Ex algebra (6)

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Ex algebra (6)

  1. 1. UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo LISTA 2 - 2010-2 DMAT - Departamento de Matem´tica a Limite e limites laterais Continuidade 1. Os gr´ficos de g e h s˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado. a a y y h 5 4 f (x) = g(x) · h(x) 4 e g 3 2 f (x) = (h ◦ g)(x) 2 1 x ambas no ponto x = 1 –3 –2 –1 1 2 3 4 x –3 –2 –10 1 2 3 4 –1 –2 { { x2 + 3 se x≤1 x2 se x≤1 2. Dadas as fun¸˜es co f (x) = e g(x) = , x+1 se x>1 2 se x>1 (i) Esboce o gr´fico de f e g; a (iii) Dˆ a express˜o da fun¸˜o F (x) = f (x) · g(x) e a ca (ii) Calcule lim f (x) e lim g(x); e verifique se existe lim F (x). x→1 x→1 x→1 3. Dˆ um exemplo no qual lim |f (x)| existe, mas lim f (x) n˜o existe. e a x→0 x→0 4. Se f (x) > 0 para todo x ̸= 2 e f (2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo s˜o verdadeiras ou falsas. a Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo. (a) lim f (x) n˜o existe a (b) lim f (x) = −3 (c) Se existir, lim f (x) ´ positivo e x→2 x→2 x→2 5. Sabe-se que lim f (x) = 5 e f ´ definida em R. Todas as afirmativas abaixo s˜o falsas. Tente desenhar um e a x→2 contra-sxemplo para cada uma delas. (a) f (x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f (2) = 5 (c) f (2) ´ positivo e Nos exerc´ ıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso n˜o exista, justifique. a √ √ √ √ 2x2 + 5x − 3 x+2+ x+6− 6− 2 6. lim 9. lim x→ 1 2x − 5x + 2 2 2 x→0 x ( ) ( ) √ 3 1 − x2 − 2 1 − x3 1− 1−x 3 7. lim 10. lim √ x→1 (1 − x3 ) (1 − x2 ) x→0 1 + 3 3x − 1 √ 1 − 2x − x2 − (x + 1) x2 − 5x + 4 8. lim 11. lim x→0 x x→1 |x − 1| Nos exerc´ ıcios 12. a 14. verifique se a fun¸˜o dada ´ cont´ ca e ınua nos pontos indicados. Justifique a resposta.  √  x−1 1 [ ] , x ̸= 1 em x = 1 14. f (x) = (x − 1) |x| , para −2 ≤ x ≤ 2,  2x − 112. f (x) = 2 [ ] , x=1 onde |x| = maior inteiro que n˜o supera x. a √ Pontos x = 0 e x = 1. x2 + 113. f (x) = 6 em qualquer x ∈ R (Sugest˜o: esboce o gr´fico de f ) a a x + x2 + 2  √  − 2−x , x<115. Para a fun¸˜o f definida por f (x) = ca ax + b , 1≤x<2  2 x − 7x + 12 , x≥2 ınua em R (a) Determine os valores de a e b para que f seja cont´ (b) Esboce o gr´fico de f . a16. Dˆ um exemplo com duas fun¸˜es f e g tais que f seja cont´ e co ınua em x = 0, g seja descont´ ınua em x = 0 e no entanto f · g seja cont´ ınua em x = 0.
  2. 2. RESPOSTAS 1. lim− g(x) · h(x) = 4 lim g(x) · h(x) = −6 lim (h ◦ g)(x) = −2 lim (h ◦ g)(x) = 0 x→1 x→1+ x→1− x→1+ y y 4 6 g ii) lim− f (x) = 4 lim g(x) = 1 f x→1 x→1− 5 3 lim f (x) = 2 lim g(x) = 2 4 2 x→1+ { ( 2 ) x→1+ 2. i) 3 x + 3 x2 , x≤1 1 iii) F (x) = 2 2(x + 1) , x>1 1 lim F (x) = 4 –1 0 x x→1 x –2 1 2 3 –2 2 4 –1 –1 x 3. f (x) = |x| { |x − 2| se x ̸= 2 4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f (x) = lim f (x) = 0 −3 se x = 2 x→2 √ √ 7 1 6+ 2 1 6. − 7. 8. −2 9. √ 10. 3 2 4 3 311. f (x) → 3 se x → 1− e f (x) → −3 se x → 1+ , portanto o limite n˜o existe a 112. N˜o, pois lim f (x) = a ̸= 2 = f (1) x→1 2 ınua em R.13. Sim, ´ cont´ e O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicando ınio de f ´ igual a R. y = x2 + 1 > 0. Logo o dom´ e co a ınuas para todo x ∈ R, pois Assim basta verificar se as fun¸˜es do numerador e denominador s˜o cont´ sabemos que o quociente de fun¸˜es cont´ co ınuas ´ uma fun¸˜o cont´ e ca ınua. Verificando: A fun¸˜o do denominador ´ cont´ ca e ınua em R pois ´ uma fun¸˜o polinomial (qualquer fun¸˜o polinomial ´ e ca ca e ınua em R). A fun¸˜o do numerador ´ a composi¸˜o de duas fun¸˜es: a fun¸˜o raiz e uma fun¸˜o cont´ ca e ca co ca ca polinomial. Como a fun¸˜o raiz ´ cont´ ca e ınua em [0, ∞), em particular ´ cont´ e ınua em (0, ∞), isto ´, neste e √ caso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0, ∞) ⇒ y ´ cont´ e ınua em (0, ∞) . Como a a composta de cont´ ınuas ´ cont´ e ınua, a fun¸˜o do numerador ´ cont´ ca e ınua. 3 214. 1 ´ cont´ e ınua em x = 1 e descont´ ınua em x = 0 –3 –2 –1 1 2 3 –1 y 3 215. (a) a = 3 e b = −4 1 0 x –2 2 4 –1 –2 { x , x ̸= 016. f (x) = |x| e g(x) = |x| 0 , x=0

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