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breve descripción de la recta y de las secciones conicas...para priemer año general

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  1. 1. GEOMETRIA ANALITICA
  2. 2. Nociones Básicas de la Geometría Analítica . La Geometría Analítica es el estudio o tratamiento analítico de la geometría, y por primera vez fue presentado por René Descartes en su libro llamado Géometrie que se publicó en el año de 1637. En la actualidad se estudia con el nombre de Geometría Analítica , y que se fundamenta en el uso de Sistemas de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas en honor de su fundador.
  3. 3. Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas . Este sistema está formado por dos rectas o ejes , perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical , que al intersectarse forman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes , las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura 1 .
  4. 5. <ul><li>LA RECTA. </li></ul><ul><li>CIRCUNFERENCIA. </li></ul><ul><li>LA PARÁBOLA. </li></ul><ul><li>ELIPSE. </li></ul><ul><li>HIPÉRBOLA </li></ul>CÓNICAS
  5. 6. LA RECTA
  6. 7. Geometría Euclidiana Geometría Cartesiana Geometría Sintética Geometría Analítica
  7. 8. <ul><li>EUCLIDES </li></ul><ul><li>Nació alrededor de 325 AC </li></ul><ul><li>Murió alrededor de 265 AC en Alejandría, </li></ul><ul><li>Egipto. </li></ul>Los seis primeros contienen una sistematización del conocimiento de Geometría Plana básica de su época. Se convierten en el paradigma de exposición científica. Autor de trece volúmenes de ELEMENTOS.
  8. 9. <ul><li>RENE DESCARTES </li></ul><ul><li>Nació el 31 de marzo de 1596 en VBV Francia </li></ul><ul><li>Murió el 11 de febrero de 1650 en </li></ul><ul><li>Suecia. </li></ul>Creador, junto con Fermat, del METODO DE LAS COORDENADAS que transforma problemas geométricos en problemas algebraicos
  9. 10. Plano Euclidiano Plano Cartesiano Lugares geométricos Ecuaciones
  10. 11. <ul><li>PLANO CARTESIANO </li></ul>P O eje de abscisas eje de ordenadas origen de coordenadas x (x,y) y x y (0,0)
  11. 12. Geometría Sintética Geometría Analítica Ecuación de la recta Dos puntos determinan una recta.
  12. 13. <ul><li>RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN: </li></ul>O P Q P´ Q´ (x,y) (x 1 ,y 1 ) El punto Q es un punto arbitrario sobre la recta, con coordenadas (x,y) Consideremos la recta que une el origen con el punto P. P Las coordenadas de P son (x 1 ,y 1 ) Al trazar las proyecciones, obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes: OPP´ y OQQ´. El teorema de Thales implica
  13. 14. <ul><li>De ser así, llamamos, como se acostumbra, </li></ul><ul><li>pendiente . Despejamos y tenemos que </li></ul>tiene sentido siempre cuando Notemos que la expresión es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto
  14. 15. es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto significa que los puntos de esa recta son precisamente aquellos que tienen la forma Decir que
  15. 16. PREGUNTA ¿ Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto cuando ? ¿Cuál es esta recta?
  16. 17. <ul><li>RECTAS ARBITRARIAS: </li></ul>P´ Q´ R(x,y) P(x 1 ,y 1 ) Q(x 2 ,y 2 ) De nuevo, En coordenadas, Consideremos la recta l que pasa por los puntos P(x 1 ,y 1 ) y Q(x 2 ,y 2 ).
  17. 18. tiene sentido siempre cuando Como en el caso de las rectas que pasan por el origen, la expresión
  18. 19. Despejamos para obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos y Si , llamamos como antes pendiente de la recta a
  19. 20. <ul><li>INTERPRETACION DE LA PENDIENTE: </li></ul>P(x 1 ,y 1 ) Q(x 2 ,y 2 ) Observemos que es también el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas. Por lo tanto, Por las definiciones, y también, La pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje de las abscisas con la recta (en esta dirección).
  20. 21. Geometría Sintética Geometría Analítica Rectas secantes. Condiciones sobre la pendiente. Geometría Analítica: Rectas secantes. l 1 l 2 P(x 0 ,y 0 ) Si Si P(x 0 ,y 0 ) está sobre la recta l 1 de ecuación y sobre la recta l 2 de ecuación Entonces es solución del sistema
  21. 22. Geometría Analítica: Rectas secantes. Resolvamos el sistema Cuando remplazamos el valor de y de la segunda ecuación en la primera obtenemos Operamos y agrupamos
  22. 23. Geometría Analítica: Rectas secantes. La ecuación tiene solución siempre que CONSECUENCIA Dos rectas con pendientes distintas siempre se intersectan. POR CONSIGUIENTE…
  23. 24. Geometría Sintética Geometría Analítica Rectas Paralelas son aquellas que no se intersectan. Tienen la misma pendiente.
  24. 25. Geometría Sintética Geometría Analítica Teorema de Pitágoras Distancia entre dos puntos
  25. 26. <ul><li>DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: </li></ul>P Q (x 1 ,y 1 ) (x 2 ,y 2 ) |y 2 -y 1 | |x 2 -x 1 | Por el Teorema de Pit ágoras
  26. 27. El triángulo POQ es rectángulo. Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras afirma Condiciones sobre la pendiente. Como P(x 1 ,y 1 ) está sobre la recta l 1 de ecuación Geometría Sintética Geometría Analítica Rectas Perpendiculares. Geometría Analítica: Rectas Perpendiculares. l 1 l 2 Q(x 2 ,y 2 ) y como Q(x 2 ,y 2 ) está sobre la recta l 2 de ecuación P(x 1 ,y 1 ) O Las rectas l 1 y l 2 son perpendiculares |OP| 2 +|OQ| 2 =|PQ| 2 entonces entonces
  27. 28. Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. obtenemos Como y
  28. 29. Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. obtenemos De y cuando simplificamos
  29. 30. Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. Hemos mostrado que dos rectas de pendientes son perpendiculares , cuando y sólo cuando
  30. 31. Geometría Analítica: Algunos ejercicios . Hallar los puntos sobre el eje de las abscisas que distan 5 del punto P(2,-3) Dados P(2,2) y Q(5,-2), hallar los puntos R sobre el eje de las abscisas tales que el ángulo es recto.
  31. 32. Punto medio de un segmento de recta.
  32. 33. ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR
  33. 34. CÓNICAS
  34. 43. ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR
  35. 45. Uno crece Imposible atravesar la vida ... sin que un trabajo salga mal hecho, sin que una amistad cause decepción, sin padecer algún quebranto de salud, sin que un amor nos abandone, sin que nadie de la familia fallezca, sin equivocarse en un negocio.
  36. 46. Ese es el costo de vivir. Sin embargo lo importante no es lo que suceda, sino, cómo se reacciona. Si te pones a coleccionar heridas eternamente sangrantes, vivirás como un pájaro herido incapaz de volver a volar.
  37. 47. Uno crece... Uno crece cuando no hay vacío de esperanza, ni debilitamiento de voluntad, ni pérdida de fe. Uno crece cuando acepta la realidad y tiene aplomo de vivirla. Cuando acepta su destino, pero tiene la voluntad de trabajar para cambiarlo. Uno crece asimilando lo que deja por detrás, construyendo lo que tiene por delante y proyectando lo que puede ser el porvenir.
  38. 48. Crece cuando supera, se valora y sabe dar frutos. Uno crece cuando abre camino dejando huellas, asimila experiencias... ¡Y siembra raíces! Uno crece cuando se impone metas, sin importarle comentarios negativos, ni prejuicios, cuando da ejemplos sin importarle burlas, ni desdenes, cuando cumple con su labor.
  39. 49. Uno crece cuando se es fuerte por carácter, sostenido por formación, sensible por temperamento... ¡Y humano por nacimiento! Uno crece cuando enfrenta el invierno aunque pierda las hojas, recoge flores aunque tengan espinas y marca camino aunque se levante el polvo. Uno crece cuando se es capaz de afianzarse con residuos de ilusiones, capaz de perfumarse con residuos de flores... ¡Y de encenderse con residuos de amor!
  40. 50. Uno crece ayudando a sus semejantes, conociéndose a sí mismo y dándole a la vida más de lo que recibe. Uno crece cuando se planta para no retroceder... Cuando se defiende como águila para no dejar de volar... Cuando se clava como ancla y se ilumina como estrella. Entonces... Uno Crece Prof. Andrés A Henríquez v.

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