1. 79
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 8
CÔNICAS
Muitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências estão relacionadas às
seções cônicas. Desde os tempos dos gregos clássicos como Arquimedes, Apolônio entre outros, já havia
estudos sobre essas curvas. No texto "Elementos de Euclides" (270 a.C.) tratavam de elipses, hipérboles e
parábolas ou, para usarmos o nome comum, seções cônicas. Estas são curvas obtidas quando um plano
intercepta um cone de revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio (200
a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal
modo que a soma de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes e também que
uma hipérbole é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença de suas
distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. Desde o tempo de Apolônio que as seções
cônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que,
lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a da
gravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático)
descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de
1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitação
e das leis da Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para transformações
lineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos resultados obtidos por Newton sobre o
movimento planetário, aparece a equação das cônicas em coordenadas polares. A hipérbole é utilizada no
estudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. A parábola é a curva que descreve a
trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos
parabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas.
Como vimos no pequeno histórico acima, as seções cônicas são curvas planas
obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a parábola, a
elipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poder
ser obtida também por uma seção de um cone. Devido a sua inquestionável
importância na matemática, em particular na geometria, e em outras ciências,
estaremos também introduzindo o estudo da circunferência.
Circunferência
HipérboleParábola
Elipse

2. 80
1 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA
As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representações
serão realizadas no plano cartesiano (ℜ2
).
A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma equação
do 2º grau da forma: 0FEyDxCyBxyAx 22
=+++++ .
O termo "xy" da equação geral das cônicas é chamado de "termo retângulo".
Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a equação é
"degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo,
simplesmente chamares de equação geral. Geometricamente, a diferença entre a
equação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relação
aos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria da
cônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não é
degenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados.
Neste capítulo estaremos estudando somente as cônicas com equação geral não
degenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação e rotação
de eixos, estudaremos as cônicas com equação geral degenerada.
Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para
todas, ou seja, 0FEyDxCyBxyAx 22
=+++++ , uma forma de identificar a cônica
através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação:






⇒>−
⇒=−
⇒<−
hipérbole0AC4Bse
parábola0AC4Bse
elipse0AC4Bse
2
2
2
Por exemplo:
a) Se 04y4x4y5xy6x5 22
=−+−++ ⇒ 064AC4B2
<−=− ⇒ elipse.
b) Se 03y4x2yxy2x 22
=+−++− ⇒ 0AC4B2
=− ⇒ parábola.
c) Se 024x224y3xy18x3 22
=−+++ ⇒ 0288AC4B2
>=− ⇒ hipérbole.
Elipse de equação geral
não degenerada
x
y eixo de simetria
Elipse de equação geral
degenerada
x
y
eixo de simetria

3. 81
CIRCUNFERÊNCIA
Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo
C (centro) do mesmo plano.
OBS: O segmento que une qualquer ponto da circunferência ao centro é chamado de
raio, denotado pela letra r. O segmento que une dois pontos quaisquer da
circunferência passando pelo centro e chamado de diâmetro, denotado pela letra d.
Vale a relação r2d = .
Seja a circunferência de centro C(m,n) e raio r. Seja P(x,y) um ponto qualquer
da circunferência.
Temos que r|CP| = , que é a equação vetorial da circunferência. Como
)ny,mx(CP −−= , então: r)ny()mx(|CP| 22
=−+−= , logo 222
r)ny()mx( =−+− .
Esta expressão é chamada de equação reduzida da circunferência.
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,
uma equação do tipo 0edycxbyax 22
=++++ , e são assim que geralmente elas
aparecem na literatura.
Outra equação importante são as equações paramétricas, as quais são
definidas como segue. Na figura anterior, vamos determinar o senθ e o cosθ no
triângulo CPS.
θ+=⇒
−
=θ senrny
r
ny
sen e θ+=⇒
−
=θ cosrmx
r
mx
cos
As equações paramétricas da circunferência são:



θ+=
θ+=
senrny
cosrmx
, π≤θ≤ 20 .
Exemplo (1): Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência
03y6x4yx 22
=−+−+ .
P(x,y)
y
xm Ox
n
C
r
θ
S
Oy
O
r

4. 82
Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação geral. Para
determinarmos o centro e o raio e necessário passar para forma reduzida,
completando os quadrados. Então:
0399y6y44x4x
22
)3y(
2
)2x(
2
=−−+++−+−
+−
⇒ 16)3y()2x( 22
=++− . Agora na forma da
equação reduzida podemos ver que o centro é igual C(2,-3) e o raio é igual a r = 4.
Exemplo (2): Determine a equação reduzida da circunferência, sabendo-se que um
de seus diâmetros é o segmento de extremos A(1,3) e B(5,-3).
Solução: O diâmetro é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência
passando pelo centro e vale r2d = . Logo o centro C(m,n) da circunferência é ponto
médio do diâmetro. Então: )0,3(
2
33
,
2
51
)n,m(C =




 −+
= . A distância entre A e B é o
valor do diâmetro. Assim, 132)33()15(|AB|d 22
=−−+−== , logo 13
2
d
r == .
Portanto, a equação reduzida é 13y)3x( 22
=+− .
ELIPSE
Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 do plano, com c2FF 21 = , chamamos de
elipse o lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das distâncias aos
pontos F1 e F2 é uma constante 2a>2c.
• C(m,n) é o centro;
• A1, A2, B1 e B2 são vértices;
• F1 e F2 são focos;
• a2AA 21 = é o eixo maior;
• b2BB 21 = é o eixo menor;
• c2FF 21 = é a distância focal;
• Relação notável para elipse: Do triângulo CB1F2 vem que 222
cba += .
n
m
P
B2
B1
A1 A2
Oy
Ox
F1 F2C
a
c
b
O

5. 83
• Excentricidade:
a
c
e = . A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja,
quanto mais "arredondada" ou "achatada" é a figura. Como, para elipse, c < a,
então 1e0 << . Assim, quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, mais
achatada (alongada) é a elipse e, quanto mais próximo de zero, mais arredondada
ela será.
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A distância do ponto P ao foco F1 é
dada por |PF| 1 e a distância do ponto P ao foco F2 é dada por |PF| 2 . Portanto, pela
definição da elipse escrevemos a expressão a2|PF||PF| 21 ====++++ chamada de equação
vetorial da elipse.
O desenvolvendo da equação vetorial resulta em outra expressão chamada de
equação reduzida da elipse. Vamos fazer este desenvolvimento.
Considere uma elipse de centro )n,m(C , focos )n,cm(F1 − e )n,cm(F2 + e eixo
maior horizontal, ou seja, o eixo maior da elipse 21AA é paralelo ao eixo coordenado
Ox. Seja )y,x(P um ponto qualquer da elipse como mostra a figura abaixo.
Temos que:
( ) ( )
( ) ( )



−−−=⇒−+−=
−+−=⇒−−−=
ny,c)mx(PFny),cm(xPF
ny,c)mx(PFny),cm(xPF
22
11 ⇒
[ ]
[ ]



−+−−=
−++−=
22
2
22
1
)ny(c)mx(|PF|
)ny(c)mx(|PF|
Como a2|PF||PF| 21 =+ ⇒ |PF|a2|PF| 21 −= . Elevando ao quadrado ambos os lados
desta última igualdade vem que: ( )2
2
2
1 |PF|a2|PF| −= ⇒
2
22
22
1 |PF||PF|a4a4|PF| +⋅−= ⇒ |PF|a4a4|PF||PF| 2
22
2
2
1 ⋅−=− ⇒
[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 2
2
2
22
2
22
⋅−=





−+−−−





−++− ⇒
[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 2
22222
⋅−=−−−−−−++− ⇒
|PF|a4a4c)mx(c2)mx(c)mx(c2)mx( 2
22222
⋅−=−−+−−+−+− ⇒
n
m
P
B2
B1
A1 A2
Oy
Ox
F1 F2C
c
O
c
m-c m+cx
y

6. 84
|PF|a4a4)mx(c4 2
2
⋅−=− ⇒ |PF|aa)mx(c 2
2
⋅−=−− . Elevando ambos os membros
ao quadrado vem que:
[ ] ( )2
2
22
|PF|aa)mx(c ⋅−=−− ⇒ [ ] 2
2
222
|PF|)a(a)mx(c ⋅−=−− ⇒
[ ] [ ]
2
22222
)ny(c)mx()a(a)mx(c 





−+−−⋅−=−− ⇒
( )22224222
)ny(c)mx(c2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−⋅=+−−− ⇒
22222224222
)ny(aca)mx(ca2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−=+−−− ⇒
0caa)ny(a)mx(a)mx(c 224222222
=−+−−−−− ⇒
0)ca(a)ny(a)mx()ac( 22222222
=−⋅+−−−⋅− (*)
Pela relação notável da elipse 222
cba += ⇒ 222
bca =− . Substituindo na equação
(*) vem que:
0ba)ny(a)mx(b 222222
=⋅+−⋅−−⋅− ⇒ 222222
ba)ny(a)mx(b −=−⋅−−⋅−
Dividindo todos os termos da equação por ( 22
ba ⋅− ) vem que:
22
22
2
22
2
2
22
2
ba
ba
)ny(
ba
a
)mx(
ba
b
−
−
=−⋅
−
−−⋅
−
−
⇒ 1)ny(
b
1
)mx(
a
1 2
2
2
2
=−⋅+−⋅
e finalmente obtemos a equação reduzida da elipse: 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
Esta expressão acima demonstrada é a equação reduzida de uma elipse de eixo
maior horizontal (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Ox), mas existem as elipses de
eixo maior vertical (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Oy) e suas equações são
diferentes. O desenvolvimento para obtermos a equação reduzida de uma elipse de
eixo maior vertical é análogo ao que fizemos para a elipse de eixo maior horizontal e,
portanto, não apresentaremos este desenvolvimento. De uma forma geral temos:
Equação Reduzida:
a) Elipse de eixo maior horizontal: 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
b) Elipse de eixo maior vertical: 1
a
)ny(
b
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
OBS: Em uma elipse, se a = b, temos que 222
cba += ⇒ 222
caa += ⇒ 0c = .
Fazendo a = b na equação reduzida vem que: 1
a
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
=
−
+
−
⇒

7. 85
222
a)ny()mx( =−+− , que é a equação de uma circunferência de raio R = a, ou
seja, a circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula, pois,
0
a
0
a
c
e === .
Desenvolvendo-se a equação reduzida da elipse obtém-se outra expressão
chamada de equação geral, a qual tem a forma 0yxyx 22
====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα . Vamos
fazer este desenvolvimento para o caso de uma elipse de eixo maior horizontal, cuja
equação reduzida é 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
=
−
+
−
. Multiplicando toda a equação por 22
ba
vem que: 22
2
222
2
222
ba
b
)ny(ba
a
)mx(ba
=
−
+
−
⇒ 222222
ba)ny(a)mx(b =−⋅+−⋅ ⇒
22222222
ba)nny2y(a)mmx2x(b =+−⋅++−⋅ ⇒
0banayna2yambxmb2xb 222222222222
=−+−++− ⇒
0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222
=−++−−+ . Fazendo:
0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222
=−++−−+
φθγβα
, obtém-se a equação geral
da elipse 0yxyx 22
====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .
Considere como na figura abaixo, uma elipse E de eixo maior horizontal, com
centro em )n,m(C , com eixo maior a2AA 21 = e eixo menor b2BB 21 = , a
circunferência Ci com centro em )n,m(C e raio igual a "b", inscrita na elipse, a
circunferência Cc com centro em )n,m(C e raio igual a "a", circunscrita na elipse e
)y,x(P EE um ponto qualquer da elipse E.
Por P, traça-se uma paralela ao eixo Oy, que determina em Cc o ponto )y,x(R cc
e uma paralela ao eixo Ox, que determina em Ci o ponto )y,x(M ii . De acordo com as
equações paramétricas de uma circunferência tem-se:



θ⋅+=
θ⋅+=
senbny
cosbmx
:)I(
i
i
e



θ⋅+=
θ⋅+=
senany
cosamx
:)II(
c
c
, π≤θ≤ 20 .
Por outro lado, os pontos C, M e R são colineares. De fato:
0
1asenncosam
1bsenncosbm
1nm
=
θ+θ+
θ+θ+

8. 86
Equivalentemente, o segmento PM é paralelo ao eixo Ox. Dessa forma, cE xx = e
iE yy = , ou seja:



θ⋅+=
θ⋅+=
senbny
cosamx
:)I(
E
E
, π≤θ≤ 20 . Portanto, as equações
paramétricas da elipse são:



θ⋅+=
θ⋅+=
senbny
cosamx
E
E
, π≤θ≤ 20 .
Analogamente podem ser determinadas as equações paramétricas de uma
elipse de eixo maior vertical. De uma forma geral temos:
Equações Paramétricas:
a) Elipse de eixo maior horizontal:



θθθθ++++====
θθθθ++++====
bsenny
cosamx
, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20
b) Elipse de eixo maior vertical:



θθθθ++++====
θθθθ++++====
asenny
cosbmx
, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20
OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte
identificação: da equação reduzida temos 1
b
ny
a
mx
22
=




 −
+




 −
. Usando a relação
fundamental da trigonometria 1sencos 22
=θ+θ e, confrontando as duas expressões
teremos:
a
mx
cos
−
=θ ⇒ θ+= cosamx e
b
ny
sen
−
=θ ⇒ θ+= senbny .
Exemplo (3): Determine o centro, vértices, focos e a excentricidade da elipse
x2
+4y2
-4x-32y+32=0.
Solução: Como a elipse foi dada na sua forma normal, devemos completar os
quadrados e passá-la para a forma reduzida. Então:
Ox
Oy
R
m xE=xc
yE=yi
B2
B1
A1
A2
C
P
Q
M
N
n
θ
Cc
Ci

9. 87
032)1616y8y(444x4x
22
)4y(
2
)2x(
2
=+−+−+−+−
−−
⇒ 032644)4y(4)2x( 22
=+−−−+− ⇒
⇒
36
36
36
)4y(4
36
)2x( 22
=
−
+
−
⇒ 1
9
)4y(
36
)2x( 22
=
−
+
−
. Como 22
ba > , então




=⇒=
=⇒=
3b9b
6a36a
2
2
, e a elipse é de eixo maior horizontal. Da relação notável vem que
33ccba 222
=⇒+= . Da equação reduzida temos que o centro é C(2,4).
)4,4()n,am(A1 −=− , )4,8()n,am(A2 =+ , )7,2()bn,m(B1 =+ , )1,2()bn,m(B2 =− ,
)4,332()n,cm(F1 −=− e )4,332()n,cm(F2 +=+ .
Exemplo (4): Determine a equação reduzida da elipse de excentricidade
5
4
, cujos
focos são pontos da reta 04x =+ e sendo B1(-1,3) um dos extremos do eixo menor.
Solução: Como os focos estão sobre a reta 4x −= , trata-se de uma elipse de eixo
maior vertical. Geometricamente podemos determinar o centro )3,4(C − , 3b = e
)3,7(B2 − . Como
5
4
a
c
e == ⇒ a
5
4
c = . Da relação ⇒+= 222
cba ⇒





+=
2
22
a
5
4
3a
⇒=− 9a
25
16
a 22
5a = e 4c = .
Portanto, a equação reduzida será 1
25
)3y(
9
)4x( 2
=
−
+
+
.
332 − 332 + 8
B2
B1
A2A1
y
x
F1 F2
C
2-4
4
x
y
7
8
-2
-7 -1-1
3
x −=
-4

10. 88
HIPÉRBOLE
Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que c2FF 21 = ,
chamamos de hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano, cujo módulo da
diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante c2a2 < .
Seus elementos são:
• C(m,n) é o centro;
• A1, A2 são vértices;
• F1 e F2 são focos;
• a2AA 21 = é o eixo real (ou eixo transverso);
• b2BB 21 = é o eixo imaginário (ou eixo conjugado);
• c2FF 21 = é a distância focal;
• Relação notável para elipse: Do triângulo CA2Q ⇒ 222
bac +=
• Excentricidade:
a
c
e = . Como, para hipérbole, ca < , então 1e > . Assim, quanto
mais próximo de 1 estiver à excentricidade, mais fechados são os ramos da
hipérbole e, mais abertos eles serão à medida que a excentricidade se afasta de 1.
• As retas (r1) e (r2) são chamadas de assíntotas. Elas são muito úteis no esboço da
hipérbole, norteando a abertura dos ramos, uma vez que, os ramos não
interceptam e nem tangenciam as assíntotas. Suas equações são determinadas
por: )mx(
a
b
)ny( −±=− para hipérbole de eixo real horizontal (eixo real 21AA
paralelo ao eixo Ox) e )mx(
b
a
)ny( −±=− para hipérbole de eixo real vertical (eixo
real 21AA paralelo ao eixo Oy).
y
x
P
n
m
(r1)
F1 F2A1 A2
B2
B1
C a
c b
(r2)
Q

11. 89
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Pela definição temos que:
a2|PF||PF| 21 ====−−−− que é a equação vetorial da hipérbole.
A exemplo do que foi realizado com a elipse, o desenvolvimento da equação
vetorial resulta na equação reduzida. Então:
Equação reduzida:
a) Hipérbole de eixo real horizontal: 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
−−−−
++++
−−−−
b) Hipérbole de eixo real vertical: 1
a
)ny(
b
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
−−−−
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,
uma equação da forma: 0yxyx 22
====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .
Considere uma hipérbole de eixo real horizontal como na figura abaixo, com
centro em )n,m(C , com eixo real a2AA 21 = , imaginário b2BB 21 = e distância focal
c2FF 21 = . Traça-se uma circunferência C1 com centro em )n,m(C e raio igual a "c", a
circunferência C2 com centro em )n,m(C e raio igual a "a" e uma das assíntotas (r1).
A1
A2
C
m
n
hipérbole de eixo real vertical
A1 A2
m
n
C
hipérbole de eixo real horizontal
Q
F1
P
F2
A1 A2
C
a
c
y=b+n
n
m x=m+c
θ
(r1)
C1
C2
B1
B2
b

12. 90
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. A interseção da assíntota (r1) com
a circunferência C1 é o ponto Q. Pelos pontos Q e A2, traça-se uma paralela ao Oy.
Pela construção temos que ba = e as coordenadas do ponto P(x,y) são cmx += e
bny += . Do triângulo retângulo CA2Q vem que:
c
a
cos =θ ⇒
θ
=
cos
1
a
c
⇒ θ=− secamx ⇒ θ+= secamx
a
b
tg =θ ⇒ θ= atgb ⇒ θ=− btgny ⇒ θ+= btgny .
Analogamente, podemos demonstrar as equações paramétricas para uma
hipérbole de eixo real vertical. Assim:
Equações Paramétricas
a) Hipérbole de eixo real horizontal:



θθθθ++++====
θθθθ++++====
btgny
secamx
, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20
b) Hipérbole de eixo real vertical:



θθθθ++++====
θθθθ++++====
secany
btgmx
, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20
OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte
identificação: da equação reduzida temos 1
b
ny
a
mx
22
=




 −
−




 −
. Usando a relação da
trigonometria 1tgsec 22
=θ−θ . Confrontando as duas expressões teremos:
a
mx
sec
−
=θ ⇒ θ+= secamx e
b
ny
tg
−
=θ ⇒ θ+= btgny .
Exemplo (5): Determine os focos e os vértices da hipérbole de equação normal
0199y64x18y16x9 22
=−−−− .
Solução: Escrevendo a equação na forma reduzida teremos:
0199)44y4y(16)11x2x(9 22
=−−++−−+− ⇒
0199649)2y(16)1x(9 222
=−+−+−− ⇒ 144)2y(16)1x(9 222
=+−− ⇒
144
144
144
)2y(16
144
)1x(9 22
=
+
−
−
⇒ 1
9
)2y(
16
)1x( 22
=
−
+
+
−
ou 1
9
)2y(
16
)1x( 22
=
+
−
−
.
A equação reduzida mostra que a hipérbole é de eixo real horizontal e,
4a16a2
=⇒= , 3b9b2
=⇒= . Da relação notável: 222
bac += ⇒ 5c = . O centro é
C(m,n) = (1,-2).
vértices:



−=−
−=+
)2,3()n,am(A
)2,5()n,am(A
2
1
focos:



−=−
−=+
)2,4()n,cm(F
)2,6()n,cm(F
2
1

13. 91
Exemplo (6): O eixo real de uma hipérbole é vertical e suas assíntotas são as retas
03yx2:)r( 1 =−+ e 03yx2:)r( 2 =+− . Escreva sua equação reduzida sabendo-se
que ela passa pelo ponto P(0,7) e faça um esboço.
Solução: A interseção das assíntotas é o centro C(m,n). Resolvendo o sistema linear



=+−
=−+
03yx2
03yx2
, determinamos o centro C(0,3). Fazendo uma identificação com as
equações das assíntotas )mx(
b
a
)ny( −±=− e



+=
+−=
3x2y
3x2y
, determinamos os
coeficientes angulares 2
b
a
±= . Dai, podemos escrever que a=2b. Como a hipérbole
passa pelo ponto P(4,6)=(x,y), então ele satisfaz a equação reduzida
1
a
)ny(
b
)mx(
2
2
2
2
=
−
+
−
−
.Logo: 1
)b2(
)37(
b
)00(
2
2
2
2
=
−
+
−
−
⇒ 1
b4
16
b
0
22
=+
−
⇒ 2b = e
4a = . Portanto, a equação reduzida é 1
16
)3y(
4
x 22
=
−
+
−
.
4 PARÁBOLA
Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de uma reta (d)
fixa e de um ponto fixo (F), não pertencente à reta (d).
Os elementos da parábola são:
• Vértice: V(m,n)
• F: foco
• (d): reta diretriz
A1
A2
C(0,3)
-1
3
7
(r2)(r1)
-1 1
Q
O
2
p
m
(d)
P
FV
n
2
p
R

14. 92
• A reta que passa por F e V é o eixo de simetria da parábola
• O segmento pRF = , onde p é chamado de parâmetro da parábola
• Os segmentos
2
p
VFRV ==
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pela definição temos que:
|FP||QP| ==== que é a equação vetorial.
O desenvolvimento da equação vetorial resulta na equação reduzida. Considere
uma parábola com eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo Ox) como na figura
abaixo. Então sua equação vetorial é |FP||QP| = . Como )y,x(P , 



 − y,mQ 2
p
e




 + n,mF 2
p
, vem que 



 +−= 0,mxQP 2
p
e 



 −−−= ny,mxFP 2
p
. Assim:
|FP||QP| = ⇒ 2
2
2
p
2
2
p
)ny()mx()mx( −+



 −−=



 +− ⇒
2
2
2
p
2
2
p
)ny()mx()mx( −+



 −−=



 +− ⇒
⇒ 2
4
p2
4
p2
)ny(p)mx()mx(p)mx()mx(
22
−++⋅−−−=+⋅−+− ⇒
)mx(p2)ny( 2
−⋅=− . Que é a equação reduzida de uma parábola com eixo de
simetria horizontal.
Analogamente demonstra-se a equação reduzida de uma parábola com eixo de
simetria vertical (paralelo ao eixo Oy). Então:
Equação reduzida:
a) Parábola com eixo de simetria horizontal:




±±±±====
−−−−====−−−−
2
p
mx:diretriztaRe
)mx(p2)ny( 2
b) Parábola com eixo de simetria vertical:




±±±±====
−−−−====−−−−
2
p
ny:diretriztaRe
)ny(p2)mx( 2
Q
O
2
p
m
(d)
P
FVn
2
p
R
2
p
m +2
p
m − x
y

15. 93
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral. Para uma
parábola com eixo de simetria horizontal temos:
)mx(p2)ny( 2
−⋅=− ⇒ pm2px2nny2y 22
−=+− ⇒ xm
p2
n
y
p
n
y
p2
1 2
2
=++− .
Fazendo:
p2
1
a = ,
p
n
b = e m
p2
n
c
2
+= , temos a expressão cbyayx 2
++++++++==== , que é a
equação geral de uma parábola de eixo de simetria horizontal. Note que neste caso
a variável x esta em função da variável y, ou seja, )y(fx ==== . Analogamente, obtemos
a equação geral de uma parábola com eixo de simetria vertical que é dada por
cbxaxy 2
++++++++==== , e neste caso a variável y está em função da variável x, ou seja,
)x(fy ==== .
Considere uma parábola com eixo de simetria horizontal com vértice )n,m(V ,
reta diretriz (d). Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pelo vértice V, traça-se
uma reta paralela ao eixo Oy obtendo o ponto S.
Do triângulo retângulo RSV vem que:
2
p
ny
tg
−
=θ ⇒ θ=− tg
2
p
ny ⇒ θ+= tg
2
p
ny .
Como θ=− 2
2
2
tg
4
p
)ny( e )mx(p2)ny( 2
−=− , igualando as duas expressões vem que:
θ=− 2
2
tg
4
p
)mx(p2 ⇒ θ+= 2
tg
8
p
mx . Essas são as equações paramétricas para uma
parábola com eixo de simetria horizontal. Analogamente, pode-se demonstrar as
equações paramétricas de uma parábola com eixo de simetria vertical. Então:
Equações Paramétricas:
a) Parábola com eixo de simetria horizontal: ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤






θθθθ++++====
θθθθ++++====
20,
tg
2
p
ny
tg
8
p
mx 2
b) Parábola com eixo de simetria vertical: ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤






θθθθ++++====
θθθθ++++====
20,
gcot
8
p
ny
gcot
2
p
mx
2
2
p
S
y
x
Q
R
m
(d)
P(x,y)
FVn θ

16. 94
Exemplo (7): Determine o vértice, foco e a reta diretriz da parábola 8x6xy 2
+−= .
Faça um esboço da parábola.
Solução: A equação dada está na forma normal e é de uma parábola de eixo vertical
com concavidade para cima. Vamos passar para forma reduzida, então:
899x6xy
2
)3x(
2
+−+−=
−
⇒ )1y(1)3x( 2
+⋅=− . Identificando com a equação
)ny(p2)mx( 2
−=− , temos que o vértice V(m,n) = (3,-1) e 2p = 1 ⇒
4
1
2
p
e
2
1
p == .
Logo, o foco é ),3()n,m(F 4
3
2
p
−=+ e a reta diretriz (d):
4
5y −= .
Exemplo (8): O foco de uma parábola é o ponto F(4,3) e sua reta diretriz é (d):
x=2. Determine sua equação normal e as equações paramétricas.
Solução: Se a diretriz é a reta x = 2, então a parábola é de eixo horizontal. O vértice
V(m,n) é ponto médio do segmento QF que une a reta diretriz ao foco, logo V(3,3) e
o parâmetro p = 2. Como o foco está à direita da diretriz, sua concavidade é voltada
para a direita. Veja a figura abaixo. Desenvolvendo a equação reduzida obtemos a
equação normal:
)3x(4)3y()mx(p2)ny( 22
−=−⇒−=− ⇒ 12x49y6y2
−=+− ⇒
4
21
y
2
3
y
4
1
x 2
+−=
As equações paramétricas são:






θ+=
θ+=
tg
2
p
ny
tg
8
p
mx 2
⇒




θ+=
θ+=
tg3y
tg
4
1
3x 2
8
42
1−
4
3−
4
5−
3
F
V (d)
2 3
Q
p
4
(d)
FV
3

17. 95
Exercícios Propostos
1) Determine a equação geral da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e na
qual uma de suas cordas tem por extremo os pontos A(6,4) e B(3,-5).
Resp: 016x6yx 22
=−−+
2) Escrever a equação geral da circunferência que passa pelos pontos A(0,1), B(1,2) e
C(1,8). Resp: 09y10x6yx 22
=+−++
3) Um satélite em órbita elíptica e excentricidade 3
1 , viaja ao redor da Terra, situada
num dos focos da trajetória do satélite. Sabendo-se que a distância mais próxima do
satélite a Terra é de 300 Km, calcular a maior distância. Resp: 600 Km
4) Dada à elipse de equações paramétricas



θ+=
θ+=
sen32y
cos53x
, determine a interseção
dela com a reta
5
14x3
y:)r(
−
= . Resp: A(8,2) e B(3,-1)
5) Uma hipérbole eqüilátera é aquela em que ab = . Determine a equação reduzida e
as equações paramétricas de uma hipérbole eqüilátera de focos F1(-4,0) e F2(4,0).
Resp:




θ=
θ=
=+
tg22y
sec22x
e8yx 22
6) Mostre que a equação Eyx4 22
=− , sendo ℜ∈E e 0E ≠ , representa uma família
de hipérboles de excentricidade constante igual a 5 .
7) Determine o parâmetro, o foco, o vértice e a reta diretriz da parábola de equação
x12y2
= . Resp: 3x:)d(e)0,3(F),0,0(V,6p −==
8) Determine o parâmetro, o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola
3x2xy 2
++−= . Resp:
4
17
y:)d(e
4
15
,1F),4,1(V,
2
1
p =





=