Ex algebra (3)

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Ex algebra (3)

  1. 1. Lista 2 de Integrais UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo Integral definida DMAT - Departamento de Matem´tica a Teorema Fundamental do C´lculo a ´ Area de regi˜es planas o Calcule as integrais dos exerc´ ıcios 1. a 10. 1 √ 2 √ 3 x ( t )2 − 2 dt 3 1. 5. (2 − s) s ds 9. √ dx −1 0 2 x−1 1 √ 1 1 x− x 2 x 2. dx 6. |x| dx 10. √ dx 0 3 −1 0 1 − x4 3 4 3 3. − 1 dx 7. x2 − 4x + 3 dx 1 x2 0 π 2 2 4 4. dx 8. cos3 x dx 1 x 0 Derive as fun¸˜es dos exerc´ co ıcios 11. a 15. √ √ 1 t2 − 2t 2 x x 2 11. f (x) = dt 13. f (x) = x 2 t2 + 1 dt 15. F (x) = et +1 dt −x t2 + 4 1 0 x4 | sen x| 12. f (x) = cos t3 dt 14. F (x) = ln t dt − sen2 x 0 Calcule os limites dos exerc´ ıcios 16. e 17. x 1 2 2 cos( sen t) dt et dt π −x 16. lim 2 17. lim x→π (x − π) 3 x→−1 (x + 1)3 Calcule a ´rea da regi˜o R dos exerc´ a a ıcios 18. a 24. 18. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = x2 − 1 e y = x + 5. e a a 19. R ´ limitada por y = x2 − 2x, o eixo x e as retas x = −2 e x = 4. e 20. R ´ a regi˜o entre a reta x = 2 e a curva x = y 2 + 1. e a √ 21. R ´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ x. e 22. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = |x| e y = x2 , com −3 ≤ x ≤ 3. e a a 23. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = x, xy 2 = 1 e y = 2. e a 24. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = sen x e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ π. e a 4 25. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o entre o eixo x e a hip´rbole y = a a e , para 2 ≤ x ≤ 3. x−1 3 26. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o delimitada por y = a a , pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = −4. x−1 27. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o limitada pela curva y = ex e a reta que cont´m os pontos (0, 1) e (1, e). a a e 28. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o situada acima do eixo x, abaixo da reta y = 1 e limitada por y = ln |x|. a a 29. Determine m de modo que a ´rea da regi˜o limitada por y = mx e y = 2x − x2 seja 36. a a 30. A reta y = 1 − x divide a regi˜o compreendida entre as par´bolas y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas a a partes. Mostre que as ´reas assim obtidas s˜o iguais e calcule o seu valor. a a 1 1 31. Calcule 0 xf (x) dx, sabendo que f (1) = 2 e que f (t) dt ´ igual a ´rea da regi˜o R entre o gr´fico de 0 e a a a d y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1. sugest˜o: a (xf (x)) = f (x) + xf (x) dx
  2. 2. Lista 2 de Integrais RESPOSTAS 1 1. − 14 4 5 20. 2 − y2 + 1 dy = 1 −1 3 2. − 18 1 √ 1 3. 0 21. x − x2 dx = √ 0 3 4. 4 − 2 2 1 √ 22. 2 x − x2 dx+ 5. 16 2 15 0 3 6. 1 29 +2 x2 − x dx = 1 3 7. 4 √ 2 8. 5 12 2 23. y − y −2 dy = 1 1 1 √ 9. 10 2 − 8 2π 3 3 24. ( sen x + sen 2x) dx+ 1 1 0 10. arcsen π 5 2 4 +2 −( sen x + sen 2x) dx = 2π 2 x2 + 2x 3 11. f (x) = x2 + 4 25. 12. f (x) = 4x3 cos x12 + sen 2x cos sen 6 x a ´rea = 4 ln 2 √ 2 x 26. 13. f (x) = (4x + 1)x3 + 2x t2 + 1 dt 1 a ´rea = 3 ln 5 sen x 27. 14. F (x) = (cos x) ln | sen x| | sen x| 3−e a ´rea= ex+1 2 15. F (x) = √ 2 x 28. 16. ∞ ´rea = 2e − 2 a 17. ∞ 29. m = −4 3 1 18. (x + 5) − x2 − 1 dx 30. 2 − 2x2 − (1 − x) dx = −2 1 −2 0 2 1 9 19. x2 − 2x dx + − x2 − 2x dx+ = (1 − x) − 2x2 − 2x dx = −2 0 1 −2 8 4 44 2 + x2 − 2x dx = 31. 2 3 3

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