GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10

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  • 1. 104CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACAPÍTULO 10TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS1 TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO ℜℜℜℜ2Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenadoscom origem O(0,0). Sejam O1x1 e O1y1 os novos eixos coordenados com origemO1(h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,y) um pontoqualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x1,y1),em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que:+=+=kyyhxx11, chamadas deequações de translação no ℜℜℜℜ2.Observe que, fazer uma translação no ℜ2, é transladar o sistema antigo(primitivo), paralelamente aos eixos Ox e Oy, para uma nova origem O1(h,k).Exemplo (1): Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novosistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O1(-3,2).Solução: Usando as equações de translação, teremos:−=−=kyyhxx11⇒−=−−==−−=523y8)3(5x11⇒ )5,8()y,x(P 11 −=OOx1Oy1OyOxO1(-3,2)-5 P(5,-3)≡(8,-5)-35k=2h=-38P(x,y)≡(x1,y1)Ox1Oy1kOyyy1x1OxxhO1O
  • 2. 105Exemplo (2): Determine a equação reduzida da elipse 07y6x8y3x2 22=−+−+ ,depois que a origem foi transladada para o ponto O1(2,-1).Solução: Fazendo:+=+=kyyhxx11⇒−=+=1yy2xx11na equação da elipse, teremos:07)1y(6)2x(8)1y(3)2x(2 112121 =−−++−−++ ⇒ 018y3x2 2121 =−+ ⇒181818y318x2 2121 =+ ⇒ 16y9x 2121 =+ . Note que, a equação reduzida da elipse, antes datranslação era 16)1y(9)2x( 22=++−, cujo centro é o ponto C(2,-1), ou seja, foi feitauma translação para o centro da elipse.OBS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e y) da equação de umacônica, devemos fazer uma translação de eixos para o centro dela, ou seja, fazer anova origem O1(h,k) coincidir com o centro C(m,n) da cônica. Veja o exemplo (3).Exemplo (3): Determine a translação de eixos que transforme a equação dahipérbole 0135y24x6y4x3 22=−++− , na sua forma mais simples (sem os termosde primeiro grau).Solução (1): Pela observação acima, devemos fazer uma translação para o centro dahipérbole. Passando para forma reduzida, teremos: 102)3y(4)1x(3 22=−−+ ⇒1)3y(34)1x(25122=−−++. Logo, o centro é C(-1,3) que será a nova origem O1(h,k).Fazendo+=−=3yy1xx11na equação geral, segue que:0135)3y(24)1x(6)3y(4)1x(3 112121 =−++−++−− ⇒ 102y4x3 2121 =− .Solução (2): Caso não soubéssemos da observação acima, outra forma de descobrirqual a translação para eliminar os termos de primeiro grau, seria aplicar as equaçõesde translação na equação dada e impor as condições para que os coeficientes dostermos de primeiro grau sejam nulos.OxxOy Oy1Ox1-1 52-1 C
  • 3. 106Sabemos que:+=+=kyyhxx11. Substituindo na equação 0135y24x6y4x3 22=−++− ,teremos: 0135)ky(24)hx(6)ky(4)hx(3 112121 =−+++++−+ . Desenvolvendo0)135k24h6k4h3(y)24k8(x)6h6(y4x3 22112121 =−++−+−−++− . Impondo ascondições para que os coeficientes dos termos de primeiro grau sejam nulos:=⇒=−−=⇒=+3k024k81h06h6. Portanto, a translação dever ser feita para a nova origem)3,1()k,h(O1 −= .2 ROTAÇÃO DE EIXOS NO ℜℜℜℜ2Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenadoscom origem O(0,0). Sejam Ox1 e Oy1 os novos eixos coordenados depois que osistema primitivo foi rotacionado de um ângulo θ em torno da origem O(0,0). Logo, θé o ângulo formado entre os eixos Ox e Ox1. Seja P(x,y) um ponto qualquer dosistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x1,y1), em relaçãoao novo sistema.Pela figura acima temos:+=−=QPNQyNMOMx.No triângulo OMR: ⇒=θ1xOMcos θ= cosxOM 1 e NQMR = e ⇒=θ1xNQsenθ= senxNQ 1 . No triângulo PQR: θ=⇒=θ= senyNMyNMseneNMQR 11eθ=⇒=θ cosyQPyQPcos 11. Portanto,+=−=QPNQyNMOMx⇒θθθθ++++θθθθ====θθθθ−−−−θθθθ====cosysenxysenycosxx1111,chamadas de equações de rotação no ℜℜℜℜ2. Podemos escrever as equações deSyθθOy1Oy1Ox1RQP(x,y)≡(x1,y1)xMOxx1NOy
  • 4. 107rotação na forma matricial: ⋅θθθ−θ=11yxcossensencosyx, onde θθθ−θ=θcossensencos]M[ échamada de matriz de rotação de um ângulo θθθθ.Exemplo (5): Determine as coordenadas do ponto P(-2,6), após os eixoscoordenados sofrerem uma rotação de 60o.Solução: Usando as equações de rotação:+=−=−o1o1o1o160cosy60senx660seny60cosx2⇒+=−=−121123123121yx6yx2⇒=+−=−12yx34y3x1111 . Resolvendo o sistema linear, teremos:+=+−=33y331x. Portanto, o ponto P terá novas coordenadas )33,331(P ++− .Exemplo (6): Determine o ângulo, segundo o qual, os eixos devem ser rotacionadospara eliminar o termo xy na equação 16y13xy36x7 22=+− .Solução: Substituindo as equações de rotação na equação dada, teremos:16)cosysenx(13)cosysenx)(senycosx(36)senycosx(7 2111111211 =θ+θ+θ+θθ−θ−θ−θ+θ−θ−θθ+θ+θθ−θ 11222122yx)]sen(cos36cossen12[x)sen13cossen36cos7(+ 16y)cos13cossen36sen7( 2122=θ+θθ+θ (*)Fazendo o coeficiente do termo x1y1 igual a zero, teremos:32tg02cos362sen60)sen(cos36)sencos2(6 22=θ⇒=θ−θ⇒=θ−θ−θθ ⇒oo30602 =θ⇒=θ . Substituindo θ na equação (*), a equação se reduz a 1y4x 2121 =+ .Esta é a equação reduzida de uma elipse de centro na origem e semi-eixos a=2 eb=1.3 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICANo capítulo 8 estudamos as cônicas, cujos eixos eram de posição horizontal(paralelo ao eixo coordenado Ox) ou vertical (paralelo ao eixo coordenado Oy) e,conseqüentemente, suas equações eram características dessas situações. No entanto,a expressão geral de uma cônica, cujos eixos podem estar em qualquer posição emrelação aos eixos coordenados é dada por:0FEyDxCyBxyAx 22====++++++++++++++++++++
  • 5. 108Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante paratodas, uma forma de identificar a cônica através da sua equação geral é utilizar aseguinte classificação:⇒>−⇒=−⇒<−hipérbole0AC4Bseparábola0AC4Bseelipse0AC4Bse222Pode-se demonstrar (veja exemplo 6) que o ângulo θ, de que é necessário giraros eixos para eliminar o termo xy (termo retângulo), é calculado por intermédio dafórmula:CAB2tg−−−−====θθθθExemplo (7): Por meio de uma translação e rotação dos eixos coordenados, reduzira equação da cônica 04y4x4y5xy6x5 22=−+−++ a sua forma mais simples. Fazerum esboço da cônica, representando os três sistemas de eixos.Solução: Para reduzir a equação da cônica a sua forma mais simples, devemoseliminar os termos de primeiro grau x e y, por meio de uma translação para o centroda cônica e, para eliminar o termo retângulo xy, deve-se fazer uma rotação de umângulo θ, usando a relaçãoCAB2tg−=θ . Como 5A = , 6B = e 5C = ⇒064AC4B2<−=− , ou seja, a cônica em questão é uma elipse. Vamos primeiro fazera translação, substituindo+=+=kyyhxx11na equação dada:04)ky(4)hx(4)ky(5)ky)(hx(6)hx(5 11211121 =−+++−++++++(*) 0)4k4h4k5hk6h5(y)4k10h6(x)4k6h10(y5yx6x5 2211211121 =−+−++++++−++++Para eliminar os termos de primeiro grau x1 e y1, façamos seus coeficientes iguais azero:=++=−+04k10h604k6h10. Resolvendo o sistema teremos:−==1k1h. Então, a novaorigem será )1,1(O1 − que é o centro da cônica. Substituindo h=1 e k=-1 em (*),vamos obter: 08y5yx6x5 211121 =−++ (**), a equação transladada. De?06556CAB2tg ==−=−=θ Isso mostra que oo45902 =θ⇒=θ , ou seja, este é oângulo de rotação para eliminar o termo x1y1. Fazendo o45=θ nas equações de
  • 6. 109rotaçãoθ+θ=θ−θ=cosysenxysenycosxx221221⇒+=−=2yxy2yxx221221. Substituindo em (**), vamos obter04yx4 2222 =−+ , que é a forma mais simples da equação da elipse de equaçãoreduzida 14yx2222 =+ , que, em relação ao sistema transladado e rotacionado, temcentro na origem e eixo maior vertical.Exercícios Propostos1) Qual a translação que devemos fazer para reduzir a equação da hipérbole069y30x16y5x4 22=−++− na sua forma mais simples? Escrever a equaçãoreduzida da hipérbole depois da translação.Resp: translação para C(-2,3); 18y10x 2121 =−2) Determinar a equação da cônica 03y4x2yxy2x 22=+−++− , após uma rotaçãode 45onos eixos coordenados. Quem é a cônica?Resp: 03x2y23y2 1121 =+−− ; Parábola3) Reduzir a expressão da cônica 0y516x58yxy4x4 22=−−+− a sua forma maissimples. Quem é a cônica?Resp: 2x81y = ; parábola (use:55sene552cos −=θ=θ )4) Reduzir a expressão da cônica 05381y2x4yxy3x2 22= +−−++− a suaforma mais simples. Quem é a cônica?Resp: 12y10x 2222 =+ ; elipse (sugestão: faça primeiro a translação e depois a rotação)Oy2Oy1OyOxOx1Ox21-1