Resumen de los numeros naturales  unidad2 lorna
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    Resumen de los numeros naturales  unidad2 lorna Resumen de los numeros naturales unidad2 lorna Presentation Transcript

    • N MEROSÚN MEROSÚNATURALNATURALESES Prof:lorna Benavente K.
    • Los números naturales son los números que usamos para contar;uno, dos, tres, cuatro, etc.Les damos un nombre, "NÚMEROS NATURALES" para distinguirlos deotros números, como:Los números fraccionarios (1/2)Los números con coma decimal (3,7)Los números negativos (-5).El conjunto de todos ellos se designa por ℕℕ = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}El cero no se incluye en el conjunto de los números naturales.
    • conjunto de los números naturales y el ceroEscritura y nominaciónde los naturalesPropiedades de losnaturalesOrden en los naturalesSuma o adición enℕSustracción en ℕMultiplicación en ℕDivisión en ℕNúmeros pares e imparesFactores, divisores ymúltiplosNúmeros primos ycompuestosDivisibilidadFactorizaciónMínimo común múltiploMáximo común divisorPotencias
    • EscriturEscritura ya ynominacinominacinónó
    • ESCRITURA Y NOMINACIÓNLos números dígitos, contemplan losnúmeros naturales básicos, para formarcualquier número superior.Estos números se pueden combinar entre síy colocarse en diferentes posiciones pararepresentar cualquier número.Números dígitos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }¿Cómo se leen los números naturales?Se leen de izquierda a derecha, según la separación de los puntos de miles y de millones....UnidaddemillónCentenade milDecenade milUnidadde milCentena Decena Unidad... UMi CM DM UM C D UMillónMil MilMilBillónTrillón
    • Orden en los naturalesEl orden que tienen los números naturales, nospermite establecer las relaciones... ““SUCESOR” y “ANTECESOR”SUCESOR” y “ANTECESOR”Todos los números naturales los podemosrepresentar en una recta numérica...El SUCESOR de un número es aquél que está ubicado inmediatamente a laderecha en la recta numérica y se representa:El ANTECESOR de un número es aquél que está ubicado inmediatamente asu izquierda en la recta numérica y se representa:CRITERIOS DE ORDENCRITERIOS DE ORDEN ☛> “MAYOR QUE”< “MENOR QUE”= “IGUAL QUE”•Orden de mayor amenor•Series numéricasn + 1n + 1n – 1n – 1
    • Propiedades en los naturalesEl conjunto de los números naturales posee las siguientes propiedades:Propiedad 1Propiedad 1   Todo número natural tiene un sucesor.Esto significa “el número + 1”Propiedad 2Propiedad 2   Todo número natural, excepto el cero, tiene un antecesor.Esto significa “el número – 1”Propiedad 3Propiedad 3   El conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos.Esto significa que, el conjunto de los naturales es infinito.Propiedad 4Propiedad 4   El conjunto de los números naturales es discreto.Es decir que, entre dos números naturales existe un número finito denaturales.
    • PropiedadesPropiedadesde losde losn merosún merosúNATURALESNATURALES
    • Números pares y números imparesNúmeros pares y números imparesNúmeros paresSon todos aquellos que son múltiplosde 2 o que son divisibles por 2.El conjunto de los números pares sepuede representar por:P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 2n...}P = { x /∊ ℕ x = 2 • n, n ∊ ℕ }Números imparesSon todos aquellos que están formados porla adición de un número par y el uno y seanota: 2n - 1El conjunto de los números impares sepuede representar por:I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 2n+1...}P = { x /∊ ℕ x = 2n-1, n ∊ ℕ }n = 1 2 • 1 = 2n = 2 2 • 2 = 4n = 3 2 • 3 = 6n = 1 (2 • 1 ) - 1 = 1n = 2 (2 • 2 ) - 1 = 3n = 3 (2 • 3 ) - 1 = 5
    • Números primos y números compuestosNúmeros primos y números compuestosNúmeros primosSe dice que un número natural es primo, sitiene exactamente dos factores distintos queson el 1 y el mismo número.El conjunto de los números primos esinfinito.Números compuestosSe dice que un número natural distinto de 1 escompuesto, cuando posee más divisores queél mismo y el uno.El conjunto de los números compuestos,también es infinito.5 = {1 x 5}  5 = {1, 5 }{5 x 1}6 = {1 x 6}  6 = {1, 2, 3, 5 }{2 x 3}7 = {1 x 7}  7 = {1, 7}{7 x 1}El 1 no es número primo ni compuesto, porque 1 • 1 = 1,pero 1 y 1 no son factores distintos, además, solo tiene 1 factor que es 1.6 = {1 x 6}  6 = {1, 2, 3, 6 }{2 x 3}7 = {1 x 7}  7 = {1, 7}{7 x 1}12 = {1 x 12}  12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }{2 x 6}{3 x 4}
    • Erastóstenes Criba de Erastóstenes Es una tabla denominada también "Tablade los números absolutos" y nos permiteobtener los primeros números primos.Erastóstenes estableció un método paraobtener los números primos, hasta un ciertolímite. La regla es la siguiente.
    •  La criba de Erastóstenes. Instrucciones: Escucha atentamente lasinstrucciones de la profesora y marca conX los múltiplos indicado por ella.
    • 1. Se tacha los números pares hasta un límite prefijado,excepto el mismo 22. Se tacha los números múltiplos de 3, excepto el mismo 3.3. Se tacha los números múltiplos de 5, excepto el mismo 5.4. Se tacha los números múltiplos de 7, excepto el mismo 7.5. Se tacha los números múltiplos de 11, excepto el mismo 116. Se tacha los números múltiplos de 13, excepto el mismo 13.7. Se tacha los números múltiplos de 17, excepto el mismo 17.8. Se tacha los números múltiplos de 19, excepto el mismo 199. Se sigue así indefinidamente .
    •  Ahora pasamos en limpio los númerosque quedaron sin tachar.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,97, ... Ejercicio: ¿De los siguientes númeroscuáles son números primos?1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 15: 20: 53
    •  A pesar de que no hay una fórmula quepermita hallar todos los números primos,existen algunas fórmulas sencillas con lasque se obtienen varios primosconsecutivos. Así por ejemplo:a) n2+ n + 17 genera primos desde n = 1 a n = 16.b) 2n2+ 29 genera primos desde n = 1 a n = 28.c) n2– n + 41 genera primos desde n = 1 a n = 40.Comprueba las afirmaciones anteriores
    • Factores, divisores y múltiplosFactores, divisores y múltiplosFactores Los factores de unnúmero, son aquellosnúmeros que semultiplican por otro enuna multiplicación.DivisoresLos divisores de unnúmero, son aquellosnúmeros que lo dividenen forma exacta a dichonúmero.MúltiplosLos múltiplos de unnúmero, son aquellosnúmeros que resultande la multiplicación dedicho número por otronúmero natural.M18 = { 18 , 36 , 54 , 72 , ...}18•1 18•2 18•3 18•4F18 = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 }F18  { (1 • 18 ) ; ( 2 • 9 ) ; (3 • 6 ) }D18 = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 }18 : 1 = 18 18 : 6 = 318 : 2 = 9 18 : 9 = 218 : 3 = 6 18 : 18 = 1
    • FactoresEjemplos:a) El conjunto de todos los factores de 12 es:F(12) = {1,2,3,4,6,12}b) El conjunto de todos los factores de 15 es:F(15) = {1,3,5,15}
    • DivisoresEjemplos:a) 5 si es divisor de 15 ; 5 si está contenidoen 15 tres veces.b) 7 no es divisor de 20 ; 7 no está contenidoen 20 un número entero de veces.
    • 1.-Determinemos los divisores de 18, o seanúmeros que dividen al 18.D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}2.- Determinemos ahora los divisores de 24, osea números que dividen al 24.D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Si observas verás que hay varios númerosque son divisores comunes (los de color),pero el máximo, o sea el mayor es 6
    • MultiplosEjemplos:a) 15 si es múltiplo de 5 ; 15 si contiene a 5tres veces.b) 20 no es múltiplo de 7 ; 20 no contiene a 7un número entero de veces.
    • Más Ejemplos:a) El conjunto de todos los múltiplos de 2 es:M(2) = {2,4,6,….b) El conjunto de todos los múltiplos de 15 es:M(15) = {15,30,45….
    • Reglas de divisibilidadReglas de divisibilidadDivisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.Divisibilidad por 3Un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, esmúltiplo de tres.Divisibilidad por 4Un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades ydecenas) son dos ceros (00) o estas cifras son divisibles por cuatro.Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 ó 5.Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.Divisibilidad por 7Un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar elúltimo dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplode 7.Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.Divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10, si su último dígito es 0.Divisibilidad por 100 Un número es divisible por 100, si sus dos últimos dígitos son cero.Divisibilidad por 1.000 Un número es divisible por 1.000, sus tres últimos dígitos son cero.Divisibilidad por 10.000 Un número es divisible por 10.000, sus cuatro últimos dígitos son cero.
    • Ejercicios Divisibilidad Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 641 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 724 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 676 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A.
    •  Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 265 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 391 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 353 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A.
    •  Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 461 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 506 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 398 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A.
    •  Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 180 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 977 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 903 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A.
    •  Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 345 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 827 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A. Usando los criterios de divisibilidad, elnúmero 944 es divisible por :2 3 4 5 6 11 N.A.
    • Factorización primaFactorización primaTodo número compuesto, se puede descomponer en factores primos y deuna sola manera que se denomina factorización.Cuando un número tiene varios factores, esnecesario utilizar algún método que nosfacilite la búsqueda.MÉTODO DE ÁRBOL DE FACTORESMÉTODO DE tabla DE FACTORES728 94 2 3 32 2 2 3 3Factorización de 72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3Estos métodos pueden ser:a) Método de árbol de factoresb) Método de tabla de factores72361893122233:Factorización de 72 expresado como potencia = 23• 32
    • Ejercicios Factorización Prima
    • Mínimo Común Múltiplo (MCM)Mínimo Común Múltiplo (MCM)El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor elementodistinto de cero del conjunto de sus múltiplos comunes. Se designa MCM.Para encontrar el MCM, entre dos o más números, podemos utilizar 2 métodos: elconjuntista y el de factores primos.método conjuntistaSe identifican algunos múltiplos de cadanúmero, utilizando sistema de llaves.método factores primosSe descomponen simultáneamente losnúmeros en sus factores primos y luego semultiplican dichos factores comunes.M3 = { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 21 , 24 ,...}M4 = { 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 ,...}M6 = { 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , ...}2233331:4216331MCM entre 3 , 4 , 6 MCM entre 3 , 4 , 62 • 2 • 3 = 12
    • Ejemplo1:El M.C.M. de 4 , 6 y 9 es 36; ya que 36 es elmenor número que contiene exactamente acada una de estas cantidades.
    • Más Ejercicios:a) El M.C.M. de 12 , 18 y 21 es:b) El M.C.M. de 14 , 24 y 27 es :
    • Máximo Común Divisor (MCD)Máximo Común Divisor (MCD)El máximo común divisor de dos o más números naturales, es el mayorde sus divisores comunes distinto de cero. Se designa MCD.Para encontrar el MCD, entre dos o más números, podemos utilizar 2 métodos: elconjuntista y el de factores primos.método conjuntistaSe identifican algunos divisores de cadanúmero, utilizando sistema de llaves.método factores primosSe descomponen por separado los números en susfactores primos y luego se multiplican todas laspotencias de igual base, de cada factorizacióncompleta, considerando en cada caso las de menorexponente.MCD entre 18 y 12MCD entre 18 y 12D18 = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 }D12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }189312331263122318 = 2 • 3212 = 22• 3MCD de 18 y 12 = 6MCD de 18 y 12 = 6  porque 2 • 3 = 6
    • Luego El M.C.D. de dos o más cantidades, es elmayor número que divide exactamente acada una de ellas.
    • Ejemplo:El M.C.D. para 24 , 56 y 72 es 8 ; ya que 8 esel mayor número que divide exactamente acada una de estas cantidades.
    • Más Ejerciciosa) El M.C.D. para 9, 18, 27 y 45 es:b) El M.C.D. para 24 , 28 , 32 y 36 es :
    • Ejemplo:a) Para las cantidades 36 , 48 y 120 se tieneque: 36 2232 48 243 120 233 5 Luego: M.C.D. =M.C.M. =
    • 1) Determine por factores primos el M.C.D. y el M.C.M. paralas cantidades:a) 60 , 72 y 108 donde: b) 40 , 54 , 72 y 144donde: 60 = 40 = 72 = 54 = 108 = 72 =144 =M.C.M. = M.C.M. =M.C.D. = M.C.D. =
    • PotenciasPotenciasLas potencias son el “producto de factores iguales”Se puede decir que las potencias corresponden al producto de un factor llamado baseque se multiplica por sí mismo, tantas veces lo indica el factor exponente.•Base es el factor que se repite•Exponente es el número de veces que serepite el factor.Cada potencia se puede leer de 2formas diferentes:62 “Seis elevado al cuadrado”“Seis elevado a dos”83 “Ocho elevado al cubo”“Ocho elevado a tres”74 “Siete elevado a la cuarta”“Siete elevado a cuatro”25 “Dos elevado a la quinta”“Dos elevado a cinco”La potencia 1 de un natural es el mismo natural.11= 1 21= 2 31= 3La potencia 0 de un natural siempre será 1.10= 1 20= 1 30= 1Potencia  25Lectura  “Dos elevado a cinco”Desarrollo  2 • 2 • 2 • 2 • 2Valor  32
    • Operaciones con Potencias Multiplicación de potencias de igual baseMultiplicación de potencias de igual base..Se conservan las bases y se suman losexponentes.mnmnaaa +=•743432222 ==• +
    • Operaciones con Potencias División de potencias de igual baseDivisión de potencias de igual base..Se conservan las bases y se restan losexponentes.mnmnaaa −=÷235352222 ==÷ −
    • Ejercicios Potencias Escribe cada una de las siguientesmultiplicaciones como una potencia ycalcula su valor.a) 13 · 13 · 13b) (7) · (7) · (7) · (7) · (7)c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) 10 · 10 · 10 · 10 Encuentra el valor de cada potencia.a) 153c) 133e) 302b) 54d) 122f) 104
    • Operaciones con Potencias Multiplicación de potencias de igualMultiplicación de potencias de igualexponente.exponente.Se multiplican las bases y se conserva elexponente.( )nnnabba =•( ) 555563232 =•=•
    • Operaciones con Potencias División de potencias de igual exponenteDivisión de potencias de igual exponente..Se dividen las bases y se conserva elexponente.nnnbaba =÷22225525525 ==÷
    • Ejercicios Potencias ( 52)3: 54– (32x 3)0= (52x 62) : ( 61+ 8 +90) =
    • Operatoria,Operatoria,algoritmosalgoritmosyypropiedadespropiedades
    • Adición en los NaturalesAdición en los NaturalesPodría definirse la adición, como laoperación en que se reúne (junta) dos omás sumandos en una sola cantidadllamada suma o total.Los términos de una adición sonsumandos y suma.Propiedades de la adiciónPropiedad 1  ClausuraSi sumamos dos números naturales,cualesquiera que ellos sean, el resultadosiempre será un número natural.Si 5 4∈ℕ ∧ ∈ℕEntonces, 5 + 4 = 9∈ℕPropiedad 2  AsociatividadAunque los sumandos se agrupen enparéntesis, sin siquiera cambiar el orden, lasuma sigue siendo la misma.a + ( b + c) = ( a + b ) + cPropiedad 3  Elemento neutro 0Si a cualquier número natural, se le sumacero, se obtiene el mismo número comoresultado.a + 0 = a 0 + a = aPropiedad 4  ConmutatividadAl sumar dos números naturales, aunque secambie el orden de los sumandos, la sumasigue siendo la misma.a + b = b + a
    • Sustracción en los NaturalesSustracción en los NaturalesLa sustracción es la operación inversa a la adición.A toda adición, le corresponden dos sustracciones.Los términos de una sustracción sonminuendo, sustraendo y resta odiferencia.La sustracción se resuelve de derecha a izquierda, según cada columna correspondiente alvalor posicional, transformándose ésta en pequeñas sustracciones.Cuando la cifra del dividendono puede ser restada, entoncesse pide 1decena, 1 centena, 1unidad de mil, ... al número dela posición siguiente paracompletar la cantidad que sípodrá restarse.
    • Propiedad 1  ClausuraSi restamos dos números naturalescualesquiera que ellos sean, el resultado nosiempre será un número natural. Para obteneruna resta o diferencia en el conjunto de losnaturales, el minuendo debe ser mayor oigual que el sustraendo.48 – 23 = 25 ∈ℕ17 – 45 = imposible resolver en los ℕPropiedades de la sustracciónPropiedad 2  AsociatividadLa sustracción en el conjunto de los númerosnaturales no es asociativa, por tanto estapropiedad no se cumple.18 – (4 – 2) ≠ (18 – 4) – 218 – 2 ≠ 14 – 216≠ 12Propiedad 3  NeutroEn la sustracción de los naturales no existeun neutro, sólo al sustraer o restar el cero, seobtiene el mismo número natural.8 – 0 = 8  no tienesolución naturalPropiedad 4  ConmutatividadNo se cumple la propiedad conmutativa en lasustracción de números naturales.7 – 4 ≠ 4 – 7  no tienesolución natural
    • Multiplicación en los NaturalesMultiplicación en los NaturalesSi en una adición todos los sumandos son iguales, definimos una nuevaoperación llamada multiplicación.7 + 7 + 7 + 7 = 28  Adición .4 veces 7 es 28  Afirmación .4 • 7 = 28  MultiplicaciónRepresentación 74 veces 7Los términos de una multiplicación son factores y producto.La disposición que se hace para efectuar una multiplicación se puede visualizarde dos maneras:Para calcular: Anotación abreviada:
    • Propiedades de la multiplicaciónPropiedad 1  ClausuraEl producto de dos números naturales es unnúmero natural.Si 5 2∈ℕ ∧ ∈ℕ 5 • 2 = 10 Elnúmero 10∈ℕPropiedad 3  AsociatividadAl multiplicar tres o más naturales, se agrupausando paréntesis (indica prioridad en laoperación). Si no se cambia el orden deubicación, el producto no se altera.2 • (4 • 7) = (2 • 4) • 7 2 • 28 = 8• 7 56 = 56Propiedad 2  ConmutatividadSi al multiplicar cambiamos el orden de losfactores, el producto no se altera.6 • 4 = 4 • 6 24 = 24Propiedad 4  Absorción del ceroTodo número multiplicado por cero seobtiene como producto cero.3 • 0 = 0 • 3 = 0 7 • 0 = 0 • 7 = 0Propiedad 6  DistributividadEl producto de un número por una suma esigual a la suma de los productos delnúmero por cada sumando.3 • (2 + 4) = (3 • 2) + (3 • 4) 3 • 6= 6 + 12 . 18 =18 .Propiedad 5  Elemento neutro 1Al multiplicar un número natural por 1, estenúmero no se altera.8 • 1 = 8 52 • 1 = 52
    • División en los NaturalesDivisión en los NaturalesLa división es la operación inversa de la multiplicación.Las divisiones pueden ser exactas o inexactas, dependiendo del residuo. Siel residuo es cero, la división es exacta, pero si el residuo es 1 u otronúmero mayor que 1, entonces la división es inexacta.Los términos de una división son: dividendo, divisor, cociente y residuo.División exacta División inexactaPara comprobar si una división está correcta, se multiplica el cociente por el divisor y elresultado se le suma al resto. El resultado final será igual al dividendo.COCIENTE • DIVISOR + RESTO = DIVIDENDO
    • Algoritmo de la división
    • Propiedades de la divisiónPropiedad 1ClausuraEl resultado de dividir dos númerosnaturales o enteros no siempre es otronúmero natural o entero.2 : 6 ∉ ℕPropiedad 3Cero dividido entre cualquier númeroda cero.0 : 5 = 0 0 : 2 = 0Propiedad 2 ConmutatividadNo es conmutativa. No existe solución en elconjunto de los naturales.6 : 2 ≠ 2 : 6Propiedad 4No se puede dividir por 0.Porque no existe ningún cociente quemultiplicado por 0 sea igual al dividendo.Propiedad 6División enteraEn una división entera el dividendo es igual aldivisor por el cociente más el resto.Dividendo = divisor • cociente + residuoPropiedad 5División exactaEn una división exacta el dividendo esigual al divisor por el cociente.Dividendo = divisor • cociente