79CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACAPÍTULO 8CÔNICASMuitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências...
801 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICAAs cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representaçõesserão real...
81CIRCUNFERÊNCIADefinição: é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixoC (centro) do mesmo plan...
82Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação geral. Paradeterminarmos o centro e o raio e necessário ...
83• Excentricidade:ace = . A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja,quanto mais "arredondada" ou "achatada" é...
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85222a)ny()mx( =−+− , que é a equação de uma circunferência de raio R = a, ouseja, a circunferência pode ser considerada u...
86Equivalentemente, o segmento PM é paralelo ao eixo Ox. Dessa forma, cE xx = eiE yy = , ou seja:θ⋅+=θ⋅+=senbnycosamx:)...
87032)1616y8y(444x4x22)4y(2)2x(2=+−+−+−+−−−⇒ 032644)4y(4)2x( 22=+−−−+− ⇒⇒363636)4y(436)2x( 22=−+−⇒ 19)4y(36)2x( 22=−+−. Co...
88HIPÉRBOLEDefinição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que c2FF 21 = ,chamamos de hipérbole o lugar geomé...
89Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Pela definição temos que:a2|PF||PF| 21 ====−−−− que é a equação vetorial da ...
90Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. A interseção da assíntota (r1) coma circunferência C1 é o ponto Q. Pelos pon...
91Exemplo (6): O eixo real de uma hipérbole é vertical e suas assíntotas são as retas03yx2:)r( 1 =−+ e 03yx2:)r( 2 =+− . E...
92• A reta que passa por F e V é o eixo de simetria da parábola• O segmento pRF = , onde p é chamado de parâmetro da paráb...
93O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral. Para umaparábola com eixo de simetria horizontal temos:)...
94Exemplo (7): Determine o vértice, foco e a reta diretriz da parábola 8x6xy 2+−= .Faça um esboço da parábola.Solução: A e...
95Exercícios Propostos1) Determine a equação geral da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e naqual uma de suas c...
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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08

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  1. 1. 79CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACAPÍTULO 8CÔNICASMuitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências estão relacionadas àsseções cônicas. Desde os tempos dos gregos clássicos como Arquimedes, Apolônio entre outros, já haviaestudos sobre essas curvas. No texto "Elementos de Euclides" (270 a.C.) tratavam de elipses, hipérboles eparábolas ou, para usarmos o nome comum, seções cônicas. Estas são curvas obtidas quando um planointercepta um cone de revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio (200a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de talmodo que a soma de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes e também queuma hipérbole é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença de suasdistâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. Desde o tempo de Apolônio que as seçõescônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que,lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a dagravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático)descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitaçãoe das leis da Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para transformaçõeslineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos resultados obtidos por Newton sobre omovimento planetário, aparece a equação das cônicas em coordenadas polares. A hipérbole é utilizada noestudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. A parábola é a curva que descreve atrajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhosparabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas.Como vimos no pequeno histórico acima, as seções cônicas são curvas planasobtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a parábola, aelipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poderser obtida também por uma seção de um cone. Devido a sua inquestionávelimportância na matemática, em particular na geometria, e em outras ciências,estaremos também introduzindo o estudo da circunferência.CircunferênciaHipérboleParábolaElipse
  2. 2. 801 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICAAs cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representaçõesserão realizadas no plano cartesiano (ℜ2).A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma equaçãodo 2º grau da forma: 0FEyDxCyBxyAx 22=+++++ .O termo "xy" da equação geral das cônicas é chamado de "termo retângulo".Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a equação é"degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo,simplesmente chamares de equação geral. Geometricamente, a diferença entre aequação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relaçãoaos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria dacônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não édegenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados.Neste capítulo estaremos estudando somente as cônicas com equação geral nãodegenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação e rotaçãode eixos, estudaremos as cônicas com equação geral degenerada.Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante paratodas, ou seja, 0FEyDxCyBxyAx 22=+++++ , uma forma de identificar a cônicaatravés da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação:⇒>−⇒=−⇒<−hipérbole0AC4Bseparábola0AC4Bseelipse0AC4Bse222Por exemplo:a) Se 04y4x4y5xy6x5 22=−+−++ ⇒ 064AC4B2<−=− ⇒ elipse.b) Se 03y4x2yxy2x 22=+−++− ⇒ 0AC4B2=− ⇒ parábola.c) Se 024x224y3xy18x3 22=−+++ ⇒ 0288AC4B2>=− ⇒ hipérbole.Elipse de equação geralnão degeneradaxy eixo de simetriaElipse de equação geraldegeneradaxyeixo de simetria
  3. 3. 81CIRCUNFERÊNCIADefinição: é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixoC (centro) do mesmo plano.OBS: O segmento que une qualquer ponto da circunferência ao centro é chamado deraio, denotado pela letra r. O segmento que une dois pontos quaisquer dacircunferência passando pelo centro e chamado de diâmetro, denotado pela letra d.Vale a relação r2d = .Seja a circunferência de centro C(m,n) e raio r. Seja P(x,y) um ponto qualquerda circunferência.Temos que r|CP| = , que é a equação vetorial da circunferência. Como)ny,mx(CP −−= , então: r)ny()mx(|CP| 22=−+−= , logo 222r)ny()mx( =−+− .Esta expressão é chamada de equação reduzida da circunferência.O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,uma equação do tipo 0edycxbyax 22=++++ , e são assim que geralmente elasaparecem na literatura.Outra equação importante são as equações paramétricas, as quais sãodefinidas como segue. Na figura anterior, vamos determinar o senθ e o cosθ notriângulo CPS.θ+=⇒−=θ senrnyrnysen e θ+=⇒−=θ cosrmxrmxcosAs equações paramétricas da circunferência são:θ+=θ+=senrnycosrmx, π≤θ≤ 20 .Exemplo (1): Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência03y6x4yx 22=−+−+ .P(x,y)yxm OxnCrθSOyOr
  4. 4. 82Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação geral. Paradeterminarmos o centro e o raio e necessário passar para forma reduzida,completando os quadrados. Então:0399y6y44x4x22)3y(2)2x(2=−−+++−+−+−⇒ 16)3y()2x( 22=++− . Agora na forma daequação reduzida podemos ver que o centro é igual C(2,-3) e o raio é igual a r = 4.Exemplo (2): Determine a equação reduzida da circunferência, sabendo-se que umde seus diâmetros é o segmento de extremos A(1,3) e B(5,-3).Solução: O diâmetro é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferênciapassando pelo centro e vale r2d = . Logo o centro C(m,n) da circunferência é pontomédio do diâmetro. Então: )0,3(233,251)n,m(C = −+= . A distância entre A e B é ovalor do diâmetro. Assim, 132)33()15(|AB|d 22=−−+−== , logo 132dr == .Portanto, a equação reduzida é 13y)3x( 22=+− .ELIPSEDefinição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 do plano, com c2FF 21 = , chamamos deelipse o lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das distâncias aospontos F1 e F2 é uma constante 2a>2c.• C(m,n) é o centro;• A1, A2, B1 e B2 são vértices;• F1 e F2 são focos;• a2AA 21 = é o eixo maior;• b2BB 21 = é o eixo menor;• c2FF 21 = é a distância focal;• Relação notável para elipse: Do triângulo CB1F2 vem que 222cba += .nmPB2B1A1 A2OyOxF1 F2CacbO
  5. 5. 83• Excentricidade:ace = . A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja,quanto mais "arredondada" ou "achatada" é a figura. Como, para elipse, c < a,então 1e0 << . Assim, quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, maisachatada (alongada) é a elipse e, quanto mais próximo de zero, mais arredondadaela será.Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A distância do ponto P ao foco F1 édada por |PF| 1 e a distância do ponto P ao foco F2 é dada por |PF| 2 . Portanto, peladefinição da elipse escrevemos a expressão a2|PF||PF| 21 ====++++ chamada de equaçãovetorial da elipse.O desenvolvendo da equação vetorial resulta em outra expressão chamada deequação reduzida da elipse. Vamos fazer este desenvolvimento.Considere uma elipse de centro )n,m(C , focos )n,cm(F1 − e )n,cm(F2 + e eixomaior horizontal, ou seja, o eixo maior da elipse 21AA é paralelo ao eixo coordenadoOx. Seja )y,x(P um ponto qualquer da elipse como mostra a figura abaixo.Temos que:( ) ( )( ) ( )−−−=⇒−+−=−+−=⇒−−−=ny,c)mx(PFny),cm(xPFny,c)mx(PFny),cm(xPF2211 ⇒[ ][ ]−+−−=−++−=222221)ny(c)mx(|PF|)ny(c)mx(|PF|Como a2|PF||PF| 21 =+ ⇒ |PF|a2|PF| 21 −= . Elevando ao quadrado ambos os ladosdesta última igualdade vem que: ( )2221 |PF|a2|PF| −= ⇒222221 |PF||PF|a4a4|PF| +⋅−= ⇒ |PF|a4a4|PF||PF| 222221 ⋅−=− ⇒[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 22222222⋅−=−+−−−−++− ⇒[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 222222⋅−=−−−−−−++− ⇒|PF|a4a4c)mx(c2)mx(c)mx(c2)mx( 222222⋅−=−−+−−+−+− ⇒nmPB2B1A1 A2OyOxF1 F2CcOcm-c m+cxy
  6. 6. 84|PF|a4a4)mx(c4 22⋅−=− ⇒ |PF|aa)mx(c 22⋅−=−− . Elevando ambos os membrosao quadrado vem que:[ ] ( )2222|PF|aa)mx(c ⋅−=−− ⇒ [ ] 22222|PF|)a(a)mx(c ⋅−=−− ⇒[ ] [ ]222222)ny(c)mx()a(a)mx(c −+−−⋅−=−− ⇒( )22224222)ny(c)mx(c2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−⋅=+−−− ⇒22222224222)ny(aca)mx(ca2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−=+−−− ⇒0caa)ny(a)mx(a)mx(c 224222222=−+−−−−− ⇒0)ca(a)ny(a)mx()ac( 22222222=−⋅+−−−⋅− (*)Pela relação notável da elipse 222cba += ⇒ 222bca =− . Substituindo na equação(*) vem que:0ba)ny(a)mx(b 222222=⋅+−⋅−−⋅− ⇒ 222222ba)ny(a)mx(b −=−⋅−−⋅−Dividindo todos os termos da equação por ( 22ba ⋅− ) vem que:222222222222baba)ny(baa)mx(bab−−=−⋅−−−⋅−−⇒ 1)ny(b1)mx(a1 2222=−⋅+−⋅e finalmente obtemos a equação reduzida da elipse: 1b)ny(a)mx(2222====−−−−++++−−−−Esta expressão acima demonstrada é a equação reduzida de uma elipse de eixomaior horizontal (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Ox), mas existem as elipses deeixo maior vertical (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Oy) e suas equações sãodiferentes. O desenvolvimento para obtermos a equação reduzida de uma elipse deeixo maior vertical é análogo ao que fizemos para a elipse de eixo maior horizontal e,portanto, não apresentaremos este desenvolvimento. De uma forma geral temos:Equação Reduzida:a) Elipse de eixo maior horizontal: 1b)ny(a)mx(2222====−−−−++++−−−−b) Elipse de eixo maior vertical: 1a)ny(b)mx(2222====−−−−++++−−−−OBS: Em uma elipse, se a = b, temos que 222cba += ⇒ 222caa += ⇒ 0c = .Fazendo a = b na equação reduzida vem que: 1a)ny(a)mx(2222=−+−⇒
  7. 7. 85222a)ny()mx( =−+− , que é a equação de uma circunferência de raio R = a, ouseja, a circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula, pois,0a0ace === .Desenvolvendo-se a equação reduzida da elipse obtém-se outra expressãochamada de equação geral, a qual tem a forma 0yxyx 22====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα . Vamosfazer este desenvolvimento para o caso de uma elipse de eixo maior horizontal, cujaequação reduzida é 1b)ny(a)mx(2222=−+−. Multiplicando toda a equação por 22bavem que: 2222222222bab)ny(baa)mx(ba=−+−⇒ 222222ba)ny(a)mx(b =−⋅+−⋅ ⇒22222222ba)nny2y(a)mmx2x(b =+−⋅++−⋅ ⇒0banayna2yambxmb2xb 222222222222=−+−++− ⇒0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222=−++−−+ . Fazendo:0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222=−++−−+φθγβα, obtém-se a equação geralda elipse 0yxyx 22====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .Considere como na figura abaixo, uma elipse E de eixo maior horizontal, comcentro em )n,m(C , com eixo maior a2AA 21 = e eixo menor b2BB 21 = , acircunferência Ci com centro em )n,m(C e raio igual a "b", inscrita na elipse, acircunferência Cc com centro em )n,m(C e raio igual a "a", circunscrita na elipse e)y,x(P EE um ponto qualquer da elipse E.Por P, traça-se uma paralela ao eixo Oy, que determina em Cc o ponto )y,x(R cce uma paralela ao eixo Ox, que determina em Ci o ponto )y,x(M ii . De acordo com asequações paramétricas de uma circunferência tem-se:θ⋅+=θ⋅+=senbnycosbmx:)I(iieθ⋅+=θ⋅+=senanycosamx:)II(cc, π≤θ≤ 20 .Por outro lado, os pontos C, M e R são colineares. De fato:01asenncosam1bsenncosbm1nm=θ+θ+θ+θ+
  8. 8. 86Equivalentemente, o segmento PM é paralelo ao eixo Ox. Dessa forma, cE xx = eiE yy = , ou seja:θ⋅+=θ⋅+=senbnycosamx:)I(EE, π≤θ≤ 20 . Portanto, as equaçõesparamétricas da elipse são:θ⋅+=θ⋅+=senbnycosamxEE, π≤θ≤ 20 .Analogamente podem ser determinadas as equações paramétricas de umaelipse de eixo maior vertical. De uma forma geral temos:Equações Paramétricas:a) Elipse de eixo maior horizontal:θθθθ++++====θθθθ++++====bsennycosamx, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20b) Elipse de eixo maior vertical:θθθθ++++====θθθθ++++====asennycosbmx, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinteidentificação: da equação reduzida temos 1bnyamx22= −+ −. Usando a relaçãofundamental da trigonometria 1sencos 22=θ+θ e, confrontando as duas expressõesteremos:amxcos−=θ ⇒ θ+= cosamx ebnysen−=θ ⇒ θ+= senbny .Exemplo (3): Determine o centro, vértices, focos e a excentricidade da elipsex2+4y2-4x-32y+32=0.Solução: Como a elipse foi dada na sua forma normal, devemos completar osquadrados e passá-la para a forma reduzida. Então:OxOyRm xE=xcyE=yiB2B1A1A2CPQMNnθCcCi
  9. 9. 87032)1616y8y(444x4x22)4y(2)2x(2=+−+−+−+−−−⇒ 032644)4y(4)2x( 22=+−−−+− ⇒⇒363636)4y(436)2x( 22=−+−⇒ 19)4y(36)2x( 22=−+−. Como 22ba > , então=⇒==⇒=3b9b6a36a22, e a elipse é de eixo maior horizontal. Da relação notável vem que33ccba 222=⇒+= . Da equação reduzida temos que o centro é C(2,4).)4,4()n,am(A1 −=− , )4,8()n,am(A2 =+ , )7,2()bn,m(B1 =+ , )1,2()bn,m(B2 =− ,)4,332()n,cm(F1 −=− e )4,332()n,cm(F2 +=+ .Exemplo (4): Determine a equação reduzida da elipse de excentricidade54, cujosfocos são pontos da reta 04x =+ e sendo B1(-1,3) um dos extremos do eixo menor.Solução: Como os focos estão sobre a reta 4x −= , trata-se de uma elipse de eixomaior vertical. Geometricamente podemos determinar o centro )3,4(C − , 3b = e)3,7(B2 − . Como54ace == ⇒ a54c = . Da relação ⇒+= 222cba ⇒+=222a543a⇒=− 9a2516a 225a = e 4c = .Portanto, a equação reduzida será 125)3y(9)4x( 2=−++.332 − 332 + 8B2B1A2A1yxF1 F2C2-44xy78-2-7 -1-13x −=-4
  10. 10. 88HIPÉRBOLEDefinição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que c2FF 21 = ,chamamos de hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano, cujo módulo dadiferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante c2a2 < .Seus elementos são:• C(m,n) é o centro;• A1, A2 são vértices;• F1 e F2 são focos;• a2AA 21 = é o eixo real (ou eixo transverso);• b2BB 21 = é o eixo imaginário (ou eixo conjugado);• c2FF 21 = é a distância focal;• Relação notável para elipse: Do triângulo CA2Q ⇒ 222bac +=• Excentricidade:ace = . Como, para hipérbole, ca < , então 1e > . Assim, quantomais próximo de 1 estiver à excentricidade, mais fechados são os ramos dahipérbole e, mais abertos eles serão à medida que a excentricidade se afasta de 1.• As retas (r1) e (r2) são chamadas de assíntotas. Elas são muito úteis no esboço dahipérbole, norteando a abertura dos ramos, uma vez que, os ramos nãointerceptam e nem tangenciam as assíntotas. Suas equações são determinadaspor: )mx(ab)ny( −±=− para hipérbole de eixo real horizontal (eixo real 21AAparalelo ao eixo Ox) e )mx(ba)ny( −±=− para hipérbole de eixo real vertical (eixoreal 21AA paralelo ao eixo Oy).yxPnm(r1)F1 F2A1 A2B2B1C ac b(r2)Q
  11. 11. 89Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Pela definição temos que:a2|PF||PF| 21 ====−−−− que é a equação vetorial da hipérbole.A exemplo do que foi realizado com a elipse, o desenvolvimento da equaçãovetorial resulta na equação reduzida. Então:Equação reduzida:a) Hipérbole de eixo real horizontal: 1b)ny(a)mx(2222====−−−−−−−−++++−−−−b) Hipérbole de eixo real vertical: 1a)ny(b)mx(2222====−−−−++++−−−−−−−−O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,uma equação da forma: 0yxyx 22====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .Considere uma hipérbole de eixo real horizontal como na figura abaixo, comcentro em )n,m(C , com eixo real a2AA 21 = , imaginário b2BB 21 = e distância focalc2FF 21 = . Traça-se uma circunferência C1 com centro em )n,m(C e raio igual a "c", acircunferência C2 com centro em )n,m(C e raio igual a "a" e uma das assíntotas (r1).A1A2Cmnhipérbole de eixo real verticalA1 A2mnChipérbole de eixo real horizontalQF1PF2A1 A2Cacy=b+nnm x=m+cθ(r1)C1C2B1B2b
  12. 12. 90Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. A interseção da assíntota (r1) coma circunferência C1 é o ponto Q. Pelos pontos Q e A2, traça-se uma paralela ao Oy.Pela construção temos que ba = e as coordenadas do ponto P(x,y) são cmx += ebny += . Do triângulo retângulo CA2Q vem que:cacos =θ ⇒θ=cos1ac⇒ θ=− secamx ⇒ θ+= secamxabtg =θ ⇒ θ= atgb ⇒ θ=− btgny ⇒ θ+= btgny .Analogamente, podemos demonstrar as equações paramétricas para umahipérbole de eixo real vertical. Assim:Equações Paramétricasa) Hipérbole de eixo real horizontal:θθθθ++++====θθθθ++++====btgnysecamx, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20b) Hipérbole de eixo real vertical:θθθθ++++====θθθθ++++====secanybtgmx, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinteidentificação: da equação reduzida temos 1bnyamx22= −− −. Usando a relação datrigonometria 1tgsec 22=θ−θ . Confrontando as duas expressões teremos:amxsec−=θ ⇒ θ+= secamx ebnytg−=θ ⇒ θ+= btgny .Exemplo (5): Determine os focos e os vértices da hipérbole de equação normal0199y64x18y16x9 22=−−−− .Solução: Escrevendo a equação na forma reduzida teremos:0199)44y4y(16)11x2x(9 22=−−++−−+− ⇒0199649)2y(16)1x(9 222=−+−+−− ⇒ 144)2y(16)1x(9 222=+−− ⇒144144144)2y(16144)1x(9 22=+−−⇒ 19)2y(16)1x( 22=−++−ou 19)2y(16)1x( 22=+−−.A equação reduzida mostra que a hipérbole é de eixo real horizontal e,4a16a2=⇒= , 3b9b2=⇒= . Da relação notável: 222bac += ⇒ 5c = . O centro éC(m,n) = (1,-2).vértices:−=−−=+)2,3()n,am(A)2,5()n,am(A21focos:−=−−=+)2,4()n,cm(F)2,6()n,cm(F21
  13. 13. 91Exemplo (6): O eixo real de uma hipérbole é vertical e suas assíntotas são as retas03yx2:)r( 1 =−+ e 03yx2:)r( 2 =+− . Escreva sua equação reduzida sabendo-seque ela passa pelo ponto P(0,7) e faça um esboço.Solução: A interseção das assíntotas é o centro C(m,n). Resolvendo o sistema linear=+−=−+03yx203yx2, determinamos o centro C(0,3). Fazendo uma identificação com asequações das assíntotas )mx(ba)ny( −±=− e+=+−=3x2y3x2y, determinamos oscoeficientes angulares 2ba±= . Dai, podemos escrever que a=2b. Como a hipérbolepassa pelo ponto P(4,6)=(x,y), então ele satisfaz a equação reduzida1a)ny(b)mx(2222=−+−−.Logo: 1)b2()37(b)00(2222=−+−−⇒ 1b416b022=+−⇒ 2b = e4a = . Portanto, a equação reduzida é 116)3y(4x 22=−+−.4 PARÁBOLADefinição: É o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de uma reta (d)fixa e de um ponto fixo (F), não pertencente à reta (d).Os elementos da parábola são:• Vértice: V(m,n)• F: foco• (d): reta diretrizA1A2C(0,3)-137(r2)(r1)-1 1QO2pm(d)PFVn2pR
  14. 14. 92• A reta que passa por F e V é o eixo de simetria da parábola• O segmento pRF = , onde p é chamado de parâmetro da parábola• Os segmentos2pVFRV ==Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pela definição temos que:|FP||QP| ==== que é a equação vetorial.O desenvolvimento da equação vetorial resulta na equação reduzida. Considereuma parábola com eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo Ox) como na figuraabaixo. Então sua equação vetorial é |FP||QP| = . Como )y,x(P ,  − y,mQ 2pe + n,mF 2p, vem que  +−= 0,mxQP 2pe  −−−= ny,mxFP 2p. Assim:|FP||QP| = ⇒ 222p22p)ny()mx()mx( −+ −−= +− ⇒222p22p)ny()mx()mx( −+ −−= +− ⇒⇒ 24p24p2)ny(p)mx()mx(p)mx()mx(22−++⋅−−−=+⋅−+− ⇒)mx(p2)ny( 2−⋅=− . Que é a equação reduzida de uma parábola com eixo desimetria horizontal.Analogamente demonstra-se a equação reduzida de uma parábola com eixo desimetria vertical (paralelo ao eixo Oy). Então:Equação reduzida:a) Parábola com eixo de simetria horizontal:±±±±====−−−−====−−−−2pmx:diretriztaRe)mx(p2)ny( 2b) Parábola com eixo de simetria vertical:±±±±====−−−−====−−−−2pny:diretriztaRe)ny(p2)mx( 2QO2pm(d)PFVn2pR2pm +2pm − xy
  15. 15. 93O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral. Para umaparábola com eixo de simetria horizontal temos:)mx(p2)ny( 2−⋅=− ⇒ pm2px2nny2y 22−=+− ⇒ xmp2nypnyp21 22=++− .Fazendo:p21a = ,pnb = e mp2nc2+= , temos a expressão cbyayx 2++++++++==== , que é aequação geral de uma parábola de eixo de simetria horizontal. Note que neste casoa variável x esta em função da variável y, ou seja, )y(fx ==== . Analogamente, obtemosa equação geral de uma parábola com eixo de simetria vertical que é dada porcbxaxy 2++++++++==== , e neste caso a variável y está em função da variável x, ou seja,)x(fy ==== .Considere uma parábola com eixo de simetria horizontal com vértice )n,m(V ,reta diretriz (d). Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pelo vértice V, traça-seuma reta paralela ao eixo Oy obtendo o ponto S.Do triângulo retângulo RSV vem que:2pnytg−=θ ⇒ θ=− tg2pny ⇒ θ+= tg2pny .Como θ=− 222tg4p)ny( e )mx(p2)ny( 2−=− , igualando as duas expressões vem que:θ=− 22tg4p)mx(p2 ⇒ θ+= 2tg8pmx . Essas são as equações paramétricas para umaparábola com eixo de simetria horizontal. Analogamente, pode-se demonstrar asequações paramétricas de uma parábola com eixo de simetria vertical. Então:Equações Paramétricas:a) Parábola com eixo de simetria horizontal: ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤θθθθ++++====θθθθ++++====20,tg2pnytg8pmx 2b) Parábola com eixo de simetria vertical: ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤θθθθ++++====θθθθ++++====20,gcot8pnygcot2pmx22pSyxQRm(d)P(x,y)FVn θ
  16. 16. 94Exemplo (7): Determine o vértice, foco e a reta diretriz da parábola 8x6xy 2+−= .Faça um esboço da parábola.Solução: A equação dada está na forma normal e é de uma parábola de eixo verticalcom concavidade para cima. Vamos passar para forma reduzida, então:899x6xy2)3x(2+−+−=−⇒ )1y(1)3x( 2+⋅=− . Identificando com a equação)ny(p2)mx( 2−=− , temos que o vértice V(m,n) = (3,-1) e 2p = 1 ⇒412pe21p == .Logo, o foco é ),3()n,m(F 432p−=+ e a reta diretriz (d):45y −= .Exemplo (8): O foco de uma parábola é o ponto F(4,3) e sua reta diretriz é (d):x=2. Determine sua equação normal e as equações paramétricas.Solução: Se a diretriz é a reta x = 2, então a parábola é de eixo horizontal. O vérticeV(m,n) é ponto médio do segmento QF que une a reta diretriz ao foco, logo V(3,3) eo parâmetro p = 2. Como o foco está à direita da diretriz, sua concavidade é voltadapara a direita. Veja a figura abaixo. Desenvolvendo a equação reduzida obtemos aequação normal:)3x(4)3y()mx(p2)ny( 22−=−⇒−=− ⇒ 12x49y6y2−=+− ⇒421y23y41x 2+−=As equações paramétricas são:θ+=θ+=tg2pnytg8pmx 2⇒θ+=θ+=tg3ytg413x 28421−43−45−3FV (d)2 3Qp4(d)FV3
  17. 17. 95Exercícios Propostos1) Determine a equação geral da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e naqual uma de suas cordas tem por extremo os pontos A(6,4) e B(3,-5).Resp: 016x6yx 22=−−+2) Escrever a equação geral da circunferência que passa pelos pontos A(0,1), B(1,2) eC(1,8). Resp: 09y10x6yx 22=+−++3) Um satélite em órbita elíptica e excentricidade 31 , viaja ao redor da Terra, situadanum dos focos da trajetória do satélite. Sabendo-se que a distância mais próxima dosatélite a Terra é de 300 Km, calcular a maior distância. Resp: 600 Km4) Dada à elipse de equações paramétricasθ+=θ+=sen32ycos53x, determine a interseçãodela com a reta514x3y:)r(−= . Resp: A(8,2) e B(3,-1)5) Uma hipérbole eqüilátera é aquela em que ab = . Determine a equação reduzida eas equações paramétricas de uma hipérbole eqüilátera de focos F1(-4,0) e F2(4,0).Resp:θ=θ==+tg22ysec22xe8yx 226) Mostre que a equação Eyx4 22=− , sendo ℜ∈E e 0E ≠ , representa uma famíliade hipérboles de excentricidade constante igual a 5 .7) Determine o parâmetro, o foco, o vértice e a reta diretriz da parábola de equaçãox12y2= . Resp: 3x:)d(e)0,3(F),0,0(V,6p −==8) Determine o parâmetro, o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola3x2xy 2++−= . Resp:417y:)d(e415,1F),4,1(V,21p ==

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