Limites infinitos

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Limites infinitos

  1. 1. Matemática Superior- UVBAula 03 - Limites infinitos elimites fundamentais Objetivos da Aula •Interpretar os limites infinitos, apresentando aplicações relacionadas à área de Economia. • Estudar os limites fundamentais: trigonométrico e exponencial. • Favorecer o desenvolvimento da capacidade de interpretar e resolver problemas, relacionando o conteúdo à prática profissional.Limites infinitosAgora atribuímos a x valores próximos de 2, à direita Faculdade On-line UVB 1
  2. 2. Matemática Superior- UVB f(x) 2 xPara melhor compreensão observe o esboço do gráfico desta função.A partir desta idéia, podemos enunciar a seguinte definição:Seja f uma função que esta definida em todo número de algumintervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Àmedida que x se aproxima de a, f(x) aumenta ilimitadamente, então,diz-se que f tem limite infinito positivo,2, quer pela esquerda, quer pela direita, f(x) assume valores cada vezmenores (decresce ilimitadamente). Logo podemos escrever Faculdade On-line UVB 2
  3. 3. Matemática Superior- UVB f(x) 2 xPara melhor compreensão observe o comportamento de f(x) tendendoao infinito negativo, quando x se aproxima de 2.Em geral, definimos essa função da seguinte forma:Seja f uma função que está definida em todo número de algumintervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Àmedida que x se aproxima de a, f(x) decresce ilimitadamente, então,diz-se que f tem limite infinito negativo, denotado porse f(x) poder ser tornado menor do que qualquer número negativoprefixado tomando-se |x-a| suficientemente pequeno e |x-a| >0.contudo o símbolo não é um número real e, portanto não existeo limite;entretanto, o símbolo indica o que ocorre com f(x) quando xse aproxima cada vez mais de a (cresce ou decresce ilimitadamente) Faculdade On-line UVB 3
  4. 4. Matemática Superior- UVBObservemos que, quando x tende a 3 pela direita, f(x) assume valorespositivos arbitrariamente Grandes (aumenta ilimitadamente). Assim:Por outro lado, quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) assume valorescada vez menores (decresce ilimitadamente). Assim: f(x) 3 xAtribuindo a x os valores 10, 100, 10000 e assim por diante, de talforma que x cresça ilimitadamente, o valor da função f(x) se aproximade zero. Assim, Faculdade On-line UVB 4
  5. 5. Matemática Superior- UVB f(x) 0 xEm geral , podemos empregar a seguinte definição:A função f tem limite L quando x cresce além de qualquer limite (ouquando x tende a infinito), o que se denota porSe pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de Ltomando x suficientemente grande. Analogamente, a função f temlimite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando xtende a menos infinito), o que se denota porSe pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de Mtomando x negativo e suficientemente grande em valor absoluto.Todas as propriedades de limites são válidas quando Faculdade On-line UVB 5
  6. 6. Matemática Superior- UVBAlém disso, temos a seguinte propriedade:Para todo k > 0, temosExemplo 1:Fazendo o esboço do gráfico de f(x), vemos que f(x) 1 -2 -1 0 1 2 xExemplo 2:O custo médio por disco (em dólares) que a Companhia Herald Recordtem ao fabricar x CDS de áudio é dado pela função custo médioCaucule e interprete o resultado obtido. Faculdade On-line UVB 6
  7. 7. Matemática Superior- UVBSoluçãoO cálculo revela que, à medida que a produção de CDs cresce “além dequalquer limite”, o custo médio diminui e se aproxima de 1,8 dólarespor disco. Para melhor compreensão observe o esboço do gráfico. 4,8 3,3 1,8 1000 2000 xObservação:Na realidade, os símbolos + (mais infinito) e - (menos infinito),não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles,portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico. Vejamos a seguiralgumas operações válidas com esses símbolos. Faculdade On-line UVB 7
  8. 8. Matemática Superior- UVBNo cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos aexpressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmoso valor do limite, teremos que contornar a indeterminação, usando astécnicas algébricas.Os principais símbolos de indeterminação, são:Vamos calcular agora alguns limites imediatos, de forma a facilitar oentendimento de exercícios mais complexos.Colocando x² em evidência, podemos observar que, com exceção do1o. termo, todos os demais tendem a zero ( para melhor compreensãotomemos x = 10000, então: 1/x = 1/10000 = 0,0001 ->0, 1/x² =1/(10000)² = 0,000000001-> 0), Portanto, o limite dessa função é igualao limite do seu termo de maior grau. Faculdade On-line UVB 8
  9. 9. Matemática Superior- UVBRegra prática para cálculo do limite da função racional relação ao termo de maior grau.Limites fundamentaisA técnica de cálculo de limites consiste, na maioria das vezes, emconduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais,facilitando assim, as soluções procuradas.Apresentaremos a seguir dois limites fundamentais e estratégicospara a solução de problemas. Faculdade On-line UVB 9
  10. 10. Matemática Superior- UVB1. Limite fundamental trigonométricoAtribuindo valores a x pela direita e pela esquerda de zero, conformemostra na tabela;notamos que, para valores cada vez mais próximos de zero, obtemosvalores de y 1 1 1 0Demonstração: y x tgx sen x x Faculdade On-line UVB 10
  11. 11. Matemática Superior- UVBDividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:Invertendo, temos:e 1, tem também limite igual a 1 quando x tende a 0(zero), logo2. Limite fundamental exponencialConsiderando a função definida porde base positiva, ou seja,Observamos que à medida que x cresce ou decresce indefinidamente,f(x) vai se aproximando cada vez mais do número e . Assim: Faculdade On-line UVB 11
  12. 12. Matemática Superior- UVB f(x) e = 2,71828... -1 0 xExemplos: (Teremos que criar estratégias que nos conduzam a umlimite fundamental)Determine os valores dos seguintes limites:Observe que fizemos acima uma mudança de variável, colocando 4x= u, de modo a cairmos num limite fundamental.Verifique também que, ao multiplicarmos numerador e denominadorda função dada por 2, a expressão não se altera. Usamos também apropriedade do produto vista anteriormente. Faculdade On-line UVB 12
  13. 13. Matemática Superior- UVBNeste caso, faremos uma mudança de variável.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:Thomson, 2001.MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os Cursos deEconomia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo:Atlas, 1999 .LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. SãoPaulo: Harbra, 1988.DANTE, L. ROBERTO. Matemática: Contexto & Aplicação. São Paulo:Ática,1999.GELSON, IEZZI e outros. Fundamentos de Matemática Elementar. vol 8.São Paulo: Atual, 1985. Faculdade On-line UVB 13

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