 Para y(0) = a tenemos c2 = a, así que: y k H x a= + 2 2 que es la ecuación de una familia de parábolas; por tanto, el cable adopta la forma de parábola. 3 y x 2 1 0 0 −1 −2−3−4 1 2 3 Otras aplicaciones 239 Carmona-05.indd 239Carmona-05.indd 239 7/13/10 10:31:34 AM7/13/10 10:31:34 AM
  • 240 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden EJEMPLO 2 Péndulo. El péndulo simple consta de una masa m suspendida de una varilla de longitud l y masa despreciable. Suponiendo que el movimiento se realiza en un plano vertical, determinar el ángulo de desplazamiento θ y el periodo de vibración. El arco s de un círculo de radio l que se abre un ángulo θ, cumple la igualdad: s l= ␪ y la aceleración angular es: a d s dt l d dt = = 2 2 2 2 ␪ Por la segunda ley de Newton, tenemos: F ma ml d dt = = 2 2 ␪ lo que da una fuerza tangencial que puede igualarse con la otra fuerza que representa la componente tangencial del peso w. Entonces, ml d dt mg 2 2 ␪ ␪= − sen Es decir, d dt g l 2 2 0 ␪ ␪+ =sen Para valores pequeños del ángulo se puede considerar que ␪ ␪= sen Entonces, d dt g l 2 2 0 ␪ ␪+ = l ␪ ␪ W = mg mg sen ␪ mg cos ␪ Figura 5-11. Carmona-05.indd 240Carmona-05.indd 240 7/13/10 10:31:35 AM7/13/10 10:31:35 AM
  • Con Mathematica se puede determinar la solución de ambas versiones del problema del péndulo, aproximaciones lineales y no lineales, para valores de g y l tales que g l = 1 en una posición inicial θ0 =0 y una velocidad inicial θ′(0)=2 con l d dt g 2 2 0 ␪ ␪+ = . eqn = x'[t]+Sin[x[t]]==0 Sin[x[t]]+x'[t]==0 solnn1= NDSolve[{eqn,x[0]==0,x'[0]==2},x[t],{t,00,10}] {{x[t] InterpolatingFunction[{{0.,10→ ..}},<>][t]}} plot1= Plot[x[t]/.soln1.{t,0,10}}, PlotRange All, DisplayFunction Identity]; → → eeq = DSolve[{x''[t]+x[t]==0,x[0]== a,x'[0]== b}},x[t],t] {{x[t] aCos[t]+bSin[t]}} pen t,ab → ⎡⎣ ⎤⎤⎦ = eq[[1,1,2]] aCos[t]+bSin[t] approx1= Plot[ppen[t,0,2],{t,0,10}. DisplayFunction Identi→ tty]; PlotStyle GrayLevel[.3], Show[plot1,app → rrox1, DisplayFunction SDisplayFunction]→ cuya solución es: ␪ = +c g l t c g l t1 2sen cos El periodo es: T g l l g = = 2 2 ␲ ␲ 3 2 2 4 6 8 10 1 1 2 Otras aplicaciones 241 Carmona-05.indd 241Carmona-05.indd 241 7/13/10 10:31:36 AM7/13/10 10:31:36 AM
  • 242 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden EJEMPLO 3 Un cilindro circular recto de 2 m de radio está verticalmente sumergido en agua cuya densidad es 1000 kg/m3 . Si se empuja hacia abajo y se suelta tiene un periodo de vibración de un segundo. Hallar el peso del cilindro. Sea positiva la dirección hacia abajo, y sea y m el movimiento del cilindro en el tiempo t. Según el principio de Arquímedes, todo cuerpo sumergido, total o parcialmente, en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado. Entonces, la variación que corresponde a la fuerza de flotación es: 1000 22 ␲ y Por lo tanto, W g d y dt y 2 2 4000= − ␲ (ley del movimiento vibratorio), donde W es el peso del cilindro y g = 9.8 m/seg2 ; es decir, d y dt W y 2 2 39200 0+ =␲ ␭ ␲2 39200 0+ = W ␭ ␲= ± 39200 Wi y c Wt c Wt= +1 239200 39200cos ␲ ␲sen Vemos que el periodo es: 2 39200 2 39200 ␲ ␲ ␲ W W = Es decir, 1 2 39200 = ␲W de donde W = = 39200 4 3119 ␲ kg Figura 5-12. Carmona-05.indd 242Carmona-05.indd 242 7/13/10 10:31:37 AM7/13/10 10:31:37 AM
  • EJERCICIOS 5.6 1. Una cuerda cuelga de dos extremos fijos. Determinar la forma de la cuerda si su densidad es constante. Respuesta: y H w w H x= cosh es una catenaria. 2. Un péndulo de 1/5 m de longitud se suelta con una velocidad de 1/2 ra- dián/seg, desde un extremo situado a 1/10 radianes respecto de la verti- cal hacia dicha vertical. Hallar la ecuación de movimiento. Respuesta: ␪ = + 1 10 7 1 14 7cos t tsen 3. Una cadena colocada sobre un clavo grueso pende 1 m de un lado y 2 m del otro. Si la cadena está resbalando, hallar el tiempo que tarda en caerse si el rozamiento es despreciable. Respuesta: y g t= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 2 3 1cosh t g = + = 3 2 3 8 0 69ln( ) . segundos 4. Resolver el problema 3 si el rozamiento es igual al peso de 0.5 m de cadena. Respuesta: t g = + = 3 2 5 2 6 0 897ln( ) . 5. Una caja cúbica de 2 m de lado flota en agua. La caja sube y baja con un periodo de 1/2 seg. Si la densidad del agua es 1000 kg/m3 , hallar el peso de la caja. Respuesta: W = 496.4 kg Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Karl Friedrich Gauss Niño prodigio, Gauss nació en Brunswick, Alemania. A los tres años corrigió un error de suma en las cuentas de su padre y a los 10 años resolvió instantáneamente un pro- blema que su maestro planteó a la clase para tener un momento de tranquilidad. Se trataba de sumar todos los números del 1 al 100, y el muchacho lo resolvió encontrando mentalmente la fórmula m m( )+1 2 y sustituyendo en ella. Su genio llegó a ser famoso y el duque de Brunswick decidió ayudarlo económicamente. Así fue como Gauss ob- tuvo su doctorado en Helmstädt, habiendo hecho la mayor parte de sus estudios en Göttingen. A los 19 años Gauss vacilaba entre dedicarse a la lingüística o a la matemática. Su descubrimiento de cómo construir un polígono de 17 lados con puras herramientas euclidianas, lo decidió a favor de esta última. Es menester recordar aquí que el problema llevaba 2000 años sin haberse resuelto. Este hallazgo corresponde, por otra parte, al primero de 146 resultados encontrados en su diario personal después de su muerte. En su tesis doctoral, Gauss dio por primera vez una demostración rigurosa del teorema fundamental del álgebra. Su genio fue tan variado como riguroso y se dedicó en Karl Friedrich Gauss 243 Carmona-05.indd 243Carmona-05.indd 243 7/13/10 10:31:38 AM7/13/10 10:31:38 AM
  • 244 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden un principio a la teoría de los números, que desarrolló enormemente, demostrando, entre otras cosas, el teorema fundamental de la aritmética. Se interesó también en la astro- nomía donde, gracias a su método de los mínimos cuadrados y su gran facilidad de cómputo, predijo con éxito la posición de Ceres. En geometría creó el primer modelo no euclidiano, y en electromagnetismo demostró su célebre teorema. En ecuaciones dife- renciales, Gauss dio su nombre a la hipergeométrica que abarca como casos particulares otras famosas ecuaciones. Es curioso el hecho de su repugnancia por la enseñanza, considerando que los bue- nos alumnos no requieren de un maestro y que los malos no tienen por qué estudiar, Gauss marcó el principio de una época gloriosa para la matemática de su país con la aparición de una pléyade de genios, discípulos suyos o influenciados por su trabajo. En cambio, durante su juventud, se encontraba en Alemania como un gigante en un desier- to y eso se comprueba con la pregunta que alguna vez harían a Laplace: “¿Quién es el mayor matemático alemán?”, a lo que contestó: “Pfaff…” “Pero, ¿y Gauss?” “¡Ah, Gauss es el mejor matemático del mundo!” Voy y vengo por mi biblioteca, donde mis libros son ya luz, como los otros, igual que por mi sueño adolescente; y quien viene es quien quise —quien soñé— entonces que viniera —la mujer, el hombre. El mediodía pone solitario el alrededor, donde hablo, sonriente, con los que me ignoran, porque tengo, en círculo distante, lo infinito. JUAN RAMÓN JIMÉNEZ (Fragmento: La obra) He aquí un teorema de Gauss: la ecuación xn − 1 = 0 se puede resolver mediante raíces cuadradas o, de modo equivalente, el polígono regular de n vértices se puede construir con regla y compás, cuando n sea un número primo de la forma siguiente: n = 22k + 1, k = 1, 2, 3, … Y otro más: toda ecuación de grado n tiene al menos una raíz en los números com- plejos. Modelos de exposición sencilla y clara, aunque la demostración rigurosa sea bas- tante densa. PREGUNTA: ¿Quién inventó el telégrafo eléctrico? Propiedades metafísicas del número 5 Representa el fuego viviente, de acción circular. Pitágoras lo llama varón y hembra, alianza esencial, lo insuperable, lo inconquistable, lo que es justo por esencia y no admite disputa. Representa el deseo de la mano de obra y la purificación en el pensa- miento. Promete intuición para penetrar las causas primeras y las razones últimas, im- pulso para buscar y encontrar. Carmona-05.indd 244Carmona-05.indd 244 7/13/10 10:31:39 AM7/13/10 10:31:39 AM
  • Numeración griega, aproximadamente 400 a. C. La matemática y la longevidad 245 A’ 1 B’ 2 ϒ’ 3 ∆’ 4 E’ 5 F’ 6 Z’ 7 H’ 8 θ’ 9 I’ 10 K’ 20 ⌳’ 30 M’ 40 N’ 50 ⌶’ 60 O’ 70 ⌱⌱’ 80 Q’ 90 P’ 100 Σ’ 200 T’ 300 ␥’ 400 ⌽’ 500 χ’ 600 ␺’ 700 ⍀’ 800 H២ 900 ,A 1,000 Ejemplo: 282 = ␴␲␤ (también usaron las letras minúsculas). Cinco por ocho cuarenta, más siete, igual a 49. ¿Verdadero o falso? SOLUCIÓN: 5 × 8.40 + 7 = 49. La matemática y la longevidad “Grandes” del panteón matemático: Leibniz vivió hasta los 70 años, Euler hasta los 76, Lagrange hasta los 78 y también Gauss; Platón, que llamó a la matemática muleta de la filosofía, medicina del alma y, según se dice, no permitió que pasara algún día de su vida sin descubrir un teorema, vivió hasta los 82 años; Newton hasta los 85; Arquímedes, probablemente el que más se acerca en genio a Newton, vivió hasta los 75, pero pudo haber vivido hasta los 100 de no haber sido degollado, mientras resolvía un problema, por un soldado impaciente e irritable; Pitágoras abrió una escuela a los cincuenta y tantos, se casó con una joven a los sesenta y tantos y siguió trabajando con igual energía hasta el final, cuando tenía 99 años (según otra fuente: 86 años). Se pueden citar también: De Morgan (70), Cantor (73), Peano(74), Galileo (78), Legendre y Hilbert (81), Weierstrass (82), Dedekind y Borel (85), Hadamard (98), entre otros. La matemática no pudo remediar las naturalezas débiles y enfermizas de Abel (mu- rió a los 27 años, víctima de la tuberculosis), Riemann (a los 40, de la misma enferme- dad); ni tampoco los azares de la vida, como el caso de Galois, quien falleció a los 21 en un duelo. ¿Podríamos encontrar alguna explicación al hecho de que la mayoría de los “gran- des” pasara de los 70 años? ¿Hay en el mundo un estudio que lleve todas las facultades de la mente a un ejercicio tan armonioso y completo? Carmona-05.indd 245Carmona-05.indd 245 7/13/10 10:31:40 AM7/13/10 10:31:40 AM
  • 246 Capítulo 5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden HORIZONTALES 1. Viga sujeta en un extremo y el otro en voladizo. 2. Cólera, furia. Divinidad griega que representa a la Luna. 3. (Al réves). Dirigirse. Templos orientales. 4. Extremo inferior de la antena. Hidrocarburo gaseoso natu- ral, saturado acíclico, que se desprende de los pozos de petróleo. 5. Utilizo. Nombre de constante. O. u, de lo contrario (en inglés). 6. Vocal. Carruaje antiguo. Consonante. 7. Hermanos del padre o de la madre. Conjunción. Vocales. 8. Aparato para producir oscilaciones 9. Labiérnago, arbusto oleáceo. Símbolo del oxígeno. Ilustre familia de artistas alemanes de los siglos XVII y XVIII. 10. Símbolo del rodio. Cuerpo que oscila suspendido de un punto. VERTICALES 1. Conjuntos de conductores que recorre una corriente eléc- trica. 2. Cantos, melodías, solos. Río de Alemania que desagua en el Danubio. 3. Símbolo del sodio. Barroco, recargado. 4. Consonante. Símbolo del fósforo. De esta manera. En mú- sica, abreviatura de piano. 5. Nombre propio de mujer. Alabé. 6. Abogadillo. Picapleitos (femenino). Símbolo del nitrógeno. 7. Mazorcas de maíz verde. Donad. 8. Cada uno de los libros sagrados primitivos de la India. Símbolo del argón. (Al revés) utilizo. 9. Pequeño de tamaño, chico. Lago salado de Rusia. 10. Muelle, fuerza elástica de una cosa. Símbolo del molibdeno. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Carmona-05.indd 246Carmona-05.indd 246 7/13/10 10:31:40 AM7/13/10 10:31:40 AM
  • Definiciones básicas 247 Pruebas de convergencia de series Desarrollo de una función en series Operaciones con series de potencias Puntos notables Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos ordinarios, usando series de potencias Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares Método de Frobenius. Ecuación indicial Ecuación de Bessel Guillermo Bessel (1784-1846) Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 6 Carmona-06A.indd 247Carmona-06A.indd 247 7/13/10 10:33:17 AM7/13/10 10:33:17 AM
  • 248 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Introducción ¿Se puede demostrar que: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2− + − + − + =... ln ? Escribiendo de nuevo la expresión del lado izquierdo en su forma de serie de potencias (más general), tenemos: x x x x x x − + − + − + 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 ..., la cual es una serie convergente en: − < ≤1 1x Derivándola término a término: 1 2 3 4 5 − + − + − +x x x x x ... resulta una serie geométrica, con razón r = −x, que también converge y tiene el mismo radio de convergencia (como se vio en cálculo). Entonces, esta serie tiene como suma: 1 1+ x . Integrando este resultado para obtener la suma de la serie que fue derivada: 1 1 1 1 0 0 + = +( ) = +( )∫ t dt t x x x ln ln . Concluimos: x x x x x− + − + = + 2 3 4 2 3 4 1... ln( ) en − < ≤1 1x Hagamos x = 1: 1 1 2 1 3 1 4 2− + − + =... ln Como acabamos de comprobar, este capítulo nos da una herramienta poderosa para encontrar resultados notables y para resolver aquellas ecuaciones diferen- ciales que se dificultan por los medios anteriores o que tengan coeficientes va- riables. Primero se hará un repaso del tema sobre series que se vio en cálculo. Definición 6.1 Una serie de términos positivos es la suma de los términos de una suce- sión: a a a an n n = ∞ ∑ = + + + + 1 1 2 ... ... Carmona-06A.indd 248Carmona-06A.indd 248 7/13/10 10:33:18 AM7/13/10 10:33:18 AM
  • En el curso de cálculo se demostraron los siguientes teoremas llamados: Pruebas de convergencia de series a. Teorema de divergencia. Si lím n n n n a a →∞ = ∞ ≠ → ∑0 1 diverge. b. Prueba de la serie geométrica. Sea a rn n n = ∞ − ∑ 1 1 una serie geométrica, donde r es la razón. Si r ≥ →1 la serie diverge. Si r < →1 la serie converge, y converge a su suma a r1− . c. Prueba de la integral. Si an = f (n), donde f (x) es continua, decreciente y positiva → si f x dx( ) 1 ∞ ∫ converge, → = ∞ ∑an n 1 converge. Si f x dx( ) 1 ∞ ∫ diverge → = ∞ ∑an n 1 diverge. d. Series p (serie de Dirichlet). De la forma: 1 1 np n= ∞ ∑ Si p np n > → = ∞ ∑1 1 1 converge. Si p ≤ →1 la serie p diverge. e. Criterio de comparación: 1. Si cn n= ∞ ∑ 1 converge y a cn n≤ , para toda n, → = ∞ ∑an n 1 converge. 2. Si dn n= ∞ ∑ 1 diverge y a dn n≥ , para toda n, → = ∞ ∑an n 1 diverge. f. Criterio de comparación por límite. Sean an∑ y bn∑ dos series de términos positivos. 1. Si lím n n n a b c →∞ = > 0 → ambas series convergen o divergen. 2. Si lím n n n a b→∞ = 0 y si bn n= ∞ ∑ 1 converge, → = ∞ ∑an n 1 converge. Pruebas de convergencia de series 249 Carmona-06A.indd 249Carmona-06A.indd 249 7/13/10 1:55:01 PM7/13/10 1:55:01 PM
  • 250 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 3. Si lím n n n a b→∞ = +∞ y si bn n= ∞ ∑ 1 diverge, → = ∞ ∑an n 1 diverge. g. Criterio de la razón o cociente. Sea → = ∞ ∑an n 1 una serie y lím n n n a a L →∞ + =1 → Si L < 1 la serie converge, L > 1 la serie diverge, L = 1 no hay información acerca de la convergencia o divergencia. Definición 6.2 Una serie alternante es de la forma: −( ) = − + + −( ) + + + = ∞ ∑ 1 1 1 1 2 1 1 n n n n n a a a a... ... Pruebas de convergencia de las series alternantes a. Para que una serie alternante sea convergente deben cumplirse: 1. lím n na →∞ = 0 y, 2. a an n+ <1 para toda n. b. Prueba de la razón, la cual da convergencia absoluta. Clases de convergencia Si −( ) + = ∞ ∑ 1 1 1 n n n a converge y an n= ∞ ∑ 1 también converge, → −( ) + = ∞ ∑ 1 1 1 n n n a es absolutamente convergente. Si −( ) + = ∞ ∑ 1 1 1 n n n a converge y an n= ∞ ∑ 1 diverge → −( ) + = ∞ ∑ 1 1 1 n n n a es condicionalmente convergente. Carmona-06A.indd 250Carmona-06A.indd 250 7/13/10 10:33:21 AM7/13/10 10:33:21 AM
  • Definición 6.3 Una serie de potencias es de la forma: c x an n n ( )− = ∞ ∑ 1 (alrededor de x = a, según Taylor), o bien, c xn n n= ∞ ∑ 1 (alrededor de a = 0, según Maclaurin). Convergencia de las series de potencias Teorema 1 Sea c xn n n= ∞ ∑ 0 una serie de potencias → exactamente se cumple una de las tres: 1. La serie converge solamente cuando x = 0 2. La serie es absolutamente convergente para toda x ∈ ℜ (reales). 3. Existe un número R > 0 tal que la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x tales que x R< y diverge x R> . R es el radio de convergencia de la serie. Definición 6.4 El intervalo de convergencia absoluta es el intervalo abierto que contie- ne los valores de x para los cuales la serie de potencias converge. El conjunto de convergencia absoluta es la totalidad de los valores de x para los cuales la serie de potencias converge; es decir, consta del inter- valo abierto más los extremos del mismo, en caso de que también la serie converja en ellos. El radio de convergencia es la mitad de la longitud del intervalo abierto de convergencia absoluta. FORMA DE ENCONTRAR LA CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS Prueba de razón: lím n n n n n c x c x L →∞ + + = 1 1 Se toma L < 1 para encontrar los valores de x, en los cuales la serie converge. Pruebas de convergencia de series 251 Carmona-06A.indd 251Carmona-06A.indd 251 7/13/10 10:33:22 AM7/13/10 10:33:22 AM
  • 252 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series FORMAS DE DETERMINAR EL RADIO DE CONVERGENCIA 1. R c n n n = →∞ 1 lím 2. R c cn n n = →∞ + lím 1 EJEMPLO 1 Hallar el intervalo de convergencia absoluta de la serie: n xn n n 2 1 2 1−( ) = ∞ ∑ Sean c n xn n n = −( ) 2 2 1 y c n xn n n + + + = +( ) −( )1 2 1 11 2 1 → +( ) −( ) −( ) = − →∞ + + lím lím n n n n n n n x n x x 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 →→∞ + →∞ +( ) = − + + = − 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 n n n n n x n n n xlím 11 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 lím lím n n n n x x L →∞ →∞ + = − = − = Como la condición de convergencia es L < 1 → − < − < − < − < → − < < 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 3 x x x x , , ∴ el intervalo de convergencia absoluta es (−1, 3). EJEMPLO 2 Hallar el intervalo de convergencia absoluta de: n xn n +( ) = ∞ ∑ 1 1 ! lím lím n n n n n x n x x n x →∞ + →∞ +( ) +( ) = +( )= ∞ 2 1 2 1 ! ! Carmona-06A.indd 252Carmona-06A.indd 252 7/13/10 10:33:23 AM7/13/10 10:33:23 AM
  • Como la condición de convergencia es: x ∞ <1 → < ∞ <x x 1 0, ¡Absurdo! Esto significa que esta serie solamente converge en x = 0, ya que cuando x x n n = → +( )= →∞ 0 2 0lím y cuando x x n n ≠ → +( )= ∞ →∞ 0 2lím ∴ la serie converge en x = 0 EJEMPLO 3 Hallar el intervalo de convergencia absoluta de: x n n n n= ∞ ∑ 1 lím lím n n n n n n n n n n x n x n x n x n→∞ + + →∞ + +( ) = +( ) 1 1 1 1 1 ++1 = +( ) +( ) = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟→∞ →∞ x n n n x n nn n n n n lím lím lím 1 1 1 nn n→∞ + 1 1 Tomando el lím n n n n→∞ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 para ver si no da ∞ y evitar así la forma indetermi- nada ∞ ؒ 0, vemos que: lím lím n n n n nn n e n →∞ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = →∞ 1 1 ln = = →∞ →∞ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + +( )− e e n n n n n n n n n n lím lím ln 1 1 1 1 1 ++( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ − 1 1 2 2 n = = →∞ →∞ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ e e n n n n n n n lím lím 1 1 1 1 12 = =→∞ −( ) − e en lím 1 1 ∴ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = →∞ →∞ − x n n n x e n n n lím lím 1 1 1 01 ؒ Haciendo x x0 1< → < ∞ y el intervalo de convergencia absoluta es (−∞, ∞). Pruebas de convergencia de series 253 Carmona-06A.indd 253Carmona-06A.indd 253 7/13/10 10:33:24 AM7/13/10 10:33:24 AM
  • 254 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series EJEMPLO 4 Hallar el conjunto de convergencia de la serie: n n x n n 3 1 1 2 + −( ) = ∞ ∑ lím lím n n n x n n x n n x →∞ + −( ) + +( ) + −( ) + = − 2 1 1 1 2 1 2 1 3 3 nn n n n n→∞ +( ) + +( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 3 3 1 1 1 1 = − + + + + + →∞ →∞ x n n n n n nn n 2 1 3 3 2 13 3 2 lím límؒ = − + + + + + →∞ →∞ x n n n n nn n 2 1 1 1 3 3 2 1 13 2 3 lím límؒ = −x 2 1 1( )( ). ∴ − <x 2 1, − < − <1 2 1x , 1 3< <x , intervalo de convergencia absoluta: (1, 3). Para x = 1 → −( ) += ∞ ∑ 1 13 1 n n n n lím lím lím n n n n n n n n→∞ →∞ − →∞+ = = =3 1 2 2 5 21 1 2 3 1 6 0 y n n n n + +( ) + < + 1 1 1 13 3 porque n n n n n n n 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1+( ) + +( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ +( ) < +( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ +11 1 1 3 3 ( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ +( )n → converge absolutamente en x = 1 Para x = 3 → += ∞ ∑ n nn 3 1 1 , comparándola con: n n nn n 3 1 5 21 1 = ∞ = ∞ ∑ ∑= : Serie p = > → 5 2 1 converge. Carmona-06A.indd 254Carmona-06A.indd 254 7/13/10 10:33:25 AM7/13/10 10:33:25 AM
  • Como n n n n n nn 3 3 3 11 1 > + → += ∞ ∑ converge. ∴ el conjunto de convergencia es 1 3, .[ ] EJEMPLO 5 Hallar el radio de convergencia de la serie: e xn n n 1 1 1 + = ∞ ∑ lím lím n n n n n n n ne x e x x e →∞ + + + →∞ + − = 1 1 2 1 1 1 1 1 = = ( )→∞ − +( ) x e x n n n lím 1 1 1 → < − < <x x1 1 1, Intervalo de convergencia absoluta: (−1, 1) Para x = 1 → = ∞ ∑e n n 1 1 y lím n n e e →∞ = = 1 0 1 Como 1 0 1 1 ≠ → = ∞ ∑e n n diverge. Para x = −1 → −( ) = ∴ + = ∞ →∞ ∑ 1 11 1 1 1 n n n n n e elím diverge. Conjunnto de convergencia: ( , )− ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 1 1 Radio de convergencia: R R= − −( ) = = ∴ = 1 1 2 2 2 1 1. O bien, R e e n n n = →∞ + lím 1 1 1 = = = ∴ = →∞ − + →∞ + lím lím n n n n n n e e R 1 1 1 1 1 1 1( ) . Pruebas de convergencia de series 255 Carmona-06A.indd 255Carmona-06A.indd 255 7/13/10 10:33:27 AM7/13/10 10:33:27 AM
  • 256 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series EJEMPLO 6 Hallar el intervalo, el conjunto y el radio de convergencia de la serie: −( ) −( ) = ∞ ∑ 1 5 31 n n n n x n lím lím n n n n n n n x n x n n x →∞ + + →∞ −( ) +( ) −( ) = 5 1 3 5 3 3 1 1 −−( ) +( ) −( ) + + 5 1 3 5 1 1 n n n n x = − + = − ( )→∞ 1 3 5 1 1 3 5 1x n n x n lím , → − < − < − < − < 1 3 5 1 5 3 3 5 3x x x, , , 2 8< <x . ∴ el intervalo de convergencia absoluta es (2, 8). Para x = 8 → −( ) = −( ) = ∞ = ∞ ∑ ∑1 3 3 1 1 1 1 n n n n nn n Primera prueba de alternantes: lím n n→∞ = 1 0 Segunda prueba de alternantes: 1 1 1 n n+ < en x = 8 la serie converge condicionalmente. Para x = 2 → −( ) −( ) = −( ) −( ) −( ) = ∞ = ∞ ∑ ∑1 3 3 1 1 3 31 1 n n n n n n n n nn n = −( ) = = ∞ = ∞ ∑∑ 1 1 12 11 n nn n n ؒ , divergente. ∴ el conjunto de convergencia es (2, 8) Radio R = − = = 8 2 2 6 2 3. ∴ R = 3 Carmona-06A.indd 256Carmona-06A.indd 256 7/13/10 10:33:28 AM7/13/10 10:33:28 AM
  • EJEMPLO 7 n x n n n n ! −( ) = ∞ ∑ 1 1 lím l n n n n n n x n n x n x →∞ + + +( ) −( ) +( ) −( ) = − 1 1 1 1 1 1 1 ! ! íím n n n n→∞ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 Pero lím lím lím n n n n n n n n e en n →∞ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = =→∞ →∞ 1 1 ln ln nn n +1 1 = = = →∞ →∞ − +( ) − + − e e e n n n n n n n lím lím 2 1 1 1 . → − <− x e1 11 , x e− <1 , − < − <e x e1 y − + < < +e x e1 1. R e e e e= + − − + = = 1 1 2 2 2 ( ) , Para x e n e n n n n = + → = ∞ ∑1 1 ! , diverge. Comparando con 1 1 nn= ∞ ∑ divergente, tenemos: n e n n n e n n n n n! , ! ? ? > > −1 1 Lo comprobaremos por inducción: para k = 1 vemos 1 1 11 0 ! , .e e> > Sea k e kk k ! > −1 (1) → +( ) > +( )+ k e kk k 1 11 ! , ¿será cierto? (2) El término por el cual multiplicamos (1) para obtener (2) en el primer miem- bro es k e+( )1 ; ¿por qué cantidad debemos multiplicar kk−1 para que resulte k k +( )1 ? k x k x k k k kk k k k k − −( )= +( ) = +( ) = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 1 1 1 1 , Pruebas de convergencia de series 257 Carmona-06A.indd 257Carmona-06A.indd 257 7/13/10 10:33:28 AM7/13/10 10:33:28 AM
  • 258 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Para que k e k k k +( ) > + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 1 1 , vemos si 1 1 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ k k es creciente, pues de ser así hará una convergencia a e. Una sucesión es creciente si 1 1 1 1 1 1 + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ > + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + k k k k para toda k. Vamos a verificarlo. Comparemos: 1 1 1 1 1 1 + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + k k k k ? k k k k k k + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +2 1 2 1 ? 11 k k ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , pero k k k k + + < +2 1 1 ; porque k k k k k k k +( ) +( ) < +( ) +( ) 2 1 1 1 2 Entonces, k k k k k k k+( ) +( ) + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +2 1 2 1 ? 11 1 2 ( ) +( )k k k k k k k k k +( ) +( ) +( ) +( ) 2 1 1 1 2 2 3 ? 22 Comparando los numeradores: k k k k k k k k k+( ) > +( ) + + > + + +2 1 4 4 3 3 1 2 3 3 2 3 2 , , Entonces, 4 4 3 3 12 2 k k k k+ > + + , para toda k. ∴ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ > +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + k k k k k k 2 1 1 1 → + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = →∞ lím n k k e1 1 . Podemos establecer: k e ek k k k +( ) > > + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 1 1 y por transitividad k e k k k +( ) > + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 1 1 para toda k y n e n n n n ! = ∞ ∑ 1 es divergente. ∴ el conjunto de convergencia es − + +( )e e1 1, . Carmona-06A.indd 258Carmona-06A.indd 258 7/13/10 10:33:30 AM7/13/10 10:33:30 AM
  • EJERCICIOS 6.1 Encontrar el intervalo, el conjunto y el radio de convergencia de las siguien- tes series de potencias. Conjunto de convergencia Radio 1. n n xn n += ∞ ∑ 21 −( )1 1, 1 2. x n n n 2 1 1+= ∞ ∑ −[ ]1 1, 1 3. 3 21 n n n n x = ∞ ∑ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 3 2 3 , 2 3 4. x n n n 2 2 1= ∞ ∑ −[ ]1 1, 1 5. x n n −( ) = ∞ ∑ 2 1 1 3,( ) 1 6. x n n n= ∞ ∑ 1 −[ )1 1, 1 7. x n n n −( ) = ∞ ∑ 1 1 ! −∞ ∞( ), ∞ 8. x n n n +( ) += ∞ ∑ 2 12 1 − −[ ]3 1, 1 9. n xn n ! = ∞ ∑ 1 Sólo converge en x = 0 0 10. n xn n n ! 91= ∞ ∑ Sólo converge en x = 0 0 11. n n xn n 2 1 != ∞ ∑ −∞ ∞( ), ∞ 12. x n n n −( ) = ∞ ∑ 3 1 2 4,[ ) 1 13. x n n n n −( ) = ∞ ∑ 2 22 1 0 4,[ ] 2 14. x n n n != ∞ ∑ 1 −∞ ∞( ), ∞ Pruebas de convergencia de series 259 Carmona-06A.indd 259Carmona-06A.indd 259 7/13/10 10:33:32 AM7/13/10 10:33:32 AM
  • 260 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 15. x n n n 2 1= ∞ ∑ −( )1 1, 1 16. 1 1 n xn n != ∞ ∑ Absolutamente convergente para toda x ≠ 0 17. n x n n −( )= ∞ ∑ 11 x < 0 o x > 2 −∞( )∪ ∞( ), ,0 2 * 18. n xn n +( ) + = ∞ ∑ 1 1 1 ! Diverge en todos los reales 19. 5 4 31 n n n n x n −( ) = ∞ ∑ 17 5 23 5 , ⎡ ⎣⎢ ⎞ ⎠⎟ 3 5 20. n x n n n ! −( ) = ∞ ∑ 3 1 Sólo converge en x = 3 0 21. xn n= ∞ ∑ 1 −( )1 1, 1 22. 2 2 1 n n n n x != ∞ ∑ −( ) −∞ ∞( ), ∞ 23. x n n n n ln= ∞ ∑ 1 −[ )1 1, 1 24. −( ) += ∞ ∑ 1 2 11 n n n x n −( ]1 1, 1 25. −( ) −( )+ = ∞ ∑ 1 3 31 1 n n n n x n 8 3 10 3 , ⎛ ⎝⎜ ⎤ ⎦⎥ 1 3 26. −( ) −( ) = ∞ ∑ 1 4 1 n n n x 3 5,( ) 1 27. −( ) +( ) −( ) = ∞ ∑ 1 1 5 2 3 1 n n nn n x 4 6,( ] 1 28. x n n n +( ) = ∞ ∑ 2 2 ln − −[ )3 1, 1 29. sen 1 32 1 n x n n = ∞ ∑ −( ) 2 4,[ ] 1 30. 3 3 1 n n n nn n x ! = ∞ ∑ −( ) 3 3 3 3 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ e e , e 3 * No está definido el radio de convergencia para intervalos de este tipo. Carmona-06A.indd 260Carmona-06A.indd 260 7/13/10 10:33:34 AM7/13/10 10:33:34 AM
  • En los siguientes ejercicios, elegir la opción que contiene el conjunto de con- vergencia absoluta y el radio de convergencia. 31. 3 5 2 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −( ) = ∞ ∑ n n n x a. Conjunto de convergencia absoluta 1 3 11 3 , ⎡ ⎣⎢ ⎞ ⎠⎟ b. Radio de convergencia R = 1 c. Conjunto: 1 3 11 3 , ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ y R = 5 3 d. Conjunto: 1 3 11 3 , ⎛ ⎝⎜ ⎤ ⎦⎥ y R = 1 32. n n x n n +( ) +( ) = ∞ ∑ 1 3 1 ! a. Conjunto: −( )3 3, y R = 3 b. Conjunto: −∞ ∞( ), y R = ∞ c. Conjunto: −[ ]3 3, y R = 3 d. Conjunto: sólo x = −3 33. n xn n n +( ) −( ) = ∞ ∑ 1 7 1 1 ! a. Intervalo: −[ ]1 1, b. Intervalo: −[ )1 1, c. Radio: R = 1 d. Sólo converge en x = 1 34. n x n n 2 1 4−( )= ∞ ∑ a. Intervalo: 3 5 1, ,( ) =R b. Conjunto: −∞( )∪ ∞( ), ,3 5 c. Conjunto: 3 5,[ ] d. Sólo converge en x = 4 35. n n x n n n ! −( ) = ∞ ∑ 3 1 a. Intervalo: 3 1 3 1 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ e e , b. Intervalo: −( ) =3 3 3, ,R Pruebas de convergencia de series 261 Carmona-06A.indd 261Carmona-06A.indd 261 7/13/10 10:33:37 AM7/13/10 10:33:37 AM
  • 262 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series c. Intervalo: −[ ] =3 3 1 , ,R e d. Conjunto: −[ )3 3, 36. x n n n n +( ) = ∞ ∑ 3 33 1 a. Conjunto: −∞ −( )∪ ∞( ), ,6 0 b. Conjunto: −( ] =6 0 1, ,R c. Conjunto: −[ ] =6 0 3, ,R d. Conjunto: −∞ −( ]∪ ∞[ ), ,6 0 37. −( ) −= ∞ ∑ 1 51 n n n x n a. Conjunto: −( ] =1 1 1, ,R b. Conjunto: −[ ) =1 1 1, ,R c. Conjunto: −( ) =1 1 1, ,R d. Conjunto: −[ ] =1 1 1, ,R Respuestas: 31. c. 32. b. 33. d. 34. b. 35. a. 36. c. 37. a. Desarrollo de una función en series ¿Cómo podemos aplicar estos conceptos a la resolución de ecuaciones diferen- ciales? y ¿por qué las hemos repasado? Hasta ahora, el estudio de las ecuaciones diferenciales se ha limitado a las que tenían coeficientes constantes y variables en las de Cauchy-Euler, pero ¿cómo resolver las ecuaciones de la forma: f x y g x y h x y r x( ) ( ) ( ) ( )?″ ′+ + = Donde f, g, h y r son funciones polinomiales, racionales o trascendentes. Des- pués de algunas definiciones necesarias, se expondrá el método de solución de tales ecuaciones mediante series de potencias. Son muchas las funciones que pueden desarrollarse en series de potencias, para lo cual se emplea la fórmu- la de Taylor: f a x a n n n n ( ) = ∞ ( ) −( ) ∑ !0 donde f (n) (a) significa la n-ésima derivada de la función evaluada en x = a y a es el valor alrededor del cual se desarrolla la serie. Si a = 0, entonces la serie se llama de Maclaurin. Carmona-06A.indd 262Carmona-06A.indd 262 7/13/10 10:33:40 AM7/13/10 10:33:40 AM
  • EJEMPLO 1 Encontrar la serie de potencias de la función: y = ln cos x para a = 0 → y = ln cos x y(0) = ln cos 0 = 0 y x x x′ = − = − sen cos tan y′(0) = −tan 0 = 0 y″ = −sec2 x y″(0) = −sec2 0 = −1 y″′ = −2 sec2 x tan x y″′(0) = 0 yIV = −2 sec4 x −4 sec2 x tan2 x yIV (0) = −2 yV = −16 sec4 x tan x −8 sec2 x tan3 x, yV (0) = 0 yVI = −16 sec6 x −64 sec4 x tan2 x −16 sec2 x tan4 x −24 sec4 x tan2 x yVI (0) = −16, etcétera. → ln cos x x x x x x x x = + − + − + − 0 0 0 1 2 0 3 2 4 0 5 16 6 0 1 2 3 4 5 6 ! ! ! ! ! ! ! ++ ... ∴ ln cos x x x x = − − − − 2 4 6 2 12 45 ... Algunas series pueden expresarse cómodamente por su n-ésimo término. EJEMPLO 2 Hallar la serie de potencias correspondiente a: y x = 1 para a = 1 y x x = = 1 0! y(a) = 1 y x x ′ = − = − 1 1 2 2 ! y′(1) = −1! y x x ″ = = 2 2 3 3 ! y″( ) !1 2= y x x ″′ = − = − 6 3 4 4 ! y″′( ) !1 3= − y x x IV = = 24 4 5 5 ! yIV ( ) !1 4= Desarrollo de una función en series 263 Carmona-06A.indd 263Carmona-06A.indd 263 7/13/10 10:33:41 AM7/13/10 10:33:41 AM
  • 264 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series y x x V = − = − 120 5 6 6 ! yV ( ) !,1 5= − etcétera. → = − − + − − − + − − − +y x x x x x1 1 1 1 1 12 3 4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... = −( ) − = ∞ ∑ 1 1 1 n n n x( ) , en 0 2< <x . EJEMPLO 3 Hallar la serie de potencias de la función: y x= cos2 para a = ␲ 4 y x= cos2 y ␲ 4 2 2 1 2 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = y x x′ = −2cos sen y′ ␲ 4 2 2 2 2 2 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − y x x″ = − +2 22 2 cos sen y″ ␲ 4 2 1 2 2 1 2 0 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = y x x x x″′ = + +4 4cos cossen sen y″′ ␲ 4 8 2 2 2 2 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = = 8cos x xsen y x xIV = −8 82 2 cos sen yIV ␲ 4 8 1 2 8 1 2 0 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − = y x x x x x xV = − − = −16 16 32cos cos cossen sen sen yV ␲ 4 32 2 2 2 2 16 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − , etcétera. y x x x = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 2 4 4 4 3 16 4 3 ␲ ␲ ␲ ! 55 5! ...+ ∴ = + −( ) −( ) − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − = ∞ − ∑y n x n n n n 1 2 1 4 2 1 4 1 1 2 1 ! ␲ Carmona-06A.indd 264Carmona-06A.indd 264 7/13/10 10:33:42 AM7/13/10 10:33:42 AM
  • EJERCICIOS 6.2 Representar las siguientes funciones, por medio de series de potencias, en el punto x = a indicado. 1. y e ax = =, 0 e x n x n n = = ∞ ∑ !0 2. y e ax = =, 1 e e x n x n n = −( ) = ∞ ∑ 1 0 ! 3. y e ax = =− , 0 e x n x n n n − = ∞ = −( )∑ 1 0 ! 4. y x a= − = 1 1 0, 1 1 0− = = ∞ ∑x xn n 5. y x a= =senh , 0 senh x x n n n = +( ) + = ∞ ∑ 2 1 0 2 1 ! 6. y x a= =cosh , 0 cosh ! = ( )= ∞ ∑ x n n n 2 0 2 7. y x a= =sen , 0 sen x x n n n n = −( ) +( ) + = ∞ ∑ 1 2 1 2 1 0 ! 8. y x a= =sen , ␲ 2 sen x x n n n n = −( ) − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ( ) + = ∞ ∑ 1 2 2 2 1 0 ␲ ! 9. y x a= =cos , 0 cos ! x x n n n n = −( ) ( )= ∞ ∑ 1 2 2 0 10. y x a= =cos , ␲ cos ! x x n n n n = −( ) −( ) ( ) + = ∞ ∑ 1 2 1 2 0 ␲ 11. y a ax = =, 0 a x a n x n n = ( ) = ∞ ∑ ln !0 12. Sea y = ln x, donde x ≥ 1 ln x x n n n n = −( ) −( )+ = ∞ ∑ 1 11 0para a = 1 13. y x a= + =ln( ),1 0 ln( )1 1 1 0 + = −( ) + = ∞ ∑x x n n n n 14. y x a= =tan , 0 tan ...x x x x x = + + + + 3 5 7 3 2 15 17 315 Desarrollo de una función en series 265 Carmona-06A.indd 265Carmona-06A.indd 265 7/13/10 10:33:45 AM7/13/10 10:33:45 AM
  • 266 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 15. y x a= =− tanh ,1 0 tanh ! − + = ∞ = +( )∑1 2 1 0 2 1 x x n n n 16. y x a= =− tan ,1 0 tan ! − + = ∞ = −( ) +( )∑1 2 1 0 1 2 1 x x n n n n 17. y e ax = =sen , 0 e x x xxsen = + + − +1 2 8 2 4 ... 18. y e x ax = =sen , 0 e x x x x xx sen = + + + +2 3 5 3 30 ... 19. y xe ax = =, 0 xe x n x n n = + = ∞ ∑ 1 0 ! 20. y e x ax = =cos , 0 e x x x x xx cos ...= + − − − +1 3 6 30 3 4 5 21. y x e ax = =2 0, x e x n x n n 2 2 0 = + = ∞ ∑ ! 22. y x a= =senln , 1 senln ! ! ...x x x x = −( )− −( ) + −( ) −1 1 2 1 3 2 3 23. y x a= − =1 0, 1 1 2 8 16 5 108 7 256 2 3 4 5 − = − − − − − −x x x x x x ... 24. y x a= =3 1, x x x x3 2 3 1 1 3 1 1 9 1 5 81 1= + −( )− −( ) + −( ) − −( ) + −( ) − 10 243 1 22 279 1 4 5 x x ... 25. y e ax = = 2 0, e x n x n n 2 2 0 = = ∞ ∑ ! 26. y x x a= + − =ln , 1 1 0 ln 1 1 2 2 1 2 1 0 + − = + + = ∞ ∑ x x x n n n 27. y x a= =, 9 x x x x = + −( ) − −( ) ( ) + −( ) ( ) 3 9 6 9 8 3 9 16 3 2 3 3 5 − −( ) ( ) + −( ) ( ) − 5 9 384 3 7 9 256 3 4 6 5 9 x x ... En los siguientes ejercicios, elegir la opción que contiene la serie de la fun- ción dada: 28. y e x a x = − = 1 0, Carmona-06A.indd 266Carmona-06A.indd 266 7/13/10 10:33:47 AM7/13/10 10:33:47 AM
  • a. −( ) + = ∞ ∑ 1 1 0 n n n x n! c. x n n n +( )= ∞ ∑ 10 ! b. x n n n −( ) + = ∞ ∑ 1 1 0 ! d. x n n n −( ) +( )= ∞ ∑ 1 10 ! 29. y x a= =, 1 a. 1 1 2 1 1 3 5 2 3 2 1 1 2 + − + −( ) −( ) −(+ = ∞ ∑ x n n x n n n ؒ ؒ ؒ ؒ... ! ))n b. x x x x− − −( ) + −( ) − −( ) + 1 2 1 2 2 3 1 3 2 15 1 4 2 2 2 3 3 4 4 ! ! ! .... c. x x x x− − −( ) + −( ) − −( ) + 1 2 1 2 3 1 2 15 1 2 2 2 3 3 4 4 ... d. 1 1 2 1 1 3 5 2 3 2 1 1 2 + − + −( ) −( ) −( )+ = ∞ ∑ x n x n n n nؒ ؒ ؒ ؒ... 30. y e x ax = +( ) =− 1 0, a. −( ) −( )+ = ∞ ∑ 1 11 0 n n n n n x ! b. 1 1 1 0 + −( ) −( ) = ∞ ∑ n n n n n x ! c. −( ) −( ) = ∞ ∑ 1 1 0 n n n n n x ! d. 1 1 11 2 + −( ) −( )+ = ∞ ∑ n n n n n x ! 31. y e ax = =cos , 0 a. 1 2 4 4 2 4 − + − x x ! ! ... b. e x x − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 4 2 4 4! ! ... c. e x x 1 2 4 4 2 4 − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟! ! ... d. − + − x x2 4 2 4 4! ! ... Desarrollo de una función en series 267 Carmona-06A.indd 267Carmona-06A.indd 267 7/13/10 10:33:50 AM7/13/10 10:33:50 AM
  • 268 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 32. y x a= =sen2 2 , ␲ a. − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −x x ␲ ␲ 2 2 3 2 4 ... b. 1 2 2 3 2 4 − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −x x ␲ ␲ ... c. 1 2 2 8 2 3 2 4 − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − x x ␲ ␲ ! ... d. − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −x x ␲ ␲ 2 8 2 4 2 4 ! ... Respuestas: 28. c. 29. a. 30. d. 31. c. 32. b. Definición 6.5 Función analítica en un punto. La función f(x) es analítica en x0 si se puede desarrollar una serie de potencias de x − x0 → = ( ) −( )( ) = ∞ ∑f x f x x x n n n n ( ) ! 0 0 0 Teorema 2. Analiticidad 1. Si f(x) y g(x) son analíticas en x0 → +f x g x f x g x( ) ( ), ( ) ( ) y f (x)/g(x), g(x) ≠ 0 Son analíticas en x0 2. Si f(x) es analítica en x0 y f −1 (x) es la función inversa, continua, con f′(x0 ) ≠ 0 → f −1 (x) es analítica en x0 3. Si g(x) es analítica en x0 y f(x) es analítica en g(x0 ) → f[g(x)] es analítica en x0 Carmona-06A.indd 268Carmona-06A.indd 268 7/13/10 10:33:52 AM7/13/10 10:33:52 AM
  • EJEMPLO 1 a. Las funciones ex , cos x y sen x son analíticas en todos los reales. Observemos: e x n x x x xx n n = = + + + + + = ∞ ∑ ! ! ! ! ... 0 2 3 4 1 2 3 4 Por la prueba de la razón obtenemos el intervalo de convergencia absoluta: lím lím n n n n n n x n x n n x n x x →∞ + →∞ + +( ) = +( ) = 1 1 1 1 ! ! ! ! llím n n→∞ + 1 1 = x 0, como la condición de convergencia es x 0 1< → −∞ < < ∞x con R = ∞ y la función ex converge en todos los reales ∴ la función es analítica en x ∈ R b. La serie e xn n n 1 1 1 + = ∞ ∑ Es analítica en toda x ∈ −( )1 1, Operaciones con series de potencias SUMA Dos series de potencias pueden sumarse término a término. Sean a x x f xn n n −( ) = = ∞ ∑ 0 0 ( ) y b x x g xn n n −( ) = = ∞ ∑ 0 0 ( ) con radio de convergencia R > 0 → + = +( ) −( ) = ∞ ∑f x g x a b x xn n n n ( ) ( ) 0 0 Para toda x x R− <0 PRODUCTO Dos series de potencias pueden multiplicarse término a término (cada término de la primera por cada término de la segunda). Sean a x x f xn n n −( ) = = ∞ ∑ 0 0 ( ) y b x x g xn n n −( ) = = ∞ ∑ 0 0 ( ) Operaciones con series de potencias 269 Carmona-06A.indd 269Carmona-06A.indd 269 7/13/10 10:33:54 AM7/13/10 10:33:54 AM
  • 270 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series → = + + +( ) −( )− = ∞ ∑f x g x a b a b a b x xn n n n ( ) ( ) ...0 1 1 0 0 0 nn para toda x x R− <0 . DERIVACIÓN Una serie de potencias puede derivarse término a término. Sea y x a x xn n n ( ) = −( ) = ∞ ∑ 0 0 una serie convergente para x x R− <0 , donde R > 0 → = −( ) − = ∞ ∑y x na x xn n n ′( ) 0 1 1 también converge y tiene el mismo radio de convergencia que y(x) INTEGRACIÓN Una serie de potencias puede integrarse término a término. Sea y x a x xn n n ( ) = −( ) = ∞ ∑ 0 0 una serie convergente para x x R− <0 , donde R > 0 → = + −( )∫ ∑ + = ∞ y t dt a n x x x n n n ( ) 0 0 1 0 1 y tiene a R como radio de convergencia. Las demostraciones pueden encontrarse en los libros de cálculo diferencial e integral. EJERCICIOS 6.3 Determinar si las funciones siguientes son desarrollables en series de poten- cias de x en el punto indicado. 1. y x = 1 en x = 0 Respuesta: no. 2. y x = 1 en x = 1 Respuesta: 1 1 1 0 2 0x x x n n n = −( ) −( ) < < = ∞ ∑ , . 3. y x = 1 2 en x = 0 Respuesta: no. Carmona-06A.indd 270Carmona-06A.indd 270 7/13/10 10:33:55 AM7/13/10 10:33:55 AM
  • 4. y x = 1 2 en x = −1 Respuesta: 1 1 1 2 02 0x n x x n n = +( ) +( ) − < < = ∞ ∑ , . 5. y x x x x= + − + −4 3 2 2 6 en x = 0 Respuesta: sí, es el mismo polinomio. 6. y x x x= + − + 1 3 1 2 73 2 en x = −1 Respuesta: y x x x = − +( )− +( ) + +( )49 6 1 1 2 1 3 2 3 7. y x= en x = −1 Respuesta: no. 8. ¿Será convergente la serie que resulta de restar x n n n 2 1 1 1 1 + −[ ) = ∞ ∑ , , de la serie x n n n , , ?−[ ) = ∞ ∑ 1 1 1 Respuesta: diverge. 9. ¿Es posible encontrar dos series de términos positivos cuya suma sea convergente y cuya diferencia diverja? Respuesta: 1 1 nn= ∞ ∑ y − = ∞ ∑ 1 1 nn 10. Se dan dos series de términos positivos divergentes 1 2 n nn ln= ∞ ∑ y 1 2 nn= ∞ ∑ determinar la convergencia de su suma. Respuesta: diverge. 11. ¿Cuál es la serie de potencias de la función x2 e −x ? Una vez obtenida, derivarla término a término para demostrar que: −( ) + = + = ∞ ∑ 2 2 4 1 1 n n n n! Respuesta: x e x n x n n n 2 2 0 1− + = ∞ = −( )∑ ! 12. Encontrar cos 10° con una aproximación de cuatro cifras decimales. Respuesta: 0.9847 13. Calcular el valor de la integral mediante series de potencias, aproximan- do a cuatro cifras decimales. f x dx( ) , 0 1 ∫ donde f x e x x x x ( ) , , = − ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 1 0 1 0 Respuesta: 1.3179 Operaciones con series de potencias 271 Carmona-06A.indd 271Carmona-06A.indd 271 7/13/10 10:33:56 AM7/13/10 10:33:56 AM
  • 272 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 14. Lo mismo que en el ejercicio 13, para: dx x1 4 0 1 2 +∫ Respuesta: 0.49397. 15. Elegir la opción que contiene el valor de dx x1 3 0 1 4 +∫ , con una aproxima- ción de cuatro cifras decimales, usando series de potencias. Sugerencia: usar 1 1 0− = = ∞ ∑x xn n a. 0 24903 3 1 3 1 0 . = + + = ∞ ∑ x n n n b. 0 24903 1 3 1 3 1 0 . = −( ) + + = ∞ ∑ n n n x n c. 0 25098 3 1 3 1 0 . = + + = ∞ ∑ x n n n d. 0 25098 1 3 1 3 1 0 . = −( ) + + = ∞ ∑ n n n x n 16. Elegir la opción que da el valor de 1 e usando series con una aproxima- ción de cuatro cifras decimales. a. e − = + + + + + + 1 2 1 1 2 1 8 1 48 1 384 1 3840 ... b. e − = − + − + − + 1 2 1 1 2 1 2 1 6 1 24 ... c. e − = − + − + − 1 2 1 1 2 1 2 1 6 1 24 ... d. e − = − + − + − + 1 2 1 1 2 1 8 1 48 1 384 1 3840 ... 17. Sabiendo que 1 1 1 1 0− = − < < = ∞ ∑x x xn n , hallar la opción que contiene la serie que corresponde a la función 1 1 3 −( )x y encontrar su intervalo de convergencia. Sugerencia: usar derivación. a. nx x n n − = ∞ ∑ − < < 1 1 1 1, b. n n x xn n +( ) +( ) < < = ∞ ∑ 1 2 0 2 1 , c. n x xn n +( ) − < < = ∞ ∑ 1 2 0 0 , Carmona-06A.indd 272Carmona-06A.indd 272 7/13/10 10:33:58 AM7/13/10 10:33:58 AM
  • d. 1 2 1 1 1 2 2 n n x x n n −( ) − < < − = ∞ ∑ , Respuestas: 15. b. 16. d. 17. d. Puntos notables Definición 6.6 Punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma: y″ + f(x)y′ + g(x)y = 0, es aquel punto x0 en el cual ambas funciones f(x) y g(x) son analíticas; es decir, pueden representarse en series de potencias de (x − x0) con radio de convergencia R > 0. EJEMPLO 1 Encontrar los puntos ordinarios de: x x y xy x y2 1 2 0−( ) + + + =″ ′ ( ) Primero estableceremos cuáles son exactamente las funciones f(x) y g(x), dividiendo la ecuación entre x x2 1−( ): y x y x x x y″ ′+ − + + −( ) = 1 1 2 1 02 2 donde f x x ( ) = − 1 12 y g x x x x ( ) ,= + −( ) 2 12 f(x) no es analítica en x = ±1 g(x) no es analítica en x = 0, x = ±1 ∴ los puntos ordinarios de la ecuación diferencial dada son todas las x ∈ ℜ, excepto x = 0 y x = ±1. EJEMPLO 2 ¿Será x = 0 un punto ordinario de la ecuación xy x y x y″ ′+ + =2 0( ) ?sen f x x x x( ) = = 2 analítica en todos los ℜ, Puntos notables 273 Carmona-06A.indd 273Carmona-06A.indd 273 7/13/10 10:33:59 AM7/13/10 10:33:59 AM
  • 274 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series g x x x x x x x x ( ) ! ! ! ...= = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ sen 1 3 5 7 3 5 7 = − + − +1 3 5 7 2 4 6 x x x ! ! ! ... también es analítica en todos los ℜ, ∴ los puntos ordinarios de esta ecuación son los reales. Definición 6.7 Punto singular de la ecuación diferencial: y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 es aquel punto x0, en el cual al menos una de las funciones f(x) y g(x) no tiene representación en serie de potencias de x − x0. Se observa, por lo tanto, que un punto singular es un punto no ordi- nario. EJEMPLO 1 El punto x0 = 0 es un punto singular de la ecuación diferencial: y x x y″ ′+ ( ) =ln ,0 porque la función ln x no tiene una serie de potencias que la represente en cero. EJEMPLO 2 Hallar los puntos singulares de: x x y x x y xy2 3 2 1 1 0−( ) + −( ) + =″ ′ f x x x x x x x( ) ( )= −( ) −( ) = − 3 2 2 1 1 1 es analítica para toda x, g x x x x x x ( ) = −( ) = −( )2 1 1 1 no es analítica en 0 y 1, ∴ los puntos singulares son x = 0 y x = 1. Vemos que los coeficientes polinomiales darán puntos ordinarios en donde las funciones estén definidas y puntos singulares en donde no lo estén. Carmona-06A.indd 274Carmona-06A.indd 274 7/13/10 10:34:01 AM7/13/10 10:34:01 AM
  • EJEMPLO 3 Dada xy x y″ + =(cos ) ,0 ¿tendrá algún punto singular? g x x x ( ) cos = no es analítica en x = 0. Por lo tanto, x = 0 es un punto singular y todos los puntos x ≠ 0 son ordina- rios. EJEMPLO 4 La ecuación de Cauchy-Euler: ax y bxy cy2 0″ ′+ + = donde a, b, c son cons- tantes, tiene un punto singular en x = 0 ya que f x b ax ( ) = y g x c ax ( ) = 2 no están definidas en x = 0. Todos los demás puntos (reales o complejos) son puntos ordinarios. EJEMPLO 5 La ecuación de Bessel: x y xy x v y2 2 2 0″ ′+ + −( ) = tiene un punto singular en x = 0. EJEMPLO 6 La ecuación de Legendre: 1 2 1 02 −( ) − + + =x y xy n n y″ ′ ( ) tiene dos puntos singulares: x = ±1. Definición 6.8 Punto singular regular. Dada la ecuación: y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) ,0 el punto x = x0 es singular regular si las funciones x x f x−( )0 ( ) y x x g x−( )0 2 ( ) son analíticas en x = x0. NOTA: Basta que lo sean en una vecindad de x0. Se trabajan como un límite. Si estas nuevas funciones no tienen representación en series de potencias, en- tonces, x = x0 se llama punto singular irregular. Puntos notables 275 Carmona-06A.indd 275Carmona-06A.indd 275 7/13/10 10:34:02 AM7/13/10 10:34:02 AM
  • 276 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series EJEMPLO 1 Los puntos singulares de: x3 (x2 − 9) y″ + (x + 3) y′ + (x − 3)3 y = 0, son x = 3, x = 0 y x = 3; de ellos, sólo x = 0 es singular irregular los otros dos son sin- gulares regulares. Si f x x x g x x x x ( ) , ( )= −( ) = −( ) −( ) 1 3 3 33 2 3 Para x = −3 ( ) ( ) ,x f x x x x + = + −( ) 3 3 33 ( ) ( )x g x x x x + = −( ) +( ) 3 3 32 2 3 ya son analíticas en x = −3 Similarmente para x = 3 Sin embargo, en x = 0 no son analíticas: x f x x x ( ) ,= −( ) 1 32 x g x x x x 2 2 3 3 ( ) .= −( ) +( ) EJEMPLO 2 x y y y−( ) + + =1 0 2 ″ ′ Sean f x x g x x ( ) , ( )= −( ) = −( ) 1 1 1 1 2 2 El punto x = 1 es singular irregular, porque: x f x x −( ) = − 1 1 1 ( ) y x g x−( ) =1 1 2 ( ) ; aunque g(x) sí es analítica en x = 1, como f(x) no lo es, la ecuación no es desarrollable en potencias de x − 1. EJEMPLO 3 x x x y xy4 2 2 9 5 0+ −( ) + =″ y x x x y″ + + −( ) = 1 2 9 5 03 2 f x( ) = 0 g x x x x x x x ( ) = + −( ) = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +( ) 1 2 9 5 1 1 2 5 3 2 3 x = 1 2 y x = −5 son puntos singulares regulares x = 0 es un punto singular irregular. Carmona-06A.indd 276Carmona-06A.indd 276 7/13/10 10:34:03 AM7/13/10 10:34:03 AM
  • EJERCICIOS 6.4 Encontrar los puntos ordinarios, singulares regulares o singulares irregula- res de las siguientes ecuaciones: Respuestas: 1. xy x y x y″ ′+ −( ) + =1 02 x = 0 singular regular x ≠ 0 ordinarios 2. x x y xy2 1 0−( ) + =″ ′ x = 0, x = 1 singular regular x ≠ 0, x ≠ 1 ordinarios 3. x y xy x y+( ) + + =1 0 2 2 ″ ′ x = −1 singular irregular x ≠ −1 ordinarios 4. x y e y yx2 0″ ′+ + = x = 0 singular irregular x ≠ 0 ordinarios 5. xy xy x y″ ′+ + ( ) =sen 0 −∞ < x < ∞ ordinarios 6. x y x y x y2 3 0″ ′+ + ( ) =sen x = 0 singular regular x ≠ 0 ordinarios 7. x x y x x y x y2 2 2 3 2 1 0− +( ) − −( ) + =″ ′ x = 1, x = 2 singular regular x ≠ 1, x ≠ 2 ordinarios 8. x y y−( ) + =3 0 3 ″ x = 3 singular irregular x ≠ 3 ordinarios 9. x y x e yx3 2 0″ ′+ ( ) = x = 0 singular regular x ≠ 0 ordinarios 10. xy x e yx ″ + ( ) =2 0 −∞ < x < ∞ ordinarios 11. xy x y x y″ ′+ ( ) + =tan 2 0 x < ␲ 2 ordinarios 12. x y e yx2 0″ ′+ ( ) =sen x = 0 singular irregular x ≠ 0 ordinarios 13. x y x y x y2 1 2 0″ ′+ ( ) + =− tanh x = 0 singular regular −1 < x < 0 y 0 < x < 1 ordinarios Puntos notables 277 Carmona-06A.indd 277Carmona-06A.indd 277 7/13/10 10:34:04 AM7/13/10 10:34:04 AM
  • 278 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 14. xy x y x y″ ′+ ( ) + =− tanh 1 2 0 x <1 ordinarios En los siguientes ejercicios elegir la opción que contenga la descripción com- pleta de puntos notables de cada ecuación diferencial. 15. xy e y xyx ″ ′+ + = 2 0 a. x = 0 ordinario, así como el resto de los reales. b. x = 0 irregular, x ≠ 0 ordinarios. c. x = 0 ordinario y x > 0 ordinarios. d. x = 0 singular regular x ≠ 0 ordinarios. 16. x x y x y y2 1 1 0−( ) + +( ) − =″ ′ a. Por ser coeficientes algebraicos, todos los reales son puntos ordina- rios. b. x = −1, x = 0, x = 1 singular regular. x ≠ −1, x ≠ 0, x ≠ 1 ordinarios. c. x = 0 singular regular; x = −1, x = 1 singular irregular, x ≠ −1, x ≠ 0, x ≠ 1 ordinarios. d. x = 1, x = 1 singular regular, x ≠ −1, x ≠ 1 ordinarios. 17. x x y y xy−( ) + + =1 0 2 ″ ′ a. x = 0 singular regular, x = 1 singular irregular x ≠ 0, x ≠ 1 ordinarios. b. x = 0 singular irregular, x = 1 singular regular x ≠ 0, x ≠ 1 ordinarios. c. Todos los reales son puntos ordinarios. d. x = 1 singular regular, x ≠ 1 ordinarios. 18. xy e x y xyx ″ ′+ ( ) + =cos 0 a. x = 0 singular irregular, x = 1 singular regular x ≠ 0, x ≠ 1 ordinarios. b. Todos los reales son ordinarios. c. x = 0 singular regular, x ≠ 0 ordinarios. d. x = 0 singular irregular, x ≠ 0 ordinarios. 19. xy e x yx ″ ′− ( ) =sen 0 a. x = 0 singular regular, x ≠ 0 ordinarios. Carmona-06A.indd 278Carmona-06A.indd 278 7/13/10 10:34:06 AM7/13/10 10:34:06 AM
  • b. x = 0 singular irregular, x ≠ 0 ordinarios. c. x = 0 singular irregular, x = ±1regulares. x ≠ 0, x ≠ ±1 ordinarios. d. −∞ < x < ∞ son ordinarios. 20. xy x y x y″ ′+ − ( ) =−2 1 0tan a. x <1 son ordinarios. b. x = 0 singular regular, x ≠ 0 ordinarios. c. x = 0 singular irregular, x ≠ 0 ordinarios. d. −∞ < x < ∞ son ordinarios. Respuestas: 15. d. El desarrollo de e x x xx2 1 2 6 2 4 6 = + + + + ...; su dominio es el conjun- to de los reales. Entonces, e x x x xx2 1 2 3 = + + + ... no está definida en x = 0; por tanto, x es un punto singular (se descartan a y c). Como x f x xe x x x ( ) = → = 2 0 es singular regular. 16. b. La opción a olvida despejar y para ver si quedan definidas las funcio- nes f (x) y g(x). La opción c no aplica bien el hecho de que (x − x0) f (x) y (x − x0) g(x) queden analíticas en x = x0. La opción d está in- completa y supone x = 0 como punto ordinario. 17. a. La opción b cambia la condición de irregularidad. Para la opción c ver el ejercicio, 16 opción a. La opción d está incompleta y además contiene el error de la opción b. 18. c. Como e x x x x xx cos ...= + − − + 1 1 3 6 2 3 no está definida en x = 0 y sí para los reales diferentes de cero, y al aplicar x f (x) se convierte en ex cos x para −∞ < x < ∞; de ahí que x = 0 es singular regular y los demás puntos son ordinarios. 19. d. En este caso e x x x x x xx sen = + + − − +1 2 3 30 90 2 4 5 ... está definida en to- dos los reales. 20. a. Teniendo en cuenta que el dominio de la función tanh−1 x es −1 < x < 1, que su desarrollo en series es tanh ...− = + + + +1 3 5 7 3 5 7 x x x x x enton- ces, tanh ... − = + + + + 1 2 4 6 1 3 5 7 x x x x x queda definida también para el dominio referido, puesto que x = 0 es un punto ordinario. Puntos notables 279 Carmona-06A.indd 279Carmona-06A.indd 279 7/13/10 10:34:07 AM7/13/10 10:34:07 AM
  • 280 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos ordinarios, usando series de potencias Si una ecuación diferencial es analítica en un punto x0, entonces su solución también lo es en x0, y como dicha solución será una función desarrollable en series de potencias, podemos suponer que, en forma general, tendrá la forma siguiente: y c x xn n n = −( ) = ∞ ∑ 0 0 donde cn cambia para cada función específica. Teorema 3 Sea y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 una ecuación diferencial con un punto ordinario en x = x0 y sean a, b constantes arbitrarias. Existirá una función única y(x) analítica en x0 que es una solución de la ecuación dada en los alrededores de x0 y satisfa- ce las condiciones iniciales y(x0 ) = a y y′(x0 ) = b. Si el dominio de f y g es x x R− <0 con R > 0, entonces, y x c x xn n n ( )= −( ) = ∞ ∑ 0 0 también es válida en el mismo intervalo. El método de solución se explicará mediante un ejemplo sim- plificado para x0 = 0 y para una ecuación de primer orden. EJEMPLO 1 Encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial, usando series de potencias. y y′ − = 0 Sea y c xi i i = = ∞ ∑ 0 la solución general Derivándola: y ic xi i i ′ = − = ∞ ∑ 1 1 Sustituyendo en la ecuación, tenemos: ic x c xi i i i i i − = ∞ = ∞ ∑ ∑− = 1 1 0 0 Para poder sumar las series, los exponentes de x deben ser iguales; para ello hacemos el cambio de variable correspondiente en cada serie. Carmona-06A.indd 280Carmona-06A.indd 280 7/13/10 10:34:08 AM7/13/10 10:34:08 AM
  • En la primera serie tomamos: i k i k− = → = +1 1 es decir, k c xk k k +( ) + = ∞ ∑ 1 1 0 Esto es posible porque desarrollando: ic x c c x c x c xi i i − = ∞ ∑ = + + + +1 1 1 2 3 2 4 3 2 3 4 ... y desarrollando también: k c x c c x c xk k k +( ) = + + ++ = ∞ ∑ 1 2 31 0 1 2 3 2 ... vemos que se trata de la misma serie. Para la segunda serie tomamos i = k y la ecuación queda: k c x c xk k k k k k +( ) − =+ = ∞ = ∞ ∑ ∑1 01 0 0 , es decir: x k c ck k k k +( ) −⎡⎣ ⎤⎦ =+ = ∞ ∑ 1 01 0 Como xk ≠ 0 por ser la solución propuesta, → +( ) − =+k c ck k1 01 y c c k k k + = + 1 1 , k = 0, 1, 2, 3, … es la fórmula de recurrencia, de la que se obtiene cada una de las constantes para cada uno de los términos de la serie solución. Así: Para k c c c= → = + =0 0 1 1 0 0 k c c c = → = =1 2 2 2 1 0 k c c c = → = =2 3 6 3 2 0 k c c c = → = =3 4 24 4 3 0 , etcétera. → = = + + + + + = ∞ ∑y c x c c x c x c x c xn n n 0 0 1 2 2 3 3 4 4 ... = + + + + +c c x c x c x c x0 0 0 2 0 3 0 4 2 6 24 ... Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos... 281 Carmona-06B.indd 281Carmona-06B.indd 281 7/13/10 10:35:33 AM7/13/10 10:35:33 AM
  • 282 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟c x x x x 0 2 3 4 1 2 3 4! ! ! ... = = ∞ ∑c x n n n 0 0 ! ∴ y = cex . Si resolvemos por variables separables: dy dx y dy y dx y x c= = = +, ,ln , y e y cex c x = ∴ =+ , obtenemos el mismo resultado, con lo que se verifica el obtenido anteriormente. EJEMPLO 2 En ocasiones, el cambio de variable en los exponentes de las sumas no con- serva iguales los índices de las mismas; en este caso se extraen los términos que sobran en las sumas de menor índice para poder sumar términos seme- jantes. Así: dada y″ − xy = 0 sea la solución: y c x c c x c x c x c xi i i = = + + + + + = ∞ ∑ 0 0 1 2 2 3 3 4 4 ... → = = + +− = ∞ ∑y ic x c c xi i i ′ 1 1 1 22 ... y i i c xi i i ″ = −( ) − = ∞ ∑ 1 2 2 . Sustituyendo en la ecuación dada: 1 244 344 124 34 Extrayendo el primer término de la primera suma, es decir, cuando k = 0: 2 2 1 02 1 2 1 1 c k k c x c x k k k k k k + +( ) +( ) − = = ∞ + − = ∞ ∑ ∑ Carmona-06B.indd 282Carmona-06B.indd 282 7/13/10 10:35:34 AM7/13/10 10:35:34 AM
  • ya se pueden sumar las series, quedando: 2 2 1 0 0 02 2 1 1 0 c x k k c c x xk k k k + +( ) +( ) −⎡⎣ ⎤⎦ = + ++ − = ∞ ∑ xx2 + ... → = → =2 0 02 0 2c x c y como x k k c ck k k≠ → +( ) +( ) − =+ −0 2 1 02 1 y c c k k k k + − = +( ) +( )2 1 2 1 , k = 1, 2, 3, … es la fórmula de recurrencia, entonces, k c c = =1 6 3 0 , k c c c = = =5 42 504 7 4 1 , k c c = =2 12 4 1 , k c c = = =6 56 08 5 , k c c = = =3 20 05 2 , k c c c = = =7 72 12960 9 6 0 , k c c c = = =4 30 180 6 3 0 , k c c c = = =8 90 45360 10 7 1 , , etc. Como y c c x c x c x= + + + +0 1 2 2 3 3 ... → = + + + + + + +y c c x x c x c x x c x c 0 1 2 0 3 1 4 5 0 6 1 0 6 12 0 180 5044 7 x + + + +0 12960 45360 8 0 9 1 10 x c x c x ... ∴ = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟y c x x x0 3 6 9 1 1 6 1 180 1 12960 ... + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟c x x x x1 4 7 101 12 1 504 1 45360 ... EJEMPLO 3 Si la ecuación diferencial no es homogénea, la fórmula de recurrencia queda restringida a los valores para los que los coeficientes se hacen cero. Así, si la ecuación es: y y x x″ − = − +3 42 Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos... 283 Carmona-06B.indd 283Carmona-06B.indd 283 7/13/10 10:35:35 AM7/13/10 10:35:35 AM
  • 284 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Suponemos y c xi i i = = ∞ ∑ 0 como solución 1 244 344 123 k k c x c x x x x k k k k k k k +( ) +( ) − = − + + = ∞ + = ∞ ∑ ∑2 1 3 4 0 0 2 0 2 kk= ∞ ∑ 3 para k c c c c = → − = → = + 0 2 4 4 2 2 0 2 0 , porque los coeficientes del lado izquierdo de la igualdad deben ser iguales a los correspondientes coeficientes del lado derecho. Para k c c c c c = → − = − → = − = − 1 6 1 1 6 1 3 3 1 3 1 1 ! Para k c c c c c = → − = → = + = + 2 12 3 10 24 10 4 4 2 4 0 0 ! y c c k k k k + = +( ) +( )2 2 1 para k = 3, 4, 5, … k c c c c = = = − = − 3 20 1 120 1 5 5 3 1 1 , ! k c c c c = = = + = + 4 30 10 720 10 6 6 4 0 0 , ! k c c c c = = = − = − 5 42 1 5040 1 7 7 5 1 1 , ! k c c c c = = = + ⋅ = + 6 56 10 6 7 8 10 8 8 6 0 0 , ! ! , etcétera. Sustituyendo los coeficientes en la serie solución: y c c x c x c x c x= + + + + +0 1 2 2 3 3 4 4 ... y c c x c x c x c x c = + + + + − + + + − 0 1 0 2 1 3 0 4 14 2 1 3 10 4 1 5! ! ! ! xx c x5 0 610 6 + + ! + − + + + c x c x1 7 0 81 7 10 8! ! ... Agrupando: y c x x x x c x x = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + +0 2 4 6 8 1 3 1 2 4 6 8 3! ! ! ! ... !! ! ! ...+ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x x5 7 5 7 + − + − + − + +2 3 10 4 5 10 6 7 10 8 2 3 4 5 6 7 8 x x x x x x x ! ! ! ! ! ! .... Carmona-06B.indd 284Carmona-06B.indd 284 7/13/10 10:35:37 AM7/13/10 10:35:37 AM
  • y c x c x x x x x = + + + + + + +0 1 2 4 6 8 10 1 2 4 6 8 cosh ! ! ! ! .senh ... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠ x x x x x x3 5 7 2 3 5 7 10 1 2! ! ! ... !⎟⎟ + 2 2 x Se sumaron y restaron los términos 10 1 2 2 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x ! y x para completar dos se- ries más, → = + + − + − − +y c x c x x x x x0 1 2 10 10 5 2cosh coshsenh senh xx2 ∴ = +( ) + −( ) − + −y c x c x x x0 1 2 10 1 3 10cosh .senh EJERCICIOS 6.5 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando series de potencias. 1. xy y′ = +1 Respuesta: y c x= − +1 1 2. x y x y−( ) + +( ) =1 2 1 0′ Respuesta: y c x x x x x= + + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 2 3 4 5 1 2 8 3 11 3 71 15 ... 3. x x y x y2 2 1 0+( ) + +( ) =′ Respuesta: y c x x= +( )1 2 4. xy y′ − = 0 Respuesta: y c x= 1 5. x x y x y3 3 1 4 1 0−( ) − −( ) =′ Respuesta: y c x x= −( )1 4 6. x x y y x2 2 1 3 1+( ) = +( )′ Respuesta: y c x x= +( )1 3 7. x y y−( ) − =1 0′ Respuesta: y c x= −( )0 1 8. y y′ + = 0 Respuesta: y c x n c e n n x n = −( ) = − = ∞ ∑0 0 0 1 ! 9. 1 1+( ) =x y′ Respuesta: y c x= + +( )0 1ln o y c x n n n n = + −( ) + = ∞ ∑0 1 1 1 Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos... 285 Carmona-06B.indd 285Carmona-06B.indd 285 7/13/10 10:35:38 AM7/13/10 10:35:38 AM
  • 286 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 10. y xy y″ ′− − = 0 Respuesta: y c x x x c x x x = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + +0 2 4 6 1 3 5 1 2 8 48 3 15 ... .... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 11. 1 0−( ) + =x y y″ Respuesta: y c x x x c x x x = − − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − − +0 2 3 4 1 3 4 1 2 6 24 6 12 ... .... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 12. y x y″ + =2 02 Respuesta: y c x x c x x x = − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + −0 4 8 1 5 9 1 6 168 10 360 ... .... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 13. y x y″ 1 02 +( ) = Respuesta: y c x x x c x x x = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + +0 2 4 6 1 3 5 1 2 8 48 6 7 120 ... ++ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 3 560 7 x ... 14. y x y xy″ ′+ − =2 0 Respuesta: y c x x x c x= + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +0 3 6 9 11 6 90 1296 ... 15. y xy x y x″ ′+ + =2 2 2 Respuesta: y c x x x = − + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 4 6 8 1 12 90 3360 ... + − − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟c x x x x 1 3 5 7 6 40 144 ... + − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x x x4 6 8 6 45 1680 ... 16. y x y y″ ′− −( ) + =2 1 0 Respuesta: y c x x x x x = − + − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠ 0 2 3 5 6 7 1 2 6 7 120 19 720 420 ...⎟⎟ + − + − + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟c x x x x x x 1 2 4 5 6 7 2 8 3 40 120 80 ... 17. y xy x″ − =2 2 Respuesta: y c x x x = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 3 6 9 1 3 45 1620 ... + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ c x x x x x 1 4 7 4 7 6 126 12 252 ... ... ⎠⎠⎟ Carmona-06B.indd 286Carmona-06B.indd 286 7/13/10 10:35:40 AM7/13/10 10:35:40 AM
  • 18. y yex ″ − = 0 Sugerencia: tomar yex como c c c x x x x 0 1 2 2 2 3 1 2 3 + + +( ) + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... ! ! ... y usar el producto de los primeros términos. Respuesta: y c x x x x x = + + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 2 3 4 5 6 1 2 6 12 24 13 720 ... + + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟c x x x x x 1 3 4 5 6 6 12 30 72 ... 19. y x y″′ ′+ =2 0 Respuesta: y c c x x x x = + − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 1 5 9 13 60 6048 1153152 ... + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟c x x x x 2 2 6 10 14 60 7200 1572480 20. y x y x x″ + = + +2 2 1 Respuesta: y c x x c x x x = − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + −0 4 8 1 5 9 1 12 672 20 1440 ... .... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + − − − + x x x x x x x2 3 4 6 7 8 10 2 6 12 60 252 672 5400 + + x11 27720 ... 21. y xy x x″ ′− = −2 2 Respuesta: y c c x x x x = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 1 3 5 7 6 40 336 ... x x + − + 3 4 3 12 −− + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x x x x5 6 7 8 20 90 168 840 ... 22. xy x y x x″ ′+ = +2 3 4 Respuesta: y c c x x x x x = + − + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 1 3 5 7 9 6 40 336 3456 ... + − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 4 30 280 2 4 6 8 x x x x ... 23. y xy e x ″ ′− = − Respuesta: y c c x x x x = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 1 3 5 7 6 40 336 ... x x x + − + 2 3 2 6 44 5 6 7 8 30 13 720 240 − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x x x ... Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos... 287 P P Carmona-06B.indd 287Carmona-06B.indd 287 7/13/10 10:35:41 AM7/13/10 10:35:41 AM
  • 288 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 24. y xy x y″ ′+ + − =( )2 1 0 Respuesta: y c x x x x x x = + − − − + + +0 2 3 4 5 6 7 1 2 3 24 60 19 720 9 2520 ... ⎛⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟c x x x x 1 4 6 7 6 60 126 ... 25. y xy x″′ − = Respuesta: y c x x c x x x = + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + +0 4 8 1 5 9 1 4 5 2 12 ! ... 8! 5! 9! ++ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + +c x x x x x 2 2 6 10 4 8 6 42 5 4 6! 10! 4! 8! ... 55 12 x 12! + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 26. y xy″ + =4 0 Respuesta: y c x x c x x = − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + −0 3 2 6 1 4 1 4 2 3 4 2 3 5 6 4 3. . . . ... .. . . . ... 4 4 3 4 6 7 2 7 + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x o y c x x c x x x= − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + −0 3 6 1 4 7 1 2 3 4 45 1 3 2 63 ... .... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 27. Encontrar la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación. (Nota: En este caso hay más de una respuesta correcta.) y y″ − = 0 a. y c x x x c x x x = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + +0 2 4 6 1 3 5 1 2 2! 4! 6! 3! ... 55! 7! + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x7 ... b. y c e c ex x = + − 2 3 c. y c c x x x c x x x = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + +0 1 3 5 2 2 4 6 12 363! 5! ... 00 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... d. y c x c x= +0 1cosh senh 28. Una sola opción contiene la solución de: y x y″ − =2 02 . ¿Cuál es? a. y c x x x x = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 2 4 6 8 1 6 90 2520 ... c x x x + + +1 3 3 55 7 9 30 630 22680 + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x x ... b. y c x x x c x x x x = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + −0 2 4 6 1 3 5 7 1 6 90 3 30 ... 6630 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... c. y c x x c x x x = + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + +0 4 8 1 5 9 1 6 168 10 360 ... .... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ d. y c x x c x x x = − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + −0 4 8 1 5 9 1 6 168 10 36 ... ... ⎛⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Carmona-06B.indd 288Carmona-06B.indd 288 7/13/10 10:35:43 AM7/13/10 10:35:43 AM
  • 29. Hallar la opción que contiene la fórmula de recurrencia de: y′ −2xy = 0 a. c c k k k + − = − + 1 12 1 , k = 1, 2, 3, 4, … b. c c k k k + − = + 1 12 1 , k = 0, 1, 2, 3, … c. c c k k k + − = − + 1 12 1 , k = 0, 1, 2, 3, … d. c c k k k + − = + 1 12 1 , k = 1, 2, 3, 4, … 30. Hallar la opción que contiene la fórmula de recurrencia de: x y y−( ) + =1 0″ ′ a. c k c k k k + + = +( ) +( )2 2 11 2 , k = 0, 1, 2, … b. c k k c k k k k + + = + +( ) +( ) +( )2 2 11 2 1 , k = 0, 1, 2, … c. c k c k k k + + = +( ) + 2 11 2 , k = 1, 2, 3, … d. c k k c k k k + + = + +( ) +( )2 2 11 2 , k = 1, 2, 3, … 31. Elegir la opción que contiene la solución de: y″ − xy = 2 a. y c x x x = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 3 6 9 1 6 180 12960 .... + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + +c x x x x x x 1 4 7 2 5 8 12 504 20 1120 ... .... ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ b. y c x x x x c x x = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + +0 2 4 6 8 1 3 1 2 4 6 8 3! ! ! ! ... !! ! ! ! ...+ + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x x x5 7 9 5 7 9 + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟x x x x2 4 6 8 12 360 20160 ... c. y c x x x c x x = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − +0 3 6 9 1 4 1 6 180 12960 12 ... xx7 504 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟x x2 5 20 ... d. y c x x x c x x x = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − +0 2 4 6 1 3 5 1 2 4 6 3 5! ! ! ... ! !! ! ...+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x7 7 ...+ − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟x x x2 4 6 12 360 Método para resolver ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos... 289 Carmona-06B.indd 289Carmona-06B.indd 289 7/13/10 10:35:44 AM7/13/10 10:35:44 AM
  • 290 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Respuestas: 27. a. b. d. Puesto que cosh ! ! ...x x x = + + +1 2 4 2 4 y senh x x x x = + + + 3 5 3 5! ! ... y como cosh x e ex x = +( )−1 2 y senh x e ex x = +( )−1 2 → = +( )+ = −( )− − y c e e c e ex x x x0 1 2 2 y e c c e c cx x = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −0 1 0 1 2 2 2 2 y c e c ex x = + − 2 3 La opción c no está correcta porque supone que la fórmula de recu- rrencia se aplica para k = 1, 2, 3, …, sin tomar en cuenta el cero, y aparecen tres constantes arbitrarias en una ecuación diferencial de segundo orden. 28. c. La opción a contiene el error de no haber multiplicado x2 por y. Las opciones b y d suponen que la y estuvo multiplicada por +2 y por +2x2 , respectivamente. 29. d. La opción a supone que la ecuación es y′ + 2xy = 0. La opción b no contempla una operación con series con el mismo índice inicial. La opción c contiene los errores de las opciones a y b. 30. c. La opción a contiene un error de simplificación. La opción b tiene un error en el cambio de índices. La opción d contiene los errores de a y b. 31. a. La opción b considera, por error, que la fórmula de recurrencia es c c k k k k + = +( ) +( )2 2 1 , k = 1, 2, 3, … siendo en realidad c c k k k k + − = +( ) +( )2 1 2 1 , k = 1, 2, 3, … La opción c supone que la ecua- ción es y″ + xy = 2. La opción d contiene los errores de b y c. Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares A veces no se pueden encontrar soluciones en series de una ecuación diferencial como las expuestas anteriormente. Entonces, puede suponerse una solución del tipo: y x c xr m m m = = ∞ ∑ 0 , donde r es una constante. Esta serie es una generalización de y c xm m m = = ∞ ∑ 0 , puesto que cuando r = 0 se convierte en ella. Carmona-06B.indd 290Carmona-06B.indd 290 7/13/10 10:35:46 AM7/13/10 10:35:46 AM
  • Teorema 4 Sea y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 una ecuación diferencial con un punto singular re- gular en x = x0, entonces, siempre existe al menos una solución de la forma: y x x c x x c x x r m m m m m r m = −( ) −( ) = −( ) = ∞ + = ∞ ∑ ∑0 0 0 0 0 (1) que converge en 0 0< − <x x R Esta serie recibe el nombre de serie de Frobenius. Especificando: Si x = x0 es un punto ordinario → r = 0 y (1) es la solución general. Si x = x0 es un punto singular regular → (1) dará una solución o la solución general. Si x = x0 es un punto singular irregular → pueden o no existir soluciones de la forma (1). Método de Frobenius. Ecuación indicial Para resolver una ecuación diferencial por el método de Frobenius, suponemos una serie para x = x0 de la forma: y x c x c xr m m m m m r m = = = ∞ + = ∞ ∑ ∑ 0 0 Derivando: y m r c xm m r m ′ = +( ) + − = ∞ ∑ 1 0 y m r m r c xm m r m ″ = +( ) + −( ) + − = ∞ ∑ 1 2 0 Sustituyendo en la ecuación, e igualando coeficientes, obtenemos una ecuación llamada ecuación indicial que provee dos valores para r. Se va a deducir dicha ecuación a partir de la forma general de una ecuación diferencial con puntos singulares: y a x x y b x x y″ ′+ + = ( ) ( ) 2 0 donde a (x) y b (x) son funciones analíticas en x = 0. Multiplicando la ecuación por x2 : x y a x xy b x y2 0″ ′+ + =( ) ( ) Método de Frobenius. Ecuación indicial 291 Carmona-06B.indd 291Carmona-06B.indd 291 7/13/10 10:35:47 AM7/13/10 10:35:47 AM
  • 292 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Sean: a x a a x a x a x b x b b x b m m m ( ) ... ( ) = + + + = = + + = ∑0 1 2 2 0 0 1 2xx b xm m m 2 0 + = = ∑... Sustituyendo y y sus derivadas tenemos: x m r m r c x a x x m r m m m r m m m 2 0 2 0 1+( ) + −( ) + ( ) +( ) = + − = ∑ ∑ cc xm m r m + − = ∑ 1 0 + = = + = ∑ ∑b x c xm m m m m r m0 0 0 m r m r c x a x m r c x m m m r m m m m m r m +( ) + −( ) + +( ) = + = + ∑ ∑ 0 0 1 == ∑ 0 + = = + = ∑ ∑b x c xm m m m m r m0 0 0 Para m = 0, e igualando coeficientes: r r c x a rc x b x cr r r −( ) + + =1 00 0 0 0 0 c x r r a r br 0 0 01 0−( )+ +⎡⎣ ⎤⎦ = El método considera siempre c0 ≠ 0; entonces, r a r b2 0 01 0+ −( ) + = es la ecuación indicial con raíces r1 y r2. EJEMPLO 1 Aplicando el método de Frobenius hallar la ecuación de índices de la ecua- ción: 2xy″ − y′ + 2y = 0, que tiene un punto singular regular en x0 = 0 Despejando y″: y x y x y″ ′− + = 1 2 1 0 Entonces, x f x( ) = − 1 2 y x g x x2 ( ) .= El desarrollo en series de x f x( ) tiene un único elemento que es precisa- mente a0 1 2 = − , y el desarrollo de x g x x2 ( ) = también tiene un elemento cuyo coeficiente es b1, esto quiere decir que b0 = 0. Carmona-06B.indd 292Carmona-06B.indd 292 7/13/10 10:35:47 AM7/13/10 10:35:47 AM
  • Así: r r r r r r 2 1 2 1 2 1 0 0 3 2 0 3 2 0 + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = → = = ⎧ ⎨⎨ ⎪ ⎩⎪ También podemos encontrar la ecuación de índices de esta forma: Sea: y c xm m r m = + = ∞ ∑ 0 y m r c xm m r m ′ = +( ) + − = ∞ ∑ 1 0 y m r m r c xm m r m ″ = +( ) + −( ) + − = ∞ ∑ 1 2 0 Sustituyendo en la ecuación dada: 2 1 1 0 1 0 m r m r c x m r c xm m r m m m r m +( ) + −( ) − +( )+ − = ∞ + − = ∑ ∞∞ ∑ + =+ = ∞ ∑2 0 0 c xm m r m Se toman las sumas en donde la x tiene menor exponente y m = 0: 2 1 00 0r r c rc−( )⎡⎣ ⎤⎦ − = y c r r0 2 3 0−( )⎡⎣ ⎤⎦ = es la ecuación de índices. Aquí Frobenius pone siempre una condición: c0 ≠ 0, entonces, r r r r 2 3 0 3 2 0 1 2 −( )= → = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ En todos los casos se le asigna a r1 la raíz mayor, y por el teorema anterior queda asegurada al menos una solución de la forma: y x c xm m m 1 3 2 0 = = ∞ ∑ Nada más queda determinar el valor de los coeficientes cm por el método del inciso anterior. Método de Frobenius. Ecuación indicial 293 Carmona-06B.indd 293Carmona-06B.indd 293 7/13/10 10:35:49 AM7/13/10 10:35:49 AM
  • 294 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series En los casos en que r1 y r2, raíces de la ecuación indicial, son reales (donde siempre consideramos r1 > r2) a veces puede obtenerse una segunda serie solu- ción que junto con la primera serie formará la solución general de la ecuación diferencial. Estudiaremos tres casos: CASO 1. r1 − r2 ≠ número entero. → = ≠ = ∞ ∑y x c x cr m m m 1 0 0 1 0, y x b x br m m m 2 0 0 2 0= ≠ = ∞ ∑ , . CASO 2. r1 = r2 = r → = ≠ = ∞ ∑y x c x cr m m m 1 0 0 0, y y x x b xr m m m 2 1 0 = + = ∞ ∑ln . CASO 3. r1 − r2 = entero positivo → = ≠ = ∞ ∑y x c x cr m m m 1 0 0 1 0, y ky x x b x br m m m 2 1 0 0 2 0= + ≠ = ∞ ∑ln , , donde k puede ser cero. Por supuesto, y1 y y2 son linealmente independientes y la solución general es, en todos los casos: y c y c y= +1 1 2 2. Raíces que no difieren en un número entero EJEMPLO 2 Encontrar la solución general de la ecuación del ejemplo precedente: 2 2 0xy y y″ ′− + = La ecuación indicial dio: r r1 2 3 2 0= =, , → − = ≠r r1 2 3 2 entero ∴ = = ∞ ∑y x c xm m m 1 3 2 0 y y x b xm m m 2 0 0 = = ∞ ∑ Carmona-06B.indd 294Carmona-06B.indd 294 7/13/10 10:35:49 AM7/13/10 10:35:49 AM
  • Partiendo de la sustitución que se hizo de y y sus derivadas en la ecuación: 2 1 1 0 1 0 m r m r c x m r c xm m r m m m r m +( ) + −( ) − +( )+ − = ∞ + − = ∑ ∞∞ ∑ + =+ = ∞ ∑2 0 0 c xm m r m y multiplicando por x: 1 244444 344444 1 2444 3444 1 244 344 2 1 2 0 0 k r k r c x k r c xk k r k k k r k +( ) + −( ) − +( ) ++ = ∞ + = ∞ ∑ ∑ cc xk k r k − + = ∞ ∑ =1 1 0 Tomando un término de las dos primeras sumas para igualar los índices: 1 2444 3444 c r r0 2 2 3 0−( )= como: c0 0≠ entonces, r r r r2 3 0 3 2 01 2−( )= → = =, 2 1 2 1 1 k r k r c x k r c xk k r k k k r k +( ) + −( ) − +( ) ++ = ∞ + = ∞ ∑ ∑ cc xk k r k − + = ∞ ∑ =1 1 0 La ecuación de recurrencia, para k = 1, 2, 3, … es: c c k r k r k k = − +( ) + −( ) −2 2 2 3 1 , para r1 3 2 = c c k k c k k k k k = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − +( ) − −2 3 2 2 2 2 3 1 1 , k = 1, 2, 3, … Para k = 1 c c 1 02 5 = − k = 2 c c c2 1 0 2 14 2 35 = − = k = 3 c c c3 2 0 2 27 4 945 = − = − k = 4 c c c4 3 0 2 44 2 10395 = − = , etcétera. Método de Frobenius. Ecuación indicial 295 Carmona-06B.indd 295Carmona-06B.indd 295 7/13/10 10:35:50 AM7/13/10 10:35:50 AM
  • 296 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Si y c c x c x c x= + + + +0 1 2 2 3 3 ... → = − + − + −y c c x c x c x c x1 0 0 0 2 0 3 0 42 5 2 35 4 945 2 10395 .... y c x x x1 0 2 3 1 2 5 2 35 4 945 = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... Volviendo a la ecuación de recurrencia para r = 0, tenemos: b b k k k k = − −( ) −2 2 3 1 , k = 1, 2, 3, … Para k = 1 b c b1 0 0 2 1 2= − − = k = 2 b c c b2 1 1 0 2 2 2= − = − = − k = 3 b c b3 2 0 2 9 4 9 = − = k = 4 b c b4 3 0 2 20 2 45 = − = − k = 5 b c b5 4 0 2 35 4 1575 = − = , etcétera. y b x x x x2 0 2 3 4 1 2 2 4 9 2 45 = + − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... ∴ = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + −y c x x x b x x0 2 3 01 2 5 4 35 4 945 1 2 2... 22 +( )... es la solución general. Raíces iguales de la ecuación indicial EJEMPLO 3 Resolver: x y x x y xy3 2 1 0″ ′− +( ) + = Sea la solución: y c xm m r m = + = ∞ ∑ 0 y y m r c xm m r m ′ = +( ) + − = ∞ ∑ 1 0 , y m r m r c xm m r m ″ = +( ) + −( ) + − = ∞ ∑ 1 2 0 Sustituyendo en la ecuación dada: m r m r c x m r c xm m r m m m r m +( ) + −( ) − +( )+ + = ∞ + + = ∞ ∑ 1 1 0 1 0 ∑∑ − +( ) + =+ + = ∞ + + = ∞ ∑ ∑m r c x c xm m r m m m r m 2 0 1 0 0 Carmona-06B.indd 296Carmona-06B.indd 296 7/13/10 10:35:52 AM7/13/10 10:35:52 AM
  • Tomando las sumas de menor exponente en las x, tenemos para m = 0: r r c rc c−( ) − + =1 00 0 0 , c r r0 2 2 1 0− +( )= , como c r0 2 0 1 0≠ → −( ) = r r r1 2 1= = = , De la ecuación de índices r −( ) =1 0 2 obtenemos dos raíces iguales, enton- ces, la forma de la solución es: y x c xr m m m 1 0 = = ∞ ∑ y y y x x b xr m m m 2 1 1 = + = ∞ ∑ln , donde r = 1. Para encontrar y1 igualamos exponentes e índices de las sumas anteriores: k r k r c x k r c xk k r k k k r + −( ) + −( ) − + −( )− + = ∞ − + ∑ 1 2 11 1 1 kk= ∞ ∑ 1 − + −( ) + =− + = ∞ − + = ∞ ∑ ∑k r c x c xk k r k k k r k 2 02 2 1 1 Para k = 1 se obtiene la ecuación de índices y para r = 1: k k c kc k c ck k k k−( ) − − −( ) + =− − − −1 1 01 1 2 1 c k k k k ck k− −−( )− +⎡⎣ ⎤⎦ = −( )1 21 1 1 c k k k ck k− −− +⎡⎣ ⎤⎦ = −( )1 2 22 1 1 c c k k k − − = − 1 2 1 , k = 2, 3, … es la fórmula de recurrencia para encontrar los coeficientes de y1. Donde c0 = c0 Para k = 2, c c 1 0 1 = k = 3, c c c 2 1 2 2 2 = = k = 4, c c c c 3 2 0 0 3 1 3 2 6 = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = k = 5, c c c 4 3 0 4 24 = = k = 6, c c c 5 4 0 5 120 = = , etcétera. ∴ = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = y c x x x x c x m m m 0 2 3 4 0 0 1 2 3 4! ! ! ... ! ∞∞ ∑ = c ex 0 → =y c xex 1 0 o y c x m m m 1 0 1 0 = + = ∞ ∑ ! . Método de Frobenius. Ecuación indicial 297 Carmona-06B.indd 297Carmona-06B.indd 297 7/13/10 10:35:54 AM7/13/10 10:35:54 AM
  • 298 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Para encontrar y2, usaremos tres métodos: 1. Variación de parámetros. 2. y y x e y x dx f x dx 2 1 1 2 = ∫− ∫( ) ( ) ( ) generalización del método de variación de pa- rámetros. 3. Por derivación de la solución propuesta y2. 1. Obtención de y2 mediante variación de parámetros. Sea y uy2 1= → = +y uy u y2 1 1′ ′ ′ y u y u y uy2 1 1 12″ ″ ′ ′ ″= + + , sustituyendo en la ecuación x y x x y xy3 2 1 0″ ′− +( ) + = , x y x y xy3 2 2 2 2″ ′− + = + + − − −x u y x u y x uy x uy x u y x uy3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 12″ ′ ′ ″ ′ ′ ′′ ′− + =x u y xuy3 1 1 0 → 3 1″− 2 1′ − 3 1′+ 1( ) cero + 3 ″ 1 + 2 3 ′ 1′ − 2 ′ 1 − 3 ′ 1 = 0 → + − − =xu y xu y u y xu y″ ′ ′ ′ ′1 1 1 12 0 xu y xu y u y x″ ′ ′ ′1 1 12 1 0+ − +( )= Como y xex 1 = (tomando c0 1= ) y y xe ex x 1′ = + sustituimos: xu xe xu xe e x u xex x x x ″ ′ ′+ +( )− +( ) =2 1 0 u x e x u e xu ex x x ″ ′ ′2 2 0+ + = Dividiendo entre xex : u x xu u″ ′ ′+ + = 0 u x x u″ ′= − +( )1 u u x x ″ ′ = − +1 . Sea u z u z′ ″ ′= → = , Carmona-06B.indd 298Carmona-06B.indd 298 7/13/10 10:35:55 AM7/13/10 10:35:55 AM
  • dz z x x dx= − +1 ln lnz x x= − − z e x x = − −ln z e ex x = − ( )ؒ ln 1 z e x x = − → = − du dx e x x u e x dx x = − ∫ u x x x x x x dx= − + − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫ 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 ! ! ! ! ... u x x x x x x = − + − + − +ln ! ! ! ! ... 2 3 4 5 2 2 3 3 4 4 5 5ؒ ؒ ؒ ؒ y uy x x x x xex 2 1 2 3 2 2 3 3 = = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ( )ln ! ! ... ؒ ؒ ∴ = + −( ) ( )= ∞ ∑y y x xe x m m x m m m 2 1 1 1 ln ! . 2. Obtención de y2 mediante la fórmula y y e y dx f x dx 2 1 1 2 = ∫− ∫ ( ) Donde y xex 1 = y f x x x x ( ) = − +( )2 3 1 y y e y dx x dx 2 1 1 1 1 2 = ∫− − −( ) ∫ = + ∫y e y dx x x 1 1 2 ln = ∫y xe x e dx x x1 2 2 = ∫y xe dxx1 1 Método de Frobenius. Ecuación indicial 299 Carmona-06B.indd 299Carmona-06B.indd 299 7/13/10 10:35:57 AM7/13/10 10:35:57 AM
  • 300 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series = + + + + + ∫y x x x x x dx1 2 3 4 5 1 2 3 4! ! ! ... Efectuando una división larga: = − + − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫y x x x x x dx1 2 3 4 1 1 2 6 24 120 ... = + − + − + − + ⎛ y x y x x x x x 1 1 2 3 4 5 2 2 3 6 4 24 5 120 ln ... ؒ ؒ ؒ ؒ⎝⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∴ = + −( ) ( )= ∞ ∑y y x xe x m m x m m m 2 1 1 1 ln ! . 3. Obtención de y2 por derivación. Sea y y x x b xm m m 2 1 1 = + = ∞ ∑ln , la solución propuesta para las raíces iguales de la ecuación derivación. Así derivando y sustituyéndola en la ecuación: y y x b xm m m 2 1 1 1 = + + = ∞ ∑ln Empezando desde cero no se pierde la generalidad, como veremos a conti- nuación. Derivando con respecto en x: y y x y x m b xm m m 2 1 1 0 1′ ′= + + +( ) = ∞ ∑ln y y x y x y x m m b xm m m 2 1 2 1 1 1 0 2 1″ ′ ″= − + + + +( ) − = ∞ ∑ln Sustituyendo: x y x y x y xy3 2 2 2 3 2 2 0″ ′ ′− − + = , − + + + +( ) + = ∞ ∑xy x y x y x m m b xm m m 1 2 1 3 1 2 0 2 1′ ″ ln − − − +( ) + = ∞ ∑xy x y x m b xm m m 1 2 1 2 0 1′ln − − − +( ) + = ∞ ∑x y x y x m b xm m m 2 1 3 1 3 0 1′ln + + =+ = ∞ ∑xy x b xm m m 1 2 0 0ln , Carmona-06B.indd 300Carmona-06B.indd 300 7/13/10 10:35:58 AM7/13/10 10:35:58 AM
  • Método de Frobenius. Ecuación indicial 301 2 2 1′ − 2 1 − 2 1 + ln 3 1″ − 2 1+( ) 1′ + 1( ) cero + − +( ) =+ = ∞ + = ∞ ∑ ∑m b x m b xm m m m m m 2 2 0 3 0 1 0. Sustituyendo y1 y y1′: 2 22 2 2 0 x xe e x x xe m b xx x x m m m +( )− +( ) + + = ∞ ∑ − +( ) =+ = ∞ ∑ m b xm m m 1 03 0 . Dividiendo entre x2 : 2 2 12 0 1 xe e x e m b x m b xx x x m m m m m m +( )− +( ) + − +( ) = ∞ + = ∑ 00 0 ∞ ∑ = xe m b x m b xx m m m m m m + − +( ) = = ∞ + = ∞ ∑ ∑2 0 1 0 1 0 124 34 1 244 344 x k k b x kb x k k k k k k k k−( ) + − = = ∞ = ∞ − = ∞ ∑ ∑ ∑1 0 1 2 0 1 1! Igualando índices: x k b k b x kb x k k k k k k k k−( ) + + − = = ∞ = ∞ − = ∞ ∑ ∑ ∑1 0 1 0 2 1 1 1! 00 → =b b0 0 y b b k k k k k = − −( ) −1 2 1 1 ! , k = 1, 2, 3, … es la fórmula de recurrencia, para k = 1, b b1 0 1= − k = 2, b b b 2 1 0 2 1 4 2 3 4 = − = − k = 3, b b b 3 2 0 3 1 18 6 11 36 = − = − k = 4, b b b 4 3 0 4 1 96 12 25 288 = − = − , etcétera. Carmona-06B.indd 301Carmona-06B.indd 301 7/13/10 10:35:59 AM7/13/10 10:35:59 AM
  • 302 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series → = + + −( ) + − + − +y y x x b b x b x b x2 1 0 0 0 2 0 3 1 2 3 4 6 11 36 1 ln 22 25 288 0 4b x − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥... Si tomamos b0 = 0: y y x x x x x x2 1 2 3 43 4 11 36 25 288 = + − − − − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ln ... Como se comprueba por la solución obtenida por los métodos anteriores; teníamos y y x xe x m m x m m m 2 1 1 1 = + −( ) ( )= ∞ ∑ln ! = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + −y x x x x x x x x 1 2 3 4 2 3 2 3 2 2 ln ! ! ... !ؒ 33 3 4 4 4 ؒ ؒ! ! ...+ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x = + − + − + −y x x x x x 1 2 3 4 5 2 2 3 3 4 4 ln ! ! ! ... ؒ ؒ ؒ − + − +x x x3 4 5 2 2 3 3ؒ ؒ! ! ... − + − x x4 5 2 2 2 2ؒ ؒ ... − + x5 3! ... = + − − − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟y x x x x x1 2 3 4 53 4 11 36 25 288 ln ... , que coincide con las anteriores. La solución general de la ecuación es, definitivamente: y c y c y c xe c xe x xe x m m x x x m m m = + = + + −( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 ln !== ∞ ∑ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 Raíces que difieren en un número entero EJEMPLO 1 Resolver la ecuación: xy y xy″ ′+ + =2 0 Sea y c xm m r m = + = ∞ ∑ 0 la solución, → = +( ) = ∞ + − ∑y m r c x m m m r ′ 0 1 y y m r m r c x m m m r ″ = +( ) + −( ) = ∞ + − ∑ 1 0 2 Carmona-06B.indd 302Carmona-06B.indd 302 7/13/10 10:36:00 AM7/13/10 10:36:00 AM
  • Método de Frobenius. Ecuación indicial 303 Sustituyendo: m r m r c x m r c x m m m r m m m r +( ) + −( ) + +( ) = ∞ + − = ∞ + ∑ ∑1 2 0 1 0 −− + + = ∞ + =∑1 1 0 0c xm m r m Tomando las sumas con menor exponente en las x, y m = 0 r r c rc−( ) + =1 2 00 0 c r r0 1 0+( )= , como c r r r r0 1 2 0 1 0 0 1 ≠ → +( )= = = − ⎧ ⎨ ⎩ → = = ∞ ∑y x c xm m m 1 0 0 y y ky x x b xm m m 2 1 1 0 = + − = ∞ ∑ln , será la forma que tomarán para este caso y1 y y2. Multiplicando por x, las sumas: 1 244444 344444 1 2444 3444 1 24 34 ( )( ) ( )k r k r c x k r c x c k k k r k k k r + + − + + + = ∞ + = ∞ + ∑ ∑ 0 0 1 2 kk k r k x− + = ∞ ∑ =2 2 0 Para k = 0 obtenemos la ecuación de índices. Para k = 1, ( ) ( )1 2 1 0 01 1 1+ + + = → =r rc r c c Para k = 2, 3, …, c c k r k r k k = − + + + −2 1( )( ) Para r1 = 0: k k c k c ck k k−( ) + ( ) + =−1 2 02 Y c c k k k k = − +( ) −2 1 , k = 2, 3, … es la fórmula de recurrencia. Para k = 2, c c 2 0 6 = − k = 3, c c 3 1 12 0= − = k = 4, c c c 4 2 0 20 120 = − = k = 5, c5 0= k = 6, c c c 6 4 0 42 5040 = − = − , etcétera. ∴ = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟y c x x x 1 0 2 4 6 1 3 5 7! ! ! ... Carmona-06B.indd 303Carmona-06B.indd 303 7/13/10 10:36:01 AM7/13/10 10:36:01 AM
  • 304 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Como sen x x x x x = − + − + 3 5 7 3 5 7! ! ! ... → = − + − + sen x x x x x 1 3 5 7 2 5 7 ! ! ! ... ∴ =y c x x 1 0 sen Para obtener y2 se usa cualquiera de los métodos del ejemplo 3. También se puede probar la misma fórmula de recurrencia para r2 = −1 la cual, a veces, da la solución correcta. Para r2 = −1 b b k k k k = − −( ) −2 1 , k = 2, 3, 4… b b0 0= b1 0= Para k = 2, b b 2 0 2 = − k = 36, b b 3 1 6 0= − = k = 4, b b b 4 2 0 12 24 = − = k = 5, b b 5 3 20 0= − = k = 6, b b b 6 4 0 30 720 = − = − , etcétera. y b x x x b x= − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =0 2 4 6 01 2 4 6! ! ! ... cos ∴ = + − y y x x b x2 1 1 00 ln cos . A veces no aparece la función logaritmo natural. Como y b x x 2 0= cos , la solución general es: y c x x b x x = +0 0 sen sen Por el método de la fórmula: y y e y dx y x x x dx x dx 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = ∫ = − − ∫ ∫ sen = = = −∫ ∫y x dx y xdx y x1 2 1 2 1 1 sen csc cot Carmona-06B.indd 304Carmona-06B.indd 304 7/13/10 10:36:03 AM7/13/10 10:36:03 AM
  • Método de Frobenius. Ecuación indicial 305 = − = −sen sen x x x x x x ؒ cos cos → =y b x x o2 cos y y c x x b x x = +0 0 sen cos . Una opción con Mathematica es, por ejemplo, con la solución por series de la ecuación diferencial y x x y y x″ ′+ + = sen cos : DSolve[y”[x]+Sin[x]͞xy’[x]+y[x]==cosx,y[x],x] DSolve[y][x]+ Sin[x]y’[x] x +y”[x]==cosx,y[x],xx] 1hs=y”[x]+Sin[x]͞xy’[x]+y[x];rhs=cos[x]; ser=Series[lhs,{x,0,7}] (y[0]+y’[0]+y”[0])+(y’[0]+y”[0]+y(3) [0])x+ 1 6(-y’[0]+3y”[0]+3y [0]+3y [0])x +(3) (4) 2 1 6(-y”[0]+y [0]+y [0]+y [0])x +(3) (4) (5) 3 1 120(y’[0]-10y [0]+5y [0]+5y [0]+5y(3) (4) (5) (6)) 4 [0])x serone= ser .{y[0] 1,y’[0] -1}→ → y↑,’ [0]+(−1+y↑ ”[0]+y↑ ((3))[0])x+1/6(1+3y↑,’ [0]+ 3y↑ ((3))[0]+3y↑ ((4))[0])x↑ 2+1/6(−y↑,’ [0]+ y↑ ((3))[0]+y↑ ((4))[0]+y↑ ((5))[0]x↑ 3+ 1/120(−1−10y↑ ((3))[0]+5y↑ ((4))[0]+5y↑ (( sertwo=Series[Cos[x],{x,0,7}] 1- x 2 + x 24 - x 720 + O[x] 2 4 6 8 equations=LogicalExpand[serone==sertwo] ΆΆy”[0]→1,y(3) [0]→0,y(4) [0]→− 7 3 ,y(5) [0]→ 10 3 ,y(6) [0]→ 1 5 ,y(7) [0] →− 554 45 ,y(8) [0]→ 1741 63 ,y(9) [0]→ 358 105··roots=Solve[equations] ’ y’ y’ y’ Carmona-06B.indd 305Carmona-06B.indd 305 7/13/10 10:36:05 AM7/13/10 10:36:05 AM
  • 306 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series ΆΆy”[0]→1,y(3) [0]→0,y(4) [0]→− 7 3 ,y(5) [0]→ 10 3 ,y(6) [0]→ 1 5 ,y(7) [0] →− 554 45 ,y(8) [0]→ 1741 63 ,y(9) [0]→ 358 105·· sery=Series[y[x],{x,0,9}] y[0]+y’[0]x+ 1 2 y”[0]x + 1 6 y [0]x + 1 24 y [02 (3) 3 (4) ]]x + 1 120 y [0]x +4 (5) 5 1 720 y [0]x + y [0]x 5040 + y [0]x 40320 +(6) 6 (7) 7 (8) 8 yy [0]x 362880 + O[x] (9) 9 10 solapprox= Normal[sery] . ?{y[0] 1,y'[0] -1} .? → → rroots 1[ ]⎡⎣ ⎤⎦ 1 - x + x 2 + 7x 72 + x 36 + x 3600 + 277x 113400 + 1741x2 4 5 6 7 88 9 2540160 + 179x 19051200 pone=Plot[solapprox,{x,0,3}] numsol=?NDSolve[{y”[x]+Sin[x]͞xy’[x]+y[x]==?y[.01]== .95,y’[.01]==-1.05},y[x],?[x,.01,3}] {{y[x]®InterpolatingFunction[{{0.01,3.}},<>][x]}} ptwo=Plot[numsol[[1,1,2]],{x,.01,3}] 1.0 0.8 0.6 0.4 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 y’ y’ Carmona-06B.indd 306Carmona-06B.indd 306 7/13/10 10:36:07 AM7/13/10 10:36:07 AM
  • Método de Frobenius. Ecuación indicial 307 EJERCICIOS 6.6 Usar el método de Frobenius para obtener y1 y y2 de la solución general en el punto singular x = 0 r1 ؊ r2 número entero. 1. 2 1 3 0xy x y y″ ′+ + + =( ) Respuesta: y x x x x x1 1 2 2 3 4 1 7 6 21 40 11 80 143 5760 143 1536 = − + − + − 00 5 x + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x x x2 2 3 4 5 1 3 2 2 3 1 7 1 45 = − + − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 2. 3 2 02 3 x y xy x y″ ′+ + = Respuesta: y x x x x 1 3 6 9 1 3 1 30 3420 861840 = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x 2 3 6 9 1 24 2448 572832 = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 3. x y xy y2 1 6 1 3 0″ ′− + = Respuesta: y x1 2 3 = , y x2 1 2 = 4. 3 02 2 x y xy x x y″ ′− + + =( ) Respuesta: y x x x x x 1 2 3 4 4 3 1 7 3 70 210 1680 = − − + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x x 2 2 3 4 1 2 30 60 = + − − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 5. 2 02 3 x y xy x y″ ′+ − = Respuesta: y x x x x 1 3 6 9 1 2 1 21 1638 280098 = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x 2 3 6 9 1 15 990 151470 = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 6. 4 02 2 x y x x y y″ ′− − + =( ) Respuesta: y x x x x 1 2 3 1 7 77 1155 = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x x x 2 1 4 2 3 4 1 4 32 384 6144 = − + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 7. 3 2 0xy y y″ ′+ + = Respuesta: y x x x x x 1 2 3 4 2 3 1 2 5 20 330 9240 = − + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x x 2 2 3 4 1 2 2 21 420 = − + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... Carmona-06B.indd 307Carmona-06B.indd 307 7/13/10 10:36:09 AM7/13/10 10:36:09 AM
  • 308 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 8. 3 1 02 x y xy x y″ ′− + − =( ) Respuesta: y x x x x x 1 2 3 4 1 5 80 2640 147840 = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x x x 2 2 3 4 1 3 1 8 168 6720 = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 9. 4 1 02 x y xy x y″ ′+ − + =( ) Respuesta: y x x x x x 1 2 3 4 1 9 234 11934 1002456 = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x x x 2 2 3 4 1 4 1 6 126 5544 = − − − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ... 10. 3 02 2 x y xy x x y″ ′− − − =( ) Respuesta: y x x x x x 1 2 3 4 4 3 1 7 2 35 195 17 17472 = − + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x x x x 2 3 4 5 1 15 480 800 = + + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... r1 ؊ r2 ‫؍‬ entero positivo. 11. xy y x y″ ′− + =4 03 Respuesta: y x1 2 = sen , y x2 2 = cos 12. ( )1 3 2 0− − + =x y x y x y″ ′ Respuesta: y x x 1 4 2 1 = −( ) y x x2 2 3 2= + + 13. x y xy y2 6 4 0″ ′+ + = Respuesta: y x1 1 = − , y x2 4 = − 14. 2 4 02 2 x y x y x y″ ′− − + =( ) y x x x x x1 2 2 3 4 1 3 8 3 40 1 96 1 896 = + + − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... y x2 1 = − 15. xy x y y″ ′+ − − =( )1 0 Respuesta: y e xx 1 2 1= − +− ( ), y e x 2 = − 16. x y x x y xy2 3 2 0″ ′− + + =( ) Respuesta: y x x x x x 1 4 5 6 7 8 2 5 1 10 2 105 336 = + + + + + ... y x x2 2 1 2 3 1 6 = + + 17. x y x x y x y2 4 6 2 0″ ′− − + − =( ) ( ) Respuesta: y x e x 1 2 1= − −− ( ), y x e x 2 2 = − − Carmona-06B.indd 308Carmona-06B.indd 308 7/13/10 10:36:11 AM7/13/10 10:36:11 AM
  • Método de Frobenius. Ecuación indicial 309 18. xy y x y″ ′+ + =3 4 03 Respuesta: y x x1 2 2 = − sen , y x x2 2 2 = − cos 19. x y xy x y2 2 4 2 0″ ′+ + + =( ) Respuesta: y x x1 2 = − sen , y x x2 2 = cos 20. x y xy x y2 2 6 6 0″ ′+ + − =( ) Respuesta: y x x1 3 = − senh , y x x2 3 = − cosh Raíces iguales r1 ‫؍‬ r2. 21. xy y y″ ′+ − = 0 Respuesta: y x m m m 1 2 0 = = ∞ ∑ ( !) y y x x x x2 1 2 3 2 3 4 11 108 = + − − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ln .. 22. xy x y x y″ ′+ − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =( )1 1 1 0 Respuesta: y x1 = y y x x m m m m m 2 1 1 1 1 = + − + = ∞ ∑ln ( ) ( ) ! 23. xy y y″ ′+ + = 0 Respuesta: y x x x x x 1 2 3 4 5 1 4 36 576 14400 = − + − + − + ... y y x x x x2 1 2 3 2 3 4 11 108 = + − −ln ... 24. xy y y″ ′+ − =4 0 Respuesta: y x x x x x1 2 3 4 5 1 4 4 16 9 4 9 16 225 = + + + + + + ... y y x x x x2 1 2 3 8 12 176 27 = − − − −ln ... 25. xy y x y″ ′+ + =2 0 Respuesta: y x x x 1 3 6 9 1 9 324 26244 = − + − + ... y y x x x2 1 3 62 27 1 324 = + − +ln ... 26. xy y xy″ ′+ − = 0 Respuesta: y x x x 1 2 2 4 2 2 6 2 2 2 1 2 2 4 2 4 6 = + + + + ؒ ؒ ؒ ... y y x x x2 1 2 41 4 3 128 = − − −ln ... Carmona-06B.indd 309Carmona-06B.indd 309 7/13/10 10:36:13 AM7/13/10 10:36:13 AM
  • 310 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 27. x y x x y xy2 1 0″ ′+ − − =( ) Respuesta: y ex 1 = y y x x x x x2 1 2 3 43 4 11 36 25 288 = − − − − −ln ... 28. x y x x y y2 2 0″ ′+ − + =( ) Respuesta: y xe x 1 = − y y x x x x2 1 2 3 43 4 5 18 = + − + −ln ... 29. x x y x y y2 3 1 0−( ) + − + =″ ′( ) Respuesta: y x 1 1 1 = − , y x x 2 1 = − ln 30. xy y y″ ′+ − =2 0 Respuesta: y x x x x1 2 3 4 1 2 2 9 1 36 = + + + + + ... y y x x x x2 1 2 3 4 3 22 27 = − − − −ln ... 31. Usar el método de variación de parámetros para obtener: y y x e y x dx f x dx 2 1 1 2 = ∫− ∫( ) ( ) ( ) En los siguientes ejercicios elegir la opción que contiene la ecuación de índices: 32. xy y″ − = 0 a. c r r0 2 1 0( )− − = b. c r r0 1 0( )− = c. c r r0 1 0( )+ = d. c r r0 2 1 0( )+ − = 33. xy y xy″ ′+ − =3 2 0 a. c r r0 2 0( )+[ ]= b. c r r0 2 4 3 0( )+ + = c. c r r0 2 4 1 0( )+ + = d. c r r0 2 2 2 0( )+ − = 34. xy xy y″ ′+ − = 1 2 3 2 0 a. c r r0 1 2 0( )− = c. c r r0 2 1 2 3 2 0− − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = b. c r0 2 3 2 0( )− = d. c r r0 2 3 2 1 0+ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = Carmona-06B.indd 310Carmona-06B.indd 310 7/13/10 10:36:15 AM7/13/10 10:36:15 AM
  • Método de Frobenius. Ecuación indicial 311 35. xy x y x y″ ′+ −( ) + −( ) =1 2 1 0 a. c r r r0 1 2 0( )− −[ ]= b. c r0 2 1 0( )+ = c. c r r0 2 2 1 0( )− − = d. c r0 2 0= 36. 16 3 02 x y y″ + = a. c r r0 16 1 0( )−[ ]= b. c r r0 2 16 16 3 0+ +( )= c. c r r0 2 16 16 3 0− +( )= d. No tiene, por ser ecuación de Cauchy-Euler. Encontrar la opción que contiene la forma general de y1 y y2 a partir de la ecuación de índices: 37. xy y xy″ ′+ − =3 2 0 a. y c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y x b xm m m 2 2 0 = − = ∞ ∑ b. y c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y ky x x b xm m m 2 1 2 0 = + − = ∞ ∑ln c. y x c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y y x x b xm m m 2 1 2 1 = + − = ∞ ∑ln d. y x c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y x b xm m m 2 2 0 = − = ∞ ∑ 38. x y x x y x y2 3 1 1 3 0″ ′+ +( ) + −( ) = a. y x c xm m m 1 1 0 = − = ∞ ∑ y y x x b xm m m 2 1 1 1 = + − = ∞ ∑ln b. y x c xm m m 1 1 0 = − = ∞ ∑ y x y x x b xm m m 2 1 1 1 = + − = ∞ ∑( ln ) c. y c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y x b xm m m 2 1 0 = − = ∞ ∑ d. y c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y y x x b xm m m 2 1 1 1 = + − = ∞ ∑ln 39. xy y″ + = 0 a. y x c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y ky x b xm m m 2 1 0 = + = ∞ ∑ln b. y c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y y x x b xm m m 2 1 1 = + = ∞ ∑ln c. y x c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y b xm m m 2 0 = = ∞ ∑ Carmona-06B.indd 311Carmona-06B.indd 311 7/13/10 10:36:17 AM7/13/10 10:36:17 AM
  • 312 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series d. y c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y y x b xm m m 2 1 1 = + = ∞ ∑ln 40. 2 1 02 x y xy x y″ ′− + −( ) = a. y x c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y y x x b xm m m 2 1 1 2 0 = + = ∞ ∑ln b. y x c xm m m 1 1 2 0 = = ∞ ∑ y y x x b xm m m 2 1 0 = + = ∞ ∑ln c. y x c xm m m 1 1 2 0 = = ∞ ∑ y ky x x b xm m m 2 1 0 = + = ∞ ∑ln d. y x c xm m m 1 0 = = ∞ ∑ y x b xm m m 2 1 2 0 = = ∞ ∑ Elegir la opción que contiene la solución y1 de las siguientes ecuaciones: 41. x x y y y1 2 2 0−( ) + + =″ ′ a. y c x x x o1 1 2 1 2 = − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ... b. y c y x x b xo m m m 1 1 1 0 = + − = ∞ ∑ln c. y c x x o1 2 1 2 = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ d. No tiene solución, por el método de Frobenius, por el método de Frobenius en el punto singular x = 0. 42. xy y″ + = 0 a. y c x x x o1 2 3 1 2 12 144 = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... b. y c x m m m m m 1 0 1 0 1 1 = −( ) +( ) + = ∞ ∑ ! ! c. y c y x b xo m m m 1 1 0 = + = ∞ ∑ln d. y1 0= 43. 3 2 2 02 2 x y xy x y″ ′− − −( ) = a. y c x x x x 1 0 2 3 4 5 1 2 12 40 480 = − − − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... b. y c x x 1 0 2 4 1 26 1976 = + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... c. y c x x x 1 0 2 4 6 26 1976 = + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... d. y c x x 1 0 2 4 1 26 1976 = − − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... Carmona-06B.indd 312Carmona-06B.indd 312 7/13/10 10:36:20 AM7/13/10 10:36:20 AM
  • Método de Frobenius. Ecuación indicial 313 44. 1 4 2 1 02 x y xy x y″ ′+ − +( ) = a. y c x x x x x1 0 2 3 4 1 4 3 16 21 16 63 32 567 = + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... b. y c x x x x1 0 4 2 3 1 4 3 16 21 16 63 = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ... c. y c x x x1 0 2 3 1 4 3 16 21 16 63 = + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... d. y c x x x1 0 2 3 1 4 3 16 21 16 63 = − + − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 45. Probar que la ecuación diferencial x4 y″ + y = 0 tiene una sola solución por el método de Frobenius y es y ≡ 0 46. Determinar la forma que deben tener y1 y y2, por el método de Frobenius, de la ecuación: x y y y2 0″ ′− + = Respuesta: y c xm m r m 1 0 1 = + = ∞ ∑ y b xm m r m 2 0 2 = + = ∞ ∑ donde r r i1 2 3− = Respuestas: 32. b. La opción a toma las dos sumatorias, siendo que sólo deben tomarse la o las que contienen la variable x con el menor exponente. La opción c toma m = 1 en los coeficientes y debe ser m = 0. La opción d contiene los errores de a y c 33. a. La opción d toma las tres sumas y sólo deben tomarse las dos prime- ras por tener la x el menor exponente. La opción b supone m = 1 en los coeficientes y debe ser m = 0. La opción c contiene los errores de b y d. 34. c. Las opciones a y b omitieron una suma cada una. La opción d toma m = 1, en vez de m = 0. 35. d. La opción a tiene equivocado el término −2r que debe ser +r. La opción b toma m = 1, en vez de m = 0. La opción c toma dos sumas de más. 36. c. A la opción a le falta una suma. La opción b toma m = 1, en vez de m = 0. La opción d supone que una ecuación de Cauchy-Euler no puede resolverse por el método de Frobenius. Carmona-06B.indd 313Carmona-06B.indd 313 7/13/10 10:36:21 AM7/13/10 10:36:21 AM
  • 314 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 37. b. La opción a supone r1 − r2 ≠ entero y r1 − r2 = 0 − (−2) = 2 La opción c supone r1 = 1 y debe ser r1 = 0 para y1 y para y2 supone r1 = r2 La opción d contiene los errores de c para y1 y de a para y2 38. a. La opción b supone que como r1 = r2 = −1, entonces, y2 debe multi- plicarse por x, lo cual no está definido en el método de Frobenius. La opción c toma raíces de la ecuación indicia r1 = 0 y r2 = −1, en ese caso tampoco y2 tendría esa forma. La opción d tiene error en la y1, que debe multiplicarse por x−1 39. a. La opción b debe tener a y1 multiplicada por x porque r1 = 1 > r2 = 0; además, supone que r1 = r2, lo cual es falso. La opción c supone r1 − r2 ≠ entero. La opción d supone r1 = r2 = 0 40. d. La opción a supone r1 = r2, cuando r1 = 1 y r2 1 2 = La opción b contiene el mismo error anterior y además tiene inter- cambiadas r1 y r2, r1 = 1 debe pertenecer a la solución y1. La opción c, además de tener intercambiadas r1 y r2, supone r1 − r2 = entero. 41. c. La opción a toma r1 = −1, en vez de r1 = 0 y supone una serie infinita. La opción b expresa la forma general que toma y2 en este caso, pero se pregunta por y1. La opción d está en un error porque el método asegura que al menos hay una solución del tipo Frobenius. 42. b. La opción a está incompleta, falta multiplicarla por xr 1 = x La opción c propone la forma general de la y2 y se pregunta por y1 La opción d trabaja la fórmula de recurrencia para r2 = 0, con lo que se anula c1 y el resto de las constantes, además supone c0 = 0 43. c. La opción a resuelve para r2 1 3 = − , en vez de r1 = 2 La opción b está incompleta, debe multiplicarse por x2 La opción d, además del error en b, supone que la fórmula de recu- rrencia es c c k k k k = − +( ) −2 3 7 , y ambos miembros son positivos. 44. a. La opción b propone como r1 = −4, en vez de r1 = 1. La opción c está incompleta, falta multiplicar por x xr1 = La opción d supone que el resultado es una serie alternante. Carmona-06B.indd 314Carmona-06B.indd 314 7/13/10 10:36:22 AM7/13/10 10:36:22 AM
  • Ecuación de Bessel 315 Ecuación de Bessel Una ecuación de gran aplicación en ingeniería es la ecuación de Bessel, que tiene la forma: x y xy x v y2 2 2 0″ ′+ + − =( ) Donde v ≥ 0 es un parámetro real y x = 0 es un punto singular regular. Ecuaciones reducibles a la ecuación de Bessel Gran cantidad de ecuaciones son de la forma: x y axy b cx ym2 0″ ′+ + + =( ) (2) Donde a, b, c, m son constantes (c > 0 y m ≠ 0) se reducen a una ecuación de Bessel mediante las siguientes sustituciones: y t u= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ␥ ␣ ␤/ , x t = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟␥ ␤1/ Quedando: t d u dt t du dt t v u2 2 2 2 2 0+ + − =( ) Donde ␣ = −a 1 2 , ␤ = m 2 , ␥ = 2 c m , v a b m 2 2 2 1 4 = − −( ) NOTA: Cuando c = 0 y m = 0 la ecuación (2) es la de Cauchy-Euler. También pueden usarse otras sustituciones apropiadas. EJEMPLO 1 Dada la ecuación diferencial y″ + y = 0, probar que la transformación y xz= la convierte en una ecuación de Bessel. Entonces, y x z= 1 2 Derivando con respecto a x: y x z x z′ ′= + −1 2 1 2 1 2 y x z x z x z″ ″ ′= + − − −1 2 1 2 3 2 1 4 Carmona-06C.indd 315Carmona-06C.indd 315 7/13/10 11:27:29 AM7/13/10 11:27:29 AM
  • 316 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Sustituyendo en la ecuación dada: x z x z x z x z1 2 1 2 3 2 1 21 4 0/ / / / ″ ′+ − + =− − Multiplicando por x3 2/ : x z xz x z2 2 1 4 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = que ya es de Bessel, con parámetro v = 1 2 Antes de entrar en la solución de la ecuación de Bessel, hablaremos de una im- portante función: la función gamma. Función gamma Definición 6.9 La función ⌫( )n para n > 0 se define como: ⌫( )n t e dtn t = − ∞ − ∫ 1 0 Fórmula de recurrencia: ⌫ ⌫( ) ( )n n n+ =1 Valores de la función gamma para n = 1, 2, 3, … ⌫( )1 1 0 = = − ∞ ∫e dt t ⌫ ⌫( ) ( ) !2 1 1 1 1= = = ⌫ ⌫( ) ( ) !3 2 2 2 1 2 2= = = =ؒ ⌫ ⌫( ) ( ) !4 3 3 3 2 6 3= = = =ؒ ⌫ ⌫( ) ( ) !5 4 4 4 6 24 4= = = =ؒ ⌫ ⌫( ) ( ) ! ..................... 6 5 5 5 24 120 5= = = =ؒ ............................. ⌫( ) !n n+ =1 para n = 1, 2, 3, … donde 0 1! = Por ello, la función gamma es una generalización de la función factorial. Carmona-06C.indd 316Carmona-06C.indd 316 7/13/10 11:27:30 AM7/13/10 11:27:30 AM
  • Ecuación de Bessel 317 Tomando ⌫ ⌫ ( ) ( ) ,n n n n= + > 1 0 vemos que ⌫(n) tiende a infinito cuando n se acerca a cero. Queda claro, enton- ces, que ⌫ (n) no está definida para n = 0, ni tampoco para n = −1, −2, −3, … Sin embargo, podemos definir la función gamma para valores negativos que no sean enteros, si en la definición quitamos la restricción de n > 0. La gráfica es: 2 2 04 4 4 2 2 4 Algunos resultados interesantes son: ⌫ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ␲. ⌫( ) ... ( )( )...( ) x k x x x k k k x + = + + +→∞ 1 1 2 3 1 2 lím ؒ ؒ ⌫( )x x+ =1 2␲ x e x x x x− + + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 1 12 1 288 2 ... Serie asintótica de Stirling Para x = n entero positivo y suficientemente grande (por ejemplo, n > 10), la fórmula de Stirling da una aproximación útil para n! n n n en n ! ≈ − 2␲ Es decir, el valor de ambos tiende a ser el mismo cuando n → ∞ Carmona-06C.indd 317Carmona-06C.indd 317 7/13/10 11:27:32 AM7/13/10 11:27:32 AM
  • 318 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series EJEMPLO 1 Hallar el valor de ⌫(3.5) sabiendo (por las tablas para 1 < n < 2) que ⌫(1.5) = 0.8862 Como ⌫ ⌫( ) ( )n n n+ =1 sea n = 2 5. → =⌫ ⌫( . ) . ( . )3 5 2 5 2 5 Pero, para obtener ⌫(2.5) sea n = 1 5. → =⌫ ⌫( . ) . ( . )2 5 1 5 1 5 = ( . )( . )1 5 0 8862 = 1 3293. ∴ = =⌫( . ) ( . )( . ) . .3 5 2 5 1 3293 3 3233 Solución de la ecuación de Bessel x y xy x v y2 2 2 0″ ′+ + − =( ) Aplicando el método de Frobenius: Sea y c xm m m r = = ∞ + ∑ 0 la solución. Derivando: y m r c xm m m r ′ = + = ∞ + − ∑( ) 0 1 y m r m r c xm m m r ″ = + + − = ∞ + − ∑( )( )1 0 2 Sustituyendo en la ecuación de Bessel: ( )( ) ( )m r m r c x m r c xm m m r m m m r + + − + + = ∞ + = ∞ + ∑ ∑1 0 0 + − = = ∞ + + = ∞ + ∑ ∑c x v c xm m m r m m m r 0 2 2 0 0 Para m = 0 c r r r v0 2 1 0( )− + −⎡⎣ ⎤⎦ = Como c r v r v r r 0 1 2 0 0≠ → + − = = = − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ( )( ) ␯ ␯ Existirá, por tanto, una solución de la forma: y x c xv m m m = = ∞ ∑ 0 Carmona-06C.indd 318Carmona-06C.indd 318 7/13/10 11:27:33 AM7/13/10 11:27:33 AM
  • Ecuación de Bessel 319 Para hallar las cm: 1 2444 3444 1 24 34 [( ) ]k r v c x c xk k r m k k r m + − + =+ = ∞ − + = ∞ ∑ ∑2 2 0 2 2 0 Para k = 1 y r v v c= → + =( ) ,1 2 01 como v c≠ → =0 01 Para k = 2, 3, 4, … → = − + − c c k k v k k 2 2( ) es la fórmula de recurrencia. Para k = 2, c c v 2 0 4 1 = − +( ) k = 3, c c c c1 3 5 7 0= = = = =... k = 4, c c v v c v 4 2 0 4 2 2 1 4 2 2 4 1 = − + = − + − +ؒ ؒ( ) ( ) ( ( ) ) = + + c v v 0 4 2 1 2 1 2ؒ ؒ ( )( ) k = 6, c c v v c v v 6 4 0 4 6 6 2 1 12 3 2 1 2 1 2 = − + = − + + +( ) ( ) ( ( )( )ؒ ؒ ؒ )) = − + + + c v v v 0 6 2 1 2 3 1 2 3ؒ ؒ ؒ ( )( )( ) , etcétera. → = − + + + c c k v v k v k k k2 0 2 1 2 1 2 ( ) !( )( ) ... ( ) , k = 1, 2, 3, … Elegir un valor apropiado para c0, puesto que es una constante arbitraria, tal como: c vv0 1 2 1 = +⌫( ) y recordando que ⌫(1 + v) = v⌫(v) podemos volver a escribir la fórmula para los coeficientes pares así: c k v v k v v k k k v2 2 1 2 1 2 1 = − + + + ++ ( ) !( )( ) ... ( ) ( )⌫ = − + ++ ( ) ! ( ) , 1 2 12 k k v k v k⌫ k = 0, 1, 2, … ∴ la solución es: y c x k v m x m m v m m m v = = − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = ∞ + ∑ 2 2 0 2 1 1 2 ( ) ! ( )⌫mm= ∞ ∑ 0 Si v ≥ 0, esta serie converge por lo menos en el intervalo 0 ≤ < ∞x Carmona-06C.indd 319Carmona-06C.indd 319 7/13/10 11:27:34 AM7/13/10 11:27:34 AM
  • 320 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Funciones de Bessel de primera clase La serie solución anterior suele denotare por J xv ( ), entonces, J x m v m x v m m v m ( ) ( ) ! ( ) = − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = ∞ ∑ 1 1 2 2 0 ⌫ Similarmente, si tomamos r v2 = − , obtenemos: J x m v m x v m m v m − − = ∞ = − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∑( ) ( ) ! ( ) 1 1 2 2 0 ⌫ Las funciones J xv ( ) y J xv− ( ) se llaman funciones de Bessel de primera clase de orden v y −v, respectivamente. Dependiendo del valor v, J xv− ( ) puede tener potencias negativas de x y converge en 0 < < ∞x SOLUCIONES DE BESSEL Habrá siempre una y1 de la forma: y x c x v m m m 1 0 = − = ∞ ∑ , que es J xv ( ) Para ver la forma y2 consideramos tres casos: 1. Si r r v v v1 2 2− = − − = ≠( ) entero positivo → = − = ∞ ∑y x c x v m m m 2 0 que es J xv− ( ) ∴ = + −y c J x c J xv v1 2( ) ( ) es solución general. 2. Si v J x J xn v v= → − = −0 1( ) ( ) ( ) en este caso y1 y y2 son linealmente depen- dientes, puesto que es la misma solución. Entonces, y y x x b xm m m 2 1 0 = + = ∞ ∑( )ln que se obtiene como en el ejemplo 3 de la página 296. ∴ = +y c J x c yv1 2 2( ) es solución general. 3. Si 2v = entero positivo. → = + − = ∞ ∑y ky x x x b x v m m m 2 1 0 ( )ln (Vea ejemplo 3 de la página 296.) ∴ = +y c J x c yv1 2 2( ) es solución general. Carmona-06C.indd 320Carmona-06C.indd 320 7/13/10 11:27:36 AM7/13/10 11:27:36 AM
  • Ecuación de Bessel 321 EJEMPLO 1 Hallar la solución general de la ecuación: x y xy x y2 2 1 16 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Como v = → 1 4 la solución general en 0 < < ∞x es: y c J x c J x= + −1 1 4 2 1 4( ) ( ) EJEMPLO 2 Hallar la solución general de la ecuación: x y xy x y2 2 16 0″ ′+ + − =( ) Como v = →4 la solución general en 0 < < ∞x tendrá una y J x1 4= ( ) y y J x e J x dx dx x 2 4 4 2 = ∫− ∫( ) ( ) ∴ = + ∫y c J x c J x dx xJ x 1 4 2 4 4 2 ( ) ( ) ( ) EJEMPLO 3 Hallar la solución general de la ecuación: x y xy x y2 2 4 1 9 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Sea z x= 2 (y se convierte en ecuación de Bessel), donde v = 1 3 → = + −y c J x c J x1 1 3 2 1 32 2( ) ( ) en 0 < < ∞x EJERCICIOS 6.7 Usar las transformaciones dadas para reducir las siguientes ecuaciones a otras de Bessel. 1. x y xy x y2 2 9 1 0″ ′+ + − =( ) , z x= 3 Respuesta: y c J x c J x dx xJ x = + ∫1 1 2 1 1 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2. x y xy x y2 2 4 1 4 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , z x= 2 Respuesta: y c J x c J x= + −1 1 2 2 1 22 2( ) ( ) Carmona-06C.indd 321Carmona-06C.indd 321 7/13/10 11:27:37 AM7/13/10 11:27:37 AM
  • 322 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 3. x y xy x y2 2 3 0″ ′+ + = , a = 3, b = 0, c = 1, m = 2, ␣ ␤ ␥= − = = = = = = − − = a m c m v a b m 1 2 1 2 1 2 1 1 4 12 2 2 , , , ( ) y t u x t = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − ␥ ␥ ␣ ␤ ␤ , 1 y t u x t= =−1 , Respuesta: y x c J x c J x e J x dx dx x = + ∫⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − ∫ 1 1 1 2 2 3 1 2 ( ) ( ) ( ) 4. x y xy x y2 2 5 2 0″ ′+ + +( ) = (vea ejercicio 3). Respuesta: y x c J x c J x= +⎡ ⎣ ⎤ ⎦− 1 2 22 1 2 2 2 ( ) ( ) 5. x y xy x y2 2 7 3 0″ ′+ + +( ) = Respuesta: y x c J x c J x= +⎡ ⎣ ⎤ ⎦− 1 3 1 6 2 6 ( ) ( ) 6. x y xy x y2 21 4 1 25 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , z x= 1 2 Respuesta: y c J x c J x = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟−1 1 5 2 1 5 2 2 7. x y xy x y2 2 4 9 0″ ′+ + −( ) = , z x= 2 Respuesta: y c J x c J x e J x dx dx x = ( )+ ( ) ∫ ( ) − ∫1 3 2 2 3 2 3 2 2 / 8. 4 4 1 36 02 x y xy x y″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , z x= Respuesta: y c J x c J x= ( )+ ( )−1 1 6 2 1 6/ / 9. y xy″ + = 0 (ecuación de Airy) y u x= , z x= 2 3 3 2 Respuesta: y x AJ x BJ x= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ −1 3 3 2 1 3 3 22 3 2 3 / / / / ⎦⎦ ⎥ 10. Demostrar que: ⌫ ⌫( ) ( ),n n n n+ = >1 0 11. Probar que: ⌫ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ␲ Sugerencia: Hacer u = x2 y usar coordenadas polares para obtener primero: I2 = π, donde I es la definición de la función gamma para x = 1 2 12. Hallar: ⌫(−0.5) Respuesta: −3.5448 13. Hallar: ⌫(−1.2) Respuesta: 4.8504 Carmona-06C.indd 322Carmona-06C.indd 322 7/13/10 11:27:39 AM7/13/10 11:27:39 AM
  • Ecuación de Bessel 323 14. Hallar: ⌫(2.7) Respuesta: 1.5446 15. Graficar en el mismo sistema de coordenadas J0 y J1, las funciones de Bessel de orden cero y uno. Resolver las siguientes ecuaciones de Bessel: 16. x y xy x y2 2 1 4 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Respuesta: y c J x c J x= + −1 1 2 2 1 2( ) ( ) 17. x y xy x y2 2 1 81 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Respuesta: y c J x c J x= + −1 1 9 2 1 9( ) ( ) 18. x y xy x y2 2 9 0″ ′+ + = ; z x = 3 Respuesta: y AJ x BJ x dx xJ x = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∫0 0 0 2 3 3 3( / ) 19. Probar que en la solución del ejercicio 16 se cumple que: J x x x 1 2/ ( ) = sen y J x x x − =1 2/ ( ) cos Sugerencia: y u x = 20. Probar que J x x m m m m m 1 2 2 1 2 0 1 2 3 2 / / ( ) ( ) ! = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = ⌫ ∞∞ ∑ = 2 ␲x xsen Sugerencia: ⌫ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ␲ 21. xy y x y″ ′− + =4 05 Respuesta: y x c J x c J x= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥−1 1 3 3 2 1 3 32 3 2 3 / / 22. y x y y″ ′+ + = 5 0 Respuesta: y x AJ x BJ x e J x dx xdx = + ∫⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − ∫ 1 2 2 2 5 2 2 ( ) ( ) ( ) 23. xy y y″ ′+ + = 1 2 1 4 0 Respuesta: y x c J x c J x= ( )+ ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦− 4 1 1 2 2 1 2/ / 24. x y xy x y2 4 2 4 4 0″ ′− + −( ) = Respuesta: y x c J x c J x= ( )+ ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦− 3 2 1 5 4 2 2 5 4 2/ / / 25. Probar: J x J xn n n− = −( ) ( ) ( ),1 n entero. Carmona-06C.indd 323Carmona-06C.indd 323 7/13/10 11:27:41 AM7/13/10 11:27:41 AM
  • 324 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Resumen Serie DEFINICIÓN Suma de los términos de una sucesión: a a a a an n n= + + + + + = ∞ ∑ 0 0 1 2 ... ... ALTERNANTE ( ) ... ( ) ...− = − + − + + − + = ∞ ∑ 1 10 0 1 2 3 n n n n na a a a a a POTENCIAS Taylor, c x an n n = ∞ ∑ − 0 ( ) , a ≠ 0 Maclaurin, c xn n n = ∞ ∑ 0 , a = 0 TAYLOR Una función se representa mediante una serie, usando: f a x a n n n n ( ) ( )( ) ! − = ∞ ∑ 0 CONVERGENCIA Si x a R− < , R es el radio de convergencia. PRUEBAS DE CONVERGENCIA. (Vea páginas 248 a 251.) Definiciones FUNCIÓN ANALÍTICA EN UN PUNTO Una función es analítica en x0 si se puede desarrollar en una serie de potencias de x − x0 PUNTO ORDINARIO De una ecuación diferencial: y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 es aquel punto x0 en el cual ambas funciones f(x) y g(x) son analíticas. PUNTO SINGULAR Es aquel punto x0 en el cual f(x) o g(x) no son analíticas. PUNTO SINGULAR REGULAR Si al multiplicar f(x) por ( )x x− 0 y g(x) por ( )x x− 0 2 ya son analíticas en x x= 0 PUNTO SINGULAR IRREGULAR Si a pesar de los productos anteriores no son analíticas en x = x0 Carmona-06C.indd 324Carmona-06C.indd 324 7/13/10 11:27:42 AM7/13/10 11:27:42 AM
  • Teoremas 1. CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS En una serie c xn n n= ∞ ∑ 0 se cumple exactamente una de las tres: a. La serie converge solamente en x = 0 b. La serie es absolutamente convergente en x R⑀ (reales). c. Existe un número R > 0 tal que la serie es absolutamente convergente para toda x que satisface x R< y diverge cuando x R> . Para encontrar la convergencia: prueba de la razón. lím n n n n n c x c x L →∞ + + = 1 1 donde L < 1 da la convergencia. 2. ANALITICIDAD a. Si f(x) y g(x) son analíticas en x0 → +f x g x( ) ( ), f x g x( ) ( )ؒ y f x g x( ) ( ), g x( )0 0≠ son analíticas en x0 b. Si f(x) es analítica en x0 y f x−1 ( ) es la función inversa, continua, con f x− ≠1 0 0( ) → − f x1 ( ) es analítica en x0 c. Si g(x) es analítica en x0 y f(x) es analítica en x0 → ( )f g x( ) es analítica en x0 3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN Sea y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 una ecuación diferencial con un punto ordinario en x = x0 y sean a, b, constantes arbitrarias. Existirá una función única y(x) analítica en x0 que es una solución de la ecuación dada en los alrededores de x0 y satisface las condicio- nes iniciales y(x0 ) = a y y′(x0 ) = b. Si el dominio de f y g es x x R− <0 , con R y x c x xn n n > → = − = ∞ ∑0 0 0 ( ) ( ) también es válida en el mismo intervalo. 4. EXISTENCIA DE UNA SOLUCIÓN ALREDEDOR DE UN PUNTO SINGULAR REGULAR Sea y f x y g x y″ ′+ + =( ) ( ) 0 una ecuación diferencial con un punto singular en x = x0, entonces siempre existe al menos una solución de la forma: y x x x c x xr n n n ( ) ( ) ( )= − − = ∞ ∑0 0 0 Que converge en: 0 0< − <x x R Resumen 325 Carmona-06C.indd 325Carmona-06C.indd 325 7/13/10 11:27:43 AM7/13/10 11:27:43 AM
  • 326 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Método para resolver una ecuación diferencial mediante series de potencias 1. Suponemos una solución: y c xn n n = = ∞ ∑ 0 (x0 punto ordinario) 2. Se deriva tantas veces como indique el orden de la ecuación diferencial dada. 3. Se sustituye y y sus derivadas en la ecuación diferencial. 4. Se utiliza un cambio de variable para igualar los exponentes. 5. Se extraen de las sumas los términos que contengan más, de forma que todas em- piecen con el mismo índice. 6. Se igualan los coeficientes de ambos lados de la igualdad. 7. Se obtiene la fórmula de recurrencia para obtener el valor de cada cn, para n = 0, 1, 2, … y se establece la serie solución. Método de Frobenius (alrededor de puntos singulares para ecuaciones de segundo orden). 1. Suponemos la solución y c xn n r n = + = ∞ ∑ 0 Los pasos 2 al 5 son iguales al método anterior. 6. Se toma la o las sumas de menor exponente y se hacen n = 0, con el fin de obtener la ecuación de índices, con c0 ≠ 0 7. De la ecuación de índices se obtienen dos raíces r1 y r2. Tomamos siempre r1 > r2 8. Según sean r1 y r2 hay tres casos con sus correspondientes formas de solución: r1 − r2 ≠ entero y x c x cr n n n 1 0 0 1 0= ≠ = ∞ ∑ , y x b xr n n n 2 0 2 0= ≠ = ∞ ∑ , b0 r1 = r2 = r y x c x cr n n n 1 0 0 0= ≠ = ∞ ∑ , y y x x b xr n n n 2 1 0 = + = ∞ ∑ln r1 − r2 = entero positivo. y x c xr n n n 1 0 1 = = ∞ ∑ , c0 0≠ y ky x x b xr n n n 2 1 0 2 = + = ∞ ∑ln , b0 0≠ Y y c y b y= +0 1 0 2 será la solución general en los tres casos. Carmona-06C.indd 326Carmona-06C.indd 326 7/13/10 11:27:45 AM7/13/10 11:27:45 AM
  • 9. Para encontrar y1 se usa el método anterior sustituyendo en la fórmula de recurren- cia la r general por la r1 obtenida en la ecuación de índices. 10. Para obtener y2, se puede probar el mismo procedimiento: sustituir r2 en la fórmula de recurrencia, o bien usar: a. Variación de parámetros (todo el proceso) b. Directamente la fórmula y y e y dx v x dx 2 1 1 2 = = ∫− ∫ ( ) donde p x( ) = coeficiente de coeficiente de y y ′ ″ c. Por derivación. Ecuación de Bessel x y xy x v y2 2 2 0″ ′+ + − =( ) v es el parámetro. SOLUCIÓN: Si v ≠ entero y c J x c J xv v= + −1 2( ) ( ) Si v = entero y c J x c J x e J x dxv v p x dx v = + ∫− ∫1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Función gamma Definición: ⌫( )n t e dtn t = − − ∫ 1 Fórmula de recurrencia: ⌫ ⌫( ) ( )n n n+ =1 Propiedades: ⌫( )1 1= ⌫( ) !n n+ =1 ⌫ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ␲ Autoevaluación 6 1. Encontrar la serie de potencias correspondiente a la función y x e x = −2 alrededor de x = 0 2. Elegir la opción que contiene el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la serie: x n n n= ∞ ∑ 0 a. Conjunto (−1, 1) R = 1 b. Conjunto (−1, 1] R = 1 c. Conjunto [−1, 1) R = 1 d. Conjunto [−1, 1] R = 1 3. Encontrar el radio de convergencia de la serie: 2 20 n n n x n += ∞ ∑ Autoevaluación 327 Carmona-06C.indd 327Carmona-06C.indd 327 7/13/10 11:27:46 AM7/13/10 11:27:46 AM
  • 328 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series 4. Calcular la siguiente integral, mediante series de potencias con una precisión de 10−5 : sen x x dx 0 1 ∫ 5. Definir función analítica en un punto. 6. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones obtenidas mediante series de potencias. 7. Elegir la opción que contiene la definición de punto singular regular de y″ + f (x)y′ + g(x)y = 0 a. Es un punto en donde las funciones f (x) y g(x) no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias. b. Es el punto x0 que al formar los siguientes productos f (x)(x − x0 ) y g(x)(x − x0 )2 hace que sean analíticos en x0. c. Es el punto x0 que al formar los siguientes productos f (x)(x − x0 )2 y g(x)(x − x0 ), hace que sean desarrollables en series de potencias. d. Es el punto donde una ecuación tiene representación en series de potencias, no importando si están definidas o no las funciones en dicho punto. 8. Resolver mediante series de potencias la siguiente ecuación diferencial: y″ + xy′ = y, alrededor de x = 0. 9. Seleccionar la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación diferencial: y xy x″ + = −3 1 a. y c x x x x c x x= + − − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + −0 3 4 6 1 2 1 6 12 180 2 3 40 ... 55 83 2240 + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟x ... b. y c x x x x c x = − + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − +0 3 4 6 1 2 1 6 12 180 2 3 40 ... xx x5 83 2240 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... c. y c x x x c x x = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − +0 3 6 9 1 4 1 6 180 12960 12 ... −− + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + x x x 7 2 5 504 1 2 3 40 ... − − 3 2240 8 x ... d. y c x x x c x x = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − +0 3 6 9 1 4 1 6 180 12960 12 ... −− + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x7 504 ... + − + − x x x 2 5 7 2 3 40 3 2240 ... 10. Encontrar la ecuación de índices, la solución completa y1 y la forma general de la solución y2 (método de Frobenius) de: xy x y y″ ′+ − + =( )1 0 11. Elegir la opción que contiene la solución general de 5 0xy y y″ ′+ + = obtenida por el método de Frobenius: a. y c x x b y x x= − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + − +[ ]0 4 5 0 11 9 1/ ... ln ( ...) b. y c x x x b y x= − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +0 2 3 0 11 9 252 14364 ... ln + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟b x x 0 2 1 12 ... Carmona-06C.indd 328Carmona-06C.indd 328 7/13/10 11:27:47 AM7/13/10 11:27:47 AM
  • c. y c x x x b x x= − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − +0 2 3 0 4 5 1 9 252 14364 1... / xx2 12 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... d. y c x x x b x x = − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − + −0 4 5 2 0 2 1 9 252 1 12 / ... ... ⎛⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 12. Dadas: la ecuación xy y x y″ ′− + =2 02 Con r1 = 2, r2 = 0 y la solución: y c x x x x1 0 2 3 6 9 1 2 15 1 180 1 8910 = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... Encontrar y2 13. Elegir la opción que contiene una ecuación de Bessel y su solución obtenida al re- ducir la siguiente ecuación: x y xy x y2 2 3 1 2 0″ ′+ + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , usando las siguientes transformaciones: y u t = , x t= o y u x = a. x u xu x u2 2 3 2 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , con solución: y c J x c J x= + −0 3 2 1 3 2/ / ( ) ( ) b. t u tu t u2 2 3 2 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , con solución: y x c J x c J x= +⎡ ⎣ ⎤ ⎦− 1 0 3 2 1 3 2/ / ( ) ( ) c. x u xu x u2 2 3 2 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , con solución: y x c J x c J x dx J x = + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥− ∫ 1 0 3 2 1 1 3 2 3 2 2/ / / ( ) ( ) ( ) d. t u tu t u2 2 3 2 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , con solución: y c J x c J x= + −0 3 2 1 3 2/ /( ) ( ) 14. Elegir la opción que da la solución de: x y xy x y2 21 16 1 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = a. c J x c J x1 1 2 1( ) ( )+ − b. c J x c J x dx xJ x 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) + ∫ c. c J x c J x dx xJ x 1 1 2 1 1 2 4 4 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∫ ( / ) d. c J x c J x 1 1 2 1 4 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− 15. Encontrar la solución de la siguiente ecuación de Bessel: x y xy x y2 2 4 9 0″ ′+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = Autoevaluación 329 Carmona-06C.indd 329Carmona-06C.indd 329 7/13/10 11:27:48 AM7/13/10 11:27:48 AM
  • 330 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series Respuestas de la autoevaluación 6 1. x e x m x m m m 2 2 0 1− + = ∞ = − ∑ ( ) ! 2. c. Como converge en x = −1, las opciones a y b están erróneas, y como diverge en x = 1, las opciones b y d están mal. 3. R= 1 2 4. 0.94608 5. Vea página 268 del texto. 6. Vea página 280 del texto. 7. b. La opción a define un punto singular irregular. La opción c tiene los factores intercambiados. La opción d no analiza el caso de la singularidad para ver si es removible. 8. y c x x x c x= + − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +0 2 4 6 11 2 24 240 ... 9. c. Las opciones a y b toman de forma incorrecta la fórmula de recurrencia que debe de ser: c c k k k k + − = − + + 2 1 2 1( )( ) , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, … y 20 15 2c c+ = para k = 3 La opción d tiene un error en el signo. 10. Ecuación de índices c r0 2 0= ∴ = = + = ∞ = ∞ ∑ ∑y c x y y x b xm m m m m m 1 0 2 1 1 , ln y y c x1 0 1= −( ). 11. d. Las opciones a y b suponen que r r1 2− ≠ número fraccionario. Como r r1 2 4 5 0 4 5 − = − = , entonces, y x c xm m 1 4 5 = ∑/ La opción c contiene el error de poner r1 en la y2 y r2 en la y1 12. y b x x x2 0 3 6 9 1 2 3 1 18 1 567 = − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟... 13. b. La opción a no tiene expresada correctamente la ecuación de Bessel, pues aunque sí tiene la forma, posee la variable incorrecta en la solución: falta dividir entre x. La opción c supone que el parámetro es un entero. La opción d no toma la raíz de v2 y no donde entren x como sugiere la transfor- mación usada. 14. c. La opción a no toma bien el parámetro y no transforma la ecuación a una de Bessel. La opción b tampoco hizo la transformación. La opción d no toma bien el parámetro. 15. y c J x c J x= + −1 2 3 2 2 3/ /( ) ( ) Carmona-06C.indd 330Carmona-06C.indd 330 7/13/10 11:27:50 AM7/13/10 11:27:50 AM
  • Esencialmente astrónomo, Federico Guillermo Bessel alcanzó, sin embargo, cierta notoriedad también en matemáticas. Nacido en Rusia, pero de nacionalidad alemana, consiguió el puesto de director de un observatorio a los 26 años, al tiempo que se convirtió en amigo del gran Gauss. Como astrónomo recopiló datos observacionales y formó un catálogo de estre- llas. Fue el primero en calcular la distancia de la Tierra a una estrella (61 del cisne), explicando que el aparente movimiento de ésta se debe, en realidad, a la rotación de nuestro planeta alrededor del Sol. Gracias a un heliómetro de su fabricación, detectó unas perturbaciones en la órbita de Sirio y Proción. Además, afirmó la existencia de compañeros de Sirio y Proción, hipótesis que se verificó poco después de su muerte, acaecida en 1846. En matemáticas estableció la ecuación diferencial que lleva su nombre, al estu- diar el movimiento de cuerpos celestes y, resolviéndola, creó las famosas funciones de Bessel. Si hay quien lo sabe, yo lo sé más que ése, y si lo ignora, más que ése lo ignoro. Lucha entre este saber y este ignorar es mi vida, su vida y es la vida… JUAN RAMÓN JIMÉNEZ Rompecabezas Un tipógrafo compuso X = acba en vez de X = ac ba . Pero, ¡oh sorpresa!, el número X no se alteró. ¿Cuál es ese número? Solución: X = 2 592 Los pasatiempos y las paradojas fueron ya populares en la antigüedad; los hombres de todas las épocas agudizaron su ingenio con los juegos. Sabemos que Kepler, Pascal, Fermat, Leibniz, Euler, Lagrange y otros, dedicaron mucho tiempo a solucionar rompe- cabezas. Las investigaciones en el campo de los pasatiempos matemáticos surgen de la misma curiosidad, están guiadas por los mismos principios y requieren las mismas fa- cultades que los estudios relacionados con los descubrimientos más profundos de las matemáticas puras. PARADOJAS Si 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2− + − + − + =... ln reordenando obtenemos: ln ... ...2 1 1 3 1 5 1 2 1 4 1 6 = + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Federico Guillermo Bessel Federico Guillermo Bessel (1784-1846) Rompecabezas 331 Carmona-06C.indd 331Carmona-06C.indd 331 7/13/10 11:27:51 AM7/13/10 11:27:51 AM
  • 332 Capítulo 6 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series = + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ( ... ...1 1 3 1 5 1 2 1 4 1 6 ⎥⎥ − + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 1 2 1 4 1 6 ... = + + + + + +1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 ... − + + + + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 0... ∴ =ln 2 0 Si 1 1 1 2 3 4 + + + + + = − x x x x x ... Entonces, Euler probó para x = 2 y quedó sorprendido del resultado: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = −1 ¿Es posible este resultado o tiene algún “pequeño” error? Problema Supongamos que un mono de 10 kg de peso cuelga de uno de los extremos de una cuer- da que pasa por una polea, en un tiempo t = 0; del otro extremo de la soga pende un peso también de 10 kg. El mono decide trepar por la cuerda. ¿Qué sucede y cuál es la ecua- ción representativa del proceso? Propiedades metafísicas del número 6 Representa el principio del movimiento y de reposo. Simboliza la actuación del Verbo en cada ser, la aptitud generativa, la concordia, la estabilidad, la adaptación, la tentación y la virtud que la resiste. Según los pitagóricos, el número 6 es la panacea nupcial y para que lo sea se deben ejercitar las siguientes virtudes: 1. Dar hospitalidad. 2. Proporcionar comodidad a los enfermos. 3. Instruir a los niños en edad temprana. 4. Vivir de acuerdo con la ley. 5. Ser tolerante con el vecino. 6. Dedicar una parte de cada día a la meditación y a la oración. Numeración hindú (aprox. 200 a 300 a. C.) 1 2 4 7 10 20 100 1 000 Carmona-06C.indd 332Carmona-06C.indd 332 7/13/10 11:27:51 AM7/13/10 11:27:51 AM
  • HORIZONTALES 1. Series de forma cnxn 2. Compostura que se hace en el casco de la nave. Papa… 3. Vocal. Donad. Hijo de Dédalo. 4. Aspire, solicite. Vocal. 5. Abreviatura de universidad. Gran astrónomo alemán que trabajó las ecuaciones: x y xy x v y2 2 2 0″ ′+ + − =( ) 6. Terminación de los alcoholes. Negación. Vocal. Vocal. Vocal. 7. Matemático que desarrolló un procedimiento para resolver ecuaciones alrededor de puntos singulares mediante se- ries. 8. Rey, en francés. El, en francés, consonante. Consonante. 9. Vocal. Cetáceo de hasta 10 m de largo, cabeza redonda, color azul por el lomo y blanco por el vientre; persigue a las focas y ballenas. Uno de los cuatro elementos básicos de la naturaleza. 10. Conjunto de reglas o principios sobre una materia enlaza- dos entre sí. Vocal en plural. VERTICALES 1. Abreviatura de capital. Vocal. Animal doméstico. 2. Apócope de papá. Apellido de un novelista mexicano. Vo- cal. 3. Colocación de algo en un lugar que le corresponde. Co- rrientes de agua. 4. Miembro de los clérigos de San Cayetano. RT. 5. (Por) en consecuencia, por tanto. Dificultad, obstáculo, in- conveniente. 6. Símbolo químico del sodio. Símbolo químico del niobio. País de Asia antigua, patria de los elamitas. 7. Constante. Imaginan, piensan. Vocal. 8. Habitantes del antiguo Perú. Cólera, enojo. 9. Vocales. Reptil de piel escamosa, cuerpo y cola largos y extremidades cortas. 10. Suma de los términos de una sucesión. Consonante. Nota musical. 11. Artículo neutro. Artículo femenino. Singular. Pronombre personal. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Propiedades metafísicas del número 6 333 Carmona-06C.indd 333Carmona-06C.indd 333 7/13/10 11:27:52 AM7/13/10 11:27:52 AM
  • Carmona-06C.indd 334Carmona-06C.indd 334 7/13/10 11:27:52 AM7/13/10 11:27:52 AM
  • Definiciones básicas 335 Transformadas de Laplace 7 Introducción Transformada inversa de Laplace Traslación sobre el eje s Existencia de la transformada Propiedades de la transformada de Laplace Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace usando fracciones parciales Derivación de transformadas Integración de las transformadas Función escalón unitario Traslación sobre el eje t Funciones periódicas Convolución Aplicaciones de la transformada de Laplace Pierre Simon (1749-1827) Carmona-07A.indd 335Carmona-07A.indd 335 7/13/10 10:39:09 AM7/13/10 10:39:09 AM
  • 336 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Transformación: cambio, variación, metamorfosis. Modificación: giro, mutación, metempsicosis. Transfiguración, tú-yo conversión, pura “yo-tuosis”. Introducción Nuestro planeta es el reino de las transformaciones, unas lineales: Semilla → trigo → pan Otras cíclicas: Otras más, reversibles: ED → TL → EA → sol. A. TL−1 →Solución de la ED. Donde: ED = ecuación diferencial. TL = transformada de Laplace. EA = ecuación algebraica racional. Sol. A. = Solución de la ecuación algebraica racional. TL−1 = Transformada inversa de Laplace. La TL tiene inversa, por eso se le llamó reversible. Pierre Simon de Laplace estableció una transformación mediante la integral siguiente: Definición 7.1 Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t ≥ 0 ; a la expresión: £ ( ) ( ) ( )f t e f t dt F sst { } = =− ∞ ∫0 Se le llama transformada de Laplace de la función f(t) si la integral existe. Notación: £ ( )f t{ } significa que el operador £ se aplica a la función f(t) para generar una nueva función, llamada F(s). Crisálidad Larva Mariposa Huevo Ñ Ñ ÑÑ Carmona-07A.indd 336Carmona-07A.indd 336 7/13/10 10:39:10 AM7/13/10 10:39:10 AM
  • Introducción 337 EJEMPLO 1 Hallar £ c{ } donde c es un real; por definición: £ c{ }= − ∞ ∫ e cdtst 0 = →∞ − ∫lím b st b c e dt 0 = − − →∞ lím b b c e st s 0 = − + →∞ − lím b st c e s 1 = c s para s > 0 EJEMPLO 2 Hallar: £ t{ } Por definición: £ t e tdtst { }= − ∞ ∫0 Usando integración por partes: = − − + ∞ − ∞ ∫ t s e st s e dtst 0 0 1 = − − − − ∞ ∞ t s e st s e st 0 0 1 Veamos el primer término: lím lím t st t st t se t se→∞ → − + 0 , Aplicando la regla de L’Hôpital: lím t st s e→∞ − = 1 02 y el segundo límite también es cero (esto ocurrirá no importa la potencia a que esté elevada la variable t). Por tanto: − − − − = − + = ∞ ∞t s e st s e st s s0 2 0 2 2 1 0 1 1 NOTA: Para abreviar, la integral impropia se expresará sin la función límite, aunque naturalmente se sobreentiende. Carmona-07A.indd 337Carmona-07A.indd 337 7/13/10 10:39:10 AM7/13/10 10:39:10 AM
  • 338 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Observamos, después de estos ejemplos, que la transformada de una constante es la constante dividida entre la variable s; la transformada de t es 1 2 s , y la transformada de t2 es 2 3 s . Entonces, podemos deducir, por la definición, que: £ para{ } ! , , , ...t n s nn n = =+1 1 2 3 donde 0 1! = EJEMPLO 3 Hallar: £ t2 { } Por definición: £ t e t dtst2 2 0 { }= − ∞ ∫ = − − + ∞ − ∞ ∫ t s e st s te dtst 2 0 0 2 = − − + − − + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ∞ ∞ − ∞ ∫ t s e st s t s e st s e dtst 2 0 0 0 2 1 = − − − − − − ∞ ∞ ∞ t s e st t s e st s e st 2 0 0 3 0 2 2 = − +0 2 3 s EJEMPLO 4 Hallar: £{ }.eat Por definición: £{ }e e e dtat st at = − ∞ ∫0 = − − ∞ ∫e dts a t( ) 0 = − − = + − ∞ − −( )1 0 1 0s a e s a s a t ∴ { }= − >£ e s a s aat 1 , EJEMPLO 5 Hallar: £{cos }␻t Por definición: £{cos } cos␻ ␻t e tdtst = − ∞ ∫0 Carmona-07A.indd 338Carmona-07A.indd 338 7/13/10 10:39:12 AM7/13/10 10:39:12 AM
  • Podríamos obviar esta dificultad, suponiendo que podemos encontrar la transforma- da de Laplace para eiat (lo cual puede demostrarse también para los complejos). → = − £{ }e s iw iwt 1 (vea ejemplo 4) = + + = + + + s iw s w s s w i w s w2 2 2 2 2 2 y como sabemos que e wt i wtiwt = +cos sen , igualando las partes reales y las imaginarias, se obtiene: £ £ sen{ } (cos )e wt i wt s iw s w iwt = + = + +2 2 ∴ = + £(cos )wt s s w2 2 = − −− ∞ − ∞ ∫ 1 0 0 s e s t s e tdtst st cos␻ ␻ ␻sen = − +− ∞ − ∞1 0 2 0 s e t s e tst st cos␻ ␻ ␻sen − − ∞ ∫ ␻ ␻ 2 2 0 s e tdtst cos → + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = −− ∞ ∞ ∫1 12 2 0 0 ␻ ␻ ␻ s e tdt se tst st cos cos + ␻ s est2 sen␻t s 0 1∞ = ∴ = + = + − ∞ ∫e tdt s s s s st cos␻ ␻ ␻0 2 2 2 2 1 1 Notamos que cuando t → ∞, entonces, e st− → 0 y cos ,␻t sen␻t; por mucho que crezca t siempre están entre −1 y 1, limitados; por tanto, al crecer t sin límite, el cociente: cos␻t est , o sen␻t est , se acerca más y más a cero. La demostración rigurosa la da el teorema: Sean f, g, h definidas en un intervalo abierto I que contiene a a, si f x g x h x x I( ) ( ) ( ),≤ ≤ ∈ y si lím x a f x → ( ) y lím x a h x → ( ) existen y son iguales a L, → → lím x a g x( ) existe y es igual a L. Introducción 339 Carmona-07A.indd 339Carmona-07A.indd 339 7/13/10 10:39:13 AM7/13/10 10:39:13 AM
  • 340 Capítulo 7 Transformadas de Laplace y £ sen( )wt w s w = +2 2 EJEMPLO 6 Hallar: £ f t( ){ } si f t t t ( ) = ≤ < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 1 3 1 £ f t( ){ } = +− − ∞ ∫ ∫0 3 0 1 1 e dt e dtst st = − ∞ =− −3 1 3 s e s est s EJEMPLO 7 Hallar: £ senhat{ } Por definición: senhat e eat at = − − 2 £ senh £ £at e eat at { }= − −1 2 1 2 { } { } = − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 1 1 s a s a = + − + − 1 2 2 2 s a s a s a = − > a s a s a2 2 , En este ejemplo, hemos aplicado una importante propiedad de la transformada: su linealidad. Teorema 1 La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f(t) y g(t) cuya transformada de Laplace exista y para cualesquiera constantes a y b, tenemos: £ £ £af t bg t a f t b g t( ) ( ) ( ) ( )+{ }= { }+ { } Demostración: £ af t bg t e af t bg t dtst ( ) ( ) ( ) ( )+{ }= +[ ]− ∞ ∫0 por definición de la transformada = +− ∞ − ∞ ∫ ∫a e f t dt b e g t dtst st ( ) ( ) 0 0 Carmona-07A.indd 340Carmona-07A.indd 340 7/13/10 10:39:15 AM7/13/10 10:39:15 AM
  • puesto que la integral también es lineal = { }+ { }a f t b g t£ £( ) ( ) EJEMPLO 8 Hallar: £ e tt− + −{ }3 3 2 £ £ £ £ 2e t e tt t− − + −{ }= { }+ { }− { }3 3 3 3 2 por linealidad, usando los ejemplos 4, 3 y 1, respectivamente: = + + − 1 3 3 2 4 s s s ! = − − + + +( ) s s s s s 4 3 4 6 6 18 3 Transformada inversa de Laplace Notación: £ 1− F s( ){ } indica que vamos a obtener la función f(t) cuya transfor- mada es precisamente F(s). También la transformada inversa es lineal. Definición 7.2 Transformada inversa de Laplace. Si £ f t F s( ) ( ),{ }= entonces, £ 1− F s f t( ) ( ){ } = se llama transformada inversa de F(s). EJEMPLO 1 Sea: F s s ( ) = 3 2 Hallar f(t) tal que £ 1− 3 2 s f t{ }= ( ). Sabemos que: £ 1− 1 2 s t{ }= (ejemplo 2) Por linealidad: £ £1 1− − 3 3 12 2 s s{ }= { }. Entonces, £ 1− 3 32 s t{ }= ∴ =f t t( ) 3 EJEMPLO 2 Encontrar f(t) si F s s ( ) = + 7 3 . Como 1 s a eat − = { }£ (vea ejemplo 4) → + = { }= { }− −7 3 7 73 3 s e et t £ £ ∴ = − f t e t ( ) 7 3 Transformada inversa de Laplace 341 Carmona-07A.indd 341Carmona-07A.indd 341 7/13/10 10:39:16 AM7/13/10 10:39:16 AM
  • 342 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Traslación sobre el eje s Teorema 2 Traslación sobre el eje s (primer teorema de traslación). Si £{ ( )} ( )f t F s= → £ e f t F s aat ( ) ( ),{ }= − a R∈ Demostración: £ e f t e e f t dtat st at ( ) ( ){ }= − ∞ ∫0 por definición, entonces, = − −( )∞ ∫ e f t dt s a t 0 ( ) = −F s a( ) Este teorema facilita encontrar transformadas sin resolver la integral, basta con recorrer la función. Gráficamente se vería así: EJEMPLO 3 Hallar: f t( ) si F s s ( ) = 1 4 Como £ t n s n n{ }= + ! 1 → 1 1 1 n t s n n ! £{ }= + en nuestro caso n + =1 4 → n = 3, ∴ = { }= =f t s t t( ) ! ! ! 1 3 3 1 3 1 64 3 3 £ 1− F(s) s F(s) s a Figura 7-1. Carmona-07A.indd 342Carmona-07A.indd 342 7/13/10 10:39:18 AM7/13/10 10:39:18 AM
  • EJEMPLO 1 Aplica el teorema de traslación para encontrar: £ t e t2 6 { }, donde a = 6 Como £ t s 2 3 2 { }= (vea ejemplo 3) → { }= −( ) £ t e s t2 6 3 2 6 EJEMPLO 2 Hallar: £ sene tt− { }2 3 , a = −2 Como £ sen3 3 92 t s { }= + (vea ejemplo 5) → { }= + + £ sen3 3 2 92 t s( ) EJEMPLO 3 Hallar: £ e tt cosh2{ }, a = 1 Como £ £ £cosh2 1 2 1 2 2 2 t e et t { }= { }+ { }− = − + + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 1 2 1 2s s = + + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 2 2 42 s s s = − s s2 4 → { }= − −( ) − £ e t s s t cosh2 1 1 4 2 EJEMPLO 4 Hallar: f t( ) si £ f t s s s ( ){ }= + + + 5 2 52 Primero acomodamos el denominador como suma o diferencia de cuadrados (que son hasta ahora las formas generales de las funciones más usadas). También se nos puede pedir que encontremos la función f(t) si conocemos su transformada de Laplace. Traslación sobre el eje s 343 Carmona-07A.indd 343Carmona-07A.indd 343 7/13/10 10:39:19 AM7/13/10 10:39:19 AM
  • 344 Capítulo 7 Transformadas de Laplace NOTA: Observamos que este resultado es la solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. De ahí la importancia del estudio de la transformada de Laplace. s s s s s2 2 2 2 5 2 1 4 1 4+ + = + + + = +( ) + → { }= + + +( ) + = + +( ) + + +( ) + £ f t s s s s s ( ) 1 4 1 4 1 1 4 4 1 2 2 2 44 = + +( ) + + +( ) + s s s 1 1 4 2 2 1 42 2ؒ Observamos que la función quedó recorrida a = −1; por tanto, la f(t) debe quedar multiplicada por e t− . Como sabemos (ejemplo 5) que: £ cos␻ ␻ t s s { } = +2 2 y £ sen␻ ␻ ␻ t s { }= +2 2 y en nuestro problema: u2 4= , ␻ = 2, → { }= + £ cos2 42 t s s y £ sen2 2 42 t s { }= + Recorriendo ambas s s− − = +( )1 1, tenemos: f t e t e tt t ( ) cos= +− − 2 2 2sen ∴ = +( )− f t e t tt ( ) cos2 2sen Definición 7.3 Función seccionalmente continua. f(t) es función seccionalmente continua en t a b∈[ ]↔, 1. Está definida en todo punto del intervalo. 2. Si es posible dividir el intervalo [a, b] en un número finito de subinterva- los, en cada uno de los cuales la función es continua y existe el límite de la función desde el interior del subintervalo a cualquiera de los extremos del mismo. Definición 7.4 Función de orden exponencial. f(t) es función de orden exponencial α. ↔ Existen M, ␣ ∈R tales que: f t Me t ( ) ≤ ␣ Carmona-07A.indd 344Carmona-07A.indd 344 7/13/10 10:39:20 AM7/13/10 10:39:20 AM
  • Esta condición significa que la función f(t) está acotada por exponenciales. EJEMPLO 1 Determinar si f t t( ) = 3 es de orden exponencial α. Hay que determinar si existe α de tal manera que: t Me t3 ≤ ␣ − ≤ ≤Me t Met t␣ ␣3 Tomando t Me t3 ≤ ␣ , si a partir de un valor de α, la expresión t Me t3 −␣ de- crece y se acerca a cero, a medida que α tiende a infinito, entonces, t3 será de orden exponencial α (similarmente la otra desigualdad). Figura 7-2. f(t) t Figura 7-3. −Meat Meat f(t) Traslación sobre el eje s 345 Carmona-07A.indd 345Carmona-07A.indd 345 7/13/10 10:39:22 AM7/13/10 10:39:22 AM
  • 346 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Existencia de la transformada Teorema 3 Existencia de la transformada. Sea f(t) de orden exponencial α en t ≥ 0. Sea f(t) seccionalmente continua en t ≥ 0. → { }£ f t( ) existe para s > ␣. Demostración: Para cualquier entero positivo n, tenemos: e f t dt e f t dt e f tst st I n st− ∞ − − = +∫ ∫( ) ( ) ( ) 0 0 1 ddt I n 2 0∫ Como f(t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 ≤ ≤t n, la inte- gral I1, existe. Para la integral I2 se cumple que: I e f t dtst n 2 ≤ − ∞ ∫ ( ) ≤ − ∞ ∫ e f t dtst n ( ) Como f(t) es de orden exponencial α, existen M, α tales que: f t Me t ( ) .≤ ␣ ∴ ≤− ∞ − ∞ ∫ ∫e f t dt e Me dtst n st t n ( ) ␣ = − −( )∞ ∫M e dt s a t n = − −( ) − −( ) ∞M s e s a t n␣ = − − −( )M s e s a n ␣ , para s > ␣ → = →∞ − lím t t t Me3 0␣ ∴t3 es de orden exponencial α para ␣ > 0. EJEMPLO 2 Determinar si f t e t ( ) = −2 es de orden exponencial α. Como en el ejemplo anterior: → = = →∞ − − →∞ +( )lím lím t t t t t e Me M e 2 2 0␣ ␣ ∴ − e t2 es de orden exponencial α, si ␣ > −2. Carmona-07A.indd 346Carmona-07A.indd 346 7/13/10 10:39:23 AM7/13/10 10:39:23 AM
  • EJERCICIOS 7.1 Usaremos los siguientes resultados ya obtenidos: £ c c s { }= £ t n s n n{ }= + ! ,1 n = 1 2 3, , , ... £ e s a at { }= − 1 £ sen␻ ␻ ␻ t s { }= +2 2 £ cos␻ ␻ t s s { } = +2 2 £ senhat a s a { }= +2 2 £ coshat s s a { }= −2 2 £ e f t F s aat ( ) ( ){ }= − Encontrar la transformada de Laplace en las siguientes funciones: Respuestas: 1. f t t( ) = 6 720 s 2. f t et ( ) = 5 5 5 1s − 3. f t e t ( ) = − 4 3 4 3s + 4. f t et ( ) = −2 1 12 e s −( ) 5. f t t( ) = −6 2 6 22 3 s s − EJEMPLO 1 Dado que: £− +{ }= +( ) 1 1 1 1s t aa a ⌫ , hallar: £− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 5 2 1 s Sea: a a+ = → =1 5 2 3 2 . Entonces, £− { }= =1 5 2 3 2 5 2 3 2 1 1 3293s t t ⌫( ) . . Existencia de la transformada 347 Carmona-07A.indd 347Carmona-07A.indd 347 7/13/10 10:39:25 AM7/13/10 10:39:25 AM
  • 348 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 6. f t t t( ) = − +4 2 3 9 24 6 92 4 5 − +s s s En los siguientes ejercicios usar la definición para obtener la transformada de Laplace de las siguientes funciones: Respuestas: 7. f t t( ) = −1 2 3 1 12 4 s s − 8. f t t et ( ) = − +8 − + − −( ) 7 9 1 1 2 2 s s s s 9. f t t t t ( ) , , , = − < < ≤ < ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 1 0 2 0 2 4 1 4 1 12 4 s e es s− − + −( ) 10. f t t t t ( ) , , = < < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 1 0 3 3 1 1 2 13 2 3 s e s es s +( )+− − 11. f t t t t ( ) , , = < < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 3 0 1 0 1 3 1 1 1 2 2 − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − s e s e s s s 12. f t tet ( ) = 1 1 2 s −( ) 13. f t e tt ( ) cos= s s − −( ) + 1 1 1 2 14. f t t t( ) cos= s s 2 2 2 1 1 − +( ) 15. f t t t( ) = senh 2 12 2 s s −( ) 16. f t at( ) cosh= s s a2 2 − 17. f t t t( ) cosh= 2 s s 2 2 2 4 4 + −( ) 18. f t e tt ( ) cos= − s s + +( ) + 1 1 12 2 19. f t t e t ( ) = −2 3 2 3 3 s +( ) Carmona-07A.indd 348Carmona-07A.indd 348 7/13/10 10:39:27 AM7/13/10 10:39:27 AM
  • Usar las fórmulas para encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: Respuestas: 20. f t t( ) = −( )2 2 2 4 4 3 2 s s s − + 21. f t te t ( ) = −2 1 2 2 s +( ) 22. f t t t( ) = −6 2 720 2 7 2 s s − 23. f t e tt ( ) = +( )3 3 2 1 2 s s − −( ) 24. f t e tt ( ) = −4 3 45 sen 4 5 12 162 s s− − + 25. f t t t( ) cos= +6 2 93 36 2 814 2 s s s + + 26. f t e tt ( ) = −2 4sen 4 2 16 2 s +( ) + 27. f t e tt ( ) cosh= 4 5 s s − −( ) − 4 4 25 2 28. f t e tt ( ) cos= −2 2 s s + +( ) + 2 2 4 2 29. f t e tt ( ) = senh3 3 1 9 2 s −( ) − 30. f t t t( ) cos= +2 3sen s s s2 2 4 3 9+ + + 31. f t t e t ( ) = + − 3 4 2 sen 12 16 1 22 s s+ + + 32. f t t t( ) cos= sen 1 42 s + 33. f t t( ) = sen2 2 42 s s +( ) 34. f t t( ) cos= 2 s s s 2 2 2 4 + +( ) Existencia de la transformada 349 Carmona-07A.indd 349Carmona-07A.indd 349 7/13/10 10:39:31 AM7/13/10 10:39:31 AM
  • 350 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 35. f t t( ) = sen3 6 1 92 2 s s+( ) +( ) Sugerencia sen sen sen sen sen 3 2 2 t t t t t t = = −( ) ⎧ ⎨ ⎩ 36. f t t t( ) cos= sen 2 1 2 3 9 1 12 2 s s+ − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 37. f t t t( ) cos= −( )sen 2 s s s s 2 2 2 4 4 − + +( ) 38. f t t et ( ) = +( )2 2 4 4 2 1 2 3 s s s − + −( ) 39. f t t t( ) cos cos= 2 1 2 1 92 2 s s s s+ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 40. f t e tt ( ) = − sen2 2 1 2 52 s s s+( ) + +( ) 41. Probar que £ t␣ ␣ ␣ { }= +( ) + ⌫ 1 1 s , ␣ > −1 42. Probar que £ t 1 2 3 2 2 { }= ␲ s Sugerencia: usar el resultado anterior. 43. Probar que £ t − { }= 1 2 ␲ s , s > 0. 44. Probar que £ t 3 2 5 2 3 4 { }= ␲ s . En los siguientes problemas, encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F(s), donde f t F s( ) ( ) .= { }£ 1− Respuestas: 45. F s s ( ) = 1 2 f t t( ) = 46. F s s ( ) = 2 3 f t t( ) = 2 47. F s s ( ) = 1 4 f t t( ) = 1 6 3 48. F s s s ( ) = − + 1 1 12 f t t e t ( ) = − − Carmona-07A.indd 350Carmona-07A.indd 350 7/13/10 10:39:34 AM7/13/10 10:39:34 AM
  • 49. F s s s ( ) = +( )2 2 3 f t t t( ) = + +1 4 2 2 50. F s s s ( ) = −( )3 4 5 f t t t t t( ) = − + − +1 12 27 18 27 8 2 3 4 51. F s s s ( ) = −( )1 3 4 f t t t t( ) = − + −1 3 3 2 1 6 2 3 52. F s s s s ( ) = − + − 2 1 1 43 f t t e t ( ) = − +2 4 1 53. F s s s s ( ) = + + + 1 6 1 93 f t t e t ( ) = + + −1 2 62 9 54. F s s s s ( ) = − + + − 1 2 1 3 24 3 f t e e tt t ( ) = + −−2 3 2 12 55. F s s ( ) = − 1 3 2 f t e t ( ) = 1 3 2 3 56. F s s ( ) = + 1 4 7 f t e t ( ) = −1 4 7 4 57. F s s s ( ) = − + 1 2 1 3 2 f t e t t ( ) = + 1 2 32 58. F s s s ( ) = −( ) + +( ) 1 3 1 1 3 1 f t e et t ( ) = + −1 3 1 3 59. F s s s ( ) = − + −( ) 1 4 1 1 4 1 f t e e t t ( ) = + 1 4 1 4 4 60. F s s s ( ) = + 2 2 12 f t t( ) cos= 2 2 61. F s s ( ) = + 1 9 12 f t t( ) = 1 3 1 3 sen 62. F s s s ( ) = +6 42 f t t( ) cos= 1 6 2 6 63. F s s ( ) = − 1 25 12 f t t ( ) = 1 5 5 senh 64. F s s s ( ) = − 4 4 12 f t t( ) cosh= 1 2 65. F s s s ( ) = − + 3 2 42 f t t t( ) cos= −3 2 2sen 66. F s s s ( ) = + + 4 32 f t t t( ) cos= +3 4 3 3 3sen Existencia de la transformada 351 Carmona-07A.indd 351Carmona-07A.indd 351 7/13/10 10:39:37 AM7/13/10 10:39:37 AM
  • 352 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 67. F s s s ( ) = − + 7 4 92 f t t t( ) cos= −7 3 4 3 3sen 68. F s s ( ) = 1 3 2 f t t ( ) = 2 ␲ 69. Probar que la función 1 2 t no tiene transformada de Laplace. 70. Probar que ⌫( ) .0 = ∞ Elegir la opción que contiene la transformada de Laplace de las siguientes funciones: 71. f t t t( ) cos= −3 3senh a. s s s2 2 9 3 9+ − − b. s s s2 2 9 3 9− − + c. 3 9 92 2 s s s+ − − d. s s s s2 2 9 9+ − − 73. f t t t( ) cosh= −2 2 senh a. 1 4 1 2 2 1 2s s s− + + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ b. 1 4 1 2 2 1 2s s s− − + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ c. 1 s d. 1 4s 75. f t e et t ( ) = +( )− 1 a. 2 1 1 s s s + +( ) b. 2 1 1 s s s − −( ) c. 2 1 1 s s + + d. 2 1 1 s s − − 72. f t t( ) cos= 2 2 a. 1 162 s s s + + b. 1 42 s s s + + c. s s s 2 2 2 4 + +( ) d. s s s 2 2 8 16 + +( ) 74. f t t t( ) cos= +( )sen 2 a. 1 1 12 2 2 s s s+ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ b. 2 42 s + c. s s s s 2 2 2 4 4 + + +( ) d. s s s 2 2 2 4 + +( ) 76. f t e t tt ( ) cos= −( )−2 3 6 5 6sen a. 3 24 4 402 s s s − + + b. − + + 30 4 402 s s c. 8 5 4 402 − + + s s s d. 3 2 4 402 s s s + + + Carmona-07A.indd 352Carmona-07A.indd 352 7/13/10 10:39:40 AM7/13/10 10:39:40 AM
  • Elegir la opción que contiene la función f(t) que se obtiene aplicando £1 F s( ){ } 1la transformada inversa de F(s)2. 77. F(s)= 1 1 3 22 s s s + − − a. f t t t e t ( ) = + −2 3 2 3 b. f t t t e t ( ) = + − −2 3 2 3 c. f t t e t ( ) = + − − 1 3 2 d. f t t e t ( ) = + −1 3 2 79. £1 s s s + + + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 8 4 82 a. f t t t e t ( ) cos= +( ) − sen2 3 2 2 b. f t t t e t ( ) cos= +( ) − 2 3 2 2 sen c. f t te t ( ) cos= − 8 2 d. f t te t ( ) cos= − 4 2 78. £1 1 3 1 2 3 1s s− + −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ a. f t e e t t ( ) = + 1 3 2 3 3 b. f t e e t t ( ) = + 1 3 2 3 3 3 c. f t e et t ( ) = + 1 3 2 3 3 d. f t e et t ( ) = + 1 3 2 3 80. £1 s s s + + + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 12 a. e t t t− + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 3 2 1 3 3 2 sen cos b. e t tt− +[ ]cos sen c. e t t t− + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 3 2 1 3 3 2 cos sen d. e t tt− +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥sen 1 2 1 2 cos Respuestas: 71. a. La respuesta b corresponde a f t t t( ) cosh= −3 3sen . La opción c co- rresponde a f t t t( ) cosh .= −sen3 3 La opción d corresponde a f(t) = cos .3 3t t− cosh 72. d. Como cos cos2 2 1 2 1 4t t= +( ), el error de la opción a es haber tomado f t t( ) cos= +1 4 , el error de la b es haber tomado f t t( ) cos .= +( )1 2 1 2 73. c. Debido a que cosh2 2 1t t− =senh las opciones a y b contemplan sólo £ cosh2 t{ }y £ senh2 t{ }. La opción d contiene un factor equivocado. 74. c. La opción a aplicó directamente la transformada dentro del parénte- sis, en vez de desarrollar el cuadrado. La opción b presenta la trans- formada de sen2t únicamente. La opción d la de cos2 t solamente. 75. b. La opción a representa la transformada de 1+ − e t . Las opciones c y d olvidan misteriosamente la transformada de f t( ) .= 1 76. a. La opción b contiene la transformada de f t e tt ( ) .= − − 5 62 sen La op- ción c la de f t e t e tt t ( ) cos= −− − 3 6 5 62 2 sen (que no es la que se pide). La opción d la de f t e tt ( ) cos= − 3 62 . Existencia de la transformada 353 Carmona-07A.indd 353Carmona-07A.indd 353 7/13/10 10:39:43 AM7/13/10 10:39:43 AM
  • 354 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 77. d. La opción a tiene equivocados los dos primeros términos. La opción b supone que F s s s s ( ) .= 1 1 3 22 + − + 78. a. Los errores provienen de tomar la F s s s ( ) = −( ) + −( ) 1 3 1 2 3 1 o F(s) = 1 3 1 2 3 1s s− + − . 79. b. La opción a tiene intercambiadas las fórmulas. Las opciones c y d no acomodan la fracción correctamente y por eso falta la función sen 2t. 80. c. Propiedades de la transformada de Laplace Algunas integrales se complican mucho o se invierte demasiado tiempo en ellas, aunque sean sencillas; por ejemplo: £ t sen4 e tt { }; de ahí la necesidad de usar teoremas que faciliten las operaciones. Teorema 4 Transformada de la derivada de una función. Si £ £f t F s f t sF s f( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }= → { }= −′ 0 Demostración: £ f t e f t dtst ′ ′( ) ( ){ }= − ∞ ∫0 u e dv f t dt du se dt v f t st st = = = − = − − , ( ) , ( ). ′ → + ∞ − ∞ ∫ f t e s e f t dtst st( ) ( ) 0 0 = − + { }f s f t( ) ( )0 £ = −sF s f( ) ( )0 Procediendo de la misma manera, obtenemos: £ f t s F s sf f″ ′( ) ( ) ( ) ( ){ }= − −2 0 0 £ f t s F s s f sf f′″ ′ ″( ) ( ) ( ) ( ) ( ),{ }= − − −3 2 0 0 0 etcétera. Generalizando: £ f t s F s s f s f s fn n n n n( ) − − − { }= − − −( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0 0′ ″(( ) ... ( ).0 01 − − −( ) f n Esta igualdad se cumple siempre que f f f f n , , , , ( ) ′ ″ sean continuas en t ≥ 0 y de orden exponencial ␣ y, además, f n( ) sea seccionalmente continua en t > 0 . Carmona-07A.indd 354Carmona-07A.indd 354 7/13/10 10:39:46 AM7/13/10 10:39:46 AM
  • EJEMPLO 1 Usar este teorema para demostrar que: £ t s { }= 1 2 . Sea: f t t f t( ) ( )= → =′ 1 y f ( )0 0= → { }= − = { }− = { }−£ ( ) ( ) £ ( ) £1 0 0 0sF s f s t f s t Despejando: £ £t s { }= { }1 1 = = 1 1 1 2 s s s ؒ EJEMPLO 2 Dada: £ ,sent s { }= + 1 12 usar el teorema de la transformada de la derivada para obtener £ cos .t{ } Sea f t t( ) cos= → = −f t t′( ) sen y f ( )0 1= £ £ cos ( )−{ }= { }−sent s t f 0 1− { }= { }£ £ cossent s t £ cos £ t t s { } = − { }1 sen = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 1 12 s s = + − + 1 1 1 1 2 2 s s s ؒ = + s s2 1 . EJEMPLO 3 Demostrar que: £ ,senhat a s a { }= −2 2 mediante el teorema de la transfor- mada de la derivada. Sea f t at( ) ,= senh f ( ) ,0 0= f t a at′( ) cosh ,= f a′( ) ,0 = f t a at″( ) .= 2 senh £ £f s at a″{ }= { }− −2 0senh Propiedades de la transformada de Laplace 355 Carmona-07A.indd 355Carmona-07A.indd 355 7/13/10 10:39:47 AM7/13/10 10:39:47 AM
  • 356 Capítulo 7 Transformadas de Laplace EJEMPLO 4 Hallar: £ cos .t t␻{ } Sean f t t t( ) cos ,= ␻ f ( )0 0= f t t t t′( ) cos ,= − +␻ ␻ ␻sen f ′( )0 1= f t t t t″( ) cos ,= − −␻ ␻ ␻ ␻2 2 sen → { }= { }− −£ f s f t sf f″ ′2 0 0£ ( ) ( ) ( ) → − +{ }= { }− −£ sen␻ ␻ ␻ ␼t t t s t tcos £ cos2 0 1 − { }= +( ) { }−2 12 2 ␻ ␻ ␻ ␻£ sen t s t t£ cos − + + = +( ) { }2 12 2 2 2 ␻ ␻ ␻ ␻ ␻ s s t t£ cos £ cos .t t s s ␻ ␻ ␻ { } = +( ) +( ) 2 2 2 2 2 EJEMPLO 5 Resolver la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales. y y y″ ′− − = 3 2 0 y( ) ,0 0= y′( )0 5 2 = £ £ £ £y y y″ ′{ }− { }− { }= { } 3 2 0 s y sy y s y y y2 0 0 3 2 0 0£ ( ) ( ) £ ( ) £{ }− − − { }−[ ]− { }=′ £ ( ) ( ) ( )y s s sy y y{ } − −{ }= − − =2 3 2 1 0 0 3 2 0 5 2 ′ £ y s s s s y{ }= − − → − − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = 5 2 3 2 1 5 2 3 2 12 2 £ 1− NOTA: Llamaremos £{y} = (s) a s a at= −( ) { }2 2 £ senh £ senhat a s a { }= −2 2 Carmona-07A.indd 356Carmona-07A.indd 356 7/13/10 10:39:50 AM7/13/10 10:39:50 AM
  • Teorema 5 Transformada de la integral de una función. Sea f(t) una función seccionalmente continua en t ≥ 0 y de orden exponencial α, y si £ ( ) ( )f t F s{ }= , entonces, £ ( ) £ ( ) ( )f d s f t s F s␶ ␶ 0 1 1 1 ∫ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = { }= Demostración: Sea G t f d t ( ) ( )= ∫ ␶ ␶ 0 → = =∫G t d dt f d f t t ′( ) ( ) ( )␶ ␶ 0 Además, G f d( ) ( )0 0 0 0 = =∫ ␶ ␶ Tomando transformada de Laplace: £ ( ) £ ( ) ( )G t s G t G′{ }= { }− 0 = { }s G t£ ( ) , de donde: £ ( ) £G t s G{ } = { } 1 ′ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ∫ ∫s e f d dtst t t 0 0 ( )␶ ␶ integrando por partes: u f d t = ∫ ( )␶ ␶ 0 dv e dtst t = − ∫0 du f t dt= ( ) v s e st = − −1 Tenemos: s s e f d s e f t dtst t st − + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − ∞ − ∞ ∫ ∫ 1 1 0 0 0 ( ) ( )␶ ␶ Aplicando el método de fracciones parciales: 5 2 2 1 2 2 1 2 s s A s B s−( ) +⎛ ⎝ ⎞ ⎠ = − + + → B A = = 1 1 = − − + 1 2 1 1 2 s s ∴ − − + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = − − £ 1− 1 2 1 1 2 2 2 s s e et t ∴ = − − y e et t2 2 Propiedades de la transformada de Laplace 357 Carmona-07A.indd 357Carmona-07A.indd 357 7/13/10 10:39:53 AM7/13/10 10:39:53 AM
  • 358 Capítulo 7 Transformadas de Laplace = − ∫e f t dtst t ( ) 0 = { }£ ( )f t = F s( ) → { }=£ ( ) ( )G t F s′ Pero, £ ( ) £ ( )G t s G t{ } = { } 1 ′ = 1 s F s( ) EJEMPLO 6 Hallar f(t) mediante e teorema de la transformada de la integral, si F s s s ( ) = −( ) 1 12 Sabemos que £ senh1− 1 12 s t −{ }= , entonces, £ senh1− 1 12 0 0 s s d t t −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = = =∫ ␶ ␶ ␶cosh cossht −1 ∴ = −f t t( ) cosh 1 EJEMPLO 7 Dada F s s s ( ) = −( ) 20 22 hallar f(t) usando el teorema de la transformada de la integral de una función. Sabemos que £ 1− 20 2 20 2 s e t −{ }= , → −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = = =∫£ 1− 20 2 20 10 102 2 0 0 2 s s e d e e t t ␶ ␶ ␶ ␶ −−10 Y £ 1− 20 2 10 102 2 0 s s e d t −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −( )∫ ␶ ␶ = −5 102 0e t␶ ␶ = − −5 10 52 e ␶ ␶ , Y → −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = − −( )∫£ 1− 20 2 5 10 53 2 0 s s e d t ␶ ␶ ␶ Carmona-07A.indd 358Carmona-07A.indd 358 7/13/10 10:39:55 AM7/13/10 10:39:55 AM
  • Como se puede comprobar, aplicando la transformada y reduciendo a común denominador, se observa que el teorema puede aplicarse sucesivamente. EJERCICIOS 7.2 Usar el teorema de la transformada de la derivada de una función para encon- trar F(s), dada f(t): Respuestas: 1. t tsen3 6 92 2 s s +( ) 2. t tcosh s s 2 2 2 1 1 + −( ) 3. t tsenh2 4 42 2 s s −( ) 4. t t2 sen 6 2 1 2 2 3 s s − +( ) 5. t t2 3cos 2 54 9 3 2 3 s s s − +( ) 6. t t2 senh 6 2 1 2 2 3 s s + −( ) 7. Sea f t t t t t ( ) = ≤ ≤ > ⎧ ⎨ ⎩ 3 0 1 1 a. Hallar £ ( )f t{ } b. Hallar £ ( )f t′{ } c. ¿Se cumple £ £ ( )f s f f′{ }= { }− 0 en este caso? Dar las razones. Respuestas: a. 3 2 2 2 2 s e s s s − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − b. 3 2 s s e s − − = − − 5 2 5 52 2 0e t␶ ␶ ␶ = − − − 5 2 5 5 5 2 2 2 e ␶ ␶ ␶ F(t) = − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟5 1 2 1 2 2 2 e ␶ ␶ ␶ Propiedades de la transformada de Laplace 359 Carmona-07A.indd 359Carmona-07A.indd 359 7/13/10 10:39:56 AM7/13/10 10:39:56 AM
  • 360 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 8. Sea f t t t ( ) = ≤ ≤⎧ ⎨ ⎩ 2 0 1 0 resto a. Hallar £ ( )f t{ } b. Hallar £ f ″{ } c. Justificar £ £ ( ) ( )f s f sf f″ ′{ }≠ { }− −2 0 0 Respuestas: a. e s s s s s− − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 1 2 2 2 2 3 3 , b. 2 s Usar el teorema de la transformada de la integral de una función para encon- trar f(t), dada F(s): 9. £ 1− 1 4s s −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 4 14 e t −( ) 10. £ 1− 1 32 s s +( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 9 3 13 e tt− + −( ) 11. £ 1− 1 162 s s +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 16 1 4−( )cos t 12. £ 1− s s s − +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 2 42 2 1 4 2 2 1 2 sen t t t − +( )−cos 13. £ 1− 2 1 12 s s s − +( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 3 3− − − t e t 14. £ 1− 7 13 s s −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 7 2 1 2 e t tt − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 15. £ 1− 3 92 2 s s −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 9 3 1 3 senh t t− 16. £ 1− s s s + +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 4 162 2 1 16 1 4 4 4 − −( )+cos t t t sen 17. £ 1− s a s s a − +( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 3 2 2 2 2 2 2 2 a e t t a a at− − + − Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, con valor inicial, usando la transformada de Laplace: Respuestas: 18. y y′ + = 0, y( )0 1= y e x = − 19. y y″ + =4 2, y( )0 0= y′( )0 0= y x= −( )1 2 1 2cos Carmona-07A.indd 360Carmona-07A.indd 360 7/13/10 10:39:59 AM7/13/10 10:39:59 AM
  • 20. y y″ − =9 0, y( )0 1= y x= cosh3 y′( )0 0= 21. y y x′ − =2 , y( )0 0= y e xx = −( )− 1 4 1 2 2 22. y y″ + =16 4, y( )0 1= y′( )0 0= y x= + 3 4 4 1 4 cos En los siguientes ejercicios, elegir la opción correcta. Con el teorema de la transformada de la derivada, hallar F(s): 23. t e t2 2 a. 2 2 3 s −( ) b. 2 2 2 s −( ) c. 1 2 3 s −( ) d. 1 2 3 s −( ) 25. t t2 2 sen a. 2 24 4 3 2 3 s s s − +( ) b. 4 42 2 s s +( ) c. 2 2 24 4 3 3 2 3 s s s s − − +( ) d. 1 12 4 3 3 2 3 s s s s − − +( ) 24. t tsen5 a. 10 252 2 s s +( ) b. 10 252 s s + c. s s2 2 25+( ) d. s s2 25+ Usar el teorema de la transformada de la integral: 26. £ 1− 1 12 s s −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ a. et −1 b. e tt + −1 c. et +1 d. e tt − −1 27. £ 1− 3 12 s s −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ a. 3 1senht −( ) b. 3cosht c. 3 1cosht −( ) d. 3senht Propiedades de la transformada de Laplace 361 Carmona-07A.indd 361Carmona-07A.indd 361 7/13/10 10:40:01 AM7/13/10 10:40:01 AM
  • 362 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 28. £ 1− s s s + +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 42 2 a. 1 4 1 2 2t t− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟sen b. 1 4 1 2 2− +( )cos t t tsen c. 1 4 1 2 1 4 1 8 2−( )+ −cos t t tsen d. 1 4 1 2−( )cos t Resolver mediante transformada de Laplace. 29. y y′ − = 0, y( )0 = ␲ a. ␲ s −1 b. ␲et c. ␲ s +1 d. ␲e t− 30. y y″ + =25 3, y( ) ,0 1= y′( )0 5= a. cos5 5t t+ sen b. 22 25 5 5 3 25 cos t t+ +sen c. 3 25 1 5−( )cos t d. cos5 5t t− sen Respuestas: 23. a. La opción b contiene la transformada de 2tet . La opción c la de te t2 . La d contiene la de 1 2 2 2 t e t . 24. a. La opción b contiene la transformada de 10 5cos t . La opción c la de 1 10 5t tsen . La opción d representa la de cos5t . 25. d. La opción a contiene la transformada de t t2 2cos (paso intermedio de la correcta solución). La opción b contiene la de t tsen2 (también es un paso intermedio). La opción c la de t t t2 2 2− cos (¿será también un paso útil para llegar a la solución correcta?). Carmona-07A.indd 362Carmona-07A.indd 362 7/13/10 10:40:05 AM7/13/10 10:40:05 AM
  • 26. d. La opción a contiene la transformada inversa de 1 1s s −( ) . La opción b aplicó mal los límites de la integral. La opción c contiene los dos errores anteriores. 27. c. La opción a equivocó las fórmulas. La opción b contiene la transfor- mada inversa de 3 12 s − . La opción c los dos errores anteriores. 28. c. La opción a contiene la transformada inversa de 1 42 2 s s +( ) solamente. La opción b tiene un coeficiente equivocado. La opción d contiene la de 1 42 s s +( ) (la a y d son pasos intermedios). 29. b. La opción a representa la F(s) a la cual se le debe aplicar la transfor- mada inversa. La opción c no aplicó correctamente el teorema de la derivada de la transformada y además está incompleta. La opción d contiene el error de la c aunque ya esté completa. 30. b. La opción a contiene una parte de la solución. La opción c represen- ta la otra parte de la solución. La opción d supone que la ecuación es y y″ − =25 0, para y( )0 1= y y′( ) .0 5= Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace usando fracciones parciales Método de fracciones parciales para encontrar la transformada inversa. En otros ejercicios pueden aparecer otros factores en el denominador. Estudia- remos: 1. Factores lineales no repetidos. 2. Factores complejos no repetidos. 3. Factores lineales repetidos. 4. Factores complejos repetidos. Factores lineales no repetidos Estudiaremos £ 1− G s H s ( ) ( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ donde G s H s A s a W s ( ) ( ) ( )= − + , porque H(s) contiene un factor (s − a) que por ser lineal tendrá como numerador una constante. W(s) re- presenta las restantes fracciones parciales. Para determinar el valor de A, tene- mos tres opciones: a. Usando fracciones parciales (según se estudió en cálculo). Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 363 Carmona-07A.indd 363Carmona-07A.indd 363 7/13/10 10:40:07 AM7/13/10 10:40:07 AM
  • 364 Capítulo 7 Transformadas de Laplace b. Usando límites: Como s a s a G s H s A s a W s−( )≠ → −( ) = + −( )0 ( ) ( ) ( ) Sea Q s s a G s H s ( ) ( ) ( ) = −( ) → = + −( )Q s A s a W s( ) ( ) Tomando el límite cuando s a→ , vemos que H s( ) no se hace cero porque contiene un factor s a−( ) que se puede cancelar con el que está multipli- cando; por tanto, existe el límite. lím lím lím s a s a s a cero Q s A s a W s → → → = + −( )( ) ( ) ∴ =Q a A( ) , y £ £1 1− −G s H s Ae W sat( ) ( ) ( ) . ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = + { } c. Usando derivadas (desarrollo de Heaviside). Sea Q s s a G s H s ( ) ( ) ( ) = −( ) que da A en el límite, como acabamos de ver, → = − Q s G s H s s a ( ) ( ) ( ) → = = − → → A Q s G s H s s a s a s a lím lím( ) ( ) ( ) A G s H s s a s a s a = − → → lím lím ( ) ( ) El límite cuando s a→ produce una forma indeterminada que puede des- truirse mediante la regla de L’Hôpital: A G a H s G a H a s a = = → ( ) ( ) ( ) ( ) . lím ′ ′ 1 EJEMPLO 1 Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace. y y y″ ′− − =2 3 4 para y( ) ,0 1= y′( )0 1= − Carmona-07A.indd 364Carmona-07A.indd 364 7/13/10 10:40:08 AM7/13/10 10:40:08 AM
  • £ £y y y″ ′− −{ }= { }2 3 4 s Y s sy y sY s y Y s s 2 0 0 2 2 0 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + − =′ Y s s sy y y s s ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − 4 0 0 2 0 2 32 ′ = + − − − −( ) = − + +( ) −( ) 4 2 2 3 3 4 1 3 2 2 2 s s s s s s s s s s s La solución de la ecuación por el método de las derivadas será: y s s s s s Ae Be Cet t = − + +( ) −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = + +− £ 1− 2 0 33 4 1 3 tt → = = − − =A G H B G H C G H ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) . 0 0 1 1 3 3′ ′ ′ Además, G s s s( ) = − +2 3 4 H s s s s( ) = − −3 2 2 3 H s s s′( ) = − −3 4 32 A = − 4 3 , B = = 8 4 2, C = = 4 12 1 3 ∴ = − + +− y e et t4 3 2 1 3 3 . Comprobando por el método de fracciones parciales. s s s s s A s B s C s 2 3 4 1 3 1 3 − + +( ) −( ) = + + + − s s As As A Bs Bs Cs Cs2 2 2 2 3 4 2 3 3− + = − − + − + + A B C A B C A + + = − − + = − − = ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ 1 2 3 3 3 4 A B C = − = = 4 3 2 1 3 . Comprobación por el método de límites. A s s s s s = − + +( ) −( ) = −= 2 0 3 4 1 3 4 3 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 365 Carmona-07A.indd 365Carmona-07A.indd 365 7/13/10 10:40:10 AM7/13/10 10:40:10 AM
  • 366 Capítulo 7 Transformadas de Laplace EJEMPLO 2 Resolver y y y et ″ ′− − =2 3 , y( ) ,0 2= y′( ) .0 4= s Y s sy y sY s y Y s s 2 0 0 2 2 0 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + − = − ′ Y s s s s s s ( ) = − + −( ) −( ) +( ) 2 2 1 1 3 1 2 £ 1− 2 2 1 3 3 2 3 2 3s s s s s Ae Be Cet t t− + − − + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = + + − G s s s( ) = − +2 2 12 H s s s′( ) = − −3 6 12 A G H = = − ( ) ( ) 1 1 1 4′ B G H = = ( ) ( ) 3 3 13 8′ C G H = − − = ( ) ( ) 1 1 5 8′ ∴ = − + + − y e e et t t1 4 13 8 5 8 3 . B s s s s s = − + −( ) = = =− 2 1 3 4 3 8 4 2 C s s s s s = − + +( ) = = = 2 3 3 4 1 4 12 1 3 . Factores complejos no repetidos Teníamos que £ £1 1− −G s H s Ae W sat( ) ( ) ( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = + { } Cuando a es complejo, entonces, a i= +␣ ␤ y a i= −␣ ␤ Si s a− es factor de H s( ) también lo es s a− . ∴ = − + − + G s H s A s a B s a W s ( ) ( ) ( ) Carmona-07A.indd 366Carmona-07A.indd 366 7/13/10 10:40:12 AM7/13/10 10:40:12 AM
  • Donde los coeficientes de G y H son reales, y y G s H s Ae Be W sat at = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = + { }£ +£1 1− −( ) ( ) ( ) Como e e e e e t i tat i t t i t t = = = +( )+( )␣ ␤ ␣ ␤ ␣ ␤ ␤cos sen y e e t i tat t = −( )␣ ␤ ␤cos sen → = +( )+ −( )+y Ae t i t Be t i tt t␣ ␣ ␤ ␤ ␤ ␤cos cossen sen £−11 W s( ){ } = +( ) + −( )[ ]+ { }e A B t i A B t W st␣ ␤ ␤cos ( ) .sen £ 1− Por el análisis del caso anterior teníamos: A Q a Q i Q iQ= = +( )= +( ) ,␣ ␤ 1 2 Q Q1 2, ∈ℜ y B Q a Q i Q iQ= = −( )= −( ) ,␣ ␤ 1 2 Q Q1 2, ∈ℜ Sumando y restando las dos ecuaciones: A B Q+ = 2 1 A B iQ i A B Q− = → −( )= −2 22 2 Sustituyendo estas nuevas constantes: y e Q t Q tt = −( )␣ ␤ ␤2 21 2cos sen ∴ − + − +{ }=£ 1− A s a B s a W s( ) 2 1 2e Q t Q t W st␣ ␤ ␤cos ( ) .−( )+ { }sen £ 1− EJEMPLO 1 Resolver: y y y″ ′− + =2 2 0, y( ) ,0 0= y′( ) .0 1= s Y s sy y sY s y Y s2 0 0 2 2 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + + =′ Y s sy y y s s s i s i ( ) ( ) ( ) ( ) = + − − + = − −( ) − + 0 0 2 0 2 2 1 1 12 ′ (( ) Tomamos: Q s s i ( ) ,= − + 1 1 entonces, Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 367 Carmona-07A.indd 367Carmona-07A.indd 367 7/13/10 10:40:14 AM7/13/10 10:40:14 AM
  • 368 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Q i i i i i i i Q Q( ) , ,1 1 1 1 1 2 2 0 1 2 1 2+ = + − + = = − → = = −ؒ Como s i i= ± − = ± = ± = = ⎧ ⎨ ⎩ 2 4 8 2 2 2 2 1 1 1 ␣ ␤ y e tt = − −( )( )2 0 1 2 sen ∴ =y e tt sen . EJEMPLO 2 Resolver: y y y″ ′+ + =4 5 1, y( ) ,0 0= y′( ) .0 0= s Y s sy y sY s y Y s s 2 0 0 4 4 0 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − + − + =′ Y s s s s s s s s s i s i ( ) = + + = + +( ) = + −( ) + +( ) 1 4 5 1 4 5 1 2 22 2 para s i= − ±2 , ␣ = −2, ␤ = 1 y Q s s s i Q i i i i ( ) ( )= + +( ) → − + = − +( ) − + + +( ) 1 2 2 1 2 2 2 = − + 1 10 1 5 i para s = 0 Q s i i Q i ( ) ( )= −( ) +( ) → = − = 1 2 2 0 1 4 1 52 ∴ = + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − y e t tt1 5 2 1 10 1 5 2 cos .sen EJEMPLO 3 Resolver: y y y t t″ ′+ + = −2 2 2 2 2cos sen para y( ) ,0 0= y′( )0 0= s Y s sy y sY s y Y s s s 2 2 0 0 2 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − + − + = + ′ 44 2 42 − +s Y s s s s s s s s s ( ) = − + + + = − +( ) + +( ) 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 = − −( ) +( ) + −( ) + +( ) 2 2 2 2 1 1 s s i s i s i s i ambos factores tienen raíces complejas. Carmona-07A.indd 368Carmona-07A.indd 368 7/13/10 10:40:16 AM7/13/10 10:40:16 AM
  • Factores lineales repetidos Si H s s a m ( ) ( ) ,= − entonces, según la teoría de fracciones parciales tenemos: G s H s A s a A s a A s a m m m m ( ) ( ) ...= −( ) + −( ) + + −( ) − − 1 1 2 2 ++ − + A s a W s1 ( ) Pero £ 1− A s a A e t m m m m at m −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −( ) −1 1 ! por definición de transformada de Laplace. → ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −( ) + − − − £ 1− G s H s e A t m A tat m m m m ( ) ( ) ! 1 1 2 1 mm A t A W s −( ) + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + { } 2 1 2 1 ! ... ! ( ) .£ 1− Para s2 4+ , s i= ±2 , ␣ = 0, ␤ = 2, Para s s2 2 2+ + , s i= − ±1 , ␣ = −1, ␤ = 1, tomaremos una Q(s) para cada raíz. Para s i= 2 : Q s s s i s i s i ( ) = − +( ) + −( ) + +( ) 2 2 2 1 1 Q i i i i i i i i i ( )2 2 2 2 4 1 3 1 4 2 2 4 4 4 = ( )− +( ) +( ) = − − +( ) = −− − − 2 16 8i = − − − − + − + 2 1 8 4 8 4 8 4 i i i i ؒ = − = − → = = − 20 80 1 4 0 1 4 1 2 i i Q Q, , para s i= − +1 Q s s s i s i s i ( ) = − +( ) −( ) + +( ) 2 2 2 2 1 Q i i i i i i ( )− + = − +( )− − +( ) − −( )( ) = − + − 1 2 1 2 1 3 1 2 4 2 4 2ii i i i( ) = − + +2 4 2 4 8 = − + + − − = = → = = 2 2 4 2 4 2 4 10 20 1 2 0 1 2 1 2 i i i i i i Q Q, y e t t e t tot t = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + −− 2 0 2 1 4 2 2 0 1 2 cos cossen sen ⎛⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∴ = − − y t e tt1 2 2sen sen . Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 369 Carmona-07A.indd 369Carmona-07A.indd 369 7/13/10 10:40:17 AM7/13/10 10:40:17 AM
  • 370 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Sea Q s G s H s s a m ( ) ( ) ( ) = −( ) → = + − + − +− −Q s A A s a A s am m m( ) ( ) ( ) ...1 2 2 + − + − + −− − A s a A s a W s s am m m 2 2 1 1 ( ) ( ) ( )( ) (1) Tomando el límite cuando s a→ , todos los sumandos, menos el primero, se anulan y Q a Am( ) .= Derivando los dos miembros de (1) con respecto a s encontraremos Am−1 y con sucesivas derivaciones, obtendremos el resto de las constantes. Q s A A s a A s am m m′( ) ( ) ( ) ...= + − + − +− − −1 2 3 2 2 3 + − − + −− − ( ) ( ) ( )( )m A s a mW s s am m 1 1 2 1 Tomando el límite cuando s a→ : lím s a m mQ s A Q a A → − −= → =′ ′( ) ( )1 1 Q s A A s am m″( ) ( ) ...= + − +− −2 62 3 Q a A A Q a m m″ ″ ( ) ( ) = → =− −2 2 2 2 Q s Am″′( ) ...= +−6 3 Q a A A Q a m m″′ ″′ ( ) ( ) ,= → =− −6 6 3 3 etcétera. y en general A Q a k k mm k k − ( ) = ( ) = − ! , , , , , ..., .0 1 2 3 1 EJEMPLO 1 Resolver y y y y″′ ″ ′+ + + =6 12 8 0 Para: y y y( ) , ( ) , ( ) .0 4 0 12 0 34= = − =′ ″ s Y s s y sy y s Y s sy3 2 2 0 0 0 6 6 0 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + − −′ ″ yy′( )0 + − + =12 12 0 8 0sY s y Y s( ) ( ) ( ) Y s s s s s s s s s ( ) = + + + + + = + + +( ) 4 12 10 6 12 8 4 12 10 2 2 3 2 2 33 Aquí: a = −2 → = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − y e A t A t At2 3 2 2 1 2 Carmona-07A.indd 370Carmona-07A.indd 370 7/13/10 10:40:19 AM7/13/10 10:40:19 AM
  • Como siempre tomamos como Q(s) la parte de Y(s) donde no está el factor raíz del denominador; aquí, Q(s) es: Q s s s( ) = + +4 12 102 Q s s′( ) = +8 12 Q s″( ) = 8 y A Q3 2 16 24 10 2= − = − + =( ) A Q2 2 16 12 4= − = − + = −′( ) A Q 1 2 2 8 2 4= − = = ″( ) y t e t tt ( ) = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −2 2 2 2 4 4 ∴ = −( )− y t e tt ( ) .2 2 2 EJEMPLO 2 Resolver y y t″ + = para y( ) ,0 0= y′( ) .0 0= s Y s sy y Y s s 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( )− − + =′ Y s s s s s ( ) = + + + = +( ) 1 2 2 2 2 0 0 1 1 1 tenemos un factor real repetido s = 0 y un factor complejo s2 1+ . Para el factor s Q s s = → = + 0 1 12 ( ) como sólo está repetido dos veces, solamente se necesita la primera derivada Q s s s ′( ) = − +( ) 2 12 2 y la forma de la solución es: y e A t At = +( )0 2 1 donde A Q2 0 1= =( ) y A Q1 0 0= =′( ) . Para el factor s i= Cporque s s i s i2 1+ = − +( )( )D Q s s s Q i i Q Q( ) ( ) , ,= +( ) → = → = = 1 1 2 0 1 22 2 1 2 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 371 Carmona-07A.indd 371Carmona-07A.indd 371 7/13/10 10:40:21 AM7/13/10 10:40:21 AM
  • 372 Capítulo 7 Transformadas de Laplace EJEMPLO 3 Resolver y y y″ ′− + =6 9 0 y( ) ,0 1= y′( ) .0 2= s Y s sy y sY s y Y s2 0 0 6 6 0 9 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + + =′ Y s s s ( ) ,= − −( ) 4 3 2 a = 3 → = +( )y e A t At3 2 1 Q s s A Q( ) ( )= − → = = −4 3 12 Q s′( ) = 1 A1 1= ∴ = − +( )y e tt3 1 . y la forma de la solución es y e t tot = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 0 1 2 cos .sen Entonces, y e A t A e tt t = +( )+ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0 2 1 0 2 1 2 sen ∴ = −y t tsen . Factores complejos repetidos Sea: G s H s A s a A s a A s a m m m m ( ) ( ) ...= −( ) + −( ) + + −( ) − − 1 1 2 2 ++ − + A s a 1 + −( ) + −( ) + + −( ) + − +− − B s a B s a B s a B s a Wm m m m 1 1 2 2 1 ... (( )s → ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −( ) + − − − £ 1− G s H s e A t m A tat m m m m ( ) ( ) ! 1 1 2 1 mm A t A −( ) + + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 2 1 ! ... + −( ) + −( ) + + + ⎛ − − − e B t m B t m B t Bat m m m m1 1 2 2 1 1 2! ! ... ⎝⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +£ 1− W s( ){ } Esto puede expresarse en forma condensada: £ 1− A s a B s a t k A ek k k k k k at −( ) + −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −( ) + −1 1 ! BB ek at ( ) Carmona-07A.indd 372Carmona-07A.indd 372 7/13/10 10:40:23 AM7/13/10 10:40:23 AM
  • = −( ) + + − − t k A e t i t B e t k k t k t 1 1 ! (cos ) (cos␣ ␣ ␤ ␤ ␤sen ii tsen␤ )⎡⎣ ⎤⎦ = −( ) + + −[ ] − e t k A B t i A B t t k k k k k ␣ ␤ ␤ 1 1 ! ( )cos ( )sen Para k = 1, 2, 3, …, m Como A Q iQk k k = +1 2 y B Q iQk k k = −1 2 para Q Qk k1 2, ∈ℜ Sumando y restando, tenemos: A B Qk k k + = 2 1 A B iQk k k − = 2 2 y i A B Qk k k( )− = −2 2 → = − − − y t e t k Q t Q t t k k k( ) ( )! ( cos ). 2 1 1 1 2 ␣ ␤ ␤sen Caso particular: m = 2 y W s( ) = 0 → = − = y t e t Q t Q t t k ( ) ! ( cos ) 2 0 0 11 12 1 ␣ ␤ ␤sen + − = 2 1 1 21 22 2 e t Q t Q t t k ␣ ␤ ␤ ! ( cos )sen ∴ = + − +[ ]y t e Q tQ t Q tQ tt ( ) ( )cos (2 11 21 12 22 ␣ ␤ ␤)sen .. EJEMPLO 1 Resolver y y t″ + = 2cos para y( ) ,0 2= y′( ) .0 0= s Y s sy y Y s s s 2 2 0 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )− − + = + ′ Y s s s s s s s s ( ) = + + + = + +( ) 2 1 2 1 2 4 1 2 2 3 2 2 → + = + − → = ±s s i s i s i2 1 ( )( ) , donde ␣ = 0, ␤ = 1, → = + − +[ ]y t e Q tQ t Q tQ tt ( ) ( )cos ( .2 0 11 21 12 22 )sen Para s i= : Q s s s s i ( ) = + +( ) 2 43 2 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 373 Carmona-07A.indd 373Carmona-07A.indd 373 7/13/10 10:40:25 AM7/13/10 10:40:25 AM
  • 374 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Q i i i i i i( ) = + ( ) = − = − 2 4 2 2 4 1 2 3 2 Como A Q iQ Q Q2 21 22 21 220 1 2 = + → = = −, . Para encontrar A1 tomamos la primera derivada: Q s s s s i i s i ′( ) = − + + +( ) 2 4 6 43 2 3 Q i i i i i i ′( ) = − + + ( ) = 2 4 6 4 2 1 3 3 3 A Q iQ Q Q1 11 12 11 121 0= + → = =, , y t t t t( ) ( )cos= + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥2 1 0 0 1 2 sen ∴ = +y t t t t( ) cos .2 sen EJEMPLO 2 Resolver: y y t t″ + = +( )2 cos ,sen y( ) ,0 0= y′( ) .0 1= − s Y s sy y Y s s s s s 2 2 2 0 0 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )− − + = + + + ′ Y s s s s s s s s s ( ) = + + − + = + − − +( ) = − + 2 2 1 1 1 2 2 1 1 22 2 2 2 2 2 11 12 2 s +( ) donde s i= ± , ␣ = 0, ␤ = 1 → = + − +[ ]y t e Q tQ t Q tQ tt ( ) ( )cos (2 0 11 21 12 22 )sen Q s s s s i ( ) = − + +( ) 2 12 2 Q i i i i i i( ) = − + ( ) = + − = − − 2 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 2 A Q iQ Q Q2 21 22 21 22 1 2 1 2 = + → = − = −, . Q s i si s s i ′( ) = − − − +( ) 2 2 2 2 3 Carmona-07A.indd 374Carmona-07A.indd 374 7/13/10 10:40:27 AM7/13/10 10:40:27 AM
  • Derivación de transformadas Teorema 6 Si £ ( ) ( )f t F s{ }= → { }= −£ ( ) ( )tf t F s′ Demostración: F s e f t dtst ( ) ( )= − ∞ ∫0 Diferenciando respecto a s: dF ds d ds e f t dt s e f t dtst st = =− ∞ − ∞ ∫ ∫( ) ( ) 0 0 ␦ ␦ = − − ∞ ∫ te f t dtst ( ) 0 = − − ∞ ∫e tf t dtst ( ) 0 = − { }£ ( )tf t Generalizando: £ ( ) ( )( ) −( ){ }=t f t F sn n Así, para n = 2: → { }=£ ( ) ( )t f t F s2 ″ Para n = 3: → { }=£ ( ) ( ),t f t F s3 ′″ etcétera. Q i i i i i '( ) = − − − ( ) = 2 2 2 2 2 0 2 3 A Q iQ1 11 12 = + , Q Q11 120 0= =, . y e t t t tt = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥2 0 1 2 0 1 2 0 cos sen y t t t t= − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 2 2 cos sen ∴ = −( )y t t tsen cos . Derivación de transformadas 375 Carmona-07A.indd 375Carmona-07A.indd 375 7/13/10 10:40:29 AM7/13/10 10:40:29 AM
  • 376 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Integración de las transformadas Teorema 7 Sea f(t) una función que satisface las condiciones del teorema de existencia y lím t f t t→ + 0 ( ) existe, y además £ ( ) ( ),f t F s{ }= entonces, £ ( ) ( ) f t t F d s { }= ∞ ∫ ␴ ␴ Demostración: Sea G t f t t f t tG t( ) ( ) ( ) ( ).= → = Tomando la transformada a ambos lados y aplicando el teorema de la derivada en el segundo miembro: £ ( ) £ ( )f t d ds G t{ }= − { } EJEMPLO 1 Encontrar £ cost t␻{ } usando este teorema: £ cost t d ds s s ␻ ␻ { } = − +2 2 = − + − +( ) = − +( ) s s s s s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2␻ ␻ ␻ ␻ . EJEMPLO 2 Hallar £ .t at2 senh{ } Por el teorema de la derivada de la transformada: £ ( )t at F s2 senh{ }= ″ Como F s a s a ( ) ,= −2 2 entonces, F s as s a ′( ) ,= − −( ) 2 2 2 2 F s as a as s a ″( ) = − + + −( ) 2 2 82 3 2 2 2 3 ∴ { }= + −( ) £ t at as a s a 2 2 3 2 2 3 6 2 senh Carmona-07A.indd 376Carmona-07A.indd 376 7/13/10 10:40:30 AM7/13/10 10:40:30 AM
  • Entonces, F s dG ds ( ) ,= − integrando: g s f d f d s s ( ) ( ) ( )= − = ∞ ∞ ∫ ∫␴ ␴ ␴ ␴ ∴ { }= ∞ ∫£ ( ) ( ) f t t f d s ␴ ␴ EJEMPLO 1 Dada F s s a ( ) = −( ) 2 3 encontrar f(t) usando integración de la transformada: 2 1 1 3 2 2 ␴ ␴ ␴−( ) = − −( ) = −( ) ∞ ∞ ∫ a d a s as s y como f t t F d s ( ) ( ) ,= ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ∞ ∫£ 1− ␴ ␴ entonces, £ 1− 1 2 2 1 s a y t e B t Bat −( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ → = +( )( ) ( ) ( ) '( ) '( ) Q s Q a Q s Q a = → = = → = 1 1 0 0 B B y t teat2 1 1 0 = = ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ =( ) f t t teat ( ) = ( ) ∴ =f t t eat ( ) .2 EJEMPLO 2 Hallar: £ . sen3t t{ } Como £ sen3 3 92 t s { }= + £ tan tan . sen3 3 9 3 2 32 1 1t t d s s s { }= + = = − ∞ − ∞ − ∫ ␴ ␴ ␴ ␲ EJEMPLO 3 Hallar f(t) dada F s s a s b ( ) ln ,= + + usando los teoremas convenientes. ln ln ln ; s a s b s a s b + + = +( )− +( ) − + − +[ ]= d ds s a s bln( ) ln( ) = − + + + 1 1 s a s b . Y £ 1− ln . s a s b t e abt at+ +{ }= −( )− −1 Integración de las transformadas 377 Carmona-07A.indd 377Carmona-07A.indd 377 7/13/10 10:40:32 AM7/13/10 10:40:32 AM
  • 378 Capítulo 7 Transformadas de Laplace EJERCICIOS 7.3 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando transformada de Laplace. Factores lineales: Respuestas: 1. y y y″ ′+ + =3 2 0 y e et t = − +− − 2 32 y y( ) , ( )0 1 0 1= =′ 2. y y″ − =4 0 y t= −( )1 2 2 1cosh y y( ) , ( )0 0 0 0= =′ 3. y y y″ ′− + = 5 2 0 y e t = ( )1 2 y y( ) , ( )0 1 0 1 2 = =′ 4. y y y″ ′− − =2 3 0 y e et t = + −5 4 7 4 3 y y( ) , ( )0 3 0 2= =′ 5. y y y″ ′− − =8 9 0 y e et t = + −−3 5 23 45 10 9 9 y y( ) , ( )0 0 0 4= =′ 6. y y y e″ ′− + =6 8 2 3 y e et t = −2 24 3 y y( ) , ( )0 0 0 2= =′ 7. y y y y″′ ″ ′− − + =3 3 3 y e e et t t = − − +−3 8 5 4 1 8 13 y y y( ) ( ) , ( )0 0 0 0 2= = =′ ″ 8. y y y y e t ″′ ″ ′− − + = − 4 4 y e e e et t t t = − − +− −1 6 1 6 1 12 1 12 2 2 y y y( ) ( ) ( )0 0 0 0= = =′ ″ 9. y y y y″′ ″ ′− − + =2 5 6 0 y e e et t t = − + − 2 1 5 1 5 3 2 y y y( ) , ( ) ( )0 2 0 0 1= = =′ ″ 10. y y y y″′ ″ ′− + − =9 26 24 1 y e e e et t t t = − − +− −13 4 1 6 1 12 1 12 2 2 y y y( ) ( ) ( )0 0 0 1= = =′ ″ Factores lineales repetidos: Respuestas: 11. y y y t″ ′+ − = −2 1 2 y e e tt t = − +−2 y y( ) , ( )0 0 0 4= =′ 12. y y y tet ″ ′+ − =2 y e t t et t = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − −1 6 1 9 1 27 1 27 2 2 y y( ) , ( )0 0 0 0= =′ 13. y y y tet ″ ′− + =2 y t et = 1 6 3 y y( ) , ( )0 0 0 0= =′ 14. y y y y e″′ ″ ′+ + + = − 3 3 y e t t tt = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 1 6 3 2 3 2 y y y( ) , ( ) ( )0 0 0 0 1= = =′ ″ Carmona-07A.indd 378Carmona-07A.indd 378 7/13/10 10:40:33 AM7/13/10 10:40:33 AM
  • 15. y y t″ − =4 2senh y t t t= + 3 8 2 1 4 2senh cosh y y( ) , ( )0 0 0 1= =′ 16. y y y t″ ′+ + = +2 3 y t te t = + − − 1 y y( ) , ( )0 1 0 0= =′ 17. y y y te t ″ ′− + =4 4 2 y e t tt = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 3 6y y( ) , ( )0 0 0 1= =′ 18. y y y y e t ″′ ″ ′+ + + = − 6 11 6 y e t e et t t = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − +− − − 2 5 4 3 7 4 2 3 y y y( ) ( ) , ( )0 0 0 0 4= = =′ ′′ 19. y y″′ = =1 0 2, ( ) y t = + 4 24 2 y y y′ ″ ″′( ) ( ) ( )0 0 0 0= = = 20. y y y y e t ″′ ″ ′− + − = − − 4 5 2 6 y e t t et t = + + −( )3 6 6 62 2 y y y( ) ( ) , ( )0 0 0 0 4= = =′ ″ Factores complejos no repetidos. Verificarlos por dos métodos: a. Comple- jos, b. Por las fórmulas básicas. Respuestas: 21. y y y″ ′+ + =4 5 0 y e tt = −2 sen y y( ) , ( )0 0 0 1= =′ 22. y y y″ ′− + =4 13 0 y e t tt = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −2 3 2 3 3cos sen y y( ) , ( )0 0 0 0= =′ 23. y y y″ ′− + =6 13 2 y e t tt = + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 13 11 13 2 10 13 23 cos sen y y( ) , ( )0 1 0 1= =′ 24. y y y et ″ ′− + =8 17 y e e t tt t = + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 13 9 10 17 10 4 cos sen y y( ) , ( )0 1 0 2= =′ 25. y y y t″ ′+ + =4 5 y e t t tt = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + −−2 29 25 22 25 5 4 25 cos sen y y( ) , ( )0 1 0 3= = −′ 26. y y yIV + + =29 100 0″ y y y( ) ( ) ( )0 0 0 0= = =′ ″ y t t= − 2 21 4 105 5sen sen y″′( )0 4= 27. y y y y yIV − + − + =2 10 18 9 0″ ″ ′ y y( ) ( )0 0 0= =′ y te e t tt t = + − − 2 25 2 25 3 3 50 3cos sen y y″ ″′( ) , ( )0 1 0 4= = 28. y y yIV − = =0 0 2( ) y y′ ″( ) , ( )0 1 0 4= − = y e e t tt t = + − +−9 4 3 4 1 2 cos sen y″′( )0 2= − Integración de las transformadas 379 Carmona-07A.indd 379Carmona-07A.indd 379 7/13/10 10:40:38 AM7/13/10 10:40:38 AM
  • 380 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 29. y y y y″′ ″ ′− + − =2 2 0 y e tt = +2 4cos y y y( ) , ( ) , ( )0 5 0 2 0 0= = =′ ″ Factores complejos repetidos: Respuestas: 30. y y yIV − + =2 0″ y y( ) ( )0 0 0= =′ y t t t t t= − +cos sen sen3 y y″ ″′( ) , ( )0 2 0 2= = − 31. y y yIV + + =8 16 0″ y( )0 1= y t t t= +cos2 2sen y y y′ ″ ″′( ) ( ) ( )0 0 0 0= = = 32. y y t′′ + = sen y t t t t= − +2 1 2 3 2 cos cos sen y y( ) , ( )0 2 0 1= =′ 33. y y t″ + =9 3cos y t t= 1 6 3sen y y( ) ( )0 0 0= =′ 34. y y t″ + =25 2 5sen y t t t t= − +cos cos5 1 5 1 25 5sen y y( ) , ( )0 1 0 0= =′ 35. y y yIV + + =8 16 0″ y t t t t t= − − 3 8 3 8 1 8 2 sen sencos y y y y( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0= = = =′ ″ ″′ En los siguientes ejercicios, usar el teorema de la derivada de la transformada para encontrar F(s). Respuestas: 36. £ t tsenh3{ } 6 92 2 s s −( ) 37. £ t eat3 { } 6 4 s a−( ) 38. £ cost t2 ␻{ } 2 63 2 2 2 3 s s s − +( ) ␻ ␻ 39. £ cosht t2 2{ } 2 24 4 3 2 3 s s s − +( ) 40. £ t e t5 − { } 120 1 6 s +( ) 41. £ cosht t2 5{ } 2 150 25 3 2 3 s s s + −( ) Carmona-07A.indd 380Carmona-07A.indd 380 7/13/10 10:40:43 AM7/13/10 10:40:43 AM
  • 42. £ cost t t tsen +{ } s s s 2 2 2 2 1 1 + − +( ) 43. £ cost t3 2{ } 6 144 96 4 4 2 2 4 s s s − + +( ) 44. £ te tt sen ␻{ } 2 1 1 2 2 2 ␻ ␻ s s −( ) −( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 45. £ coshte tt− { } s s s s 2 2 2 2 2 2 + + +( ) Usando el teorema de la integral de la transformada, hallar F(s). Respuestas: 46. £ senh t t ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 1 1 ln s s + − 47. £ e e t at bt− − −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ ln s b s a + + 48. £ cos cosat bt t −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 2 2 2 2 ln s b s a + + 49. Demostrar: e e t dt t t− − ∞ − =∫ 3 6 0 2ln 50. Hallar: cos cos6 4 0 t t t dt −∞ ∫ ln 2 3 51. Probar: sent t dt = ∞ ∫ ␲ 20 52. £ sen4t t ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ ␲ 2 4 1 − − tan s En los siguientes ejercicios, elegir la opción correcta. 53. y y y y y″ ′ ′− + = = =6 8 1 0 1 0 7, ( ) , ( ) a. 3 2 1 2 4 2 e et t − b. 1 8 7 4 21 8 2 4 − +e et t Integración de las transformadas 381 Carmona-07A.indd 381Carmona-07A.indd 381 7/13/10 10:40:46 AM7/13/10 10:40:46 AM
  • 382 Capítulo 7 Transformadas de Laplace c. 21 8 7 4 4 2 e et t − d. 1 3 4 10 8 2 4 − +e et t 54. y y y y e y y yt ″′ ″ ′ ′ ″− − + = = =4 4 3 0 0 0 03 , ( ) , ( ) ( ) == 1 a. 1 6 1 4 13 60 3 10 3 2 2 e e e et t t t − − +− b. − + +−4 3 1 12 5 4 2 2 e e et t t c. 5 4 1 12 4 3 2 2 e e et t t + − − d. 1 6 13 60 1 4 3 10 2 2 3 e e e et t t t − − +− 55. y y te y yt ″ ′ ′− = = =− 4 0 0 02 , ( ) ( ) a. 1 36 1 4 2 2 e e tet t t − +− − b. te et t− − + 1 3 c. 1 36 1 4 2 2 e e tet t t− − − + d. e t e et t t− − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − 1 3 2 9 1 36 1 4 2 2 56. y te y yt ″ ′= = = −2 0 0 0 42 , ( ) , ( ) a. e t tt2 1 2 7 2 2 1 2 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − b. e tt2 7 2 1 2 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ c. e tt2 7 2 1 2 − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ d. 1 2 1 7 12 − −⎡⎣ ⎤⎦te tt ( ) 57. y y y y″ ′+ = = =36 0 0 2 0 3, ( ) , ( ) a. 5 4 3 4 6 6 e et t + − b. − − 1 2 6 2 6cos t tsen c. 2 6 1 2 6cos t t+ sen d. 3 4 5 4 6 6 e et t + − Carmona-07A.indd 382Carmona-07A.indd 382 7/13/10 10:40:48 AM7/13/10 10:40:48 AM
  • 58. y y y e y yt ″ ′ ′+ + = = =4 5 0 1 0 0, ( ) , ( ) a. e t tt− + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 17 10 9 10 cos sen b. e t t et t− − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟+2 9 20 17 20 1 10 cos sen c. e t tt− − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 9 20 17 20 cos sen d. e t t et t− + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟+2 9 10 17 10 1 10 cos sen 59. y y t y y″ ′+ = = =cos , ( ) ( )0 0 0 a. 2 1 2 t t t tcos + sen b. 2 1 2 cost t t+ sen c. 1 2 t tsen d. 1 2 1 2 sen sent t t+ Usando el teorema de la derivada de la transformada: 60. £ t t3 sen{ } a. 6 2 1 2 2 3 s s − +( ) b. 24 24 1 3 2 4 s s s − +( ) c. 24 24 1 3 2 4 s s s − +( ) d. 2 6 1 2 2 3 − +( ) s s 61. £ cost t t t2 2 +{ }sen a. 2 6 1 3 2 3 s s s − +( ) b. 2 3 3 1 1 3 2 2 3 s s s s + − −( ) +( ) c. 6 2 1 2 2 3 s s − +( ) d. 2 1 1 3 2 3 s s +( ) +( ) 62. £ coshte tt2 3{ } a. s s 2 2 2 9 9 + −( ) b. s s s s −( ) + −( ) −( ) −⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 2 54 2 2 9 3 2 3 Integración de las transformadas 383 Carmona-07A.indd 383Carmona-07A.indd 383 7/13/10 10:40:50 AM7/13/10 10:40:50 AM
  • 384 Capítulo 7 Transformadas de Laplace c. s s s s 2 2 2 4 13 4 5 − + − −( ) d. 2 54 9 3 2 3 s s s + −( ) Usando el teorema de la integral de la transformada: 63. £ cosh cosht t t −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 2 a. No existe porque ln s, cuando s → ∞, es ∞ b. ln s s 2 2 4 1 − − c. 2 4 1 2 2 ln s s − − d. 1 2 4 1 2 2 ln s s − − 64. £ sen 1 2( )⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ t t a. ␲− − tan 1 2s b. ␲ 2 21 − − tan s c. ␲ 4 1 − − tan s d. ␲− − tan 1 s Respuestas: 53. b. La opción a tiene el error de considerar £ l{ }= 0 en vez de 1 s . La opción c se olvidó de computar G H ( ) ( ) 0 0′ . La opción d aplica otras con- diciones iniciales. 54. d. La opción a tiene desordenados los coeficientes. La opción b olvidó pasar el denominador el factor s −3; £ e s t3 1 3 { }= − . La opción c contiene los errores de a y b. 55. d. La opción a no considera el factor lineal repetido ( )s +1 2 . La opción b, además de tener equivocados los coeficientes, no consideró los factores ( )s − 2 y ( )s + 2 . La opción c también tiene el error de a y los coeficientes intercambiados. 56. d. La opción a tiene intercambiados los paréntesis. La opción b, como la c, confunden los factores y para e2t debe ser t l 2 2 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , así como para e0t debe ser 1 7 2s t− . Carmona-07A.indd 384Carmona-07A.indd 384 7/13/10 10:40:53 AM7/13/10 10:40:53 AM
  • 57. c. La opción a toma los factores complejos (s Ϯ 6i) como reales (s Ϯ 6). La opción b tiene intercambiados los coeficientes. La opción d tiene los errores de a y b. 58. d. La opción a tiene intercambiados los coeficientes e incompleta la solución (falta el factor s − 1). La opción b no aplicó bien la fórmula, faltó multiplicar por 2 la exponencial. La opción c contiene los erro- res de a y b. 59. c. La opción a supone que Q21 = 1 y debe ser cero. La opción b supone que Q11 = 1 y debe ser cero. La opción d supone que Q12 1 4 = y debe ser cero. 60. c. La opción a contiene F s″( ) en vez de −F s″( ). La opción b no con- sideró el cambio de signo. La opción d contiene los errores de a y b. 61. b. Las opciones a y c tienen sólo £ cost t2 { } y £ ,t t2 sen{ } respectiva- mente. La opción d equivoca los signos del numerador. 62. c. La opción a está incompleta, le falta aplicar el primer teorema de traslación. La opción b toma £ cosht e tt2 2 3{ }. La opción d contiene los errores de a y b. 63. d. La opción a no considera el cociente ln ␴ ␴ 2 2 1 4 − − , cuando ␴ →∞, apli- cando la regla de L’Hôpital queda ln1 0= . La opción b no completó adecuadamente la integral. La opción c da 4 2 £ cosh cosht t t −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ . 64. b. La opción a considera que el resultado de la integral es 2 21 tan− ∞ ␴ s . La opción c supone que es 1 2 1 tan− ␴ . La opción d contiene los errores de a y c. Función escalón unitario Esta función es un elemento básico para representar fuerzas discontinuas o im- pulsivas, como las vibraciones en sistemas mecánicos o algunas situaciones en circuitos eléctricos. Definición 7.5 La función escalón unitario U(t − a) Co también Ua(t)D se define: U t a t a t a a ( ) , − = < ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 1 0 Si a = 0 → U t U t t t ( ) ( )= = < ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 0 1 0 Función escalón unitario 385 Carmona-07A.indd 385Carmona-07A.indd 385 7/13/10 10:40:54 AM7/13/10 10:40:54 AM
  • 386 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Frecuentemente esta función se presenta combinada con otras. Veámoslo en el siguiente ejemplo: Figura 7-4. EJEMPLO 1 Sea la función y f t t= =( ) 2 Observar cuidadosamente las siguientes gráficas: a f t t. ( ) = 2 b f t t t. ( ) = ≥2 0 c f t. ( )−3 2 d U t. ( )−3 e f t U t t. ( ) ( ),− − ≥3 3 02 U(t) 1 a t t 1 U(t) Figura 7-5. a. b. c. e.d. y y y t t t t t yy Carmona-07A.indd 386Carmona-07A.indd 386 7/13/10 10:40:56 AM7/13/10 10:40:56 AM
  • Se ve claramente que la función escalón unitario es de orden exponencial α, y seccionalmente continua, entonces existirá su transformada de Laplace. Definición 7.6 Transformada de U t a( )− £ ( )U t a s e as −{ }= −1 EJEMPLO 1 Hallar la transformada de Laplace de U t U t( ) ( )− + −3 2 £ ( ) ( ) ( )U t U t s e es s − + −{ }= +− − 3 2 1 3 2 Puesto que por definición de transformada tenemos: £ ( ) ( )U t a e U t a dt e dt est st st −{ } = − = +− − − ∫ ∫0 0 0 0 ϱ ϱ ϱ ∫∫ 1dt = − = +− −1 0 1 s e s est a asϱ EJEMPLO 2 Dada la siguiente gráfica: 1. Expresarla como y f t= ( ). 2. Expresarla en función de escalón unitario. 3. Encontrar su transformada. Función escalón unitario 387 Figura 7-6. y t 1 −1 1 2 3 Carmona-07A.indd 387Carmona-07A.indd 387 7/13/10 10:40:57 AM7/13/10 10:40:57 AM
  • 388 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 1. f t t t t( ) , , , , = < < > < < − < 0 0 1 3 1 1 2 1 2 tt < ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 3 2. Recordemos que U t a t a t a a ( ) , − = < ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 1 0 Observamos que para t = 0, t = 1, t = 2 y t = 3 , tenemos: U t t ( ) = <0 0 1 t ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 U t t ( )− = < 1 0 1 1 t ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 1 U t t ( )− = < 2 0 2 1 t ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 2 U t t ( )− = < 3 0 3 1 t ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 3 En t = 0, f t U o( ) , . ( )= →0 0 En t = 1, f t U t( ) , . ( )= → −1 1 1 En t = 2, f t U t( ) , . ( )= − → − −1 2 2 En t = 3, f t U t( ) , . ( )= → −0 1 3 En t = 1, se multiplica 1 1. ( )U t − , porque es 1 lo que vale el brinco de f t( ) = 0 a f t( ) = 1. En t = 2, se multiplica por (−2) porque la f(t) desciende dos unidades. En t = 3, se multiplica por 1 porque f(t) asciende una unidad. → = − − − + −f t U t U t U t( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 = − +U t U t U t1 2 3 2( ) ( ) ( ) 3. £ ( )f t s e e es s s { }= − +( )− − −1 2 2 3 EJEMPLO 3 Dada la siguiente gráfica: 1. Expresarla en función de escalón unitario. 2. Encontrar su transformada. Carmona-07A.indd 388Carmona-07A.indd 388 7/13/10 10:40:58 AM7/13/10 10:40:58 AM
  • y t t t( ) = < ≤ − < 0 0 1 1 1 tt t < ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 21 1. f t U t t U t t U t U to ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )= + − − − +0 1 1 11 2 2 ( ) ( )t U t−1 1 produce la recta con pendiente 1 prolongada hasta el infi- nito, y como en t = 2 se trunca, por eso hay que restarle ( ) ( )t U t−1 2 , entonces, f t tU t tU t tU t U t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − +1 1 2 2 2 2. Aplicaremos la transformada, término a término: £ ( )U t e s s 1{ }= − → { }= − = − − +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +− − £ ( ) ( ) ( ) ( U t F s e s s e ss s 1 2 1 1 ′ )) s2 Similarmente para £ ( )tU t e s s s 2 2 2 2 1 { }= +( )− ∴ { }= + − − + + − − − − £ ( ) ( ) ( ) f t e s s e s e s s e s s s s s 1 1 2 2 2 2 2 = + − − − +− − − − − − se e se se e se s s s s s s s 2 22 2 2 2 = −− − e e s s s2 2 Función escalón unitario 389 Figura 7-7. 1 1 2 3 t y EJEMPLO 4 Hallar f(t) si £ ( )f t e s as { }= − 2 Como £ ( )−1 2 e s U t a as−⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = − , entonces, tU t a F s e as s as ( ) £ '( ) £ ( )- − = −{ } = +⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ − − 1 1 2 1 Carmona-07A.indd 389Carmona-07A.indd 389 7/13/10 10:41:00 AM7/13/10 10:41:00 AM
  • 390 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Traslación sobre el eje t Teorema 8 Traslación sobre el eje t (segundo teorema de traslación). Si F s f t( ) £ ( )= { } y a > 0 → = − −{ }− e F s f t a U t aas ( ) £ ( ) ( ) Demostración: Llamemos F s f( ) £ ( )= { }␶ → = − ∫F s e f dst ( ) ( )␶ ␶ 0 ϱ , por definición. Multiplicando la igualdad por e as− ; e F s e f das a s− − +( ) = ∫( ) ( )␶ ␶ ␶ 0 ϱ sea a t+ =␶ → = = = = = d dt t a t ␶ ␶ ␶ cuando cuando 0, ,ϱ ϱ y ⎧ ⎨ ⎩ e F s e f t a dtas st− − = −∫( ) ( ) 0 ϱ Para que la integral vaya de cero a infinito, se modifica la función multiplicando fU t a( )− ; cuando U t a f( ) , ,− = → =0 0 cuando U t a f f( ) , ,− = → =1 1ؒ La nueva F s ase s e s as as ( ) = + − − 2 2 en la que nos sobra un término, que se lo restamos: £ ( )− − − − + − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = − −1 2 2 2 ase s e s ase s tU t a a as as as UU t a( )− = = − −( ) ( )t a U t a Figura 7-8. ∴ = < − f t t a t a ( ) 0 t a≥ ⎧ ⎨ ⎩ U(t) a t Carmona-07A.indd 390Carmona-07A.indd 390 7/13/10 10:41:01 AM7/13/10 10:41:01 AM
  • e F s e f t a dt e f t a das st a st− − − = − + −∫( ) ( )( ) ( )( )0 1 0 0 ϱϱ ∫ t = − −( )− ∫ e f t a U t a dtst ( ) 0 ϱ ∴ = − −{ }− e F s f t a U t ast ( ) £ ( ) ( ) EJEMPLO 1 Trazar la gráfica y encontrar la transformada de f(t) = (t − 1)2 U(t − 1). La gráfica es: ( ) ( ) ( ) , t U t t t − − = < − 1 1 0 1 1 2 2 t ≥ ⎧ ⎨ ⎩⎪ 1 Por el segundo teorema de traslación, tenemos: £ ( ) ( ) ( )t U t e F sst − −{ } − 1 1 = Además, £ t s 2 2 2 { }= ∴ − −{ }=£ ( ) ( )t U t e s s 1 1 22 2 − Comprobación: £ ( ) ( ) £ ( ) £ ( ) £ (t U t t U t tU t U− −{ }= −{ }− −{ }+1 1 1 2 12 2 tt −{ }1) £ ( ) ( )t U t F s s e se e s s s s 2 2 3 1 2 2 −{ }= = + +− − − ″ £ ( ) ( )tU t F s e s e s s s −{ } = − = + − − 1 2 ′ £ ( ) ( )U t F s e s s −{ }= = − 1 → −{ }= + + − − − − − − − £ ( )t U t s e se e s e s e s s s s s s 2 2 3 1 2 2 2 2 22 + − e s s = + − − + = − − − − − − s e se s e se s e s e s s s s s s s2 2 2 3 3 2 2 2 2 Esto también confirma la utilidad de este teorema. Traslación sobre el eje t 391 Figura 7-9. y t 1 2 −1 Carmona-07A.indd 391Carmona-07A.indd 391 7/13/10 10:41:03 AM7/13/10 10:41:03 AM
  • 392 Capítulo 7 Transformadas de Laplace EJEMPLO 2 Dada f t U t t( ) ( )= − ␲ sen , hallar e F sst− ( ) Para poder usar el segundo teorema de traslación necesitamos sent t( )− ␲ Sabemos: sen sen sen sent t t t t( ) cos cos− = − = −␲ ␲ ␲ 0 f t U t t t( ) ( ) ( )= − − −␲ ␲sen , Como £ sent s { } = + 1 12 , entonces, £ ( ) ( )− − −{ } = − + − U t t t e s s ␲ ␲ ␲ sen 2 1 EJEMPLO 3 Dada F s e e e e s s s s s ( ) = − − +− − − −2 3 4 3 , hallar f(t). £− − − − − − − + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 2 2 3 2 4 2 e s e s e s e s s s s s tomamos el primer término. Para encontrar £−1 {e−s } partimos del hecho: £ ( )− −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −1 2 1 e s U t s y £ ( ) ( ) ( ) tU t F s e s s s −{ } = − = +− 1 1 2 ′ y £ ( ) ( )− − +⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −1 2 1 1 e s s tU t s Pero necesitamos: £− −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 e s s y vemos que en la expresión £ ( ) ,− − +⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 1e s s s podemos restarle un término para que dé lo que buscamos. £− − − − + −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ =1 2 se e se s s s s £ £− − − − − +⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 1se e s e s s s s = − − − = − − = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ − − tU t U t t U t e s s ( ) ( ) ( ) ( ) £1 1 1 1 1 2 Similarmente trabajamos con los demás términos: 1 2 2 32 2 2 2 s se e se se e se ss s s s s s− − − − − − + − + − − + + −( ) ( ee e se se e ses s s s s s− − − − − − − + + + −⎡⎣ ⎤⎦ 3 3 4 4 4 4 3 4 4) Carmona-07A.indd 392Carmona-07A.indd 392 7/13/10 10:41:04 AM7/13/10 10:41:04 AM
  • EJERCICIOS 7.4 Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: Respuestas: 1. f t k U t U t( ) ( ) ( )= − − −[ ]3 2 k s e es s− − −( )3 2 2. f t kU t( ) ( )= +1 No tiene 3. f t U t U t( ) ( ) ( )= − − +5 1 6 − +−5 6 s e s s cuya transformada inversa es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t U t t U t t U t t U− − + − − + − − + −1 1 2 2 3 3 4 tt − 4) ¿Cuál será la gráfica de esta función? Procedemos por pasos: ( ) ( )t U t t t t − − = < − > ⎧ ⎨ ⎩ 1 1 0 1 1 1 para t t> → −1 1 ( ) ( )2 2 0 2 2 2 − − = < − > ⎧ ⎨ ⎩ t U t t t t para t > →2 t t − + − 1 2 1 ( ) ( )3 3 0 3 3 3 − − = < − > ⎧ ⎨ ⎩ t U t t t t para t > →3 1 3 4 + − − t t ( ) ( )4 4 0 4 4 4 − − = < − > ⎧ ⎨ ⎩ t U t t t t para t > →4 t t − + − 4 4 0 ∴ = − < < < < − f t t t t t ( ) 1 1 2 1 2 3 4 0 resto 3 4< < ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ t Traslación sobre el eje t 393 Figura 7-10. f(t) t 1 2 1 3 4 Carmona-07A.indd 393Carmona-07A.indd 393 7/13/10 10:41:07 AM7/13/10 10:41:07 AM
  • 394 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 4. f t t t ( ) = < ≤ > ⎧ ⎨ ⎩ 3 0 0 ␲ ␲ 3 1 s e s −( )−␲ 5. f t t t t t t ( ) , , = < < < > < < < < ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 1 2 3 4 1 1 2 2 3 4 1 2 22 3 4 s e e e es s s s− − − − − + −( ) Establecer las siguientes funciones en términos de la función escalón unitario y encontrar su transformada. 6. f t U F s s e s ( ) ( ) ( ) = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = −( )−( ) 3 2 3 2 2 3 2 1 2 ␲ ␲ 7. 1 1 2 s e es s − +( )− − 8. 1 2 22 3 4 s e e e es s s s− − − − − − +( ) Figura 7-11. y t 3_ 2 ␲_ 2 Figura 7-12. y t 1 2 1 Figura 7-13. y 1 2 t 1 2 3 4 −1 Carmona-07A.indd 394Carmona-07A.indd 394 7/13/10 10:41:09 AM7/13/10 10:41:09 AM
  • 9. 1 2 1 2 3 s e e es s s + + −( )− − − 10. 1 2 24 3 2 s e e e es s s s− − − − − + −( ) 11. Periódica con periodo 2 2 1 1s e s + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− Figura 7-14. Figura 7-15. Traslación sobre el eje t 395 y 1 2 t 1 2 3 2 1 −1 1 2 3 y t Figura 7-16. 1 2 3 t y 1 2 Carmona-07A.indd 395Carmona-07A.indd 395 7/13/10 10:41:11 AM7/13/10 10:41:11 AM
  • 396 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 12. Periódica con periodo 2a k s eas 1 1+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 13. Función escalonada 1 1 1s e s − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− 14. Función escalonada 1 1 1s es − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Figura 7-17. 2a 3aa k y t Figura 7-18. y 3 2 1 1 2 3 t Figura 7-19. y 3 2 1 4 321 t Carmona-07A.indd 396Carmona-07A.indd 396 7/13/10 10:41:12 AM7/13/10 10:41:12 AM
  • 15. 1 1 2 2 2 s e e s es s s− − − −( )− 16. 1 2 2 3 s e es s− − −( ) 17. 1 2 2 −( )− e s s 18. Resolver el ejercicio 17 usando el siguiente teorema: £ ( ) £ ( ) ( )− { }= { }−1 0f t s f t f′ 19. 1 1 1 22 2 s s e es s + − − −( )− − Figura 7-21. Traslación sobre el eje t 397 Figura 7-20. y 1 1 t 2 y 1 1 2 3 t Figura 7-22. y 1 1 2 3 t Figura 7-23. y 1 1 2 3 t Carmona-07A.indd 397Carmona-07A.indd 397 7/13/10 10:41:13 AM7/13/10 10:41:13 AM
  • 398 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 20. 1 3 22 2 3 s s e e es s s + − +( )− − − 21. 1 12 2 3 s e e es s s − − +( )− − − 22. Resolver el ejercicio 21 usando el teorema de la transformada de la derivada de una función. En los siguientes ejercicios, hallar f(t) dada F(s): a. En términos de la función escalón unitario. b. En la forma usual. Respuestas: 23. £− −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 e s s f t U t f t t t ( ) ( ) ( ) = − = < > ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 0 2 1 2 24. £− − − −⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 3 e e s s s f t U t U t f t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) , = − − − = < > < < ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎪ 2 3 0 2 3 1 2 3⎩⎩ ⎪ 25. £− − − − + +⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 3 2e e e s s s s f t t t t t ( ) , , = < < < < < > ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 0 1 1 1 2 2 2 3 4 3 Figura 7-24. y 2 1 1 2 3 t Figura 7-25. y 1 1 2 3 t Carmona-07A.indd 398Carmona-07A.indd 398 7/13/10 10:41:14 AM7/13/10 10:41:14 AM
  • 26. £− − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 2 e s s f t t U t f t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = < − > ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 2 0 2 2 2 27. £− − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 e s as f t t a t a t a ( ) = < − > ⎧ ⎨ ⎩ 0 28. £− − − − +⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 2 3e e s s s f t t t t t t ( ) ,= < − < < − > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 1 3 3 1 2 2 1 2 29. £− − − − − +( )⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 2 31 2 s e e es s s f t t t t t t t ( ) , = < > − < < − + < < ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 1 3 1 1 2 3 2 3 30. £− − − − − − + − + + − +( )⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 2 3 4 51 1 2 s s e e e e es s s s s f t t t t t t t t t ( ) ,= < < − + < < < < > − < < − + 1 0 1 2 1 2 0 2 3 5 3 3 4 5 4 << < ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ t 5 En los siguientes ejercicios usar el segundo teorema de traslación para encon- trar la transformada de las siguientes funciones: Respuestas: 31. f t t t t ( ) = < < > ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ sen 0 2 1 2 ␲ ␲ s e s s s + +( ) −␲ 2 2 1 32. f t t t t ( ) cos = < < > ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 0 2 0 2 ␲ ␲ 33. Comparar los resultados de los dos ejercicios anteriores y encontrar una relación entre ellos. Respuestas: 34. f t t t ( ) cos = < < ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ␲ ␲ 2 3 2 0 Resto − − + − − e e s s s␲ ␲2 3 2 2 1 Traslación sobre el eje t 399 Carmona-07A.indd 399Carmona-07A.indd 399 7/13/10 10:41:14 AM7/13/10 10:41:14 AM
  • 400 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 35. f t t t t ( ) = < < > ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 1 1 1 2 12 s e ses s − −( )− − 36. f t t t t t ( ) cos = < < > ⎧ ⎨ ⎩ 0 ␲ ␲sen s s e s s s 2 2 1 1 1+ + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −␲ 37. f t e U tt ( ) ( )= − 2 e s s− −( ) − 2 1 1 38. f t e U tt ( ) ( )= −−2 1 e s s− +( ) + 2 2 39. f t e U ts ( ) ( )= −3 2 e s s− −( ) − 2 3 3 40. f t tU t( ) ( )= −sen ␲ − + − e s s␲ 2 1 41. Hallar £− − + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 4 se s s␲ f t t t t ( ) cos , = < > ⎧ ⎨ ⎩ 0 2 ␲ ␲ 42. £− − + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 3 9 e s s␲ f t t t t ( ) , = < − > ⎧ ⎨ ⎩ 0 3 ␲ ␲sen 43. £− − + + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 2 2 2 e s s ␲ f t t t e tt ( ) , = < −( ) > ⎧ ⎨ ⎩ − 0 ␲ ␲␲ sen En los siguientes ejercicios elegir la opción correcta: 44. La transformada de f t t t t t( ) = − +( )∪ −( )− − +( )∪ −( )2 1 2 2 viene dada por: a. 1 2 12 2 s e ss− +⎡⎣ ⎤⎦( ) b. 1 2 12 s se e ss s− − − +⎡⎣ ⎤⎦( ) c. 1 2 2 s e s− ( ) d. 1 2 2 s se e es s s− − − − +( ) 45. La función f t t t t t ( ) , , = < < > ⎧ ⎨ ⎩⎪ 2 0 2 2 2 en términos de la función escalón uni- tario es: a. 2 2 22 t t t t−( )− ∪ −( ) b. t t t2 2 2− ∪ −( ) c. t t t t2 0 2 2∪ −( )− ∪ −( ) d. t t t t t2 2 0 2 2∪ −( )+ −( )∪ −( ) Carmona-07A.indd 400Carmona-07A.indd 400 7/13/10 10:41:16 AM7/13/10 10:41:16 AM
  • 46. La £ 1− 1 22 2 s e es s− − +( ){ }, está dada por: a. f t t t t t ( ) = − < < − > ⎧ ⎨ ⎩ 1 1 2 3 5 2 b. f t t t t( ) = −( )∪ −( )+ ∪ −( )1 1 2 2 c. f t t t t t ( ) = − < < − > ⎧ ⎨ ⎩ 1 1 2 2 4 2 d. f t t t t( ) = ∪ −( )+ ∪ −( )1 2 2 47. Elegir la gráfica que representa: £ 1− 4 3 2 3 s e s e s s s − + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ − − 48. La £ 1− − + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ e s s␲ 2 16 viene dada por: a. sen4 t t−( )∪ −( )␲ ␲ b. 1 4 4cos t t−( )∪ −( )␲ ␲ c. 1 4 4sen t t∪ −( )␲ d. cos4t t∪ −( )␲ Traslación sobre el eje t 401 Figura 7-26. 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 a. b. d.c. Carmona-07A.indd 401Carmona-07A.indd 401 7/13/10 10:41:18 AM7/13/10 10:41:18 AM
  • 402 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 49. La £ ( )f t{ } si f t t t t t ( ) cos ,= < < > ⎧ ⎨ ⎩ sen 0 ␲ ␲ está dada por: a. 1 12 + + − e s s␲ b. 1 12 − + − se s s␲ c. 1 1 12 + −( ) + − e s s s␲ d. e s s s− −( ) + ␲ 1 12 50. La £ 1− − + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ se s s␲ * 2 1 , está dada por: a. f t t t t ( ) = < > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 0 2 2sen ␲ ␲ b. f t t t t ( ) cos = < > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 0 2 2 ␲ ␲ c. f t t t( ) cos= ∪ −( )␲ 2 d. f t t t( ) = ∪ −( )sen ␲ 2 Respuestas: 44. d. La opción a es incorrecta pues solamente £ ( ) .t t∪ −{ }2 La opción b da £ ( ) ( ) .− + ∪ −{ }t t2 1 La opción c es £ ( ) ( ) .− − + ∪ −{ }t t2 2 45. d. La opción a está incompleta; le falta añadir t2 . La opción b está in- completa, le falta + ∪ −2 2t t( ). La opción c no corta a la función t2 en t = 2 . 46. a. La opción b debería ser ( ) ( ) ( ) ( ).t t t t− ∪ − + − ∪ −1 1 2 2 2 La opción c se le olvidó sumar ( ) ( ).t t− + −1 2 4 La opción d está incompleta. 47. b. 48. c. Las demás opciones no usan correctamente las identidades: cos( )A B± y sen(A B± ) . A la opción a le falta el cociente 1 4 . 49. c. La opción a es £ ( ) ( )sen sent t t+ − ∪ −{ }␲ ␲ solamente. La opción b es £ cos( ) ( )sent t t− − ∪ −{ }␲ ␲ solamente. La opción d es £ sen{ ( ) ( ) cos( ) ( )t t t t− ∪ − − − ∪ − }␲ ␲ ␲ ␲ solamente. 50. a y d porque £ sen1− se s t t t s− + = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∪ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ␲ ␲ ␲* cos2 1 2 2 ∪∪ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟t ␲ 2 = < > ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 0 2 2sen t t t ␲ ␲, Carmona-07A.indd 402Carmona-07A.indd 402 7/13/10 10:41:20 AM7/13/10 10:41:20 AM
  • Funciones periódicas Definición 7.7 Sea f(t) definida para toda t > 0 y p > 0 , f es periódica con periodo p. ↔ + =f t p f t( ) ( ) EJEMPLO 1 Sea y x= sen y x x x x= +( )= + =sen sen sen sen2 2 2␲ ␲ ␲cos cos es periódica con periodo 2␲. EJEMPLO 2 Sea y t t t ( ) = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 1 0 1 2 con periodo 2, y t t t ( )+ = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 3 0 4 2 4 ∴ = +y t y t( ) ( ).2 Teorema 9 Sea f seccionalmente continua y sea f función periódica con periodo p. → { }= − − − ∫£ ( ) ( )f t e e f t dtsp st p 1 1 0 Demostración: Por definición de transformada de Laplace: £ ( ) ( )f t e f t dtst { }= − ∫0 ϱ Esta integral puede escribirse como la suma de integrales sobre periodos su- cesivos: £ ( ) ( ) ( ) (f t e f t dt e f t dt e f tst st p st { }= = +− − − ∫ ∫0 0 ϱ )) ...dt p p2 ∫ + Nos interesa tener los mismos límites en las integrales, para ello se hace la si- guiente transformación: 1a. Integral t = ␶, dt d= ␶ t t p p = = = = ⎧ ⎨ ⎩ 0 0, , ␶ ␶ Funciones periódicas 403 Carmona-07B.indd 403Carmona-07B.indd 403 7/13/10 11:28:46 AM7/13/10 11:28:46 AM
  • 404 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 2a. Integral t p= +␶ , dt d= ␶ t t p p = = = = ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 2 , , ␶ ␶ 3a. Integral t p= +␶ 2 , dt d= ␶ t t p p = = = = ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 3 , , ␶ ␶ etcétera. £ ( ) ( ) ( )f t e f d e f p ds p s p p { }= + + +− − +( ) ∫ ∫ ␶ ␶ ␶ ␶ ␶ ␶ 0 0 e f p ds p p − +( ) + +∫ ␶ ␶ ␶2 0 2( ) ... Como f es periódica, con periodo p, entonces, f p f( ) ( )␶ ␶+ = y: £ ( ) ( ) ( )f t e f d e e f d es p s sp p s { }= + +− − − − ∫ ∫ ␶ ␶ ␶ ␶ ␶ ␶ 0 0 ␶␶ ␶ ␶e f dsp p − ∫ +2 0 ( ) ... = + + ( ) + ( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ − − − − e f d e e es sp sp sp␶ ␶ ␶( ) ...1 2 3 Serrie geométrica con razón e sp− 00 p ∫ Para s > 0 y p e sp > → <− 0 1 y la serie geométrica converge a 1 1− − e sp ∴ { }= − − − ∫£ ( ) ( )f t e e f t dtsp st p 1 1 0 EJEMPLO 3 Sea la función y t t t ( ) = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 1 0 1 2 con periodo 2 Hallar su transformada de Laplace. £ ( ) ( )y t e e y t dt e e dts st s st { }= − = −− − − − ∫ 1 1 1 1 22 0 2 2 ++ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥∫∫ 0 1 2 0 1 dt = − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − − + ⎛ ⎝⎜− − − −1 1 2 1 1 2 2 2 0 1 2 e s e e s e ss st s s ⎞⎞ ⎠⎟ = − −( )⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −( ) +( ) − − − − − 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 e e s e e e s s s s −− ( )⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ s s = +( )− 2 1s e s que concuerda con la solución del ejercicio 11 de la sección 7.4. Carmona-07B.indd 404Carmona-07B.indd 404 7/13/10 11:28:47 AM7/13/10 11:28:47 AM
  • Convolución Teorema 10 Convolución. Si f(t) y g(t) son seccionalmente continuas para t ≥ 0 , de orden exponencial y £ ( ) ( ), £ ( ) ( ).f t F s g t G s{ }= { }= Entonces, £ ( ) ( ) £ ( ) £ ( ) (f g t d f t g t F s t ␶ ␶ ␶− ⎧ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ = { } { }=∫0 )) ( ).G s EJEMPLO 4 Encontrar la transformada de la siguiente función periódica: 1 1 0 − − − ∫e e tdts st ␲ ␲ sen e tdt e s st s − − ∫ = + + sen 0 2 1 1 ␲ ␲ → − +( ) +− − 1 1 1 12 e e ss s ␲ ␲ ,ؒ multiplicando por e e e s s s ␲ ␲ + − + 1 1 1 12 ؒ Veamos esta expresión: e e e e s s s s ␲ ␲ ␲ ␲ + − = +( ) −( ) 1 1 1 1 2 2 = + + − + = + + − + − − e e e e e e e e s s s s s s s 2 2 2 1 2 1 2 2 ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ ␲ss s s s s e e e e = + + + − − − ␲ ␲ ␲ ␲ 2 1 2 1 = + − = cosh cosh coth ␲ ␲ ␲s s s 1 1 2 por identidades hiperbólicas del ángulo mitad. ∴ { }= ( ) + £ ( ) coth .f t s s ␲ 2 12 Convolución 405 Figura 7-27. f(t) 1 ␲ 2␲ t p = ␲ Carmona-07B.indd 405Carmona-07B.indd 405 7/13/10 11:28:49 AM7/13/10 11:28:49 AM
  • 406 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Demostración: Sean F s f t e f ds ( ) £ ( ) ( )= { }= − ∫ ␶ ␶ ␶ 0 ϱ G s g t e g ds ( ) £ ( ) ( )= { }= − ∫ ␥ ␥ ␥ 0 ϱ F s G s e f d e g ds s ( ) ( ) ( ) ( )= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ − − ∫ ∫ ␶ ␥ ␶ ␶ ␥ ␥ 0 0 ϱ ϱ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − +( ) ∫∫ e f g d ds ␶ ␥ ␶ ␥ ␶ ␥( ) ( ) 00 ϱϱ = ∫ ∫ − +( ) f d e g ds ( ) ( )␶ ␶ ␥ ␥␶ ␥ 0 0 ϱ ϱ Tomando ␶ fija → sea t = +␶ ␥ → =dt d␥ Sustituyendo: F s G s f d e g t dtst ( ) ( ) ( ) ( )= −∫ ∫ − ␶ ␶ ␶ ␶0 ϱ ϱ La región de integración se muestra en la figura 7.28, en el plano t␶, y se puede intercambiar el orden de integración porque f y g son seccionalmente continuas y de orden exponencial. Entonces, F s G s e dt f g t dst t ( ) ( ) ( ) ( )= −− ∫ ∫0 0 ϱ ␶ ␶ ␶ = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − ∫∫e f g t d dtst t ( ) ( )␶ ␶ ␶ 00 ϱ Figura 7-28. τ τ = t t: τ ␣ ϱ t:0at Carmona-07B.indd 406Carmona-07B.indd 406 7/13/10 11:28:50 AM7/13/10 11:28:50 AM
  • = − ⎧ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ∫£ ( ) ( )f g t d t ␶ ␶ ␶ 0 Notación: f g f g t d F s G s t ∗ = − = { }∫ ( ) ( ) ( ) ( )␶ ␶ ␶ 0 £ 1− EJEMPLO 1 Usar el teorema de convolución para encontrar: £ 1− 1 12 2 s s +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ Sabemos que £ 1− 1 12 2 s s t +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = y £ 1− 1 1 2 s te t +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = − → £ 1− 1 12 2 0s s e t d t +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = −− ∫␶ ␶ ␶␶ ( ) = −− ∫e t d t ␶ ␶ ␶ ␶( ) 0 2 = − − + + + + −− − − − t e te t t e te et t t t t2 2 2 2 2 2 = + + −− − te e tt t 2 2. Comprobación: £ te e tt t− − + + −{ }=2 2 = +( ) + + + − = +( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 s s s s s s . EJEMPLO 2 Evaluar £ cose t d t ␶ ␶ ␶−( ) ⎧ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ∫0 tomamos f t et ( ) = y g t t( ) cos= £ cos £ £ cose t d e t t t␶ ␶ ␶−( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = { } { }∫0 ؒ = − + 1 1 12 s s s ؒ = −( ) +( ) s s s1 12 . Convolución 407 Carmona-07B.indd 407Carmona-07B.indd 407 7/13/10 11:28:51 AM7/13/10 11:28:51 AM
  • 408 Capítulo 7 Transformadas de Laplace EJEMPLO 3 Hallar: £ 1− s s a2 2 2 +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ Sean F s s s a ( ) = +2 2 y G s s a ( ) ,= + 1 2 2 entonces, £ 1− F at{ }= cos y £ sen1− G a at{ }= 1 → +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = −( )£ sen1− s s a a a a t2 2 2 1 cos ␶ ␶ؒ dd t ␶ 0 ∫ = −( )∫ 1 0 a a at a at a d t cos cos cos␶ ␶ ␶ ␶sen sen = ∫ 1 2 0 a at a d t sen cos ␶ ␶ − ∫ 1 2 20 a at a d t cos sen ␶ ␶ = +( )∫ 1 1 2 1 2 0 a at a d t sen cos ␶ ␶ − ∫ 1 2 20 a at a d t cos sen ␶ ␶ = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 2 4a at t at a sen sen − −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 1 2 4a at at a cos cos = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 2a at t at at a sen sen cos − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 2 a at at a cos sen = t at a sen 2 . Carmona-07B.indd 408Carmona-07B.indd 408 7/13/10 11:28:52 AM7/13/10 11:28:52 AM
  • EJERCICIOS 7.5 Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones, cuyo periodo se indica: 1. 1 1 1 1 2s e e s ss s − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = tanh 2. 1 1s e s +( )− Periodo 2 y 1 1 2 3 t Figura 7-30. 3. 1 1 2 s e s e s s − −( ) − − Periodo 2 Figura 7-29. y 1 1 2 3 t 4 −1 y 1 1 2 3 t Periodo 1 Figura 7-31. Convolución 409 Carmona-07B.indd 409Carmona-07B.indd 409 7/13/10 11:28:54 AM7/13/10 11:28:54 AM
  • 410 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Respuestas: 4. f t t t ( ) = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 1 1 2t e s e s s e s s s − − − +( )− +( ) −( ) 1 2 1 1 2 2 2 Periodo 2 5. f t t t t ( ) = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 2 4 2 4 2 1 2 1 2 4 2 4 − −( ) −( ) − − − e se s e s s s Periodo 4 6. f t t t t ( ) = < < − < < ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 2 2 42 e s e s s e s s s − − − +( )+ − −( ) −( ) 4 2 2 4 8 2 4 2 1 Periodo 4 7. f t t( ) ,= 2 0 2< <t 2 1 1 2 2 1 2 2 3 2 − + +( ) −( ) − − e s s s e s s ( ) Periodo 2 8. f t t t t ( ) = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 0 1 0 1 2 1 1 12 2 − +( ) −( ) − − e s s e s s 9. 1 22 s s tanh 10. f t t t t ( ) = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ sen 0 0 2 ␲ ␲ ␲ 1 1 12 s e s +( ) −( )−␲ Periodo 2␲ y 1 1 2 3 t Periodo 2 Figura 7-32. Carmona-07B.indd 410Carmona-07B.indd 410 7/13/10 11:28:54 AM7/13/10 11:28:54 AM
  • En los siguientes ejercicios usar el teorema de convolución para hallar £ 1− F s( ) .{ } 11. £ 1− 1 1 2s s−( ) −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ e et t2 − 12. £ 1− 1 3 1s s+( ) −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 4 3 e et t −( )− 13. £ 1− 1 2 1s s+( ) +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ e et t− − − 2 14. £ 1− 1 1s s −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ et −1 15. £ 1− 1 12 s s +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1− cost 16. £ 1− s s s2 1 1+( ) −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 2 e t tt + −( )sen cos 17. £ 1− 1 1 92 2 s s+( ) +( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 24 3 3sen sent t−( ) 18. £ 1− s s 2 2 2 4+( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 2 2 1 4 2t t tcos + sen 19. £ 1− s s2 2 4+( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 4 2t tsen 20. £ 1− s s2 3 4+( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 64 2 2 2t t t tsen −( )cos 21. £ 1− 1 2 2 2 s w+( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 1 2 3 w wt wt wtsen −( )cos En los siguientes ejercicios elegir la opción correcta: 22. La transformada de la función periódica. f t t t t ( ) = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 0 3 3 3 6 Periodo 6 Convolución 411 Carmona-07B.indd 411Carmona-07B.indd 411 7/13/10 11:28:56 AM7/13/10 11:28:56 AM
  • 412 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Está dada por: a. s se e s e s s s − − −( ) − − − 3 1 6 3 6 b. e s s e s e s s s − − + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − −( ) 6 2 3 6 3 1 1 1 c. 6 1 3 1 3 3 6 2 6 se e e s e s s s s − − − + − + − −( ) d. 1 3 1 6 3 2 6 − − −( ) − − − se e s e s s s 23. Dada f t t t t ( ) cos = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ /2 /2 0 0 ␲ ␲ ␲ Periodo ␲ Su transformada viene dada por: a. s e s e s s + −( ) − − ␲ ␲ 2 2 1 b. e s e s s − − +( ) −( ) ␲ ␲ 2 2 1 1 c. s e e s s s + −( ) +( ) − − ␲ ␲ 2 2 1 1 d. e s e s s − − −( ) ␲ ␲ 2 2 1 24. Usando el teorema de convolución elegir la opción que contiene £ * cose e tt t− { } a. 2 1 5 1 1 2 s s − −( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ b. s s s s − − +( ) +( ) 1 2 2 12 c. 2 2 4 6 5 1 1 1 3 2 2 s s s s s − + − −( ) +⎡ ⎣ ⎤ ⎦ +( ) d. − + − − +( ) +( ) 2 5 3 5 2 2 1 2 2 s s s s s Carmona-07B.indd 412Carmona-07B.indd 412 7/13/10 11:28:57 AM7/13/10 11:28:57 AM
  • 25. Usar el teorema de convolución para encontrar £ 1− 1 12 s s −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪a. 1− cosht b. cost −1 c. cosht −1 d. 1− cost 26. Elegir la opción que contiene un paso intermedio de la evaluación de £ 1− 1 12 2 s s −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ usando el teorema de convolución. a. 1 2 1 2 00 − − −( ) − ∫∫cost t d td tt sen sen␶ ␶ ␶ b. cost t d td tt − − −( ) − ∫∫1 2 1 2 00 sen sen␶ ␶ ␶ c. 1 2 1 2 00 − + −( ) − ∫∫cost t d td tt sen sen␶ ␶ ␶ d. cost t d td tt − + −( ) − ∫∫1 2 1 2 00 sen sen␶ ␶ ␶ Respuestas: 22. d. La opción a tiene errores algebraicos. Las opciones b y c además tienen un error de concepto, el divisor de las funciones periódicas es 1−( )− e sp , donde p es el periodo. 23. c. La opción a se olvidó de dividir el resultado entre 1 1 2 + s que es factor de la integral coste dtst− ∫0 2 ␲ . A la opción b le falta un término. La op- ción d contiene los dos errores anteriores. 24. b. La opción a está incompleta, le falta £ −{ }− 2e t . La opción c no con- tiene £ e tt sen{ }. A la opción d le falta £ cos2e tt { } 25. c. La opción a considera el resultado de la integral como cosh t t −( )␶ 0 . Las opciones b y d suponen que £ 1− 1 12 s − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ es sent , lo cual es falso. 26. a. La opción b supone que el resultado de sen t d t −( )∫ ␶ ␶ 0 es − −( )cos t t ␶ 0 y debe ser cos t t −( )␶ 0 . La opción c, así como la d, jamás darán el resultado correcto que es: f t t t t( ) cos .= − −1 1 2 sen Convolución 413 Carmona-07B.indd 413Carmona-07B.indd 413 7/13/10 11:28:58 AM7/13/10 11:28:58 AM
  • 414 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Aplicaciones de la transformada de Laplace Circuitos eléctricos EJEMPLO 1 Encontrar Ic del siguiente circuito: Figura 7-33. si su equivalente en transformada de Laplace es: 10 12 s s + (Sugerencia: utilizar el método de mallas.) SOLUCIÓN: 4 31 5 2 0Ic Is c Ic−( )+ + = 4 10 1 31 5 2 02 Ic s s c Ic− + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + = 4 40 1 31 2 0 2 2 sIc s s c sIc− + + + = Figura 7-34. 10 cost 4 ⍀ → Ic 1/3 f 2 ⍀ → Ic → Is 2 ⍀4 3_ s ⍀ 10 s s2 + 1 Carmona-07B.indd 414Carmona-07B.indd 414 7/13/10 11:29:00 AM7/13/10 11:29:00 AM
  • Ic s s s 6 3 40 1 2 2 +( )= + Ic s s s = +( ) +( ) 40 6 3 1 2 2 40 6 3 1 6 3 1 2 2 2 s s s A s Bs C s+( ) +( ) = +( ) + + +( ) 40 6 6 3 32 2 2 s As A Bs Cs Bs C= + + + + + 40 6 0 6 3 0 3 8 16 3 8 3 = + = + = + ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = = = − A B C B A C A B C, , . Ic s s s s = +( ) + + − ⋅ + 8 3 2 1 16 3 1 8 3 1 12 2 ؒ ∴ = + − − Ic e t t t4 3 16 3 8 3 2 cos .sen EJEMPLO 2 Encontrar IL del siguiente circuito: i L( ) −( )=0 10 A si su equivalente en transformada de Laplace es: Figura 7-35. Figura 7-36. Aplicaciones de la transformada de Laplace 415 9 ⍀ 2 ⍀ 3 H 2 H110 V IL 2 ⍀ I1 1 + ± I2 I1 = IL Carmona-07B.indd 415Carmona-07B.indd 415 7/13/10 11:29:01 AM7/13/10 11:29:01 AM
  • 416 Capítulo 7 Transformadas de Laplace SOLUCIÓN: ECUACIÓN 1: − + + −( )− =22 3 2 33 01 1 2 sI s I I I s s I s1 2 3 2 2 55+( )− ( )= I s I s1 2 5 2 55( )+ −( )= ECUACIÓN 2: 2 33 2 02 2 1 I s I I+ + −( )= 2 33 2 2 02 2 1 I sI sI+ + − = I s I s1 2 2 2 2 33−( )+ +( )= − Resolviendo I1 por determinantes: I s s s s s s s s s1 55 2 33 2 2 5 2 2 2 2 110 110 66 10 = − − + − − + = + − 22 2 2 10 4 22 55 3 5+ − = + +s s s s s Pero 22 55 5 3 5 3 5 s s A s B s + +( ) = + + 22 55 3 5s As A Bs+ = + + 55 5= A → =A 11 22 3= +A B → = −B 11 I I s s s s L1 11 11 3 5 11 11 3 5 3 = = − + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = − + ⎧ ⎨ ⎪ £ £1 1− − ⎩⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ I t e AL t = − − 11 11 3 5 3 . EJEMPLO 3 Sabiendo que el eje de una viga tiene una deflexión transversal y(x) en el punto x, cuya ecuación es: d y dx W x EI 4 4 = ( ) , 0 < <x l Carmona-07B.indd 416Carmona-07B.indd 416 7/13/10 11:29:02 AM7/13/10 11:29:02 AM
  • donde EI es la constante: rigidez de la flexión, W(x) es la carga vertical por unidad de longitud l y actúa transversalmente sobre la viga. Encontrar la deflexión en cualquier punto de una viga fija en sus extremos x = 0 y x = l, que soporta una carga uniforme W por unidad de longitud. La ecuación es: d y dx w EI 4 4 = , 0 < <x l con condiciones iniciales y y y l( ) ( ) ( )0 0 0= = =″ , y l″( ) = 0 (de viga articu- lada), aplicando transformada s y s s y s y sy y w EIs 4 3 2 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − =′ ″ ″′ Sean y C′( ) ,0 1= y C′″( )0 2= → − − =s y s C s C w EIs 4 1 2 2( ) s y s w EIs C s C4 1 2 2 ( ) = + + y s w EIs C s s C s ( ) = + +1 2 4 2 4 £ ( )y s w EIs t C t C t{ }= + + 1 24 1 6 4 1 2 3 Como y w EIs t C t C t= + + 24 6 4 1 2 3 , entonces, y w EIs t C C t′ = + + 6 2 3 1 2 2 , aplicando: y l y l( ) ( )= =″ 0 y w EIs t C t″ = + 2 2 2 0 24 6 0 24 4 1 2 3 2 2 = + + = + ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ w EI l C l C l w EI l C l C C l w EI l1 = − −2 2 3 6 24 C l wl EI wl EI wl EI wl EI wl 1 = − − − = − = 2 3 3 3 3 6 2 24 12 24 ( ) 224EI ∴ la deflexión buscada es: y t w EI t wl EI t wl EI t( ) = + − 24 24 24 4 3 3 = + −( ) + −( )w EI t l t lt w EI t t l lt 24 2 24 24 3 3 3 2 = 3 Aplicaciones de la transformada de Laplace 417 C2 l wl EI = − 2 2 C l wl EI 2 = − 2 C1 l C l w EI l= − −2 3 4 6 2 Carmona-07B.indd 417Carmona-07B.indd 417 7/13/10 11:29:03 AM7/13/10 11:29:03 AM
  • 418 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Resumen Definiciones Transformada de Laplace Para t f t e f t dt F sst ≥ { }= =− ∫0 0 : £ ( ) ( ) ( ). ϱ Transformada inversa Si £ ( ) ( )f t F s{ }= → = { }f t F s( ) £ ( )−1 es la transformada inversa. Función seccionalmente continua en t [a, b] Si a. está definida en todo punto del intervalo. b. Si es posible dividir el intervalo [a, b] en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales la función es continua y existe el límite de la función desde el interior del subintervalo a cualquiera de los extremos del mismo. Función de orden exponencial ␣ f(t) es de orden exponencial ↔ existen M, α ∈ R tales que: f t Me t ( ) ≤ ␣ . Función escalón unitario U t a t a t a a ( ) , − = < > ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 1 0 Transformada de la función escalón unitario £ ( ) .U t a s e as −{ } = −1 Función periódica f es periódica con periodo p f t p f t↔ + =( ) ( ) t > 0 y p > 0 Teoremas Primer teorema de traslación Si £ ( ) ( )f t F s{ }= → { }= − ∈£ ( ) ( ),e f t F s a a Rat Existencia de la transformada Sea f(t) de orden exponencial, t > 0. Sea f(t) seccionalmente continua en t ≥ 0. → { }£ ( )f t existe para s > ␣ Transformada de la derivada de una función Si £ ( ) ( ) £ ( ) £ ( ) ( )f t F s f t s f t f{ }= → { }= { }−′ 0 . Transformada de la integral de una función £ ( ) £ ( ) ( )f d s f t s F s t ␶ ␶ 0 1 1 ∫{ }= { }= . Derivada de la transformada Si £ ( ) ( )f t F s{ }= → { }= −£ ( ) '( )tf t F s Carmona-07B.indd 418Carmona-07B.indd 418 7/13/10 11:29:05 AM7/13/10 11:29:05 AM
  • Generalizando £ ( ) ( )−( ){ }= ( ) t f t F s n n Integral de la transformada £ ( ) ( ) f t t F d s ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = ∫ ␴ ␴ ϱ Segundo teorema de traslación Si £ ( ) ( )f t F s{ }= → = − −{ }− e F s f t a U t aas ( ) £ ( ) ( ) Transformada de una función periódica con periodo p £ ( ) ( )f t e e F t dtsp st o p { }= − − − ∫ 1 1 Teorema de convolución Si £ ( ) ( )f t F s{ }= y £ ( ) ( )g t G s{ }= ,entonces, £ ( ) ( ) £ £ ( ) ( ).f g t d f g F s G s t ␶ ␶ ␶−{ }= { } { }=∫0 Método para encontrar transformadas inversas cuando en el denominador hay: 1. Factores lineales Sea G s s a s b s c F s ( ) ( ) −( ) +( ) −( ) = → { }= + +− £ ( )−1 F s Ae Be Ceat bt ct Donde A G a H a = ( ) ( ) , ′ B G b H b = − − ( ) ( ) , ′ C G c H C = ( ) ( ) , ′ 2. Factores lineales repetidos Sea F s G s H s G s s a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − 5 , Q s G s H s s a( ) ( ) ( ) ( )= − 5 → { } = + + + + ⎛ ⎝ £ ( ) ! ! ! −1 5 4 4 3 3 2 2 1 4 3 2 F s e A t A t A t A t Aat ⎜⎜ ⎞ ⎠⎟ Donde A Q a 5 0 = ( ) ! , A Q a 4 1 = ′( ) ! , A Q a 3 2 = ″( ) ! , A Q a 2 3 = ″′( ) ! , A Q a 1 4 = IV ( ) ! 3. Factores complejos Para cada a i= +␣ ␤ : Q s G s s i ( ) ( ) = − +␣ ␤ → ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = −£ ( ) ( ) ( cos )−1 1 22 G s H s e Q t Q tt␣ ␤ ␤sen 4. Factores complejos repetidos Para el caso m = 2. y t e Q Q t Q Q tt ( ) cos= +( ) − +( )⎡⎣ ⎤⎦2 11 21 11 21 ␣ ␤ ␤sen donde Q s( ) produce Q21 y Q22 y Q s′( ) produce Q11 y Q12 Resumen 419 Carmona-07B.indd 419Carmona-07B.indd 419 7/13/10 11:29:06 AM7/13/10 11:29:06 AM
  • 420 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Tabla de transformadas de Laplace F(t) £{f(t)} = F(s) 1. 1 1 s 2. t 1 2 s 3. t n t n n n , , , , ... , = > 1 2 3 0 n sn ! +1 4. eat ⌫( )n sn+1 5. sen ␻t ␻ ␻s2 2 + 6. cos ␻t s s2 2 + ␻ 7. senh at 8. cosh at a s a2 2 − 9. t e nn at , , , , ...= 1 2 3 n s a n ! −( ) +1 10. eat sen ␻t 11. eat cos ␻t ␻ ␻s a−( ) + 2 2 12. t sen ␻t s a s a − −( ) + 2 2 ␻ 13. t cos ␻t 14. sen ␻ ␻ ␻t t t− cos 2 2 2 2 ␻ ␻ s s +( ) 15. sen ␻ ␻ ␻t t t+ cos 16. sen senhat at s s 2 2 2 2 2 − +( ) ␻ ␻ 17. e f tat ( ) 2 3 2 2 2 ␻ ␻ s s +( ) 18. −( ) =t f t nn ( ), , , , ...1 2 3 Carmona-07B.indd 420Carmona-07B.indd 420 7/13/10 11:29:08 AM7/13/10 11:29:08 AM
  • 19. f t nn( ) =( ), , , , ...1 2 3 2 2 2 2 2 ␻ ␻ s s +( ) 20. f d t ( )␶ ␶ 0∫ 2 4 2 4 4 a s s a+ 21. f t a U t a a( ) ( ),− − > 0 F s a( )− 22. f g t d t ( ) ( )␶ ␶ ␶−∫0 s F s s f f n n n( ) −( ) −( ) − − −( ) ( ) ... ( ) 1 1 0 0 F s s ( ) e F sas− ( ) F s G s( ) ( ) Autoevaluación 7 1. Usar la definición para encontrar la transformada de Laplace de: f t t t t t ( ) = ≤ < − ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 0 1 4 3 1 2. Escoger la opción que contiene a £ e t− { }5 a. 1 5 2 s +( ) b. 1 5s +( ) c. 1 5s − d. 1 5 2 s −( ) 3. Escoger la opción que contiene a £ te t− { }5 a. 1 5 2 s +( ) b. 1 5s +( ) c. 1 5s − d. 1 5 2 s −( ) Autoevaluación 421 Carmona-07B.indd 421Carmona-07B.indd 421 7/13/10 11:29:10 AM7/13/10 11:29:10 AM
  • 422 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 4. Hallar £ cos 1 4 t{ } 5. Elegir la opción que contiene a £ te t− { }5 a. 12 362 s s + b. s s2 2 36+( ) c. 12 362 s + d. 12 362 2 s s +( ) 6. Resolver £ cose tt− { }2 7. Hallar £ ( )sent U t − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ ␲ 2 8. Elegir la opción que contiene a £−1 1 9 1s − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ a. 1 9 9 et b. et 9 c. 9 9 e t d. 9 9 e t− 9. Hallar £−1 5 48 s ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 10. Elegir la opción que contiene £−1 2 4 4s − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ a. 2 2sen t b. 4 2sen t c. 2 2senh t d. 2 2cosh t 11. Hallar £−1 3 1 3s −( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 12. Elegir la opción que contiene a: £−1 2 2 10 s s s− + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 13. Resolver por transformada de Laplace: 2 0y y y″ ′+ − = , y( )0 1= , y′( )0 4= 14. Elegir la opción que contiene la Y s( ) y la solución de la siguiente ecuación dife- rencial: y y y″′ ′− + =3 2 0, y( )0 1= , y′( )0 0= , y″( )0 0= a. Y s s s s ( ) = + + +( ) 2 2 4 3 2 y te t = − −2 b. Y s s s s ( ) = − +( ) −( ) 2 3 2 1 y e et t = − −−1 3 2 3 2 Carmona-07B.indd 422Carmona-07B.indd 422 7/13/10 11:29:12 AM7/13/10 11:29:12 AM
  • c. Y s s s s ( ) = − −( ) +( ) 2 2 3 1 2 y e t et t = − − − ( ) 8 9 2 3 1 9 2 d. Y s s s s ( ) = − − + 3 3 3 2 2 2 y e et t = + − 2 2 15. Resolver y y y y″′ ″ ′− + − = 0 , y( )0 1= , y y′ ″( ) ( )0 0 0= = 16. Elegir la opción que contenga un paso intermedio en el proceso de obtener la trans- formada de la función periódica: f t t t t( ) = < < − ≤ ≤ 0 0 1 1 1 2 1 2 3< < ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ t Periodo 3 a. 1 1 0− − − ∫e e f t dts st ( ) ϱ b. t e dt f t dtst −( ) +− ∫ ∫1 1 2 2 3 ( ) c. 1 0s e f t dtst− ∫ ( ) ϱ d. 1 1 13 2 3 1 2 − − +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥− − − ∫∫e t e dt e dts st st ( ) 17. Hallar f t e t d t ( ) cos= −( )− ∫ 2 0 ␶ ␶ ␶ 18. Usar el teorema de convolución para hallar: £−1 2 1 s s a−( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ Respuestas de la autoevaluación 7 1. 1 1 42 s e s ( )− − 2. b. La opción a es £ te t− { }5 La opción c es £ e t5 { } La opción d es la £ te t5 { } 3. a. (vea el ejercicio 2). 4. 16 16 12 s s + 5. d. El resto de las opciones están completas. 6. s s + + + 1 1 42 ( ) 7. se s s− + ␲ 2 2 1 8. a. 9. 2 4 t Respuestas de la autoevalución 423 Carmona-07B.indd 423Carmona-07B.indd 423 7/13/10 11:29:14 AM7/13/10 11:29:14 AM
  • 424 Capítulo 7 Transformadas de Laplace 10. c. La opción a es £−1 2 4 4s + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ La opción b es £−1 2 8 4s + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ La opción d es £−1 2 2 4 s s − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 11. 1 2 2 3 t e t 12. a. El resto de las opciones están incompletas. 13. Y s s s s ( ) ( )( ) ,= + + − 2 9 2 1 1 2 y e et t = − −10 3 7 3 2 14. c. La opción toma Q s′( ) en vez de Y s( ) La opción b considera la H(s) como ( )( )s s+ −2 1 , en vez de ( )( )s s+ −2 1 2 La opción d toma como G(s) a H s′( ) 15. y e t tt = + − 1 2 ( cos )sen 16. d. Para las demás opciones conviene recordar que si f(t) es periódica con periodo 3. 17. 1 12 a e atat ( )− − . Pierre Simon, marqués de Laplace En 1749 nació en el pueblito de Beaumont, en Auge, el hombre que algunos apodarían más tarde el “Newton francés”. Sus habilidades matemáticas destacaron tanto en la es- cuela, que sus familiares y vecinos juntaron dinero para que estudiara en la ciudad de Caen. A los 18 años era maestro de matemáticas. Durante su vida tuvo dos temas predi- lectos: la astronomía y las probabilidades, y habría de hacerse famoso en ambas áreas del conocimiento. En astronomía publicó una obra monumental en cinco volúmenes titulada: Tratado de mecánica celeste, en la cual demostró que un sistema planetario puede ser estable dentro las reglas de la mecánica newtoniana. El mismo Newton consideraba que para conser- var su estabilidad, el sistema solar requería de la mano de Dios. En cuanto a la dificultad de los cálculos efectuados en este tratado, se relata el comentario que N. Bowditch tra- dujo al inglés con el siguiente comentario: “Nunca encuentro escrita la expresión: ‘es evidente que…’ sin sentirme seguro de que tengo varias horas de trabajo arduo por de- lante antes de cerciorarme del porqué es tan evidente”. En probabilidad, Laplace publicó un enorme volumen llamado Teoría analítica de las probabilidades, en el que afirmó que con el puro sentido común se puede entender todo lo relacionado con la probabilidad. La lectura del libro da, sin embargo, la impre- sión de que intenta demostrar lo contrario. En sus obras tenía la desagradable costumbre de no mencionar los resultados que no le pertenecen. Hablamos, por ejemplo, de la ecuación de Laplace, sin que sea descu- brimiento suyo. Se debe destacar en cambio, que utilizó y aplicó las transformaciones que llevan su nombre mejor que nadie antes de él. Por otra parte, la teoría de probabilidad Pierre Simon, marqués de Laplace (1749-1827) Carmona-07B.indd 424Carmona-07B.indd 424 7/13/10 11:29:15 AM7/13/10 11:29:15 AM
  • le debe a él más, sin lugar a dudas, que a cualquier otro científico. Trabajó bastante las ecuaciones diferenciales, y es así como tenemos una ecuación de Laplace y el método de la transformada para resolver una o un sistema de éstas. Su adaptación a los cambios de sistemas políticos es solamente comparable con la del camaleón respecto a los colores. Si Laplace fue capaz de sobrevivir a una buena cantidad de regímenes, se debe a la facilidad con la cual cambió de una edición a otra, una dedicatoria hecha a Napoleón por otra donde demostró que este último no podía, probabilísticamente, durar mucho. Anécdota Cierto día, Laplace presentó a Napoleón una edición de su Sistême du Monde. El empe- rador había oído comentar que la palabra “Dios” no estaba en el libro y como le gustaba hacer preguntas desconcertantes, lo recibió así: “Señor Laplace, me dicen que ha escrito usted este extenso volumen sobre el sistema del Universo sin siquiera mencionar a su Creador.” Laplace era el más intransigente en lo referente a filosofía o a religión, por lo que respondió brusca y vehementemente: “No necesité esa hipótesis.” La respuesta di- virtió mucho a Napoleón y la relató a Lagrange. Éste exclamó a su vez: “¡Es una bella hipótesis! Explica muchísimas cosas.” Los números me ponen malo. SHAKESPEARE (HAMLET). Problema —¿Cuántos hijos tienes y de qué edad? —pregunta Sabimuto a su amigo Kilosay. —Tengo tres hijas. El producto de sus edades es 36 y su suma es el número de esa casa. —¿Y qué más? —dice Sabimuto. —¡Ah! De veras —responde Kilosay—, la mayor se llama Alicia. A continuación, Sabimuto dio la respuesta exacta. ¿Cuál es? Propiedades metafísicas del número 7 Resume en sí el mundo material y es causa operante en el moral. Es el principio vivien- te plasmado en sus obras. Simboliza la ascendencia de lo espiritual sobre lo material. Es síntesis en el pensamiento y congruencia en la mano de obra. Da inspiración para distin- guir lo bueno de lo malo, guiando la rectitud de los pasos hacia lo correcto, propiciando la recta elección, la recta deliberación y la recta dirección en el camino. Numeración árabe (aproximadamente 200 a. C.) Propiedades metafísicas del número 7 425 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Carmona-07B.indd 425Carmona-07B.indd 425 7/13/10 11:29:17 AM7/13/10 11:29:17 AM
  • 426 Capítulo 7 Transformadas de Laplace Solución al problema 36 1 2 32 2 = ؒ ؒ Las posibles combinaciones de los tres factores son: 1 ؒ 1 ؒ 36 cuya suma es 38 1 ؒ 2 ؒ 18 cuya suma es 21 1 ؒ 3 ؒ 12 cuya suma es 16 1 ؒ 4 ؒ 9 cuya suma es 14 1 ؒ 6 ؒ 6 cuya suma es 13 2 ؒ 2 ؒ 9 cuya suma es 16 2 ؒ 3 ؒ 6 cuya suma es 14 3 ؒ 3 ؒ 4 cuya suma es 13 Sabimuto comprendió que necesitaba un dato más al ver que hay dos sumas iguales, 13; de ahí se infiere que el número de la casa es 13, ya que si hubiera sido cualquier otra suma podía identificarse unívocamente después de la prime- ra pregunta. Como 2 2 9 13+ + = y 1 6 6 13+ + = , esto supone gemelas en ambos casos y sólo cuando las edades son 2, 2, 9 la mayor queda determinada. PREGUNTA ¿Cómo sería una proyección de la cuarta dimensión? Si sabemos cómo es el campo visual tridimensional proyectado (casi todos guardamos alguna fotografía). Si la dimensión se caracteriza por ciertas cualidades de vibración, ¿sería factible la existencia de la novena dimensión en el planeta Venus, por ejemplo? Carmona-07B.indd 426Carmona-07B.indd 426 7/13/10 11:29:17 AM7/13/10 11:29:17 AM
  • HORIZONTALES 1. Vocal. Que conservan la unidad. 2. Diente de un peine. Consonante. Consonante. Vocal. Sím- bolo químico del sodio. 3. Símbolo de suma en cálculo. Consonante. Consonante. 4. Consonante. Son, ocupan un lugar. Ladrón. 5. Conjunción latina. Consonante. Peldaño, función discontinua. 6. Apto para algo. Ceñidor de seda. 7. Lo que se utiliza para hacer un cambio en las operaciones matemáticas. Seis en números romanos. 8. (Al revés) nota musical. Tiempo que tarda una cosa en volver a la posición inicial. 9. Habitante de Tierra del fuego (Argentina). Vocal. Canti- dad que sirve de medida o tipo de comparación en deter- minados cálculos. 10. Consonante. Matemático francés (1749-1827). Ciudad de Caldea. Patria de Abraham. 11. Nota musical. Atadas. Símbolo químico del cobalto. 12. Ave semejante a la perdiz. Primeras letras de cráneo. Planta umbelífera. 13. Cosecha de la caña de azúcar. Afirmación. Vocales. 14. Aso ligeramente. Paga, acredita. VERTICALES 1. Relativo a los pitecoideos (parecidos al mono). Estrecho que comunica al mar Omán con el golfo Pérsico. 2. Todavía. Pieza de corcho para tapar botellas. Cóleras, fu- rias. 3. Hija de Zeus, diosa del mal. Palanca movida por el pie. Siglas acerca de los ovnis. 4. Vocal. Ser, hallarse. Contracción. Dios del sol en el anti- guo Egipto. 5. Consonantes. Herramientas con mango de madera (feme- nino). 6. Vocal. Raspa la superficie. Preposición. Hogar, fogón. Vocal. 7. Operador usado por Laplace (plural). 8. Vocal. Consonante. Natural de Río de Janeiro. Vocales. 9. (Al revés) terminación de infinitivo. Primeras letras de la palabra cajón. Ciudad de Rusia. Símbolo químico del Boro. 10. Uno en números romanos. La más temible de las meta- morfosis de la esposa de Siva. Primeras letras de dulce. Prefijo que significa nuevo. 11. Terminación de aumentativo. Teorema: £ ( ) £ ( ) ( ) ( ).f t g t F s G s{ } { }=ؒ 12. Sala grande. Vocal. Caudales, riquezas. Vocal. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Solución al problema 427 Carmona-07B.indd 427Carmona-07B.indd 427 7/13/10 11:29:17 AM7/13/10 11:29:17 AM
  • Carmona-07B.indd 428Carmona-07B.indd 428 7/13/10 11:29:18 AM7/13/10 11:29:18 AM
  • Definiciones básicas 429 48 Series de Fourier Introducción Series trigonométricas y funciones periódicas Fórmulas de Euler Convergencia de las series de Fourier Series de Fourier para las funciones pares e impares Funciones de periodo arbitrario Desarrollo de funciones no periódicas en series de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Carmona-08A.indd 429Carmona-08A.indd 429 7/13/10 10:45:07 AM7/13/10 10:45:07 AM
  • 430 Capítulo 8 Series de Fourier ..., , , , , ... ␲ ␲ ␲ ␲ 4 6 8 12 2 2 2 ...y adentro del número, otro número y otro dentro del otro, prolíferos, fecundos, ...cayendo de libros ...los números, los números, los números PABLO NERUDA (Fragmento) Introducción Hay números con resultados sorprendentes, como: ␲2 2 2 2 6 1 1 2 1 3 1 4 = + + + + ... ␲ 4 1 1 3 1 5 1 7 = − + − + ... ␲2 2 2 2 12 1 1 2 1 3 1 4 = − + − + ... ␲2 2 2 2 8 1 1 3 1 5 1 7 = + + + + ... ¿Para qué cansar al lector con más números y números y números? En este ca- pítulo se demuestran estos resultados y se confirma, una vez más, lo valioso que resulta el hallazgo de una manipulación adecuada de las series. Jean Baptiste Joseph Fourier desarrolló una teoría sobre conducción de ca- lor, para lo cual necesitó las series trigonométricas, que tienen unos coeficientes determinados ingeniosamente por él. Estas series tienen una gran aplicación en fenómenos de la naturaleza periódica, como vibraciones magnéticas, terremo- tos, corrientes, etcétera. Series trigonométricas y funciones periódicas Las series trigonométricas son de la forma: a a x b x a x b x an0 1 1 2 22 2+ + + + + +cos cos ...sen sen ccos ...nx b nxn+ +sen Donde ai, bi, i = 1, 2, …, n son constantes reales llamadas coeficientes. General- mente, estas series son periódicas con periodo 2␲; aunque puede extenderse la teoría para cualquier periodo arbitrario. Recordemos la definición de función periódica Carmona-08A.indd 430Carmona-08A.indd 430 7/13/10 10:45:08 AM7/13/10 10:45:08 AM
  • Teorema 1 Sean f x g x( ) ( )y funciones periódicas con periodo T. → = +h x af x bg x( ) ( ) ( ), a b R, ⑀ también es periódica con periodo T. DEMOSTRACIÓN: Como f x( ) es periódica con periodo T → + =f x T f x( ) ( ) Como g x( ) es periódica con periodo T → + =g x T g x( ) ( ) → + = + + +h x T af x T bg x T( ) ( ) ( ) = +af x bg x( ) ( ) = h x( ) Teorema 2 Si T es periodo de f(x) → nT n, entero, también es periodo. DEMOSTRACIÓN: Si T es periodo de f x( ) → + =f x T f x( ) ( ), pero f x T f x T( ) ( )+ = +2 porque f es periódica con periodo T, entonces tenemos: f x f x T f x T f x T f x nT( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )= + = + = + = = +2 3 Para n y x R= ± ± ± ± ∈0 1 2 3 4, , , , , ..., Obtención del mínimo periodo Lafunción sen xtieneperiodos2␲,4␲,6␲,...,yaque sen sen( ) ( )x x+ = + =2 4␲ ␲ sen sen( ) ...x x+ = =6␲ . Sin embargo, el menor de todos ellos es 2␲. En general, el mínimo periodo ocurrirá cuando: T n = periodo natural de la función donde n es el coeficiente del ángulo. Definición 8.1 Función periódica. Sea f t( ) definida para toda t > 0 y T > 0 , f es perió- dica con periodo T ↔ +( ) = ( )f t T f t Series trigonométricas y funciones periódicas 431 Carmona-08A.indd 431Carmona-08A.indd 431 7/13/10 10:45:08 AM7/13/10 10:45:08 AM
  • 432 Capítulo 8 Series de Fourier EJEMPLO 1 Obtener el menor periodo de f x x( ) cos= 2 Como el periodo de la función coseno es 2␲ → = =T 2 2 ␲ ␲ ∴ =T ␲, para f x x( ) cos= 2 EJEMPLO 2 Hallar el menor periodo de las funciones: a. cos␲x b. sen2␲x c. sen 2␲nx k d. tan x e. constante f. tan x 3 a. El periodo de la función coseno es 2␲ → =T 2␲ ␲ = 2 ∴ =T 2 es el periodo de f x x( ) cos= ␲ b. El periodo de la función seno es 2␲ → =T 2 2 ␲ ␲ =1 ∴ =T 1 es el periodo de f x x( ) = sen2␲ c. T n k = 2 2 ␲ ␲ = k n ∴ =T k n es el periodo de f x nx k ( ) = sen 2␲ d. La función tan x tiene periodo T = ␲ e. La función constante tiene cualquier número positivo como periodo; por tanto, no tiene periodo mínimo. f. Como la función tan x tiene periodo ␲ ␲ ␲→ = =T 1 3 3 EJEMPLO 3 Podemos convertir en periódica una función que de por sí no lo sea: f x ex ( ) = para − < <␲ ␲x y f x f x( ) ( )= + 2␲ Su gráfica es: Carmona-08A.indd 432Carmona-08A.indd 432 7/13/10 10:45:10 AM7/13/10 10:45:10 AM
  • Integrales que se utilizan frecuentemente: sen nxdx n nx c= − +∫ 1 cos cosnxdx n nx c= +∫ 1 sen x nxdx n nx x n nx csen sen= − − +∫ 1 2 cos x nxdx n nx x n nx ccos = + +∫ 1 2 cos sen x nxdx x n nx n x n nx2 2 3 2 2 2 sen sen= + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +cos cc∫ x nxdx x n nx x n n nx c2 2 2 3 2 2 cos cos= + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +sen∫∫ sen sennx nxdx n nx ccos = +∫ 1 2 2 e bxdx e a bx b bx a b cax ax sen sen = − + +∫ ( cos ) 2 2 e bxdx e a bx b bx a b cax ax cos ( cos ) = − + +∫ sen 2 2 sen sen sen sen mx nxdx m n x m n m n x = − − − + ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2(( )m n c + + sen mx nxdx m n x m n m n x cos cos( ) ( ) cos( ) ( = − − − − + ∫ 2 2 mm n c + + ) cos cos ( ) ( ) ( ) ( mx nxdx m n x m n m n x m = − − + + + ∫ sen sen 2 2 nn c ) + Figura 8-1. y x 23 ␲ ␲ 3␲ Series trigonométricas y funciones periódicas 433 Carmona-08A.indd 433Carmona-08A.indd 433 7/13/10 10:45:12 AM7/13/10 10:45:12 AM
  • 434 Capítulo 8 Series de Fourier EJERCICIOS 8.1 1. De las siguientes funciones periódicas, hallar tres periodos que les co- rrespondan: a. cos x c. cos 2x e. sen x 2 b. cot x d. sen 2x f. cos 3x Respuestas: a. 2␲, 4␲, 6␲ , … b. c. d. ␲, 2␲, 3␲, … e. 4␲, 8␲, 12␲, … f . , , , ... 2 3 4 3 2 ␲ ␲ ␲ 2. Encontrar el mínimo periodo de las siguientes funciones: a. sen x c. tan x e. sen 2x g. sen 2␲x i. sen 3␲x b. cos x d. cot x f. cos 2x h. cos 2␲x j. cos 4␲x Respuestas: a. b. 2␲ c. d. e. f. ␲ g. h. 1 i. 2 3 j. 1 2 3. Graficar las siguientes funciones en el mismo sistema de coordenadas: a x x x x x x. cos ,cos cos ,cos cos cos+ + + 1 2 2 1 2 2 1 3 3 b x x x x x x. , ,sen sen sen sen sen sen+ + + 1 3 3 1 3 3 1 5 5 Graficar las siguientes funciones: 4. f x x x f x f x( ) , , ( ) ( )= − < < + = 4 2␲ ␲ ␲ 5. f x x x x f x f x( ) , , ( ) ( )= − − < < + = 2 2 2␲ ␲ ␲ 6. f x e x f x f xx ( ) , , ( ) ( )= − < < + =− ␲ ␲ ␲2 7. f x x x f x f x( ) , , ( ) ( )= < < + =sen 0 ␲ ␲ 8. f x x x f x f x( ) , , ( ) ( )= − < < + =senh ␲ ␲ ␲2 9. f x x x f x f x( ) cosh , , ( ) ( )= < < + =0 ␲ ␲ 10. f x x x f x f x( ) , , ( ) ( )= − < < + =2 2␲ ␲ ␲ 11. f x x x x ( ) , , = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 0 0 2 0 − ␲ ␲ Carmona-08A.indd 434Carmona-08A.indd 434 7/13/10 10:45:14 AM7/13/10 10:45:14 AM
  • 12. f x x x x ( ) , , = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ sen 0 ␲ ␲ ␲0 2 13. f x x x x x ( ) , , = < < − < < ⎧ ⎨ ⎩ 2 1 2 2 0 1 14. f x x x x ( ) cos , , = < < < < ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 0 ␲ ␲ ␲ 2 0 2 15. f x e x e x x ( ) , , = < < < < ⎧ ⎨ ⎩ 0 1 1 2 16. Demostrar que h af bg= − donde a, b = constantes, tiene un periodo T si f y g tienen periodo T. 17. Probar que la función f x c( ) ,= donde c es una constante, es una función periódica con periodo T, para cualquier número positivo T. Resolver las siguientes integrales Respuestas: 18. cosnxdx 0 3 2␲ ∫ 3 2 0 1 1 ␲ − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n n n = 0 n = 2 4 6 8 10, , , , , ... n =1 5 9 13, , , , ... n = 3 7 11 15, , , , ... 19. sen nxdx 0 ␲ ∫ 0 2 n ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ n = 0 2 4 6 8 10, , , , , , ... n =1, 3, 5, 7, 9, ... 20. x nxdxcos 0 ␲ ∫ ␲2 2 2 0 1 − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ n n = 0 n = 2, 4, 6, 8, ... n = 1, 3, 5, 7, ... 21. x nxdxsen 0 ␲ ∫ 0 ␲ ␲ n n − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ n = 0 n = 1, 3, 5, ... n = 2, 4, 6, ... Series trigonométricas y funciones periódicas 435 Carmona-08A.indd 435Carmona-08A.indd 435 7/13/10 10:45:15 AM7/13/10 10:45:15 AM
  • 436 Capítulo 8 Series de Fourier 22. x nxdxsen − ∫ ␲ ␲ 0 2 2 ␲ ␲ n n − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ n = 0 n = 1, 3, 5, ... n = 2, 4, 6, ... 23. x nxdxsen − ∫ ␲ ␲ 2 2 0 2 2 2 2 n n n n ␲ ␲ − − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n = 0 n = 1, 5, ... n = 2, 6, ... n = 3, 7, ... n = 4, 8, ... 24. x nxdxcos − ∫ ␲ ␲ 2 2 0 ␲ ␲ n n − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ n = 0, 2, 4, 6, 8, ... n = 1, 5, ... n = 3, 7, ... 25. x nxdx2 0 cos ␲ ∫ ␲ ␲ ␲ 3 2 2 2 2 2 − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ n n n = 0 n = 1, 3, 5, ... n = 2, 4, 6, ... 26. x nxdx2 0 sen ␲ ∫ 0 42 3 2 ␲ ␲ n n n − − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ n = 0 n = 1, 3, 5, ... n = 2, 4, 6, ... En los siguientes ejercicios elegir la opción correcta: 27. La función cos x 2 tiene los tres periodos siguientes: a. 2␲, 4␲, 6␲ b. ␲ ␲ ␲ 2 3 2 , , c. ␲, 2␲, ␲ d. 4 8 12␲ ␲ ␲, , 28. El mínimo periodo de la función cos 3␲x es: a. 2/3 b. 2␲ c. ␲ d. ␲/3 Carmona-08A.indd 436Carmona-08A.indd 436 7/13/10 10:45:17 AM7/13/10 10:45:17 AM
  • 29. Elegir la gráfica que representa f x x f x f x( ) cos , ( ) ( )= + =␲ a. b. c. d. 30. La solución de la integral x nxdxcos − ∫ ␲ ␲ es: a. ␲