Ex algebra (12)

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Ex algebra (12)

  1. 1. Lista 9 de C´lculo I a 2010-2 16 UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo LISTA 9 - 2010-2 DMAT - Departamento de Matem´tica a Fun¸˜o impl´ ca ıcita Taxas relacionadas 1. Determine a express˜o de pelo menos duas fun¸˜es y = y(x) definidas implicitamente pela a co equa¸˜o xy 2 + x + y = 1. Explicite seus dom´ ca ınios. 3 2. Seja y = f (x) definida implicitamente pela equa¸˜o sec2 (x + y) − cos2 (x + y) = . Calcule ca 2 π π f′ , sabendo que f = 0. 4 4 √ 3. Seja y = f (x) definida implicitamente pela equa¸˜o x2 − x xy + 2y 2 = 10. Encontre o coefciente ca angular da reta normal ao gr´fico da fun¸˜o f no ponto (4, 1). a ca 4. Considere y = f (x) definida implicitamente por x4 − xy + y 4 = 1. Calcule f ′ (0) , sabendo que f (x) > 0, ∀x ∈ R. y 4 5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por ciss´ide de Di´cles o o cuja equa¸˜o ´ (2 − x)y 2 = x3 . ca e 2 (a) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico da curva em (1, 1); ca a –1 0 1 2 x (b) Obtenha as equa¸˜es das retas tangentes ao gr´fico da curva nos co a 3 –2 pontos em que x = . 2 –4 1 y 2 6. Considere a leminiscata de equa¸˜o x2 + ca y2 = x2 −y 2 (figura ao lado). Determine os quatro pontos da leminiscata em que as retas tangentes x –1 0 1 s˜o horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes a s˜o verticais. a –1 7. Cascallho est´ caindo e formando uma pilha cˆnica que aumenta a uma taxa de 3 m3 /min, de a o modo que o raio do cone ´ sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de varia¸˜o da altura da e ca pilha quando a altura ´ de 3 m. e 8. Uma cˆmara de televis˜o no n´ a a ıvel do solo est´ filmando a subida de um ˆnibus espacial que a o est´ subindo verticalmente de acordo com a equa¸˜o s = 15t2 , sendo s a altura e t o tempo. A a ca cˆmara est´ a 600 m do local de lan¸amento. Encontre a taxa de varia¸˜o da distˆncia entre a a a c ca a c˜mara e a base do ˆnibus espacial, 10 seg ap´s o lan¸amento (suponha que a cˆmara e a base a o o c a do ˆnibus est˜o no mesmo n´ no tempo t = 0). o a ıvel 9. Num determinado instante, um controlador de tr´fego a´reo vˆ dois a e e avi˜es na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajet´rias o o ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante, um dos avi˜es est´ a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P ` 450 o a a 150 milhas por hora, enquanto o outro est´ a 200 milhas do ponto P e se a P movendo ` 600 milhas por hora, tamb´m em dire¸˜o ao ponto P . a e ca 200 (a) Antes do ponto P , a distˆncia entre os avi˜es est´ diminuindo? a que taxa? a o a (b) Os avi˜es correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem o para fazer com que um dos avi˜es mude a sua trajet´ria? o o
  2. 2. Lista 9 de C´lculo I a 2010-2 17 10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2 + 4y 2 = 1. A abcissa x est´ variando a uma velocidade a dx dy x sen 4t d2 y sen 2 4t + 16xy 2 cos 4t = sen 4t. Mostre que (a) =− (b) 2 = − . dt dt 4y dt 16y 3 dx 11. Um ponto move-se sobre a semi-circunferˆncia x2 + y 2 = 5, y ≥ 0. Suponha e > 0. Determine dt o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x. 12. Uma escada de 8 m est´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada a do p´ da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidade e superior estar´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede? a agua ´ 13. Enche-se de ´gua um reservat´rio, cuja forma ´ de um cone circular reto a o e 10 m (veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3 /seg. O v´rtice est´ a 15 m do e a topo e o raio do topo ´ de 10 m. Com que velocidade o n´ h da ´gua e ıvel a 15 m est´ subindo no instante em que h = 5 m? a h 14. O raio de luz de um farol, que est´ situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rota¸˜es por a co minuto). Considere a altura do farol desprez´ em rela¸˜o a sua distˆncia at´ a praia. Ache a ıvel ca a e velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ˆngulo de 45◦ a com a linha da praia. RESPOSTAS √ √ √ −1 − 1 + 4x − 4x2 6 2 1. y = f (x) = x=− e y=− . 2x 4 4 √ −1 + 1 + 4x − 4x2 Tangentes verticais em: y = g(x) = ; 2x x = 1 e y = 0; x = −1 e y = 0. √ √ 1− 2 1+ 2 dom´ ınio = 2 ,0 0, 2 7. 10, 6 cm/min 2. −1 8. 278, 54 m/seg 3. 0 1 9. (a) est´ diminuindo ` velocidade escalar de 750 a a 4. mi/h 4 5. (a) y = 2x − 1 (b) 20 min √ √ √ √ (b) y = 3 3 x − 3 3 e y = −3 3 x + 3 3 11. (−2, 1) 6. Tangentes horizontais em: 6 √ √ 12. velocidade escalar de √ m/seg ∼ 80, 9 = 6 2 55 x= e y= ; 4 4 cm/seg √ √ 6 2 0, 9 x= e y=− ; 13. m/seg ∼ 0, 2865 cm/seg = 4 4 100π √ √ 6 2 x=− e y= ; 14. 96π ∼ 301, 6 km/min ∼ 5, 03 km/h = = 4 4

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