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3 anpad rl_rq_2005_a_2007_resolvidos 3 anpad rl_rq_2005_a_2007_resolvidos Document Transcript

  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com1 1) Em uma determinada maternidade estavam num mesmo quarto cinco mães: Marta, Juliana, Vanessa, Giovana e Rosa, e suas filhas: Betina, Clara, Renata, Judite e Lúcia, não necessariamente nessa ordem. Os enfermeiros do hospital afirmaram o seguinte: I. Se Betina é filha de Marta, então Clara não é filha de Juliana. II. Clara é filha de Juliana, ou Renata é filha de Vanessa. III. Se Judite não é filha de Giovana, então Betina é filha de Marta. IV. Nem Renata é filha de Vanessa nem Lúcia é filha de Rosa. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) Renata é filha de Vanessa, ou Betina é filha de Marta. b) se Clara é filha de Juliana, Betina é filha de Marta. c) Judite é filha de Giovana, e Clara é filha de Juliana. e) Judite é filha de Giovana, e Betina é filha de Marta. Solução: Sejam as proposições simples: :b Betina é filha de Marta; :c Clara é filha de Juliana; :j Judite é filha de Giovana; :r Renata é filha de Vanessa; :l Lúcia é filha de Rosa. Colocando-se o argumento1 lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P cb ~→ V :2P rc ∨ V :3P bj →~ V :4P lr ~~ ∧ V :C ? V Da premissa 4 vem: Renata não é filha de Vanessa e Lúcia não é filha de Rosa. Desse modo, segue-se que, na premissa 2, que Clara é filha de Juliana. Passando-se para a premissa 1: Betina não é filha de Marta. Finalizando, na premissa 3: Judite é filha de Giovana. Resposta: letra c. 2) Quatro colegas – Juca, Josi, Rosângela e Valter – brincavam em casa quando um deles esbarrou num vaso de flores, que caiu e se quebrou. Quando Maria, a dona da casa, chegou, perguntou o que havia acontecido, e cada um contou sua história. O mordomo, que acompanhou o episódio, falou que: “Se Rosângela disse a verdade, então Josi e Valter mentiram. Por outro lado, se Valter mentiu, Juca falou a verdade. Mas se Juca falou a verdade, então foi o Bidu que derrubou o vaso”. Dona Maria tinha certeza de que o cachorro Bidu estava trancado no porão no momento do acidente, logo a) Valter mentiu, ou Juca disse a verdade. b) Rosângela e Josi disseram a verdade. c) Valter e Juca mentiram. d) Valter e Josi mentiram. e) Rosângela e Juca mentiram. Solução: Sejam as proposições simples: 1 Para entender lógica de argumentação, o candidato deverá buscar auxílio de um bom livro de Raciocínio Lógico ou de um curso preparatório. Não aconselhamos tentar entender conceitos fundamentais da lógica (principalmente em se tratando de lógica de argumentação) por meio de exercícios resolvidos. As técnicas utilizadas por nós para poupar o tempo do candidato na prova não estão nos livros e são transmitidas unicamente em sala de aula; não havendo tempo nem espaço para serem inseridas aqui. Nossa técnica permite que se resolva qualquer argumento lógico, sem o uso de tabelas-verdade, e em apenas 30 segundos. O Autor.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com2 :Ro Rosângela disse a verdade; :Jo Josi disse a verdade; :Va Valter disse a verdade; :Ju Juca disse a verdade :Bi Bidu quebrou o vaso. Colocando-se o argumento lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P ( )VaJoRo ~~ ∧→ V :2P JuVa →~ V :3P BiJu → V :4P Bi~ V :C ? V Com o valor lógico da premissa 4, sabe-se que, na premissa 3, que Bidu não derrubou o vaso, então Juca está mentindo. Da premissa 2, tem-se que Valter fala a verdade. Na premissa 1, tem-se que Rosângela mente. Resposta: letra e. 3) Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. Embora o que se sabe é que as exportações aumentaram, o que podemos concluir é que a) a taxa de juros aumentou. b) a taxa de juros diminuiu. c) as exportações aumentaram. d) as exportações diminuíram. e) as exportações aumentaram, e a taxa de juros também. Solução: Sejam as proposições simples: :j o governo aumenta a taxa de juros; :e exportações aumentam. Colocando-se o argumento lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P ej → V :2P e V :C ? V O argumento acima é um silogismo e uma das premissas é uma proposição lógica condicional. Nestas condições, pode ser verificado pelas técnicas de modus ponens ou modus tollens. (1) Pela técnica do modus ponens, o argumento seria válido se sua estrutura lógica fosse: Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. O governo aumenta a taxa de juros, logo (conclusão) as exportações aumentam. (2) Pela técnica do modus tollens, o argumento seria válido se sua estrutura lógica fosse a seguinte: Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. As exportações não aumentaram, portanto (conclusão), o governo não aumentou a taxa de juros. Como se vê, o argumento dado na questão não segue nenhuma das regras acima, restando, como conclusão que as exportações aumentaram. Resposta: letra c. 4) Seja a seqüência de pares de números inteiros: (3, 4), (2, 5), (4, 3), (1, 6). Pode-se concluir que o próximo par de números inteiros será a) (6, 1) b) (5, 2) c) (3, 3) d) (2, 5) e) (1, 6) Solução: Observe o esquema a seguir, formado por todos os pares de valores possíveis obtidos com o lançamento de dois dados:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com3 Siga as flechas na figura acima para encontrar o próximo par de valores da seqüência dada. Resposta: letra b. 5) Nas frases I, II e III, por meio de uma codificação há a informação “governo de um”. I. É o conjunto de instituições que atendem e apóiam a educação superior e são mantidas pelo governo federal. II. Será encaminhado também um manual com informações e orientações para o trabalho com dicionários em sala de aula. III. Cada qual contribui de uma forma diferente para o processo de letramento e de alfabetização de um aluno. Analise as frases IV, V e VI, observando o mesmo critério de codificação. IV. É o conjunto formado pelas instituições federais de educação superior e pelas instituições privadas. V. As escolas públicas de ensino fundamental estão recebendo dois acervos diferentes de dicionários de língua portuguesa, que são excelentes. VI. A União regula o funcionamento das instituições privadas garantindo desta forma a qualidade da educação evitando falhas adversas. Logo, pode-se afirmar que nas frases IV, V e VI há a informação a) “conjunto escolas adversas”. b) “formado diferentes instituições”. c) “instituições públicas privadas”. d) “instituições são falhas”. e) “pelas escolas privadas”. Solução: Nas frases I, II e III, a codificação é feita tomando-se a penúltima palavra de cada frase, para formar a expressão “governo de um”. Seguindo-se a mesma codificação para as frases IV, V e VI, isto é, tomando-se a penúltima palavra de cada frase, forma-se a expressão “instituições são falhas”. Resposta: letra d. 6) Se os valores lógicos das proposições compostas ( ) RQP ∧→ e ( ) PQR →∨ são verdadeiros, então os valores lógicos (V se verdadeiro; F se falso) das proposições P , Q e R são, respectivamente, a) F F F b) V F F c) V F V d) V V F e) V V V Solução: A proposição lógica:( ) RQP ∧→ é uma conjunção. Para que esta proposição tenha valor lógico verdadeiro, sabe-se que a proposição R deve ser verdadeira, assim como a proposição condicional ( )QP → . Como ainda não se pode determinar os valores lógicos das proposições P e Q , analisa- se a segunda proposição dada: ( ) PQR →∨ . Sabe-se que R é verdadeira, então a antecedente da condicional é verdadeira, portanto a proposição conseqüente também deverá ser verdadeira, isto é, P é verdadeira. Com o valor lógico da proposição P definido, conclui-se (pela primeira proposição dada) que a proposição Q também é verdadeira.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com4 Resposta: letra e. 7) Sejam as proposições: I. Se Carlos trair a esposa, Larissa ficará magoada. II. Se Larissa ficar magoada, Pedro não irá ao jogo. III. Se Pedro não for ao jogo, o ingresso não será vendido. IV. Ora, o ingresso foi vendido. Portanto, pode-se afirmar que a) Carlos traiu a esposa, e Pedro não foi ao jogo. b) Carlos traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. c) Carlos não traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. d) Pedro foi ao jogo, e Larissa ficou magoada. e) Pedro não foi ao jogo, e Larissa não ficou magoada. Solução: Sejam as proposições simples: :c Carlos traiu a esposa; :l Larissa ficou magoada; :p Pedro foi ao jogo; :v o ingresso foi vendido. Colocando-se o argumento lógico dedutivo em linguagem simbólica: Condição :1P lc → V :2P pl ~→ V :3P vp ~~ → V :4P v V :C ? V Na premissa 3 (pelo resultado da premissa 4), sabe-se que Pedro foi ao jogo. Na premissa 2, tem- se que Larissa não ficou magoada. Da premissa 1 tem-se que Carlos não traiu a esposa. Resposta: letra c. 8) Considere o tabuleiro de xadrez ao lado onde cada posição é identificada por um par ordenado ( )ba, , sendo que a primeira coordenada (nesse caso “ a ” corresponde ao número da linha, e a segunda coordenada (nesse caso “b ”) corresponde ao número da coluna. Cada posição assume a cor branca ou preta. Baseado nessas informações e considerando uma posição cujas coordenadas correspondem a ( )yx, , assinale a alternativa CORRETA. 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 a) x é par e y é par se, e somente se, a posição é branca. b) Se a cor da posição é branca, então yx = . c) x é ímpar e y é par se, e somente se, a posição é preta. d) Se a posição é branca, então x é ímpar e y é ímpar. e) x é par e y é ímpar somente se a cor da posição é preta. Solução: Sejam as proposições simples: :x x é par; :y y é par; :i yx = ; :b a posição é branca. Escrevendo-se as proposições das alternativas em linguagem simbólica:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com5 a) byx ↔∧ é FALSA, visto que há posições brancas nas quais não se tem yx ∧ pares. b) ib → é FALSA, visto que há posições em que yx ≠ cuja posição é branca. c) byx ~~ ↔∧ é FALSA, visto que há posições brancas em que x é ímpar e y é par. d) ( )yxb ~~ ∧→ é FALSA, pois há posições brancas em que x e y são pares. e) byx ~~ ↔∧ é VERDADEIRA, pois em todas as posições em que x é par e y é impar, a cor da posição é preta. Resposta: letra e. 9) Em uma casa existem três cestos com roupas (A, B e C) e três cestos vazios (D, E e F). Sabe-se que I. os cestos A e B têm em comum somente toalhas; II. os cestos A e C têm em comum somente saias; III. os cestos B e C têm em comum somente calças; IV. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A, B e C e colocados no cesto D, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: blusas, calças, jaquetas, meias, saias, toalhas, vestidos e xales; V. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A e C e colocados no cesto E, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: calças, jaquetas, meias, saias, toalhas, vestidos e xales; e VI. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A e B e colocados no cesto F, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: blusas, calças, saias, toalhas, vestidos e xales. Com base nos dados acima, pode-se concluir que o conteúdo do cesto A é formado por a) saias, toalhas, vestidos e xales. b) jaquetas, saias, toalhas e vestidos. c) calças, jaquetas, saias e toalhas. d) blusas, saias, toalhas e xales. e) blusas, meias, saias e toalhas. Solução: Observe o quadro a seguir: Toalhas Saias Calças Blusas Jaquetas Meias Vestidos Xales AB = X AC = X BC = X D = A+B+C = X X X X X X X X E = A+C = X X X X X X X F = A+B = X X X X X X A = X X X X Do enunciado, sabe-se que: (1) o cesto C não tem toalhas; (2) o cesto B não tem saias; e (3) o cesto A não tem calças. A partir daí, as peças em comum nos cestos D, E e F revelam o conteúdo do cesto A (ver quadro). Resposta: letra a. 10) Carlos, José, Pedro e Manoel disputaram uma corrida. Sabe-se que: I. Pedro chegou entre José e Carlos. II Não é o caso que José chegou numa posição de número par. III. Manoel foi o primeiro ou o último; se foi o último, chegou logo após Carlos, e se foi o primeiro, chegou logo à frente de Carlos. Com base nessas informações, pode-se concluir que a ordem de chegada, do primeiro para o último, foi a) Carlos, José, Pedro e Manoel. b) Carlos, Pedro, José e Manoel. c) Manoel, Carlos, Pedro e José. d) Manoel, José, Pedro e Carlos. e) José, Pedro, Carlos e Manoel.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com6 Solução: Observe que, pela afirmação III, tem-se um dos dois esquemas: __, __, C, M; ou M, C, __, __. Ora, pela afirmação II, José não chegou em posição par. Logo, nos dois esquemas acima, deve-se ter: J, __, C, M; ou M, C, J, __. Mas a afirmativa I diz que Pedro chegou entre José e Carlos, então, o único esquema possível é: J, P, C, M Resposta: letra e. 11) Assinale a alternativa que apresenta uma forma de argumento válida. a) Mateus é administrador somente se ele é bem sucedido, ou Mateus está empregado. Portanto, se Mateus é administrador, então Mateus está empregado ou é bem sucedido. b) Mateus não é administrador ou não é bem sucedido. Portanto, não é o caso que Mateus é administrador ou bem sucedido. c) Se Mateus é administrador, então Mateus está empregado. Mateus está empregado. Portanto, Mateus é administrador. d) Se Mateus é administrador, então Mateus está empregado devido ao fato de ser ele vem sucedido. Portanto, se Mateus é administrador, então Mateus está empregado. e) Se Mateus não é administrador, então Mateus não é bem sucedido. Portanto, não é o caso que Mateus é administrador e bem sucedido. Solução: Sejam as proposições simples: :a Mateus é administrador; :b Mateus é bem sucedido; :e Mateus está empregado. Colocando-se os argumentos das alternativas em linguagem simbólica: (a) Validade (b) Validade :1P ( ) eba ∨↔ V :1P ba ~~ ∨ V :C ( )bea ∨→ V :C ( )ba ∨~ V (c) Validade (d) Validade :1P ea → V :1P ( )eab →→ V :2P e V :C ea → V :C a V (e) Validade :1P ba ~~ → V :C ( )ba ∧~ V Na alternativa (a) para que se tenha premissa e conclusão verdadeiras, basta que a proposição “Mateus está empregado” seja verdadeira. Por outro lado, se a proposição “Mateus está empregado” for falsa, para que a premissa seja verdadeira, deve-se ter ambas as proposições “Mateus é administrador” e “Mateus é bem sucedido” falsas ou ambas verdadeiras. Em qualquer dessas situações, ter-se-á conclusão verdadeira. Logo, o argumento é válido. Resposta: letra a. 12) Seja a proposição “A prova está fácil se, e somente se, todos os alunos foram aprovados”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “A prova não está fácil se, e somente se, todos os alunos foram reprovados”. b) “A prova está fácil ou não é verdade que todos os alunos foram aprovados; e a prova não está fácil ou todos os alunos foram aprovados”. c) “A prova não está fácil se, e somente se, nenhum aluno foi aprovado”. d) “Ou a prova está fácil e todos os alunos foram aprovados, ou a prova não está fácil e alguns alunos foram reprovados”.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com7 e) “Ou a prova está fácil e todos os alunos foram aprovados, ou a prova não está fácil e todos os alunos foram reprovados”. Solução: Sejam as proposições: :f prova fácil; e :a todos aprovados. (Note que a proposição “todos os alunos foram aprovados” é categórica. Cuidado com a sua negação!) A proposição dada, em linguagem simbólica fica assim: af ↔ , cuja proposição equivalente é: ( ) ( )[ ]faafaf →∧→⇔↔ . Analisando-se as alternativas: (a) INCORRETA! A negação de “todos os alunos foram aprovados” é: “alguns alunos não foram aprovados”. (b) CORRETA! Decorre da equivalência escrita acima: ( ) ( )[ ]faafaf →∧→⇔↔ é o mesmo que escrever: ( ) ( )[ ]faafaf ~~~~ ∧∧∧⇔↔ . Por De Morgan, o termo entre colchetes fica assim: ( ) ( )[ ]faafaf ∨∧∨⇔↔ ~~ , que, em linguagem corrente, pode ser escrito da seguinte maneira: “A prova está fácil ou não é verdade que todos os alunos foram aprovados; e a prova não está fácil ou todos os alunos foram aprovados”. (c) INCORRETO! A negação do quantificador “todo” é “algum... não é...” (d) e (e) INCORRETAS! Estas alternativas utilizam-se da proposição disjuntiva exclusiva (“ou exclusivo”), que somente terá valor lógico verdadeiro quando apenas uma de suas proposições for verdadeira, que coloca esta proposição (disjuntiva exclusiva) em contradição com a proposição bicondicional. Resposta: letra b. 13) Sejam as proposições: I. Para ser aprovado na prova, é suficiente estudar. II. Para ser aprovado na prova, é necessário estudar. A respeito da suficiência e necessidade nessas proposições, pode-se reescrevê-las, respectivamente, da seguinte forma: a) Se estudar, então será aprovado, e estudar garante a aprovação. b) Se estudar, então não será aprovado; e estudar não garante a aprovação. c) Se estudar, então será aprovado; e estudar não garante a aprovação. d) Se estudar, então não será aprovado; e estudar garante a aprovação. e) Se estudar, então será aprovado; e não estudar garante a aprovação. Solução: Numa proposição condicional, sua antecedente é uma condição suficiente para que sua conseqüente ocorra. Já a conseqüente é condição necessária para que sua antecedente ocorra. Sejam, então, as proposições simples: :a ser aprovado na prova; e :e ter estudado. Desse modo, podemos escrever as proposições dadas da seguinte forma: I. ae → (condição suficiente: estudar; condição necessária: ser aprovado) II. ea → (condição suficiente: ser aprovado; condição necessária: estudar) Como as proposições I e II acima são recíprocas (lembre-se de que a recíproca de uma proposição condicional nem sempre é verdadeira), significa dizer que “Se estudar, será aprovado”, mas o estudo não garante aprovação. Resposta: letra c. 14) Um supermercado comercializa 4 produtos distintos com prazos de validades diferentes. Sabe- se que I. o iogurte tem 1 mês de validade a mais que a manteiga;
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com8 II. o leite tem 2 meses a menos de validade que a compota de pêssego; e III. a compota de pêssego tem 3 meses de validade a mais que o iogurte. A ordem dos produtos, de acordo com a expiração do prazo de validade é a) manteiga, leite, iogurte e comporta de pêssego. b) manteiga, iogurte, leite e comporta de pêssego. c) leite, iogurte, manteiga e comporta de pêssego. d) iogurte, manteiga, comporta de pêssego, e leite. e) compota de pêssego, leite, iogurte e manteiga. Solução: Com os dados da questão, podem ser escritas as seguintes equações: MI += 1 ; 2−= PL ; e IP += 3 , onde I é o prazo de validade do iogurte; M é o prazo de validade da manteiga; L é o prazo de validade do leite; e P é o prazo de validade da compota de pêssego. Para facilitar a resolução rápida do sistema com as três equações, arbitra-se um dos valores, digamos 1=M . Disto resulta: 2=I ; 3=L ; e 5=P . Então, a ordem dos produtos, de acordo com os respectivos prazos de validade é: PLIM ,,, Resposta: letra b. 15) Um número é escrito com dois algarismos. A soma desses algarismos é 11. Subtraindo 9 unidades desse número, obtém-se outro número com os mesmos algarismos em ordem invertida. Os algarismos que compõem esses dois números a) são 5 e 6 b) são 4 e 7 c) são 3 e 8 d) são 2 e 9 e) não existem Solução: Seja XY o número procurado; onde X é o algarismo da casa das dezenas e Y é o algarismo da casa das unidades. O número pode ser escrito da seguinte forma: YX +10 . Assim, 11=+ YX , e XYYX +=−+ 10910 , ou seja: 999 =− YX (dividindo-se ambos os membros por 9): 1=−YX Resolvendo-se o sistema:    =− =+ 1 11 YX YX tem-se: 6=X e 5=Y Resposta: letra a. 16) Numa determinada região chove ou faz sol. Se chove, há enchente; porém se faz sol, há seca. Assim, uma conclusão possível é a de que nessa região a) há seca. b) há enchente. c) há tempos de seca e de enchente. d) há tempos de seca ou de enchente. e) há apenas enchente. Solução: Sejam as proposições simples: :c chove; :s faz sol; :e enchente; :k seca. Escrevendo-se o argumento em linguagem simbólica: Condição :1P sc ∨ V :2P ec → V :3P ks → V :C ? V A premissa 1 será verdadeira se pelo menos uma de suas proposições for verdadeira. Analisando- se estas duas possibilidades, tem-se:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com9 (a) Se for verdade que chove, só se consegue validar a premissa 2 e conclui-se que haverá enchente. (b) Se for verdade que faz sol, então, na premissa 3, tem-se que é verdade que haverá seca. Resposta: letra d. 17) Todo ladrão é desonesto. Alguns desonestos são punidos. Portanto, pode-se afirmar que a) alguns punidos são desonestos. b) nenhum ladrão é desonesto. c) nenhum punido é ladrão. d) todo ladrão é punido. e) todo punido é ladrão. Solução: Argumento categórico resolve-se mais rapidamente por meio de diagramas lógicos (ou diagramas de Euler-Venn): Resposta: letra a. 18) Manoela vai comprar um computador ou um carro; porém disse ao seu noivo que não é verdade que, se comprar um computador, retirará o dinheiro da poupança. Assim, pode-se afirmar que a) Manoela vai comprar o carro. b) Manoela vai comprar o computador. c) Manoela retirou o dinheiro da poupança. d) Manoela não vai comprar o carro nem o computador. e) Manoela retirou o dinheiro da poupança e vai comprar o computador. Solução: Sejam as proposições simples: :c Manoela compra o computador; :k Manoela compra o carro; :p Manoela retira o dinheiro da poupança. Colocando-se o argumento em linguagem simbólica: Condição :1P kc ∨ V :2P ( )pc →~ V :C ? V A premissa 2 é a negação da proposição condicional, que pode ser escrita como: pc ~∧ . Para que esta premissa seja verdadeira, é necessariamente verdade que: Manoela compra o computador e não retira o dinheiro da poupança. Desse modo, a premissa 1 é verdadeira e a conclusão do argumento é: Manoela comprará o computador. Resposta: letra b. 19) A negação da proposição “Todo homem taxista dirige bem”. é a) “Existem mulheres taxistas que dirigem bem”. b) “Existe um homem taxista que dirige bem”. c) “Existe pelo menos um homem taxista que dirige bem”. d) “Existe pelo menos um homem taxista que não dirige bem”. e) “Todas as mulheres taxistas dirigem bem”.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com10 Solução: A negação da proposição categórica formada pelo quantificador “todo” é “algum... não é...”. (Algum é o mesmo que existe) Então, a negação da proposição categórica dada é “Existe homem taxista que não dirige bem”. Resposta: letra d. 20) Qual das seguintes alternativas apresenta uma sentença verdadeira? a) x∀ ( ) ( )( )xxsen cos< b) x∀ ( ) ( )( )π=− xxsen cos c) x∀ ( ) ( )( )1cos =− xxsen d) x∀ ( ) ( )( )0cos2 <⋅→<< xxsenx ππ e) x∀ ( ) ( )( )π<→< xxxsen cos Solução: Em lógica proposicional de primeira ordem é aconselhável julgar as proposições atribuindo-se valores à variável da proposição. Desse modo, atribuindo-se, por exemplo, os valores 2 π (que equivale a 90º), ou 6 π (que equivale a 30º) à variável x , tem-se: Alternativa a) INCORRETA, pois             >      2 cos 2 ππ sen ; Alternativa b) INCORRETA, pois       =      −      1 2 cos 2 ππ sen ; Alternativa c) INCORRETA, pois         − =      −      2 13 6 cos 6 ππ sen ; Alternativa d) CORRETA, pois para valores no intervalo ππ << x2 (que equivale ao segundo quadrante) o valor do cosseno é negativo, o que torna o produto ( ) ( ) 0cos <⋅ xxsen . Alternativa e) INCORRETA, pois, para 2 π =x , tem-se que:       >      2 cos 2 ππ sen Resposta: letra d.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com11 1) Considere as seguintes sentenças: I. Os gatos são pretos e os cachorros são brancos. II. Se todos os gatos são brancos, não há gatos na varanda. III. Não é verdade que os cachorros são pretos e que há gatos na varanda. Admitindo-se que todas essas sentenças sejam verdadeiras, é CORRETO afirmar que: a) Os gatos são pretos ou os cachorros são brancos. b) Não há gatos na varanda. c) Todos os gatos estão na varanda. d) Os cachorros são pretos. e) Os gatos são brancos. Solução: As três sentenças formam as premissas de um argumento lógico, para o qual se quer sua conclusão. Usando o método visto em aula, coloca-se o argumento em linguagem simbólica e retira-se, rapidamente, sua conclusão. Sejam as proposições: Pg : Os gatos são pretos; Bg : Os gatos são brancos; Pc : Os cachorros são pretos; Bc : Os cachorros são brancos; v : Há gatos na varanda. O argumento, em linguagem simbólica, fica assim: Condição de Validade I BcPg ∧ V II vBg ~→ V III ( )vPc ∧~ V C ? V A premissa I deve ser verdadeira (para conclusão verdadeira e validade do argumento). Observe que a premissa é formada por uma proposição lógica conjuntiva. Assim, os valores lógicos de Pg e Bc devem ser V. Na premissa II tem-se a proposição antecedente falsa, logo, ainda não se pode determinar o valor lógico de sua conseqüente (ou seja, os gatos podem ou não estar na varanda). Na premissa III (após se aplicar Lei de De Morgan), tem-se que é falsa, então v~ é verdadeira. A premissa III, após a aplicação da Lei de De Morgan, é disjuntiva. Então, a única conclusão possível para o argumento é a apresentada na alternativa a. Resposta: letra a. 2) Sejam as seguintes proposições: I. ( )( ) ( )RPQPP →∨→↔ II. ( ) ( )( )QRPQP ∧∨↔→~ III. ( )( ) ( )( )RQPRQP →→→→∧ Admitindo-se que os valores lógicos das proposições P, Q e R são respectivamente, F, F e V (V, se verdadeiro; F, se falso), os valores lógicos das proposições compostas I, II e III são, respectivamente: a) F, F, F b) F, F, V c) F, V, F d) V, V, V e) V, F, V Solução: Facilmente solucionável para quem conhece a valoração de proposições lógicas compostas. I. Se as proposições P e Q são falsas e R verdadeira, então RP → é verdadeira e a proposição lógica disjuntiva deste item é verdadeira sem que seja preciso analisar o valor lógico de ( )( )QPP →↔ , que é falso (verifique!). Apenas com a certeza do valor lógico da proposição do item I, já eliminamos as alternativas a, b e c. Para se chegar à resposta correta, basta agora analisar a proposição do item II:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com12 ( ) ( )( )QRPQP ∧∨↔→~ . Com os valores lógicos dados para as proposições P e Q (ambas falsas) e R (verdadeira), verifica-se que ( )QP ~→ é verdadeira e que ( )( )QRP ∧∨ é falsa, levando a bicondicional ao valor lógico falso. Resposta: letra e. 3) Uma ilha muito distante era habitada por dois povos rivais que estavam em guerra: o povo condicional e o povo incondicional. Ambos tinham as mesmas palavras em seu vocabulário, mas estruturas oracionais distintas. O povo condicional conhecia proposições, a negação de proposições, proposições condicionais e proposições bicondicionais, mas desconhecia a conjunção e a disjunção entre proposições. O povo incondicional conhecia proposições, a negação de proposições, a disjunção e a conjunção entre proposições. Qual das seguintes alternativas ilustra, entre parênteses, a tradução CORRETA da língua condicional para a língua incondicional? a) Se o povo condicional ganhar a batalha, não deixará o povo incondicional habitar a ilha. (O povo condicional ganha a batalha e o povo incondicional não habitará a ilha) b) Se o povo condicional não ganhar a batalha, o povo incondicional monopolizará a ilha. (O povo condicional não ganha a batalha ou o povo incondicional monopolizará a ilha.) c) Se o povo condicional perder a batalha, o povo incondicional ganhará a batalha. (O povo condicional perde a batalha ou o povo incondicional perderá a batalha). d) Não é o caso que, se o povo condicional não ganhar a batalha, ele deixará a ilha. (O povo condicional não ganha a batalha e não deixará a ilha.) e) O povo incondicional ganhará a batalha se, e somente se, ele monopolizar a ilha. (O povo incondicional ganha a batalha e monopoliza a ilha.) Solução: Observe o candidato que a questão é puramente conceitual! Basta “traduzir” as proposições da linguagem condicional (ou bicondicional) para proposições conjuntivas ou disjuntivas, usando as seguintes equivalências: (1) Para a condicional, tem-se as seguintes equivalências: ( )qpqp ~~ ∧⇔→ ou qpqp ∨⇔→ ~ ou ainda ( ) ( )qpqp ~~ ∧⇔→ (equivalência da negativa da condicional) (2) Para a bicondicional: ( ) ( )[ ]qpqpqp ~~ ∨∧∨⇔↔ Pelas considerações acima, somente a proposição da alternativa d (negativa da condicional) expressa corretamente a tradução da linguagem condicional para uma proposição conjuntiva. Resposta: letra d. 4) Analise as seguintes proposições: I. QP → é F, ou seja ( ) FQPV =→ II. QR ~∨ é V, ou seja ( ) VQRV =∨ ~ III. ( ) PRQ ∧↔ é F, ou seja ( )( ) FPRQV =∧↔ Os valores lógicos (V , se verdadeiro; F, se falso) de P, Q e de R são, respectivamente: a) V, V, V b) V, V, F c) V, F, V d) V, F, F e) F, V, V Solução: I. A proposição é uma condicional e seu valor lógico é falso, logo a proposição antecedente é verdadeira e a proposição conseqüente é falsa, ou seja: P é verdadeira e Q é falsa. Imediatamente, eliminam-se as alternativas a, b, e. Da proposição II vem a alternativa correta: R deve ter valor lógico verdadeiro para que a proposição disjuntiva tenha valor lógico verdadeiro. Resposta: letra c. 5) Beatriz, Carmem e Diana são esposas de Eduardo, Felipe e Gabriel, mas não necessariamente nessa ordem. Sabe-se que: I. Eduardo é marido da mulher mais jovem; II. Beatriz é mais velha que a esposa de Felipe; III. As três mulheres citadas têm idades distintas;
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com13 IV. Não há bigamia entre esses casais. Logo, pode-se afirmar com certeza que: a) Beatriz é a esposa de Gabriel. b) A idade de Beatriz é menor que a de Carmem. c) Diana é esposa de Felipe. d) Gabriel é marido de Carmem. e) Eduardo é marido de Beatriz. Solução: Das proposições dadas, sabe-se que Beatriz não é esposa do Eduardo, nem do Felipe, logo, ela só pode ser esposa do Gabriel. Resposta: letra a. 6) Em determinado campeonato de futebol, analisam-se as condições de alguns resultados: I. Se a Portuguesa venceu, nem o Estrela nem o Navegantes foram para a próxima fase. II. Se o Navegantes não foi para a próxima fase, o Ipiranga venceu. III. Se o Ipiranga venceu, o Serrinha foi rebaixado. Sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado; portanto: a) a Portuguesa não venceu e o Navegantes não foi para a próxima fase. b) O Estrela e o Navegantes não foram para a próxima fase. c) O Navegantes não foi para a próxima fase e o Ipiranga não venceu. d) A Portuguesa e o Ipiranga não venceram. e) O Navegantes não foi para a próxima fase ou o Ipiranga venceu. Solução: Questão de lógica de argumentação. Usamos aqui nosso método2 rápido para encontrar a resposta. Sejam as proposições: Pv : A Portuguesa venceu; E : O Estrela foi para a próxima fase; N : O Navegantes foi para a próxima fase; Iv : O Ipiranga venceu; Sr : O Serrinha foi rebaixado. O argumento, em linguagem simbólica, fica assim: Condição de Validade I ( )NEPv ~~ ∧→ V II IvN →~ V III SrIv → V IV Sr~ V C ? V Da premissa IV sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado. Desse modo, na premissa III sabe-se que é falso que o Ipiranga venceu. Na seqüência, sabe-se, também, na premissa II, que é falso que o Navegantes não foi para a próxima fase. Finalmente, da premissa I tem-se que é falso que a Portuguesa venceu. Daí, tem-se a conclusão: Nem a Portuguesa e nem o Ipiranga venceram. Resposta: letra d. 7) Se Alfredo ama Rebeca, ele vai se casar com ela e não vai comprar uma casa. Caso ele se case, não comprará a casa. Mas, de fato, ele comprou uma casa. Logo, pode-se dizer que: a) Alfredo vai se casa com Rebeca. b) Alfredo não comprar a casa. c) Alfredo vai se casar com Rebeca e vai comprar uma casa. 2 Nota do professor: O método que usamos para validar argumentos é visto em uma aula do curso presencial. Ele é um método exclusivo, criado por mim (não está em livros), fácil de entender no modo “expositivo”, mas difícil de ser explicado de forma escrita. Com este método, nossos alunos do curso presencial conseguem resolver qualquer questão de lógica de argumentação em menos de 30 segundos, sem o uso de extensas tabelas-verdade.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com14 d) Alfredo ama Rebeca. e) Alfredo não ama Rebeca. Solução: Mais um questão de lógica de argumentação. Sejam as proposições: Ar : Alfredo ama Rebeca; Cr : Alfredo vi se casar com Rebeca; Cc : Alfredo compra uma casa; O argumento, em linguagem simbólica, fica assim: Condição de Validade I ( )CcCrAr ~∧→ V II CcCr ~→ V III Cc V C ? V Da premissa III sabe-se que ele comprou a casa, então, na premissa II tem-se que é falso que ele se casou com Rebeca. Na premissa I, então, também se sabe que ele não ama Rebeca. Resposta: letra e. 8) O que caracteriza uma tautologia e uma contradição é o fato de: a) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade verdadeiros. b) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade falsos. c) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade verdadeiros e apenas valores- verdade falsos, respectivamente. d) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade falsos e apenas valores-verdade verdadeiros, respectivamente. e) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdades, valores-verdades intercalados entre falso e verdadeiro. Solução: Outra questão puramente conceitual. “Tautologia é toda proposição lógica composta que sempre terá resultado lógico verdadeiro”. “Contradição é toda proposição lógica composta que sempre terá resultado lógico falso”. Resposta: letra c. 9) Sejam as proposições: :P Faz frio. :Q Chove. :R Faz sol. A proposição composta ( ) ( )RPQP ~~~ ∧→∧ , na linguagem corrente, é: a) Faz frio e chove, mas faz não faz frio e faz sol. b) Faz frio e não chove, mas faz frio e não faz sol. c) Faz frio e não chove, desde que faça frio e não faça sol. d) Se faz frio e não chove, então não faz frio e não faz sol. e) Se faz frio e não chove, não é verdade que faz frio e faz sol. Solução: Questão muito simples. Basta levar a proposição dada em linguagem simbólica para a linguagem corrente. Aqui nem sequer o uso de álgebra de proposições foi exigido do candidato. Resposta: letra d. 10) “Hoje é quarta-feira ou hoje é quinta-feira, e hoje é quarta-feira ou hoje é dia de feira no supermercado”. Dito de outra forma, é: a) “se hoje é quarta-feira, hoje é dia de feira no supermercado”. b) “se hoje é dia de feira no supermercado, hoje é quarta-feira e não é quinta-feira”. c) “se hoje não é quarta-feira, hoje é quinta-feira e é dia de feira no supermercado”.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com15 d) “hoje não é quarta-feira e não é quinta-feira”. e) “se hoje é quinta-feira, hoje não é dia de feira no supermercado”. Solução: Ao contrário da questão anterior, esta já exigiu do candidato um bom domínio da álgebra proposicional. Sejam as proposições: p : hoje é quarta-feira; q : hoje é quinta-feira; r : hoje é dia de feira no supermercado. A proposição dada, em linguagem simbólica, fica assim: ( ) ( )rpqp ∨∧∨ Pela propriedade distributiva, pode-se escrever: ( )rqp ∧∨ . Negando-se duplamente a proposição acima: ( )( )rpp ∧∧ ~~~ A proposição acima é equivalente à condicional: ( )rqp ∧→~ , que, em linguagem simbólica fica: “Se hoje não é quarta-feira, então hoje é quinta-feira e é dia de feira no supermercado”. Resposta: letra c. 11) Considere a tabela abaixo, na qual jiij BCA += com { }3,2,1, ∈ji . + 1B 2B 3B 1C 11A 12A 13A 2C 21A 22A 23A 3C 31A 32A 33A a) 1C = 2 b) 11A = 4 c) 12A = 5 d) 22A = 1 e) 23A = -1 Solução: Basta completar o quadro dado com as informações do enunciado: + 1B = 5 2B = 3 3B = -2 1C = -1 11A = 4 12A = 2 13A = -3 2C = 2 21A = 7 22A = 5 23A = 0 3C = 7 31A = 12 32A = 10 33A = 5 Resposta: letra b. 12) Considere a proposição composta ( ) ( )QPQP ∧∨∨ ~~ . Uma forma alternativa (ou simplificada) de expressar a mesma proposição é a) QP ∧ b) QP ~∧ c) QP ∧~ d) QP ~~ ∧ e) P~ Solução: Por De Morgan, tem-se, inicialmente: ( ) ( )QPQP ∧∨∧ ~~~ . Pela propriedade distributiva: ( )QQP ∨∧ ~~ . A expressão dentro do parênteses é uma tautologia. Numa proposição conjuntiva em que uma delas for tautológica, o resultado será equivalente à outra proposição. No caso acima o resultado é P~ . Resposta: letra e. 13) Roberto viajou para Moscou no inverno. Durante o tempo em que esteve lá, houve 6 tardes e 3 manhãs sem neve; nevou 5 vezes, mas nunca durante a manhã e à tarde de um mesmo dia. Então, Roberto permaneceu em Moscou por a) 5 dias b) 6 dias c) 7 dias d) 8 dias e) 9 dias Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com16 Esta questão consta no nosso simulado3 de número 13 (setembro de 2004), questão 8. Somando-se todos os turnos com neve e sem neve, vem: 6 + 3 + 5 = 14. Deve-se dividir por 2... Resposta: letra c. 14) Assinale a alternativa que apresenta uma estrutura de argumento não-válida. a) Não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. Portanto, se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. b) Ricardo não foi à festa e Renata não foi à festa. Consequentemente, ambos não foram à festa. c) Não é o caso que Ricardo foi à festa ou Renata foi à festa. Logo, Ricardo não foi à festa ou Renata não foi à festa. d) Se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. Portanto, não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. e) Não é o caso que, se Ricardo não foi à festa, Renata foi à festa. Assim, Renata não foi à festa. Solução: Analisam-se os argumentos um a um... Alternativa a) Para que a proposição dada como premissa seja verdadeira, é necessário que sua antecedente seja verdadeira e sua conseqüente seja falsa. Observe-se que a premissa traz a negação da proposição condicional. A conclusão do argumento o torna válido. Alternativa b) A premissa é uma proposição conjuntiva, logo, ambas as proposições simples que formam a composta devem ter valor lógico verdadeiro. Argumento válido. Alternativa c) A premissa é a negação de uma proposição disjuntiva, logo, nem Ricardo, nem Renata foram à festa. Argumento válido. Alternativa d) A premissa é a contrária ou inversa da conclusão. Argumento não-válido. Resposta: letra d. 15) Karen, Luiza, Mara Nestor e Olga foram a um parque de diversões onde havia as seguintes opções: montanha russa, carrossel e trem-fantasma . sabe-se que I. todos andaram em um dos brinquedos citados II. Mara foi a única que brincou sozinha III. Olga e Nestor fizeram escolhas distintas IV. Luiza não brincou com Olga V. Karen não andou no trem-fantasma VI. Olga não andou no carrossel VII. Mara não andou no trem-fantasma Logo, é CORRETO afirmar que: a) Mara andou na montanha russa. b) Luiza e Karen andaram no carrossel. c) Nestor e Luiza andaram na montanha russa. d) Karen e Nestor andaram no trem-fantasma. e) Nestor e Luiza andaram no trem-fantasma. Solução: O enunciado permite que se monte o seguinte quadro: Karen Luíza Mara Nestor Olga Montanha russa X X Carrossel X Trem-fantasma X X Resposta: letra e. 16) Sabe-se que, I. com 2 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 1 II. com 8 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 2 III. com 18 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 3 3 Consulte o caderno de Simulados do Instituto Integral.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com17 IV. com 32 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 4 Logo, com 338 triângulos de lado 1, forma-se um losango de lado a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Solução: Os quocientes entre o número de triângulos e o valor do lado do losango formam a seguinte Progressão Aritmética: 2, 4, 6, 8, ... Assim, pode-se escrever: ( ) rnaan ⋅−+= 11 ( ) 212 338 ⋅−+= n n 11 169 −+= n n 2 169 n= 13=n Resposta: letra b. 17) Considere as seguintes premissas: I. Nenhum estudante é ignorante. II. Todo administrador é estudante. Uma conclusão possível, decorrente dessas premissas, é a de que a) nenhum administrador é ignorante. b) algum administrador é ignorante. c) todo administrador é ignorante. d) algum estudante é ignorante. e) todo estudante é administrador. Solução: Resposta: letra a. 18) Seis estudantes vão viajar de ônibus para visitar certa empresa. Foram reservadas as poltronas 7 e 8, 11 e 12, 15 e 16. essas poltronas são seqüenciais e ficam do mesmo lado do corredor, como mostra a figura. Antes de os estudantes entrarem no ônibus, foram designados os números das poltronas que cada um ocuparia, levando-se em consideração as seguintes informações: • Jorge e Pedro são irmãos e é melhor que não fiquem em poltronas consecutivas nem adjacentes. • Marcus e Bia pretendem ler, juntos um livro durante a viagem; portanto, devem sentar-se em poltronas consecutivas. • Aline e Gabi são amigas, mas não estão uma ao lado da outra, pois as duas gostam de sentar-se no corredor • Bia não está sentada atrás de Aline. Assim, pode-se afirmar que um dos arranjos possíveis é: a) Marcus e Bia na frente, Aline e Pedro no meio e Gabi e Jorge atrás. b) Aline e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio e Gabi e Jorge atrás. c) Aline e Pedro na frente, Gabi e Jorge no meio e Marcus e Bia atrás. d) Jorge e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio, Gabi e Aline atrás. e) Aline e Gabi na frente, Marcus e Bia no meio e Pedro e Jorge atrás. Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com18 Para satisfazer a primeira consideração. Jorge e Pedro deverão ocupar poltronas na primeira e terceira fileiras mostradas na figura da questão. Disso, resulta que Marcus e Bia deverão ocupar as poltronas do centro. Aline e Gabi deverão ocupar as poltronas 8 e 16 (não necessariamente nesta mesma ordem). Entretanto, se Aline estiver na poltrona 8, Bia deverá estar na poltrona 11. Desse modo, um possível arranjo seria: Pedro (poltrona 7), Aline (poltrona 8); Bia (poltrona 11, Marcus (poltrona 12); Jorge (poltrona 15) e Gabi (poltrona 16). Resposta: letra b. 19) Em um planta longínquo, a moeda é o dinheiru, simbolizada por Ж$. Sabe-se que, nesse planeta, existe a seguinte tabela promocional de preços para alguns animais: 2 rinomachos por Ж$ 10,00; 3 rinofêmeas por Ж$ 9,00 e 6 rinobebês por Ж$ 2,00. se Estevaldo gastou Ж$ 100,00 nessa promoção, qual o número máximo de rinomachos que ele comprou, considerando-se que gastou todo seu montante, levou ao menos um animal de cada tipo e comprou 100 animais? a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 Solução: Questão idêntica à questão 19 do nosso primeiro simulado, e também à questão RL/14 – JUN/05, resolvida em nossa super-aula de revisão, na véspera do teste... Montando-se as equações: 5102 =⇒= RmRm (o valor de cada rinomacho é Ж$ 5,00) 393 =⇒= RfRf (o valor de cada rinofêmea é Ж$ 3,00) 3126 =⇒= RbRb (o valor de cada rinobebê é Ж$ 0,33) A partir daí, escrevem-se as seguintes equações (uma para a quantidade total de animais e outra para o valor gasto pelo Estevaldo): 100 3 35 100 =++ =++ b fm bfm isolando-se b na primeira equação, e, após multiplicar-se toda a segunda equação por 3, substituir-se o novo valor de b nela, vem: 200814 300100915 100 =+ =−−++ −−= fm fmfm fmb Agora, isola-se o f : 8 14200 m f − = , simplificando-se: 4 7100 m f − = Para os valores apresentados nas alternativas da questão, o número máximo de rinomachos que ele poderia ter comprado seriam 12. Entretanto, para poder participar da “promoção”, ele deverá adquirir quantidades de rinofêmeas em número múltiplo de 3 (ver tabela a seguir). Desse modo, o número máximo possível de rinomachos “dentro da promoção” é 4. m f b Ж$ 4 18 78 100,00 viável 8 11 81 100,00 inviável 10 7,5 82,5 100,00 inviável 12 4 84 100,00 inviável (4 não é múltiplo de 3) 14 0,5 85,5 100,00 inviável Resposta: letra a. 20) Manoel recebeu as seguintes instruções para sua viagem: I. Siga à esquerda e retorne se, e somente se, seu destino for Albuquerque. II. Se seu destino for Albuquerque, siga à direita. III. Siga à esquerda. IV. Retorne ou siga para a colônia de férias. Sabe-se que Manoel obedeceu a todas as instruções. Logo a) seu destino era Albuquerque.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com19 b) seu destino não era Albuquerque e ele seguiu para a colônia de férias. c) chegou a Albuquerque, seguindo à esquerda. d) seguiu sempre em frente e à direita. e) retornou. Solução: Mais uma questão de lógica de argumentação. Observe que, nesta questão, as premissas “seguir à direita” e “seguir à esquerda” são contraditórias. Colocando-se o argumento em linguagem simbólica: Condição de Validade I ( ) are ↔∧ V II da → V III e V IV fr ∨ V C ? V Da premissa III “seguir à esquerda” deve ser verdadeira, então, na premissa II, “seguir à direita” é falsa, e, portanto, o destino de Manoel não é Albuquerque. Na premissa I verifica-se que “retornar” é falsa, logo, na premissa IV, “ir para a colônia de férias” deve ser verdadeira. Conclusão: Manoel não foi para Albuquerque e foi para a colônia de férias. Resposta: letra b.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com20 1) Uma urna contém bolinhas de gude de várias cores: oito amarelas, doze vermelhas, cinco brancas, treze azuis e sete verdes. A quantidade mínima de bolinhas de gude que precisamos retirar da urna para garantir que teremos três bolinhas de uma mesma cor é a) 11 b) 15 c) 21 d) 23 e) 28 Solução: Questões desse tipo requerem um raciocínio simples do candidato. Basta que se retirem duas bolinhas de cada cor (perfazendo-se 10, até o momento). A próxima bolinha retirada completará as três de uma mesma cor. No total, ter-se-á retirado 11 bolinhas. Resposta: letra a. 2) Considere a seguinte seqüência de figuras: A figura que melhor completa a posição ocupada pelo símbolo ? é a) b) c) d) e) Solução: No primeiro conjunto de estrelas, o pontinho se desloca para a esquerda (sentido horário), uma ponta de cada vez. No segundo conjunto de estrelas, o deslocamento da bolinha passa a ser de duas em duas pontas da estrela. No terceiro conjunto de estrelas, o deslocamento da bolinha é de três em três pontas. Assim, na posição marcada com ? estará a figura da alternativa d. Resposta: letra d. 3) Sejam as proposições :p “O cão é bravo” e :q “O gato é branco”. A linguagem simbólica equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco” é a) qp ∧~ b) qp ~~ ∨ c) qp → d) qp ∨~ e) qp ~∨ Solução: A proposição dada, em linguagem corrente, poderá ser facilmente colocada em sua forma simbólica: ( )qp ~~ ∨ Aplicando-se a Lei de De Morgan à expressão acima, vem: qp ∧~ Resposta: letra a. 4) Tio Fabiano vai dividir barras de chocolate para três sobrinhos: Rui, Sílvio e Tomé. Rui, por ser o mais velho, recebeu a metade das barras mais meia barra. Do que restou, Sílvio recebeu a metade mais meia barra e para Tomé, que é o mais novo, sobrou uma barra. Assim, a quantidade de barras que Sílvio recebeu foi a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5 Solução: Considerando-se que o número inicial de barras seja x , :Rui recebeu a metade das barras de chocolate e mais meia barra, ou seja, recebeu 2 1 2 + x . Então, restou a outra metade das barras
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com21 menos meia barra, ou seja: 2 1 2 − x . Metade dessa quantidade mais meia barra foi dada a Sílvio, ou 2 1 4 1 4 +− x , que serão 4 1 4 + x barras para Sílvio. Agora, somando-se as quantidades que os três receberam, teremos a quantidade inicial de barras, ou seja: ( ) x xx =+      ++      + 1 4 1 42 1 2 (os parênteses na expressão ao lado são para evidenciar as quantidades de barras que cada um dos sobrinhos recebeu). Resolvendo-se a equação, tem-se 7=x . Assim, Rui recebeu 4 barras e Sílvio recebeu 2 barras. Existe um modo mais rápido de se resolver esta questão. Dicas, atalhos, macetes e truques são passados somente aos nossos alunos, durante o curso preparatório. Resposta: letra b. 5) Ao redor de uma mesa redonda estão quatro amigas, Karen, Pámela, Rita e Yasmin, sentadas em posições diametralmente opostas. Cada uma delas tem uma nacionalidade diferente: uma é italiana, outra é francesa, outra é portuguesa e a outra é alemã, não necessariamente nessa ordem. Considerem-se, ainda, as informações: • “Sou alemã e a mais nova de todas”, diz Karen. • “Estou sentada à direita da Karen”, diz Pâmela. • “Rita está à minha direita”, diz a francesa. • “Eu sou italiana e estou sentada em frente a Pâmela”, diz Yasmin. É CORRETO afirmar que a) Pâmela é francesa e Rita é italiana. b) Pâmela é italiana e Rita é portuguesa. c) Rita é francesa e Yasmin é portuguesa. d) Rita é portuguesa e Yasmin é francesa. e) Yasmin é portuguesa e Pámela é italiana. Solução: Das informações dadas no enunciado, tem-se que: Resposta: letra a. 6) Considere os seguintes conjuntos de premissas e conclusões: I. Algum avô é economista. Algum economista é avô. II. Nenhum arquiteto é cantor. Logo, nenhum cantor é arquiteto. III. Todo advogado é poeta. Logo, todo poeta é advogado. Qual(is) argumento(s) é(são) válido(s)? a) somente I b) somente II c) somente I e II d) somente II e III e) todos
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com22 Solução: I. Conclusão: Válido II. Conclusão: Válido III. Conclusão: Não-válido Resposta: letra c. 7) Considere a seqüência de quadros, em que cada quadro é dividido em nove casas numeradas, dispostas em linhas e colunas, da seguinte maneira: 1 2 3 10 11 12 19 20 21 4 5 6 13 14 15 22 23 24 7 8 9 , 16 17 18 , 25 26 27 , ... A posição que o número 2006 ocupa no quadro é a) linha 1 e coluna 3 b) linha 2 e coluna 2 c) linha 2 e coluna 3 d) linha 3 e coluna 1 e) linha 3 e coluna 2 Solução: Observa-se, ,pelos quadros apresentados no enunciado, que os valores preenchidos na última casela de cada quadro são múltiplos de 9. O múltiplo de 9 mais próximo de 2006 é o 2007. Como 2007 só poderá estar localizado na última casela de cada quadro, segue-se que 2006 estará localizado imediatamente à esquerda do 2007. Portanto, 2006 está na terceira linha, segunda coluna. Resposta: letra e. 8) Se x e y são números inteiros, a operação Θ é definida por x Θ y = ( )yxy − , na qual a multiplicação e a subtração são as usuais. Assim, o valor da expressão 2 Θ (3 Θ 4) é a) -28 b) -24 c) -3 d) 2 e) 8 Solução: Seguindo-se a regra de aplicação do operador Θ, deveremos subtrair o número y do número x e multiplicar o resultado por y . Resolvendo a expressão dada, iniciando pelo parênteses: 2 Θ (3 Θ 4) = 2 Θ 4.(3 - 4) = 2 Θ -4 = -4.(2 – (-4)) = -4 . 6 = -24 Resposta: letra b. 9) Cinco amigos,m Abel, Deise, Edgar, Fábio e Glória, foram lanchar e um deles resolveu sair sem pagar. O garçom percebeu o fato, correu atrás dos amigos que saíam do restaurante e chamou-os para prestarem esclarecimentos. Pressionados, informaram o seguinte: • “Não fui eu nem o Edgar”, disse Abel. • “Foi o Edgar ou a Deise”, disse Fábio. • “Foi a Glória”, disse Edgar. • “O Fábio está mentindo”, disse Glória. • “Foi a Glória ou o Abel”, disse Deise. Considerando que apenas um dos cinco amigos mentiu, pode-se concluir que quem resolveu sair sem pagar foi a) Abel b) Deise c) Edgar d) Fábio e) Glória Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com23 Em questões envolvendo verdades e mentiras, o candidato deverá sempre encontrar aquele único elemento do grupo que diverge dos demais. No caso em tela, significa que deveremos encontrar o único que está mentindo. Vamos inicialmente inferir que o mentiroso é Abel. Ora, se ele fosse o mentiroso, sua afirmação seria falsa, indicando que o culpado seria Abel ou Edgar. Como ainda não poderemos confirmar se o mentiroso do grupo é realmente o Abel, vamos analisar as outras afirmações em busca de uma possível contradição... Se o mentiroso for realmente o Abel, as demais afirmações deverão ser todas verdadeiras, ou seja: Fábio, Edgar, Glória e Deise estariam dizendo a verdade. Mas observe que a afirmação de Glória coloca nossa inferência inicial em contradição, uma vez que afirma que Fábio está mentindo. Se assim fosse, haveria dois mentirosos em vez de apenas um: Abel e Fábio. Como esta conclusão não está de acordo com o enunciado, que diz haver apenas um mentiroso, sabemos que Abel está dizendo a verdade, e, assim, dois suspeitos já estão excluídos: o próprio Abel e Edgar. Passemos nossa inferência para a segunda afirmação: tomemos a afirmação de Fábio como sendo falsa. Isto significaria dizer que, sendo a afirmação falsa, não foram Edgar e nem Deise. Já sabemos que Edgar está fora da lista de suspeitos. Se a afirmação de Fábio for realmente falsa, então as demais afirmações deverão ser todas verdadeiras, isto é, Edgar, Glória e Deise estarão dizendo a verdade. Passemos a uma nova busca por possíveis contradições... Observe que não há mais contradições: Edgar disse que foi Glória; Glória diz que Fábio mente e Deise afirma que foi Glória ou Abel. Como já sabemos que não foi Abel, a afirmação de Deise aponta para Glória, logo, Glória saiu sem pagar a conta. Resposta: letra e. 10) Das proposições “Nenhuma fruta marrom é doce” e “Algum abacaxi é doce”, conclui-se que a) “Algum abacaxi não é marrom”. b) “Todo abacaxi é marrom”. c) “Nenhum abacaxi é marrom”. d) “Algum abacaxi é marrom”. e) “Todo abacaxi não é marrom”. Solução: Na figura acima, o diagrama que representa abacaxi (A) pode ser representado por qualquer um dos diagramas que aparecem nas cores azul ou vermelho. Em qualquer das posições apresentadas para o diagrama A, observa-se que sempre haverá algum elemento de A que não pertence ao diagrama M. Daí, a conclusão para o argumento categórico: algum abacaxi não é marrom. Nota do professor: A lógica de argumentação pode ser complicada de se entender em um primeiro momento. Entretanto, os alunos do curso preparatório do Instituto Integral aprendem técnicas para a resolução rápida e segura de qualquer tipo de argumento (cerca de dez segundos são suficientes!). Como o método é expositivo, é necessário um conjunto de aulas presenciais para a fixação dessas técnicas. Resposta: letra a.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com24 11) Edmundo percebeu que, na terça-feira, 27 de julho, iriam terminar as suas férias; verificou que o próximo feriado é o dia 7 de setembro e viu que esse dia cai a) numa segunda-feira b) numa terça-feira c) numa quarta-feira d) num sábado e) num domingo Solução: Partindo-se do dia 27 de julho, restam 4 dias para finalizar o mês de julho. Agosto tem 31 dias. Até 7 de setembro, tem-se um total de 4 + 31 + 7 = 42 dias. Observe que 42 é múltiplo de 7, o que indica que o dia 7 de setembro também cairá numa terça-feira (lembre-se de que os dias da semana se repetem a cada sete dias!). Resposta: letra b. 12) Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”. Uma proposição logicamente equivalente é a) “Maria é elegante ou é inteligente”. b) “Maria é elegante e não é inteligente”. c) “Maria não é elegante e é inteligente”. d) “Maria não é elegante e nem é inteligente”. e) “Maria não é elegante ou não é inteligente”. Solução: Na linguagem simbólica, tem-se: ( )ie →~~ , que uma das formas de se negar uma proposição condicional. A outra seria pela equivalência (veja sua apostila!) que indica que o antecedente deverá ser mantido e o conseqüente deve ser negado. Assim, chegamos rapidamente à resposta: “Maria não é elegante e nem inteligente”. Resposta: letra d. 13) Três amigos, Bernardo, Davi e Fausto, de sobrenome Pereira, Rocha e Silva, não necessariamente nessa ordem, foram assistir, cada um, a um filme diferente – ação, comédia e terror. Sabe-se que: • Bernardo não assistiu ao filme de terror nem ao de ação. • Pereira assistiu ao filme de ação. • O sobrenome de Davi é Silva. É CORRETO afirmar que Solução: Questões dessa natureza se resolvem rapidamente por meio de um quadro: Bernardo Davi Fausto Sobrenome Rocha Silva Pereira Filme comédia terror ação Resposta: letra b. 14) Considere as seguintes proposições: I. 12 > ou 632 = . II. x∀ , ℜ∈x , se 2<x , então 1=x ou 0=x . III. 54 −<− . Os valores lógicos dessas proposições são, respectivamente, a) F F V b) F V F c) V F F d) V F V e) V V V Solução: I. Proposição disjuntiva (ou). Como 12 > é verdadeira e 632 = é falsa, a proposição composta é verdadeira; II. Proposição falsa, pois 2<x para qualquer valor real menor que 2 e não apenas para zero ou um; III. Proposição falsa. Quanto maior for o módulo de um número negativo, menor ele será! Resposta: letra c.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com25 15) A figura abaixo mostra uma engrenagem formada por três rodas dentadas iguais (de mesmo raio). Em duas das rodas, há bandeirinhas, e a roda de cima girou menos de uma volta e parou na posição indicada pela bandeirinha pontilhada. Nessas condições, qual das seguintes alternativas apresenta a posição aproximada da bandeirinha da outra roda? a) b) c) d) e) Solução: A engrenagem de cima gira no sentido anti-horário (vide enunciado da questão). Assim, a engrenagem abaixo à esquerda gira no sentido horário, e, a da direita, gira novamente no sentido anti-horário, colocando a bandeirinha contida nessa engrenagem na posição indicada pela alternativa d. Resposta: letra d. 16) Considere as seguintes informações sobre uma prova de concurso composta de dois problemas, X e Y: • 923 candidatos acertaram o problema X. • 581 erraram o problema Y. • 635 acertaram X e Y. O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é a) 183 b) 293 c) 342 d) 635 e) 689 Solução: A questão se resolve facilmente por meio de diagramas. Dica: inicie sempre esse tipo de questão pela interseção de todos os conjuntos. Resposta: letra b. 17) Considerem-se as seguintes proposições: • “Todas as pessoas ricas são cultas”.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com26 • "Nenhum pescador é culto”. • “Hugo é rico”. Uma conclusão que necessita de todas essa proposições como premissas é a) “Ricos são cultos”. b) “Hugo não é culto”. c) “Hugo não é pescador”. d) “Hugo é rico e pescador”. e) “Hugo é um pescador culto”. Solução: Resposta: letra c. 18) Considerem-se as seguintes premissas: • “Todos os jogadores de futebol são bonitos”. • “Lucas é bonito”. • “Modelos fotográficos são bonitos”. Considerem-se, também, as seguintes conclusões: I. “Lucas não é jogador de futebol nem modelo fotográfico”. II. “Lucas é jogador de futebol e também modelo fotográfico”. III. “Lucas é bonito e jogador de futebol”. Considerando as premissas, a validade de cada argumento gerado pelas conclusões I, II e III é, respectivamente, a) válido, válido, válido. b) não-válido, válido, válido. c) válido, não-válido, não-válido. d) não-válido, válido, não-válido. e) não-válido, não-válido, não-válido Solução: Observe que as premissas não permitem determinar como se relacionam os diagramas F e M. Também não é possível determinar exatamente onde Lucas deve estar. Pode ser em qualquer das posições indicadas no diagrama, nas cores azul, verde ou vermelha. Em outras palavras, o argumento é inconcludente. Desse modo, nenhuma das conclusões apresentadas poderão validá- lo. Resposta: letra e.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com27 19) As afirmativas a seguir correspondem a condições para a formação de um determinado número X de três dígitos. • 429 não tem nenhum dígito em comum com esse número. • 479 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido lugar. • 756 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar. • 543 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido lugar. • 268 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar. O número X de três dígitos que satisfaz essas condições é a) 837 b) 783 c) 738 d) 736 e) 657 Solução: • Das duas primeiras afirmações, excluem-se os algarismos 4, 2 e 9 do número procurado e pode-se inferir que o 7 é um dos dígitos do número procurado; • A terceira afirmação exclui os algarismos 5 e 6 do número procurado e confirma o 7 na primeira posição; • A quarta afirmação confirma o 3 como o segundo algarismo do número procurado. Como esse algarismo não está no seu devido lugar, conclui-se que o 3 é o segundo algarismo do número procurado; • A última afirmação completa o número procurado, visto que os algarismos 2 e 6 já haviam sido excluídos. Desse modo, o algarismo 8 completa o número procurado. Resposta: letra c. 20) Cada uma das três amigas Ana, Bia e Carla, gosta de apenas uma das seguintes frutas: maçã, banana e pêra, não necessariamente nessa ordem. Ana gosta de pêra, Bia não gosta de pêra e Carla não gosta de banana. Se apenas uma dessas três afirmações for verdadeira e se cada uma das três amigas gosta de uma fruta diferente, então as frutas de que Ana, Bia e Carla gostam são, respectivamente, a) banana, pêra e maçã. b) pêra, maçã e banana. c) maçã, banana e pêra. d) pêra, banana e maçã. e) banana, maçã e pêra. Solução: Analisando-se as afirmações feitas: • Ana gosta de pêra; • Bia não gosta de pêra; • Carla não gosta de banana. Observe que, se a primeira afirmação for verdadeira, a segunda também o será, o que contradiz o enunciado. Assim, sabemos com certeza que a primeira afirmação é falsa. Passemos à segunda afirmação. Se ela fosse verdadeira, então Bia não gosta de pêra. Como já sabemos que a primeira é falsa, Ana também não gosta de pêra, resta que Carla é quem gosta de pêra. Mas, observe que a terceira afirmação também seria verdadeira, o que contradiz o enunciado (apenas uma é verdadeira). Então a afirmação 2 também é falsa, o que nos leva a concluir que Bia é quem gosta de pêra. A terceira afirmação é verdadeira: Carla não gosta de banana. Desse modo, Ana é quem gosta de banana e Carla gosta de maçã. Resposta: letra a.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com28 1) “Sejam X e Y conjuntos não vazios. Se a afirmação ‘todo X é Y’ é ______, então a afirmação ‘nenhum X é Y’ é falsa e a afirmação ‘alguns X são Y’ é ______. Agora, se a negação de ‘todo X é Y’ é uma afirmação falsa, então a afirmação ‘alguns X são Y’ será ______.” Qual das seguintes alternativas completa de forma CORRETA, na ordem, as lacunas do texto acima? a) falsa, verdadeira; falsa. b) falsa; falsa; falsa. c) verdadeira; verdadeira; verdadeira. d) verdadeira; falsa; falsa. e) verdadeira; falsa; verdadeira. Solução: Se a afirmação “nenhum X é Y” é falsa, então a afirmação “todo X é Y” é verdadeira e a afirmação “alguns X são Y” também é verdadeira. A negação de “todo X é Y” é “algum X não é Y”. O enunciado diz que esta última afirmação é falsa, logo, a afirmação “alguns X são Y” será verdadeira. Resposta: letra c. 2) Sete pessoas comeram duas pizzas. Cada uma das pizzas estava dividida em dez pedaços iguais. Sabendo-se que cada uma das pessoas comeu ao menos um pedaço de pizza, que não sobraram pedaços, e ainda, que cada uma só comeu pedaços inteiros sem deixar restos, pode-se ter certeza de que a) uma delas comeu, no mínimo, três pedaços. b) alguém comeu quatro pedaços. c) uma delas comeu somente um pedaço. d) todas comeram dois pedaços. e) algumas comeram dois pedaços e as demais comeram três. Solução: O maior múltiplo de 7 contido em 20 é o 14. Significa que cada pessoa pode ter recebido dois pedaços. Qualquer que seja a distribuição dos demais pedaços, tem-se que uma delas pode ter comido, no mínimo, três pedaços. Resposta: letra a. 3) Considera as proposições a seguir: I. Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro. II. Ou o café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e o bolo está delicioso. Pode-se afirmar que a) ambas as proposições são tautologias. b) ambas as proposições são contradições. c) a proposição I é uma contradição e a II é uma tautologia. d) a proposição I é uma tautologia e a II é uma contradição. e) ambas as proposições não são tautologias. Solução: I. Seja a proposição dada em linguagem simbólica: :m Josi é morena; :l Jorge é loiro. A proposição composta é: ( )lmm ∧∨ ~ . Aplicando-se Lei de De Morgan à proposição entre parênteses, vem: lmm ~~ ∨∨ . Que é uma tautologia. II. Seja a proposição dada em linguagem simbólica: :q o café está quente; :d o bolo está delicioso. A proposição composta, em linguagem simbólica é: ( ) ( )dqdq ∧↔∨ ~~ observe o leitor que o primeiro parênteses traz um “ou exclusivo”, que só será verdadeira quando apenas uma de suas proposições for verdadeira. No segundo parênteses, tem-se uma proposição conjuntiva (“e”), que somente terá resultado lógico verdadeiro quando as duas proposições simples forem verdadeiras. Ora, a proposição composta bicondicional somente apresenta valor lógico verdadeiro quando suas
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com29 proposições tiverem mesmo valor lógico. Analisando-se o caso de ambas as proposições simples serem falsas, ter-se-á que a proposição com o “ou exclusivo” será falsa e a proposição conjuntiva (“e”) também será falsa. desse modo, a proposição bicondicional terá resultado lógico verdadeiro. Tem-se aqui, portanto, uma contingência. Confirmação por Tabela-Verdade: q d q~ d~ dq ~~ ∨ dq ∧ ( ) ( )dqdq ∧↔∨ ~~ V V F F F V F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F F V Resposta: não há alternativa que responda corretamente a questão. A questão deveria ter sido anulada, mas a banca não o fez! 4) Considere o anúncio a seguir: “Todo governo democrata é para o povo e um governo que é para o povo é duradouro. Agora, nenhum governo é duradouro.” Pode-se afirmar que a) o Brasil nunca teve um governo duradouro. b) o Brasil nunca teve um governo trabalhista. c) o Brasil nunca teve governo. d) os governos não são democratas. e) existem governos que não são para o povo. Solução: Sejam os diagramas: G : governo Gd : governo democrático P : povo D : duradouro. Com as premissas, pode-se determinar a figura a seguir Uma possível conclusão é: Alguns governos não são para o povo. Veja a região sombreada na figura acima. Resposta: letra e. 5) Sejam os enunciados ditos por José I. A cor azul é a mais bonita. II. O enunciado III é verdadeiro. III. Dentre as cores primárias, uma é a mais bonita. IV. As cores amarela e vermelha são as mais bonitas. V. A cor verde não é a mais bonita. VI. Somente uma das afirmações que fiz anteriormente é falsa. Sabendo que o enunciado VI é verdadeiro, pode-se concluir que o valor verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) dos enunciados I a V é, respectivamente, a) V, V, V, V, F. b) V, V, V, F, V c) V, V, F, V, V d) V, F, V, V, V e) F, V, V, V, V Solução: O melhor modo de se analisar a questão é buscar afirmações contraditórias. Verifica-se, facilmente, que as afirmações III e IV estão em contradição. Arbitra-se o valor falso a uma delas, analisando-se as demais. Supondo-se que a afirmação III seja falsa, verifica-se que a afirmação I também será falsa. Ora, o enunciado indica apenas uma afirmação falsa. Então esta afirmação só
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com30 poderá ser a IV. O leitor poderá fazer a verificação das demais afirmações, confirmando que serão todas verdadeiras. Resposta: letra b. 6) A empresa Estatix está realizando uma pesquisa nas escolas de certa região. As escolas terão avaliações favoráveis se as duas regras a seguir forem satisfeitas. Regra 1: Se a escola possui alguns professores estudiosos, a escola é recomendada. Regra 2: A escola será recomendada se o diretor for competente ou se a biblioteca for suficiente. Realizada a pesquisa na Escola XYZ, obtiveram-se as seguintes conclusões: • Os alunos não são estudiosos. • Os professores são estudiosos. • O diretor é competente. • A biblioteca é insuficiente. Baseando-se nos dados acima, pode-s concluir que a Escola XYZ a) não terá avaliação favorável, pois a biblioteca é insuficiente. b) não terá avaliação favorável, pois os alunos não são estudiosos. c) terá avaliação favorável, pois o diretor não é competente. d) terá avaliação favorável, pois os professores são estudiosos e o diretor é competente. e) terá avaliação favorável, pois a biblioteca é suficiente. Solução: As regras indicadas na questão não passam de premissas de um argumento lógico. Colocando as proposições em linguagem simbólica: :p alguns professores estudiosos; :r escola recomendada; :d diretor competente; :b biblioteca suficiente. Argumento em linguagem simbólica: Condição de validade :1 P rp → V :2 P ( ) rbd →∨ V :C ? V Com o resultado da pesquisa indicado na questão, verifica-se que a proposição p é verdadeira, assim como a proposição d .Já a proposição b é falsa. Colocando-se esses valores lógicos no quadro acima, verifica-se, em ambas as premissas, que o valor lógico da proposição r deve ser verdadeiro para que se verifique a condição de validade do argumento. Desse modo, a escola terá avaliação favorável, uma vez que tem professores estudiosos e diretor competente. Resposta: letra d. 7) Descobriu-se uma espécie de bactéria imortal que, a partir do momento de sua hospedagem e/ou existência, começa seu ciclo reprodutivo infinito e ininterrupto. Sabe-se que dois exemplares dessa espécie de bactéria geram seis exemplares em apenas 5 segundos, totalizando assim oito exemplares em 5 segundos. Com esses dados, se tivéssemos agora dez exemplares da referida bactéria, quantos exemplares teríamos daqui a 10 segundos? a) 420 b) 160 c) 120 d) 50 e) 40 Solução: A partir do número inicial de bactérias, cada novo número gerado é o quádruplo do anterior a cada intervalo de 5 segundos. Se o número inicial é de 10 bactérias, então, 5 segundos depois haverá o quádruplo desse número, ou seja, 40 bactérias. Nos próximos 5 segundos, haverá o quádruplo de 40, ou seja, 160 bactérias. Resposta: letra b. 8) O argumento que NÃO é válido é a) O céu é azul e a terra é amarela. Logo, a terra é amarela.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com31 b) Manuel é rico. Todos os homens ricos são divertidos. Logo, Manuel é divertido. c) O céu é azul ou a grama é verde. logo, a grama é verde. d) Dinheiro é tempo e tempo é dinheiro. Logo, dinheiro é tempo. e) O domingo é divertido e tudo é azul. Logo, tudo é azul. Solução: Pela definição de argumento dedutivo, é necessário que haja pelo menos duas premissas seguidas de uma conclusão válida, que deve estar baseada em todas as premissas. Observe o leitor que a questão não traz somente argumentos dedutivos. Na verdade, têm-se, nesta questão, quatro argumentos indutivos e apenas um argumento dedutivo (que é o da alternativa “b”). Em argumentos indutivos é necessário que a conclusão seja verdadeira e baseada em premissa(s) verdadeira(s). Observe o leitor que, nos argumentos dedutivos, não é necessário que uma ou mais premissas sejam verdadeiras para que o argumento seja válido Voltando aos argumentos apresentados nesta questão, veja que, nas alternativas em que a premissa é formada por uma proposição conjuntiva, esta somente será verdadeira se ambas as proposições simples tiverem valor lógico verdadeiro. Isto posto, as alternativas “a”, “d” e “e” têm conclusões válidas. A alternativa “b” é a única que traz um argumento que se encaixa na definição de argumento dedutivo. Agora, na alternativa “c” se tem uma proposição disjuntiva, que terá valor lógico verdadeiro se pelo menos uma de suas proposições simples for verdadeira. Dessa forma, a conclusão apresentada não pode ser considerada válida. Resposta: letra c. 9) Três amigos, Régis, Sílvio e Tiago, foram juntos a uma loja que vende camisetas, calças e bonés somente nas cores verde, vermelha e azul. Sabe-se que • Cada um deles comprou um boné, uma camiseta e uma calça; • Cada uma das peças compradas (bonés, ou camisetas, ou calças) tem cor diferente; • Todas as peças da mesma pessoa apresentam cores diferentes; • Régis não comprou o boné vermelho, nem a calça azul; • Sílvio comprou a camiseta azul; • Tiago comprou o boné verde. • Considerando as proposições acima, é CORRETO afirmar que a) a calça do Tiago é azul. b) a camiseta do Régis é vermelha. c) a calça do Sílvio é vermelha. d) a camiseta do Tiago é azul. e) o boné do Sílvio é azul. Solução: Com as afirmações feitas no enunciado da questão, pode-se montar o quadro abaixo: Régis Sílvio Tiago Camiseta Verde Azul Vermelha Calça Vermelha Verde Azul Boné Azul Vermelho Verde O início da colocação das cores foi com as que aparecem em destaque (negrito): a camiseta de Sílvio é azul e o boné de Tiago é verde. A partir daí as demais cores foram facilmente colocadas, observando-se, ainda de acordo com o enunciado, que nenhum deles comprou duas peças da mesma cor. Resposta: letra a. 10) Analise as seguintes definições. • Mx – x é maranhense. • Bx – x é branco. • Rx – x é rico. • Cx – x é uma casa. • Sx – x é em São Luiz. • Pxy – x possui y.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com32 Utilizando-se as definições acima, qual das seguintes alternativas pode representar a expressão “Todo maranhense branco que é rico possui uma casa em São Luiz”? a) ( )( ) ( )( )PxyCyyRxBxMxx ∧∃→∧∧∀ b) ( ) ( )( )( )PxyCyRxyRxMxx ∧∧∃→∧∀ c) ( )( ) ( )( )( )PxySyCyyRxBxMxx ∧∧∃→∧∧∀ d) ( )( ) ( )( )( )PxySyCyyRxBxMxx ∧∧∀→∧∧∀ e) ( )( ) ( )( )( )PxyRxCySyBxMxyx ∧∧→∧∧∀∀ Solução: A lógica de predicados apresenta uma convenção notacional própria para proposições categóricas,usando símbolos como ∀ , que significa “para todo” ou “qualquer que seja”, e ∃ , que significa “existe” ou “algum” ou “alguns”. Nesse tipo de questão, o candidato deverá fazer a versão da linguagem corrente para a linguagem simbólica, seguindo a convenção notacional da lógica de predicados. Desse modo, a sentença: “Todo maranhense branco que é rico possui uma casa em São Luiz”, passa a ser: ∀ x = qualquer que seja x , ou para todo x ; ∃ y = existe y A sentença dada pode ser apresentada do seguinte modo: ( )( ) ( )( )( )PxySyCyyRxBxMxx ∧∧∃→∧∧∀ Resposta: letra c. 11) Dada a proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar, então, ele está de férias e trabalhando”, pode-se afirmar que a) é uma contradição. b) é uma tautologia. c) não é tautologia e nem contradição. d) é equivalente a “se João está de férias então ele não trabalha”. e) é equivalente a “se João está de férias então ele trabalha”. Solução: Sejam as proposições simples: :f João está de férias; :t João vai trabalhar. A proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar; então ele está de férias e trabalhando” em linguagem simbólica pode ser escrita como: ( ) ( )tftf ∧→→~~ verifica-se que a primeira proposição condicional está negada, usando-se a equivalência da negação da condicional, pode-se escrever a proposição acima como: ( ) ( )tftf ∧→∧ ambos os membros da proposição condicional acima são iguais, o que caracteriza uma tautologia. Resposta: letra b. 12) Considere as proposições a seguir. P: -3 > -2 se, e somente se, 1 + 1 = 2. Q: 33 é um múltiplo de 3 se, e somente se, 3 divide 33. R: Se 2 1 < 4 1 , então 5 4 > 12 11 . Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições P, Q e R são, respectivamente, a) F, V, V. b) F, V, F. c) F, F, F. d) V, V, F. e) V, V, V. Solução: I. FALSA: proposição composta bicondicional na qual a primeira proposição simples é falsa e a segunda proposição simples é verdadeira.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com33 II. VERDADEIRA: proposição composta bicondicional na qual a primeira proposição simples é verdadeira e a segunda proposição simples também é verdadeira. III. VERDADEIRA: proposição composta condicional na qual a primeira proposição simples é falsa sempre terá resultado lógico verdadeiro (independentemente do valor lógico da segunda proposição simples). Resposta: letra a. 13) Considere as seguintes sentenças: I. Paulo foi Ministro da Educação. II. ( ) 0=πksen , com { }3,2,1,0∈k . III. 125 =+x . Do ponto de vista da lógica, pode-se dizer que a) I, II e III são proposições. b) I e III são proposições. c) II não é uma proposição. e) I, II e III não são proposições. e) I e III não são proposições e II é uma proposição. Solução: Do ponto de vista da lógica, uma proposição lógica é qualquer frase ou sentença declarativa, que somente pode assumir valor lógico verdadeiro ou falso. Por outro lado, uma sentença que contenha uma incógnita (elemento desconhecido) é uma sentença aberta. Paulo é um elemento desconhecido na sentença I, visto que o leitor não poderá atribuir a essa sentença um valor lógico verdadeiro ou falso, posto que desconhece o Paulo ao qual a frase faz referência. Portanto, a frase do item I é uma sentença aberta e não uma proposição lógica. A sentença II não possui qualquer incógnita, uma vez que k está definido e pode representar uma proposição lógica. A essa sentença poderá ser atribuído apenas um valor lógico verdadeiro ou falso. A sentença III é, sem dúvida, uma sentença aberta, e, portanto, não pode ser uma proposição lógica. Resposta: letra e. 14) Foi usada para codificação a frase “O Brasil é um grande campo de flores”. Qual palavra está representada no código “0216031009150405”,se o código “2404030304200105” representa a palavra “farrapos”? a) Ternuras b) Carnudas c) Permutas d) Bermudas e) Carinhas Solução: “Decodificando” a palavra “farrapos”... 24 04 03 03 04 20 01 05 f a r r a p o s A palavra codificada por: 02 16 03 10 09 15 04 05 r a s A segunda letra da palavra acima não pode ser “a” uma vez que o código da letra “a” é 04. Assim, o candidato poderá eliminar as alternativas “b” e “e”. A letra “t” não aparece na frase “O Brasil é um grande campo de flores”. Eliminem-se as alternativas “a” e “c”. Resta, portanto, a alternativa “d”. Resposta: letra d. 15) Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ( )PQ ∧~~ b) ( )QP ∧~~ c) ( )QP →~ d) QP →~ e) QP ~~ ∧
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com34 Solução: A proposição “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita, em linguagem simbólica como: ( )QP →~~ A proposição acima na está entre as alternativas. Como se trata da negação da condicional, ela também pode ser escrita como: QP ~~ ∧ Resposta: letra e. 16) Sabendo que P e Q são proposições, o que NÃO se pode afirmar sobre a função valoração (v)? a) v(~P) = V se, e somente se, v(P) = F. b) v(P∧ Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V. c) v(P∨ Q) = V se, e somente se, v(P) = V ou v(Q) = V. d) v(P→Q) = V se, e somente se, v(P) = F ou v(Q) = V e) v(P↔Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V. Solução: Nesta questão, o candidato precisa apenas verificar a veracidade dos valores indicados em cada alternativa: a) CORRETO: significa que o valor lógico de P~ é verdadeiro se e somente se o valor lógico de P for falso. b) CORRETO: significa que o valor lógico de uma proposição conjuntiva será verdadeiro se, e somente se cada uma das proposições simples tiver valor lógico verdadeiro. c) CORRETO: significa que a proposição disjuntiva terá valor lógico verdadeiro se e somente se pelo menos uma das proposições simples tiver valor lógico verdadeiro. d) CORRETO: significa que a proposição condicional terá valor lógico verdadeiro se e somente se a primeira proposição simples for falsa ou a segunda proposição simples for verdadeira (vide tabela-verdade da proposição condicional). e) INCORRETO: a proposição composta bicondicional tem valor lógico verdadeiro sempre que ambas as proposições simples forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Resposta: letra e. 17) Numa empresa, os funcionários Pedro, João, Antônio e Manoel trabalham como arquiteto, engenheiro, administrador e contador, não necessariamente nessa ordem. Além disto, sabe-se que • o tempo de empresa do administrador é o dobro do tempo de empresa do contador; • o tempo de empresa do arquiteto é o dobro do tempo de empresa do administrador; • o tempo de empresa do engenheiro é o dobro do tempo de empresa do arquiteto; • Manoel começou a trabalhar na empresa exatamente três anos antes de Antônio; • Pedro é mais antigo que qualquer pessoa que trabalha na empresa há mais tempo que João; • o tempo de empresa de Pedro não é o dobro do tempo de empresa de João. Considerando o tempo de serviço de todos os quatro como números inteiros, uma das conclusões possíveis é que a) Manoel é arquiteto, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é administrador. b) Manoel é engenheiro, Antônio é contador, Pedro é arquiteto e João é administrador. c) Manoel é administrador, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é arquiteto. d) Manoel é contador, Antônio é arquiteto, Pedro é administrador e João é engenheiro. e) Manoel é arquiteto, Antônio é engenheiro, Pedro é contador e João é administrador. Solução: Sejam: Ad advogados, Ct contadores, Ar arquitetos, En engenheiros; e M = Manoel; A = Antônio; J = João; P = Pedro e X = qualquer pessoa mais antiga que João na empresa. Assim, podemos escrever: Ad = 2Ct ; Ar = 2 Ad ; En = 2 Ar ; M = A + 3; P > ( X > J ); P ≠ 2 J Para facilitar a resolução da questão, vamos “arbitrar” o tempo de empresa do contador: Ct = 1. então: Ad = 2; Ar = 4; En = 8.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com35 Observe que Ar = Ct + 3. Então Manoel é arquiteto e Antônio é contador. Além disso, En ≠ 2 Ad . Então Pedro é engenheiro e João é administrador. Resposta: letra a. 18) Observe a seqüência 121112 = , 321.121112 = , 321.234.1111.1 2 = . Qual o valor de 2 111.11 ? a) 121.131.141 b) 121.345.321 c) 123.444.321 d) 123.454.321 e) 123.451.234 Solução: Seguindo a formação apresentada nos exemplos, o candidato poderá facilmente identificar a resposta correta. Resposta: letra d. 19) Sejam as notações predicativas. Px: x é Presidente do Brasil. Dx: x é democrata. A proposição composta “O Presidente do Brasil não é democrata” pode ser representada na linguagem simbólica por a) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∀→∀ b) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∃→∀ c) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∃→∃ d) ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∀→∃ e) ( )DxPxx ~→∃ Solução: A lógica de predicados apresenta convenção notacional para proposições categóricas, através de símbolos como ∀ , que significa “para todo” ou “qualquer que seja”, e ∃ , que significa “existe” ou “algum” ou “alguns”. Nesse tipo de questão, o candidato deverá fazer a versão da linguagem corrente para a linguagem simbólica, seguindo a convenção notacional da lógica de predicados. Desse modo, a sentença: “O Presidente do Brasil não é democrata”, deve ser escrita, em linguagem simbólica, como: Existe um sujeito x e se x é Presidente do Brasil então para qualquer sujeito y , tal que se y é Presidente do Brasil, então x e y são a mesma pessoa e ela não é democrata. Em linguagem simbólica, tem-se: ( )( )( )DxyxPyyPxx ~∧=→∀→∃ Resposta: letra d. 20) Considere as regras do cálculo proposicional e suas derivações, qual das proposições abaixo pode ser derivada das proposições: “ RE ~→ ” e “ AE ~~ → ”? a) RA ∧ b) ( )RA ∧~ c) RA → d) AR →~ e) ( )RA →~ Solução: Da primeira proposição condicional vem: ERRE ~~ →⇔→ (contrapositiva). Acrescentando-se a segunda proposição condicional: AE ~~ → , chega-se a: AR ~→ (por silogismo hipotético). A proposição AR ~→ é equivalente a ( )AR ∧~ Resposta: letra b.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com36 1) Considere a seguinte seqüência da esquerda para a direita: Dentre as alternativas abaixo, o próximo elemento que obedece à regra de formação até então seguida é a) b) c) d) e) Solução: As figuras internas giram no sentido anti-horário. Ao mesmo tempo, as figuras externas giram no sentido horário. A figura que completa a seqüência é idêntica à primeira. Resposta: letra d. 2) Algumas pessoas de uma mesma família estão reunidas e entre elas existem as seguintes relações de parentesco: pai, mãe, filho, filha, irmão, irmã, primo, prima, sobrinho, sobrinha, tio e tia. Considerando-se que todos têm um antepassado em comum e que não há casamento consangüíneo entre eles, o número mínimo necessário de pessoas para a ocorrência de todas essas relações é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Solução: Resposta: letra a. 3) Considerando-se a proposição :p “Se Rui é bom poeta, então Jorge é atleta”, é CORRETO afirmar que a) a contrapositiva de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. b) a contrapositiva de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. c) a contrapositiva de p é “Se Jorge é atleta”, então Rui é bom poeta”. d) a recíproca de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. e) a recíproca de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. Solução: A expressão “é correto afirmar que” significa “é equivalente a”. A equivalente natural de uma proposição condicional é a sua contrapositiva. A contrapositiva de “Se Rui é bom poeta então Jorge é atleta” é: “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta” Resposta: letra b. 4) Em uma bombonière há 13 bombons, cada qual recheado com apenas um dos sabores: avelã, cereja, damasco ou morango. Sabe-se que existe pelo menos um bombom de cada recheio e que suas quantidades são diferentes. Os bombons recheados com avelã ou cereja somam 4 bombons, enquanto que os recheados com avelã ou morango totalizam 5. Considerando-se essas informações, uma das possíveis alternativas é que somente
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com37 a) 2 bombons sejam de avelã. b) 2 bombons sejam de cereja. c) 3 bombons sejam de damasco. d) 4 bombons sejam de damasco. e) 4 bombons sejam de morango. Solução: 13=+++ MDCA 5 4 =+ =+ MA CA Sabe-se ainda que: 1≥A , 1≥C , 1≥D , 1≥M Das equações acima, podemos escrever: 8 9 =+ =+ DC MD E ainda: 4≠A ; 5≠A ; 4≠C ; 5≠M ; 4≠D 3≤A ; 3≤C ; 4≤M ; 5≤D Com os resultados obtidos acima, conclui-se que a única alternativa correta é a da letra e. Resposta: letra e. 5) Considere os seguintes argumentos: I. Todas as aves são carnívoras. Existem peixes que são carnívoros. Logo, existem peixes que são aves. II. Todos os minerais são aves. Existem borboletas que são minerais. Logo, existem borboletas que são aves. III. O assassino é o chofer ou Lea é pretensiosa. Ora, Lea não é pretensiosa. Logo, o assassino é o chofer. A seqüência CORRETA quanto à validade dos argumentos I, II e III é, respectivamente, a) não-válido, válido, válido. b) não-válido, válido, não-válido. c) não-válido, não-válido, não-válido. d) válido, válido, não-válido. e) válido, válido, válido. Solução: Argumento I (categórico): Sejam os diagramas A : aves, C : carnívoros, P : peixes Colocando-se as premissas em forma de diagramas, tem-se: Situação 1: Situação 2: Nesta situação, o conjunto P não interage com o conjunto A . A conclusão do argumento deveria ser: “Não se pode tirar conclusão” Nesta situação, o conjunto P pode interagir com o conjunto A (ver a parte hachurada no diagrama). A conclusão do argumento seria: “As aves que são peixes, são carnívoras”. O argumento I é não-válido.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com38 Argumento II (categórico): Sejam os diagramas: M : minerais, A : aves, B : borboletas Neste caso, da premissa 2, já se sabe que há borboletas que são minerais (ver região hachurada na figura acima). A conclusão do argumento é: “Existem borboletas que são aves”. O argumento II é válido. Argumento III: Este argumento é baseado em proposições lógicas. Sejam as proposições (em linguagem simbólica): :c o chofer é o assassino. :p Lea é pretensiosa. Escrevendo-se o argumento em linguagem simbólica: Condição de validade :1 P pc ∨ V :2 P p~ V :C c V Partindo-se da premissa mais simples ( 2 P ), tem-se que p~ deve ser verdadeira. Desse modo, na premissa 1 ( 1 P ), a proposição p será falsa. Para que a premissa 1 seja verdadeira (a fim de satisfazer a condição de validade), a proposição c , deve ser, necessariamente, verdadeira. Desse modo, está validado o argumento. Resposta: letra a. 6) Paulo possui 5 pares de meias, todos de cores diferentes. Para garantir que pegou um par de mesma cor, ele precisa apanhar no mínimo a) 2 meias b) 5 meias c) 6 meias d) 9 meias e) 10 meias Solução: Para que Paulo consiga a garantia de retirar um ar da mesma cor, ele necessitará retirar no mínimo 6 meias. Resposta: letra c. 7) A negação da proposição “Se João é jogador de basquete, então ele é bonito”, é: a) “Se João não é jogador de basquete, então ele não é bonito”. b) “Se João não é bonito, então ele não é jogador de basquete”. c) “João não é jogador de basquete ou ele é bonito”. d) “João é jogador de basquete ou ele não é bonito”. e) “João é jogador de basquete e ele não é bonito”. Solução: Na negação da proposição condicional, recorre-se à equivalência: ( )qpqp ~~ ∧⇔→ cuja negação pode ser escrita como: ( ) ( )qpqp ~~ ∧⇔→
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com39 Do segundo membro da equivalência acima, em linguagem corrente, tem-se a forma mais comum da negação da proposição condicional. Para a questão proposta, a negação fica assim: “João é jogador de basquete e não é bonito” Resposta: letra e. 8) As primas Branca, Celeste e Rosa foram almoçar na casa da avó e notaram que estavam com calçados das cores branca, celeste e rosa. Então, Branca disse: “as cores dos calçados combinam com nossos nomes, mas nenhuma está com o calçado da cor que combine com seu próprio nome”. “E daí?”, respondeu a jovem com o calçado rosa. Com essas informações, pode-se afirmar que a) Branca está com calçado rosa. b) Celeste está com calçado rosa. c) Rosa está com calçado celeste. d) Celeste está com calçado branco e Rosa está com calçado celeste. e) Branca está com calçado celeste e Celeste está com calçado branco. Solução: A questão tem solução bastante simples: (1) Branca só poderia estar com o calçado celeste ou rosa; (2) A prima que retrucou sua afirmação é quem está com o calçado rosa, e seu nome não é Rosa. Desse modo, conclui-se que: Branca está com o calçado celeste; Celeste está com o calçado rosa e Rosa está com o calçado branco. Resposta: letra b. 9) Fábia, Júlia e Mariana saíram com os seus namorados para passear de moto. Em certo momento, elas trocaram entre si as motos e os acompanhantes. Cada uma está na moto de uma segunda e com o namorado de uma terceira. A pessoa que está na moto de Fábia está com o namorado de Júlia. Nessas condições, pode-se afirmar que a) Mariana está com o namorado de Fábia. b) Fábia está com o namorado de Júlia. c) Júlia está com o namorado de Fábia. d) Mariana está com a moto de Júlia. e) Júlia está com a moto de Fábia. Solução: Como nenhuma das moças está com sua moto e seu namorado, então, quem está com a moto de Fábia e com o namorado de Júlia só pode ser Mariana. Desse modo, podemos completar, facilmente, o quadro abaixo: Fábia Júlia Mariana Moto Júlia Mariana Fábia Namorado Mariana Fábia Júlia Com o quadro acima, pode-se, agora, selecionar a alternativa correta. Resposta: letra c. 10) De 7 pacotes de biscoitos de mesmo tipo e aparentemente iguais, há 2 pacotes com o mesmo peso e que pesam menos que os demais, cujo peso é idêntico. Para aferir a diferença entre os pesos desses pacotes foi utilizada uma balança de dois pratos, sem pesos. Quantas pesagens, no mínimo, são necessárias para garantir quais são os pacotes mais leves? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Solução: Colocam-se 3 pacotes em cada prato da balança, deixando-se um pacote fora da balança. Se houver desequilíbrio na balança, sabe-se que pelo menos um dos pacotes mais leves estará no prato que ficar mais alto. Se, inicialmente, apenas um dos pacotes mais leves foi colocado na balança, saber-se-á que o outro é o que ficou fora da balança. Retiram-se, então, os pacotes deste prato (o que ficou mais alto) e coloca-se um pacote em cada prato. Se houver novo desequilíbrio, encontrou-se o outro pacote mais leve. Desse modo, ter-se-á encontrado os dois pacotes mais leves com apenas duas pesagens.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com40 Resposta: letra a. 11) Sejam as proposições: :p “Bruna foi ao cinema”. :q “Caio foi jogar tênis”. A proposição composta “Caio foi jogar tênis ou Bruna não foi ao cinema” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ( )qp ~~~ ∧ b) ( )qp ∨~~ c) ( )qp ~~ ∨ d) ( )qp ∧~~ e) ( )qp ~~ ∧ Solução: Em linguagem simbólica, a proposição dada é escrita como pq ~∨ . Obviamente, esta proposição não estará entre as alternativas. O candidato precisa se lembrar das propriedades das proposições lógicas, principalmente, Leis de De Morgan e da propriedade comutativa, empregadas nesta questão. Aplicando-se Lei de De Morgan, vem: ( )pq ∧~~ . Aplicando-se, agora, a propriedade comutativa na proposição composta entre parênteses, vem: ( )qp ~~ ∧ Resposta: letra e. 12) Antônio distribuiu 25 pirulitos inteiros para seus 7 filhos. Sabendo que cada filho recebeu pelo menos um pirulito, pode-se afirmar que a) pelo menos um filho recebeu exatamente 4 pirulitos. b) cinco filhos receberam exatamente 4 pirulitos cada um. c) todos os filhos receberam a mesma quantidade de pirulitos. d) pelo menos dois filhos receberam o mesmo número de pirulitos. e) quatro filhos receberam 4 pirulitos e outros receberam 3 pirulitos cada um. Solução: Se, inicialmente, Antônio der um pirulito a cada filho e todos os 18 restantes para um deles, ou ainda, se redistribuir os 18 restantes de qualquer forma que escolher, sempre haverá pelo menos dois filhos que receberão a mesma quantidade de pirulitos. Resposta: letra d. 13) Seja a proposição “Se Davi pratica natação, então Nair joga vôlei”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “Davi pratica natação e Nair joga vôlei”. b) “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”. c) “Se Nair joga vôlei, então Davi pratica natação”. d) “Davi não pratica natação e Nair não joga vôlei”. e) “Se Davi não pratica natação, então Nair não joga vôlei”. Solução: Uma equivalência da proposição condicional é: ( )qpqp ~~ ∧⇔→ . Aplicando-se Lei de De Morgan no segundo membro da equivalência acima, vem: qpqp ∨⇔→ ~ . Passando-se a proposição para a linguagem corrente, tem-se: “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”. Resposta: letra b. 14) Lauro, Moisés e Nelson – cujos sobrenomes são Ramos, Souza e Teixeira, mas não necessariamente nessa ordem – resolveram cada um, fazer uma obra diferente de reforma – fachada, jardim, piscina – em suas casas. Sabe-se que: • Souza não fez obra na fachada nem no jardim; • Lauro e Moisés são os vizinhos de Ramos; • Lauro fez obra na piscina e Teixeira não modificou o jardim. Então, pode-se afirmar que a) Lauro Ramos reformou o jardim. b) Moisés Souza reformou a piscina.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com41 c) Moisés Teixeira reformou a fachada. d) Nelson Souza reformou a piscina.. e) Nelson Teixeira reformou a fachada. Solução: Com as informações dadas, pode-se completar o quadro abaixo. Lauro Nelson Moisés Sobrenome Souza Ramos Teixeira Reforma Piscina Jardim Fachada Resposta: letra c. 15) Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calças jeans e 13 usam tênis. Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, o número de alunos que usam calças jeans e não usam tênis é a) 5 b) 17 c) 18 d) 23 e) 30 Solução: Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, então os outros 36 usam calças jeans ou tênis. Ora, segundo o enunciado, a soma dos que usam calças jeans (30) com os que usam tênis (13) é 43. Isto significa que 7 alunos estão na interseção dos dois conjuntos (ver diagrama). Desse modo, há 23 alunos que somente usam calças jeans (mas não estão de tênis) e 6 alunos que usam tênis (mas não estão de calças jeans). Resposta: letra d. 16) Considere as seguintes proposições: :p -3 + 5 = -2 se, e somente se, 2 + 2 = 4. :q 4 é par se, e somente se, um cachorro é um mamífero. :r Se 3121 < , então 3 > 2. Então, os valores lógicos das proposições p , q e r são, respectivamente, a) F V V b) F V F c) F F F d) V V F e) V V V Solução: A primeira proposição composta dada acima é bicondicional e sua primeira proposição simples é falsa (-3 + 5 = 2; e não -2). A segunda proposição simples é verdadeira: 2 + 2 = 4, logo, a proposição bicondicional tem valor lógico falso. A segunda proposição também é bicondicional, e, a exemplo da primeira, também tem suas proposições simples com o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras: 4 é par e cachorro é mamífero). Desse modo, a proposição bicondicional é verdadeira. A terceira proposição é condicional. Quando a primeira proposição simples de uma condicional é falsa, o valor lógico da proposição condicional é verdadeiro, independente do valor lógico da segunda proposição simples. Resposta: letra a. 17) A negação da proposição “Nenhuma fruta não é doce” pode ser a) “Nenhuma fruta é doce”. b) “Todas as frutas são doces”. c) “Existem frutas que são doces”. d) “Todas as frutas não são doces”. e) “Existem frutas que não são doces”. Solução: A negação da proposição categórica “nenhum...” é “algum...”. Então, tem-se: “Alguma fruta não é doce”. Lembre-se de que algum(ns) é o mesmo que existe(m). Resposta: letra e. 18) Cinco amigos, André, Celso, Daniel, Hugo e Mário, prestam exame de seleção para a Aeronáutica. Sabe-se que, se André estudou, Celso foi aprovado; se Daniel foi aprovado, André
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com42 estudou; se Hugo não estudou, Mário também não o fez; se Hugo estudou,Daniel foi aprovado. Como Mário estudou, a) Daniel não foi aprovado. b) Hugo não foi aprovado. c) Mário foi aprovado. d) André foi aprovado. e) Celso foi aprovado. Solução: A questão é um argumento. Sejam as proposições simples: :Ae André estudou; :Ca Celso aprovado; :Da Daniel aprovado; :He Hugo estudou; :Me Mário estudou. Colocando-se o em linguagem simbólica: Condição de validade :1 P CaAe → V :2 P AeDa → V :3 P MeHe ~~ → V :4 P DaHe → V :5 P Me V :C ? V Partindo-se da premissa 5, tem-se que é verdade que Mário estudou. Assim, na premissa 3, a proposição Me~ é falsa. Desse modo, He~ também deverá ser falsa, para que a proposição condicional seja verdadeira, satisfazendo a condição de validade. Sabendo-se que He~ é falsa, tem-se que, na premissa 4, He é verdadeira. Como a premissa 4 é uma proposição condicional, esta somente será verdadeira se Da for verdadeira. Com isso, na premissa 2, sabendo-se que Da é verdadeira, então Ae também deve ser, para satisfazer a condição de validade. Ora, se Ae é verdadeira, então na premissa 1 Ca também precisa ser verdadeira. A conclusão do argumento é, portanto, “André estudou e Celso foi aprovado e Daniel foi aprovado e Hugo estudou”. Resposta: letra e. 19) Seja a proposição :p “Todos os filósofos são calvos”. A proposição que NÃO é equivalente a p é a) “Os filósofos são calvos”. b) “Qualquer filósofo é calvo”. c) “Nenhum filósofo não é calvo”. d) “Se alguém é calvo, então ele é filósofo”. e) “Se alguém não é calvo, então não é filósofo”. Solução: A proposição dada também pode ser escrita como: “Se alguém é filósofo, então ele é calvo”. Das alternativas dadas, vem: (a) “Os filósofos são calvos”. É equivalente. b) “Qualquer filósofo é calvo”. É equivalente (a proposição categórica “todo” é sinônimo de “qualquer que seja” c) “Nenhum filósofo não é calvo”. É equivalente: “nenhum... não é...” é o mesmo que “todos... são...”. d) “Se alguém é calvo, então ele é filósofo”. É a recíproca. Sabe-se que a recíproca de uma proposição condicional nem sempre é verdadeira.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com43 e) “Se alguém não é calvo, então não é filósofo”. É a contrapositiva. Sabe-se que a recíproca de uma proposição condicional é equivalente à proposição dada (teorema contra-recíproco). Resposta: letra d. 20) Em 8 horas, uma colônia que começou com 4 bactérias multiplica-se e preenche o espaço reservado para sua cultura. Se o número de indivíduos dessa espécie duplica a cada hora, começando-se com apenas uma bactéria, o mesmo espaço será preenchido em a) 10 horas b) 12 horas c) 16 horas d) 24 horas e) 32 horas Solução: Começando-se com uma bactéria, tem-se, hora depois, duas bactérias. Duas horas depois, tem-se 4 bactérias e assim sucessivamente. Observe o leitor que a segunda cultura está defasada de duas horas em relação à primeira (ver quadro abaixo). Desse modo, a segunda cultura preencherá seu espaço em 10 horas. Hora→ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cultura 1 4 8 16 32 64 128 256 512 1024   Cultura 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Resposta: letra a.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com44 INSTRUÇÃO: As questões 1, 2 e 3 deverão ser respondidas tendo como base as afirmativas abaixo. I. Há um mês, cinco amigos, Aline, Juliana, Lia, Mário e Sílvio estão fazendo dieta para perder peso, e os pesos perdidos são dados em números inteiros. II. Aline perdeu 1 kg a mais que Mário. III. Mário perdeu 2 kg a mais que Juliana. IV. Juliana perdeu 1 kg a menos que Sílvio. V. Lia perdeu 2 kg a menos que Juliana . 1) Das alternativas abaixo, a que indica os nomes em ordem decrescente de perda de peso no período é a) Mário, Juliana, Aline, Lia, Sílvio. b) Aline, Mário, Juliana, Sílvio, Lia. c) Aline, Mário, Sílvio, Lia, Juliana. d) Sílvio, Lia, Mário, Juliana, Aline. e) Aline, Mário, Sílvio, Juliana, Lia. Solução: Com as instruções dadas, podem-se escrever as seguintes equações: 2 1 2 1 −= −= += += JL SJ JM MA Para resolver a questão de modo mais rápido, o candidato poderá “arbitrar” uma das quantidades. Melhor, ainda, seria usar o enunciado da questão 2 e colocar 7=L . Então, 9=J ; 10=S ; 11=M ; 12=A Resposta: letra e. 2) Se Lia perdeu 7 kg, nesse intervalo, então Mário perdeu a) 8 kg b) 9 kg c) 10 kg d) 11 kg e) 12 kg Solução: A resposta já foi encontrada na questão 1. Mário perdeu 11 kg. Resposta: letra d. 3) Considere as seguintes afirmações: I. A soma dos pesos que Aline e Lia perderam juntas é igual à soma dos pesos perdidos por Sílvio e Juliana juntos. II. A soma dos pesos que Mário e Sílvio perderam é um número ímpar. III. Lia perdeu 2 kg a menos que Sílvio. Assim, pode-se afirmar que é(são) VERDADEIRA(S) a) apenas a I b) apenas a II c) apenas a III d) apenas a I e II e) apenas a I e III Solução: I. CORRETO! 19712 =+=+ LA e 19910 =+=+ JS II. CORRETO! 211011 =+=+ SM III. INCORRETO! Se 7=L e 10=S , então Lia perdeu 3 kg a menos que Sílvio. Resposta: letra d. 4) Num grupo de pessoas, detectou-se que 19 são fumantes, 37 tomam café e todos os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite porque fumam e outras duas porque só tomam café. O número de pessoas não-fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é a) 8 b) 16 c) 18 d) 21 e) 37 Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com45 No diagrama a seguir F indica o conjunto dos fumantes, C é o conjunto das pessoas que tomam café, A identifica a parte das que têm apetite e A representa o grupo das que não têm apetite. Resposta: letra b. 5) Uma proposição equivalente a “Se Tadeu é economista, então Renato não é estudioso” é a) “Se Renato é estudioso, então Tadeu não é economista”. b) “Se Renato é estudioso, então Tadeu é economista”. c) Se Tadeu não é economista, então Renato é estudioso”. d) “Tadeu é economista ou Renato é estudioso”. e) “Tadeu é economista ou Renato não é estudioso”. Solução: Uma equivalente de uma proposição condicional é a sua contrapositiva: “Se Renato é estudioso, então Tadeu não é economista”. Resposta: letra a. 6) Considere { }042; =+ℜ∈= xxA e as seguintes proposições: I. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então { }2 1 −=A . II. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então { }2−=A . III. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então { }6−=A . IV. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então { }2−=A . A seqüência formada pelo valor verdade (V, se verdade; F, se falso) dessas proposições é, a) F V V V b) F V F F c) V V F V d) V F F F e) V V V V Solução: Ver tabela-verdade da proposição condicional. A solução de 042 =+x é 2−=x O Estado do Rio de Janeiro está na região Sudeste. I. Proposição condicional VERDADEIRA; II. Proposição condicional VERDADEIRA; III. Proposição condicional FALSA; IV. Proposição condicional VERDADEIRA. Resposta: letra c. 7) Fábio e Gerson estão numa embarcação que se dirige de uma ilha para a praia. Durante o trajeto, eles resolvem fazer uma parte do percurso nadando. Fábio deixa a embarcação na metade do tempo total gasto por ele e nada durante a outra metade, enquanto Gerson deixa a embarcação na metade da distância, nadando o restante do percurso. Eles nadam à mesma velocidade constante e esta é menor do que a velocidade constante da embarcação. Nessas condições, é CORRETO afirmar que a) Fábio e Gerson chegarão juntos à praia. b) Fábio chegará primeiro à praia. c) Gerson chegará primeiro à praia. d) Fábio ultrapassará Gerson em algum ponto do percurso a nado. e) não se pode concluir quem chegará primeiro à praia.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com46 Solução: Como a velocidade do barco é maior do que a velocidade em que ambos conseguem nadar, segue- se que aquele que ficar mais tempo no barco chegará antes à praia. Desse modo, Fábio chegará antes à praia. Resposta: letra b. 8) A negação da proposição “Vera vai ao cinema ou à festa” é a) “Vera vai ao cinema ou não vai à festa”. b) “Vera não vai ao cinema ou não vai à festa”. c) “Vera vai ao cinema e à festa”. d) “Vera não vai ao cinema e vai à festa”. e) “Vera não vai ao cinema e não vai à festa”. Solução: Para a negação de uma proposição disjuntiva, aplica-se De Morgan à proposição. Neste caso, tem- se: “Vera não vai ao cinema e não vai à festa”. Resposta: letra e. 9) Se x e y são inteiros com yx < , definimos yx ⊕ como sendo a soma dos inteiros entre x e y , incluindo x e y . Por exemplo, 3410987107 =+++=⊕ . O valor numérico de 53 1410 ⊕ ⊕ é a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 12 Solução: Usando-se a definição dada no enunciado, tem-se: 5 543 1413121110 53 1410 = ++ ++++ = ⊕ ⊕ Resposta: letra c. 10) Sabe-se que Nei tem um filho a menos que seu irmão Paulo; este, por sua vez, tem um filho a menos que Raul. Se Raul tem o dobro de filhos que Nei, então os três irmãos, Nei, Paulo e Raul, têm, em conjunto, a) 6 filhos b) 7 filhos c) 8 filhos d) 9 filhos e) 10 filhos Solução: Montando-se equações: NR RP PN 2 1 1 = −= −= Deve-se calcular RPN ++ . O sistema acima é de fácil solução: 2 22 12 = −= −= N NN NP Assim: 3=P e 4=R , e: 9=++ RPN Resposta: letra d. 11) A negação da proposição “Todas as máquinas não são eficientes” é a) “Nenhuma máquina é eficiente”. b) “Todas as máquinas são eficientes”. c) “Existe máquina que é eficiente”. d) “Existe máquina que não é eficiente”. e) “Não é verdade que todas as máquinas são eficientes”. Solução: A negação da proposição categórica Todo é: Algum não é... ou Existe um... que não é... Resposta: letra c.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com47 12) o número 1234567812345678...12345678 possui 80 dígitos formado pela repetição da seqüência de algarismos 12345678. Dividindo-se esse número por 9, obtém-se como resto o número a) 0 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 Solução: Para que um número qualquer seja divisível por 9 é necessário que a soma de todos os seus algarismos seja um múltiplo de 9. somando-se os algarismos de uma das seqüências do número dado, tem-se 36, que é múltiplo de 9. Segue-se que o número dado é múltiplo de 9 e o resto da divisão é zero. Resposta: letra a. 13) Duas jarras contêm, cada uma, o mesmo volume de uma mistura de água e álcool, nas proporções de 2:8 na primeira jarra e de 2:3 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obtém-se uma mistura de água e álcool cuja proporção entre água e álcool é a) 2:5 b) 3:7 c) 3:11 d) 4:11 e) 4:24 Solução: Trata-se de um problema de proporção. Entretanto, só se podem somar as quantidades se ambas as razões tiverem o mesmo número de partes (subdivisões). Veja que a primeira razão tem 10 partes (2 partes de álcool + 8 partes de água), mas a segunda tem apenas 5 partes (2 partes de álcool + 3 partes de água). Vamos montar as razões de outra forma, para melhor visualização: 8 2 e 3 2 Para que a segunda razão fique com 10 partes, basta multiplicar ambos os membros por 2. ficaremos com: 6 4 . Pronto! Ambas as razões agora têm 10 partes. Agora, podemos somar numerador com numerador e denominador com denominador: 7 3 14 6 68 42 == + + Resposta: letra b. 14) O arranjo parcialmente representado ao lado é composto por 26 hexágonos, e foi montado com canudos de comprimento igual ao lado do hexágono. Para montar esse arranjo são necessários, no mínimo, a) 96 canudos b) 101 canudos c) 113 canudos d) 123 canudos e) 136 canudos Solução: A questão se resolve por observação: há 8 seqüências iguais (após a retirada dos 5 canudos à esquerda, na figura acima). A soma dos canudos dessas 8 seqüências é 88118 =× . A seguir, contam-se mais 13 canudos que não fazem parte da seqüência, perfazendo um total de 101 canudos. Resposta: letra b. 15) Considere os seguintes argumentos: I. Se o leão é manso, então o coelho não é branco. Como o coelho é branco, o leão não é manso. II. O anel é de aço ou a bolinha é de ferro. O anel não é de aço – logo, a bolinha não é de ferro. III. Se Denise canta, então Flávio chora. Ora, Denise não canta, logo, Flávio não chora. A atribuição de validade aos argumentos I, II e III forma, respectivamente, a seguinte seqüência: a) válido, não-válido, não-válido. b) não-válido, não-válido, não-válido. c) válido, válido, não-válido.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com48 d) não-válido, não-válido, válido. e) válido, não-válido, válido. Solução: I. Sejam as proposições: :m o leão é manso; :b o coelho é branco. Colocando-se o argumento em linguagem simbólica, vem: Condição de Validade :1 P bm ~→ V :2 P b V :C m~ V Para que o argumento seja válido, deveremos iniciar impondo que a premissa 2 (a mais simples) seja verdadeira. Desse modo, se a proposição b é verdadeira, então, na premissa 1 b~ é falsa. como a premissa 1 é uma proposição condicional, para que esta seja verdadeira, é necessário que a proposição m seja falsa. Desse modo, sendo a proposição m falsa, segue-se que a conclusão é verdadeira. Conclui-se que o argumento é válido. (Experimente usar o Modus Ponens para obter uma solução muito mais rápida!) II. Sejam as proposições: :a o anel é de aço; :f a bolinha é de ferro. Colocando-se o argumento em linguagem simbólica, vem: Condição de Validade :1 P fa ∨ V :2 P a~ V :C f~ V Novamente iniciamos pela premissa 2, pois é a mais simples. Ora, se a~ é verdadeira, então, na premissa 1, a é falsa. Mas a premissa 1 é uma proposição disjuntiva. Então a proposição f dever ser, necessariamente, verdadeira, para que a premissa 1 seja verdadeira. Observa-se que, sendo f verdadeira, tem-se que f~ é falsa, isto é, chegamos a uma conclusão falsa, o que não satisfaz a condição de validade do argumento. Assim sendo, este argumento é não-válido. III. Sejam as proposições: :d Denise canta; :f Flávio chora. Colocando-se o argumento em linguagem simbólica, vem: Condição de Validade :1 P fd → V :2 P d~ V :C f~ V Novamente iniciamos pela premissa 2, pois é a mais simples. Ora, se d~ é verdadeira, então, na premissa 1, d é falsa. Mas a premissa 1 é uma proposição condicional, que será sempre verdadeira quando a proposição antecedente tiver valor lógico falso. Dessa forma, qualquer que seja o valor lógico da proposição f , ter-se-á que a premissa 1 será verdadeira. Como não se pode determinar com exatidão o valor lógico da proposição f , não se pode validar o argumento, visto que esta proposição é a conclusão do argumento. Tem-se, portanto, um argumento não-válido. (Experimente usar o Modus Ponens para obter uma solução muito mais rápida!) Resposta: letra a. 16) A média aritmética de oito números é seis. Acrescentando-se-lhe mais um número, a nova média é sete; o número acrescentado é
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com49 a) 9 b) 12 c) 14 d) 15 e) 17 Solução: Se a média aritmética de 8 números é 6, então a soma desses 8 números é 48. Para o cálculo da nova média, basta fazer: 7 9 48 = + x , logo, 15=x Resposta: letra d. 17) O retângulo da figura ao lado está dividido em 7 quadrados. Se a área do quadrado menor é igual a 1 u. a., a área do retângulo é igual a a) 40 u.a. b) 42 u.a. c) 45 u.a. d) 48 u.a. e) 50 u.a. Solução: A questão se resolve por simples observação da figura dada (ver figura abaixo). Então a área do retângulo é igual a 45 u.a. Resposta: letra c. 18) Considere as seguintes proposições: :p “Hoje é quarta-feira”. :q “Celso vai jogar boliche”. A proposição composta ( )qp ∨~~ , em linguagem corrente, é expressa pela declaração: a) “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. b) “Hoje é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. c) “Hoje não é quarta-feira e Celso vai jogar boliche”. d) “Hoje não é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. e) “Hoje não é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. Solução: Inicialmente, aplica-se Lei de De Morgan à proposição dada em linguagem simbólica: ( ) qpqp ~~~ ∧⇔∨ Em linguagem corrente, a sentença acima fica: “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. Resposta: letra a. 19) A soma de sete números inteiros é ímpar. Com base nessa informação é CORRETO afirmar que a) pelo menos um desses números é ímpar. b) pelo menos um desses números é par. c) pelo menos dois desses números são ímpares. d) nenhum desses números é par. e) pelo menos dois desses números são pares. Solução: Somando-se 6 números pares, tem-se resultado par. Para que o resultado seja impar, ao se somar mais um número, é necessário que o sétimo número somado seja ímpar. Resposta: letra a. 20) As margaridas são mais baratas do que as rosas. André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de margaridas. Logo, a) André tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de margaridas. b) André tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de rosas.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com50 c) André não tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de rosas. d) André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dezena de margaridas. e) André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. Solução: Como não se pode “quantificar” os valores das margaridas e rosas, só se pode saber que, se André não pode comprar uma dúzia de margaridas, tampouco conseguirá comprar uma dúzia de rosas. Resposta: letra e.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com51 1) Considere os seguintes argumentos quanto a sua validade (legitimidade). I. Há, quando muito, um lógico incoerente. Aristóteles é um lógico incoerente. Flamarion não é Aristóteles. Portanto, Flamarion é um lógico coerente. II. Todo leão é feroz. Alguns leões não caçam. Portanto, alguns animais ferozes não caçam. III. Existem pessoas naquele bar. Todas as pessoas que estão no bar são homens. Portanto, todas as pessoas que freqüentam o bar são homens. A seqüência que corresponde à atribuição CORRETA de validade para os argumentos é a) válido, válido, válido b) inválido, inválido, inválido c) válido, inválido, válido d) válido, válido, inválido. e) inválido, válido, inválido Solução: Argumento I. Conclusão: Flamarion pode não ser lógico (ver diagrama). O argumento é não-válido. Argumento II: O argumento é válido (ver parte hachurada no diagrama acima). Argumento III: O argumento não é válido. Resposta: letra e. 2) Em uma empresa, trabalham Paulo, Sérgio e João, que são, não necessariamente nesta ordem, administrador, contador e advogado. A respeito deles, podem-se fazer as seguintes afirmações: • Paulo é administrador; • Sérgio não é administrador; • João não é advogado. Considerando-se que somente uma das afirmações acima é verdadeira, conclui-se que o contador e o administrador se chamam, respectivamente, a) Paulo e Sérgio b) Sérgio e João c) João e Sérgio d) Paulo e João e) João e Paulo.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com52 Solução: Se apenas uma das afirmações é verdadeira, inicia-se a análise considerando a primeira como verdadeira: “Paulo é administrador”. A seguir, verifica-se que, desta forma, a segunda afirmação também seria verdadeira. Ora, o enunciado afirma que apenas uma afirmação é verdadeira, logo, a consideração inicialmente feita não é válida. Então, Paulo não é administrador. Tenta-se, agora, atribuir como verdadeira a segunda afirmação: “Sérgio não é administrador”. Novamente contraria-se desta forma o enunciado, pois se já se sabe que Paulo não é administrador e Sérgio também não é administrador, então João deveria ser administrador e a afirmação “João não é advogado” seria verdadeira. Como há apenas uma afirmação verdadeira, conclui-se que a segunda afirmação é falsa; portanto “Sérgio é administrador”. Como a afirmação “João não é advogado” é a única verdadeira, então João só pode ser contador e Paulo é advogado. Resposta: letra c. 3) Os dados mostrados abaixo têm apenas duas faces com algo inscrito: a da frente e a de baixo. Todos os dados têm, numa dessas duas faces, uma “lua” ou um “coração”, mas um mesmo dado não pode ter inscritas essas duas figuras. O menor número de dados a serem virados para revelar se é verdadeira ou falsa a proposição “Se um dado tem um coração em uma das faces, então na outra há um raio” é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solução: Da proposição condicional dada, pode-se escrever: :c uma face do dado tem um coração; :r uma face do dado tem um raio. A proposição dada, em linguagem simbólica é: rc → , cuja tabela verdade é: c r rc → V V V V F F F V V F F V Sabe-se que apenas duas faces de cada dado têm figura e que as figuras lua e coração não estarão juntas no mesmo dado, mas que, cada dado tem uma dessas duas figuras em uma de suas faces. Como se pede que a proposição: “Se um dado tem um coração em uma das faces, então na outra há um raio” seja verdadeira ou falsa, não se necessita virar os dados das extremidades, nem o dado do meio (que, neste caso já tem a primeira proposição verdadeira, e, qualquer que seja a figura da outra face, tornará a proposição condicional verdadeira ou falsa). Como os dois dados que contém um raio já colocam a proposição condicional dada na condição de verdadeira, resta- nos afirmar que não se necessita virar nenhum dos dados para se ter a proposição condicional verdadeira ou falsa. há, portanto uma incoerência na proposição da questão, que deveria ter sido anulada! O gabarito da banca é a letra b. Resposta: letra ? 4) A figura ao lado mostra o mapa imaginário de uma cidade constituída por cinco bairros. Deseja-se colorir cada bairro com uma das cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que, dois bairros vizinhos não possuam a mesma cor. O número de maneiras diferentes segundo as quais o mapa pode ser pintado é
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com53 a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 e) 120 Solução: O bairro do centro poderá ter qualquer uma das 3 cores. Para cada cor colocada no bairro do centro, há apenas duas possibilidades de se colorir os outros 4 bairros, sem que bairros adjacentes fiquem coloridos com a mesma cor. Desse modo há 623 =× possibilidades de se colorir o mapa. Resposta: letra a. 5) Sejam as faces X e Y de um cartão em branco. Escreve-se no lado X a afirmação “A proposição que está escrita no lado Y é verdadeira”,e, no lado Y, “A proposição que está escrita no lado X é falsa”. Chamando-se de p a proposição que está escrita no lado X e de q a que está escrita no lado Y, pode-se afirmar que a) a situação configura um paradoxo e p é verdadeira se, e semente se, p é falsa. b) a situação configura um paradoxo e p é verdadeira se, e semente se, q é verdadeira. c) a situação não configura um paradoxo; assim, p é verdadeira e q é falsa. d) a situação não configura um paradoxo; assim, p é verdadeira e q é falsa. e) ambas ( p e q ) são verdadeiras. Solução: :p a proposição que está escrita no lado Y é verdadeira; :q proposição que está escrita no lado X é falsa. Fica fácil analisar, visto que, se a proposição p for verdadeira, haverá uma contradição com a proposição q , que deveria ser, necessariamente, falsa. Resposta: letra a. 6) Sejam Carla, Igor e Fábio, três colegas de uma turma da disciplina de MTM_LOG, a respeito dos quais podemos fazer as seguintes afirmações: • não é verdade que Carla é mais alta que Fábio; • não é verdade que Fábio é mais alto que Igor; • não é verdade que Igor e Carla são os mais inteligentes dessa turma de MTM_LOG; • é verdade que Carla e Fábio são estudiosos. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) Carla e Fábio são os mais altos dessa turma de MTM_LOG. b) não é verdade que Carla e Fábio são os mais estudiosos dessa turma de MTM_LOG. c) Igor é o mais alto dessa turma de MTM_LOG. d) não é verdade que Igor é mais baixo que Carla e Fábio. e) Carla é mais estudiosa e mais inteligente que Igor. Solução: Colocando-se as afirmações na linguagem simbólica: • não é verdade que Carla é mais alta que Fábio: ( )FC >~ ; • não é verdade que Fábio é mais alto que Igor: ( )IF >~ ; • não é verdade que Igor e Carla são os mais inteligentes da turma: ( )IiCi ∧~ ; • é verdade que Carla e Fábio são estudiosos: FeCe ∧ . Reescrevendo-se as três primeiras (por De Morgan): • FC ≤ ; • IF ≤ ; • IiCi ~~ ∨ Analisando-se as alternativas, pode-se dizer que “não é verdade que Igor é mais baixo que Carla e Fábio”, visto que Igor pode ter a mesma altura que Carla e Fábio. Resposta: letra d. 7) Sejam dadas as premissas “Alguns engenheiros são estudiosos” e “Todos os engenheiros são aprovados no teste”. Para que se tenha um argumento válido, pode-se concluir que
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com54 a) “Todos os estudiosos são engenheiros”. b) “Todos os estudiosos são aprovados no teste”. c) “Alguns estudiosos são aprovados no teste”. d) “Todos os aprovados no teste são engenheiros”. e) “Todos os aprovados no teste são estudiosos”. Solução: No diagrama acima, N representa o conjunto dos engenheiros, E representa o conjunto dos estudiosos e A representa o conjunto dos aprovados no teste. A conclusão do argumento é “Alguns estudiosos são aprovados no teste” Resposta: letra c. 8) Considere o enunciado “Alguns administradores são mais estudiosos do que os outros administradores”, cujos elementos são submetidos à seguinte convenção notacional: Ax : x é administrador. Exy: x é mais estudioso que y . O enunciado pode ser simbolizado por a) ∃ ( )( )( )ExyyxAyAxyx ∨≠∧∧, b) ∃ ( )( )( )ExyyxAyAxyx ∧≠∧∧, c) ∃ ( )( )( )ExyyxAyAxyx ∧≠∧∨, d) ∃ ( )( )( )ExyyxAyAxyx ∨≠∧∨, e) ∃ ( )( )( )ExyyxAyAxyx ∨≠∨∨, Solução: Para se estabelecer a convenção notacional de uma proposição categórica, é preciso saber que: Alguns = Existem = ∃ ; Todo = ∀ Nenhum = ∃/ Colocando-se a proposição dada na convenção notacional, vem: ∃ ( )( )( )ExyyxAyAxyx ∧≠∧∧, Resposta: letra b. 9) Dada a proposição “Não é verdade que, se a empresa não obtém lucro, então o gerente de vendas é demitido”. A negação dessa proposição pode ser descrita por a) “A empresa obteve lucro ou o gerente de vendas não é demitido”. b) “A empresa não obteve lucro ou o gerente de vendas não é demitido”. c) “A empresa não obteve lucro e o gerente de vendas é demitido”. d) “A empresa não obteve lucro ou o gerente de vendas é demitido”. e) “A empresa obteve lucro ou o gerente de vendas é demitido”. Solução: A proposição dada já traz a negação de uma proposição condicional, ou seja: ( ) qpqp ~~ ∧⇔→
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com55 Negar a sentença acima, significa negar o segundo membro dessa proposição. Por De Morgan, tem-se: ( ) qpqp ∨⇔∧ ~~~ , que, em linguagem corrente fica: “A empresa obtém lucro ou o gerente de vendas é demitido”. Resposta: letra e. 10) Sejam as propostas notacionais: Mx: x é um problema de matemática; Lx : x é um problema de lógica; Fx : x é fácil; Cxy : x é mais complicado de resolver do que y Considerem-se, além disso, as seguintes sentenças: I. Existem problemas fáceis de matemática. II. Nenhum problema de lógica é difícil. III. Os problemas de matemática são mais complicados de resolver do que os problemas de lógica. A seqüência que corresponde, respectivamente, a uma representação simbólica das sentenças I, II e III, utilizando a notação oferecida, é a) ∃ x ( )FxMx ∧ ; ( )FxLxx →∀ ; ( )[ ]CxyLyyMxx →∀→∀ b) ∃ x ( )FxMx ∧ ; ( )FxLxx →∀~ ; ( )[ ]CxyLyyMxx →∀→∀ c) ∃ x ( )FxMx → ; ( )FxLxx →∃ ; ( )[ ]CxyLyMyLxx →→∀ d) ∃ x ( )FxMx ∨ ; ( )FxLxx ∧∃ ; ( )[ ]CxyLyyMxx →∀→∀ ~ e) ∃ x ( )FxMx ∨ ; ( )FxLxx ∨∀ ; ( )[ ]CxyMyyLxx ∨∀→∀ Solução: Para se estabelecer a convenção notacional de uma proposição categórica, é preciso saber que: Alguns = Existem = ∃ ; Todo = ∀ Nenhum = ∃/ Colocando-se as proposições dadas em convenção notacional, tem-se: I. Existem problemas fáceis de matemática: ∃ x ( )FxMx ∧ ; II. Nenhum problema de lógica é difícil: ( )FxLxx →∀ ; III. Os problemas de matemática são mais complicados de resolver do que os problemas de lógica: ( )[ ]CxyLyyMxx →∀→∀ Resposta: letra a. 11) A negação de “Carmelinda é magra e loira” pode ser descrita por a) “Carmelinda não é magra e não é loira”. b) “Carmelinda não é magra ou é loira”. c) “Carmelinda é magra e não é loira”. d) “Carmelinda não é magra ou não é loira”. e) “Carmelinda é magra ou não é loira”. Solução: A proposição dada em linguagem simbólica pode ser escrita como: lm ∧ . A negação da proposição acima (por De Morgan) fica: lm ~~ ∨ , que, em linguagem corrente é: “Carmelinda não é magra ou não é loira”. Resposta: letra d. 12) Uma leitura da negação de “Todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes tem quatro lados congruentes” pode ser a) “Ou o quadrilátero tem quatro ângulos congruentes ou tem quatro lados congruentes”. b) “Todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes não tem quatro lados congruentes”. c) “Nem todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes tem quatro lados congruentes”. d) “O quadrilátero não tem quatro ângulos congruentes e não tem quatro lados congruentes”. e) “Todo quadrilátero que não tem quatro ângulos congruentes não tem quatro lados congruentes”.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com56 Solução: A negação da proposição categórica Todo pode ser Algum... não é... ou “Nem todo... é...” Resposta: letra c. 13) Considere as proposições abaixo I. Todo S é P. II. Nenhum S é P. III. Algum S é P. IV. Nenhum S não é P. Supondo que a proposição categórica “Algum S não é P” seja falsa, a seqüência formada pelo valor verdade (V, se verdade; F, se falso) das proposições apresentadas é, respectivamente, a) V V V V b) V F V F c) F V F F d) V F V V e) F F F F Solução: Todo S é P Nenhum S é P Algum S é P Nenhum S não é P Se a proposição “Algum S não é P” é falsa, segue-se que “Todo S é P”. Desse modo, as afirmações I e IV já são, automaticamente, verdadeiras. Se não há S que não seja P, a afirmação II é falsa e a afirmação III é verdadeira. Resposta: letra d. 14) João falou para seus alunos na aula de lógica formal: “Se o princípio da lógica for entendido, então a aula é proveitosa, todavia, a aula será proveitosa somente se vocês prestarem atenção”. Advertiu ainda sobre o fato de que a aula poderia ser proveitosa, mesmo que o princípio da lógica não fosse compreendido. Sabe-se que os alunos não prestaram atenção à aula. Logo, pode-se concluir que a) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica foi entendido. b) a aula foi proveitosa ou o princípio da lógica foi entendido. c) a aula não foi proveitosa ou os alunos entenderam o princípio da lógica. d) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica não foi entendido. e) a aula não foi proveitosa e os alunos não entenderam o princípio da lógica. Solução: Trata-se de um argumento lógico. Colocando-se as proposições na linguagem simbólica: :e o princípio da lógica foi entendido; :p a aula foi proveitosa; :a os alunos prestaram atenção; O argumento, em linguagem simbólica fica: Condição de validade :1 P pe → V :2 P ap ↔ V :3 P ep ~→ V :4 P a~ V :C ? V A premissa 4 é verdadeira. Desse modo, na premissa 2 ter-se-á que p deverá ser falsa. Na premissa 1, sendo p falsa, e também o será. Desse modo, na premissa 3, ajustam-se,
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com57 naturalmente, os valores lógicos, para que esta seja verdadeira. A conclusão é ep ~~ ∧ , que, em linguagem corrente fica: “A aula não foi proveitosa e os alunos não entenderam o princípio da lógica”. Resposta: letra e. 15) Quatro jogadores de futebol, a saber, o goleiro, o atacante, o meio de campo e o lateral, estão numa fila. Sabe-se que: I. o goleiro está após o jogador de meio de campo; II. o lateral está antes do atacante; III. o jogador que está imediatamente após o lateral, é mais alto do que o que está antes deste; IV. o atacante é o mais baixo de todos. Considerando a fila da esquerda para a direita, a seqüência que contém a posição CORRETA dos quatro jogadores é a) meio de campo, goleiro, lateral e atacante. b) lateral, meio de campo, atacante e goleiro. c) lateral, atacante, meio de campo e goleiro. d) meio de campo, lateral, goleiro e atacante. e) meio de campo, lateral, atacante e goleiro. Solução: Colocando-se os jogadores nas posições indicadas pelas afirmações do enunciado, tem-se: I. o goleiro está após o jogador de meio de campo: MC ...........G; II. o lateral está antes do atacante: L..............A; III. o jogador que está imediatamente após o lateral, é mais alto do que o que está antes deste: há um jogador após o lateral e um antes dele. Com as afirmações I e II, pode-se escrever: MC, L, G, A; IV. o atacante é o mais baixo de todos: Resposta: letra d. 16) A proposição “É necessário que todos os administradores saibam lógica” é equivalente a a) “Nenhum administrador sabe lógica”. b) “Não é verdade que existe administrador que não sabe lógica”. c) “Não é verdade que todo administrador sabe lógica”. d) “Existe administrador que não sabe lógica”. e) “Todo administrador não sabe lógica”. Solução: A equivalente é obtida por dupla negação da proposição dada. A negação da proposição categórica Todo é Algum... não é... Desse modo, a dupla-negação ficará: “Não é verdade que existe administrador que não saiba lógica”. Lembre-se de que Algum e Existe são sinônimos. Resposta: letra b. 17) Sabe-se que “Se chegam visitas, o cachorro late”. Assim, é CORRETO afirmar que a) se não chegarem visitas, então o cachorro não latirá. b) o fato de chegarem visitas é condição necessária para o cachorro latir. c) o fato de chegarem visitas é condição suficiente para o cachorro latir. d) o cachorro só vai latir se chegarem visitas. e) se o cachorro latiu, então chegaram visitas. Solução: A proposição condicional tem, em sua proposição antecedente uma condição suficiente para sua proposição conseqüente. Desse modo, o fato de chegarem visitas é condição suficiente para o cachorro latir. Resposta: letra c. 18) Considere as seguintes proposições. • “Quem sabe pintar não é insensível”. • “Mutantes não sabem escrever”.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com58 • “Quem não sabe escrever é insensível”. Uma conclusão possível pode ser escrita como a) “Os seres insensíveis não sabem escrever”. b) “Mutantes não sabem pintar”. c) “Seres que não sabem pintar são insensíveis”. d) “Seres que sabem escrever não são insensíveis”. d) “Seres que não sabem escrever são mutantes”. Solução: Sejam os conjuntos: P : sabem pintar; M : mutantes; E : não sabem escrever; e I : insensíveis. Colocando-se as premissas na forma de diagramas, vem: Conclusão: Mutantes não sabem pintar. Resposta: letra b. 19) Às 18h havia, no estacionamento da empresa Avadex, quatro carros distintos com quatro cores distintas. Sabe-se que eram um Corsa, um Ka, um Gol e um Uno nas cores branca, vermelha, verde e preta, mas não necessariamente nessa ordem. Os donos dos veículos estavam trabalhando na empresa. Considerem-se as afirmativas seguintes: • o advogado tem um carro branco; • o Ka é preto; • o carro do gerente não é verde; • o Corsa não é branco; • a secretária não tem um carro preto; • às 19h, há apenas dois carros no estacionamento – o Gol e o Corsa – e a secretária e o contador já foram embora. Com base nos dados anteriores e supondo que cada funcionário foi embora com seu próprio carro, uma das soluções combinatórias corretas para essas afirmativas é: a) O advogado tem um Gol, o carro do gerente é o Corsa e o Uno é vermelho. b) O gerente tem um Ka, a secretária tem um carro vermelho e o Uno é verde. c) A secretária tem um Uno, o advogado tem um Gol e o carro preto pertence ao gerente. d) O contador possui um Uno, o carro verde é do gerente e o vermelho é da secretária. e) O advogado tem um Gol, o carro preto é do contador e o Uno pertence à secretária. Solução: Com as afirmações feitas, pode-se completar o quadro abaixo: Advogado Gerente Secretária Contador Carro Gol Corsa Uno Ka Cor branca Vermelho Verde Preto Resposta: letra e. 20) A proposição composta “Maria vai ao cinema, ou não é verdade que Maria vai ao cinema e João vai ao médico” é a) uma tautologia. b) uma contingência. c) uma contradição. d) um silogismo. e) um paradoxo.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com59 Solução: Em linguagem simbólica: :c Maria vai ao cinema; :m João vai ao médico. A proposição dada pode ser escrita, em linguagem simbólica como: ( )mcc ∧∨ ~ . Por De Morgan, a expressão do parênteses fica: mcc ~~ ∨∨ , que é uma tautologia para qualquer valor lógico da proposição c . Resposta: letra a.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com60 1) Marcus, José e Roberto constituíram uma empresa. Marcus contribuiu com R$ 60.000,00 e Roberto, com R$ 40.000,00. Considerando-se que, a distribuição dos lucros foi proporcional ao investimento, e Roberto recebeu R$ 5.000,00 a mais que José e R$ 5.000,00 a menos que Marcus, então se pode concluir que José contribuiu com a) R$ 5.000,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 20.000,00 d) R$ 25.000,00 e) R$ 30.000,00 Solução: Como a distribuição dos lucros foi proporcional ao capital investido, pode-se escrever: x JRM == 4000060000 , onde JRM ,, representam, respectivamente, os lucros obtidos por Marcus, Roberto e José. Então, pode-se escrever, ainda: 5000+= JR e 5000−= MR . 150001500032 2 5000 340000 5000 60000 =⇒−=⇒ − =⇒ − = MMM MMMM , 10000=R e 5000=J 20000 5000 60000 15000 60000 =⇒=⇒= x xx JM Resposta: letra c. 2) No jogo de bisca é utilizado o baralho espanhol, composto de 40 cartas no total, classificadas em quatro naipes e numeradas de 1 a 12 (excluindo o 8 e o 9). Os quatro naipes são: ouros, espadas, copas e bastões. As cartas 1 e 7 são chamadas de bisca . Duas cartas são extraídas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem biscas é de a) 25 1 b) 25 4 c) 195 5 d) 195 6 e) 195 7 Solução: Probabilidade de ocorrer bisca : ( ) 40 8 =BP (são quatro cartas “1” e outras quatro cartas “7”) A probabilidade de ocorrer bisca em duas retiradas sucessivas e sem reposição é: ( ) 195 7 39 7 40 8 =⋅=∩ BBP Resposta: letra e. 3) Um cilindro reto é eqüilátero quando a sua altura é igual ao diâmetro da base. Se um plano α cortar perpendicularmente a base de um cilindro reto eqüilátero de raio 3 cm, passando pelo centro deste, pode-se afirmar que a área da figura plana formada é de a) 9π 2 cm b) 18 2 cm c) 24 2 cm d) 36 2 cm e) 36π 2 cm Solução: O cilindro, conforme os dados da questão, tem altura igual a 6 cm e o diâmetro da base é igual a 6 cm. A seção transversal do cilindro eqüilátero é um quadrado de lado 6 cm, cuja área é igual a 36 2 cm . Resposta: letra d. 4) A empresa Delta investe mensalmente determinado valor fixo em ações. A probabilidade de essa empresa tomar a decisão correta três vezes ou menos é de 58%; a probabilidade de ela tomar a decisão correta três vezes ou mais é de 71%. A probabilidade de a empresa Delta tomar a decisão correta exatamente três vezes é de a) 13% b) 15% c) 29% d) 58% e) 71% Solução: Probabilidade de tomar a decisão correta três vezes ou menos: ( ) 58,0=AP ; Probabilidade de tomar a decisão correta três vezes ou mais: ( ) 71,0=BP Probabilidade de tomar a decisão correta exatamente três vezes: ( ) ( ) 1−+ BPAP , ou seja: 0,58 + 0,71 – 1 = 0,29 = 29%
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com61 Resposta: letra c. 5) Considere as seguintes sentenças I. ( ) ( )154253 2 −=− II. 2552 =− III. 33 5 284 = Está(ao) CORRETA(S) a) apenas a sentença I. b) apenas as sentenças I e II. c) apenas as sentenças I e III. d) apenas as sentenças II e III. e) as sentenças I, II e III. Solução: I. CORRETA: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15421528515235532353 222 −=−=+−=+⋅−=− II. INCORRETA: 2552 −=− III. CORRETA: 33 93 103 5 282224 =⋅== Resposta: letra c. 6) Pode-se dizer que as raízes da equação 17 84262 2 =+− xx são números a) inteiros negativos. b) inteiros e consecutivos. c) irracionais. e) múltiplos de 2. e) primos. Solução: 084262 77 2 =+− xx . Com bases iguais, igualam-se os expoentes: 084262 2 =+− xx , cujas raízes são 6 e 7. Resposta: letra b. 7) Uma indústria fabrica dois objetos de forma circular: A e B. O objeto A tem raio Ar = 5 cm, e o raio do objeto B, Br = 40 cm. Por algum motivo, foi determinado que os objetos A e B deveriam ser produzidos aumentando-se em 1 cm o perímetro de cada um deles. Em relação aos novos raios dos objetos do tipo A e do tipo B, pode-se afirmar que a) ambos foram aumentados em um mesmo valor. b) dobrou o raio do objeto B. c) o raio do objeto B ficou o dobro do raio do objeto A. d) são, respectivamente, 11π cm e 81π cm. e) são, respectivamente, 6 cm e 41 cm. Solução: O perímetro de uma circunferência é: rC π2= Perímetro da circunferência A: πππ 10522 =⇒=⇒= AAAA CCrC . Acrescentando-se 1 cm ao perímetro da circunferência A, tem-se, para o novo perímetro: 110' += πAC , cujo raio ficará igual a: ππ π ππ 2 1 5' 2 110 ''2110 +=⇒ + =⇒=+ AAA rrr Pelo mesmo raciocínio, o perímetro da circunferência B é: π80=BC . Acrescentando-se 1 cm ao perímetro da circunferência B, seu perímetro ficará igual a 180' += πBC , e o novo raio... ππ π ππ 2 1 40' 2 180 ''2180 +=⇒ + =⇒=+ BBB rrr .
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com62 Como se pode notar, ambos os raios foram acrescidos de π2 1 cm. Resposta: letra a. 8) Uma escola do bairro Ribeirão tinha 15 professores. O professor Carlos Henrique se aposentou e foi substituído por um professor de 25 anos. Levando em conta tais dados, a média das idades dos professores diminuiu 3 anos. Então, pode-se afirmar que o professor Carlos Henrique tem a) 67 anos b) 68 anos c) 69 anos d) 70 anos e) 71 anos Solução: Propriedade da média aritmética: “Ao se subtrair uma constante de cada elemento da distribuição, a média aritmética dessa distribuição ficará subtraída da mesma constante”. Se a média diminuiu 3 anos, então o total de anos decresceu 45153 =× anos. Somando-se 45 à idade do professor substituto, tem-se 70 anos, que é a idade do professor que se aposentou. Resposta: letra d. 9) Em uma fábrica, o funcionário Pedro pode produzir determinada encomenda em cinco horas. Se o funcionário João ajudá-lo, a encomenda ficará pronta em duas horas. No entanto, se João produzi-la sozinho levará o tempo de a) 2h30mim b) 3h c) 3h20min d) 3h30mim e) 4h Solução: Pelo método da redução à unidade: “O somatório dos inversos dos tempos individuais é igual ao inverso do tempo conjunto” 3 10 5102 2 11 5 1 =⇒=+⇒=+ xxx x h ou 3h20min. Resposta: letra c. 10) Na cidade de Imaginópolis, o preço da passagem de ônibus interurbano é de R$ 2,00. Sabe-se que os estudantes têm direito a pagar 50% do valor da passagem e que gastam mensalmente 50 passagens. Se o valor da passagem sofrer um reajuste de 10%, pode-se afirmar que o gasto de um estudante, referente à compra de passagens para um bimestre, será de a) R$ 50,00 b) R$ 55,00 c) R$ 75,00 d) R$ 110,00 e) R$ 220,00 Solução: 50% de R$ 2,00 = R$ 1,00 Em 1 mês, cada aluno gasta 50 passagens, ou seja: R$ 50,00 Em 2 meses (1 bimestre), cada estudante gastará: R$ 100,00. Com um aumento de 10%, o gasto bimestral por estudante passará a ser de R$ 110,00 Resposta: letra d. 11) Considere a figura ao lado, formada por cubos congruentes. Sabendo que a aresta de cada cubo mede 2 cm, pode-se afirmar que a soma de todas as diagonais dos cubos que compõem a figura é a) 39 b) 218 c) 318 d) 236 e) 372 Solução: A diagonal do cubo é dada por: 2 3aD = , onde a é a aresta do cubo. Assim: 3223 2 =⋅=D . Como há nove cubos na figura e cada cubo tem 4 diagonais, então a soma de todas as diagonais é dada por 3723236 =⋅ Resposta: letra e.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com63 12) Os índios da tribo Eximaru possuem a sua própria língua, formada por 18 consoantes e 4 vogais. Para cada palavra ter sentido, precisa começar e terminar com vogal. Considerando-se que nenhuma consoante ou vogal é repetida, quantas palavras distintas de 5 letras podem ser formadas? a) 40.320 b) 58.752 c) 69.768 d) 78.336 e) 82.080 Solução: Há 4 vogais disponíveis para a primeira posição em cada palavra, três para a última posição e sobram 20 letras para serem arranjadas nas três posições centrais da palavra, ou seja: 820801819201234 3,20 =×××=×× A Resposta: letra e. 13) O dominó é um jogo formado por 28 peças, conforme as figuras abaixo. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Nas figuras acima, aparecem todas as combinações possíveis da quantidade de bolinhas que variam de 0 a 6, dois a dois, inclusive com repetição. Sabendo-se que a soma das bolinhas de todas as peças, cujos dois lados possuem o mesmo número de bolinhas, é igual ao volume de um paralelepípedo e que as arestas desse paralelepípedo são representadas por números naturais, pode- se afirmar que a) o maior lado pode ser 6. b) o maior lado pode ser 14. c) o menor lado pode ser 3. d) o menor lado pode ser 4. e) o menor lado pode ser 7. Solução: O volume do paralelepípedo é dado por 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42 O volume de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões. Os divisores naturais de 42 são: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Nestas condições, possíveis valores para o maior lado são: 7, 14, 21 e 42 Resposta: letra b. 14) Em uma pesquisa realizada no zoológico municipal da cidade Alazoala, a pergunta dirigida às crianças foi: “Que animal você veio ver no zoológico?” Os dados foram coletados e posteriormente organizados, segundo a tabela abaixo: Animal Número de respostas favoráveis Macaco 65 Girafa 38 Zebra 26 Macaco e girafa 15 Macaco e zebra 9 Girafa e zebra 11 Macaco, girafa e zebra 6 Com base nesses dados, analise as afirmativas abaixo. I. 47 crianças responderam que foram prestigiar apenas o macaco. II. Se o número total de crianças entrevistadas foi 100, apenas 2 responderam que não foram prestigiar nenhum dos animais. III. 67 crianças responderam que foram prestigiar somente um dos três animais. Assim, pode-se concluir que é(são) verdadeira(s) a) apenas a afirmativa I. b) apenas a afirmativa II. c) apenas a afirmativa III. d) apenas as afirmativas I e III. e) as afirmativas I, II e III.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com64 Solução: O diagrama acima foi preenchido a partir da região hachurada em amarelo, passando-se para as regiões em azul, e, por fim, para as regiões hachuradas em cinza. Com base no diagrama, pode-se julgar as proposições feitas: I. VERDADEIRA: 47 crianças responderam que foram prestigiar apenas o macaco. II. FALSA: o número de crianças fora dos diagramas M, G e Z é zero. III. FALSA: foram 97 crianças que responderam que foram prestigiar somente um dos três animais. Resposta: letra a. 15) Na festa de encerramento das Olimpíadas Universitárias de 2007 os atletas serão dispostos em 60 filas, de modo a formas a figura de um triângulo, tal que na primeira fila haja apenas um atleta, na segunda, dois atletas, na terceira, três atletas e assim sucessivamente. Considerando-se que todos estejam presentes nessa festividade, o número de atletas que participarão dessas Olimpíadas é. a) 1.770 b) 1.800 c) 1.830 d) 1.860 e) 1.900 Solução: A disposição dos atletas forma uma progressão aritmética de razão igual a 1. Soma dos 60 primeiros números inteiros positivos: ( ) 1830 2 60601 60 = ⋅+ =S Resposta: letra c. 16) Jorge comprou uma casa e efetuará o pagamento em 9 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação será de R$ 800,00, e cada uma das seguintes será sempre o dobro da anterior. Então, o valor que ele pagará pela casa será de a) R$ 408.800,00 b) R$ 204.400,00 c) R$ 80.800,00 d) R$ 7.272,00 e) R$ 6.300,00 Solução: Progressão geométrica de razão igual a 2, com nove termos e o primeiro igual a 800. Soma dos termos de uma PG finita: ( ) 1 11 − −⋅ = q qa S n n . Substituindo-se os dados... ( ) 408800 12 12800 9 9 = − −⋅ =S Resposta: letra a. 17) Um técnico tem que escalar um time formado por cinco jogadores. Sabendo-se que as escolhas devem ser feitas dentre um grupo de 9 atletas, e que todos podem jogar em todas as posições, o número de escalações diferentes que podem ser formadas com esse grupo é a) 120 b) 126 c) 512 d) 3.024 e) 15.120 Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com65 Se todos os atletas podem jogar em todas as posições, então resolve-se o problema por meio do arranjo de 9 elementos tomados 5 a 5: 302467895,9 =⋅⋅⋅=A Resposta: letra d. 18) Uma empresa precisa fazer um empréstimo e tem duas opções. A primeira opção é oferecida pelo banco A, cuja taxa de juros cobrada é de 40% a.a., com a capitalização anual. A segunda opção é a do banco B, que cobra uma taxa de juros de 36% a.a., porém com capitalização semestral. Com base nesses dados, pode-se afirmar que a) as duas opções são equivalentes. b) a melhor opção é a oferecida pelo banco A, com taxa efetiva de 40% a.a. c) a melhor opção é a oferecida pelo banco A, com taxa efetiva de 42% a.a. d) a melhor opção é a oferecida pelo banco B, com taxa efetiva de 36,2% a.a. e) a melhor opção é a oferecida pelo banco B, com taxa efetiva de 39,24% a.a Solução: Pela opção B, a taxa efetiva é dada por: ( ) =⋅−= 100118,1 2 i 39,24% Resposta: letra e. 19) Um aglomerado possui 10.000 habitantes, dos quais atualmente 50 estão com a doença X (não controlada). Admita que a função ( ) t Mtn 2⋅= forneça o número aproximado de pessoas atingidas pela epidemia desta doença X, onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que M pessoas são acometidas por tal doença. Supondo que não houve aumento nem redução populacional e que nada foi feito para debelar o mal, é provável, então, que toda a população esteja com a doença X a partir de a) 4 meses b) 5 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 8 meses Solução: Sabe-se, pelo enunciado, que 50=M . Pretende-se encontrar o valor de t para ( ) 10000=tn . Então: 82002 50 10000 225010000 ≈⇒=⇒=⇒⋅= tttt meses Resposta: letra e. 20) Uma loja vende um artigo de duas formas distintas: à vista por R$ 52,00, ou uma entrada de R$ 20,00 e mais dois pagamentos mensais de R$ 20,00. A taxa de juros que a loja cobra ao mês sobre o saldo a receber a) está entre 15% a.m. e 18% a.m. b) está entre 10% a.m. e 15% a.m. c) está entre 5% a.m. e 10% a.m. d) é maior que 18% a.m. e) é menor que 5% a.m. Solução: Se o valor à vista é R$ 52,00 e há uma entrada de R$ 20,00, então o saldo a financiar é de R$ 32,00, a ser pago em duas outras parcelas mensais de R$ 20,00. Pode-se escrever a seguinte equação: ( ) ( )2 1 20 1 20 32 ii + + + = ( ) ( )2 1 1 1 1 6,1 ii + + + =⇒ . Esta equação polinomial de grau 2 deve ser resolvida por tentativas, visto que a resolução seria demorada, sem o auxílio de uma calculadora. Verifica-se que, para uma taxa de 15%, a equação acima fica: ( ) ( )2 15,01 1 15,01 1 6,1 + + + = ⇒
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com66 2 15,1 1 15,1 1 6,1 += . Como as operações são complicadas de se realizar, pode-se obter uma aproximação realizando-se as aproximações por juros simples. O resultado da operação acima é: 63,16,1 ≠ , como o membro da direita ainda está ligeiramente acima do membro da esquerda, significa que a taxa deve ser um pouco maior do que 15% Resposta: letra a.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com67 1) Um fazendeiro contratou uma empresa para a construção de uma estrada de 5 km de extensão. Como o terreno em que seria construída a estrada não era regular e o grau de dificuldade da construção da mesma era crescente, os pagamentos deveriam ser realizados nas seguintes condições: R$ 1.000,00 pelos primeiros 500 m, R$ 2.000,00 pelos 500 m seguintes, e assim por diante, aumentando-se sempre de R$ 1.000,00 o valor do serviço a cada 500 m. Considerando-se esses dados, o valor total que a empresa recebeu foi de a) R$ 10.000,00 b) R$ 11.000,00 c) R$ 40.000,00 d) R$ 55.000,00 e) R$ 110.000,00 Solução: A situação proposta indica que os pagamentos foram feitos sob a forma de uma progressão aritmética de razão igual a R$ 1.000,00. O valor obtido pelo serviço é dado pela soma dos 10 termos (pois kmm 550010 =× ) da progressão aritmética. ( ) 2 1 naa S n n ⋅+ = (fórmula da soma de n termos de uma progressão aritmética), e ( ) rnaan ⋅−+= 11 (fórmula do termo geral de uma progressão aritmética) Tem-se, pelos dados da questão: 10001 =a ; 1000=r e 10=n Assim, calculam-se: ( ) 100001000110100010 =⋅−+=a ( ) 55000 2 10100001000 10 = ⋅+ =S Resposta: letra d. 2) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um paralelepípedo reto é de 3 cm, enquanto a diferença entre a altura z e o comprimento x é de 5 cm. Sabendo-se que 4 e -3 são raízes do polinômio ( ) 36152 23 −−+= xxxxp , e que o volume do paralelepípedo é menor que 36 3 cm e diferente de zero, uma das soluções corretas para o problema prevê que a) o comprimento x deve ser maior que 3 cm e menor que 5 cm. b) o comprimento x deve ser maior que 3 cm e menor que 4 cm. c) o comprimento x deve ser maior que zero e menor que 3 cm. d) o comprimento x deve ser maior que zero e menor que 4 cm. e) o comprimento x deve ser maior que 4 cm e menor que 6 cm. Solução: Pelos dados do problema, tem-se: 5 3 =− =− xz yx 36<= xyzV O polinômio dado está em função do comprimento x do paralelepípedo. Com as equações dadas, podemos escrever: 5 3 += −= xz xy Substituindo-se estes resultados na inequação do produto: ( ) ( ) ( ) ( ) 03653 3653 <−+⋅−⋅ <+⋅−⋅ xxx xxx A expansão da inequação ao lado é dada pelo polinômio que consta no enunciado da questão, ou seja: ( ) 36152 23 −−+= xxxxp . Então, temos a seguinte inequação: 036152 23 <−−+ xxx No enunciado, foram dadas as raízes do polinômio, para facilitar a resolução... Como 4 é a maior raiz do polinômio e x deve ser maior do que 3, pois 3−= xy , então, 43 << x
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com68 Resposta: letra b. 3) Godofredo possui um cofre que tem 4 rodas na fechadura da porta, sendo que cada uma delas tem 9 números que vão de 1 a 9. ele esqueceu o segredo, mas sabe que os quatro números são distintos, que os números da primeira e da última rodas são ímpares, e que o da segunda e da terceira são pares e um é múltiplo do outro. Como não gosta do número 4, ele também sabe que o 4 não faz parte do segredo do cofre. Assim, o número máximo de tentativas que Godofredo deverá fazer para abrir seu cofre é a) 80 b) 100 c) 120 d) 150 e) 180 Solução: Para o número que ocupa a primeira posição do segredo, Godofredo tem 5 possibilidades: { }9,7,5,3,1 . Observe que, ao usar um desses números na primeira casa, Godofredo terá apenas 4 deles para a última casa (lembre-se: o segredo tem algarismos distintos, isto é, nenhum deles se repete!). Para a segunda casa, Godofredo tem os seguintes algarismos pares: { }8,6,2 , entretanto, ele só poderá usar os pares { }6,2 e { }8,2 , visto que o par { }8,6 está descartado, pois não forma um par em que um dos números é múltiplo do outro. Disto resulta o seguinte (pelo Princípio Fundamental da Contagem): 804225 =××× Resposta: letra a. 4) Em uma confeitaria, 4 doceiras trabalham 6 horas por dia de maneira a produzirem 120 doces diariamente. Essa confeitaria recebeu uma encomenda de 2.000 doces e, para cumprir o prazo estipulado, contratou mais 6 doceiras que, juntamente com as demais, passaram a trabalhar 8 horas diárias, exclusivamente para atender essa encomenda. Supondo-se que as novas doceiras trabalhem no mesmo ritmo das demais, o prazo de entrega da encomenda é de a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias Solução: doceiras h/dia dias doces 4  6  1  120 10  8  x  2000 inversa inversa direta (consulte o arquivo ANPAD_Regras_de_Três_Passo-a-passo) 5 120810 200064 = ×× ×× =x Resposta: letra c. 5) Uma indústria fabrica três modelos diferentes de sofás: Berlin, Paris e Veneza. Abaixo, a Tabela 1 mostra o número de almofadas e de “pufs” que acompanham cada modelo, e a Tabela 2 mostra a produção que a fábrica planeja alcançar para os meses de janeiro e fevereiro. Modelo Mês Componentes Berlin Paris Veneza Modelo janeiro fevereiro Almofadas 4 6 8 Berlin 500 600 “Pufs” 2 3 4 Paris 200 300 Veneza 300 250 As quantidades de almofadas e de “pufs” que deverão ser produzidos nesses dois meses são, respectivamente. a) 5.600 e 5.900 b) 5.600 e 2.800 c) 6.200 e 3.100 d) 11.800 e 2.800 e) 11.800 e 5.900 Solução: Basta realizar o produto matricial:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com69           250300 300200 600500       432 864       31002800 62005600 A soma das linhas da matriz-produto indica, respectivamente, o total de almofadas e de “pufs”: 590031002800 1180062005600 =+ =+ Resposta: letra e. 6) Em um supermercado, um cartaz anuncia a seguinte promoção: Capa de filé – R$ 4,00 (o quilo) Na compra igual ou acima de 5 kg e abaixo de 10 kg, 10% de desconto sobre o valor total. Na compra igual a ou acima de 10 kg, 15% de desconto sobre o valor total A partir das informações constantes nesse cartaz, pode-se afirmar que a função v que melhor representa o valor a ser pago por x quilos de capa de filé é a) ( ) xxv 4= b) ( )      ≥ <≤ << = 10,6,0 105,4,0 50,4 xx xx xx xv c) ( )      ≥ <≤ << = 10,4,3 105,6,3 50,4 xx xx xx xv d) ( )      ≥− <≤− << = 10,154 105,104 50,4 xx xx xx xv e) ( )      ≥− <≤− << = 10,15,04 105,0,14 50,4 xxx xxx xx xv Solução: Descontando-se 10% de 4,00, tem-se: 3,60 Descontando-se 15% de 4,00, tem-se: 3,40 Resposta: letra c. 7) Um médico receitou a um paciente 10.000 gotas de um medicamento injetável (tipo soro). O frasco que contém o medicamento tem a forma de um cilindro circular reto de diâmetro igual a 4 cm e altura igual a 8 cm. O líquido no frasco, porém, fica na marca de 1 cm abaixo da borda do cilindro, conforme mostra a figura. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio 0,2 cm e utilizando-se π = 3, pode-se afirmar que a) será necessário adquirir 4 frascos de soro. b) será necessário adquirir 3 frascos de soro. c) em cada frasco cabem 3.500 gotas de soro. d) em cada frasco cabem 3.300 gotas de soro. e) o volume do frasco é de 168 3 cm .
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com70 Solução: O formulário foi fornecido na primeira página da prova! Calculam-se o volume do líquido contido em um frasco (volume do cilindro) e o volume de uma gota do medicamento (volume da esfera) Volume do medicamento contido no frasco: 84723 22 =⋅⋅=⋅⋅= hrVc π 3 cm Volume de cada gota do medicamento: ( ) 032,02,03 3 4 3 4 33 =⋅⋅=⋅⋅= rVe π 3 cm Em um frasco, então, cabem 2625032,084 =÷ gotas. O paciente deverá adquirir no mínimo 4 frascos do medicamento. Resposta: letra a. 8) Em uma empresa foi realizada uma pesquisa com 1.000 funcionários sobre o número de filhos de cada um deles. Os dados obtidos foram organizados na tabela abaixo. Número de filhos ( x ) 0 1 2 3 4 5 Total Freqüência relativa (%) 10 35 28 20 5,5 1,5 100% Baseando-se nessa tabela, pode-se afirmar que a) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 3 filhos. b) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 2 filhos. c) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 1 filho. d) 10% dos funcionários têm 4 ou 5 filhos. e) 45% dos funcionários têm 2 ou 3 filhos. Solução: A média do conjunto dado é: 8,1015,05055,0420,0328,0235,0110,00 ≅×+×+×+×+×+×=x Resposta: letra b. 9) Ainda a partir dos dados da tabela da questão 28, a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ter menos de três filhos é de a) 0,93 b) 0,73 c) 0,63 d) 0,27 e) 0,07 Solução: 10% + 35% + 28% = 73%, ou 0,73 Resposta: letra b. 10) Sabendo-se que π≤≤ x0 , a solução da inequação 1 2 1 ≤< senx é a) 3 0 π <≤ x b) 3 0 π ≤< x c) 4 3 4 ππ << x d) 6 5 6 ππ << x e) 6 5 6 ππ ≤< x Solução: No gráfico acima estão assinalados os ângulos cujo seno é igual a 2 1 . Mas, de acordo com o enunciado, 1 2 1 ≤< senx , o ângulo x não poderá assumir os valores extremos do intervalo, logo:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com71 6 5 6 ππ << x Resposta: letra d. 11) Em uma empresa, 30% dos funcionários cursaram apenas o Ensino Fundamental, 45% cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio e o restante, além do Ensino Fundamental e Médio, têm nível superior. Entre os que cursaram apenas o Ensino Fundamental, 20% trabalham no setor A; entre os que cursaram apenas o Ensino Médio além do Fundamental, 10% trabalham no mesmo setor A; e entre os que têm nível superior além do Ensino Fundamental e Médio, 3% trabalham nesse setor A. Um funcionário desse setor pediu demissão; a probabilidade aproximada de ele ter nível superior é de a) 0,15 b) 0,13 c) 0,10 d) 0,09 e) 0,07 Solução: Pelo modo prático4 de se resolver problemas pelo Teorema de Bayes... Tomam-se 2000 funcionários (neste caso, tomam-se 2000 para facilitar os cálculos...). Então, tem- se: 600 cursaram apenas o Ensino Fundamental; 900 cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio; 500 têm nível superior. 20% de 600 = 120 cursaram apenas o Ensino Fundamental e trabalham no setor A; 10% de 900 = 90 cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio e trabalham no setor A; 3% de 500 = 15 têm nível superior e trabalham no setor A. No caso acima, tem-se um total de 120 + 90 + 15 = 225 funcionários no setor A. dentre eles, há 15 com nível superior. Assim a probabilidade de o funcionário do setor A que pediu demissão ter nível superior é dada por 15/225 = 0,0666... Resposta: letra e. 12) Gumercindo foi ao banco resgatar um título, após 6 meses de aplicação, e recebeu R$ 39.200. No momento do resgate, foi informado de que esse montante incluía R$ 4.200,00 referentes aos juros do período. Assim, a taxa de juros anual é de a) 12,44% b) 14,40% c) 25,44% d) 30,12% e) 35,44% Solução: Foram dados o montante ( 39200=M ); os juros ( 4200=J ) e o prazo, em meses, ( 6=n ). Fórmula: ( )n iCM +⋅= 1 . A taxa e o prazo devem estar na mesma referência de tempo, logo, 2 1 =n ano. O capital é calculado subtraindo-se os juros do montante, o que resulta em 35000=C . Da fórmula, vem: ( ) 21 13500039200 i+⋅= ⇒ ( ) 35000 39200 1 21 =+ i ⇒ ( ) 12,11 21 =+ i . Elevando-se ambos os membros ao quadrado: ( )[ ] ( )2221 12,11 =+ i ⇒ ( ) 2544,11 =+ i ⇒ %44,25=i ao ano. Resposta: letra c. 13) Uma escola foi construída num lote retangular de 1.750 2 m de área. A parte térrea da escola é também retangular e possui 600 2 m de área, com perímetro de 140 m. Os possíveis valores do comprimento e da largura do lote, considerando-se as indicações apresentadas na figura ao lado, são, respectivamente. a) 100m e 17,5 m b) 87,5 m e 20 m c) 70 m e 25 m d) 60 m e 10 m e) 50 m e 35 m. 4 Visto em nossas aulas do curso preparatório.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com72 Solução: A figura acima foi cotada com as medidas desconhecidas. As medidas solicitadas na questão são ( )15+x e y . Os dados do problema permitem que se escrevam as seguintes equações: 600=xz Equação I ( ) ( ) 701402 =+⇒=+⋅ zxzx Equação II ( ) 175015 =⋅+ yx Equação III Da Equação I, vem: x z 600 = . Substituindo-se na Equação II: 70 600 =      + x x ⇒ 0600702 =+− xx , cujas raízes são 10 e 60 (que são as dimensões da escola: 10=x e 60=z ). As dimensões do terreno são 25 e 70 (substitua o valor de x na Equação III e calcule y ) Resposta: letra c. 14) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(4, 2), B(-3, -1) e C(-5, 0). Sobre o perímetro P do triângulo ABC, pode-se afirmar que a) é 15 b) é menor que 15 c) é maior que 21 d) pertence ao intervalo [18, 21] e) pertence ao intervalo [15, 18] Solução: Utiliza-se a fórmula da distância entre dois pontos para o cálculo dos lados do triângulo: ( ) ( )22 , ABABBA yyxxd −+−= . Assim, a distância entre os vértices A e B é: ( ) ( ) 582143 22 , =−−+−−=BAd Distância entre os vértices A e C é: ( ) ( ) 852045 22 , =−+−−=CAd Distância entre os vértices B e C é: ( ) ( ) 51035 22 , =+++−=CBd Obtém-se o valor aproximado para o perímetro do triângulo, já que a soma 58558 ++ não pode ser determinada com exatidão nas condições da prova... Observe que 58 deve ser um valor maior do que 7; 85 deve resultar em um valor maior do que 9 e 5 deve ser maior do que 2. Então ( ) 1858558 >++ Resposta: letra d. 15) O total de anagramas da palavra ANPAD é exatamente igual à medida, em graus, do ângulo de um triângulo compreendido entre dois lados congruentes que medem 5 cm cada. Pode-se afirmar que a) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 15 cm. b) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 16 cm. c) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 20 cm. d) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 30º cada. e) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 70º cada. Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com73 O número de anagramas da palavra ANPAD é calculado pela fórmula da permutação com repetição: 60 2 120 !2 !52 5 ===P . Se dois lados congruentes de um triângulo formam um ângulo de 60º, então este triângulo é eqüilátero. Então o perímetro do triângulo de lado igual a 5 cm é 15 cm. Resposta: letra a. 16) Em relação aos intervalos de números reais ] [5,2−=A e [ [+∞= ,3B , analise as afirmações abaixo quanto a sua veracidade I. [ ]5,3=∩ BA II. { } A⊂− 4,1 III. A∈− 5 IV. B∈3 V. ] [+∞−=∪ ,2BA Logo, a) somente as afirmações I e II são verdadeiras. b) somente as afirmações II e IV são verdadeiras. c) somente as afirmações IV e V são verdadeiras. d) somente as afirmações I e III são falsas. e) somente as afirmações III e V são falsas. Solução: Analisando-se as afirmações com o auxílio da figura acima: I. Falsa; II. Verdadeira; III. Falsa; IV. Verdadeira; V. Verdadeira. Resposta: letra d. 17) A empresa XYZ tem três opções de pagamento na compra de um equipamento novo: • À vista, com 5% de desconto; • Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra; e • Em três prestações mensais iguais, sem desconto, das quais a primeira vence no ato da compra. Se o custo financeiro para a empresa é de 3% ao mês, a melhor e a pior entre as opções de pagamento da compra são, respectivamente. a) a primeira e a segunda opções. b) a primeira e a terceira opções. c) a segunda e a primeira opções. d) a segunda e a terceira opções.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com74 e) a terceira e a primeira opções. Solução: Pode-se arbitrar um valor para o equipamento e efetuar os cálculos para cada uma das opções determinadas no enunciado da questão, usando como data focal 0=n , com o uso da fórmula: ( )n iCM +⋅= 1 Supondo-se que o equipamento custe R$ 1.200,00, tem-se: • À vista, com 5% de desconto: R$ 1.140,00 • Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra: são duas parcelas de R$ 600,00 cada uma, que “descapitalizadas”, à taxa de 3% ao mês, para a data focal zero, produzem o seguinte valor: ( ) ( ) 00,148.1$ 03,1 600 03,1 600 21 R≅+ • Em três prestações mensais iguais, sem desconto, das quais a primeira vence no ato da compra: são três parcelas de R$ 400,00 cada uma. Descapitalizando-se a segunda e a terceira, tem-se: ( ) ( ) 00,165.1$ 03,1 400 03,1 400 400 21 R≅++ Com os valores encontrados na data focal zero para as três opções, conclui-se que a melhor delas é a primeira e a pior é a terceira. Resposta: letra b. 18) Considerando x e y números reais positivos e a e b números reais, qual das seguintes alternativas está INCORRETA? a) ( ) baa yxxy = v) ( ) baba xx × = c) 00 yx = d) baba xxx −=− e) b aa y x y x =      Solução: Analisando-se cada uma das alternativas: a) Correta! A potência de um produto é igual ao produto das potências; b) Correta! A potência da potência resulta no produto dos expoentes; c) Correta! Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1. A exceção é “zero elevado a zero”, porém, o enunciado evidencia que x e y são números reais positivos; d) Incorreta! A regra que subtrai os expoentes é a do quociente de potências de mesma base, na qual a base se conserva e subtraem-se os expoentes. e) Correta! A potência de um quociente é igual ao quociente das potências. Resposta: letra d. 19) Seja um cone reto com a área da base igual a π16 2 cm . Sabe-se que a altura do cone é 5 cm menor que o diâmetro da base; logo, sendo Al a área lateral e V o volume do cone, pode-se afirmar que a) π40=Al 2 cm e π48=V 3 cm b) π40=Al 2 cm e π16=V 3 cm c) π24=Al 2 cm e π48=V 3 cm d) π20=Al 2 cm e π32=V 3 cm e) π20=Al 2 cm e π16=V 3 cm Solução: O raio da base do cone dado no enunciado é igual a 4. Logo, o diâmetro é igual a 8. Nestas condições, a altura do cone é igual a 3. No formulário dado na prova, tem-se: Área lateral do cone: rgS cone π=l (onde g é a geratriz do cone – observe a figura a seguir, que mostra um corte longitudinal do cone).
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com75 Volume do cone: hrVcone 2 3 1 π= A hipotenusa do triângulo hachurado acima é a geratriz do cone. Observe, também, que o triângulo é pitagórico). Então: ππ 2054 =⇒⋅⋅= conecone SS ll 2 cm ππ 1634 3 1 2 =⇒⋅⋅= conecone VV 3 cm Resposta: letra e. 20) Em um retângulo, traçaram-se paralelas a seus lados de modo a formar outros retângulos, conforme a figura abaixo: Com relação aos retângulos sombreados, 1R e 2R , pode-se afirmar que a) suas áreas são iguais. b) a área de 2R é igual a duas vezes a área de 1R . c) a área de 1R é igual a duas vezes a área de 2R . d) 1R tem área maior que o dobro da área de 2R . e) 2R tem área maior que o dobro da área de 1R . Solução: Na figura acima foram nomeados alguns vértices e lados nos respectivos triângulos retângulos correspondentes. Os triângulos ABC e CDE são semelhantes e têm, respectivamente homólogos os ângulos BCA ˆ e DEC ˆ , bem como os ângulos BAC ˆ e DCE ˆ . Desse modo, pode-se escrever a seguinte proporção: w y z x = yzxw =⇒ . Ora, a área xwR =1 e a área yzR =2 . Então, 21 RR = Resposta: letra a.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com76 1) Realizou-se uma pesquisa com 57 estudantes, cuja pergunta central era: “Se você tivesse camiseta, tênis ou boné, qual(is) peça(s) você usaria para sair à noite?”. Analisando as resposta, constatou-se que: • 15 pessoas usariam tênis; • 18 usariam boné; • 3 usariam camiseta e tênis; • 6 usariam tênis e boné; • 4 usariam boné e camiseta; • 1 usaria as três peças; e • 15 pessoas não usariam nenhuma dessas três peças. Quantos estudantes usariam somente camiseta, sem boné e sem tênis? a) 21 b) 18 c) 15 d) 12 e) 9 Solução: Inicia-se o preenchimento dos valores no diagrama acima pela região hachurada em amarelo, a seguir, passa-se às regiões em azul, e, após, as regiões na cor cinza. Como até agora se contam, no total, 42 elementos no diagrama acima, conclui-se que a área em verde (que contém os elementos que usam somente camiseta) deverá conter 15 elementos Resposta: letra c. 2) A matriz X , composta por números reais, de ordem 3 × 3, é igual a           −− 211 2 121 2 aa . Para quais valores de a não se pode determinar a inversa dessa matriz X ? a) 2=a e 1=a b) 1−=a e 2−=a c) 0=a e 1−=a d) 1−=a e 2=a e) 2=a e 1−=a Solução: Regra: toda matriz quadrada só admite inversa se o determinante da matriz for não-nulo. A melhor forma de resolver a questão sem precisar calcular o determinante da matriz, é observando os valores sugeridos nas alternativas... Se 1−=a , tem-se que a segunda linha é igual ao produto da terceira por -1. Uma das propriedades dos determinantes diz o seguinte: “o determinante de uma matriz quadrada será nulo se uma fila (linha ou coluna) for um múltiplo da outra”. Assim, para 1−=a o determinante da matriz será nulo e esta não terá inversa. O mesmo raciocínio se aplica para 2−=a . Resposta: letra b. 3) Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois casais e um padre. Esse grupo deseja tirar uma foto, obedecendo às seguintes regras: • todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados); • o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado esquerdo;
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com77 • cada casal deve permanecer junto. Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo, ,ou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem ser geradas para tirar diferentes fotos? a) 84 b) 92 c) 96 d) 192 e) 5040 Solução: Há dois modos de se posicionar o padre e também há dois modos de se posicionar cada casal. Como os casais devem permanecer juntos, então, para cada posição do padre, teremos uma permutação dos outros 4 (dois irmãos mais dois casais). Daí a solução: 192248222 4 =×=××× P Resposta: letra d. 4) O custo fixo mensal para produzir até 1.000 unidades de um determinado produto é de R$ 300,00, e o custo variável para produzir cada unidade do mesmo produto é de R$ 2,00. O custo fixo mensal existirá independentemente da quantidade produzida no mês, desde que não ultrapasse o limite de 1.000 unidades. O custo variável unitário, por sua vez, existirá apenas para cada unidade produzida, desde que o limite de 1.000 unidades também não seja ultrapassado. Sabendo- se que cada unidade do referido produto é vendida por R$ 3,00, o número mínimo de unidades que devem ser produzidas e vendidas para que todos os custos sejam pagos é de a) 700 peças b) 600 peças c) 500 peças d) 400 peças e) 300 peças Solução: Pelo enunciado, pode-se determinar a função custo como sendo: ( ) xxC 2300 += Onde x é a quantidade de unidades produzidas e 10000 ≤≤ x . Se cada unidade será vendida por R$ 3,00, então o número de unidades que deverão ser vendidas (faturamento igual a x3 ) para cobrir o custo é dado pela expressão: xx 23003 += , onde 300=x Resposta: letra e. 5) Se as arestas de um sólido de um dado material M, em forma de cubo, aumentam em 50% devido à dilatação desse material, pode-se dizer que o volume desse cubo aumentará em a) 50,5% b) 75,5% c) 126,5% d) 150,5% e) 237,5% Solução: O fator multiplicativo da aresta é igual a 1,5. Como se trata de um cubo, o fator multiplicativo do volume é dado por ( ) 375,35,1 3 = . A taxa de acréscimo é obtida multiplicando-se esse fator por 100 e subtraindo-se 100, o que resulta em 237,5% Resposta: letra e. 6) O número de anagramas que podem ser feitos com a palavra ADMINISTRADOR, de modo que as consoantes sejam mantidas em suas respectivas posições, é a) 120 b) 56 c) 30 d) 20 e) 10 Solução: Como as consoantes serão mantidas em suas respectivas posições, a solução se dá pela permutação (com repetição das letras a e i) das 5 vogais contidas na palavra. Então... 30 4 120 !2!2 !5 == ⋅ Resposta: letra c. 7) Em uma empresa trabalham 1.000 pessoas, todas com curso superior. Nenhuma dessas pessoas tem mais do que dois cursos superiores, e • 200 são apenas engenheiros, • 250 são contadores, • 230 são advogados, • 100 são apenas bacharéis em computação, • 300 são administradores,
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com78 • 50 são administradores e contadores, • 60 são advogados e administradores, • 30 são contadores e advogados, e • 60 têm outras profissões. A probabilidade de, numa escolha aleatória, a pessoa escolhida ser somente administrador é de a) 0,3 b) 0,25 c) 0,24 d) 0,20 e) 0,19 Solução: Como não há pessoas com mais de dois cursos superiores, então o número de pessoas que têm somente o curso de Administração é dado por: 300 – 50 – 60 = 190. A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser somente administrador é dada por: 190/1000 = 0,19 Resposta: letra e. 8) Os pontos nos quais a função ( ) 1242 −−= xxxf toca o eixo x e o vértice desta parábola formam um triângulo. A área do triângulo formado, em unidades de área (u. a.) é a) 128 u. a. b) 64 u. a. c) 32 u. a. d) 16 u. a. e) 8 u. a. Solução: Os zeros da função dada podem ser facilmente obtidos, observando-se que o produto das raízes da equação 01242 =−− xx é -12 e a soma das raízes é 4. Então, as raízes são: -2 e 6 (a base do triângulo é 8). Como a abscissa do vértice é o ponto médio dos zeros da função do segundo grau, tem-se, para abscissa do vértice o valor 2. Substituindo-se o valor de 2=x na função dada, tem-se a ordenada do vértice (que é a altura do triângulo e vale 16 unidades de comprimento). A área do triângulo é dada pela metade do produto da base pela altura: 64 2 168 = × =A Resposta: letra b. 9) Um baralho tem quatro naipes, sendo que cada naipe tem 12 cartas. A probabilidade de se retirar, sem reposição, três cartas do mesmo naipe desse baralho e a) 4324 55 b) 1081 55 c) 48 3 d) 24 3 e) 12 3 Solução: A probabilidade de se retirar desse baralho uma carta do mesmo naipe é dada por ( ) 48 12 =AP , onde A representa o evento “carta do mesmo naipe”. Nas retiradas sucessivas, os eventos são independentes, devendo-se, portanto, multiplicar as probabilidades de ocorrência de cada evento: ( ) 4324 55 46 10 47 11 48 12 =⋅⋅=AAAP Resposta: letra a. 10) Hoje, o agiota Furtado concedeu um empréstimo de R$ 500,00 ao Sr. Inocêncio e adotou o sistema de juros compostos a uma taxa de 10% a.m. Sabendo-se que o Sr. Inocêncio paga R$ 200,00 a cada mês (desde o primeiro mês), e que esse valor é abatido do montante da dívida, pode- se afirmar que, após três meses, a) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 3,50 ao agiota. b) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 42,30 ao agiota. c) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 38,00 ao agiota. d) o agiota deve R$ 35,00 ao Sr. Inocêncio. e) a dívida está liquidada. Solução: Como o número de parcelas é pequeno (apenas três) o cálculo pode ser efetuado mês a mês, do seguinte modo: Até o vencimento da primeira parcela, o valor inicial da dívida será acrescido de 10%, ficando em R$ 550,00. Com o pagamento dos R$ 200,00 da primeira parcela, o “saldo devedor” será de R$
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com79 350,00. Até o vencimento da segunda parcela, esse saldo devedor será novamente acrescido de 10%, ficando em R$ 385,00. Com o pagamento dos R$ 200,00 da segunda parcela, o novo saldo devedor será de R$ 185,00. Até o pagamento da terceira parcela, esse saldo devedor sofrerá novo acréscimo de 10%, ficando o novo saldo devedor em R$ 203,50. Com o pagamento da terceira e última parcela de R$ 200,00, o saldo do Sr. Inocêncio ainda será de R$ 3,50. Resposta: letra a. 11) Analise a veracidade das seguintes proposições. I. O valor de       2 7 cos π é 1. II. A imagem da função senxy 2= é o intervalo [-2, 2]. III. O gráfico das funções xy ln= e x ey = são simétricos em relação à reta yx = . Sobre a veracidade dessas proposições, pode-se afirmar que são verdadeiras as afirmações a) II, apenas b) III, apenas c) I e III, apenas d) II e III, apenas e) I, II e III Solução: I. Falso: o valor do cosseno de 2 π é zero, bem como todos os múltiplos positivos desse arco; II. Verdadeiro: o intervalo de variação da imagem da função seno é [-1, 1], logo, o intervalo da função ( )xseny 2= é [-2, 2]; III. Verdadeiro: as funções são inversas uma da outra, o que torna o gráfico simétrico em relação à reta xy = Resposta: letra d. 12) Foi realizado um levantamento em relação ao peso de 10 estudantes universitários do curso de administração. Obteve-se o seguinte resultado (em kg): 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78. Assim, a mediana e a média aritmética desse conjunto são, respectivamente, a) 71,5 e 70,2 b) 71,5 e 71,5 c) 71 e 70,2 d) 70,2 e 71,5 e) 72 e 70,2 Solução: A posição da mediana para dados não agrupados é dada por: 2 1+n , onde n é o número de elementos da distribuição. Desse modo, a mediana do conjunto dado está entre o 5º e o 6º termos, devendo ser calculada pela média aritmética desses elementos: 5,71 2 7271 = + . O candidato poderá observar que a resposta da questão só pode ser a da alternativa a, visto que a série dada não apresenta uma perfeita simetria em torno da mediana. Mas, caso fosse calcular o valor da média, seria útil lembrar-se de uma importante propriedade da média, que diz que “ao somarmos ou subtrairmos uma constante de cada elemento da distribuição, sua média ficará somada ou subtraída dessa mesma constante”. Vamos, então, subtrair 70 unidades de cada um dos elementos, resultando no seguinte conjunto (sabemos que a média calculada estará subtraída de 70 unidades): -9, -4, -4, -3, 1, 2, 2, 2, 7, 8 cuja média aritmética é 0,2. Acrescentando-se 70, tem-se a média do conjunto original, que é 70,2. Resposta: letra a. 13) Em uma fábrica, três costureiras, em oito horas de trabalho, produzem 48 calças. Como aumentou a demanda pelos produtos dessa fábrica, foram contratadas mais três costureiras, que apresentaram o mesmo desempenho das funcionárias veteranas. Se o último pedido é de 120 calças, qual o tempo necessário de trabalho para que as seis costureiras produzam tal quantidade? a) 8 horas b) 10 horas c) 12 horas d) 16 horas e) 24 horas Solução: Por regra de três...
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com80 costureiras horas calças 3 8 48 6 x 120 inversa direta Com uma simplificação entre os elementos de mesma coluna, os cálculos serão mais rápidos. A regra de três fica assim: costureiras horas calças 1 8 2 2 x 5 inversa direta 10 22 518 = × ×× =x (Veja o arquivo regras de três passo-a-passo na área de arquivos do plantão eletrônico de dúvidas) Resposta: letra b. 14) Em uma lanchonete, são gastos R$ 6,00 para se comprar três pastéis, dois copos de refrigerante e uma porção de batatas fritas. Sabe-se que a mesma quantia de dinheiro é gasta para se comprar dois pastéis, um copo de refrigerante e três porções de batatas fritas. Logo, pode-se concluir que a) um pastel mais um copo de refrigerante custam o mesmo que duas porções de batatas fritas. b) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 4,00. c) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 6,00. d) um pastel custa R$ 2,00 e um copo de refrigerante custa R$ 1,50. e) todos custam menos de R$ 1,00. Solução: Com os dados da questão, tem-se:    =++ =++ 6312 623 brp brp . A solução é obtida rapidamente pela subtração das duas equações membro-a- membro: 0211 =−+ brp , de onde retiramos: brp 211 =+ Resposta: letra a. 15) Um comerciante pretende fazer um investimento na modernização de sua loja no valor de X reais. Esse investimento permitirá uma redução nos custos operacionais de sua loja no valor mensal de Y reais por um período de n meses. Essa redução começa exatamente um mês após o investimento. Considerando-se que, nesses n meses, a taxa de juros é de 1,5% a.m., a relação que mostra como o comerciante pode avaliar se vale a pena efetuar o investimento na modernização de sua loja é a) ( ) YX n i i >∑=1 015,1 1 b) ( ) XY n i i >∑=1 015,1 1 c) ( ) 1 015,1 + > n XnY d) ( )n XnY 015,1> e) ( )n YnX 015,1> Solução: Nas alternativas de investimentos, os economistas e financistas alertam que o investimento só será viável se o Valor Presente Líquido (VPL ) for superior a zero. Como o VPL é dado pela diferença entre o retorno do investimento (que, neste caso, será dado pelo valor atual das n parcelas de valor Y ) e o valor investido ( X ), pode-se escrever a seguinte equação: ( ) 0 015,1 1 1 >−⋅∑= XY n i i , onde o somatório representa o fator de atualização de capital. Resposta: letra b. 16) Alberto mora em um terreno quadrado de 40 metros de frente. Sua casa fica bem no centro do terreno, cercada por um gramado. Ele dispõe de uma máquina de cortar grama que possui um cabo
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com81 elétrico original com 12 metros de comprimento. A máquina é ligada na única esquina da casa que apresenta tomada externa. A residência, por sua vez, tem uma base quadrada de 8 metros de lado, como está exposto neste desenho: Sabendo-se que cada 2 m de grama cortada pesa 100 gramas, quantos quilogramas são obtidos após o uso dessa máquina para cortar toda a grama possível utilizando apenas seu cabo elétrico original? (utilize 3=π ) a) 34,8 kg b) 43,2 kg c) 64 kg d) 348 kg e) 432 kg Solução: Tem-se uma semicircunferência de raio 12 (A1 no desenho abaixo) mais um quarto de circunferência de raio 12 (A2 no desenho abaixo) e mais dois quartos de circunferência de raio 4 (A3 no desenho abaixo). Podemos escrever, então: ( ) ( ) ( ) 3488144 4 3 4 2 1 12 4 1 12 2 1 222 =⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ πππππ metros quadrados. Como cada metro quadrado “pesa” 100 gramas, ter-se-á um “peso” total de 34,8 kg de grama cortada. Resposta: letra a. 17) Uma caixa d’água tem um escoamento constante de 200 litros de água por hora. Sabe-se que quando o nível da caixa atinge 100 litros, um reabastecimento – com vazão constante de 205 litros de água por hora – é acionado automaticamente até que a caixa atinja seu nível máximo. Se a capacidade total da caixa é de 600 litros e o reabastecimento foi acionado nesse momento, ele será acionado novamente daqui a a) 2 horas e 30 minutos b) 2 horas e 24 minutos c) 4 dias e 4 horas.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com82 d) 4 dias, 6 horas e 30 minutos e) 4 dias, 6 horas e 50 minutos Solução: Quando a caixa está com 600 litros o reabastecimento é acionado. Com a vazão de 200 litros por hora, até chegar a 100 litros (ocasião em que o reabastecimento entra em ação), demora 2 horas e meia. A partir desse ponto (quando a caixa atinge 100 litros), a válvula entra em ação, despejando 205 litros por hora, ou seja, na primeira hora ter-se-á 100 – 200 + 205 =105. Na segunda hora, serão 105 – 200 + 205 = 110 litros. Em outras palavras, a cada hora, haverá um superávit de 5 litros por hora. Como se tem 500 litros para completar a capacidade da caixa, serão necessárias 100 horas para enchê-la. Somando-se as 2,5 horas iniciais (para a caixa ir dos 600 litros para 100 litros), o total de horas para que a caixa esteja completamente cheia novamente é de 102,5 horas, ou 4 dias, 6 horas e 30 minutos. Resposta: letra d. 18) Dada a seqüência de números 1, 20, 6, 15, 11, 10, ..., o décimo primeiro e o décimo segundo termos (dessa seqüência) são, respectivamente, a) 60 e 30 b) 31 e -10 c) 26 e -5 d) 16 e 5 e) 21 e 0 Solução: Há duas seqüências alternadas na série de números dada. Na primeira seqüência, tem-se: 1, 6, 11, ... (que é uma progressão aritmética de razão igual a 5) Na segunda seqüência, tem-se: 20, 15, 10, ... (que é uma progressão aritmética de razão igual a -5). Desse modo, encontram-se, facilmente, o décimo-primeiro e o décimo-segundo termos da seqüência: 26 e -5. Resposta: letra c. 19) Dois postos de gasolina, A e B, apresentavam o mesmo preço de combustível. Devido ao aumento de preços repassado pelos distribuidores, ambos os postos reajustaram seus preços aos consumidores finais. Cada posto realizou os aumentos de uma forma particular. O posto A reajustou três vezes os seus preços: 6% logo de imediato, 4% após dois meses e 5% após quatro meses. O posto B, por sua vez, reajustou seus preços duas vezes: o primeiro reajuste foi de 8% e coincidiu com a data do primeiro aumento do posto A, o segundo reajuste foi de 15% e ocorreu após três meses. Sabendo-se que a gasolina em ambos os postos sempre apresenta a mesma qualidade, a seqüência que indica o posto com o preço mais vantajoso para o consumidor final em cada um desses seis meses é: a) Posto A, Posto A, Posto B, Posto A, Posto A, Posto B. b) Posto A, Posto B, Posto A, Posto B, Posto A, Posto B. c) Posto A, Posto A, Posto B, Posto A, Posto B, Posto B. d) Posto A, Posto A, Posto A, Posto A, Posto A, Posto A. e) Posto A, Posto A, Posto B, Posto A, Posto A, Posto A. Solução: Outra questão de fácil solução. Observe a tabela abaixo (arbitrou-se o valor fictício de 100 unidades monetárias para o ponto de partida, a fim de simplificar os cálculos): 0 1º mês 2º mês 3º mês 4º mês 5º mês 6º mês POSTO A 106 106 110 110 116 116 116 POSTO B 108 108 108 124 124 124 124 Os centavos foram desprezados. Os valores marcados em negrito acima, mostram em qual posto o preço é mais vantajoso para o consumidor final, ao longo dos 6 meses. Resposta: letra e. 20) O mapa abaixo representa três quadras da cidade Imaginópolis, onde as ruas A, B, C e D são paralelas entre si, assim como as ruas E e F. Essas ruas delimitam quadras de mesma dimensão.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com83 Supondo-se que as unidades nos eixos horizontal e vertical estão em metros, que os vértices da quadra Q1 são os pontos (40, 10), (82, 20), (40, 60) e (82, 70) e que cada 2 m está avaliado em R$ 25,00,então o preço cobrado pelas três quadras é a) R$ 52.500,00 b) R$ 87.500,00 c) R$ 157.500,00 d) R$ 175.500,00 e) R$ 262.500,00 Solução: O paralelogramo Q1 tem as seguintes medidas (ver figura): Base = 50 metros; Altura = 42 metros. Assim, sua área é: A = 50 × 42 = 2100 metros quadrados. Como há três terrenos iguais e cada metro quadrado custa R$ 25,00, o preço final a ser pago pelas três quadras é: 3 × 25 × 2100 = 157500 Resposta: letra c.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com84 1) Um comerciante compra uma caixa com barras de chocolate por R$ 100,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 10 barras e aumentar o preço da dezena em R$ 5,00. Então, o número original de barras de chocolate na caixa era a) 31 b) 37 c) 40 d) 50 e) 51 Solução: Seja x a quantidade de barras de chocolate original da caixa. Nessas condições, cada barra terá custado x 100 . Ao se retirar 10 barras da caixa, a quantidade de barras ficou igual a ( )10−x . Quando Adalberto aumentou o preço da dezena em R$ 5,00, cada barra de chocolate aumentou R$ 0,50 e o novo preço da barra passou a ser de       + 5,0 100 x . Assim, o preço da caixa de chocolates, após as modificações feitas por Adalberto, é calculado da seguinte forma: ( ) 100105,0 100 =−⋅      + x x Uma dica para o candidato: antes de resolver a equação acima (lembre-se do tempo necessário para efetuar os cálculos), observe que o valor de x é tal que 100 possa ser dividido por ele de forma exata. Entre as alternativas, há apenas dois possíveis valores para que isto ocorra: “c” ou “d”. O leitor poderá verificar, facilmente, que 50=x é a solução da equação acima. Resposta: letra d. 2) Numa cidade, a passagem de uma linha de ônibus custa R$ 1,50. Sabe-se que os cobradores possuem apenas quatro espécies de moedas, a saber R$ 0,50; R$ 0,25; R$ 0,10 e R$ 0,05. Suponha que todas as possibilidades de troco, utilizando combinações dos valores de moedas citados, têm a mesma probabilidade. Qual a probabilidade de Afrânio, que usou essa linha de ônibus, ter o seu troco com três espécies de moedas, sabendo-se que ele entregou ao cobrador R$ 2,00? a) 1/11 b) 2/11 c) 4/11 d) 5/11 e) 6/11 Solução: A probabilidade de ocorrência de um evento qualquer é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis a este e o número de casos possíveis. Ao entregar R$ 2,00 ao cobrador, Afrânio deverá receber R$ 0,50 de troco. As únicas combinações para formar esse troco, usando três espécies de moedas são: 05,010,0225,0 +×+ ou 05,0310,025,0 ×++ em outras palavras, há dois casos favoráveis para o evento. O número de casos possíveis para o evento em tela é dado por todas as combinações possíveis entre as espécies de moedas disponíveis. Observe o leitor que, na questão dada, não é necessário efetuar esta contagem, uma vez que todas as alternativas da questão apontam para o resultado, que é 11. Desse modo, a resposta procurada é 11/2 Resposta: letra b. 3) Numa empresa, foram contratados seis novos funcionários, sendo dois advogados, dois contadores e dois engenheiros. Pretende-se distribuir esses profissionais nos seus gabinetes. Sabe- se que • as salas estão dispostas segundo o desenho abaixo; • cada uma das seis pessoas citadas ocupa uma sala; • os advogados ocupam as salas 1 e 4, os contadores ocupam as salas 2 e 5, e os engenheiros ocupam as salas 3 e 6.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com85 Sala 1 Sala 2 Sala 3 corredor Sala 4 Sala 5 Sala 6 Baseando-se nas informações dadas, é CORRETO afirmar que os seis funcionários podem ser distribuídos nas salas descritas acima de a) 90 maneiras distintas. b) 36 maneiras distintas. c) 20 maneiras distintas. d) 8 maneiras distintas. e) 6 maneiras distintas. Solução: Os arranjos possíveis para os seis profissionais são os seguintes: Advogados: salas 1 e 4 ou 4 e 1; Contadores: salas 2 e 5 ou 5 e 2; Engenheiros: salas 3 e 6 ou 6 e 3. Há duas formas possíveis de acomodar cada tipo de profissional em suas respectivas salas. Como há três profissões, o número de possibilidades é dado por 8222 =×× Resposta: letra d. 4) Adalberto tem um terreno na forma de um triângulo cujos catetos medem 30=a m e 40=b m, e a hipotenusa mede 50=c m. Se Adalberto deseja construir, nesse terreno, uma casa cuja base é um retângulo de área máxima, as dimensões da base da casa sobre os lados a e b são, respectivamente, a) 3 m e 36 m b) 12 m e 24 m c) 15 m e 20 m d) 20 m e 15 m e) 20 m e 20 m Solução: A área do retângulo CEDF da figura acima é dada por: xyA = . Por semelhança de triângulos... 30 30 40 xy − = (veja o triângulo BDE), 3 4120 x y − = . Substituindo-se na função Área: xyA =       − ⋅= 3 4120 x xA . Os zeros da função Área são: zero e 30. Conforme vimos em aula, o vértice da parábola indica a abscissa do ponto de máximo. Neste caso (duas raízes reais), o valor da abscissa do vértice é calculado pelo ponto médio entre os zeros da função. Ora, a média aritmética entre zero e 30 é 15. Tem-se, assim, o valor de uma das dimensões do terreno. A outra dimensão é encontrada facilmente, pela substituição do valor 15=x em 3 4120 x y − = , de onde vem 20=y Resposta: letra c.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com86 5) Roberval plantou 165 mudas de árvores frutíferas em canteiros, de modo que, no segundo canteiro, plantou o dobro de mudas do primeiro; no terceiro, plantou tantas mudas quantas nos dois anteriores juntos; no quarto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do primeiro canteiro com o canteiro anterior, no quinto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do primeiro canteiro com o canteiro anterior e assim por diante, até plantar todas as mudas. Sabendo- se que ele usou o maior número de canteiros possível e o número de canteiros é menor que 12, em quantos canteiros ele plantou as mudas? a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 Solução: No primeiro canteiro Roberval plantou x mudas, no segundo canteiro, plantou x2 mudas, no terceiro canteiro, plantou x3 mudas; no quarto canteiro plantou x4 mudas, e assim por diante. Observe o leitor que a seqüência forma uma P. A. de razão igual a x , cuja soma é igual a 165. usando-se as fórmulas do termo geral de uma P. A.: ( ) rnaan ⋅−+= 11 e a fórmula da soma dos n termos: ( ) 2 1 naa S n n ⋅+ = . Substituindo-se os dados disponíveis nas fórmulas, tem-se: ( ) xnxan ⋅−+= 1 e ( )( ) 2 1 165 nxnxx ⋅⋅−++ = ⇒ ( )[ ] 33012 =⋅⋅−+ nxnx . Aqui o candidato precisa ser astuto! Sabe-se que 12<n . Observe que 330 é um múltiplo inteiro de n , ou seja, a divisão de 330 por n deve ser exata... Entre as alternativas da questão, somente 11 ou 10 preenchem esse quesito. Como o 11 não verifica a equação acima, tem-se que a resposta procurada é 10 e o valor de x é 3. Resposta: letra b. 6) Considerando um mês com 30 dias, 0,36 mês corresponde a a) 10 dias. b) 10 dias e 8 horas. c) 10 dias, 19 horas e 2 minutos. d) 10 dias, 19 horas e 12 minutos. e) 10 dias, 19 horas e 12 segundos. Solução: 8,1036,030 =× , ou seja, 10 dias inteiros, mais uma fração de 0,8 do dia (que deve ser convertida para horas e minutos). Assim, 0,8 do dia é 2,19248,0 =× , ou 19 horas inteiras mais uma fração de 0,2 da hora, que, em minutos, equivale a 12. A resposta é: 10 dias 19 horas e 12 minutos. Resposta: letra d. 7) Ronaldo deseja ladrilhar o chão de seu escritório de dimensões 5,2 m por 4 m, com n lajotas quadradas inteiras de lado z cm, onde z é número inteiro. Supondo que as lajotas serão colocadas sem espaço entre elas, o valor de z , para que o número n de lajotas seja mínimo, e o valor de n são, respectivamente, a) 40 e 130 b) 40 e 150 c) 30 e 160 d) 30 e 130 e) 20 e 180 Solução: Para se encontrar o valor de z (medida do lado de cada lajota), deve-se encontrar o máximo divisor comum entre 5,2 e 4. A fim de possibilitar o cálculo do MDC, devem-se converter as medidas em decímetros, ou seja: 52 e 40. Tem-se, então, o valor do lado da lajota: ( ) 452,40 =MDC decímetros, ou 40 centímetros. O número n de lajotas utilizadas é dado pelo quociente entre a área do piso dividido pela área da lajota, ou seja: 1301013 4,04,0 0,42,5 =×= × × Resposta: letra a. 8) Joana fez uma aplicação num banco e a resgatou após seis meses. O juro aparente recebido, durante esse período, foi de 15%. Se a taxa de inflação no período foi de 8%, então a taxa de juro real recebido foi de, aproximadamente,
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com87 a) 7,5% positivo b) 7% positivo c) 6,5% positivo d) 6% negativo e) 7% negativo Solução: A taxa real ( r i )de uma aplicação é dada por: ( ) ( )i ap r i i i + + = 1 1 , onde ap i é a taxa aparente e i i é a taxa de inflação do período. No resultado encontrado, deve-se deslocar a vírgula duas casas à direita e subtrair 100 para se encontrar a taxa real da aplicação. Substituindo-se os dados, tem-se: 065,1 08,1 15,1 ≅=r i . Aproximadamente 6,5% Resposta: letra c. 9) Uma empresa que trabalha com a revenda de notebooks tem lojas nas seguintes cidades: Porto Alegre (POA), São Paulo (SPA) e Belo Horizonte (BHZ). Uma marca particular de notebook está disponível nos modelos A, B e C. Além disso, cada modelo tem uma bolsa correspondente que, geralmente, é vendida junto com o notebook. Os preços de venda (em reais) do notebook e da bolsa são dados pela matriz X, onde a primeira linha indica os preços dos notebooks nos três modelos e a segunda linha, o preço das bolsas.       = 150120100 800050004000 X CBA O número de conjuntos (notebook e bolsa) disponíveis em cada loja é dado pela matriz Y. POA SPA BHZ C B A Y           = 462 8106 10158 Se João Paulo foi à loja de Porto Alegre e comprou todos os conjuntos do modelo A e todos do modelo C, então ele gastou. a) R$ 48.000,00 b) R$ 49.100,00 c) R$ 62.000,00 d) R$ 63.520,00 e) R$ 64.150,00 Solução: O produto matricial YX ⋅ fornece os valores de todos os modelos A, B e C (notebook e bolsa) para cada uma das capitais indicadas na questão. Assim, o comprador que adquiriu todos os produtos das marcas A e C em Porto Alegre, pagou: ( ) ( ) 491008150241008 =×+× Resposta: letra c. 10) Usando o valor 0,48 para 3log (onde log denota o logaritmo decimal), a que taxa anual de juros compostos devo aplicar certo capital hoje para que, daqui a seis anos, eu tenha o triplo desse capital? a) 110 48,0 − b) 110 144,0 − c) 110 008,0 − d) 110 03,0 − e) 110 08,0 − Solução: ( )n iCM +⋅= 1 , onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa da aplicação e n é o prazo. Sabe-se que CM 3= e 6=n . Assim, com a fórmula acima, tem-se: ( )6 13 i+= . Logaritmizando- se a expressão...: ( )i+⋅= 1log63log . Com o dado da questão ( 48,03log = ), substitui-se na expressão e, utilizando-se a definição de logaritmo... ( ) 1101log648,0 08,0 −=⇒+⋅= ii Resposta: letra e. 11) A empresa ABC adquiriu uma máquina por R$ 15.000,00 que, seis anos após a data da compra, tinha um valor estimado de R$ 12.000,00. Admitindo que a depreciação seja linear, é CORRETO afirmar que a) o valor estimado da máquina será nulo em 30 anos após a data da compra. b) a depreciação total estimada, 10 anos após a data da compra é de R$ 4.500,00.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com88 c) uma equação que representa essa depreciação é xd 600= , onde d representa o valor da depreciação total estimada em x anos após a data da compra. d) uma equação que representa o valor y estimado da máquina, x anos após a data da compra, é 15000500 += xy . e) uma equação que representa o valor y estimado da máquina, x anos após a data da compra, é xy −= 30 . Solução: Se em 6 anos a máquina depreciou-se em R$ 3.000,00, então a depreciação (linear, segundo o enunciado) é de R$ 500,00 por ano. Para que o seu valor inicial, que é de R$ 15.000,00 caia a zero, serão necessários 30 anos. Resposta: letra a. 12) O economista italiano Vilfrido Pareto, grande estudioso sobre distribuição de renda, propôs um modelo matemático para distribuição de renda conhecido como Lei de Pareto. O modelo simplificado é dado pela seguinte função: α x A y = onde y é o número de pessoas cujas rendas são superiores ou iguais a x ; x é a renda de um indivíduo da população considerada; A é uma constante que depende da população em questão; e α é o parâmetro que caracteriza a distribuição de renda. Se numa certa população a distribuição de renda é dada por 3 15 1080 x y ⋅ = onde a renda é dada em reais, é CORRETO concluir que 10.000 pessoas ganham rendas superiores ou iguais a a) R$ 80.000,00 b) R$ 60.000,00 c) R$ 20.000,00 d) R$ 8.000,00 e) R$ 2.000,00 Solução: Se 3 15 1080 x y ⋅ = , então, para 10000=y , tem-se: 10000 10801080 10000 15 3 3 15 ⋅ =⇒ ⋅ = x x ⇒ 20000108 123 =⇒⋅= xx Resposta: letra c. 13) De todos os funcionários de uma empresa, 30% solicitaram férias no mês de janeiro. Essas empresa tem duas filiais, localizadas em Maceió e Cuiabá, e a matriz está localizada em São Paulo (capital). 50% dos funcionários trabalham na matriz e 30% dos funcionários trabalham na filial de Cuiabá. Tem-se a informação de que 20% dos empregados da matriz e 30% dos funcionários da filial de Maceió solicitam férias em janeiro. A porcentagem de funcionários da filial de Cuiabá que solicitaram férias em janeiro é de, aproximadamente, a) 50% b) 47% c) 37% d) 25% e) 14% Solução: Soluciona-se este tipo de questão rapidamente arbitrando-se o valor 1000 para o total de funcionários. Desse modo, tem-se: Matriz Filial Maceió Filial Cuiabá Nº de func. por Unidade 500 200 300 Tiraram férias 100 60 x Outra informação da questão é a de que 30% do total de funcionários solicitaram férias em janeiro, ou seja, 300 funcionários. Desse modo, 140=x . Então, a porcentagem dos funcionários da filial de Cuiabá que tiraram férias em janeiro é dada por: 47,0 300 140 ≅ , ou aproximadamente 47% Resposta: letra b.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com89 14) Marcus deve pagar a Paulo, daqui a dois meses, o valor nominal de R$ 10.500,00. Marcus, porém, fez uma proposta a Paulo de pagar R$ 10.100,00 hoje para quitar a sua dívida. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 2% ao mês, a troca é a) vantajosa para Paulo, pois ganhará em torno de R$ 8,00. b) vantajosa para Paulo, pois ganhará em torno de R$ 20,00. c) vantajosa para Marcus, pois economizará R$ 10,00. d) desvantajosa para Paulo, pois perderá em torno de R$ 8,00. e) desvantajosa para Paulo, pois perderá em torno de R$ 20,00. Solução: Para se atualizar o valor da dívida, basta dividir o seu montante por ( )n i+1 , onde i é a taxa e n é o número de períodos. Neste caso, o valor atual da dívida de Marcus é dado por: 10092 02,1 10500 2 ≅ Resposta: letra a. 15) Sobre os gráficos das funções f : IR → IR, definida por ( ) xxf = e g : IR → IR, definida por ( ) 232 +−= xxxg , é CORRETO afirmar que se interceptam em a) um único ponto de abscissa positiva. b) um único ponto de abscissa negativa. c) dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários. d) dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal. e) mais de dois pontos. Solução: Encontra-se a interseção entre duas funções igualando-se as equações, ou seja: 02423 22 =+−⇒=+− xxxxx . A equação do segundo grau ao lado possui duas raízes reais distintas, de mesmo sinal. Resposta: letra d. 16) Considere a figura abaixo que mostra dois copos. Um deles, com formato de um cilindro reto, está completamente cheio de água. O outro, com formato de um cone reto, apoiado num tronco de cone, está totalmente vazio. As dimensões de ambos os copos estão descritas nesta figura. Sabe-se que o plano no qual eles estão apoiados é horizontal, que a borda do copo cônico é paralela a este plano e que os volumes de um cilindro e de um cone de raio r e altura h são dados respectivamente por hrV 2 π= e hrV 2 3 1 π=
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com90 Assim, se despejarmos todo o conteúdo do copo cilíndrico no copo cônico, a distância da superfície da água ao vértice deste copo será a) 3 3 3 4 cm b) 3 4 cm c) 3 45,3 cm d) 4 cm e) 3 44 cm Solução: O volume do copo cilíndrico é: ππ 48342 =⋅⋅=V . Este volume será integralmente despejado no copo cilíndrico, cuja altura da água (do vértice até a superfície). A figura abaixo foi obtida da seção transversal do cone e ilustra o raio na superfície da água, 1 r , e a altura atingida pelo volume d’água, 1 h : Por semelhança de triângulos, vem: 68 11 rh = ⇒ 4 3 1 1 h r ⋅ = . Substituindo-se esse resultado na fórmula do volume do cone: 1 2 1 4 3 3 1 48 h h ⋅      ⋅ ⋅⋅=⋅ ππ ⇒ 3 1 43 1 3 1 444 9 16348 =⇒=⇒ ⋅⋅ = hhh Resposta: letra e. 17) Uma empresa para produzir um determinado produto, pode utilizar dois processos distintos. Para o processo A tem-se um custo fixo de R$ 100,00 mais R$ 5,00 por unidade produzida. Já para o processo B tem-se um custo fixo de R$ 60,00 mais R$ 6,00 por unidade produzida. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a) os custos são menores utilizando-se o processo A. b) os custos são menores utilizando-se o processo B. c) para produzir 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A. d) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A. e) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo B.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com91 Solução: Custo do processo A: ( ) xxCA 5100 += Custo do processo B: ( ) xxCB 660 += Onde x é a quantidade produzida. Os custos acima se igualam para 40=x unidades produzidas. Abaixo dessa quantidade, os custos são mais vantajosos pelo processo B. Resposta: letra e. 18) Sejam A, B e C os conjuntos que representa, respectivamente, pessoas que lêem o jornal 24 Horas, pessoas que lêem o jornal Gazetão e pessoas que lêem o jornal Diário da Noite. Considerando que o público pesquisado foram os leitores residentes na cidade Oásis e que, após essa pesquisa, foi feita a representação exposta abaixo, pode-se afirmar que a região sombreada representa a) ( )[ ]CABU −∩− b) ( )[ ]CABU −−− c) ( )[ ]CABU ∪−− d) ( )[ ]CABU ∩∪− e) ( )[ ]CABU ∪∩− Solução: A área hachurada representa ( )[ ]CABU ∪−− Resposta: letra c. 19) O lucro na venda de x unidades mensais de certo produto é descrito por uma função de 2º grau representada pela figura a seguir. O lucro máximo, em reais, é
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com92 a) R$ 63.000,00 b) R$ 62.500,00 c) R$ 62.000,00 d) R$ 62,50 e) R$ 62,00 Solução: No gráfico dado com a questão tem-se um dos zeros da função lucro, que é o valor 6. A função lucro da questão é dada por: ( ) ( ) ( )6−⋅−⋅= xaxkxf , onde k é uma constante e a é o outro zero da função, cujo valor é inferior a 2 (veja o gráfico). Como foram dados 2 outros pontos para a função, tem-se: ( ) ( ) ( ) 10262240 −=−⋅⇒−⋅−⋅= akak , e ( ) ( ) ( ) 30464460 −=−⋅⇒−⋅−⋅= akak Forma-se, desse modo, um sistema, cuja solução pode ser facilmente encontrada dividindo-se uma equação pela outra: ( ) ( ) 13 2 4 =⇒= − − a a a e 10−=k Como foi solicitado o valor máximo da função lucro, obtém-se esse valor a partir do ponto médio das raízes (abscissa do vértice), que é igual a 3,5. Substituindo-se os valores de k , a e 5,3= na função, tem-se o lucro máximo: ( ) ( ) ( ) 5,6265,315,31035 =−⋅−⋅−=f . Cuidado ao fornecer a resposta desse tipo de questão. Observe o candidato que o lucro está representado no gráfico em milhares de reais. A resposta certa é 62500 Resposta: letra b. 20) Seja Q1 um quadrado de lado 2 cm, cujos vértices são A, B, C e D, e cujos lados são AB , BC , CD e DA. Consideremos os pontos médios 1 A , 1 B , 1 C e 1 D dos respectivos lados citados de Q1 e construímos um novo quadrilátero Q2, cujos lados são 11 BA , 11 CB , 11 DC e 11 AD . Consideremos os pontos médios 2 A , 2 B , 2 C e 2 D dos respectivos lados ditados de Q2 e construímos um novo quadrilátero Q3, cujos lados são 22 BA , 22 CB , 22 DC e 22 AD . Seguiremos esse procedimento até construir o quadrilátero Q5. Assim, a soma das áreas Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 é a) 4 31 2 cm b)         + 2 237 2 cm c) 64 341 2 cm d) 220 2 cm e) 40 2 cm Solução: A área do quadrado 1Q é igual a 4. O lado do segundo quadrado ( 2Q , segundo o enunciado) será igual a 2 e sua área é igual a 2. As áreas dos 5 quadrados formam uma progressão geométrica de razão 21 . A soma finita de uma progressão geométrica é dada por: ( ) 1 11 − −⋅ = q qa S n . Substituindo-se os valores... 4 31 1 2 1 1 2 1 4 5 = −         −      ⋅ =S Resposta: letra a.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com93 1) Sejam A = {3, 4, 5} e f uma função de A em A definida por ( ) 53 =f , ( ) 34 =f e ( ) 45 =f . O conjunto-solução de ( )( ) ( )( )524 ffff − é a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 4 Solução: Sendo ( ) 34 =f e ( ) 45 =f , substituindo-se esses resultados na expressão ( )( ) ( )( )524 ffff − , esta pode ser escrita da seguinte forma: ( ) ( )423 ff − . Mas ( ) 53 =f e ( ) 34 =f . Faz-se nova substituição em ( ) ( )423 ff − e fica-se com: 1325 −=⋅− Resposta: letra b. 2) Uma escola levou 72 crianças para uma visita ao museu da cidade. A visitação é feita em grupos pequenos com o mesmo número de participantes de cada vez, e os grupos são formados por mais de 5 e menos de 20 alunos por vez. De quantas formas diferentes podem ser reunidos esses estudantes, em grupos, para a visitação? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Solução: A solução da questão é dada pelos divisores de 72 contidos no intervalo entre 5 e 20. Os divisores de 72 contidos no intervalo entre 5 e 20 são: 6, 8, 9, 12 e 18. Resposta: letra c. 3) Num caminhão podem-se carregar 50 sacos de cimento ou 400 tijolos. Se forem colocados nele 42 sacos de cimento, ainda podem-se carregar nesse caminhão, no máximo, a) 54 tijolos b) 64 tijolos c) 68 tijolos d) 72 tijolos e) 82 tijolos Solução: A quantidade de sacos de cimento está para 50 como a quantidade de tijolos está para 400, ou seja: 40050 tc = Simplificando-se a proporção, chega-se a: 81 tc = , ou seja, um saco de cimento equivale a 8 tijolos. Se o caminhão já tem 42 sacos de cimento, ainda caberiam outros 8 sacos de cimento no caminhão. Como a quantidade de tijolos é oito vezes a quantidade de sacos de cimento, então ainda cabem 64 tijolos no caminhão. Resposta: letra b. 4) Vitor comentou com seu tio Carlos que tinha uma economia de x reais, e este lhe propôs uma brincadeira: cada vez que Vitor executasse uma tarefa, seu tio duplicaria o dinheiro que Vitor tem, mas com a condição de que, após isso, o sobrinho lhe desse 8 reais. nessas condições, é CORRETO afirmar que as economias de Vitor a) aumentarão se ele tiver 10 reais. b) diminuirão se ele tiver 10 reais. c) não se alterarão se ele tiver 10 reais. d) aumentarão independente do valor de x . e) diminuirão independente do valor de x . Solução: Vítor só ganhará se tiver mais do que 8 reais, visto que, se tiver exatamente 8 reais, empataria. Resposta: letra a. 5) Giovana gasta 3/8 do seu salário com o aluguel e R$ 42,00 com o transporte. Considerando-se que seu salário é de R$ 840,00, o percentual do salário gasto com esses dois itens é de a) 35,5% b) 37,5% c) 40,5% d) 42,5% e) 45,5% Solução: %5,42%5%5,37 840 42 8 3 =+⇒+ Resposta: letra d.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com94 6). A quantidade de números inteiros que satisfazem a inequação 1662 <− xx é a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Solução: A inequação pode ser escrita como: 01662 <−− xx , cujas raízes são -2 e 8 (o candidato poderá buscar as raízes da equação 01662 =−− xx usando a fórmula de Bháskara ou lembrando-se de que se quer dois números cuja soma é 6 e cujo produto é -16). Para valores no intervalo ( )8,2− , a inequação acima é verificada. Note-se que os extremos do intervalo estão excluídos da solução. Assim, quantidade de números inteiros que satisfazem a inequação é o conjunto }76,5,4,3,2,1,0,,1{− , que tem 9 elementos. Resposta: letra c. 7) Dulce faz uma dieta e precisa pesar todos os alimentos que consome, mas sua balança só é confiável para cargas com mais de 300g. Considerando-se que ela precisa saber o peso de uma maçã, de uma pêra e de um caqui e que as frutas do mesmo tipo têm o mesmo peso, ela adotou o seguinte procedimento: colocou na balança uma maçã e uma pêra e registrou 330g; uma maçã e um caqui e registrou 390g; uma pêra e um caqui e registrou 360g. Então,o peso de uma maçã e duas pêras é de a) 540g b) 525g c) 510g d) 495g e) 480g Solução: Com os dados do problema, podem-se escrever as seguintes equações: 360 390 330 =+ =+ =+ CP CM PM Subtraindo-se as duas últimas equações uma da outra, tem-se: 30=− PM Forma-se, agora, um sistema com a primeira equação:    =− =+ 30 330 PM PM Resolvendo-se o sistema acima pelo método da adição, vem: 180 3602 = = M M Então, 150=P . Desse modo, o peso de uma maçã e duas pêras é 480g Resposta: letra e. 8) Utilizando-se o teclado do computador, deseja-se atribuir códigos para algumas funções. Para isso, deverão ser usadas no mínimo duas das três teclas SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser obtida por esse processo é de a) 216 b) 270 c) 288 d) 360 e) 400 Solução: Há duas situações a se considerar: a) pressionando-se duas das teclas SHIFT, CTRL e ALT; Como a ordem de pressionamento das teclas é simultâneo, não influi no resultado. Resolve-se esta parte por Combinação: 32,3 =C . Para os algarismos, a ordem do pressionamento é importante, logo, deve-se usar Arranjo: 902.10 =A . A senha se forma pelo pressionamento das teclas e dos números, portanto devem multiplicar os resultados: 2702,102,3 =× AC b) pressionando-se a três teclas SHIFT, CTRL e ALT. De modo análogo à solução apresentada no item anterior, tem-se: 902,103,3 =× AC O total de possibilidades é 360. Resposta: letra d.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com95 9) Joaquim foi abastecer o reservatório de água cujo nível estava na marca de 1/6 e observou que, quando foram colocados 21 litros, o nível de água subiu para a marca de 3/4. A capacidade do reservatório é de a) 27 litros b) 28 litros c) 36 litros d) 63 litros e) 84 litros Solução: 36 21 12 7 21 6 1 4 3 4 3 21 6 1 = = =− =+ x x xx xx Resposta: letra c. 10) Se ( ) ( ) ( ) 371523...83433 =+++++++ xxxx , o valor de x− 3 pode ser a) 1/27 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 27 Solução: A expressão dada pode ser escrita como ( ) 37152...8403 =+++++⋅ x n . O somatório entre parênteses é uma progressão aritmética,cujo primeiro termo é zero, o último é 52 e a razão é 4. O número de termos dessa PA é dado por: ( ) rnaan ⋅−+= 11 , substituindo-se os dados, vem: ( ) 14 41052 = ⋅−+= n n . A soma dos 14 termos da PA é: ( ) 2 1 naa S n n ⋅+ = . Substituindo-se os dados... ( ) 364 2 14520 = ⋅+ =nS . Voltando-se à expressão dada: 371364314 =+⋅ x ⇒ 7314 =⋅ x ⇒ 2 1 3 14 7 3 =⇒= xx . Se 2 1 3 =x , então 23 =− x Resposta: letra d. 11) Os três Estados da região Sul do Brasil têm, juntos, uma área aproximada de 575.000 2 km . O gráfico ao lado mostra a distribuição das áreas pelos três Estados. De acordo com essas informações, a área do Estado de Santa Catarina (SC) é de, aproximadamente, a) 82.100 2 km b) 95.800 2 km c) 115.000 2 km d) 143.700 2 km e) 191.600 2 km Solução: Uma regra de três simples resolve a questão... Área Graus 575000  360 x  60 95800 6 575000 ≅=x Resposta: letra b.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com96 12) Na eleição do Diretório de Estudantes do Colégio Pardal, na qual 8% dos eleitores votaram em branco e 12% anularam seus votos, o vencedor obteve 63% do total da apuração. Se os votos em branco e nulos não são considerados válidos, o percentual de votos válidos que o vencedor recebeu é de, aproximadamente a) 50% b) 56% c) 63% d) 71% e) 79% Solução: Supondo-se que o número total de votos tenha sido 100, tem-se que 8 foram em branco e 12 foram anulados, totalizando 20 votos não válidos. Dos 80 votos restante (válidos), o vencedor obteve 63, ou seja: %80 80 63 ≅ (um pouco menos que 80% dos votos válidos) Resposta: letra e. 13) Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criou uma senha com uma seqüência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, o número máximo de tentativas diferentes é igual a a) 90 b) 112 c) 168 d) 224 e) 280 Solução: Se a senha contém 4 algarismos (diferentes um do outro), então se sabe que ela não começa com zero. Há 4 possíveis conjuntos de números para ocuparem a primeira e o última posições nessa senha: 1 e 2, 2 e 4, 3 e 6 e, finalmente, 4 e 8. Para cada par de números fixados na primeira e última posições da senha, sobram outros 8 a serem arranjados nas posições intermediárias, ou seja, a solução é dada por: 2247844 2,8 =⋅⋅=⋅ A Resposta: letra d. 14) Considere a equação 4855 2 =−+ xx . O valor de 2 5 +x é a) 23 b) 25 c) 50 d) 75 e) 125 Solução: Reescrevendo-se a equação dada: 48552548555 2 =−⋅⇒=−⋅ xxxx . Colocando-se x 5 em evidência no primeiro membro... ( ) 25481255 =⇒=−⋅ xx . Desse modo, 2 5 +x = 50 Resposta: letra c. 15) Para preparar um suco são usados, para cada 24 litros de água, 4 litros de suco concentrado. As razões entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros de água,e entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros do suco pronto são, respectivamente, a) 4/24 e 20/24 b) 1/3 e 1/4 c) 1/6 e 3/4 d) 1/6 e 1/7 e) 5/5 e 1/6 Solução: • razão entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros de água: 24 4 • razão entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros do suco pronto: 28 4 Simplificando-se as razões acima, tem-se: 6 1 e 7 1 Resposta: letra d. 16) Ester comprou um livro pela Internet, e o valor pago, incluindo as despesas de envio, foi de R$ 63,28. Sabendo-se que a despesa do envio representa 12% do valor do livro, pode-se afirmar que o valor da despesas do envio foi a) maior que R$ 6,50 e menor que R$ 6,90. b) maior que R$ 6,20 e menor que R$ 6,50. c) maior que R$ 6,90 e menor que R$ 7,10. d) maior que R$ 7,10. e) menor que R$ 6,20. Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com97 Seja x o valor do livro. Podemos escrever a seguinte equação: 50,5628,6312,1 =⇒=⋅ xx . O valor da despesa de envio é 6,78. Resposta: letra a. 17) Se a área do círculo de centro em O e raio x é de aproximadamente 114 2 cm , a medida do ângulo AÔE é 120º e a área do retângulo ABCD é 48 2 cm , então a área da figura sombreada é de, aproximadamente, a) 50 2 cm b) 54 2 cm c) 62 2 cm d) 76 2 cm e) -88 2 cm Solução: A área do triângulo retângulo AOD representa 4 1 da área do retângulo ABCD, ou seja, 12 2 cm . Se a área do círculo de centro O e raio x é de, aproximadamente 114 2 cm , então, a área do setor circular com 120º é 3 1 de 114, ou seja, 38 2 cm . Somando-se a área do setor circular com a área do triângulo retângulo, tem-se a área da figura hachurada, que é de 50 2 cm . Resposta: letra a. 18) Renato comprou um lote de laranjas e num dia vendeu uma certa quantidade delas a R$ 0,30 o quilo, obtendo um lucro de R$ 9,00. Em outro dia, vendeu a mesma quantidade das laranjas desse lote a R$ 0,50 o quilo, obtendo um lucro de R$ 21,00. Considerando-se essas informações, qual o preço de cada quilo de laranjas do lote originalmente comprado por Renato? a) R$ 0,11 b) R$ 0,12 c) R$ 0,15 d) R$ 0,18 e) R$ 0,20 Solução: Na primeira operação, Renato vendeu x quilos de laranja a R$ 0,30 o quilo,lucrou R$ 9,00 e pagou, por esses mesmos x quilos a importância y . Pode-se, então, escrever a seguinte equação: 93,0 += yx Na segunda operação, Renato vendeu x quilos de laranja a R$ 0,50 o quilo,lucrou R$ 21,00 e pagou, por esses mesmos x quilos a importância y . Pode-se, então, escrever a seguinte equação: 215,0 += yx Resolvendo-se o sistema:    += += 93,0 215,0 yx yx por adição, tem-se: 60=x e 9=y . Então, cada quilo da laranja vale: 15,0 20 3 60 9 == Resposta: letra c. 19) Durante o mês de janeiro, dois postos de gasolina – Veredas e Avenida – venderam três tipos de combustível: álcool, diesel e gasolina, em milhares de litros conforme a seguinte tabela: Álcool Diesel Gasolina Veredas 53 12 176 Avenida 76 23 152 Analisando a tabela, pode-se afirmar que, no mês de janeiro, a quantidade
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com98 a) de álcool vendida nesses dois postos foi de 119 mil litros. b) de combustível vendida no posto Veredas foi de 241 mil litros. c) de álcool e diesel vendida no posto Avenida é inferior à vendida no posto Veredas. d) de álcool e gasolina vendida no posto Avenida é maior que a vendida no posto Veredas. e) de diesel vendida no posto Veredas excede em 11 mil litros aquela vendida no posto Avenida. Solução: Da tabela dada, tem-se: Álcool Diesel Gasolina TOTAIS Veredas 53 12 176 241 Avenida 76 23 152 251 TOTAIS 129 35 328 492 Resposta: letra b. 20) O lucro obtido com a venda de uma unidade de calças é ( )15−x u.m., em que x u.m. é o preço de venda e 15 u.m, o preço de custo. A quantidade vendida depende do preço de venda e é igual a ( )x−85 . Nessas condições, o lucro máximo obtido com a venda das calças é de a) 1000 u.m. b) 1025 u.m. c) 1125 u.m. d) 1200 u.m. e) 1225 u.m. Solução: Do enunciado do problema, pode-se escrever: ( ) ( )xxL −⋅−= 8515 , onde L é o lucro total; ( ) xxR ⋅−= 85 , onde R é a receita total; e ( )xC −⋅= 8515 , onde C é o custo total. O candidato não necessita, nesta questão, equacionar as funções receita e custo, uma vez que a função lucro já está definida e é ela que se quer maximizar... Para se obter o valor máximo de uma função do segundo grau, basta encontrar o seu vértice. O vértice da função ( ) ( )xxL −⋅−= 8515 é o ponto médio entre seus zeros. Os zeros da função lucro são facilmente determinados, uma vez que a função se apresenta em sua forma fatorada. São eles: 15 e 85. O ponto médio (abscissa do vértice) é 50. Substituindo-se o valor 50=x na função lucro, tem-se: ( ) ( ) 122550851550 =−⋅−=L Resposta: letra e.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com99 1) Uma farmácia de manipulação produz mensalmente 10 frascos do xarope A, 20 do xarope B e 35 do xarope C. Todos os frascos têm capacidade de 100 ml. Os três xaropes são fabricados utilizando-se, em sua composição, 40% de água destilada e as substâncias X, Y, Z e W. A tabela abaixo mostra as percentagens das quatro substâncias que são utilizadas na fabricação dos três xaropes. X Y Z W Xarope A 10% 20% 0% 30% Xarope B 15% 20% 5% 20% Xarope C 20% 20% 10% 10% Sabendo-se que essas quatro substâncias são utilizadas por essa farmácia apenas na fabricação desses três xaropes, as quantidades mínimas que se devem comprar mensalmente são a) 1.100 ml de X, 1.300 ml de Y, 450 ml de Z e 1.050 ml de W. b) 2.925 ml de X, 3.900 ml de Y, 975 ml de Z e 3.900 ml de W. c) 3.900 ml de X, 3.900 ml de Y, 975 ml de Z e 2.925 ml de W. d) 2.550 ml de X, 3.100 ml de Y, 1.005 ml de Z e 3.100 ml de W. e) 1.200 ml de X, 1.400 ml de Y, 550 ml de Z e 1.500 ml de W. Solução: Cálculo da quantidade do xarope X : ( ) 11001002,03515,0201,010 =××+×+× ml de X. O raciocínio para o cálculo das outras quantidades é o mesmo. entretanto, o candidato não necessita calcular as outras quantidades, uma vez que há apenas uma alternativa que aponta esse resultado... Resposta: letra a. 2) Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 12 empresas distintas para venda, dentre as quais encontram-se as empresas A, B e C. Ele deseja formar carteiras utilizando 8 dessas empresas de modo que as duas regras abaixo sejam satisfeitas. • A empresa A compõe a carteira se, e somente se, a empresa B também a compõe. • A empresa C compõe a carteira se, e somente se, a empresa A não a compõe Assim, o número de carteiras distintas que ele pode formar pode ser escrito como: a) 2419207,96,9 =+ AA b) 1298,106,9 =+ CC c) 1207,96,9 =+ CC d) 4233608,96,9 =+ AA e) 3695,98,12 =+ CC Solução: Seguindo-se as regras estabelecidas no enunciado, basta monitorar a presença das ações da empresa A no fundo, ou seja: a) Com as ações da empresa A no fundo (obviamente, a empresa B também estará presente). Aqui as ações da empresa C não estarão presentes. Desse modo, sobrarão seis vagas no fundo de ações para serem preenchidas por ações das nove empresas restantes, ou seja: 6,9C ; b) Sem as ações da empresa A no fundo (obviamente, a empresa B também estará excluída do fundo). Aqui as ações da empresa C podem ou não estar presentes. Desse modo, serão apenas 10 as empresas que poderão ter suas ações no fundo, ou seja: 8,10C . A solução final é dada pela soma dos cálculos efetuados acima: 1298,106,9 =+ CC Resposta: letra b. 3) Uma fábrica produz certo tipo de cadeira ao custo de R$ 30,00 cada. Se a fábrica vender ( )q4242 − cadeiras por mês, onde q é o preço em reais de cada cadeira, o valor de q para que a fábrica tenha lucro máximo é a) R$ 15,25 b) R$ 18,00 c) R$ 33,25 d) R$ 40,50 e) R$ 45,25 Solução: A função lucro é dada por: CRL −= , onde L é o lucro R é a receita e C é o custo.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com100 Com os dados do problema, pode-se escrever: ( )qqR 4242 −⋅= ( )qC 424230 −⋅= Então, a função lucro é dada por: ( ) ( )qqqL 4242304242 −⋅−⋅−= . Colocando-se o fator comum em evidência, tem-se: ( ) ( )304242 −⋅−= qqL . Uma função do segundo grau tem seu máximo no vértice. A abscissa do vértice de uma função do segundo grau é o ponto médio entre suas raízes. Como a função já está fatorada, os cálculos são facilitados: 30030 5,6004242 =⇒=− =⇒=− qq qq , cuja média é: 25,45 2 305,60 = + Resposta: letra e. 4) Os dados da tabela abaixo se referem às idades dos funcionários de uma empresa Classe Freqüência 18 | 22 1 22 | 26 2 26 | 30 5 30 | 34 10 34 | 38 22 38 | 42 20 42 | 46 10 46 | 50 5 75=∑i i f A idade média das pessoas que trabalham na empresa e a porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38 são, respectivamente, a) 35,4 e 40% b) 35,4 e 62,5% c) 37,3 e 45% d) 37,3 e 46,66% e) 42,3 e 46,66% Solução: Inicia-se o cálculo pela porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38, por ser um cálculo mais simples: %67,46 75 51020 ≅ ++ . Há duas alternativas possíveis: d ou e A partir daqui, antes de calcular a média (que envolveria um volume de cálculos bem maior), o candidato poderá pensar do seguinte modo: a média é uma medida de tendência central, isto é, tende a estar próxima do centro da distribuição. A classe mais provável para a localização da média é 34 | 38 Resposta: letra d. 5) Há 10 funcionários em uma empresa, todos com curso superior completo. Desses, 4 são formados em administração, 2 em economia, 3 em contabilidade e 1 em engenharia. Selecionando- se ao acaso 4 desses funcionários, a probabilidade de cada um ser de uma área diferente é de, aproximadamente, a) 1% b) 3% c) 6% d) 8% e) 11% Solução: Sejam: ( ) 10 4 =AP , a probabilidade de o funcionário ter curso de administração; ( ) 10 2 =EP , a probabilidade de o funcionário ter curso de economia;
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com101 ( ) 10 3 =CP , a probabilidade de o funcionário ter curso de contabilidade; e ( ) 10 1 =NP , a probabilidade de o funcionário ter curso de engenharia. Há duas considerações a serem feitas: 1) a ordem dos sorteios é aleatória; e 2) os sorteios são feitos sem reposição. A aleatoriedade dos sorteios é dada por 24!44 ==P (permutação de 4). A solução final é dada por: 11,0 7 1 8 2 9 3 10 4 24 ≅⋅⋅⋅⋅ , ou 11% Resposta: letra e. 6) Considere-se que 3 impressoras idênticas, trabalhando durante 10 horas por dia, levam 5 dias para fazer determinado trabalho. Numa situação de emergência, em que esse mesmo trabalho precisa ser realizado em apenas 4 dias, a jornada de trabalho diário dessas impressoras deve ter a duração de a) 8 h b) 10 h 30 min c) 12 h d) 12 h 30 min e) 14 h Solução: Uma regra de três simples inversa resolve o problema: dias h/dia 5  10 4 x 5,12 4 105 = × =x , ou 12h 30min. Resposta: letra d. 7) Uma indústria que produz materiais escolares da marca X fez uma pesquisa com 6000 alunos de escolas públicas para saber se estes utilizam seus produtos (caderno X , lápis X e caneta X ). Os dados obtidos nessa pesquisa são sumarizados na tabela abaixo, Produtos Número de alunos que utilizam Caderno X 600 Lápis X 2000 Caneta X 1500 Caderno e lápis X 500 Caderno e caneta X 300 Lápis e caneta X 700 Caderno, lápis e caneta X 200 A partir das informações acima, analise a veracidade das afirmações apresentadas a seguir. I. O conjunto dos alunos que utilizam apenas cadernos da marca X é vazio. II. O conjunto dos alunos que não utilizam produtos da marca X possui 3200 elementos. III. O conjunto dos alunos que utilizam apenas canetas e lápis da marca X possui 700 elementos. a) apenas I b) apenas III c) apenas I e II d) apenas I e III e) apenas II e III Solução: No diagrama abaixo, inicia-se a distribuição dos valores pela área hachurada em amarelo. A seguir preenchem-se as áreas em azul, e, após as áreas em verde. A diferença entre o total de elementos pesquisados (6000) e aqueles contidos nos diagramas K (cadernos), C (canetas) e L (lápis) é o número de elementos que está apenas no retângulo (3200).
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com102 Do diagrama acima, pode-se julgar as afirmações feitas na questão: I. VERDADEIRA! II. VERDADEIRA! III. FALSO! Resposta: letra c. 8) Marcelo comprou de um feirante tomates, abóboras e cebolas, cujos preços respectivos por quilograma eram de R$ 2,50, R$ 0,50 e R$ 0,80. O feirante tinha uma balança de equilíbrio e havia perdido os pesos menores, impossibilitando que se realizasse a pesagem individual. Assim, ele fez a pesagem, da seguinte forma: • Tomates, abóboras e cebolas pesaram, juntos, 10 kg; • Abóboras e cebolas pesaram, juntos, 7 kg; • Abóboras e tomates pesaram, juntos, 8 kg. Quanto Marcelo pagou ao feirante pelos tomates, abóboras e cebolas? a) R$ 9,00 b) R$ 9,60 c) R$ 9,90 d) R$ 10,30 e) R$ 11,60 Solução: Do enunciado, escrevem-se as seguintes equações: 8 7 10 =+ =+ =++ TA CA CAT Da primeira e da segunda equações, calcula-se que 3=T . Substituindo-se esse resultado na terceira equação, vem: 5=A . Da equação 2 tem-se que 2=C . O valor total pago pelos três produtos é dado por CAT ⋅+⋅+⋅ 8,05,05,2 , que resulta num total de R$ 11,60. Resposta: letra e. 9) O valor aplicado em um fundo de renda fixa é alterado a cada mês com acréscimo de 5% em relação ao mês anterior. Se não são feitos resgates, a seqüência dos valores mensais aplicados nesse fundo é uma progressão a) geométrica de razão 0,5 b) geométrica de razão 0,005 c) geométrica de razão 1,05 d) aritmética de razão 5 e) aritmética de razão 0,05 Solução: A cada mês, a partir do primeiro, o valor aplicado é multiplicado por 1,05 (fator multiplicativo para uma taxa de 5%). Então, a seqüência dos valores mensais aplicados nesse fundo é uma progressão geométrica de razão 1,05. Resposta: letra c. 10) Sabendo-se que as ruas 1 e 2 abaixo são paralelas, qual a menor distância entre elas?
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com103 a) 2150 m b) 300 m c) 3100 m d) 150 m e) 100 m Solução: O triângulo abaixo é retângulo e isósceles. onde x é a distância entre as duas ruas. Pode-se encontrar o valor de x de duas formas: 1) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo: 222 300 xx += ⇒ 22 3002 =x ⇒ 2 300 2 3002 =⇒= xx . Racionalizando... 2150 2 2300 =⇒= xx 2) Aplicando-se uma das relações métricas no triângulo retângulo: um cateto qualquer é dado pelo produto da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto a este, ou pelo co-seno do ângulo adjacente: ( )º45cos.300=x ⇒ 2150 2 2 300 =⇒⋅= xx Resposta: letra a. 11) As fábricas Alfa e Beta produzem videocassetes. Os lucros dessas empresas são dados, respectivamente, por ( ) 2 20010000012000 xxxL −−=α e ( ) 200001000 += xxLβ , onde x representa a quantidade vendida mensalmente e 600 ≤≤ x . O lucro de Alfa supera o de Beta quando a quantidade vendida no mês a) é superior a 15. b) é inferior a 40. c) é superior a 10 e inferior a 50. d) é superior a 15 e inferior a 40. e) é inferior a 10 e superior a 50. Solução: A interseção entre as duas funções fornece o intervalo em que uma das funções tem lucro superior à outra: 20000100020010000012000 2 +=−− xxx ⇒ 012000011000200 2 =+− xx dividindo-se por 200, vem: 0600552 =+− xx , cujas raízes são 15 e 40 (o leitor pode pegar “dicas” das possíveis raízes pelas alternativas da questão). Resposta: letra d. 12) Pedro fez uma aplicação de R$ 10000,00 em um determinado banco e obteve, após 2 anos, segundo o banco, R$ 4400,00 de juros. Se a inflação foi de 10% a.a., a taxa anual de juros real ganha foi de, aproximadamente, a) 20% b) 15% c) 12% d) 10% e) 9% Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com104 Capital aplicado: 10000=C . Prazo da aplicação: 2=n anos. Juros: 4400=J A soma do capital com os juros fornece o montante (M): JCM += ⇒ 14400440010000 =+=M Usando a fórmula do montante para juros compostos: ( )n iCM +⋅= 1 , calcula-se a taxa anual da aplicação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %20 2,11 44,11 44,11 1 10000 14400 11000014400 2 2 2 = =+ =+ =+ += +⋅= i i i i i i A taxa da aplicação é de 20% ao ano. Se a taxa da inflação anual é de 10%, deveremos deflacionar a taxa de aplicação pela seguinte fórmula: i ap r i i i + + =+ 1 1 1 , onde r i é a taxa real, api é a taxa aparente e ii é a taxa de inflação. Substituindo-se os dados, vem: %1,90909,00909,11 1,01 2,01 1 ≅⇒=⇒=+⇒ + + =+ rrrr iiii Resposta: letra e. 13) O esboço da planta de uma casa, apresentada abaixo, tem escala 1:100, ou seja, cada medida de 1 cm representa uma medida real de 100 cm. Sabendo-se que a área real da casa é 150 2 m , qual é a área real da sala? a) 80 2 m b) 72 2 m c) 52 2 m d) 48 2 m e) 5 2 m Solução:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com105 As dimensões que faltam para os cálculos estão representadas na figura acima. Sua área é 522268 =×+× 2 m Resposta: letra c. 14) Os elementos ijd de uma matriz nnD × representam as distâncias (em quilômetros) entre as cidades i e j , e os elementos ijc de uma matriz nnC × representam o custo por quilômetro do transporte da cidade i para a cidade j (sendo que o custo de transporte da cidade i para a cidade j é diferente do custo de transporte da cidade j para a cidade i ). Se CDA ⋅= , 11 a representa a) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 1. b) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 2. c) o custo de transporte da cidade 1 para a cidade 2. d) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ..., n e a cidade 1. e) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ..., n e a cidade 2. Solução: O produto matricial que representa a matriz CDA ⋅= é realizado da seguinte forma: Multiplicam-se as linhas da matriz D pelas colunas da matriz C . Desse modo, o elemento 11 a da matriz A representa o seguinte resultado: 1121132112111111 ... nn cdcdcdcda ⋅++⋅+⋅+⋅= , que equivale à soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 1 Resposta: letra a. 15) Ontem, Paulo comprou, numa loja de conveniência, 2 litros de leite, 5 pães e 3 doces por R$ 5,00. hoje, ele comprou, na mesma loja, os mesmos produtos, porém, em quantidades diferentes: 1 litro de leite, 3 pães e 2 doces por R$ 3,10. Se, amanhã, ele comprar 1 litro de leite, 2 pães e 1 doce, quanto pagará, supondo-se que não houve alteração de preços nesses três dias? a) R$ 1,00 b) R$ 1,50 c) R$ 1,90 d) R$ 2,10 e) R$ 2,70 Solução: Sejam as variáveis: :t número de litros de leite; :p quantidade de pães; e :d quantidade de doces. Podem-se escrever as seguintes equações: 1,323 0,5352 =++ =++ dpt dpt O problema pede o valor pago por: dpt ++ 2 . Observe o leitor que basta subtrair as equações dadas, membro a membro, para se obter: 9,12 =++ dpt
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com106 Resposta: letra c. 16) O perímetro do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário é a)       6 12 π sen b)       6 6 π sen c)       6 cos12 π d)       6 cos6 π e)       6 6 π tg Solução: O lado do hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r é igual ao raio. Na questão, o raio é igual a 1, logo, o lado do hexágono também é igual a 1. Desse modo, o perímetro do hexágono é igual a 6. Sabendo-se que 2 1 6 =     π sen , a resposta está na alternativa a Resposta: letra a. 17) Se yx aa loglog = , com a > 1 e 0, >yx , então yx = . Qual das alternativas abaixo avalia e justifica corretamente essa afirmação? a) Falsa, pois a função logaritmo não é injetora. b) Falsa, pois a função logaritmo não é contínua. c) Verdadeira, pois a função logaritmo é contínua. d) Verdadeira, pois a função logaritmo (com base maior que 1) é constante. e) Verdadeira, pois a função logaritmo (com base maior que 1) é estritamente crescente. Solução: A proposição traz uma igualdade de duas funções logarítmicas, com base maior do que 1 (a > 1) e argumentos maiores que zero ( 0, >yx ). Nestas condições, yx = . A função logarítmica cuja base é maior do que 1 é estritamente crescente. Resposta: letra e. 18) Analise as seguintes afirmações: I. É mais provável obter o número 4 ou 5 no lançamento de um dado do que obter dois números iguais no lançamento simultâneo de dois dados. II. Se certo produto é vendido por R$ 100,00 pela loja A e por R$ 130,00 pela loja B, pode-se dizer que, na loja B, o preço desse produto está 30% acima do praticado pela loja A, e que, nesta, o preço é 30% menor do que o praticado pela loja B. III. Obter 9 acertos em 15 tentativas é um desempenho inferior a obter 10 acertos em 16 tentativas, porém superior a obter 8 acertos em 14 tentativas. Está(ao) CORRETA(S) a) apenas I. b) apenas II c) apenas I e II d) apenas I e III e) apenas II e III Solução: I. A probabilidade de se obter 4 ou 5 no lançamento de um dado é: 6 2 , isto é, há 2 casos favoráveis em 6 possíveis. Lembre-se de que aqui os eventos são mutuamente exclusivos! A probabilidade de se obter dois números iguais no lançamento simultâneo de dois dados é: 6 1 36 6 = , isto é, há seis pares de números iguais e 36 pares no total. Comparando-se os dois
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com107 resultados, tem-se: 6 2 contra 6 1 ,o que indica ser mais provável se obter 4 ou 5 no lançamento de um dado do que se obter dois números iguais. O item é VERDADEIRO! II. de 100 para 130, tem-se 30% de variação. Porém, de 130 para 100, a variação é de, aproximadamente, 23%. Usa-se, aqui, a fórmula da variação percentual: 100% ×      − =∆ I IF V VV , onde: ∆% é a “variação percentual”; VF é o “valor final”; VI é o “valor inicial”. O item é FALSO! III. Obter 9 acertos em 15 tentativas é: 15 9 ; obter 10 acertos em 16 tentativas é: 16 10 ; obter 8 acertos em 14 tentativas é 14 8 . A questão afirma o seguinte: 16 10 15 9 14 8 << . Aqui é preciso comparar as frações, o que só é possível se as frações tiverem o mesmo denominador. Primeiramente, uma simplificação ajuda nos cálculos: 7 4 14 8 = , 5 3 15 9 = e 8 5 16 10 = . O MMC entre 5, 7 e 8 é 280. As frações dadas são equivalentes a: 280 160 7 4 = , 280 168 5 3 = e 280 175 8 5 = . Verifica-se, portanto, que 16 10 15 9 14 8 << . O item é VERDADEIRO! Resposta: letra d. 19) A média de idade de 20 funcionários de uma empresa é 30. Sabendo-se que, nessa empresa, não há funcionários com menos de 18 anos de idade nem com mais de 75, pode-se afirmar que a) necessariamente, dez desses funcionários têm mais de 20 anos. b) quatro desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 35, dez podem ter 30 e os demais podem ter 40 anos. c) dois desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 25, dez podem ter 35, e os demais podem ter 40 anos. d) obrigatoriamente, cada funcionário tem mais de 25 anos. e) dez desses funcionários podem ter 45 anos. Solução: Entre as alternativas, a que apresenta uma afirmação mais completa é a da letra “b”. Com efeito: 30 20 4023010354204 = ×+×+×+× . E mais: observe o leitor que a média é uma medida de tendência central e deve estar acomodada entre valores inferiores e superiores a ela. Resposta: letra b. 20) Manoel fez um financiamento de R$ 20.000,00 no banco Bradex, pelo prazo de 6 meses, e recebeu o valor líquido de R$ 18.000,00. Se a taxa de juros que o banco cobra é de 15% a.a., há também taxa administrativa? a) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 1,0%. b) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 1,5%. c) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 2,0%. d) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 2,5%. e) Não o banco não cobra taxa administrativa. Solução: 7,5% de R$ 20.000,00 são R$ 1.500,00. Observe o leitor que Manoel teve um desconto de R$ 2.000,00 na transação, isto é, R$ 500,00 reais a mais do que os juros. Ora, R$ 500,00 equivalem a 2,5% do valor do empréstimo, logo esta é a taxa administrativa cobrada pelo banco. Resposta: letra d.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com108
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com109 1) Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento até 1500 u. m. (unidades monetárias) são isentos; aos que possuem renda entre 1500 u. m. e 6000 u. m., cobra-se um imposto de 10%; acima de 6000 u. m., o imposto é de 20%. Qual dos seguintes gráficos melhor representa a situação acima descrita? a) b) c) d) e) Solução: Observe o leitor que até 1500 u. m. não há imposto cobrado, isto é, o imposto é zero. No intervalo entre 1500 e 6000 u. m., a alíquota é de 10%. A partir de 6000 u. m., a alíquota “pula” para 20%. O gráfico que melhor ilustra essa situação é o da alternativa “a”. Resposta: letra a. 2) Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço de papelão cujas dimensões são 12 por 20 centímetros. Devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figural o volume da caixa, em função do valor de x , é
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com110 a) ( )( )xxx −− 12102 b) ( )( )xxx −− 6102 c) ( )( )xxx −− 6104 d) ( )( )xxx −− 12220 e) ( )( )xxx 21220 −− Solução: O volume de uma caixa é dado pelo produto da área de sua base pela sua altura.. A figura acima mostra as dimensões da base da caixa, cuja altura é igual a x .Assim sendo, o volume da caixa é: ( ) ( )xxxV 212220 −⋅−⋅= . Colocando-se o fator “2” em evidência em cada um dos parênteses da fórmula ao lado, vem: ( ) ( )xxxV −⋅−⋅= 6104 Resposta: letra c. 3) Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a cidade E , parando nas cidades B , C e D , onde podem descer ou embarcar passageiros. Em cada bilhete de passagem, apresentam-se impressos os nomes das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas cidades quaisquer? a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 Solução: O sentido do percurso é único: de A para E. não se menciona no enunciado da questão que o bilhete é emitido na forma ida-e-volta. Portanto, tem-se uma combinação de 5 pontos tomados dois a dois, isto é: 102,5 =C Resposta: letra b. 4) Paulo está em casa e precisa chegar em sua empresa às dez horas. Ele sabe que, se dirigir a uma velocidade média de 80 km/h, levará duas horas e meia para chegar até lá. Sabendo que agora são oito horas, a velocidade média a que Paulo deverá guiar seu carro para chegar em sua empresa na hora desejada é a) 70 km/h b) 85 km/h c) 90 km/h d) 95 km/h e) 100 km/h Solução: Em duas horas e meia, dirigindo a 80 km/h, percorre-se a distância de: 2005,280 =× km. Esta é a distância da casa do Paulo até seu local de trabalho. Como Paulo tem apenas 2 horas para percorrer 200 km, deverá dirigir à velocidade média de 100 km/h para chegar a tempo até sua empresa. O leitor poderá comprovar esses cálculos por meio de regras de três simples inversas. Resposta: letra e. 5) Um pai repartiu seu capital em partes iguais entre seus três filhos. Hoje, a parte do primeiro está aumentada de 2/3 em relação ao que recebeu, a do segundo, diminuída de 3/5, e a do último está igual. Sabendo-se que o primeiro tem 190.000 u.m. a mais que o segundo, as fortunas atuais do primeiro, do segundo e do terceiro filho são, respectivamente, a) 500.000 u.m., 310.000 u.m. e 300.000 u.m. b) 310.000 u.m., 120.000 u.m. e 300.000 u.m. c) 290.000 u.m., 100.000 u.m. e 150.000 u.m. d) 250.000 u.m., 60.000 u.m. e 150.000 u.m. e) 250.000 u.m., 100.000 u.m. e 120.000 u.m. Solução: Cada filho recebeu, inicialmente, x unidades monetárias. Hoje, cada filho tem, respectivamente:
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com111 xx 3 2 + , xx 5 3 − e x . Se o primeiro tem hoje 190.000 a mais do que o segundo, então: 150000 190000 15 19 190000 5 2 3 5 5 2 190000 3 5 5 3 190000 3 2 = = =− += −+=+ x x xx xx xxxx Isto significa que o terceiro filho tem hoje 150.000, o primeiro tem 3 5 desta quantia, isto é: 250.000 e o segundo tem 5 2 dessa quantia, isto é: 60.000. Resposta: letra d. 6) A fazenda Gaves cria gado e frango. Se, em dado momento, há, no total, 135 cabeças e 352 pernas de animais em criação, o número de frangos é a) 41 b) 46 c) 54 d) 94 e) 108 Solução: Monta-se um sistema de duas equações com duas incógnitas:    =+ =+ 35224 135 fg fg . Pare se resolver o sistema pelo método da adição, basta multiplicar-se a primeira equação por -2, adicionando-se as duas a seguir: 41 822 35224 27022 = =    =+ −=−− g g fg fg Então, 94=f Resposta: letra d. 7) Num restaurante, podem ser atendidas 204 pessoas simultaneamente. Para que se sentem no máximo seis pessoas em cada mesa, o número de mesas devem ser, pelo menos, a) 25 b) 27 c) 34 d) 36 e) 40 Solução: 346204 =÷ Resposta: letra c. 8) A inequação ( )( ) 021 ≥−− xx é satisfeita se a) 1≤x ou 2≥x b) 21 ≤≤ x c) 2≤x d) 2≥x e) 1≥x Solução: Inequação-produto se resolve, inicialmente, encontrando-se suas raízes. Neste caso, as raízes são 1 e 2. A regra indica que se deve colocar entre as raízes, o sinal contrário ao coeficiente do termo de maior grau, e, fora das raízes, o mesmo sinal do coeficiente de maior grau. Como o coeficiente do termo de maior grau na inequação acima é negativo, segue-se que a inequação em tela é maior ou igual a zero para um valor de x entre as suas raízes, ou seja: 21 ≤≤ x Resposta: letra b.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com112 9) Numa festa, havia 50 pessoas que dançavam. A primeira mulher dançou com 3 homens; a segunda, com 4; a terceira, com 5 e assim sucessivamente, até que a última mulher dançou com todos os homens. Assim, dançaram no baile a) 23 homens e 27 mulheres b) 25 homens e 25 mulheres c) 26 homens e 24 mulheres d) 28 homens e 22 mulheres e) 30 homens e 20 mulheres Solução: A primeira mulher dançou com 2 + 1 homens; A segunda mulher dançou com 2 + 2 homens; A terceira mulher dançou com 2 + 3 homens; e assim, sucessivamente, até que a última mulher dançou com n+2 homens, onde n indica o número de mulheres. O raciocínio acima já sugere que o número de mulheres é duas unidades inferior ao número de homens. Dentre as alternativas, apenas a da letra “c” aponta uma resposta na qual o número de mulheres é duas unidades inferior ao número de homens. Portanto, esta é a solução procurada. Continuando a solução iniciada acima, pode-se escrever a seguinte equação: 24 502 = =++ n nn . Há, portanto, 24 mulheres e 26 homens na festa. Resposta: letra c. 10) Considerando a dízima ...1666666,0=x qual a fração que a gerou? a) 90 16 b) 90 15 c) 100 16 d) 100 15 e) Não existe uma fração que gere a dízima Solução: Observe que o número x é uma dízima periódica. Toda dízima periódica tem uma fração geratriz, logo, a alternativa “e” já pode ser descartada. Observe, também,que as alternativas “c” e “d” mostram números decimais e também devem ser descartadas. O candidato teria, então, 50% de chance de acertar esta questão “no chute”, pois teria que escolher uma das alternativas “a” ou “b”. O número x pode ser escrito da seguinte forma: 90 15 90 6 10 1 ...0666,01,0 = += += x x x Resposta: letra b. 11) Joaquim deve remeter R$ 5.600,00 a seu filho Manoel, que está em Paris. Nesse dia, o câmbio entre o Brasil e Nova Iorque estava a R$ 2,90, entre o Brasil e Paris estava a R$ 3,70 e entre Paris e Nova Iorque estava a 0,80 euros. Assim, pode-se afirmar que a) se Joaquim realizar uma remessa direta, Manoel receberá aproximadamente 1.513,00 euros. b) se Joaquim realizar uma remessa indireta, Manoel receberá aproximadamente 1.394,00 euros. c) se Joaquim realizar uma remessa direta, Manoel receberá aproximadamente 20.888,00 euros d) se Joaquim realizar uma remessa indireta, Manoel receberá aproximadamente 2.560,00 euros e) o valor, em euros, que Manoel receberá independe da forma como Joaquim fizer a remessa. Solução: A questão informou o câmbio entre o Brasil e Paris, que está cotado a R$ 3,70, logo, Joaquim poderá efetuar o cálculo direto, da seguinte forma: 1513 7,3 5600 ≅
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com113 Resposta: letra a. 12) O Sr. Gumercindo deve ao Banco Z 3.000 u.m. com vencimento em 2 anos e 4.500 u.m. com vencimento em 4 anos. Ele pretende saldar suas dívidas por meio de um único pagamento a ser realizado no final de 3 anos. Se a taxa de juros compostos for de 10% a.a., o valor que mais se aproxima desse pagamento único será de a) 7.900 u.m. b) 7.700 u.m. c) 7.600 u.m. d) 7.500 u.m. e) 7.400 u.m. Solução: O fluxo de caixa da operação é: Para avançar na linha do tempo, multiplica-se o valor por ( )n i+1 ; Para recuar na linha do tempo, divide-se o valor por ( )n i+1 . Desse modo, o novo valor da dívida do Sr. Gumercindo será dado por: 7400 1,1 4500 1,13000 ≅+⋅ Resposta: letra e. 13) No gráfico abaixo, têm-se a oferta de fundos de investimentos e a procura de fundos de investimentos, para as quais 0i é a taxa pura de juros e 0M é o montante de capital. Sobre esse gráfico, é correto afirmar que a) 0M corresponde ao retorno máximo esperado de um investimento. b) 0M corresponde ao retorno mínimo esperado de um investimento. c) a taxa 0i é uma taxa de juros pura porque inclui o fator de risco, o qual está associado às operações de mercado. d) admitindo-se a hipótese de mercado perfeito, qualquer valor pode ser obtido ou aplicado a uma taxa maior que 0i . e) a taxa 0i corresponde à situação de equilíbrio, segundo a qual o montante de capital procurado é 0M . Solução: O ponto mais importante em um gráfico de oferta e demanda (procura) é o ponto de equilíbrio. A única alternativa que menciona a situação de equilíbrio é a da letra “e”; Resposta: letra e.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com114 14) Considere-se a seguinte seqüência de valores, à qual falta apenas um número: 5, 7, 10, 12, 15, 20, 27. Sabendo-se que a média aritmética do conjunto é 13, qual é o número que está faltando? a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 Solução: 8 13 8 272015121075 = = +++++++ x x Resposta: letra a. 15) A empresa Rinox produz recipientes cilíndricos com 1 m de raio externo e 3 m de altura, os quais são vendidos sem pintura. Um cliente fez um pedido de 100 recipientes, cujas laterais externas deveriam ser pintadas de amarelo. Diante disso, a fábrica teve de contratar uma empresa de pinturas. Sabe-se que essa empresa cobra 10 u.m. por metro quadrado de pintura, incluindo a tinta. Qual, dentre os valores apresentados a seguir, melhor aproxima o custo para a Rinox da pintura desses recipientes? a) 3.000 u.m. b) 6.000 u.m. c) 9.000 u.m. d) 18.000 u.m. e) 30.000 u.m. Solução: A área lateral de um cilindro é dada pelo produto do perímetro de sua base pela altura do cilindro, isto é: rhAL π2= . A área lateral de todos os 100 cilindros é: 18843114,32100 =×××× 2 m . O custo por metro quadrado é 10 u.m., logo, o valor total a ser pago pela empresa Rinox é de, aproximadamente, 18840. O valor, entre as alternativas, que mais se aproxima deste é o da alternativa “d” Resposta: letra d. 16) A empresa Vax fabrica um determinado produto. Se o lucro da produção de x unidades é dado por ( ) ( )( )6736 −−−= xxxL , quantas unidades a fábrica deveria produzir para obter o lucro máximo? a) 213 b) 85 c) 35 d) 32 e) 18 Solução: Observe que a função lucro é quadrática e sua concavidade está voltada para baixo. O máximo valor atingido por uma função quadrática está localizado no seu vértice. O vértice de uma parábola é facilmente encontrado calculando-se o ponto médio de suas raízes. Como a função lucro foi dada em sua forma fatorada, as raízes podem ser encontradas rapidamente e são -3 e 67. o ponto médio entre -3 e 67 é 32. Resposta: letra d. 17) Sabendo-se que a seqüência de números 2, 7, 8, 10, 10, 15, 20 não está completa e tem como única moda o número 8, conclui-se que essa seqüência a) necessita de, pelo menos, mais um número 8. b) necessita de, pelo menos, mais dois números 8. c) necessita de, pelo menos, mais três números 8. d) necessita de, pelo menos, mais quatro números 8. e) necessita de, pelo menos, mais cinco números 8. Solução: A moda é medida estatística de tendência central que ocorre com maior freqüência. A fim de que o 8 na seqüência acima supere o valor 10 (que ocorre duas vezes), é necessário que haja pelo menos mais dois 8 na seqüência. Resposta: letra b. 18) Numa escola de 800 estudantes, 60% são descendentes de alemães; dentre estes, 70% falam alemão. Todos os estudantes dessa escola que não falam alemão estão inscritos no curso de inglês. Nessa escola, exatamente 100 estudantes descendentes de alemães não estão inscritos no curso de
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com115 inglês. Quantos estudantes descendentes de alemães e que também falam alemão estão inscritos no curso de inglês? a) 480 b) 320 c) 236 d) 70 e) 60 Solução: 800 estudantes, 60% são descendentes de alemães; dentre estes, 70% falam alemão. Todos os estudantes dessa escola que não falam alemão estão inscritos no curso de inglês. Nessa escola, exatamente 100 estudantes descendentes de alemães não estão inscritos no curso de inglês. Quantos estudantes descendentes de alemães e que também falam alemão estão inscritos no curso de inglês? 60% de 70% de 800 falam alemão nessa escola, ou seja, 3368007,06,0 =×× falam alemão. Sabe- se que todos os estudantes que não falam alemão estão inscritos no curso de inglês. Se 100 estudantes descendentes de alemães não estão inscritos no curso de inglês, então restam 236100336 =− que falam alemão e também estão inscritos no curso de inglês. Resposta: letra c. 19) Considerando-se que uma tonelada ( )t de areia custa 15 u.m. e que uma tonelada de brita custa 150 u.m., qual dos gráficos abaixo melhor representa as quantidades de areia e de brita que podem ser compradas com 900 u.m.? a) b) c) d) e) Solução: Com 900 u. m. podem-se comprar 60 15 900 = toneladas de areia e nenhuma de brita ou 6 150 900 = toneladas de brita e nenhuma de areia. A relação entre as quantidades de areia e brita que se podem
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com116 comprar com 900 u. m. é linear, logo, o gráfico que melhor representa essa situação é o da letra “a”. Resposta: letra a. 20) Sendo { }31 ≤<−ℜ∈= xxA , { }52 ≤<ℜ∈= xxB e { }1−≤ℜ∈= xxC , podemos afirmar que a) CBA =− b) { }51 ≤≤−ℜ∈=∪∪ xxCBA c) ( ) { }1−=−∪ CBA d) ( ) BBCA =−∩ e) =∩∩ CBA ∅ Solução: Os intervalos podem ser representados na reta numérica, conforme a figura a seguir: Observe que a interseção das três retas é um conjunto vazio. Resposta: letra e.
  • Prof. Milton Araújo cursoanpad@gmail.com117 Prof. Milton Araújo: Matemático, Engenheiro Eletricista e Mestre em Sistemas pela UFRGS. Atualmente é professor de Matemática Financeira na Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS e de Matemática II (Cálculo Diferencial e Integral) na Fundação Getúlio Vargas - FGV-RS (Decision). Coordenador e professor de Raciocínio Lógico e Quantitativo no Instituto Integral (preparatório para o Teste ANPAD), desde 2002. Atuou, por mais de 15 anos, em cursos preparatórios para concursos públicos. É membro da comissão de elaboração de questões de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para concursos públicos na Fundação de Apoio da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (FAURGS). Pesquisador acadêmico (UFRGS) na linha de pesquisa operacional, com modelos matemáticos e computacionais baseados em redes neurais artificiais, algoritmos genéticos e lógica difusa para previsão de demanda de energia elétrica e preços de petróleo. CV Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693 Visite: http://www.institutointegral.com DIREITOS RESERVADOS - Este material está averbado no Escritório de Direito Autoral (Fundação Biblioteca Nacional). Proíbe-se a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, sem a prévia autorização do autor, dada unicamente por escrito. A violação dos direitos autorais (Lei n.º 9.610/98) sujeitará o “contrafator” a ação judicial indenizatória e a processo criminal com penas previstas no art. 184 do Código Penal