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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09

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  • 1. 96CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACAPÍTULO 9COORDENADAS POLARESO plano, também chamado de ℜ2, onde { }ℜ∈=ℜℜ=ℜ y,x/)y,x(x2, ou seja, oproduto cartesiano de ℜ por ℜ, é o conjunto de todos os pares ordenadosℜ∈∀ yex),y,x( . Ele é representado pelo Sistema de Coordenadas CartesianasOrtogonal, o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cujainterseção é o par ordenado O(0,0) , chamado de origem do sistema. Esses eixos sãodenotados por Ox e Oy e chamados de eixos coordenados, orientados como mostra afigura abaixo.Todo ponto P(x,y) do plano é representado como na figura acima, onde x e ysão as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Existe umacorrespondência biunívoca entre pares ordenados de números reais e pontos dosistema de coordenadas cartesianas ortogonais.No entanto, existe outro sistema de coordenadas capaz de representar o plano.É o Sistema de Coordenadas Polares, o qual é constituído por apenas um semi-eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de origem p, chamado pólo.Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρρρρ,θθθθ), onde ρρρρ é àdistância do ponto P ao pólo p e θθθθ é o ângulo formado entre o segmento Pp e o semi-eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a partir do eixo polar e no sentido anti-horário. Assim, 0≥ρ e π≤θ≤ 20 .yxP(x,y)(0,0)(–)(–)Oy (+)(+)OxIIIIVIIIθepP(ρ,θ)ρ
  • 2. 97Exemplo (1): Representar no Sistema de Coordenadas Polares os seguintes pontosdo plano: a) ),3(P3π b) ),5(Q32π c) ),3(R 23πPodemos relacionar o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais com oSistema de Coordenadas Polares. Coincidindo a origem O(0,0) do sistema cartesianocom o pólo p do sistema polar e o semi-eixo polar com o semi-eixo positivo do eixoOx.No triângulo retângulo temos: 222yx +=ρ eθρ=⇒ρ=θθρ=⇒ρ=θsenyysencosxxcos. Pode-sedeterminar o ângulo θ pelas relações anteriores ou por =θxyarctg , observando ossinais das coordenadas x e y para definir a qual quadrante pertence o ângulo θ.Portanto, as relações 222yx +=ρ eθρ=θρ=senycosx, são consideradas as equações detransformação de coordenadas entre o sistema cartesiano e o sistema polar.Exemplo (2): Transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares osseguintes pontos do plano: a)25,235P b) )1,1(Q − .Solução: Usando as equações de transformação temos:),()y,x(P θρ≡θρyxOypO ≡eOxR23π3532π 3Q3πepPp
  • 3. 98a) 525235yx22222=ρ⇒+=+=ρ e=θ⇒=θ⇒ρ=θ=θ⇒=θ⇒ρ=θ21sen525senysen23cos5235cosxcos⇒6π=θ . Portanto, ),5(P 6π .b) 2)1(1 222=ρ⇒−+=ρ e−=θ⇒−=θ⇒ρ=θ=θ⇒=θ⇒ρ=θ22sen21senysen22cos21cosxcos⇒47π=θ .Portanto, ),2(Q 47π .Exemplo (3): Transformar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas osseguintes pontos do plano: a) ( )34,2P π b) ),7(Q 65π .Solução:a) Usando as equações de transformação temos:−=⇒=⇒θρ=−=⇒=⇒θρ=ππ3ysen2yseny1xcos2xcosx3434. Portanto, )3,1(P −− .b) Analogamente para o ponto Q:=⇒=−=⇒=ππ27ysen7y237xcos7x6565. Portanto,−27,237Q .1 Equação Polar das Cônicas1.1 CircunferênciaSeja uma circunferência, representada no sistema polar, de centro ),(C αδ e raior. Seja ),(P θρ um ponto qualquer da circunferência.Aplicando a Lei dos co-senos no triângulo pCP, temos:)cos(2r 222α−θρδ−δ+ρ= , que é a equação polar da circunferência.p eρθ-αα θ),(P θρCδr
  • 4. 99Alguns casos interessantes são:a) circunferência que contém o pólo. Neste caso r=δ .)cos(r2rr 222α−θρ−+ρ= ⇒ )cos(r2( α−θ−ρ⋅ρ ⇒α−θ=ρ⇒α−θ−ρ=ρ)cos(r2)cos(r20Das relações anteriores vem que: 0=ρ é chamada de equação do pólo e)cos(r2 α−θ=ρ é a equação da circunferência que contém o pólo.b) circunferência com centro sobre o pólo. Neste caso 0=δ .)cos(020r 222α−θ⋅⋅ρ−+ρ= ⇒ 22r ρ= ⇒ ρ=r . Portanto, a expressão ρ=r éa equação da circunferência com centro sobre o pólo.1.2 ElipseConsidere uma elipse de eixo maior horizontal a2AA 21 = , eixo menorb2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo.Seja ),(P θρ um ponto qualquer da elipse, na qual fazemos coincidir o pólo pcom o foco F1 e o eixo polar com o eixo maior da elipse.p eρθ-αα θ),(P θρCδ=rp≡Ceθ),(P θρρ=rA2),(P θρB2eA1B1F1≡p F2ρδθ 2c
  • 5. 100Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:θρ−+ρ=δ cosc4c4 222. Da definição da elipse temos que a2|PF||PF| 21 =+ ⇒a2=ρ+δ ⇒ ρ−=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos cossenos vem que:θρ−+ρ=ρ− cosc4c4)a2( 222⇒ θρ−+ρ=ρ+ρ− cosc4c4a4a4 2222. Da relaçãonotável da elipse 222cba += ⇒ 222bca =− . Então: )cosca(ca2b22θ−ρ=− ⇒)cosca(b2θ−ρ= ⇒θ−=ρcoscab2. Portanto,θθθθ−−−−====ρρρρcoscab2, que é a equação polarda elipse.Da equação polarθ−=ρcoscab2, dividindo todos os termos do segundo membroda expressão pela constante a, vem queθ−=ρcosacaaab2. Fazendoabp2= , chamado deparâmetro da elipse eace = é a excentricidade. Assim, equação polar da elipse émais comumente dada porθ−=ρcose1p.1.3 HipérboleConsidere uma hipérbole de eixo real horizontal a2AA 21 = , eixo menorb2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo. Façamoscoincidir o pólo p com o foco F2 e o eixo polar com o eixo real da hipérbole. Seja),(P θρ um ponto qualquer da hipérbole.Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:)180cos(c4c4 o222θ−ρ−+ρ=δ . Da definição da hipérbole temos quea2|PF||PF| 21 =− ⇒ a2=ρ−δ ⇒ ρ+=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dosδ180o-θ θρe),(P θρF1 F2≡pC2c
  • 6. 101cossenos: θρ++ρ=ρ+ cosc4c4)a2( 222⇒ θρ++ρ=ρ+ρ+ cosc4c4a4a4 2222⇒)cosca(ca 22θ⋅+−⋅ρ=− . Da relação notável da hipérbole 222bac += ⇒222bca −=− ⇒ )cosca(ca2b22θ⋅+−⋅ρ=−−. Portanto:θθθθ−−−−====ρρρρcoscab2, que é aequação polar da hipérbole.Da equação polarθ−=ρcoscab2, dividindo todos os termos do segundo membroda expressão pela constante a, vem queθ−=ρcosacaaab2. Fazendoabp2= , chamado deparâmetro da hipérbole eace = é a excentricidade. Assim, equação polar da hipérboleé mais comumente dada porθθθθ−−−−====ρρρρcose1p.1.4 ParábolaConsidere uma parábola de eixo de simetria horizontal com vértice V, foco F epRF = . Seja P(ρ,θ) um ponto qualquer da parábola. Façamos coincidir o pólo p com ofoco F e o eixo polar com o eixo de simetria da parábola.No triângulo PQF vem que:ρρ−=θ−=θ−pcos)180cos( o⇒θ−=ρcos1p, ondep é o parâmetro da parábola. Portanto, a equação polar da parábola éθθθθ−−−−====ρρρρcos1p.OBS: Note que, a elipse, a hipérbole e a parábola têm as equações polaressemelhantes a menos da excentricidadeace = que para a elipse ( 1e0 << ) e para ahipérbole ( 1e > ). Outro fato importante é que, apesar de adotarmos os mesmossímbolos a2AA 21 = , b2BB 21 = e c2FF 21 = para a elipse e para a hipérbole, elestem significados geométricos diferentes na definição de cada cônica, mesmo porque ap-ρ180o-θ(d)Qθρe),(P θρVpρF≡R
  • 7. 102relação notável da elipse é 222cba += e da hipérbole é 222bac += . Assim, oparâmetroabp2= , adotado na equação polar da elipse e da hipérbole é diferente enão tem nada em comum com o parâmetro p da definição da parábola.Exemplo (4): Determine a equação geral da circunferência de equação polarθ−=ρ sen6 .Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22yx +=ρ eθ⋅ρ= seny ⇒ρ=θysen . Substituindo na equação θ−=ρ sen6 vem que:2222yxy6yx+⋅−=+ ⇒ y6yx222−=+ ⇒ 0y6yx 22=++ .Exemplo (5): Dada a elipse de eixo maior horizontal e equação polarθ−=ρcos3532,escrever suas equações paramétricas e a equação reduzida.Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22yx +=ρ eθ⋅ρ= cosx ⇒ρ=θxcos . Substituindo na equaçãoθ−=ρcos3532vem que:ρ⋅−=ρx3532⇒ρ−ρ=ρx3532⇒ ρ⋅=−ρ⋅ρ 32)x35( ⇒ 32x35 =−ρ ⇒ 32x35 +=ρ ⇒22)32x3()5( +=ρ ⇒ 1024x192x925 22++=ρ ⇒ 1024x192x9)yx(25 222++=+⇒ 1024x192x9y25x25 222=−−+ ⇒ 1024y25x192x16 22=+− . Escrevendo naforma reduzida vem que: 1024y25)3636x12x(16 22=+−+−⋅ ⇒1600y25)6x(16 22=+−⋅ ⇒ 164y100)6x( 22=+−(equação reduzida). Como a elipse éde eixo maior horizontal então:=⇒==⇒=8b64b10a100a22e centro )n,m()0,6(C = . Assim,suas equações paramétricas são:θ+=θ+=senanycosbmx⇒θ⋅=θ⋅+=sen8ycos106x.
  • 8. 103Exercícios Propostos1) Determine a equação geral da circunferência de centro ),2(C 2π , sabendo-se queela passa pelo ponto ),6(P 611π . Resp: 048y4yx 22=−−+2) Qual é a equação polar da elipse de equação geral 024y4x24yx4 22=++−+ ?Resp:θ−=ρcos11233) Seja a hipérbole de equação 0144y16x9 22=−− . Determine sua equação polar eas coordenadas polares dos focos. Resp:θ−=ρcos549, ),5(Fe)0,5(F 21 π4) Determine a equação polar e as coordenadas polares do vértice da parábola6x4xy 221 −+−= .Resp:θ−=ρcos141e ),52(V θ , onde =θ55arcsen , do 1º quadrante.5) Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar éθ−=ρcos7524. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.Resp:θ=θ==+− sec5ytg62xe125y24x 226) Determine a equação polar da elipseθ+=θ+=sen162ycos203x. Resp:θ−=ρcos35647) O foco de uma parábola é o ponto (4,3) e sua diretriz é a reta x = 2. Determinesua equação polar. Resp:θ−=ρcos12