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Cálculo una variable 11e, Thomas

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• 1. T H O M A S C Á L C U L O U N A VA R I A B L E UNDÉCIMA EDICIÓN
• 2. REGLAS DE DERIVACIÓN Fórmulas generales Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x. Funciones trigonométricas Funciones exponenciales y logarítmicas d dx ax = ax ln a d dx sloga xd = 1 x ln a d dx ex = ex d dx ln x = 1 x d dx scot xd = -csc2 x d dx scsc xd = -csc x cot x d dx stan xd = sec2 x d dx ssec xd = sec x tan x d dx ssen xd = cos x d dx scos xd = -sen x d dx sƒsgsxdd = ƒ¿sgsxdd # g¿sxdRegla de la cadena: d dx xn = nxn-1 Potencia: d dx a u yb = y du dx - u dy dx y2 Cociente: d dx suyd = u dy dx + y du dx Producto: d dx scud = c du dx Múltiplo constante: d dx su - yd = du dx - dy dx Diferencia: d dx su + yd = du dx + dy dx Suma: d dx scd = 0Constante: Funciones trigonométricas inversas Funciones hiperbólicas Funciones hiperbólicas inversas Ecuaciones paramétricas Si y son diferenciables, entonces y¿ = dy dx = dy>dt dx>dt y d2 y dx2 = dy¿>dt dx>dt y = gstdx = ƒstd d dx scoth-1 xd = 1 1 - x2 d dx scsch-1 xd = - 1 ƒ x ƒ 21 + x2 d dx stanh-1 xd = 1 1 - x2 d dx ssech-1 xd = - 1 x21 - x2 d dx ssenh-1 xd = 1 21 + x2 d dx scosh-1 xd = 1 2x2 - 1 d dx scoth xd = -csch2 x d dx scsch xd = -csch x coth x d dx stanh xd = sech2 x d dx ssech xd = -sech x tanh x d dx ssenh xd = cosh x d dx scosh xd = senh x d dx scot-1 xd = - 1 1 + x2 d dx scsc-1 xd = - 1 ƒ x ƒ2x2 - 1 d dx stan-1 xd = 1 1 + x2 d dx ssec-1 xd = 1 ƒ x ƒ2x2 - 1 d dx ssen-1 xd = 1 21 - x2 d dx scos-1 xd = - 1 21 - x2
• 10. 16 Integración en Campos Vectoriales 1143 16.1 Integrales de línea 1143 16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo 1149 16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales y campos conservativos 1160 16.4 Teorema de Green en el plano 1169 16.5 Área de superficies e integrales de superficie 1182 16.6 Superficies parametrizadas 1192 16.7 Teorema de Stokes 1201 16.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada 1211 PREGUNTAS DE REPASO 1222 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1223 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1226 Apéndices AP-1 A.1 Inducción matemática AP-1 A.2 Demostración de los teoremas de límites AP-4 A.3 Límites que aparecen comúnmente AP-7 A.4 Teoría de los números reales AP-9 A.5 Números complejos AP-12 A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22 A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23 A.8 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-28 A.9 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-29 Respuestas R-1 Índice I-1 Breve tabla de integrales T-1 Créditos C-1 viii Contenido
• 13. • Vectores Para evitar la repetición de los conceptos algebraicos y geométricos fun- damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones en un solo capítulo, el 12. A esta presentación le sigue el capítulo de funciones de valores vectoriales en el plano y en el espacio. • Los números reales Hemos escrito un nuevo apéndice para analizar brevemente la teoría de los números reales y su aplicación en el cálculo. ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de gran importancia en el aprendizaje del cálculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras de este libro, buscando mayor claridad en la relación entre éstas y los conceptos a que hacen referencia. Esto resulta especialmente evidente en las gráficas tridimensionales, en las que podemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotación (vea las figuras siguientes). y x 0 a x b y ϭ R(x) y ϭ r(x) 0 x y y 0 x (x, R(x)) (x, r(x)) Arandela xx 4 1 0 2 y y x x ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ 2 y , y 2 yx ϭ 2 yx ϭ 2 yR(y) ϭ 2 yR(y) ϭ 0 1 4 y 2 (a) (b) y Prefacio xi FIGURA 6.13, página 403 Las secciones transversales del sólido de rotación generado aquí son arandelas, no discos. FIGURA 6.11, página 402 Determinación del volumen del sólido generado al hacer girar la región (a) alrededor del eje y.
• 16. xiv Prefacio Jefatura de revisión Harry Allen, Ohio State University Rebecca Goldin, George Mason University Christopher Heil, Georgia Institute of Technology Dominic Naughton, Purdue University Maria Terrell, Cornell University Clifford Weil, Michigan State University Revisión técnica Robert Anderson, University of Wisconsin–Milwaukee Charles Ashley, Villanova University David Bachman, California Polytechnic State University Elizabeth Bator, University of North Texas William Bogley, Oregon State University Kaddour Boukaabar, California University of Pennsylvania Deborah Brandon, Carnegie Mellon University Mark Bridger, Northeastern University Sean Cleary, The City College of NewYork Edward Crotty, University of Pennsylvania Mark Davidson, Louisiana State University Richard Davitt, University of Louisville Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus Anne Dougherty, University of Colorado Rafael Espericueta, Bakersfield College Klaus Fischer, George Mason University William Fitzgibbon, University of Houston Carol Flakus, Lower Columbia College Tim Flood, Pittsburg State University Robert Gardner, East Tennessee State University John Gilbert, The University of Texas at Austin Mark Hanish, Calvin College Zahid Hasan, California State University, San Bernardino Jo W. Heath, Auburn University Ken Holladay, University of New Orleans Hugh Howards, Wake Forest University Dwanye Jennings, Union University Matthias Kawaski, Arizona State University Bill Kincaid, Wilmington College Mark M. Maxwell, Robert Morris University Jack Mealy, Austin College Richard Mercer, Wright State University Victor Nestor, Pennsylvania State University Michael O’Leary, Towson University Bogdan Oporowski, Louisiana State University Troy Riggs, Union University Ferinand Rivera, San Jose State University Mohammed Saleem, San Jose State University Tatiana Shubin, San Jose State University Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire Donald Solomon, University of Wisconsin-Milwaukee Chia Chi Tung, Minnesota State University William L. VanAlstine, Aiken Technology College Bobby Winters, Pittsburg State University Dennis Wortman, University of Massachusetts at Boston Participantes en encuestas Omar Adawi, Parkland College Siham Alfred, Raritan Valley Community College Donna J. Bailey, Truman State University Rajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State University Robert C. Brigham, University of Central Florida (retired) Thomas A. Carnevale, Valdosta State University Lenny Chastkofsky, The University of Georgia Richard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech- nical College Lloyd Davis, College of San Mateo Will-Matthis Dunn III, Montgomery College George F. Feissner, SUNY College at Cortland Bruno Harris, Brown University Celeste Hernandez, Richland College Wei-Min Huang, Lehigh University Herbert E. Kasube, Bradley University Frederick W. Keene, Pasadena City College Michael Kent, Borough of Manhattan Community Colle- ge Robert Levine, Community College of Allegheny County, Boyce Campus John Martin, Santa Rosa Junior College Michael Scott McClendon, University of Central Okla- homa Ching-Tsuan Pan, Northern Illinois University Emma Previato, Boston University S.S. Ravindran, University of Alabama Dan Rothe, Alpena Community College John T. Saccoman, Seton Hall University Mansour Samimi, Winston-Salem State University Ned W. Schillow, Lehigh Carbon Community College W.R. Schrank, Angelina College Mark R. Woodard, Furman University
• 24. Observe que Por ejemplo, mientras que Si a y b tienen distinto signo, entonces en cualquier otro caso, En expresiones como es igual a Las barras que denotan valor absoluto fun- cionan como los paréntesis: deben realizarse las operaciones aritméticas del interior antes de tomar el valor absoluto. EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular La desigualdad indica que la distancia de x a 0 es menor que el número posi- tivo a. Esto significa que x debe estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3. Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definición de valor absoluto, y suelen ser útiles en la resolución de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto. ƒ x ƒ 6 a ƒ -3 - 5 ƒ = ƒ -8 ƒ = 8 = ƒ -3 ƒ + ƒ -5 ƒ ƒ 3 + 5 ƒ = ƒ 8 ƒ = ƒ 3 ƒ + ƒ 5 ƒ ƒ -3 + 5 ƒ = ƒ 2 ƒ = 2 6 ƒ -3 ƒ + ƒ 5 ƒ = 8 ƒ -3 + 5 ƒƒ a ƒ + ƒ b ƒ.ƒ a + b ƒ ƒ a ƒ + ƒ b ƒ.ƒ a + b ƒ - ƒ 3 ƒ = -3.ƒ -3 ƒ = 3,ƒ -a ƒ Z -ƒ a ƒ. 6 Capítulo 1: Preliminares a 0 ax aa ͉x͉ FIGURA 1.3 significa que x está entre y a.-a ƒ x ƒ 6 a Valores absolutos e intervalos Si a es cualquier número positivo, entonces 5. 6. 7. 8. 9. ƒ x ƒ Ú a si y sólo si x Ú a o x … -a ƒ x ƒ … a si y sólo si -a … x … a ƒ x ƒ 7 a si y sólo si x 7 a o x 6 -a ƒ x ƒ 6 a si y sólo si -a 6 x 6 a ƒ x ƒ = a si y sólo si x = ;a En matemática, el símbolo denota con frecuencia la relación lógica “si y sólo si”. También significa “implica y es implicado por”. EJEMPLO 4 Resolver una ecuación con valores absolutos Resolver la ecuación Solución De acuerdo con la propiedad 5, así que hay dos posibilidades: Resolver como de costumbre. Las soluciones de son y EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto Resolver la desigualdad ` 5 - 2 x ` 6 1. x = -2.x = 5ƒ 2x - 3 ƒ = 7 x = 5 x = -2 2x = 10 2x = -4 Ecuaciones equivalentes sin valores abolutos.2x - 3 = 7 2x - 3 = -7 2x - 3 = ;7, ƒ 2x - 3 ƒ = 7. 3
• 29. En la figura 1.11 se muestra la relación entre la pendiente m de una recta no vertical y el ángulo de inclinación de la misma: Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los puntos sobre la recta vertical que pasa por el punto a, en el eje x tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto, es una ecuación para la recta vertical. De manera similar, es una ecuación para la recta horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12). Podemos escribir una ecuación para una recta no vertical L si conocemos su pendiente m y las coordenadas, de uno de sus puntos. Si P(x, y) es cualquier otro punto en L, podemos usar los dos puntos y P para calcular la pendiente: de manera que y - y1 = msx - x1d o y = y1 + msx - x1d. m = y - y1 x - x1 P1 P1sx1, y1d y = bx = a m = tan f. f 1.2 Rectas, círculos y parábolas 11 La ecuación es la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente m. sx1, y1d y = y1 + msx - x1d EJEMPLO 2 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente –3/2. Solución Sustituimos y en la ecuación punto-pendiente para obtener Cuando así la recta interseca el eje y en EJEMPLO 3 Una recta que pasa por dos puntos Encontrar la ecuación de la recta que pasa por y (3, 4). Solución La pendiente de la recta es Podemos usar esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuación punto- pendiente: Con Con Algunos resultados Esto es, es la ecuación de la recta (figura 1.13).y = x + 1 y = x + 1y = x + 1 y = 4 + x - 3y = -1 + x + 2 y = 4 + 1 # sx - 3dy = -1 + 1 # sx - s-2dd sx1 , y1d ‫؍‬ s3, 4dsx1 , y1d ‫؍‬ s؊2, ؊1d m = -1 - 4 -2 - 3 = -5 -5 = 1. s -2, -1d y = 6.x = 0, y = 6 y = 3 - 3 2 Ax - 2B, o y = - 3 2 x + 6. m = -3>2x1 = 2, y1 = 3, x y P1 P2 L ⌬y ⌬x ⌬y ⌬x m ϭ ϭ tan ␾ ␾ FIGURA 1.11 La pendiente de una recta no vertical es la tangente de su ángulo de inclinación. este sí este no este sí este no x x FIGURA 1.10 Los ángulos de inclinación se miden en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, a partir del eje x. x y P2(4, 2) P1(0, 5) P4(3, 6) P3(0, 2) 10 1 1 2 3 4 6 2 3 4 5 6 L2 L1 FIGURA 1.9 La pendiente de es Esto es, y aumenta 8 unidades cada vez que x se incrementa 3 unidades. La pendiente de es Esto es, y disminuye 3 unidades cada vez que x se reduce 4 unidades. m = ¢y ¢x = 2 - 5 4 - 0 = -3 4 . L2 m = ¢y ¢x = 6 - s-2d 3 - 0 = 8 3 . L1
• 31. Distancia y círculos en el plano La distancia entre puntos en el plano se calcula a partir de la fórmula del teorema de Pitá- goras (figura 1.16). 1.2 Rectas, círculos y parábolas 13 x y 0 A D Ba Pendiente m1 Pendiente m2 C L2 L1 h ␾1 ␾2 ␾1 FIGURA 1.15 es semejante a En consecuencia, también es el ángulo superior en A partir de los lados de vemos que tan f1 = a>h.¢CDB, ¢CDB. f1¢CDB. ¢ADC ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ͉x2 Ϫ x1͉ P(x1 , y1) ͉ y2 Ϫ y1͉ C(x2 , y1) Q(x2 , y2) ͉x2 – x1͉2 ϩ ͉y2 – y1͉2 d ϭ ͙ (x2 – x1)2 ϩ (y2 – y1)2 ϭ ͙ Esta distancia es x y 0 x1 y1 y2 x2 FIGURA 1.16 Para calcular la distancia entre y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo PCQ. Qsx2 , y2d,Psx1 , y1d Fórmula de distancia para puntos en el plano La distancia entre y es d = 2s¢xd2 + s¢yd2 = 2sx2 - x1d2 + sy2 - y1d2 . Qsx2, y2dPsx1, y1d (1)(x - h)2 + (y - k)2 = a2 . EJEMPLO 5 Calcular la distancia entre dos puntos (a) La distancia del origen al punto y Q(3, 4) es (b) La distancia entre el origen y P(x, y) es Por definición, un círculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuya distancia desde algún punto fijo, llamado centro del círculo, C(h, k) es igual a a (figura 1.17). De acuerdo con la fórmula de la distancia, P está en el círculo si y sólo si de manera que 2sx - hd2 + s y - kd2 = a, 2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x2 + y2 . 2s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 # 5 = 225. Ps-1, 2d La ecuación (1) es la ecuación estándar de un círculo con centro en (h, k) y radio a. El círculo de radio y centro en el origen es el círculo unitario, con ecuación x2 + y2 = 1. a = 1 (x Ϫ h)2 ϩ (y Ϫ k)2 ϭ a2 C(h, k) a P(x, y) 0 x y FIGURA 1.17 Un círculo con radio a en el plano xy y centro en (h, k) .
• 33. EJEMPLO 8 La parábola Considere la ecuación Algunos de los puntos que satisfacen esta ecuación son y Estos puntos (y todos los demás que sa- tisfacen la ecuación), forman una curva suave llamada parábola (figura 1.19). La gráfica de una ecuación de la forma es una parábola cuyo eje de simetría es el eje y. El vértice de la parábola (el punto donde la parábola interseca su eje de simetría) está en el origen. La parábola abre hacia arriba si y hacia abajo si Entre más grande sea el valor de la parábola será más angosta (figura 1.20). Generalmente, la gráfica de es una parábola desplazada en forma horizontal y vertical de la parábola En la sección 1.5 discutiremos con más detalle el desplazamiento horizontal y vertical de las gráficas de las funciones cuadráticas. y = x2 . y = ax2 + bx + c ƒ a ƒ,a 6 0.a 7 0 y = ax2 s-2, 4d.s0, 0d, s1, 1d, a 3 2 , 9 4 b, s-1, 1d, s2, 4d, y = x2 . y = x2 1.2 Rectas, círculos y parábolas 15 0 1 2–1–2 1 4 (–2, 4) (–1, 1) (1, 1) (2, 4) ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ 3 2 9 4 , x y y ϭ x2 FIGURA 1.19 La parábola (ejemplo 8). y = x2 La gráfica de y = ax2 + bx + c, a Z 0 La gráfica de la ecuación es una parábola. La pará- bola abre hacia arriba si y hacia abajo si El eje x es la recta (2) El vértice de la parábola es el punto donde el eje y la parábola se intersecan. Su coordenada x es su coordenada y se encuentra sustituyendo en la ecuación de la parábola.x = -b>2a x = -b>2a; x = - b 2a . a 6 0.a 7 0 y = ax2 + bx + c, a Z 0, Observe que si tenemos la cual es la ecuación de una recta. El eje, dado por la ecuación (2), puede encontrarse completando el cuadrado o usando una técnica que estudiaremos en la sección 4.1. EJEMPLO 9 Trazar la gráfica de una parábola Trazar la gráfica de la ecuación Solución Comparando la ecuación con vemos que Dado que la parábola abre hacia abajo. De acuerdo con la ecuación (2), su eje es la recta vertical x = - b 2a = - s-1d 2s-1>2d = -1. a 6 0, a = - 1 2 , b = -1, c = 4. y = ax2 + bx + c y = - 1 2 x2 - x + 4. y = bx + ca = 0, Ejedesimetría Vértice en el origen 1 1 4 3 2 2 3 4 y ϭ x2 y ϭ x2 6 y ϭ x2 10 y ϭ x2 2 y ϭ 2x2 x y FIGURA 1.20 Además de determinar la dirección en la que abre la parábola , el número a es un factor de escalamiento. La parábola se ensancha conforme a se acerca a cero, y se estrecha conforme aumenta.ƒ a ƒ y = ax2
• 34. Cuando tenemos El vértice es Las intersecciones con el eje x se dan en los puntos donde Graficamos algunos puntos, trazamos el eje y usamos las reglas de dirección de la apertu- ra de la parábola para completar la gráfica de la figura 1.21. x = 2, x = -4 sx - 2dsx + 4d = 0 x2 + 2x - 8 = 0 - 1 2 x2 - x + 4 = 0 y = 0: s -1, 9>2d. y = - 1 2 s-1d2 - s -1d + 4 = 9 2 . x = -1, 16 Capítulo 1: Preliminares Con intersección en x = –4 y x = 2 Punto simétrico con intersección y El vértice es ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ 9 2 –1, Con intersección en y = 4 (0, 4)(–2, 4) 0 1 2 3 1–2–3 Ejes:x=–1 x y y = x2 Ϫ x + 4– 1 2 FIGURA 1.21 La parábola del ejemplo 9. EJERCICIOS 1.2 Incrementos y distancia En los ejercicios 1-4, una partícula se mueve de A a B en el plano coordenado. Encuentre los incrementos y en las coordenadas de la partícula. Determine también la distancia de A a B. 1. 2. 3. 4. Describa las gráficas de las ecuaciones de los ejercicios 5-8. 5. 6. 7. 8. Pendientes, rectas e intersecciones En los ejercicios 9-12, grafique los puntos y encuentre la pendiente (si existe) de la recta que éstos determinan. Encuentre también la pen- diente común (si existe) de las rectas perpendiculares a la recta AB. 9. 10. 11. 12. En los ejercicios 13-16, encuentre la ecuación para (a) la recta verti- cal, y (b) la recta horizontal que pasa por el punto dado. 13. 14. 15. 16. En los ejercicios 17-30, encuentre la ecuación de la recta, dados los datos siguientes. 17. Pasa por con pendiente -1s-1, 1d s-p, 0dA0, - 22B A 22, -1.3Bs-1, 4>3d As-2, 0d, Bs-2, -2dAs2, 3d, Bs-1, 3d As-2, 1d, Bs2, -2dAs -1, 2d, Bs-2, -1d x2 + y2 = 0x2 + y2 … 3 x2 + y2 = 2x2 + y2 = 1 As22, 4d, Bs0, 1.5dAs-3.2, -2d, Bs-8.1, -2d As-1, -2d, Bs-3, 2dAs -3, 2d, Bs-1, -2d ¢y¢x 18. Pasa por (2, –3) con pendiente 1/2 19. Pasa por (3, 4) y (–2, 5) 20. Pasa por (–8, 0) y (–1, 3) 21. Tiene pendiente –5/4 y ordenada al origen 6 22. Tiene pendiente 1/2 y ordenada al origen –3 23. Pasa por (–12, –9) y tiene pendiente 0 24. Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical 25. Tiene y abscisa al origen 4 y abscisa al origen –1 26. Tiene y abscisa al origen –6 y abscisa al origen 2 27. Pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 28. Pasa por y es paralela a la recta 29. Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 30. Pasa por (0, 1) y es perpendicular a la recta En los ejercicios 31-34, encuentre las intersecciones con los ejes x y y, y utilice esta información para trazar la gráfica de la recta. 31. 32. 33. 34. 35. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectas y Justifique su respuesta. 36. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectas y Justifique su respuesta. Ax + By = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1 Bx - Ay = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1 1.5x - y = -322x - 23y = 26 x + 2y = -43x + 4y = 12 8x - 13y = 13 6x - 3y = 5 22x + 5y = 23A - 22, 2B 2x + 5y = 15
• 41. 1.3 Funciones y sus gráficas 23 Representación numérica de una función Hemos visto cómo una función puede representarse algebraicamente mediante una fórmu- la (por ejemplo: la función área), o visualmente mediante una gráfica (ejemplos 2 y 3). Otra manera de representar una función es numéricamente, mediante una tabla de valores. Los ingenieros y los profesionales en ciencias aplicadas suelen utilizar este tipo de repre- sentaciones. Por ejemplo, es posible —tal vez con ayuda de una computadora— obtener una gráfica de la función a partir de una tabla de valores apropiada y utilizando el método ilustrado en el ejemplo 2. La gráfica que se obtiene empleando únicamente los puntos de- terminados en una tabla se conoce como diagrama de dispersión. EJEMPLO 4 Una función definida por una tabla de valores Las notas musicales son ondas de presión en el aire y son susceptibles de registrarse. Los datos de la tabla 1.2 corresponden a los registros del desplazamiento de presión generado por una nota musical producida por un diapasón, en relación con el tiempo —en segun- dos— que dura el sonido. La tabla nos ofrece una representación de la función presión contra el tiempo. Si hacemos primero un diagrama de dispersión y después conectamos los puntos (t, p) determinados con ayuda de la tabla, obtenemos la gráfica de la figura 1.27. TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiempo Presión Tiempo Presión 0.00091 0.00362 0.217 0.00108 0.200 0.00379 0.480 0.00125 0.480 0.00398 0.681 0.00144 0.693 0.00416 0.810 0.00162 0.816 0.00435 0.827 0.00180 0.844 0.00453 0.749 0.00198 0.771 0.00471 0.581 0.00216 0.603 0.00489 0.346 0.00234 0.368 0.00507 0.077 0.00253 0.099 0.00525 0.00271 0.00543 0.00289 0.00562 0.00307 0.00579 0.00325 0.00598 0.00344 -0.041 -0.035-0.248 -0.248-0.348 -0.354-0.309 -0.320-0.141 -0.164 -0.080 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t (seg.) p (presión) 0.001 0.002 0.004 0.0060.003 0.005 0.007 Datos FIGURA 1.27 Curva suave que pasa por los puntos trazados da una gráfica de la función presión representada por la tabla 1.2. La prueba de la recta vertical No todas las curvas son gráficas de funciones. Una función f sólo puede tener un valor ƒ(x) para cada x en su dominio, de manera que ninguna recta vertical puede intersecar más de una vez la gráfica de una función. De acuerdo con ello, un círculo no puede ser la grá- fica de una función, ya que al trazar una recta vertical ésta intersecará al círculo dos veces (figura 1.28a). Si a está en el dominio de una función f, la recta vertical intersecará a la gráfica de la función f en un solo punto (a, ƒ(a)). El círculo de la figura 1.28a, sin embargo, contiene la gráfica de dos funciones de x; el semicírculo superior, definido por la función y el semicírculo infe- rior, definido por la función (figuras 1.28b y 1.28c).gsxd = - 21 - x2 ƒsxd = 21 - x2 x = a
• 42. 24 Capítulo 1: Preliminares 1 10 x y (a) x2 ϩ y2 ϭ 1 1 10 x y 1 1 0 x y (b) y ϭ ͙1 Ϫ x2 (c) y ϭ ͙1 Ϫ x2 FIGURA 1.28 El círculo no es la gráfica de una función, ya que no cumple la prueba de la recta vertical. (b) El semicírculo superior es la gráfica de la función (c) El semicírculo inferior es la gráfica de la función gsxd = - 21 - x2 .ƒsxd = 21 - x2 . Funciones definidas por partes En ocasiones, una función se describe usando distintas fórmulas en diferentes partes de su dominio. Un ejemplo de esto es la función valor absoluto cuya gráfica se da en la figura 1.29. A continuación se ofrecen otros ejemplos. EJEMPLO 5 Trazar la gráfica de la función definida por partes La función es Está definida para todo número real, pero tiene valores dados por diferentes fórmulas, de- pendiendo de la posición de x. Los valores de f están dados por: cuando cuando y cuando Sin embargo, se trata de una sola función cuyo dominio es todo el conjunto de los números reales (figura 1.30). EJEMPLO 6 La función mayor entero La función cuyo valor en cualquier número x es el mayor entero menor que o igual a x se llama función mayor entero, o función piso entero. Esta función se denota mediante o, en algunos libros, con [x] o [[x]] o int x. En la figura 1.31 se muestra la gráfica. Obser- ve que :2.4; = 2, :1.9; = 1, :0; = 0, : -1.2; = -2, :2; = 2, :0.2; = 0, : -0.3; = -1 : -2; = -2. :x; , x 7 1.y = 10 … x … 1x 6 0, y = x2 y = -x ƒsxd = • -x, x 6 0 x2 , 0 … x … 1 1, x 7 1 ƒ x ƒ = e x, x Ú 0 -x, x 6 0, –2 –1 0 1 2 1 2 x y y ϭ –x y ϭ x2 y ϭ 1 y ϭ f(x) FIGURA 1.30 Para trazar la gráfica de la función , ilustrada aquí, aplicamos diferentes fórmulas para distintas partes del dominio (ejemplo 5). y = ƒsxd x y ϭ ͉x͉ y ϭ x y ϭ –x y –3 –2 –1 0 1 2 3 1 2 3 FIGURA 1.29 La función valor absoluto tiene el dominio y el rango [0, qd.s - q, qd
• 43. 1.3 Funciones y sus gráficas 25 EJEMPLO 7 La función menor entero La función cuyo valor en cualquier número x es el menor entero mayor que o igual a x se llama función menor entero, o función techo entero. Esta función se denota mediante La figura 1.32 muestra la gráfica. Para valores positivos de x, esta función puede re- presentar, por ejemplo, el costo de utilizar x horas un lugar de estacionamiento, pagando \$1 por cada hora o fracción de hora. EJEMPLO 8 Encontrar fórmulas para funciones definidas por partes Encuentre una fórmula para la función , cuya gráfica se ilustra en la figura 1.33 y consiste de dos segmentos de recta. Solución Primero encontramos las fórmulas para los segmentos de (0, 0) a (1, 1) y (1, 0) a (2, 1) y luego unimos ambas partes, como en el ejemplo 5. Segmento de (0, 0) a (1, 1) La recta que pasa por (0, 0) y (1, 1) tiene pendiente y ordenada al origen Su ecuación punto-pendiente es El segmento que pasa por (0, 0) a (1, 1) que incluye el punto (0, 0) pero no el pun- to (1, 1) es la gráfica de la función restringida al intervalo semiabierto es decir, El segmento de (1, 0) a (2, 1) La recta que pasa por (1, 0) y (2, 1) tiene pendiente y pasa por el punto (1, 0). La ecuación punto pendiente co- rrespondiente a esta recta es El segmento de (1, 0) a (2, 1), que incluye ambos extremos, es la gráfica de , restringida al intervalo cerrado es decir, La función por partes Al combinar las fórmulas para las dos partes de la gráfica, obte- nemos ƒsxd = e x, 0 … x 6 1 x - 1, 1 … x … 2. y = x - 1, 1 … x … 2. 1 … x … 2, y = x - 1 y = 0 + 1(x - 1), o y = x - 1. m = s1 - 0d>s2 - 1d = 1 y = x, 0 … x 6 1. 0 … x 6 1,y = x y = x. b = 0.m = s1 - 0d>s1 - 0d = 1 y = ƒsxd <x= . x y 112 2 3 2 1 1 2 3 y ϭ x y ϭ ⎡x⎤ x y 1 1 0 2 (1, 1) (2, 1) y ϭ f(x) FIGURA 1.33 El segmento de la izquierda contiene a (0, 0) pero no a (1, 1). El segmento de la derecha contiene ambos puntos extremos (ejemplo 8). FIGURA 1.32 La gráfica de la función menor entero está sobre o por encima de la recta así que proporciona un techo completo para x (ejemplo 7). y = x, y = <x= 1 2 2 3 2 1 1 2 3 y ϭ x y ϭ ⎣x⎦ x y FIGURA 1.31 La gráfica de la función mayor entero está sobre o por debajo de la recta de manera que ofrece un piso entero para x (ejemplo 6). y = x, y = :x;
• 46. 40. Costo industrial La compañía Dayton Power and Light tiene una planta eléctrica en el río Miami, en un sector donde el torrente tiene un ancho de 800 pies. Tender un nuevo cable de la planta hasta un lugar de la ciudad que se encuentra a 2 millas río abajo en el lado opuesto cuesta \$180 por pie a través del río y \$100 por pie en tierra. a. Supongamos que el cable va de la planta a un punto Q en el lado opuesto del río, lugar que se ubica a x pies del punto P x QP Planta eléctrica Dayton 800 pies (No está a escala) 2 millas 28 Capítulo 1: Preliminares directamente opuesto a la planta. Escriba una función C(x) para determinar cuánto costaría tender el cable en términos de la distancia x. b. Genere una tabla de valores para determinar si la posición del punto Q menos costosa está a menos de 2000 pies o a más de 2000 pies del punto P. 41. Una curva es simétrica con respecto al eje x, si cada vez que el punto (x, y) está sobre la curva el punto también lo está y viceversa. Explique por qué una curva simétrica con respecto al eje x no es la gráfica de una función, a menos que esta última sea 42. Un truco de magia Quizás haya oído hablar acerca de este tru- co de magia: piense en un número cualquiera; luego súmele 5 y duplique el resultado; reste 6 y divida el resultado entre 2; por úl- timo, reste 2. Al terminar, se dice la respuesta y el mago adivina el número con el que se empezó. Elija un número e inténtelo. Para comprender cuál es el truco, deje que x sea el número original y siga los pasos para hacer una fórmula, respecto de x ƒ(x) y encontrar el número con el que se concluye. y = 0. sx, -yd Identificación de funciones: modelos matemáticos En el cálculo existen diversos tipos de funciones. A continuación las identificaremos y ha- remos un breve resumen de cada una de ellas. Funciones lineales Las funciones de la forma para constantes m y b, reciben el nombre de funciones lineales. En la figura 1.34 se muestra un conjunto de rec- tas donde de manera que estas rectas pasan por el origen. Las funcio- nes constantes se presentan cuando la pendiente (figura 1.35).m = 0 b = 0,ƒsxd = mx ƒsxd = mx + b, 1.4 0 x y m ϭ 3 m ϭ 2 m ϭ 1 m ϭ 1 y ϭ 3x y ϭ x y ϭ 2x y ϭ x y ϭ x 1 2 m ϭ 1 2 FIGURA 1.34 El grupo de rectas tiene pendiente m y todas las rectas pasan por el origen. y = mx x y 0 1 2 1 2 y ϭ 3 2 FIGURA 1.35 Una función constante tiene pendiente m = 0.
• 47. Funciones de potencias Las funciones donde a es una constante, se llaman funciones de potencia. Dentro de esta categoría hay varios casos importantes a considerar. (a) En la figura 1.36 se muestran las gráficas de para 2, 3, 4, 5. Estas fun- ciones están definidas para todos los valores reales de x. Observe que, a medida que au- menta la potencia n, las curvas tienden a ensancharse hacia el eje x en el intervalo y también que se elevan con una inclinación mayor para Cada curva pasa por el punto (1, 1) y por el origen. ƒ x ƒ 7 1. s-1, 1d, n = 1,ƒsxd = xn , a = n, un entero positivo. ƒsxd = xa , 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 29 –1 0 1 –1 1 x y y ϭ x2 –1 10 –1 1 x y y ϭ x –1 10 –1 1 x y y ϭ x3 –1 0 1 –1 1 x y y ϭ x4 –1 0 1 –1 1 x y y ϭ x5 FIGURA 1.36 Gráficas de definidas para - q 6 x 6 q .ƒsxd = xn , n = 1, 2, 3, 4, 5 x y x y 0 1 1 0 1 1 y ϭ 1 x y ϭ 1 x2 Dominio: x 0 Rango: y 0 Dominio: x 0 Rango: y Ͼ 0 (a) (b) FIGURA 1.37 Gráficas de las funciones de potencia para el inciso (a) y para el inciso (b) a = -2.a = -1 ƒsxd = xa (b) En la figura 1.37 se muestran las gráficas de las funciones y = Ambas funciones están definidas para todo (en ningún caso es posible dividir entre cero). La gráfica de es la hipérbola que se aproxima a los ejes coordenados lejos del origen. La gráfica de también se aproxima a los ejes coordenados. y = 1>x2 xy = 1y = 1>x x Z 0x-2 = 1>x2 . gsxdƒsxd = x-1 = 1>x a = -1 o a = -2. (c) Las funciones y son las funciones raíz cuadra- da y raíz cúbica, respectivamente. El dominio de la función raíz cuadrada es pero la función raíz cúbica está definida para todo x real. En la figura 1.38 se muestran sus gráficas, junto con las gráficas de y (Recuerde que y ).x2>3 = sx1>3 d2 x3>2 = sx1>2 d3 y = x2>3 .y = x3>2 [0, qd, gsxd = x1>3 = 23 xƒsxd = x1>2 = 2x a = 1 2 , 1 3 , 3 2 y 2 3 .
• 48. Polinomios Una función p es un polinomio o función polinomial si En donde n es un entero no negativo y los números son constantes reales (llamados coeficientes del polinomio). Todas las funciones polinomiales tienen como do- minio Si el coeficiente del término dominante es y entonces n es el grado del polinomio. Las funciones lineales con son polinomios de grado 1. Usualmente los polinomios de grado 2 se escriben como y se lla- man funciones cuadráticas. De manera similar, las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. En la figura 1.39 se muestran las gráficas de tres funciones polinomiales. En el capítulo 4 aprenderemos a graficar funciones polinomiales. psxd = ax3 + bx2 + cx + d psxd = ax2 + bx + c, m Z 0 n 7 0,an Z 0s- q, qd. a0, a1, a2, Á , an psxd = anxn + an-1xn-1 + Á + a1x + a0 30 Capítulo 1: Preliminares x x y y y y x x 0 1 1 Dominio: Rango: 0 Յ x Ͻ ϱ 0 Յ y Ͻ ϱ Dominio: Rango: ϱ Ͻ x Ͻ ϱ ϱ Ͻ y Ͻ ϱ 1 1 0 0 1 1 y ϭ x3͞2 Dominio: Rango: 0 Յ x Ͻ ϱ 0 Յ y Ͻ ϱ Dominio: Rango: ϱ Ͻ x Ͻ ϱ 0 Յ y Ͻ ϱ 0 1 1 y ϭ x2͞3 y ϭ ͙x 3 y ϭ ͙x FIGURA 1.38 Gráficas de funciones de potencia para y 2 3 .a = 1 2 , 1 3 , 3 2 ,ƒsxd = xa x y 0 y ϭ Ϫ Ϫ 2x ϩ x3 3 x2 2 1 3 (a) y x –1 1 2 2 –2 –4 –6 –8 –10 –12 y ϭ 8x4 Ϫ 14x3 Ϫ 9x2 ϩ 11x Ϫ 1 (b) –1 0 1 2 –16 16 x y y ϭ (x Ϫ 2)4 (x ϩ 1)3 (x Ϫ 1) (c) –2–4 2 4 –4 –2 2 4 FIGURA 1.39 Gráficas de tres funciones polinomiales.
• 49. Funciones racionales Una función racional es un cociente o razón de dos polinomios de la forma: en donde p y q son polinomios. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales x para los que Por ejemplo, es una función racional con el dominio Su gráfica se muestra en la figu- ra 1.40a, junto con las de otras dos funciones racionales (1.40b y 1.40c). 5x ƒ x Z -4>76. ƒsxd = 2x2 - 3 7x + 4 qsxd Z 0. ƒsxd = psxd qsxd 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 31 x y 2 4 (a) (b) (c) x y x y 0 –2 –4 –6 –8 2–2–4 4 6 2 4 6 8 y ϭ 2x2 Ϫ 3 7x ϩ 4 –4 –2 –2 2 4 –4 –5 0 1 2 –1 5 10 –2 Recta y ϭ 5 3 y ϭ 5x2 ϩ 8x Ϫ 3 3x2 ϩ 2 y ϭ 11x ϩ 2 2x3 Ϫ 1 NO ESTÁ A ESCALA FIGURA 1.40 Gráficas de tres funciones racionales. Funciones algebraicas Una función algebraica es la que se construye a partir de po- linomios usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y con raíces). Las funciones racionales son casos especiales de las funciones algebraicas. En la figura 1.41 se muestran tres gráficas de funciones algebraicas. Funciones trigonométricas En la sección 1.6 repasaremos las funciones trigonométri- cas. En la figura 1.42 se muestran las gráficas de las funciones seno y coseno. Funciones exponenciales Las funciones de la forma donde la base es una constante positiva y se llaman funciones exponenciales. Todas las funciones exponenciales tienen dominio y rango Así, una función exponencial nunca vale cero. En la figura 1.43 se muestran las gráficas de algunas funciones exponen- ciales; su estudio desde el punto de vista del cálculo se abordará en el capítulo 7. Funciones logarítmicas Son las funciones donde la base es una constante positiva. Se trata de las funciones inversas de las funciones exponenciales, y su a Z 1ƒsxd = loga x, s0, qd.s - q, qd a Z 1, a 7 0ƒsxd = ax ,
• 50. estudio se abordará en el capítulo 7. En la figura 1.44 se muestran las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con distintas bases. En cada caso el dominio es y el rango es Funciones trascendentes Son funciones no algebraicas. Entre ellas están las funciones trigonométricas, las inversas trigonométricas, las exponenciales, las logarítmicas y muchas s - q, qd. s0, qd 32 Capítulo 1: Preliminares y x 0 y ϭ (x2 Ϫ 1)2/33 4 (b) 10 –1 1 x y 5 7 y ϭ x(1 Ϫ x)2/5 (c) 4–1 0 –3 –2 –1 1 2 3 4 x y y ϭ x1/3 (x Ϫ 4) (a) FIGURA 1.41 Gráficas de tres funciones algebraicas. y x 1 1 p p2 p3 (a) f(x) 5 sen x 0 y x 1 1 p 2 3 2 2 (b) f(x) 5 cos x 0 p 2 p p 5p FIGURA 1.42 Gráficas de las funciones seno y coseno. (a) y ϭ 2x , y ϭ 3x , y ϭ 10x 0.51 0 0.5 1 2 4 6 8 10 12 y x y ϭ 2x y ϭ 3x y ϭ 10x FIGURA 1.43 Gráficas de funciones exponenciales. (b) y ϭ 2 x , y ϭ 3 x , y ϭ 10 x y ϭ 2 x y ϭ 3 x y ϭ 10 x 0.51 0 0.5 1 2 4 6 8 10 12 y x
• 51. otras (tales como las funciones hiperbólicas que analizaremos en el capítulo 7). Un ejem- plo de una función trascendente es la catenaria. Su gráfica toma la forma de un cable, co- mo el del teléfono o el televisor, cuyos extremos están sujetos por dos soportes, y que cuelga libremente por su propio peso (figura 1.45). EJEMPLO 1 Identificar el tipo de función De acuerdo con la descripción de la sección precedente, identifique a qué tipo pertenece cada una de las funciones dadas a continuación. Tenga en cuenta que algunas funciones pueden pertenecer a más de una categoría. Por ejemplo, es, al mismo tiempo, una función potencia y una función polinomial de segundo grado. (a) (b) (c) (d) Solución (a) es una función polinomial de grado 5. (b) es una función exponencial de base 7. Observe que la variable x es el ex- ponente. (c) es una función potencia. (La variable z es la base). (d) es una función trigonométrica. Funciones crecientes y decrecientes Si la gráfica de una función sube o se eleva conforme nos movemos de izquierda a derecha (por el eje x), decimos que la función es creciente; si desciende o baja a medida que nos movemos de izquierda a derecha, decimos que es decreciente. En la sección 4.3 se dan las definiciones formales de funciones crecientes y funciones decrecientes, y se explica cómo encontrar los intervalos en los que una función es creciente y en los que es decreciente. Los siguientes son ejemplos que se ilustran en las figuras 1.36, 1.37 y 1.38. Función Donde crece Donde decrece Ningún punto Ningún punto y Ningún punto Funciones pares y funciones impares: simetría Las gráficas de funciones pares e impares se caracterizan por sus propiedades de simetría. - q 6 x … 00 … x 6 qy = x2>3 0 … x 6 qy = 2x 0 6 x 6 q- q 6 x 6 0y = 1>x2 0 6 x 6 q- q 6 x 6 0y = 1>x - q 6 x 6 qy = x3 - q 6 x … 00 … x 6 qy = x2 ystd = sen Qt - p 4R hszd = z7 gsxd = 7x ƒsxd = 1 + x - 1 2 x5 ystd = sen Qt - p 4R hszd = z7 gsxd = 7x ƒsxd = 1 + x - 1 2 x5 ƒsxd = x2 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 33 1 1 1 0 x y y ϭ log3x y ϭ log10 x y ϭ log2x y ϭ log5x FIGURA 1.44 Gráficas de cuatro funciones logarítmicas. –1 10 1 x y FIGURA 1.45 Gráfica de una catenaria (del latín catena, que significa “cadena”) o cable colgante.
• 52. Los nombres de par e impar para las funciones se deben a las potencias de x. Si y es una potencia par de x como en o constituye una función par de x (ya que y Si y es una potencia impar de x, como en o re- presenta una función impar de x (ya que y La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. Como un punto (x, y) está sobre la gráfica si y sólo si el punto también lo está (figura 1.46a). Una reflexión sobre del eje y deja la gráfica igual. La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Como un punto (x, y) está sobre la gráfica si y sólo si el punto tam- bién lo está (figura 1.46b). De manera equivalente, una gráfica es simétrica respecto al origen si una rotación de 180º alrededor del mismo deja la gráfica igual. Observe que las definiciones implican que tanto deben estar en el dominio de f. EJEMPLO 2 Reconocer funciones pares e impares Función par: para todo x; es simetría respecto al eje y Función par: para todo x; es simetría respec- to al eje y (figura 1.47a). Función impar: para todo x; es simetría respecto al origen s -xd = -xƒsxd = x s-xd2 + 1 = x2 + 1ƒsxd = x2 + 1 s -xd2 = x2 ƒsxd = x2 -x s-x, -ydƒs-xd = -ƒsxd, s -x, yd ƒs-xd = ƒsxd, s-xd3 = -x3 d.s -xd1 = -x y = x3 ,y = xs-xd4 = x4 d.s-xd2 = x2 y = x4 ,y = x2 34 Capítulo 1: Preliminares DEFINICIONES Función par, función impar Una función es una para toda x en el dominio de la función. función par de x si ƒs -xd = ƒsxd, función impar de x si ƒs -xd = -ƒsxd, y = ƒsxd x 0 (a) x y y (b) y ϭ x2 (x, y)( x, y) y ϭ x3 (x, y) ( x, y) 0 FIGURA 1.46 En la parte (a), la gráfica de (una función par) es simétrica respecto del eje y. En la parte (b), la gráfica de (una función impar) es simétrica respecto del origen. y = x3 y = x2 x y 0 1 (a) x y 0–1 1 (b) y ϭ x2 ϩ 1 y ϭ x2 y ϭ x ϩ 1 y ϭ x FIGURA 1.47 (a) Cuando sumamos el término constante 1 a la función la función resultante sigue siendo par y su gráfica sigue siendo simétrica respecto del eje y (b) Cuando sumamos el término constante 1 a la función la función resultante ya no es impar. La simetría respecto del origen se pierde (ejemplo 2). y = x + 1 y = x, y = x2 + 1y = x2 ,
• 55. un teorema a partir de sólo unos cuantos ejemplos. Sin embargo, la figura 1.49 sugiere que la Tercera Ley de Kepler es razonable. El concepto de proporcionalidad es una manera de verificar qué tan razonable es la relación que se ha supuesto entre dos variables, como en el ejemplo 3. También puede dar- nos la base para construir íntegramente un modelo empírico a partir de una tabla de datos recopilados, para el modelo. 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 37 EJERCICIOS 1.4 Reconocimiento de funciones En los ejercicios 1-4, identifique de qué tipo de función se trata en cada caso: constante, lineal, de potencia, polinomial (establezca el grado), racional, algebraica, trigonométrica, exponencial o logarítmi- ca. Recuerde que algunas funciones pueden corresponder a más de una categoría. 1. a. b. c. d. 2. a. b. c. d. 3. a. b. c. d. 4. a. b. c. d. En los ejercicios 5 y 6, relacione cada función con su gráfica. No utilice calculadora graficadora ni computadora, y justifique sus respuestas. 5. a. b. c. x y f g h 0 y = x10 y = x7 y = x4 w = 5 cos a t 2 + p 6 bgsxd = 21>x ƒszd = z5 2z + 1 y = log5 a 1 t b y = log7 xy = tan px y = x5>2 - 2x + 1y = 3 + 2x x - 1 Rszd = 23 z7 Hszd = 2z3 + 1 Gstd = 5t Fstd = t4 - t rsxd = 8x hsxd = x2 - 1 x2 + 1 gsxd = 25 xƒsxd = 7 - 3x 6. a. b. c. Funciones crecientes y decrecientes Trace las gráficas de las funciones de los ejercicios 7-18. ¿Qué sime- trías (si las hay) tienen las gráficas? Especifique los intervalos en don- de la función es creciente y los intervalos donde es decreciente. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Funciones pares e impares En los ejercicios 19-30, determine si la función es par, impar o ningu- na de las dos. Justifique sus respuestas usando la definición. 19. 20. 21. 22. 23. 24. gsxd = x4 + 3x2 - 1gsxd = x3 + x ƒsxd = x2 + xƒsxd = x2 + 1 ƒsxd = x-5 ƒsxd = 3 y = -x2>3 y = s-xd2>3 y = s -xd3>2 y = -x3>2 y = -42xy = x3 >8 y = 2-xy = 2ƒ x ƒ y = 1 ƒ x ƒ y = - 1 x y = - 1 x2 y = -x3 x y f h g 0 y = x5 y = 5x y = 5x
• 57. 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 39 Sumas, restas, productos y cocientes Como los números, las funciones reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (excepto cuando el denominador es cero) para obtener nuevas funciones. Si f y g son fun- ciones reales, definidas para toda x que pertenezca al dominio tanto de f como de g (esto es, para ), definimos las funciones y ƒg mediante las fórmulas Observe que el signo + en el lado izquierdo de la primera función representa la operación de suma de funciones, mientras que el signo + en el lado derecho de la misma significa la suma de los números reales ƒ(x) y g(x). Para cualquier punto de en el que también podemos definir la función mediante la fórmula Las funciones también pueden multiplicarse por constantes: si c es un número real, la función cƒ está definida para toda x real en el dominio de f mediante EJEMPLO 1 Combinación de funciones algebraicamente Las funciones definidas por las fórmulas tienen los dominios y Los puntos comunes de estos dominios son La tabla siguiente resume las fórmulas y dominios para diversas combinaciones algebrai- cas de las dos funciones. También escribimos para la función producto ƒg. Función Fórmula Dominio [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1) (0, 1] La gráfica de la función se obtiene a partir de las gráficas de f y g, sumando las coordenadas y correspondientes de ƒ(x) y g(x) para cada punto como en la figura 1.50. En la figura 1.51 se muestran las gráficas de y a partir del ejem- plo 1. ƒ # gƒ + g x H Dsƒd ¨ Dsgd, ƒ + g sx = 0 excluidod g ƒ sxd = gsxd ƒsxd = A 1 - x xg>ƒ sx = 1 excluidod ƒ g sxd = ƒsxd gsxd = A x 1 - x ƒ>g sƒ # gdsxd = ƒsxdgsxd = 2xs1 - xdƒ # g sg - ƒdsxd = 21 - x - 2xg - ƒ sƒ - gdsxd = 2x - 21 - xƒ - g [0, 1] = Dsƒd ¨ Dsgdsƒ + gdsxd = 2x + 21 - xƒ + g ƒ # g [0, qd ¨ s - q, 1] = [0, 1]. Dsgd = s - q, 1].Dsƒd = [0, qd ƒsxd = 2x y gsxd = 21 - x, scƒdsxd = cƒsxd. a ƒ gbsxd = ƒsxd gsxd sdonde gsxd Z 0d. ƒ>g gsxd Z 0,Dsƒd ¨ Dsgd sƒgdsxd = ƒsxdgsxd. sƒ - gdsxd = ƒsxd - gsxd. sƒ + gdsxd = ƒsxd + gsxd. ƒ + g, ƒ - g,x H Dsƒd ¨ Dsgd
• 58. Composición de funciones La composición es otra manera de combinar funciones. 40 Capítulo 1: Preliminares y ϭ ( f ϩ g)(x) y ϭ g(x) y ϭ f(x) f(a) g(a) f(a) ϩ g(a) a 2 0 4 6 8 y x FIGURA 1.50 Suma gráfica de dos funciones. x g f f(g(x))g(x) x f(g(x)) g(x) g f f Њg FIGURA 1.52 Dos funciones pueden componerse en x siempre que el valor de una función en x esté en el dominio de la otra. La composición se denota mediante ƒ ‫ؠ‬ g. FIGURA 1.53 Diagrama de flechas para ƒ ‫ؠ‬ g. 5 1 5 2 5 3 5 4 10 1 x y 2 1 g(x) ϭ ͙1 Ϫ x f(x) ϭ ͙x y ϭ f ϩ g y ϭ f • g FIGURA 1.51 El dominio de la función es la intersección de los dominios de ƒ y g, el intervalo [0, 1] en el eje x, donde estos dominios se traslapan. El intervalo también es el dominio de la función (ejemplo 1). ƒ # g ƒ + g DEFINICIÓN Composición de funciones Dadas f y g dos funciones, composición (“f composición g”) está definida por El dominio de consiste en los números x del dominio de g para los que g(x) está definida en el dominio de f. ƒ ‫ؠ‬ g sƒ ‫ؠ‬ gdsxd = ƒsgsxdd. ƒ ‫ؠ‬ g La definición afirma que puede formarse cuando el rango de g está en el domi- nio de f. Para encontrar primero determinamos g(x) y luego encontramos ƒ(g(x)). En la figura 1.52 se ilustra acomo un diagrama de máquina, y en la figura 1.53 se muestra la composición como un diagrama de flechas. ƒ ‫ؠ‬ g sƒ ‫ؠ‬ gdsxd, ƒ ‫ؠ‬ g
• 61. EJEMPLO 5 Reflejar una gráfica y cambiar su tamaño (a) Cambio vertical: Multiplicar el lado derecho de por 3 para obtener dilata o estira la gráfica verticalmente por un factor de 3, mientras que multiplicarlo por 1/3 comprime la gráfica por un factor de 3 (figura 1.57). (b) Cambio horizontal: La gráfica de es una compresión horizontal de la grá- fica de por un factor de 3, y la gráfica de es una dilatación hori- zontal por un factor de 3 (figura 1.58). Observe que , de mane- ra que una compresión horizontal podría corresponder a una dilatación vertical por un factor de escala diferente. De la misma manera, una dilatación horizontal podría co- rresponder a una compresión vertical por un factor de escala diferente. (c) Reflexión: La gráfica de es una reflexión de a través del eje x, y es una reflexión a través del eje y (figura 1.59).y = 2-x y = 2xy = - 2x y = 23x = 232x y = 2x>3y = 2x y = 23x y = 32xy = 2x 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 43 1 10 2 3 4 1 2 3 4 5 x y y ϭ ͙x y ϭ ͙x y ϭ 3͙x 3 1 dilatar comprimir –1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x y y ϭ ͙3x y ϭ ͙x͞3 y ϭ ͙x comprimir dilatar 3 2 1 1 2 3 1 1 x y y ϭ ͙x y ϭ ͙x y ϭ ͙ x 1 0 1 2 3 4 20 10 10 20 x y f(x) ϭ x4 Ϫ 4x3 ϩ 10 (a) 2 1 0 1 20 10 10 20 x y (b) y ϭ 16x4 ϩ 32x3 ϩ 10 1 0 1 2 3 4 10 10 x y y ϭ x4 ϩ 2x3 Ϫ 51 2 (c) FIGURA 1.57 Dilatación y compresión vertical de la gráfica por un factor de 3 (ejemplo 5a). y = 1x FIGURA 1.58 Dilatación y compresión horizontal de la gráfica por un factor de 3 (ejemplo 5a). y = 1x FIGURA 1.59 Reflexiones de la gráfica a lo largo de los ejes coordenados (ejemplo 5c). y = 1x EJEMPLO 6 Combinar cambios de tamaño y reflexiones Dada la función (figura 1.60a), encuentre las fórmulas para (a) comprimir la gráfica horizontalmente por un factor de 2, seguido por una reflexión a través del eje y (figura 1.60b). (b) comprimir la gráfica verticalmente por un factor de 2, seguido por una reflexión a tra- vés del eje x (figura 1.60c). ƒsxd = x4 - 4x3 + 10 FIGURA 1.60 (a) La gráfica original de f. (b) La compresión horizontal de en la parte (a) por un factor de 2, seguida por una reflexión a lo largo del eje y. (c) La compresión vertical de en la parte (a) por un factor de 2, seguida por una reflexión a lo largo del eje x (ejemplo 6). y = ƒsxd y = ƒsxd
• 62. Solución (a) La fórmula se obtiene al sustituir x por en el lado derecho de la ecuación para f (b) La fórmula es Elipses Al sustituir x por cx en la ecuación estándar del círculo con radio r y centro en el origen, se obtiene (1) Si la gráfica de la ecuación (1) estira al círculo horizontalmente; si el círculo se comprime horizontalmente. En cualquier caso, la gráfica de la ecuación (1) es una elipse (figura 1.61). Observe, en la figura 1.61, que las intersecciones con el eje y en las tres gráficas siempre son y r. En la figura 1.61b, el segmento de recta que une los pun- tos se conoce como eje mayor de la elipse; el eje menor es el segmento de rec- ta que une En la figura 1.61c, los ejes de la elipse están invertidos: el eje mayor es el segmento de recta que une los puntos y el eje menor es el segmento de recta que une los puntos En ambos casos, el eje mayor es el segmento de recta de longi- tud mayor. s;r>c, 0d. s0, ;rd s0, ;rd. s;r>c, 0d -r c 7 10 6 c 6 1, c2 x2 + y2 = r2 . y = - 1 2 ƒsxd = - 1 2 x4 + 2x3 - 5. = 16x4 + 32x3 + 10. y = ƒs-2xd = s-2xd4 - 4s -2xd3 + 10 -2x 44 Capítulo 1: Preliminares x y (a) círculo –r –r r r0 x2 ϩ y2 ϭ r2 x y (b) elipse, 0 Ͻ c Ͻ 1 –r r 0 c2 x2 ϩ y2 ϭ r2 r c– r c x y (c) elipse, c Ͼ 1 –r r 0 c2 x2 ϩ y2 ϭ r2 r c– r c FIGURA 1.61 La dilatación horizontal o compresión de un círculo produce gráficas de elipses. Si dividimos ambos lados de la ecuación (1) entre obtenemos (2) En donde y Si el eje mayor es horizontal; si el eje mayor es vertical. El centro de la elipse dada por la ecuación (2) es el origen (figura 1.62). a 6 b,a 7 b,b = r.a = r>c x2 a2 + y2 b2 = 1. r2 ,
• 63. Si sustituimos x por x – h y y por y – k en la ecuación (2), resulta (3) La ecuación (3) es la ecuación estándar de una elipse con centro en (h, k). En la sección 10.1 se revisará la definición geométrica y las propiedades de la elipse. sx - hd2 a2 + s y - kd2 b2 = 1. 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 45 x y a b b a Eje mayor Centro FIGURA 1.62 Gráfica de la elipse donde el eje mayor es horizontal. x2 a2 + y2 b2 = 1, a 7 b, EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, productos y cocientes En los ejercicios 1 y 2, encuentre el dominio y el rango de y 1. 2. En los ejercicios 3 y 4, encuentre el dominio y el rango de , y . 3. 4. Composición de funciones 5. Si y encuentre lo siguiente. a. b. c. d. e. f. g. h. 6. Si y encuentre lo siguiente. a. b. c. d. e. f. g. h. g(g(x))ƒ(ƒ(x)) g(g(2))ƒ(ƒ(2)) g(ƒ(x))ƒ(g(x)) g(ƒ(1>2))ƒ(g(1>2)) gsxd = 1>sx + 1d,ƒsxd = x - 1 g(g(x))ƒ(ƒ(x)) g(g(2))ƒ(ƒ(-5)) g(ƒ(x))ƒ(g(x)) g(ƒ(0))ƒ(g(0)) gsxd = x2 - 3,ƒsxd = x + 5 ƒsxd = 1, gsxd = 1 + 2x ƒsxd = 2, gsxd = x2 + 1 g>ƒƒ>g ƒsxd = 2x + 1, gsxd = 2x - 1 ƒsxd = x, gsxd = 2x - 1 ƒ # g.ƒ, g, ƒ + g, 7. Si y encuentre las si- guientes composiciones. a. b. c. d. e. f. 8. Si y encuentre las si- guientes composiciones. a. b. c. d. e. f. Sean y Ex- prese cada una de las funciones de los ejercicios 9 y 10 como una composición donde están involucradas una o más funciones ƒ, g, h, y j. 9. a. b. c. d. e. f. 10. a. b. c. d. e. f. y = 2x3 - 3y = 22x - 3 y = x - 6y = x9 y = x3>2 y = 2x - 3 y = s2x - 6d3 y = 2sx - 3d3 y = 4xy = x1>4 y = 22xy = 2x - 3 jsxd = 2x.ƒsxd = x - 3, gsxd = 2x, hsxd = x3 , ƒ(h(g(x)))ƒ(g(h(x))) g(ƒ(h(x)))g(h(ƒ(x))) h(ƒ(g(x)))h(g(ƒ(x))) hsxd = 4x - 8,ƒsxd = 2x, gsxd = x>4, ƒ(y(u(x)))ƒ (u(y(x))) y(ƒ(u(x)))y (u(ƒ(x))) u(ƒ(y(x)))u(y(ƒ(x))) ƒsxd = 1>x,usxd = 4x - 5, ysxd = x2 ,
• 64. 11. Copie y complete la tabla siguiente. g(x) ƒ(x) (ƒ g)(x) a. b. 3x c. d. e. x f. x 12. Copie y complete la tabla siguiente. g(x) ƒ(x) (ƒ g)(x) a. ? b. ? c. ? d. ? En los ejercicios 13 y 14, (a) escriba una fórmula para y y encuentre (b) el dominio y (c) el rango de cada función. 13. 14. Traslación de gráficas 15. La figura siguiente muestra la gráfica de desplazada a dos posiciones nuevas. Determine las funciones para las gráficas nuevas. x y 7 0 4 Posición (a) Posición (b)y ϭ x2 y = -x2 ƒ(x) = x2 , g(x) = 1 - 2x ƒ(x) = 2x + 1, g(x) = 1 x g ‫ؠ‬ ƒƒ ‫ؠ‬ g ƒ x ƒ2x ƒ x ƒ2x x x + 1 x - 1 x ƒ x ƒ 1 x - 1 ‫ؠ‬ 1 x 1 + 1 x x x - 1 x x - 1 2x2 - 52x - 5 x + 2 2xx - 7 ‫ؠ‬ 16. La figura siguiente muestra la gráfica de desplazada a dos posiciones nuevas. Determine las funciones para las gráficas nuevas. 17. Relacione las funciones listadas en los incisos (a)-(d) con las grá- ficas de la figura. a. b. c. d. 18. La figura siguiente muestra la gráfica de desplazada a cuatro posiciones nuevas. Determine la función para cada nueva gráfica. x y ( 2, 3) ( 4, 1) (1, 4) (2, 0) (b) (c) (d) (a) y = -x2 x y Posición 2 Posición 1 Posición 4 Posición 3 4 3 2 1 0 1 2 3 ( 2, 2) (2, 2) ( 3, 2) (1, 4) 1 2 3 y = sx + 3d2 - 2y = sx + 2d2 + 2 y = sx - 2d2 + 2y = sx - 1d2 - 4 x y Posición (a) Posición (b) y ϭ x2 5 0 3 y = x2 46 Capítulo 1: Preliminares