1. Lista 9 de C´lculo I
a 2010-2 16
UFES - Universidade Federal do Esp´
ırito Santo LISTA 9 - 2010-2
DMAT - Departamento de Matem´tica
a Fun¸˜o impl´
ca ıcita
Taxas relacionadas
1. Determine a express˜o de pelo menos duas fun¸˜es y = y(x) definidas implicitamente pela
a co
equa¸˜o xy 2 + x + y = 1. Explicite seus dom´
ca ınios.
3
2. Seja y = f (x) definida implicitamente pela equa¸˜o sec2 (x + y) − cos2 (x + y) = . Calcule
ca
2
π π
f′ , sabendo que f = 0.
4 4
√
3. Seja y = f (x) definida implicitamente pela equa¸˜o x2 − x xy + 2y 2 = 10. Encontre o coefciente
ca
angular da reta normal ao gr´fico da fun¸˜o f no ponto (4, 1).
a ca
4. Considere y = f (x) definida implicitamente por x4 − xy + y 4 = 1. Calcule f ′ (0) , sabendo que
f (x) > 0, ∀x ∈ R.
y
4
5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por ciss´ide de Di´cles
o o
cuja equa¸˜o ´ (2 − x)y 2 = x3 .
ca e 2
(a) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico da curva em (1, 1);
ca a
–1 0 1 2 x
(b) Obtenha as equa¸˜es das retas tangentes ao gr´fico da curva nos
co a
3 –2
pontos em que x = .
2
–4
1 y
2
6. Considere a leminiscata de equa¸˜o x2 +
ca y2
= x2 −y 2 (figura ao lado).
Determine os quatro pontos da leminiscata em que as retas tangentes x
–1 0 1
s˜o horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes
a
s˜o verticais.
a
–1
7. Cascallho est´ caindo e formando uma pilha cˆnica que aumenta a uma taxa de 3 m3 /min, de
a o
modo que o raio do cone ´ sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de varia¸˜o da altura da
e ca
pilha quando a altura ´ de 3 m.
e
8. Uma cˆmara de televis˜o no n´
a a ıvel do solo est´ filmando a subida de um ˆnibus espacial que
a o
est´ subindo verticalmente de acordo com a equa¸˜o s = 15t2 , sendo s a altura e t o tempo. A
a ca
cˆmara est´ a 600 m do local de lan¸amento. Encontre a taxa de varia¸˜o da distˆncia entre a
a a c ca a
c˜mara e a base do ˆnibus espacial, 10 seg ap´s o lan¸amento (suponha que a cˆmara e a base
a o o c a
do ˆnibus est˜o no mesmo n´ no tempo t = 0).
o a ıvel
9. Num determinado instante, um controlador de tr´fego a´reo vˆ dois
a e e
avi˜es na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajet´rias
o o
ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante,
um dos avi˜es est´ a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P ` 450
o a a 150
milhas por hora, enquanto o outro est´ a 200 milhas do ponto P e se
a P
movendo ` 600 milhas por hora, tamb´m em dire¸˜o ao ponto P .
a e ca 200
(a) Antes do ponto P , a distˆncia entre os avi˜es est´ diminuindo? a que taxa?
a o a
(b) Os avi˜es correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem
o
para fazer com que um dos avi˜es mude a sua trajet´ria?
o o

2. Lista 9 de C´lculo I
a 2010-2 17
10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2 + 4y 2 = 1. A abcissa x est´ variando a uma velocidade
a
dx dy x sen 4t d2 y sen 2 4t + 16xy 2 cos 4t
= sen 4t. Mostre que (a) =− (b) 2 = − .
dt dt 4y dt 16y 3
dx
11. Um ponto move-se sobre a semi-circunferˆncia x2 + y 2 = 5, y ≥ 0. Suponha
e > 0. Determine
dt
o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x.
12. Uma escada de 8 m est´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada
a
do p´ da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidade
e
superior estar´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?
a
agua
´
13. Enche-se de ´gua um reservat´rio, cuja forma ´ de um cone circular reto
a o e 10 m
(veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3 /seg. O v´rtice est´ a 15 m do
e a
topo e o raio do topo ´ de 10 m. Com que velocidade o n´ h da ´gua
e ıvel a 15 m
est´ subindo no instante em que h = 5 m?
a h
14. O raio de luz de um farol, que est´ situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rota¸˜es por
a co
minuto). Considere a altura do farol desprez´ em rela¸˜o a sua distˆncia at´ a praia. Ache a
ıvel ca a e
velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ˆngulo de 45◦
a
com a linha da praia.
RESPOSTAS
√ √ √
−1 − 1 + 4x − 4x2 6 2
1. y = f (x) = x=− e y=− .
2x 4 4
√
−1 + 1 + 4x − 4x2 Tangentes verticais em:
y = g(x) = ;
2x x = 1 e y = 0; x = −1 e y = 0.
√ √
1− 2 1+ 2
dom´
ınio = 2 ,0 0, 2
7. 10, 6 cm/min
2. −1
8. 278, 54 m/seg
3. 0
1 9. (a) est´ diminuindo ` velocidade escalar de 750
a a
4. mi/h
4
5. (a) y = 2x − 1 (b) 20 min
√ √ √ √
(b) y = 3 3 x − 3 3 e y = −3 3 x + 3 3 11. (−2, 1)
6. Tangentes horizontais em: 6
√ √ 12. velocidade escalar de √ m/seg ∼ 80, 9
=
6 2 55
x= e y= ;
4 4 cm/seg
√ √
6 2 0, 9
x= e y=− ; 13. m/seg ∼ 0, 2865 cm/seg
=
4 4 100π
√ √
6 2
x=− e y= ; 14. 96π ∼ 301, 6 km/min ∼ 5, 03 km/h
= =
4 4