ÁREA1 - Faculdade de Ciência e TecnologiaCursos de EngenhariaCálculo Diferencial e Integral IProfessor: Álvaro Fernandes S...
ÍndiceLimite e continuidade..................................................................................................
Limite e continuidadeNoção intuitiva de limite           Considere a função f ( x ) = x 2 − 1. Esta função está definida p...
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento destafunção quando x está muito pr...
Observação:Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.∗ Quando x tende a 1...
0Cálculo de uma indeterminação do tipo                                                   0                                ...
x −1                                     0Exemplo 3. Determine lim                          (observe a indeterminação mate...
Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.Produtos notáveis:1º) Quadrado da soma: (a + b ) ...
x2 −7Exemplo 6. Calcule lim                   usando as propriedades.                           x →1   2x + 4             ...
ContinuidadeDefinição: Seja x0 um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no pontox0 se:               ...
b) Calculando o limite, temos: lim+            1 − x2                     = lim+                              (1 − x )(1 +...
Limites infinitosQuando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas siminfinito ( + ∞ ou −...
Regra (generalização)                                                                       kSe na substituição do valor d...
As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia.Produto:                     ...
Expressões indeterminadas                   0Vimos que            é uma expressão de indeterminação matemática. Também são...
Atividades (grupo 7).1. Calcule os limites abaixo:            2x3 − 1a) lim                  .   x → +∞ 5 x 3 + x + 1     ...
Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemosafirmar, a priori, o valor delas...
Tabela                                  x                                                                          1    ...
Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial:                                                            ax...
sen( x )Visualizando o gráfico da função f ( x ) =                             , podemos perceber também este resultado......
Funções limitadasDefinição: Uma função y = f ( x ) é chamada limitada, se existe uma constante k ∈ ℜ* , tal que f ( x ) ≤ ...
cos( x )b) Calcule lim                 .             x → +∞     xSolução: de forma análoga...       cos( x )          1lim...
1. Problema da área sob o arco da parábola y = x 2 no intervalo [0 , 1] (Figura 1).   Método dos retângulos.              ...
1  n(n + 1)(2n + 1)  n(n + 1)(2 n + 1)=                       =                  .    n        6n2               6n3...
DerivadaA reta tangente.Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto.Na ...
Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seudomínio.Seja y = f ( x ) uma curva de...
Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. O coeficienteangular m da reta tangent...
Equação da reta normalDefinição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n...
Outras notações para a derivada da função y = f ( x ) num ponto x qualquer:    •    y ( x ) (lê-se: y linha de x ou deriva...
Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de fem xo , denotada por f −  (...
Regras de derivaçãoVamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrera de...
3. Derivada do produto de uma constante por uma função.Se f ( x ) é uma função derivável e c é uma constante real, então a...
Atividades (grupo 19).1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo:a) f ( x ) = x −2 + 3 x + ...
b) y = 5 x + 3y = uu = 5 x + 3                                                               1                   5     ...
Apostila de limites
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Apostila de limites

  1. 1. ÁREA1 - Faculdade de Ciência e TecnologiaCursos de EngenhariaCálculo Diferencial e Integral IProfessor: Álvaro Fernandes Serafim   a  ax ln  lim  1 +   = 25 .  x → +∞   x   Qual o valor de a ? Apostila de limites e derivadas “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” George Polya Última atualização: 26/10/2007
  2. 2. ÍndiceLimite e continuidade............................................................................................................. 3Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8Continuidade............................................................................................................................. 10Limites infinitos........................................................................................................................ 12Limites no infinito..................................................................................................................... 13Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19Funções limitadas..................................................................................................................... 21Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24Derivada................................................................................................................................... 25A reta tangente.......................................................................................................................... 25A reta normal............................................................................................................................ 28A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28Derivadas laterais..................................................................................................................... 29Regras de derivação.................................................................................................................. 31Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33Derivada da função inversa....................................................................................................... 35Derivada das funções elementares............................................................................................ 36Derivada da função exponencial............................................................................................... 36Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50Diferencial................................................................................................................................ 54Aplicações da derivada........................................................................................................... 56A regra de L’Hospital............................................................................................................... 56Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58Taxa de variação....................................................................................................................... 61Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64 Máximos e mínimos........................................................................................................... 64 Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67 Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68 Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70 Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72 Esboço gráfico..................................................................................................................... 75Problemas de otimização......................................................................................................... 80Álvaro Fernandes 2
  3. 3. Limite e continuidadeNoção intuitiva de limite Considere a função f ( x ) = x 2 − 1. Esta função está definida para todo x ∈ℜ , isto é,qualquer que seja o número real xo , o valor f ( xo ) está bem definido.Exemplo 1. Se xo = 2 então f ( xo ) = f (2 ) = 2 2 − 1 = 3 . Dizemos que a imagem de xo = 2 é o valor f (2 ) = 3 .Graficamente: x2 − 1 Considere agora uma outra função g( x ) = . Esta função está definida x −1∀x ∈ℜ − {1} . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. 12 − 1 0g (1) = = ??? 1−1 0Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a.a 6 = c ⇔ bc = a . Por exemplo, = 2 ⇔ 3 ⋅ 2 = 6 .b 3 0Se fizermos = x ⇔ 0 ⋅ x = 0 , para qualquer valor de x ∈ ℜ , isto é, infinitos valores de x . Daí a 0indeterminação no valor de x...0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas0serão tratados mais adiante.Álvaro Fernandes 3
  4. 4. Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento destafunção quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguintepergunta:Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa vizinhança)de 1, porém diferentes de 1? A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numavizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquervalor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o pontox = 1 que gera a indeterminação. x2 − 1 Estudemos os valores da função g( x ) = quando x assume valores próximos de 1, x −1mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações.Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1:• por valores de x pela direita:• por valores de x pela esquerda:Tabelas de aproximações As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de umafunção (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1: (tabela B) x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando paraisso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos: “O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”. x2 − 1Simbolicamente escrevemos: lim g( x ) = 2 ou lim = 2. x →1 x →1 x −1Álvaro Fernandes 4
  5. 5. Observação:Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x → 1− . Temos então que: x2 − 1 Obs: O sinal negativo no expoente do lim g( x ) = 2 ou lim =2 no 1 simboliza apenas que x se − x →1 − x →1 x −1 aproxima do número 1 pela esquerda.∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x → 1+ . Temos então que: x2 − 1 Obs: O sinal positivo no expoente lim g( x ) = 2 ou lim =2 do no 1 simboliza apenas que x se + x →1 + x →1 x −1 aproxima do número 1 pela direita.Definição intuitiva de limite (para um caso geral) Seja f uma função definida num intervalo I ⊂ ℜ contendo a, exceto possivelmente nopróprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L ∈ℜ , e escrevemoslim f ( x ) = L , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguaisx→aà L, isto é, lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em x→a x →asímbolo lim f ( x ) . x→a x2 − 1Ainda com relação à função g( x ) = , podemos então concluir, pela definição, que: x −1 x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1lim = 2 , porque os limites lateriais lim+ e lim− são iguais a 2.x →1 x −1 x →1 x − 1 x →1 x −1De forma equivalente, lim g( x ) = 2 porque lim g( x ) = lim g( x ) = 2 . x →1 x → 1− + x →1Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função,caso ele exista?Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.Álvaro Fernandes 5
  6. 6. 0Cálculo de uma indeterminação do tipo 0 0Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo , deveremos simplificar* a 0expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, naexpressão já simplificada, o valor de x.* Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo práticode Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc...Vejamos os exemplos seguintes. x2 − 1Exemplo 2. Determine lim g( x ) , onde g( x ) = . x →1 x −1 0Observe que substituindo x por 1 na função g obtemos g (1) = que é uma indeterminação 0matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez maispróxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer asubstituição direta. x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1)g (x ) = = = ( x + 1), ∀x ≠ 1 Então: x −1 (x − 1)lim g ( x ) = lim x2 − 1 = lim (x − 1)(x + 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 . Logo, lim x2 − 1 = 2.x →1 x →1 x − 1 x →1 x −1 x →1 x →1 x −1Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma formamais rápida e sistemática.Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!! x2 − 1 x2 − 1 Vale lembrar que a expressão lim = 2 significa que a função g( x ) = está x →1 x −1 x −1tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1.Graficamente podemos verificar isso: x2 − 1Gráfico da função g( x ) = , ∀x ≠ 1. x −1Álvaro Fernandes 6
  7. 7. x −1 0Exemplo 3. Determine lim (observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ). x →1 x −12 0 x −1 x −1 x +1 = lim 2 ⋅ = lim (x − 1) = lim 1 = 1 (x − 1)(x + 1)( ) (x + 1)( )lim .x →1 x − 1 x →1 x − 1 2 x + 1 x →1 x +1 x →1 x +1 4 x −1Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que a função y = está cada vez x −1 2mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. x3 − 8 0Exemplo 4. Determine lim (observe a indeterminação matemática no ponto x = 2 ). x →2 3 x 2 − 12 0lim x3 − 8 = lim ( x3 − 23 = lim ) (x − 2 )(x 2 + 2 x + 4 ) = lim (x 2 + 2 x + 4 12 = ) =1x →2 ( 3 x 2 − 12 x→2 3 x 2 − 4 x→2 ) 3( x − 2 )( x + 2 ) x →2 3( x + 2 ) 12 x3 − 8Constate através das tabelas de aproximações que se x → 2 então y = → 1. 3 x 2 − 12 2x3 + 3x − 5 0Exemplo 5. Determine lim 2 (observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ). x →1 4 x − 3 x − 1 0Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini.Precisaremos antes do...Teorema de D’Alembert: Um polinômio f ( x ) é divisível por ( x − a ) , a ∈ ℜ , se, e somente se, aé uma raiz de f ( x ) , isto é, f (a ) = 0 .f (x ) (x − a ) ⇒ f ( x ) = ( x − a ) ⋅ q( x ) + r ( x ) . Assim, f (a ) = 0 ⇔ r (a ) = 0 .r (x ) q(x )Como o ponto x = 1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveispor x − 1 . Assim, 2 x3 + 3x − 5 (x − 1) 2 x 2 + 2 x + 5 2(1) + 2(1) + 5 9 2 2x3 + 3x − 5lim 2 = lim = (* ) = lim = = .x →1 4 x − 3 x + 1 x →1 4 x − 3x − 1 2 x →1 4x + 1 4 (1) + 1 5 (x − 1)(* ) Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios... 1 2 0 3 -5 1 4 -3 -1 2 2 5 0 = resto 4 1 0 = resto ax 2 + bx + c = 2 x 2 + 2 x + 5 ax + b = 4 x + 1Obs.: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio.Álvaro Fernandes 7
  8. 8. Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.Produtos notáveis:1º) Quadrado da soma: (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 . 22º) Quadrado da diferença: (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 . 23º) Produto da soma pela diferença: (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 .4º) Cubo da soma: (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 . 35º) Cubo da diferença: (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 . 3Fatorações:6º) Fator comum: ax ± ay = a ( x ± y ) .7º) Diferença de quadrados: a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) .8º) Trinômio do 2º grau: ax 2 + bx + c = a(x − x )( x − x ) , onde x e x são as raízes obtidas pela  −b± ∆ fórmula de Bháskara  x =  , onde ∆ = b 2 − 4 ac  .   2a 9º) Soma de cubos: a + b = (a + b ) a − ab + b . 3 3 2 2 ( ) (10º) Diferença de cubos: a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 . )Conjugado de radicais:11º) Conjugado de a− b é a + b , pois ( a− b ⋅ ) ( a + b )= a − b .12º) Conjugado de 3 a −3 b é 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 , pois ( a − b )⋅ ( a + ab + 3 3 3 2 3 3 ) b2 = a − b .Proposição (unicidade do limite).Se lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 , então L1 = L2 . Se o limite de uma função num ponto existe, x→a x→aentão ele é único.Principais propriedades dos limites.Se lim f (x ) e lim g ( x ) existem, e k é um número real qualquer, então: x→a x→aa) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f (x ) ± lim g ( x ) . x→a x→a x→ab) lim k . f ( x ) = k .lim f ( x ) . x→a x→ac) lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g (x ) . x→a x→a x→a f ( x ) lim f ( x )d) lim = x→a , lim g ( x ) ≠ 0 . x→a g (x ) lim g ( x ) x →a x→ae) lim k = k . x→aÁlvaro Fernandes 8
  9. 9. x2 −7Exemplo 6. Calcule lim usando as propriedades. x →1 2x + 4 x 2 − 7 1 lim x − 7 1 lim x +xlim − 7 1 (1) + (− 7 ) − 6 2 2 2 x2 −7 x2 −7 1lim = lim = ⋅ lim = ⋅ x →1 = ⋅ x →1 →1 = ⋅ = = −1x →1 2 x + 4 x →1 2( x + 2 ) 2 x→1 x + 2 2 lim x + 2 2 lim x + lim 2 2 1+ 2 6 x →1 x →1 x →1Ufa, quanto trabalho!!! Bastaria substituir o ponto x = 1 diretamente na expressão, obtendo logo−6 = −1 . 6Atividades (grupo 1).Calcule os limites abaixo: x3 − 1 4 − x2 x2 − 4x + 3 c) lima) lim b) lim 2 x →1 5 x − 5 x →−2 2 + x x →3 x − x − 6 x −1 8 + x3 x 4 − 16 f) limd) lim e) lim x →1 x −1 x →−2 4 − x 2 x→2 8 − x3 1 − x2 2− x−3 3− 5+ xg) lim h) lim i) lim x →−1 x + 2 + x x →7 x 2 − 49 x →4 1− 5 − xAtividades (grupo 2).Calcule os limites indicados:  x 2 − 1, x ≤ 0a) f ( x ) =  , calcule: lim f ( x ) , lim f ( x ) e lim f ( x ) .  x + 1, x > 0 x →−1 x →2 x →0 x2 , x ≠ 2b) g( x ) =  , calcule: lim g( x ) . 3 , x = 2 x →2 4 − x 2 , x < 1c) h( x ) =  , calcule: lim h( x ) . 5 − 2 x , x > 1 x →1 2 x , x < 0 d) l ( x ) = 1 − x 2 , 0 ≤ x < 2 , calcule: lim l ( x ), lim l ( x ), lim l ( x ) e lim l ( x ) .  x →0 x→2 x → −∞ x → +∞ 2 x − 6 , x ≥ 2Álvaro Fernandes 9
  10. 10. ContinuidadeDefinição: Seja x0 um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no pontox0 se: lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0Exemplo 7. A função do exemplo 1 (pág. 3) é contínua no ponto x0 = 2 , pois lim f ( x ) = f (2 ) = 3 . x →2Na verdade esta função é contínua em ℜ , isto é, em todos os pontos da reta (do seu domínio).Exemplo 8. Algumas funções que não são contínuas no ponto x0 :a) b) c)Pois...a) não existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L ; x→ x0b) existe lim f ( x ) , isto é lim f ( x ) = L1 . Existe f ( x0 ) , neste caso f ( x0 ) = L2 , mas x→ x0 x → x0lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) ;x → x0c) não existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L . x→ x0Exemplo 9. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:  1 − x2  , x >1  x −1  x 2 − 16  , x≠4   8 − 2x  2  2x − 2a) f ( x ) =  , x0 = 4 . b) g ( x ) =  , x<1 , x0 = 1 . 2 x − 4 , x = 4  1− x      1 − 5 x , x = 1  Soluções: a) x 2 − 16 Calculando o limite, temos: lim = lim (x − 4 )(x + 4 ) = lim − (x + 4 ) = −4 . x→4 8 − 2 x x →4 2(4 − x ) x→4 2Calculando a imagem, temos: f (4 ) = 2(4 ) − 4 = 4 . Como lim f ( x ) ≠ f (4 ) , então a função não é x→4contínua (ou descontínua) no ponto x0 = 4 .Álvaro Fernandes 10
  11. 11. b) Calculando o limite, temos: lim+ 1 − x2 = lim+ (1 − x )(1 + x ) ⋅ x +1 = lim+ (1 − x )(1 + x )( x +1 ) = lim ( ) − (1 + x ) x + 1 = −4x →1 x −1 x →1 x −1 x +1 x →1 x −1 x →1+ lim− 2x2 − 2 = lim− 2 x2 − 1 ( = 2 lim− ) (x − 1)(x + 1) = 2 lim − ( x + 1) = 2(− 2 ) = −4 x →1 1− x x →1 1− x x →1 1− x x →1 −Como os limites laterais são iguais, temos que lim g ( x ) = −4 . x →1Calculando a imagem, temos: g (1) = 1 − 5(1) = −4 .Como lim g ( x ) = g (1) , então a função é contínua no ponto x0 = 1 . x →1Atividades (grupo 3).Determine, se possível, a constante a ∈ ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas no pontox o , sendo: 3ax 2 + 2 , x < 1 ax 2 + 2 , x ≠ 1 a) f ( x ) =  (xo = 1) . b) g ( x ) =  2 (x o = 1) . x − 2, x ≥ 1 a , x = 1 Atividades (grupo 4).Determine, se possível, as constantes a e b ∈ ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas noponto x o , sendo: 3 x − 3, x > −3 2a. cos(π + x ) + 1, x < 0  c) f ( x ) = ax , x = −3 ( x o = −3 ) . d) g ( x ) = 7 x − 3a , x = 0 (xo = 0 ) . bx 2 + 1, x < −3 b − 2 x 2 , x > 0  Propriedades das funções contínuas.Se as funções f e g são contínuas em um ponto x0 , então:i) f ± g é contínua em x0 ; .ii) f g é contínua em x0 ;iii) f / g é contínua em x0 desde que g ( x0 ) ≠ 0 .Álvaro Fernandes 11
  12. 12. Limites infinitosQuando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas siminfinito ( + ∞ ou − ∞ ), dizemos então que o limite é infinito. x2 − 1Exemplo 10. Calcule lim . x → −1 x −1 x2 − 1 0Neste caso, quando fazemos a substituição de x por − 1 na expressão , encontramos =0. x −1 −2 0Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer , k ≠ 0 , o resultado kdo limite será sempre zero, naturalmente. kE se na substituição do valor de x ocorrer , k ≠0? 0Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra. 1Exemplo 11. Estude o seguinte limite: lim . x →0 xDevemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações:Aproximação do zero pela direita (notação x → 0 + ) x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), f ( x ) = 1 x cresceindefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 1 lim+ = +∞ x →0 xAproximação do zero pela esquerda (notação x → 0 − ) x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), f ( x ) = 1 x decresceindefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 1 lim− = −∞ x →0 x 1Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim . x →0 xVeja ao lado o gráfico da função f ( x ) = 1 x .Álvaro Fernandes 12
  13. 13. Regra (generalização) kSe na substituição do valor de x no cálculo de um limite ocorrer , k ≠ 0 , então diremos que a 0resposta do limite é: k k+ ∞ , se ocorre 0 + , k > 0 e − ∞ , se ocorre 0+ ,k < 0 . k k− ∞ , se ocorre − , k > 0 e + ∞ , se ocorre ,k < 0 0 0− kDesta regra podemos perceber que → 0 . Se o denominador tende ao infinito com o numerador ±∞constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos agora.Limites no infinitoEstamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável xcresce indefinidamente ( x → +∞ ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x → −∞ ). Em algumassituações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode também crescerindefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3). Figura 1 Figura 2 Figura 3Exemplo 12. 1 Na figura 1: lim  + 1 = 0 + 1 = 1 . x → +∞ x  Na figura 2: lim ( x + 1) = +∞ . x → +∞Na figura 3: lim (4 − x 2 ) = −∞ . x → +∞Álvaro Fernandes 13
  14. 14. As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia.Produto: Soma:(∞ ) ⋅ (∞ ) = ∞ (∞ ) + (∞ ) = ∞(∞ ) ⋅ (− ∞ ) = −∞  (− ∞ ) + (− ∞ ) = −∞(− ∞ ) ⋅ (∞ ) = −∞ (∞ ) − (∞ ) = ? indeterminação! (− ∞ ) ⋅ (− ∞ ) = ∞Produto por constante: Soma com constante:k ⋅ (∞ ) = ∞ , k > 0 (± ∞ ) + k = ±∞ , k ∈ ℜk ⋅ (− ∞ ) = −∞ , k > 0k ⋅ (∞ ) = −∞ , k < 0k ⋅ (− ∞ ) = ∞ , k < 0Quociente: Potências:±∞ Se n é um natural não nulo, então: = ? indeterminação!±∞ ∞ , se n é par. (∞ )n = ∞ e (− ∞ )n =   − ∞ , se n é ímpar.Atividades (grupo 5). Calcule os limites: x2a) lim . x→2 x − 2 2x − 4b) lim . x →3 ( x − 3 )2 2x − 7c) lim . x →3 ( x − 3 )2 5d) lim 2 − 2x3 + 6 . x → +∞ 3xAtividades (grupo 6). Calcule os limites: 3− x 3−x x 2 − 10 x−2a) lim+ b) lim− c) lim− d) lim+ x →5 x−5 x→2 x + x −6 2 x → −5 2 x + 10 x →1 x +x−2 2Álvaro Fernandes 14
  15. 15. Expressões indeterminadas 0Vimos que é uma expressão de indeterminação matemática. Também são: 0∞ , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 1∞ , 0 0 e ∞0 .∞Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros serão tratados em capítulos posteriores. ∞A indeterminação do tipo . ∞Exemplo 13. Calcule os limites abaixo: x3 + 1 x2 + 1 6 x2 + 1a) lim b) lim c) lim x → +∞ 5x 2 + 3 x → +∞ x4 + x x → +∞ 3x 2 + x ∞Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo , pois quando x → +∞ ∞as expressões do numerador e denominador também tendem a + ∞ . Não podemos afirmar, a priori,o valor delas. Vejamos:a)  1   1   1  x 3 1 + 3  x 1 + 3  lim x 1 + 3  x +1 3  x  x  + ∞(1 + 0 ) + ∞ = lim  x  x → +∞  lim = lim = = = = +∞x → +∞ 5 x + 3 2 x → +∞ 2 3  x →+∞  3   3  5(1 + 0 ) 5 5x 1 + 2  5 1 + 2  lim 5 1 + 2   5x   5 x  x →+∞  5x   1   1   1  x2 1 +  1 + 2  lim  1 + 2 b) lim 4 x +1 2 = lim  x2  = lim  x  = x → +∞  x  = (1 + 0 ) = 1 = 0 . x → +∞ x + x x → +∞  1  x → +∞  1   1  + ∞(1 + 0 ) + ∞ x4 1 +  x 2  1 + 3  lim x 2  1 + 3   x3   x  x → +∞  x   1   1   1  6 x 2 1 + 2  61 + 2  lim  1 + 2  6 x  6 (1 + 0 ) 2 6x + 1  6x   6x  6 x → +∞c) lim = lim = lim = ⋅ = ⋅ =2. 2 x → +∞ 3 x + x x → +∞ 2 1  x →+∞  1  3  1  3 (1 + 0 ) 3x 1 +  3 1 +  lim  1 +   3x   3x  x → +∞ 3x  ∞Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo produziram respostas ∞distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que pararesolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência nonumerador e no denominador.Álvaro Fernandes 15
  16. 16. Atividades (grupo 7).1. Calcule os limites abaixo: 2x3 − 1a) lim . x → +∞ 5 x 3 + x + 1 x 5 + 3x 2b) lim . x → +∞ 2x + 1 x2 + 2x3c) lim . x → −∞ 5 x + 3 − x 4 x2d) lim . x → −∞ 1 − 5 x 2A indeterminação do tipo ∞ - ∞Exemplo 14. Calcule os limites abaixo:a) lim x 2 − x 3 . b) lim 5 x 2 + x . x → +∞ x → −∞Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemosafirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:Usando a mesma técnica da indeterminação anterior...  1 a) lim x 2 − x 3 = lim − x 3  − + 1 = −∞(0 + 1) = −∞(1) = −∞ . x → +∞ x → +∞  x   1 7 b) lim x + 5 x 2 + 7 = lim 5 x 2  + 1 + 2  = +∞(0 + 1 + 0 ) = +∞(1) = +∞ . x → −∞ x → −∞  5x 5x Atividades (grupo 8).1. Calcule os limites abaixo:a) lim x 5 − x 3 + 2 x . b) lim x 4 + 5 x − 6 . c) lim x + 2 − x . x → +∞ x → −∞ x →∞A indeterminação do tipo 0 × ∞Exemplo 15. Calcule os limites abaixo:a) lim 2 2 ( x +1 . ) b) lim 3 (x ) . x → +∞ x3 x → +∞ xÁlvaro Fernandes 16
  17. 17. Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemosafirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: 2x2 + 2a) lim x → +∞ 2 2 x3 ( x + 1 = lim ) x → +∞ x3 = ... Transformamos a indeterminação 0 × ∞ em ∞ ⁄ ∞ . Daí vocêjá sabe! 2x 2 + 2... = lim = ... = 0 . x → +∞ x3 3 3xb) lim (x ) = xlim = ... Novamente transformamos a indeterminação para ∞ ⁄ ∞. Usando a x → +∞x x → +∞técnica da racionalização: 3x 3x x 3x x... = lim = lim ⋅ = lim = lim 3 x = 3(+ ∞ ) = +∞ . x → +∞ x x → +∞ x x x → +∞ x x → +∞Atividades (grupo 9).1. Calcule os limites abaixo:a) lim 1 (x 2 + 3). b) lim  (  2  2 )  x − 25 . x → +∞ x x→5 +  x-5 Limite fundamental exponencial (a indeterminação do tipo 1∞) O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presenteem vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populaçõesde bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área deeconomia, é aplicado no cálculo de juros. Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimentoda teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não podeser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente: e ≅ 2,7182818 Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial f ( x ) = e é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção xespecial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano. x  1Proposição: lim  1 +  = e. x → ±∞  xA prova desta proposição envolve noções de séries. Utilizaremos o recurso das tabelas deaproximações e gráfico para visualizar este resultado.Álvaro Fernandes 17
  18. 18. Tabela x  1 x f (x ) =  1 +   x 100 2,7048.. 1000 2,7169.. 100.000 2,7182.. x→ +∞ f(x) → eFaça uma tabela para x → - ∞.Gráfico:Exemplo 16. Calcule os limites abaixo: 5x 4x  1  3a) lim  1 +  . b) lim  1 −  . x → +∞  x x → −∞  xNestes dois casos percebemos indeterminações do tipo 1∞ . Vejamos as soluções... 5 5  1 5x  1  x   1  xa) lim  1 +  = lim  1 +   =  lim  1 +   = e 5 . x → +∞  x x → +∞   x   x →+∞  x b) Neste caso, usaremos uma mudança de variável...Faça x = −3t . Se x → −∞ então t → +∞ . 4 ( −3 t ) −12  3 4x  3   1 −12 t   1  tLogo, lim  1 −  = lim  1 −  = lim  1 +  =  lim  1 +   = e −12 . x → −∞  x t → +∞  − 3t  t → +∞  t t →+∞   t Atividades (grupo 10).1. Calcule os limites abaixo: 2x 5x 2x  7  2  x + 1a) lim  1 +  . b) lim  1 −  . c) lim   . x → +∞ x − 1 x →+∞  x x → −∞  x  Álvaro Fernandes 18
  19. 19. Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial: ax −1i) lim (1 + x ) 1x = e. ii) lim = ln(a ), a > 0 e a ≠ 1 . x →0 x →0 xAtividades (grupo 11). Resolva os dois limites acima com as sugestões a seguir: 1• No item (i) faça a mudança de variável x = e use o limite fundamental exponencial. t• No item (ii) faça a mudança de variável a x − 1 = t e use o item (i).Atividades (grupo 12).1. Resolva os limites abaixo:a) lim (1 + 2 x ) . 1x 3x − 1 ex − 1 ex − 2x x →0 b) lim . c) lim . d) lim . x →0 x x →0 4x x →0 xLimite fundamental trigonométrico 0 O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo 0envolvendo a função trigonométrica y = sen( x ) . Este limite é muito importante, pois com eleresolveremos outros problemas. sen( x )Proposição: lim = 1. x→0 x sen( x )A função f ( x ) = é par, isto é, f (− x ) = f ( x ) , ∀x ≠ 0 , pois x sen(− x ) − sen(x ) sen( x ) f (− x ) = = = = f (x ) . −x −x xSe x → 0 + ou x → 0 − , f ( x ) apresenta o mesmo valor numérico.Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado. Tabela x sen( x ) f (x ) = x ±0,1 0.9983341664683.. ±0,01 0.9999833334167.. ±0,001 0,9999998333333.. ±0,0001 0,9999999983333.. ±0,00001 0,9999999999833.. ±10-10 0,9999999999999.. x→0 f (x ) → 1Álvaro Fernandes 19
  20. 20. sen( x )Visualizando o gráfico da função f ( x ) = , podemos perceber também este resultado... xExemplo 17. Calcule os limites abaixo: sen(2 x ) sen(5 x ) cos( x ) − 1 tg ( x )a) lim . b) lim . c) lim . d) lim . x →0 x x →0 sen(3 x ) x →0 x x →0 xSoluções: sen(2 x ) sen(2 x ) sen(2 x )a) lim = lim 2 ⋅ = 2 ⋅ lim = ... x →0 x x →0 2x x →0 2xFaça 2 x = t . Se x → 0 então t → 0 . Logo: sen(t )... = 2 ⋅ lim = 2(1) = 2 . t →0 t sen(kx )De uma forma geral, ∀k ∈ ℜ* , lim = 1 . Vamos usar este resultado agora: x →0 kx sen(5 x ) sen(5 x ) ⋅ 5x lim sen(5 x ) 5 x →0 5 x 5 1 5b) lim = lim 5 x = ⋅ = ⋅ = . x →0 sen(3 x ) x →0 sen(3 x ) 3 sen(3 x ) 3 1 3 ⋅ 3x lim 3x x →0 3x cos ( x ) − 1 cos( x ) − 1 cos( x ) + 1 cos 2 ( x ) − 1 − sen 2 ( x )c) lim = lim ⋅ = lim = lim = x →0 x x →0 x cos( x ) + 1 x →0 x[cos( x ) + 1] x →0 x[cos ( x ) + 1] sen( x ) − sen(x )  0 = lim ⋅ = 1 =0. x →0 x cos( x ) + 1  1 + 1  tg ( x ) sen( x ) sen(x ) 1 sen( x ) 1  1d) lim = lim = lim ⋅ = lim ⋅ lim = 1  = 1 . x x →0 x cos ( x ) x cos( x ) x x →0 cos ( x ) x →0 x →0 x →0  1Atividades (grupo 13).1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico fundamental: sen(4 x ) 1 − cos( x ) 2e x + 6 sen( x ) − 2 6 x − sen( x )a) lim . b) lim . c) lim . d) lim . x →0 3x x →0 x 2 x →0 3x x →0 2 x + 3 sen( x )Álvaro Fernandes 20
  21. 21. Funções limitadasDefinição: Uma função y = f ( x ) é chamada limitada, se existe uma constante k ∈ ℜ* , tal que f ( x ) ≤ k , ∀x ∈ D( f ) , isto é , − k ≤ f ( x ) ≤ k , ∀x ∈ D( f ) . Em outras palavras, y = f ( x ) possui oconjunto imagem contido num intervalo de extremos reais.Obs.: D( f ) significa o domínio da função f.Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos. f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x2+3x-1)Proposição: Se lim f ( x ) = 0 e g ( x ) é uma função limitada, então lim f ( x ).g ( x ) = 0 . x→a x→a ou ou x → ±∞ x → ±∞Exemplo 18. sen( x )a) Calcule lim . x → +∞ xSolução: sen( x ) 1lim = lim ⋅ sen( x ) = * = 0x → +∞ x x → +∞ x 1* Usando a proposição: Se x → +∞ então → 0 . Como a função sen(x ) é limitada, então o xresultado é zero. sen( x )Gráfico da função f ( x ) = : xObserve que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando x → +∞ . O resultado do limitepermanece o mesmo se x → −∞ .Álvaro Fernandes 21
  22. 22. cos( x )b) Calcule lim . x → +∞ xSolução: de forma análoga... cos( x ) 1lim = lim ⋅ cos( x ) = 0 .x → +∞ x x → +∞ x cos( x )Gráfico da função f ( x ) = : xObserve que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitudequando x → +∞ . O resultado do limite permanece o mesmo se x → −∞ .  x+1 c) Calcule lim  2  ⋅ cos( x ) . x → +∞ x + 1    x+1   x+1  lim  2  = 0 (Por quê?) e cos( x ) é uma função limitada. Logo, lim  2  ⋅ cos(x ) = 0 .x → +∞ x + 1 x → +∞ x + 1      x+1 Gráfico da função f ( x ) =  2  ⋅ cos( x ) :  x + 1Atividades (grupo 14).1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada: 3 cos(x ) + 2 xa) lim e x ⋅ sen( x ) . b) lim . x → −∞ x → +∞ 2xÁlvaro Fernandes 22
  23. 23. 1. Problema da área sob o arco da parábola y = x 2 no intervalo [0 , 1] (Figura 1). Método dos retângulos. Figura 1.Dividindo o intervalo [0 , 1] em n subintervalos, cada subintervalo terá comprimento 1 n :  1 1 21o subintervalo 0 ,  , 2o subintervalo  ,  ,  n n n 2 3 n − 1 n n3o subintervalo  ,  , ... , no subintervalo  , . Obs.: = 1. n n  n n nVamos construir retângulos (Figura 2) cujas bases são ao subintervalos e cujas alturas são asimagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela função y = x 2 :* a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremodireito. Figura 2. Figura 3.Calculando as área desses retângulo ( A = b.h ), obtemos: 1 12 1 22 1 32 1 n2A1 = ⋅ , A2 = ⋅ , A3 = ⋅ , ... , An = ⋅ . n n2 n n2 n n2 n n2A área total desses retângulos ( Atn ) nos dá uma aproximação da área (Figura 1) que queremoscalcular: n 1  12 2 2 3 2 n2  1  12 + 2 2 + 3 2 + + n2 Atn = ∑ Ai =  2 + 2 + 2 + + 2 =  = i =1 nn  n n n  n   n2  Álvaro Fernandes 23
  24. 24. 1  n(n + 1)(2n + 1)  n(n + 1)(2 n + 1)=  = . n 6n2  6n3Obs.: A soma 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 é conhecida pela fórmula [n(n + 1)(2 n + 1)] 6 .Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n: n 6 (Figura 3) 10 100 1.000 10.000 100.000 Atn 0,421296 0,385000 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338A área exata que estamos procurando (Figura 1) é calculada pelo limite: n(n + 1)(2 n + 1) 1 lim ATn = lim = = 0 ,3 . (Calcule este limite e mostre que é igual a 1/3) n → +∞ n → +∞ 6n3 32. Problema do circuito RL em série. No circuito da figura 4, temos uma associação em série de um resistor (símbolo R) e umindutor (símbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equaçõesdiferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito é dada por R E −  t i (t ) = + c.e  L  , (1) Ronde E é uma bateria de voltagem fixa, c é uma constante real e t é o tempo. Unidade de resistência: ohm. Unidade de indutância: henry. Figura 4.Exercício 1: Se uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série (como na fig. 4) no qualo indutor é de 1/2 henry e o resistor é de 10 ohms, determine o valor da constante c e a correntei (t ) . Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero.Exercício 2: Determine lim i (t ) , sendo i (t ) da equação (1). t → +∞ R −  tObs.: Quando t → +∞ o termo c.e  L  da equação (1) se aproxima de zero. Tal termo éusualmente denominado de corrente transitória. A razão E/R é chamada de corrente estacionária.Após um longo período de tempo, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de OhmE = Ri .Álvaro Fernandes 24
  25. 25. DerivadaA reta tangente.Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto.Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P.Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4.Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados.Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Fig. 8 Fig. 9.Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo dacircunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas.Álvaro Fernandes 25
  26. 26. Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seudomínio.Seja y = f ( x ) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P( xo , y o ) , sendo y o = f ( x o ) ,um ponto fixo e Q( x , y ) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f.Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s.Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. y t s y f Q ∆y = y − yo P T ∆x = x − xo yo β α x x xoConsiderando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como ∆y y − yo Qtg (β ) = = . ∆x x − xo y − yo β P x − xo TSuponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a retas se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg (β ) se aproximaráda tg (α ) . Usando a notação de limites, é fácil perceber que lim tg (β ) = tg (α ) . Q→ PMas quando Q → P temos que x → xo . Desta forma, o limite acima fica y − yo f ( x ) − f ( xo ) lim tg (β ) = tg (α ) ⇔ lim = lim = tg (α ) . Q→ P x → xo x − xo x→ xo x − xo f ( x ) − f ( xo )Assim lim = tg (α ) . x → xo x − xoÁlvaro Fernandes 26
  27. 27. Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. O coeficienteangular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite f (x ) − f (xo ) m = lim , quando este existir. x → xo x − xo m = tg (α ) y o = f (xo )Equação da reta tangentePodemos agora determinar a equação da reta tangente t, pois já conhecemos o seu coeficienteangular e um ponto do seu gráfico P( xo , y o ) .A equação da reta tangente t é:a) ( y − y o ) = m(x − xo ) , se o limite que determina m existir; f (x ) − f (xo )b) A reta vertical x = xo se lim for infinito. x → xo x − xoExemplo 19. Determine a equação tangente a parábola f ( x ) = x 2 no ponto de abscissa xo = 1 .Solução: Temos que determinar dois termos y o e m.y o = f ( xo ) ⇒ y o = f (1) = 12 = 1 . f (x ) − f (xo ) f ( x ) − f (1) x2 − 1m = lim = lim = lim = = 2. x → xo x − xo x →1 x −1 x →1 x − 1Logo a equação da reta tangente é ( y − 1) = 2( x − 1) ou y = 2x − 1 .Álvaro Fernandes 27
  28. 28. Equação da reta normalDefinição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n)ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t). ( ) ( ) • A equação da reta normal é ( y − y o ) = −1 (x − xo ) , sendo que m = xlim f x − f xo ≠ 0 . m → xo x − xo • Se m = 0 , então a equação da reta normal é a reta vertical x = xo . f (x ) − f (xo ) • Se lim for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação y = y o . x → xo x − xoAtividades (grupo 15).Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo nos pontosindicados. Esboce os gráficos das funções com as retas.a) f ( x ) = x 3 no ponto de abscissa xo = 1 .b) f ( x ) = x no ponto de abscissa xo = 4 .A derivada de uma função num ponto f (x ) − f (xo )O limite lim é muito importante, por isso receberá uma denominação especial. x → xo x − xoDefinição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada dafunção f no ponto xo e denota-se f ( xo ) (lê-se f linha de xo ), o limite f (x ) − f (xo ) f ( xo ) = lim , quando este existir. x → xo x − xoForma alternativa para derivada:Se fizermos ∆x = x − xo , obtemos a seguinte forma para f ( xo ) : f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) f ( xo ) = lim . ∆x →0 ∆xÁlvaro Fernandes 28
  29. 29. Outras notações para a derivada da função y = f ( x ) num ponto x qualquer: • y ( x ) (lê-se: y linha de x ou derivada de y em relação a x); • D x f (lê-se: derivada da função f em relação à x); dy • (lê-se: derivada de y em relação à x). dxExemplo 20. Dada a função f ( x ) = x 2 − x + 1 , determine f (2 ) . Use as duas formas da definição. f (x ) − f (xo )⇒ Usando f ( xo ) = lim : x → xo x − xo f ( x ) − f (2 ) x2 − x + 1 − 3 x2 − x − 2 (x − 2 )(x + 1) = lim (x + 1) = 3 .f (2 ) = lim = lim = lim = lim x→2 x−2 x→2 x−2 x→2 x−2 x→2 x−2 x→2 f ( xo + ∆x ) − f ( xo )⇒ Usando f ( xo ) = lim : ∆x →0 ∆x f (2 + ∆x ) − f (2 ) (2 + ∆x ) − (2 + ∆x ) + 1 − 3 = lim 4 + 4 ∆x + ∆x 2 − 2 − ∆x − 2 = 2f (2 ) = lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x 3∆x + ∆x 2 ∆x(3 + ∆x )= lim = lim = lim (3 + ∆x ) = 3 + 0 = 3 . ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto.Atividades (grupo 16).1. Determine a equação da reta tangente à curva y = 5 − x 2 , que seja perpendicular à reta y = 3 + x .2. Determine a equação da reta normal à curva y = x 3 , que seja paralela à reta 3 y + x = 0 .Derivadas laterais Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites lateraisexistem e são iguais. Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivadasomente existirá em condições análogas.Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f emxo , denotada por f + (xo ) é definida por f (x ) − f (xo ) f + ( xo ) = lim+ . x → xo x − xoÁlvaro Fernandes 29
  30. 30. Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de fem xo , denotada por f − ( xo ) é definida por f (x ) − f (xo ) f − ( xo ) = lim− . x → xo x − xoUma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda)existem e são iguais neste ponto.Exemplo 21. Considere a função f ( x ) = x + 1 . Mostre que esta função é contínua no pontox = −1 mas não é derivável neste ponto.f é contínua neste ponto pois lim f ( x ) = lim x + 1 = − 1 + 1 = 0 = 0 = f (− 1) . x → −1 x → −1  x + 1, x > −1 Sabemos que f ( x ) = x + 1 = − x − 1, x < −1 . Vamos calcular f (− 1) : 0 , x = −1  f ( x ) − f (− 1) x +1−0 x+1f + (− 1) = lim+ = lim+ = lim+ = lim+ (1) = 1 . x → −1 x+1 x → −1 x+1 x → −1 x + 1 x → −1 f ( x ) − f (− 1) − x −1−0 − ( x + 1)f − (− 1) = lim− = lim− = lim− = lim− (− 1) = −1 . x → −1 x+1 x → −1 x+1 x → −1 x+1 x → −1Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe f (− 1) .Veja o gráfico da função f ( x ) = x + 1 . Não existe reta tangente ao gráfico desta função no ponto x0 = −1 .Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é umponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso.No exemplo acima a função f ( x ) = x + 1 tem um ponto anguloso em x = −1 .Atividades (grupo 17). Verifique se a função abaixo tem derivada no ponto xo . Este ponto éanguloso? Esboce o gráfico da função e constate.  1 − x , x > 0 2  2  x + x + 1, x > 0a) f ( x ) =  x no ponto x o = 0 . b) g ( x ) =  x no ponto x o = 0 . e , x ≤ 0  e , x ≤ 0 Álvaro Fernandes 30
  31. 31. Regras de derivaçãoVamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrera definição.1. Derivada de uma função constante.Se f ( x ) = c , c é uma constante real, então f ( x ) = 0 . f ( x + ∆x ) − f ( x ) c−c f ( x ) = lim = lim = lim 0 = 0 . ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x → 02. Derivada da função potência.Se n é um inteiro positivo e f ( x ) = x n , então f ( x ) = nx n −1 . f ( x + ∆x ) − f ( x ) (x + ∆x ) − x n nProva: f ( x ) = lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆xUsando o Binômio de Newton para expandir ( x + ∆x ) , obtemos n  n n(n − 1) n − 2 n  x + nx ∆x + 2! x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  − x n −1 2 n −1 n f ( x ) = lim   = ∆x →0 ∆x  n(n − 1) n − 2 n −1  x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  n−2 ∆x nx n −1 +  2! == lim ∆x →0 ∆x  n(n − 1) n − 2 n −1  x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  = nx n −1 . n−2= lim nx n −1 + ∆x →0  2! Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo:a) f ( x ) = x b) f ( x ) = x 2 c) f ( x ) = x 5a) f ( x ) = x 1 ⇒ f (x ) = 1x 1−1 = 1 . Logo f ( x ) = 1 .b) f ( x ) = x 2 ⇒ f ( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x . Logo f ( x ) = 2 x .c) f ( x ) = x 5 ⇒ f ( x ) = 5 x 5 −1 = 5 x 4 . Logo f (x ) = 5 x 4 .Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido.Atividades (grupo 18).1. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f ( x ) = x −1 é f ( x ) = − x −2 . 12. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f ( x ) = x é f ( x ) = . 2 xÁlvaro Fernandes 31
  32. 32. 3. Derivada do produto de uma constante por uma função.Se f ( x ) é uma função derivável e c é uma constante real, então a função g ( x ) = cf ( x ) temderivada dada por g ( x ) = cf ( x ) . g ( x + ∆x ) − g ( x ) cf ( x + ∆x ) − cf ( x ) c[ f ( x + ∆x ) − f ( x )]Prova: g´ ( x ) = lim = lim = lim = ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x )= c ⋅ lim = cf ´ ( x ) . ∆x →0 ∆xExemplo 23. Se f ( x ) = 5 x 3 então f ( x ) = 5 3 x 2 = 15 x 2 .( )4. Derivada de uma soma de funções.Se f ( x ) e g ( x ) são função deriváveis, então a função h( x ) = f ( x ) + g ( x ) tem derivada dada porh ( x ) = f ( x ) + g ( x ) .Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.Exemplo 24. Se f ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 − x + 5 então f ( x ) = 12 x 2 + 6 x − 1 .5. Derivada de um produto de funções.Se f (x ) e g ( x ) são função deriváveis, então a função h( x ) = f (x ) ⋅ g ( x ) tem derivada dada porh ( x ) = f (x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ( x ) .Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.Exemplo 25. ( ) ( ) ( )Se f ( x ) = x 3 − x (2 − x ) então f ( x ) = 3 x 2 − 1 (2 − x ) + x 3 − x (0 − 1) = −4 x 3 + −6 x 2 + 2 x − 2 .6. Derivada de um quociente de funções. f (x )Se f (x ) e g ( x ) são função deriváveis, então a função h( x ) = tem derivada dada por g (x ) f ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ( x )h ( x ) = . [g (x )]2Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.Exemplo 26. Se f (x ) = 5x2 − 8 então f ( x ) = ( ) (10 x ) ⋅ (2 x ) − 5 x 2 − 8 ⋅ (2 ) = ... = 5 x 2 + 8 . 2x 4x2 2x2Álvaro Fernandes 32
  33. 33. Atividades (grupo 19).1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo:a) f ( x ) = x −2 + 3 x + 1 . b) f ( x ) = x 8( ) (x + 3) . ( ) c) f ( x ) = 3 x 4 + x (6 − x ) . 5x − 3 3 ( )d) f ( x ) = x 2 − 3 2 x 3 . e) f ( x ) = 2 + x. f) f ( x ) = x 1 4 (2 − x ) . 2xg) f ( x ) = x x+1 + x −2 + 6 . h) f ( x ) = x −2 . ( i) f ( x ) = 4 x 3 1 − x 2 . )2. Determine os valores das constantes a e b na parábola f (x ) = ax 2 + b de modo que a reta deequação y = 8 x + 4 seja tangente a parábola no ponto x = 2 .Derivada da função composta (Regra da cadeia) Até o momento sabemos derivar a função g ( x ) = x 3 e também a função f ( x ) = 2 x + 1 .Considere agora a função composta gof ( x ) = g ( f ( x )) = (2 x + 1) . Como poderemos obter a derivada 3da função composta gof ( x ) sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece umaforma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g.Regra da cadeia dy duSe y = g (u ) , u = f ( x ) e as derivadas e existem, então a função composta du dxy = gof ( x ) = g ( f ( x )) tem derivada dada por dy dy du = ⋅ ou y´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ou gof ´ ( x ) = g´ ( f ( x )) ⋅ f ´ ( x ) . dx du dxAs três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações.Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo: 5  x a) y = (2 x + 1) 3 b) y = 5 x + 3 c) y =    1 − 3x Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares y = g (u ) eu = f ( x ) (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra.a) y = (2 x + 1) 3y = u3u = 2 x + 1Então y´ (x ) = y´ (u ) ⋅ u´ (x ) ⇒ y´ ( x ) = 3u 2 ⋅ 2 = 3(2 x + 1) ⋅ 2 = 6 (2 x + 1) . 2 2Logo y´ ( x ) = 6 (2 x + 1) . 2Álvaro Fernandes 33
  34. 34. b) y = 5 x + 3y = uu = 5 x + 3 1 5 5Então y´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = ⋅ (5 ) = . Logo y´ ( x ) = . 2 u 2 5x + 3 2 5x + 3 5  x c) y =    1 − 3x y = u5 xu = 1 − 3x  (1)(1 − 3 x ) − ( x )(− 3 ) Então y´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = 5u 4 ⋅  =  (1 − 3 x )2   x   (1)(1 − 3 x ) − ( x )(− 3)  4 5x4= 5  ⋅  = .  1 − 3x   (1 − 3 x )2  (1 − 3 x )6 5x4Logo y´ ( x ) = . (1 − 3 x )6Proposição: Se f ( x ) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então d [ f (x )]n = n[ f (x )]n−1 . f ´ (x ) dxProva: Fazendo y = u n , onde u = f ( x ) e aplicando a regra da cadeia, temosy´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = nu n −1 ⋅ f ´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = n[ f ( x )] ⋅ f ´ (x ) . n −1A proposição continua válida se n for um número racional não nulo.Exemplo 28. Calcule a derivada da função y = 4 ⋅ 3 1 + x − x 3 .Podemos escrever y = 4 1 + x − x 3 ( )13 e calcular a derivada usando a proposição acima:y´ ( x ) = 4 ⋅ 1 3 (1 + x − x3 ) −2 3 ( ⋅ 1 − 3x 2 .)Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27.Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas maiscomplicados...Álvaro Fernandes 34

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