Vetores e Geometria AnalíticaRegina Maria Sigolo Bernardinelli
Regina Maria Sigolo BernardinelliVetores e Geometria AnalíticaEducação a Distância
2SUMÁRIOAPRESENTAÇÃO.................................................................................................5INTR...
32.2.2 Exemplo...............................................................................................................
43.5 Respostas da 3ª Lista de Exercícios ...................................................................634 RETAS E PL...
5APRESENTAÇÃOÉ com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila deVetores e Geometria Analítica, pa...
6INTRODUÇÃOEsta apostila reúne os principais tópicos de VETORES e GEOMETRIAANALÍTICA, de forma condensada e objetiva, com ...
7Observe que cada método utiliza uma ferramenta básica para o estudo daGeometria. Assim é que, para estudarmos a Geometria...
8Desejo a você um ótimo Módulo com a seguinte frase do filósofo francês,Charles de Montesquieu:“É preciso estudar muito pa...
91 VETORES NO R31.1 O Ponto no R31.1.1 Sistema Cartesiano OrtogonalConsideremos três eixos concorrentes num ponto O e perp...
10Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP , yP , zP), quesão as coordenadas de P em relação ao sistema ...
113) A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é umparalelogramo.Podemos então dizer que dois segment...
12EABCDMN1.3 Vetor1.3.1 DefiniçãoVetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes,ou seja, é um con...
13Assim é que um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade desegmentos orientados distintos, pois se AB é um se...
141.4.1 Propriedades da Adição de Vetoresa) Comutativa: u + v = v + u , quaisquer que sejam os vetores u e v .ADBCvDCABu==...
15c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode serconsiderado como um segmento orientado AA , com o...
161.5 Produto de Vetor por EscalaresDenomina-se escalar a qualquer número real.Seja α um número real e v um vetor.Vamos de...
171.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por EscalaresQuaisquer que sejam os escalares βeα e quaisquer que sejam os vetore...
18Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Percebam, por exemplo, que ovetor AH pode ser escrito de várias for...
19y34x32AC +=y34x31xyDC)y34x31(xyDCBCABADDCBCABDADC+−+−=+−++−=++−=++=y31x32DC +=3) Os pontos A, B, C, D, E e F são os vért...
20Vamos escrever cada um dos vetores AFAEADACAB ,,,, como soma de outrosvetores onde apareça o vetor AO.OFAOAFOEAOAEODAOAD...
21Desse modo, o segmento orientado AB com origem A = (xA , yA , zA) eextremidade B = (xB , yB , zB), tem coordenadas x = x...
221.7 Vetor em Coordenadas1.7.1 DefiniçãoVetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmascoordenadas....
23O conjunto dos segmentos orientados nn332211 BA,,BA,BA,BA K forma umaclasse de equivalência de segmentos orientados equi...
241.7.3 Adição de VetoresSejam os vetores )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == em V3.A soma 21 vv + é o vetor definido por:)zz,yy,...
252) Dados os vetores u = (–1, 4, –15) e v = (–3, 2, 5), pede-se determinar um vetor3Vx∈ , tal que: u = 2 v + 5 x .Seja x ...
261.8 1ª Lista de Exercícios21) Em um triângulo ABC o ponto M é tal que MC5BM3 = . Escrever o vetor AM emfunção dos vetore...
276) Dados cCDebBC,aAB === , determinar, em função de ceb,a , os vetoresFXeAX sabendo-se que EB41EX = .7) Calcular as coor...
2812) Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3e M, N os pontos médios dos segmentosBDeAC . Pede-se determinar a soma: CDCBADAB...
292 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR2.1 Vetores Linearmente Independentes2.1.1 Definiçãon21 v,,v,v K são linearmente ind...
302.2 Vetores Linearmente Dependentes2.2.1 Definiçãon21 v,,v,v K são linearmente dependentes (L. D.) ⇔ existem escalares,α...
31OBSERVAÇÕES1) O vetor nulo (0 ) é sempre L. D., pois 5 . 0 = 0 , onde o escalar é 5 ≠ 0.2) Um vetor não nulo é sempre L....
324) Em V3, sejam wev,u vetores não simultaneamente nulos. Então pode ocorrer:a) wev,u são L. D. e possuem representantes ...
335) Quatro vetores em V3são sempre L. D.2.3 Combinação Linear2.3.1 DefiniçãoDados os vetores n21 v,,v,v K , todo vetor da...
342.4 Base2.4.1 DefiniçãoChama-se base de V3a todo conjunto de três vetores linearmenteindependentes (L. I.).Logo, para sa...
352.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma BaseSeja B = { 1v , 2v , 3v } uma base de V3.Seja 3Vv ∈ uma combinação li...
36α 1e + β 2e + γ 3e = 0α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (0, 0, 0)(α, β , γ ) = (0, 0, 0) ⇒ α = β = γ = 0 ∴ 1e , ...
372.4.5 Exemplos1) Determinar as coordenadas do vetor =v (-2, 1, 1) em relação à base B = { 321 u,u,u },onde 1u = (1, 0, 0...
38321 v2vv2v −−=v = 2 ( 321 u2uu +− ) – ( 32 uu − ) – 2 ( 2u− )v = 2 232321 u2uuu4u2u ++−+−v = 321 u5uu2 +− ⇒ v = (2, -1, ...
39(V)462(1)em2βe1α(3)7β3α2β(3)em1α(2)1α(1)4β3α2=+−⇒=−=⎪⎩⎪⎨⎧=+−=⇒−=⇒−==+Portanto o sistema é determinado e w = - u + 2 v .3...
40⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ℜ∈∃⇒=⇒=⇒=−=⇒=−⇒=−−⇒−=⇒−=⇒−===−−⇒β1β0(3)em1λ2αou32β1β231β1)21((3)em21λ1α2Pe1S02αα2Portanto, temos: 1α −= e32β −=5)...
41AB21MN =2.5 2ª Lista de Exercícios31) Mostrar que os vetores u = (-1, 0, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 1) são L. I..2) ...
426) Dados os vetores ,b,a linearmente independentes, constrói-se a partir de um pontoO arbitrário os vetores: ℜ∈+=−=−= λc...
433 PRODUTOS ENTRE VETORES3.1 Produto Escalar ou Produto InternoO produto escalar de dois vetores é uma operação que assoc...
443.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um VetorSeja um segmento orientado não nulo AB que chamaremos de segmentounitári...
453.1.2.1 PropriedadesQuaisquer que sejam o vetor v e o escalar x, temos:1) | v | ≥ 0 e | v | = 0 ⇔ v = 02) | x v | = | x ...
46{ { 00.uv.0)v0(.uv.)u0()v.u(000==⇒== .Temos também que:22|u|1|u|cos0|u||u|u.u =×=°=Notação: u .u = u 2Se u e v são vetor...
47B = }c,b,a{ é uma base ortonormal⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⇒1|c||b||a|e0c.bc.ab.a1) u . v = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x2 a + y2 b + z2...
483.1.5 Interpretação Geométrica do Produto EscalarSejam dois vetores u e v de V3com u 0≠ .Seja θ o ângulo entre u e v .Va...
49Portanto, o comprimento da projeção do vetor v sobre o vetor u , se u éunitário, é igual ao módulo do produto escalar do...
504) Calcular o módulo do vetor v = (-1, 2, -2)| v | = 394412)(21)( 222==++=−++−5) Determinar o comprimento da projeção do...
51|v||u|v.uθcos = (1)α = 30°2330cosαcos =°=⇒23b.a13b.a23|b||a|b.aαcos =⇒×=⇒= (2)u . v = (a + b ) . (a - b ) = a 2- b 2= | ...
523.2.1 Orientação de R3Observem os ternos ordenados de segmentos orientados não coplanares( OC,OB,OA ) e ( OC,OA,OB ).Se ...
53Observem que a base canônica { 1e , 2e , 3e }, definida em 2.4.4, também éuma base ortonormal positiva.3.2.2 Definição d...
54OBSERVAÇÕES1) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva, resulta da definição de produtovetorial que:⎪⎩⎪⎨⎧=∧=∧=∧=∧...
553.2.3 Interpretação Geométrica do Produto VetorialObservem o paralelogramo OADB da figura acima.A área desse paralelogra...
560)17,(0,αu203501kjiαu)vv(αuvuevu 2121 −=⇒−=⇒∧=⇒⊥⊥| u | = 1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒=⇒−=⇒=⇒=⇒=−⇒171αou171α171|α|1|α|17117)(|α| 2⇒−=⇒⇒−−=⇒0...
57A área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo3)3,8,(ACe2)3,(4,AB −−=−=ACAB21AACABA triparal. ∧=⇒∧=12)4,(...
58v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B e w = x3 i + y3 j + z3 k = (x3, y3, z3)B são vetoresquaisquer de V3, dados na bas...
59Seja θ o ângulo formado entre u e wv ∧ .Seja uprojh wv∧= .Vamos calcular |θcos||wv||u||wv.u||]w,v,u[| ∧=∧= (1)Mas, no tr...
60b) se u , v , w são vetores L. I. e portanto não coplanares, o produto misto entre eles édiferente de zero;c) se B = {u ...
61[ λ u ,v , w ] = [u ,λ v , w ] = [u ,v , λ w ] = λ [ u , v , w ]4) [ ]w,v,u[]w,v,u[]w,v,uu 2121 +=+[ ]w,v,u[]w,v,u[]w,vv...
623.4 3ª Lista de Exercícios41) Dados u = (3, -1, 5) e v = (1, 2, -3), determinar um vetor w , ortogonal ao eixo Ox etal q...
633.5 Respostas da 3ª Lista de Exercícios1) )722,747(0, ; 2) -14; 3) (3, 0, 2) ou (2, 0, 3); 4) (4, -6, 0); 5) (9, 9, -9);...
644 RETAS E PLANOS NO R34.1 Sistema de CoordenadasSeja O um ponto de R3e B = { k,j,i } uma base ortonormal positiva de V3....
65A cada ponto P do espaço corresponde um único segmento orientado OP ,com origem em O, que por sua vez determina um único...
66r: P = A + ABλ , Rλ ∈ (1)r: P = A + vλ , Rλ ∈ (1)4.2 A Reta no R3Um dos axiomas da Geometria Euclidiana afirma que dois ...
67Assim, defini-se reta:Simbolicamente, escrevemos:O vetor v é chamado vetor diretor da reta r.Logo, uma reta fica bem def...
68czzbyyaxxλ 111−=−=−=REFLITA E RESPONDA1) Fixado um sistema de coordenadas, existe uma reta da qual (2) são equaçõesparam...
69Equação Vetorial: P = P1 + ⇒vλ r: (x, y, z) = (5, -4, 2) + λ (-2, 5, 4), λ ∈ RR)(λ4λ2z5λ4y2λ5x::asParamétricEquações ∈⎪⎩...
70Logo, existe R2λ ∈= , tal que: 31PP = 21PP2 . Portanto os pontos estão alinhados ousão colineares.Observação: uma outra ...
71Um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, os vetoresAP , AB e AC são linearmente dependentes (L. D.),...
72Simbolicamente, escrevemos:Os vetores L. I., u e v , são chamados vetores diretores do plano π .Logo, um plano fica bem ...
73de R3se, e somente se, os vetores AP , AB e AC são linearmente dependentes (L.D.), ou seja, [ AP , AB , AC ] = 0 ⇒ [ AP ...
74Chamando-se n = u ∧ v , vamos calcular suas coordenadas em relação ao sistema decoordenadas (O, k,j,i ):k)abb(aj)acc(ai)...
75PLANO BEM DETERMINADOEXEMPLOS1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e cartesiana do plano π que passapelos ponto...
762) Escrever a equação cartesiana do plano que contém o ponto P = (1, -1, 2) e éperpendicular ao vetor n = (2, -3, 1).A e...
774.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro PontosSejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) e D = (x4, y4...
78Substituindo as coordenadas de P4 na equação cartesiana do plano π , temos:1 – 1 = 00 = 0 (V)Portanto, como as coordenad...
794.5 Respostas da 4ª Lista de Exercícios1) )R(zyx:r ∈⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+=λλλλ212221;2) r:11z3y23x−+==−−;3)⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+=λ52zλ21yλ31...
80Se r e s forem coplanares, ainda poderão ser concorrentes (quando têm umúnico ponto em comum) ou paralelas.No caso de r ...
81EXEMPLOS1) Estudar a posição relativa das retas:⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−=λz1λ2y2λ3x:r e2z44y64x: =−+=−sr: (u = (3, -2, 1), A = (-2, 1,...
82⎪⎩⎪⎨⎧+−+−+−=⇒∈++=⇒∈⇒∩=μ)2μ,41μ,21(PPeλ)2λ,54λ,3(2PP{P}srsrComo em R3, fixado um sistema de coordenadas, a cada termo ord...
83Devemos agora verificar se são coincidentes ou distintas. Para isto vamos substituir,por exemplo, o ponto A de r na equa...
84Vamos ver agora como expressar analiticamente as posições relativas entredois planos, no R3.Para tanto, sejam as equaçõe...
85A reta r está dada na forma geral:⎩⎨⎧=−+−=−+−01z3yx205zy2x:rO vetor diretor v da reta r é obtido pelo produto vetorial e...
86Se forem paralelos, pode ocorrer que r é estritamente paralela a π(intersecção entre eles é vazia, isto é, nenhum ponto ...
87(1):⎪⎩⎪⎨⎧≠+++⇒∉=++⇒=⇒=0dzcybxaA0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v111πe(2):⎪⎩⎪⎨⎧=+++⇒∈=++⇒=⇒=0dzcybxaA0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n....
88Vamos verificar se a reta está contida no plano. Então, substituímos na equação doplano o ponto A = (-1, 5, 1), pertence...
89Observem que retas ortogonais é um caso particular de retas reversas (4).2) Retas Perpendiculares: duas retas, r e s, sã...
903) Reta Perpendicular a um PlanoSabemos da Geometria Espacial que uma reta é perpendicular a um planoquando é perpendicu...
91De (1) e (2) temos que: n||vnλvnλλv21⇒=⇒=Simbolicamente escrevemos:Observem que a perpendicularidade entre reta e plano ...
92Observem que planos perpendiculares é um caso particular de planosconcorrentes (3).EXEMPLOS1) Escrever as equações norma...
93(4)0n2-m6-k50k125m21n61=⇒=+−−2 x (3) + 3 x (4): 27 k -10 m = 0 ⇒ ⇒=−−= 0n2m6m2750:(4)emm2710km2756nm112n540n54m162m50 −=...
940zy2x: =−−∴ π .Observem que se tivéssemos usado 1)2,(1,α55)10,(5,αn −−=−−= , poderíamosdividir a equação cartesiana do p...
95b) Pela figura acima, notamos que a projeção ortogonal do ponto A ∈ r sobre o planoπ , é o ponto M, intersecção da reta ...
Apostila vetores e geometria analitica
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  1. 1. Vetores e Geometria AnalíticaRegina Maria Sigolo Bernardinelli
  2. 2. Regina Maria Sigolo BernardinelliVetores e Geometria AnalíticaEducação a Distância
  3. 3. 2SUMÁRIOAPRESENTAÇÃO.................................................................................................5INTRODUÇÃO ......................................................................................................61 VETORES NO R3..................................................................................................91.1 O Ponto no R3........................................................................................................91.1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal...............................................................................91.2 Segmentos Orientados Equipolentes ..................................................................101.2.1 Definição..............................................................................................................101.2.2 Relação de Equivalência ....................................................................................111.3 Vetor....................................................................................................................121.3.1 Definição.............................................................................................................121.4 Adição de Vetores ...............................................................................................131.4.1 Propriedades da Adição de Vetores ....................................................................141.5 Produto de Vetor por Escalares...........................................................................161.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por Escalares ...............................................171.6 Segmentos Orientados em Coordenadas............................................................201.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas......................................211.7 Vetor em Coordenadas........................................................................................221.7.1 Definição..............................................................................................................221.7.2 Igualdade de Vetores..........................................................................................231.7.3 Adição de Vetores ...............................................................................................241.7.4 Multiplicação por um Escalar...............................................................................241.8 1ª Lista de Exercícios ..........................................................................................261.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................282 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ..................................................292.1 Vetores Linearmente Independentes...................................................................292.1.1 Definição..............................................................................................................292.1.2 Exemplo...............................................................................................................292.2 Vetores Linearmente Dependentes .....................................................................302.2.1 Definição..............................................................................................................30
  4. 4. 32.2.2 Exemplo...............................................................................................................302.3 Combinação Linear .............................................................................................332.3.1 Definição..............................................................................................................332.3.2 Exemplos.............................................................................................................332.4 Base ....................................................................................................................342.4.1 Definição..............................................................................................................342.4.2 Exemplo...............................................................................................................342.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma Base ..........................................352.4.4 Base Canônica ....................................................................................................352.4.5 Exemplos.............................................................................................................372.5 2ª Lista de Exercícios ..........................................................................................412.6 Respostas da 2ª Lista de Exercícios ...................................................................423 PRODUTOS ENTRE VETORES .........................................................................433.1 Produto Escalar ou Produto Interno.....................................................................433.1.1 Ângulo Entre Dois Vetores ..................................................................................433.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um Vetor ...............................................443.1.2.1 Propriedades ......................................................................................................453.1.3 Definição de Produto Escalar ..............................................................................453.1.3.1 Propriedades ......................................................................................................453.1.4 Bases Ortonormais..............................................................................................463.1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar.....................................................483.2 Produto Vetorial ou Produto Externo ...................................................................513.2.1 Orientação de R3.................................................................................................523.2.2 Definição de Produto Vetorial..............................................................................533.2.2.1 Propriedades ......................................................................................................533.2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial ....................................................553.3 Produto Misto ......................................................................................................573.3.1 Definição..............................................................................................................573.3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto........................................................583.3.3 Propriedades .......................................................................................................603.4 3ª Lista de Exercícios ..........................................................................................62
  5. 5. 43.5 Respostas da 3ª Lista de Exercícios ...................................................................634 RETAS E PLANOS NO R3..................................................................................644.1 Sistema de Coordenadas ....................................................................................644.2 A Reta no R3........................................................................................................664.2.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos ..........................................................694.3 O Plano no R3......................................................................................................704.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro Pontos ...................................................774.4 4ª Lista de Exercícios ..........................................................................................784.5 Respostas da 4ª Lista de Exercícios ...................................................................794.6 Posição Relativa..................................................................................................794.6.1 Reta e Reta .........................................................................................................794.6.2 Plano e Plano ......................................................................................................834.6.3 Reta e Plano........................................................................................................855 Resolução dos Exercícios ................................................................................975.1 Resolução da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................975.2 Resolução da 2ª Lista de Exercícios .................................................................1155.3 Resolução da 3ª Lista de Exercícios .................................................................1275.4 Resolução da 4ª Lista de Exercícios .................................................................142Considerações Finais ........................................................................................152Referências .......................................................................................................153Apêndice – Referências dos Exercícios ............................................................154
  6. 6. 5APRESENTAÇÃOÉ com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila deVetores e Geometria Analítica, parte integrante de um conjunto de materiais depesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distânciaexige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação doconteúdo básico da disciplina.A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meiode recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-mail.Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a BibliotecaVirtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecassetoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes deinformação e documentação.Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seuestudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizadoeficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdoaprendido influencia sua vida profissional e pessoal.A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e emqualquer lugar!Unisa Digital
  7. 7. 6INTRODUÇÃOEsta apostila reúne os principais tópicos de VETORES e GEOMETRIAANALÍTICA, de forma condensada e objetiva, com a finalidade de orientar você, alunodo ENSINO A DISTÂNCIA (EaD), no desenvolvimento do conteúdo dessa disciplina.É, portanto, um guia indispensável para acompanhar com sucesso as aulas WEB eSATÉLITE.A disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA tem por objetivo fornecera você, subsídios que o auxiliem nas demais disciplinas do curso de ENGENHARIAAMBIENTAL/PRODUÇÃO.Saliento ainda a importância dos conceitos abordados no Capítulo 1, com oestudo dos vetores no R³, como aplicação na disciplina de FÍSICA, e a importância dosCapítulos 1 e 2 no estudo da disciplina ÁLGEBRA LINEAR, que você terá aoportunidade de estudar nos Módulos mais avançados do seu curso de ENGENHARIAAMBIENTAL/PRODUÇÃO.A Geometria, bem como toda ciência, pode ser estudada através dediferentes métodos, ou seja, um mesmo tópico geométrico pode ser abordado sobdiversos enfoques ou pontos de vista. Assim, de acordo com o método utilizado,diferentes nomes são atribuídos às disciplinas de Geometria, como por exemplo:Geometria Axiomática (ou de Posição): é o estudo da Geometria o qual devemos aEuclides, feito por meio da ligação entre axiomas, definições e teoremas, reunidos emseus “Elementos” (cerca de 300 A.C.)Geometria Descritiva: é o estudo da Geometria devido a Gaspard Monge (1746 –1818), que consiste em considerar as projeções dos entes geométricos sobre doisplanos fixados, para através dessas projeções tirar conclusões sobre esses entesgeométricos.Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano o qual devemosa René Descartes (1596 – 1650), que associa equações aos entes geométricos, eatravés do estudo dessas equações, feito com o auxílio da Álgebra, é que tiramosconclusões a respeito desses entes geométricos.
  8. 8. 7Observe que cada método utiliza uma ferramenta básica para o estudo daGeometria. Assim é que, para estudarmos a Geometria Axiomática utilizamos a Lógica,para o desenvolvimento da Geometria Descritiva a ferramenta utilizada é o Desenho epara o estudo da Geometria Analítica lançamos mão da Álgebra Elementar, bem comoda Álgebra Vetorial.O estudo da Álgebra Vetorial feito nos capítulos iniciais desta apostilaservirão de apoio para os capítulos que abordam o tema Retas e Planos no R3, parapossibilitar a você, caro aluno, uma aplicação imediata dos conceitos apresentados noCálculo Vetorial, fazendo um importante elo de ligação entre estes conceitos.Você irá perceber ao estudar esta apostila que determinar um plano, por exemplo, doponto de vista da Geometria Analítica, significa determinar sua equação e para isto, osconceitos de produtos vetorial e misto, vistos no Cálculo Vetorial, serão amplamenteaplicados.A apostila ainda apresenta vários exemplos e exercícios propostosapresentados através de Listas de Exercícios, com as devidas resoluções indicadasno final da apostila.Vários exercícios dessas Listas se encontram resolvidos e minuciosamenteexplicados nas aulas WEB e também serão resolvidos nas aulas SATÉLITE, sendoextremamente importante que você assista às aulas, pois estas o auxiliarão naresolução dos demais exercícios e das atividades propostas no decorrer do módulo.Para que o ciclo da aprendizagem se feche harmoniosamente, é necessário que vocênão deixe as dúvidas se acumularem e usufrua das ferramentas disponíveis paraperguntas e respostas, tais como os Fóruns de Dúvidas, o Correio e a Sala de BatePapo.Também fique atento ao Mural e ao Material de Apoio, pois através doprimeiro me comunicarei com você e através do segundo disponibilizarei as aulasSatélite, a resolução das atividades não eletrônicas e qualquer outro tipo de materialpertinente e interessante.
  9. 9. 8Desejo a você um ótimo Módulo com a seguinte frase do filósofo francês,Charles de Montesquieu:“É preciso estudar muito para saber um pouco.”Regina Maria Sigolo Bernardinelli11Apostila revisada e adaptada em julho/2011 pelo Professor Antonio Fernando Silveira Alves
  10. 10. 91 VETORES NO R31.1 O Ponto no R31.1.1 Sistema Cartesiano OrtogonalConsideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois adois, determinando assim o espaço R3, conforme mostra a figura abaixo.Dado um ponto P do espaço, sejam P1 , P2 e P3 as suas projeções,respectivamente sobre os eixos x, y e z.Sejam xP , yP e zP , respectivamente as medidas algébricas dos segmentosorientados 321 OPeOP,OP .PP1P2P3Oxyz
  11. 11. 10Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP , yP , zP), quesão as coordenadas de P em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz.Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP)xP = 1OP = abscissa de P eixo x = eixo das abscissasyP = 2OP = ordenada de P eixo y = eixo das ordenadaszP = 3OP = cota de P eixo z = eixo das cotasOxyz = sistema cartesiano ortogonalO = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesianoA todo terno ordenado (a, b, c) do R3corresponde um único ponto P doespaço tal que a = xP, b = yP e c = zP.1.2 Segmentos Orientados Equipolentes1.2.1 DefiniçãoDois segmentos orientados CDeAB são equipolentes e indica-se, CDAB ~ ,quando uma das três afirmações for verificada:1) A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos.2) CDeAB são colineares e é possível deslizar CD sobre essa reta fazendocom que C coincida com A e D coincida com B.
  12. 12. 113) A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é umparalelogramo.Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentesquando têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.1.2.2 Relação de EquivalênciaA eqüipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz às seguintespropriedades:a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo.ABAB ~b) Simetria: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD ,então CD é equipolente a AB .AB~CDCD~ABse ⇒c) Transitividade: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientadoCD e se CD é equipolente ao segmento orientado EF, então AB é equipolente a EF.EF~ABEF~CDeCD~ABse ⇒A BDC
  13. 13. 12EABCDMN1.3 Vetor1.3.1 DefiniçãoVetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes,ou seja, é um conjunto de segmentos orientados equipolentes.Assim, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto detodos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientadoAB .O segmento orientado AB é um representante do vetor AB que tambémpode ser indicado por AB ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima,por exemplo, v .Observem que embora usemos a mesma notação para representar vetor esegmento orientado, não podemos em hipótese alguma confundir esses dois entesmatemáticos, pois enquanto o segmento orientado é um conjunto de pontos, o vetor éum conjunto de segmentos orientados.Na figura, os segmentos orientados AB , CD , ... , são equipolentes e poresse motivo representam o mesmo vetor v .v)AB(Cl =
  14. 14. 13Assim é que um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade desegmentos orientados distintos, pois se AB é um segmento orientado e P é um pontoqualquer do espaço, então existe um único segmento orientado PQ, com origem em P,tal que PQ~ AB . Logo, o vetor AB tem exatamente um representante em cada pontodo espaço.1.4 Adição de VetoresSejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor soma desses vetores,indicado por u + v .Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um únicorepresentante BC do vetor v . Definimos o vetor u + v como sendo o vetor cujorepresentante é o segmento orientado AC .uvABCu vu + v
  15. 15. 141.4.1 Propriedades da Adição de Vetoresa) Comutativa: u + v = v + u , quaisquer que sejam os vetores u e v .ADBCvDCABu====⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+=+ACDCADACBCABuvvu +=+b) Associativa: u + (v + w ) = (u + v ) + w , quaisquer que sejam u , v e w .w)vu()wv(u ++=++uvABCu vDuvvu +=+?=+ vuuvABCuvu + vDwwwv +w)vu()wv(u ++=++
  16. 16. 15c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode serconsiderado como um segmento orientado AA , com origem A e extremidade A(segmento nulo). Assim, todos os segmentos nulos do espaço são equipolentes entre sie, desse modo, o conjunto de todos os segmentos nulos do espaço é um vetor,indicado por 0 e que recebe o nome de vetor nulo. Então, se u é um vetor qualquer,temos:d) Simétrico: a cada vetor u é associado um vetor -u , chamado de simétrico ouoposto de u , do seguinte modo: se ABu = , então BAu =− . Como, AABAAB =+ ,temos que:O vetor -u é o único vetor que satisfaz a igualdade acima, qualquer que seja u .ObservaçãoSejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor diferença desses vetores.O vetor diferença w = u v− é a soma de u com o oposto de v .)v(uw −+=Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um únicorepresentante BD do vetor v− . Definimos o vetor w = u v− como sendo o vetor cujorepresentante é o segmento orientado AD .0 + u = u + 0 = u0u)u(e0)u(u =+−=−+
  17. 17. 161.5 Produto de Vetor por EscalaresDenomina-se escalar a qualquer número real.Seja α um número real e v um vetor.Vamos definir o vetor vα .1) Se α = 0 ou 0v = , por definição temos: 0vα = .2) Se 0ve0α ≠≠ , seja AB um representante do vetor v .O vetor vα é definido como sendo o vetor que tem como representante osegmento orientado AC , cujo comprimento é |α| vezes o comprimento de AB , situa-sesobre a reta que contém AB e se α > 0, tem o mesmo sentido que AB e se α < 0, temsentido contrário ao de AB .uvABCu vu + v- vDu - v
  18. 18. 171.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por EscalaresQuaisquer que sejam os escalares βeα e quaisquer que sejam os vetores ue v , valem as seguintes propriedades:a) vβvαvβ)(α +=+b) vαuα)vuα( +=+c) vβ)(α)vα(β =d) 1 v = v e (-1) v = -vEXEMPLOS1) Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de AC ,D é ponto médio de AG Escrever HCeAF,AH em função de .beaABCABCα > 0α < 0XXA B CD EFG H Iab
  19. 19. 18Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Percebam, por exemplo, que ovetor AH pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores:GHAGAH += EHDEADAH ++= IHFICFBCABAH ++++=Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que quero mostrar é oconceito de adição de vetores, ou seja, considerando-se, por exemplo, o segundo modoescrito acima, temos que o primeiro vetor da soma AD tem sua origem semprecoincidindo com a origem do vetor AH (ponto A), assim como o segundo vetor deve terorigem no ponto D, que é a extremidade do primeiro e assim, sucessivamente, vamos“emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até fecharmos ocaminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetorAH (ponto H). Então, teremos:GHAGAH += , ( AG = 2b, pois D é ponto médio de AGe aGH = , pois ABHG éparalelogramo). Ficando então:ab2AH +=CFACAF += ( a2AC = , pois B é ponto médio de éACFDpois,bCF;AC =amoparalelogr ). Então fica:ba2AF +=AGHIHCCIHIHCICHIHC −=⇒−=⇒+=2baHC −=2) Na figura abaixo, y34x31BCeyAD,xAB +−=== . Pede-se escrever os vetoresDCeAC em função de ydeex .ABCD
  20. 20. 19y34x32AC +=y34x31xyDC)y34x31(xyDCBCABADDCBCABDADC+−+−=+−++−=++−=++=y31x32DC +=3) Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O.Demonstrar que: AO6AFAEADACAB =++++(Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de centro O eraio r)y34x31xAC)y34x31(xACBCABAC+−=+−+=+=AB CDEFXO
  21. 21. 20Vamos escrever cada um dos vetores AFAEADACAB ,,,, como soma de outrosvetores onde apareça o vetor AO.OFAOAFOEAOAEODAOADOCAOACOBAOAB+=+=+=+=+=Somando-se membro a membro, obtemos:OFOEODOCOBAO5AFAEADACAB +++++=++++Observem que: OEOB −= , OFOC −= e AOOD = (por se tratar de umhexágono regular, todos esses vetores possuem o mesmo módulo, são colineares doisa dois, apresentando, portanto, a mesma direção e são de sentidos opostos).Assim, ficamos com:OFOEAOOFOEAO5AFAEADACAB +++−−=++++ , que cancelando os vetoresopostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar:AO6AFAEADACAB =++++1.6 Segmentos Orientados em CoordenadasSeja o espaço R3cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z) onde x, y, zsão números reais.Já vimos em 1.1.1 que a todo terno ordenado (x, y, z) do R3corresponde umúnico ponto P do espaço de coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos porP = (x, y, z).
  22. 22. 21Desse modo, o segmento orientado AB com origem A = (xA , yA , zA) eextremidade B = (xB , yB , zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA.Notação: AB = (x, y, z).Exemplo: dados em R3os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine ascoordenadas do segmento orientado AB .AB = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1))AB = (4, – 4, 6)1.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em CoordenadasDois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se têm as mesmascoordenadas cartesianas.Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD)⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=−−=−⇔CDABCDABCDABzzzzyyyyxxxxCD~ABExemplo: dados em R3os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2, 3, 2), C = (4, 1, 1) eD = (0, 5, 3), verifique se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes.Temos que: AB = (– 4, 4, 2) e CD = (– 4, 4, 2)CD~AB∴ .
  23. 23. 221.7 Vetor em Coordenadas1.7.1 DefiniçãoVetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmascoordenadas.Exemplo: sejam os pares de pontos do R3:A1 = (–1, 2, 0) e B1 = (2, 3, 2)A2 = (– 3, 4, –1) e B = (0, 5, 1)A3 = (2, –1, 4) e B3 = (5, 0, 6)---------------------------------------An = (0, 0, 0) e Bn = (3, 1, 2)A cada um desses pares associamos os segmentos orientadosnn332211 BA,,BA,BA,BA K , cujas coordenadas são:2)1,(3,v)AB(Cl2)1,(3,BA2)1,(3,BA2)1,(3,BA2)1,(3,BAnn332211==⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=−−−−−−−−−===ABA1B1A2B2AnBnCl ( AB ) = v = (3, 1, 2)
  24. 24. 23O conjunto dos segmentos orientados nn332211 BA,,BA,BA,BA K forma umaclasse de equivalência de segmentos orientados equipolentes, pois todos sãosegmentos orientados que possuem as mesmas coordenadas. Essa classe deequivalência define o vetor Cl ( AB ) = v de coordenadas (3, 1, 2), denotado por:v = (3, 1, 2).Qualquer um dos segmentos orientados acima, representa o mesmo vetor v ,e basta qualquer um deles para que o vetor v fique perfeitamente determinado.O conjunto de todos os vetores do espaço R3é denotado por V3, sendoconveniente observar a distinção entre o conjunto R3, que é o conjunto de todos osternos ordenados de números reais, e o conjunto V3, que é o conjunto de todos osvetores do espaço R3.Todos os representantes de um vetor têm, por definição, as mesmascoordenadas, que são as coordenadas do vetor.Assim, se A = (xA , yA , zA) e B = (xb , yB , zB), as coordenadas do vetor v ,são: x = xB – xA ; y = yB – yA ; z = zB – zA.Notação: v = (x, y, z); v = ABObservações1) Existe uma correspondência biunívoca entre o espaço R3e o conjunto V3de vetores,que associa a cada ponto P = (x, y, z) de R3um vetor v = (x, y, z).2) Existe um e somente um representante de um vetor dado, ligado a um ponto dado.1.7.2 Igualdade de VetoresDois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas.Se )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == , então21212121 zz,yy,xxvv ===⇔=
  25. 25. 241.7.3 Adição de VetoresSejam os vetores )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == em V3.A soma 21 vv + é o vetor definido por:)zz,yy,x(xvv 21212121 +++=+Exemplo: Dados vucalcule3),5,2,(ve1)2,1,(u +−−=−=⇒+−+−+−=+ 3)15),(22),(1(vu 4)3,3,(vu −−=+1.7.4 Multiplicação por um EscalarSeja ℜ∈∈= λeVz)y,(x,v 3.Definimos o produto vλ , como sendo o vetor: z)λy,λx,(λvλ = .Exemplos:1) Dados 3)1,2,(ve5λ −== , calcule vλ .vλ = 5 (–2, 1, 3) ⇒ 15)5,10,(vλ −=2) Dados )vu(λcalcule3,λe3)1,(2,v2),1,(1,u +=−=−−= .)vu(λ + = 3 (3, –2, 1) ⇒ 3)6,(9,)vu(λ −=+EXEMPLOS1) Determinar as coordenadas do vetor v = 3 (1, 0, 1) – 4 (0, 1, 1) – 3 (1, –1, 0)v = (3, 0, 3) + (0, – 4, – 4) + (– 3, 3, 0)v = (0, –1, –1)
  26. 26. 252) Dados os vetores u = (–1, 4, –15) e v = (–3, 2, 5), pede-se determinar um vetor3Vx∈ , tal que: u = 2 v + 5 x .Seja x = (x, y, z). Então temos:(–1, 4, –15) = 2 (– 3, 2, 5) + 5 (x, y, z)(–1, 4, –15) = (– 6 + 5x, 4 + 5y, 10 + 5z)∴⎪⎩⎪⎨⎧−=⇒−==⇒==⇒=⇒⎪⎩⎪⎨⎧−=+=+−=−5z255z0y05y1x55x15105z445y165x5)0,(1,x −=3) Dado um paralelogramo ABCD, se M e N são pontos médios de CDeAB ,respectivamente, então ANCM é um paralelogramo.Provar que ANCM é um paralelogramo ⇔ Provar⎪⎩⎪⎨⎧==NCAMMCANDC21MCAB21ANCD21MCAB21ANCNMCAMAN −+=⇒++=⇒++=Como ABCD é um paralelogramo DCAB =⇒ ∴−+=⇒ DC21MCDC21AN MCAN =AB21AM = .Como ABCD é um paralelogramo DC21AB21DCAB =⇒=⇒ DC21AM =⇒Como N é ponto médio de CD ⇒==⇒ DC21NCDN NCAM = .Logo, ANCM é um paralelogramo.AB CDMN
  27. 27. 261.8 1ª Lista de Exercícios21) Em um triângulo ABC o ponto M é tal que MC5BM3 = . Escrever o vetor AM emfunção dos vetores ACeAB .2) É dado o triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que XA4XB = . SejamcACebAB == .a) Determinar o vetor CX em função de b e c .b) Seja M o ponto médio de CX . Escrever BM em função de b e c .3) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero plano qualquer. M é tal queMB2CM = ; N é o ponto médio de CD . Em função de b = AB , c = AC e ADd = ,pede-se: a) AM ; b) AN; c) MN.4) No triângulo ABC os segmentos RBeQR,PQ,AP têm o mesmo comprimento.a) Escrever CQ em função de CBeCA .b) Escrever CQ em função de CReCP .c) Escrever CQ em função de eCA CR .5) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas CFeBE,AD . Demonstrar que0CFBEAD =++ .2Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica - Exercícios, 1985.Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974.A P Q R BC
  28. 28. 276) Dados cCDebBC,aAB === , determinar, em função de ceb,a , os vetoresFXeAX sabendo-se que EB41EX = .7) Calcular as coordenadas dos vetores:a) u = (1, 2, 1) +21(0, 1, 1)b) v =23(5, 0, 1) – 6 (0,54, -1)c) w = (5, 0, -4) -21(1, 2, 1) +53(1, -1, 1)8) Calcular as coordenadas do vetor 3Vx∈ , tal que: 2 x + 3 (2, 1, 0) = 09) Achar as coordenadas do vetor x , sabendo-se que:0)1,(2,510)]4,(3,61[5x)3221( −=++10) Determinar os vetores x e y pertencentes a V3que verificam o sistema:⎪⎩⎪⎨⎧−=−=+1)2,(1,x2y1)2,(0,y2x11) Dados os vetores u = (3, 2, 1), v = (-4, -3, 1) e w = (2, 1, 1), pede-se determinar osescalares γβ,α, tais que: 0)0,(0,wγvβuα =++A BCDEFX
  29. 29. 2812) Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3e M, N os pontos médios dos segmentosBDeAC . Pede-se determinar a soma: CDCBADABS +++= em função de MN.13) Dado o tetraedro OABC em que cOC,bOB,aOA === e M é o ponto médio dolado BC , pede-se determinar o vetor AM em função de ceb,a .1.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios1) AC85AB83+ ; 2) a) cb31−− ; b) c21b67+− ;3) a) )cb(231+ ; b) )dc(21+ ; c) )d3cb4(61++− ;4) a) )CBCA(21+ ; b) )CRCP(21+ ; c) )CR2CA(31+ ; 6) c43b43a41++ ; c43b41a41+− ;7) a) )23,25(1, ; b) )215,524,215( − ; c) )1039,58,1051( −− ; 8) ),,( 0233 −− ;9) )( 0351069,,5−− ; 10) )32,52(x55,−−= , )1,6,51(y55= ; 11) 0γβα === ;12) MN4 ; 13) )( cbaAM ++−=21OABCMabc
  30. 30. 292 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR2.1 Vetores Linearmente Independentes2.1.1 Definiçãon21 v,,v,v K são linearmente independentes (L. I.) ⇔0vαvαvα nn2211 =+++⇔ K implica obrigatoriamente que 0ααα n21 ==== K .2.1.2 ExemploMostrar que os vetores (2, 1, 1), (1, 3, 1), (-2, 1, 3) são L. I.1α (2, 1, 1) + 2α (1, 3, 1) + 3α (-2, 1, 3) = (0, 0, 0)(2 1α + 2α - 2 3α , 1α + 3 2α + 3α , 1α + 2α + 3 3α ) = (0, 0, 0)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=−+0α3αα0αα3α02ααα2321321321311131212 −= 2 (9 – 1) – 1 (3 – 1) - 2 (1 – 3) = 16 – 2 + 4 = 18 ≠ 0Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e odeterminante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma únicasolução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I.
  31. 31. 302.2 Vetores Linearmente Dependentes2.2.1 Definiçãon21 v,,v,v K são linearmente dependentes (L. D.) ⇔ existem escalares,α,,α,α n21 K não todos nulos tais que: 0vαvαvα nn2211 =+++ K .2.2.2 ExemploMostrar que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0), (1, 0, 1) são L. D.1α (1, -2, -1) + 2α (-1, 1, 0) + 3α (1, 0, 1) = (0, 0, 0)( 1α - 2α + 3α , -2 1α + 2α , - 1α + 3α ) = (0, 0, 0)⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−=+−0αα0αα20ααα312132102212)(1101012111=−=+−+=−−−Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e odeterminante da matriz dos coeficientes é igual a 0 (zero), existem infinitas soluções.Uma delas é a solução trivial, mas ela não é única.Por exemplo, para 1α = 1, temos da segunda equação que 2α = 2 1α , logo, 2α = 2 e daterceira equação temos que 3α = 1α , logo, 3α = 1. Portanto, podemos escrever:1 (1, -2, -1) + 2 (-1, 1, 0) + 1 (1, 0, 1) = (0, 0, 0), onde os escalares 1α , 2α , 3α sãodiferentes de 0, concluindo então que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0) e (1, 0, 1) são L. D.
  32. 32. 31OBSERVAÇÕES1) O vetor nulo (0 ) é sempre L. D., pois 5 . 0 = 0 , onde o escalar é 5 ≠ 0.2) Um vetor não nulo é sempre L. I., pois 0λ0vcom0vλ =⇒≠= .3) Sejam veu dois vetores e 0v ≠ .veu são L. D. vαu/α =ℜ∈∃⇔VETORES PARALELOS: se veu são L. D. , dizemos que veu são paralelos eindicamos: v||u . Logo,Observem que se um dos vetores for nulo, por exemplo, 0v = , então sópodemos escrever: uαv = .Exemplos:1) (2, 3, 1) || (4, 6, 2), pois (2, 3, 1) =21(4, 6, 2)(4, 6, 2) || (2, 3, 1), pois (4, 6, 2) = 2 (2, 3, 1)2) (0, 0, 0) || (1, 1, 1), pois (0, 0, 0) = 0 (1, 1, 1)Notem que o vetor nulo (0 ) é paralelo a qualquer vetor.Em 1.5 foi visto que vetores da forma vαev possuem representantescolineares, logo, dois vetores veu são L. D. ou colineares.Se veu não forem colineares, seus representantes determinam um plano epodemos dizer que veu são L. I.uβvouvαuv||ue0v,0u ==⇒≠≠
  33. 33. 324) Em V3, sejam wev,u vetores não simultaneamente nulos. Então pode ocorrer:a) wev,u são L. D. e possuem representantes numa mesma reta, sendo portantocolineares; ou wev,u possuem representantes num mesmo plano, sendo portantocoplanares.b) wev,u são L. I. ou não coplanares. Observem a figura que segue:veu são L. I.uvPABuvuuvvwwπL.I.sãow,v,u
  34. 34. 335) Quatro vetores em V3são sempre L. D.2.3 Combinação Linear2.3.1 DefiniçãoDados os vetores n21 v,,v,v K , todo vetor da forma nn2211 vαvαvα +++ Konde n21 α,,α,α K são escalares chama-se combinação linear dos vetores dados.2.3.2 Exemplos1) O vetor u = (2, 3, 1) é uma combinação linear dos vetores 1e = (1, 0, 0),2e = (0, 1, 0) e 3e = (0, 0, 1).De fato, (2, 3, 1) = 2 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)2) O vetor v = (6, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores 1v = (1, -1, 2),2v = (1, 0, -1) e 3v = (1, 1, 1).De fato, (6, -1, 2) = α(1, -1, 2) + β (1, 0, -1) + γ (1, 1, 1)(6, -1, 2) = (α + β + γ , -α + γ , 2α - β + γ )⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=+−⇒×−=+−=+−=++=++(3)2γβ2α(5)3γ3α33)(1γα-:(2)(2)1γα(4)82γ3α:(3)(1)(1)6γβα(4) + (5): 5γ = 5 ⇒ 1γ = , substituindo em (2): 2α =Substituindo 1γ = e 2α = em (1): 3β =Portanto, (6, -1, 2) = 2 (1, -1, 2) + 3 (1, 0, -1) + 1 (1, 1, 1)
  35. 35. 342.4 Base2.4.1 DefiniçãoChama-se base de V3a todo conjunto de três vetores linearmenteindependentes (L. I.).Logo, para sabermos se três vetores formam uma base de V3, bastaverificarmos se eles são L. I.2.4.2 ExemploVerificar se os vetores 1v = (2, 3, 4), 2v = (4, 6, 7) e 3v = (1, 2, 3) formam uma base deV3.α 1v + β 2v + γ 3v = 0α (2, 3, 4) + β (4, 6, 7) + γ (1, 2, 3) = (0, 0, 0)(2 α + 4 β + γ , 3 α + 6 β + 2 γ , 4 α + 7 β + 3 γ ) = (0, 0, 0)013-4-824)(2118)(9414)(1823742631420γ3β7α40γ2β6α30γβ4α2≠==−+−−−=⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e odeterminante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma únicasolução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I. e portanto formamuma base de V3.
  36. 36. 352.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma BaseSeja B = { 1v , 2v , 3v } uma base de V3.Seja 3Vv ∈ uma combinação linear dos vetores 1v , 2v , 3v . Logo, existemescalares 321 α,α,α , tais que:332211 vαvαvαv ++= (1)Vamos demonstrar que os escalares 321 α,α,α são determinados de modoúnico.Suponhamos que 321 β,β,β sejam tais que:332211 vβvβvβv ++= (2)Fazendo-se então (1) – (2), temos:0v)β(αv)β(αv)β(α 333222111 =−+−+−Como B = { 1v , 2v , 3v } é uma base de V3, temos que 1v , 2v , 3v são L. I.,logo:⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=−=⇒=−=⇒=−333322221111βα0βαβα0βαβα0βαLogo, os escalares 321 α,α,α são únicos e são chamados de coordenadas dovetor v em relação à base B.Notação: B321 )α,α,(αv =2.4.4 Base CanônicaSejam os vetores 1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1).Vamos provar que esses vetores são L. I.:
  37. 37. 36α 1e + β 2e + γ 3e = 0α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (0, 0, 0)(α, β , γ ) = (0, 0, 0) ⇒ α = β = γ = 0 ∴ 1e , 2e , 3e são L. I.Observe também que qualquer vetor 3Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito comocombinação linear dos vetores 1e , 2e , 3e , como segue:z)y,(x,v = = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) == x 1e + y 2e + z 3eUtilizando o mesmo modo usado em 2.4.3, demonstramos também que essadecomposição é única, ou seja, 3Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito de uma única maneirasob a forma: v = x 1e + y 2e + z 3e .Portanto, temos que 1e , 2e , 3e formam uma base de V3que é denominadabase canônica de V3.Observem que v = x 1e + y 2e + z 3e ⇒ =v (x, y, z)base canônica e por tanto,os números x, y, z da terna =v (x, y, z) coincidem com as coordenadas de v emrelação à base canônica.xyzOP = (x, y, z)v1e2e3e
  38. 38. 372.4.5 Exemplos1) Determinar as coordenadas do vetor =v (-2, 1, 1) em relação à base B = { 321 u,u,u },onde 1u = (1, 0, 0), 2u = (1, 1, 0), 3u = (1, 1, 1). Determinar as coordenadas de w emrelação à base canônica, sendo w = (2, 1, 0)B.Vamos escrever v como combinação linear de 321 u,u,u :v = α 1u + β 2u + γ 3u(-2, 1, 1) = α (1, 0, 0) + β (1, 1, 0) + γ (1, 1, 1)(-2, 1, 1) = (α + β + γ , β + γ , γ )3α(1)em0βe1γ0β(2)em1γ(2)1γβ(1)2γβα−=⇒==⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==+−=++Portanto, v = (-3, 0, 1)B.Dizer que w = (2, 1, 0)B é o mesmo que escrever w como combinação linear dosvetores 321 u,u,u , do seguinte modo:w = 2 1u + 1 2u + 0 3uw = 2 (1, 0, 0) + 1 (1, 1, 0) + 0 (1, 1, 1)w = (2, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 0, 0)w = (3, 1, 0) ⇒ w = (3, 1, 0)base canônica2) Se B = { 321 u,u,u } é uma base de V3e são dados os vetores ,u2uuv 3211 +−=,uuv 322 −= 23 uv −= , pede-se achar as coordenadas do vetor 321 v2vv2v −−=em relação à base B.Na expressão do vetor v , vamos substituir os vetores 1v , 2v , 3v . Então , fica:
  39. 39. 38321 v2vv2v −−=v = 2 ( 321 u2uu +− ) – ( 32 uu − ) – 2 ( 2u− )v = 2 232321 u2uuu4u2u ++−+−v = 321 u5uu2 +− ⇒ v = (2, -1, 5)BEXEMPLOS1) Determinar k de modo que os vetores u = (1, 2, k), v = (0, 1, k – 1) ew = (3, 4, 3) sejam linearmente dependentes.α u + β v + γ w = 0α (1, 2, k) + β (0, 1, k – 1) + γ (3, 4, 3) = (0, 0, 0)(α + 3 γ , 2 α + β + 4 γ , k α + k β - β + 3 γ ) = (0, 0, 0)⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=++=+0γ3β1)(kαk0γ4βα20γ3αPara que os vetores sejam L. D. o sistema deve ser possível e indeterminado, ou seja,deve admitir infinitas soluções, além da trivial, logo:031kk412301=−⇒ 1 (3 – 4k + 4 ) – 0 (6 – 4 k ) + 3 (2 k – 2 – k) = 07 – 4 k + 3 k – 6 = 0 ⇒2) Dados os vetores u = (2, 1, -1), v = (3, 0, 3) e w = (4, -1, 7) , verificar que w é umacombinação linear de u e v .Se w é uma combinação linear de u e v ⇒ w = α u + β v(4, -1, 7) = α (2, 1, -1) + β (3, 0, 3)(4, -1, 7) = (2 α + 3 β , α, -α + 3 β )k = 1
  40. 40. 39(V)462(1)em2βe1α(3)7β3α2β(3)em1α(2)1α(1)4β3α2=+−⇒=−=⎪⎩⎪⎨⎧=+−=⇒−=⇒−==+Portanto o sistema é determinado e w = - u + 2 v .3) Se c,b,a são vetores linearmente independentes, os vetores c3b2au −+= ,c2ba2v ++−= e c8b3a4w −+= são L. I. ou L. D.? Justificar a conclusão.α u + β v + γ w = 0α ( c3b2a −+ ) + β ( c2ba2 ++− ) + γ ( c8b3a4 −+ ) = 0(α -2 β + 4 γ ) a + (2 α + β + 3 γ ) b + (-3 α + 2 β - 8 γ ) c = 0Como c,b,a são L. I.⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=++=+−⇒0γ8β2α30γ3βα20γ4β2α02814143)(449)16(26)8(1823312421=+−−=+++−+−−=−−−Portanto o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções para α, β eγ , além da trivial, o que nos leva a concluir que os vetores u , v e w são L. D..4) Achar os valores de α e β para que os vetores u = (α, 1, β + 1) e v = (2, α - 1, β )sejam paralelos.u || v ℜ∈=⇔ λ,vλu(α, 1, β + 1) = λ (2, α - 1, β )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==−⇒=−⇒=⇒=⇒(3)1βλβ(2)1λ1)(α12α1)(α(2)em2αλ(1)αλ2
  41. 41. 40⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ℜ∈∃⇒=⇒=⇒=−=⇒=−⇒=−−⇒−=⇒−=⇒−===−−⇒β1β0(3)em1λ2αou32β1β231β1)21((3)em21λ1α2Pe1S02αα2Portanto, temos: 1α −= e32β −=5) Dados os vetores u = (1, -1, 1), v = (2, 0, 1) e w = (3, 1, 1), achar um vetor xparalelo a v e tal que u + x seja paralelo a w .x || v ⇒ x = α v , com ℜ∈αu + x || w ⇒ u + x = β w , com ℜ∈βEntão, fica: u + α v = β w(1, -1, 1) + α (2, 0, 1) = β (3, 1, 1)(1 + 2 α, -1, 1 + α) = (3 β , β , β )⎪⎩⎪⎨⎧=+−=⇒−=⇒=−=+(3)βα12α(3)em1β(2)β1(1)β3α21Substituindo α = -2 e β = -1 em (1), vem: 1 -4 = -3 (V)Portanto, x = -2 (2, 0, 1) ⇒ 2)0,4,(x −−=6) Provar que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de umtriângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste lado.Seja o triângulo ABC com M e N pontos médios dos lados BCeAC , respectivamente.Provar que: AB21MN =(Provando-se que MN é dessa forma, fica provado, pela definição de vetores paralelos,que MN || AB )
  42. 42. 41AB21MN =2.5 2ª Lista de Exercícios31) Mostrar que os vetores u = (-1, 0, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 1) são L. I..2) Mostrar que os vetores u = (-2, 1, 3), v = (2, -1, 1) e w = (6, -3, -1) são L. D..Escrever a relação que existe entre esses vetores.3) O conjunto {(0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L. D. ou L. I.? Justificar a conclusão.4) Mostrar que os vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 4, 6) são paralelos.5) Provar que o vetor v = (-2, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores1v = (1, -1, 1), 2v = (-1, -1, 0) e 3v = (4, 2, -1).3Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974A BCM NAB21ABMNBA21ABMN)CABC(21ABMNBC21ABCA21MNBNABMAMN−=+=++=++=++=
  43. 43. 426) Dados os vetores ,b,a linearmente independentes, constrói-se a partir de um pontoO arbitrário os vetores: ℜ∈+=−=−= λcom,baλOCeba2OB,b2aOA .Determinar o parâmetro λ de modo que os vetores BCeAC sejam paralelos.7) Mostrar que os vetores 1v = (1, 1, 0), 2v = (1, 0, 1) e 3v = (0, 1, 1) formam umabase B de V3.8) Determinar as coordenadas do vetor v = (4, -2, 2) em relação à base B do exercícioanterior.2.6 Respostas da 2ª Lista de Exercícios2) w = 2 v - u ; 3) L. D.5) v = 321 v45v49v43−−6) λ = 4; 8) v = (0, 4, -2)B ;
  44. 44. 433 PRODUTOS ENTRE VETORES3.1 Produto Escalar ou Produto InternoO produto escalar de dois vetores é uma operação que associa a cada parde vetores u , v de V3, um número real, indicado por u . v e lê-se: “u escalar v ”.Outras Notações: u x v ; <u , v >.Antes de definirmos o produto escalar precisamos da definição de ânguloentre dois vetores e módulo ou comprimento de um vetor, que veremos a seguir.3.1.1 Ângulo Entre Dois VetoresO ângulo θ , também indicado por ( v,u ), entre dois vetores não nulos u e v ,é definido como sendo o ângulo entre seus representantes.Sejam então, AB e AC os representantes dos vetores u e v ,respectivamente; o ângulo θ entre u e v é por definição o menor ângulo segundo oqual AB deve girar para se tornar colinear com AC e é tal que °≤≤° 180θ0 .
  45. 45. 443.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um VetorSeja um segmento orientado não nulo AB que chamaremos de segmentounitário. Um vetor u , cujo representante é o segmento orientado AB , recebe o nomede vetor unitário.Dado o vetor v , seja u um unitário colinear com v . Então, existe ℜ∈t talque v = t u .Chama-se módulo ou norma ou ainda comprimento de v , indicado por | v |ou || v ||, o módulo desse número real t. Logo, | v | = | t |.Da definição temos que um vetor é unitário se, e somente se, seu módulo éigual a 1.Chama-se versor v de um vetor u ao vetor unitário paralelo a u e de mesmosentido que u , definido por: v =uuuvA BCθ
  46. 46. 453.1.2.1 PropriedadesQuaisquer que sejam o vetor v e o escalar x, temos:1) | v | ≥ 0 e | v | = 0 ⇔ v = 02) | x v | = | x | | v |3.1.3 Definição de Produto EscalarSejam u e v vetores não nulos e θ o ângulo formado entre u e v .Defini-se o produto escalar de u por v como:Se u = 0 ou v = 0 , então u .v = 0.3.1.3.1 PropriedadesQuaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3e qualquer que seja oescalar α, valem as seguintes propriedades:1) Comutativa ou simétrica: u .v = v .u2) Homogeneidade: ∗ℜ∈≠≠== α,0v,0u),v(α.uv.)u(α)v.u(α3) Distributividade: v.wu.w)vu(.w +=+Estas propriedades também se verificam se um dos vetores for o vetor nulo ese o escalar for o número 0 (zero).0v.00.u ==°≤≤°=⋅ 180θ0,θcos|v||u|vu
  47. 47. 46{ { 00.uv.0)v0(.uv.)u0()v.u(000==⇒== .Temos também que:22|u|1|u|cos0|u||u|u.u =×=°=Notação: u .u = u 2Se u e v são vetores não nulos, então u .v = 0 ⇔ θ = 90°.Dizemos então que o vetor u é perpendicular ou ortogonal ao vetor v , eindica-se: vu ⊥ , quando u .v = 0.De acordo com essa definição, o vetor nulo (0 ) é perpendicular a todos osvetores do espaço e é o único vetor que goza desta propriedade.3.1.4 Bases OrtonormaisUma base }c,b,a{ é ortogonal se os seus vetores são mutuamenteortogonais, isto é, se 0c.bc.ab.a === . Se, além disso, os vetores são unitários, abase }c,b,a{ chama-se ortonormal.Um exemplo de base ortonormal é a base canônica, vista em 2.4.4.OBSERVAÇÕESSe B = }c,b,a{ é uma base ortonormal eu = x1 a + y1 b + z1 c = (x1, y1, z1)B e v = x2 a + y2 b + z2 c = (x2, y2, z2)B são vetoresquaisquer de V3, então1) u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z22) |u | = 212121 zyx ++ .
  48. 48. 47B = }c,b,a{ é uma base ortonormal⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⇒1|c||b||a|e0c.bc.ab.a1) u . v = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x2 a + y2 b + z2 c ) == (x1 x2) a . a + (x1 y2) a . b + (x1 z2) a . c + (y1 x2) b . a + (y1 y2) b . b +(y1 z2) b . c + (z1 x2) c . a + (z1 y2) c . b + (z1 z2) c . c == (x1 x2) |a |2+ (x1 y2) 0 + (x1 z2) 0 + (y1 x2) 0 + (y1 y2) | b |2+ (y1 z2) 0 + (z1 x2) 0 +(z1 y2) 0 + (z1 z2) | c |2= (x1 x2) 1 + (y1 y2) 1 + (z1 z2) 1 == x1 x2 + y1 y2 + z1 z22) | u |2= u . u = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x1 a + y1 b + z1 c ) == x12a .a + (x1 y1) a .b + (x1 z1) a .c + (y1 x1) b .a + y12b .b + (y1 z1) b .c+ (z1 x1) c . a + (z1 y1) c . b + z12c . c == x12|a |2+ (x1 y1) 0 + (x1 z1) 0 + (y1 x1) 0 + y12|b |2+ (y1 z1) 0 + (z1 x1) 0 ++ (z1 y1) 0 + z12| c |2= x121 + y121 + z121 = x12+ y12+ z12u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2| u |2= x12+ y12+ z12⇒ 212121 zyx|u| ++=
  49. 49. 483.1.5 Interpretação Geométrica do Produto EscalarSejam dois vetores u e v de V3com u 0≠ .Seja θ o ângulo entre u e v .Vamos determinar a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , que éum vetor colinear com u , da forma uλ . Para tanto, vamos determinar o escalar λ .Observem que os vetores ( uλv − ) e u são perpendiculares e portanto,( uλv − ).u = 0 ⇒ v . u - λ u 2= 0 ⇒ λ = 2|u|v.uLogo, o vetor uλ , projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , indicadopor vproju, fica:u)|u|v.u(uλvproj2u==Se u for um vetor unitário, | u | = 1 ⇒ v.uλ = e o comprimento do vetorprojeção uλ será:|v.u||λ||uλ||vproj| u===vθθvu uuλ uλuλv − uλv −0λ > 0λ <
  50. 50. 49Portanto, o comprimento da projeção do vetor v sobre o vetor u , se u éunitário, é igual ao módulo do produto escalar do vetor v pelo vetor u .EXEMPLOS1) Provar que: (u + v )2= u 2+ 2 u .v + v 2(u + v )2= (u + v ).(u + v ) = u . (u + v ) + v . (u + v ) = u .u + u .v + v .u + v .v == u 2+ 2 u . v + v 2Portanto:2) Fica como exercício demonstrar que: a) (u - v )2= u 2- 2 u . v + v 2b) (u + v ).(u - v ) = u 2- v 23) Dados os vetores u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1) e w = (0, 1, -1), determinar um vetor xcoplanar com u e v e ortogonal a w .x coplanar com u e v ⇒ x , u e v são L. D. ⇒ x é combinação linear de u e v ⇒⇒ x = α u + β vx = α (1, 1, 0) + β (1, 0, 1) ⇒ x = (α + β , α, β )x ⊥ w ⇒ x . w = 0 ⇒ (α + β , α, β ). (0, 1, -1) = 0 ⇒ α - β = 0 ⇒ α = β . Entãosubstituindo na expressão de x , temos: x = (2 β , β , β ) = β (2, 1, 1).Logo, β (2, 1, 1), ℜ∈β , nos fornece todos os vetores que satisfazem as condições doproblema. Para termos um vetor, damos um valor para β , por exemplo, β = 1, obtendoassim o vetor x = (2, 1, 1)(u + v )2= u 2+ 2 u .v + v 2
  51. 51. 504) Calcular o módulo do vetor v = (-1, 2, -2)| v | = 394412)(21)( 222==++=−++−5) Determinar o comprimento da projeção do vetor v = (-1, 2, -4) sobre o vetorw = (2, -1, 2).(1)w|w|w.vvproj2w ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=v . w = (-1, 2, -4) . (2, -1, 2) = -2 -2 -8 = -12 (2)| w |2= 22+ (-1)2+ 22= 4 + 1 + 4 = 9 (3)Substituindo (2) e (3) em (1), vem:2)1,(2,342)1,(2,912vprojw−−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=43349344143421)(234vproj 222w=×==++=+−+−=6) Determinar o ângulo θ entre os vetores u = (3, 2, 0) e v = (2, 1, 1).(1)|v||u|v.uθcos =u . v = (3, 2, 0).(2, 1, 1) = 6 + 2 + 0 = 8 (2)| u | = (3)1349023 222=+=++| v | = (4)6114112 222=++=++Substituindo (2), (3) e (4) em (1), vem:788cosarcθ7886138θcos =∴==7) Os vetores a e b formam um ângulo α = 30°; calcular o ângulo θ = (u ,v ) seu = a + b e v = a - b , sabendo que: | a | = 3 e | b | = 1.
  52. 52. 51|v||u|v.uθcos = (1)α = 30°2330cosαcos =°=⇒23b.a13b.a23|b||a|b.aαcos =⇒×=⇒= (2)u . v = (a + b ) . (a - b ) = a 2- b 2= | a |2- | b |2= 3 – 1 = 2 (3)| u |2= u 2= (a + b )2= a 2+ 2 a .b + b 2= |a |2+ 2 a .b + | b |2= 3 + 223× + 1 =3 + 3 + 1 = 7 7|u| =⇒ (4)| v |2= v 2= (a - b )2= a 2- 2 a .b + b 2= |a |2- 2 a .b + | b |2= 3 - 223× +1 =3 – 3 +1 = 1 1|v| =⇒ (5)Substituindo (3), (4) e (5) em (1), temos:72cosarcθ72172|v||u|v.uθcos =∴=×==3.2 Produto Vetorial ou Produto ExternoO produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa a cada parde vetores u , v de V3, um vetor, indicado por u ∧ v e lê-se: “u vetorial v ”.Outra Notação: u x vAntes de definirmos o produto vetorial precisamos escolher uma orientaçãopara o espaço R3que nos possibilitará distinguir dois tipos de bases ortonormais: aspositivas e as negativas.
  53. 53. 523.2.1 Orientação de R3Observem os ternos ordenados de segmentos orientados não coplanares( OC,OB,OA ) e ( OC,OA,OB ).Se a rotação (de menor ângulo) do primeiro segmento orientado até quefique colinear com o segundo segmento orientado for feita no sentido anti horário, oterno ordenado é positivo e se essa rotação for no sentido horário, então o ternoordenado é negativo.Portanto, ( OC,OB,OA ) é positivo e ( OC,OA,OB ) é negativo.Fazendo-se OCkeOBj,OAi === , temos que a base { k,j,i } é ortonormalpositiva, enquanto que a base { k,i,j } é ortonormal negativa. Portanto, os vetoresk,j,i satisfazem às seguintes relações:⎪⎩⎪⎨⎧======1|k||j||i|0k.jk.ij.iOA BCOA BCi jk
  54. 54. 53Observem que a base canônica { 1e , 2e , 3e }, definida em 2.4.4, também éuma base ortonormal positiva.3.2.2 Definição de Produto VetorialSejam os vetores u e v de V3e θ o ângulo formado entre u e v .Se u e v são colineares (u e v L. D.), temos por definição que u ∧ v = 0 .Se u e v não são colineares (u e v L. I.), então u ∧ v é o vetor quesatisfaz às seguintes condições:1) | u ∧ v | = | u | | v | sen θ , °≤≤° 180θ0 ;2) o vetor u ∧ v é ortogonal a u e a v ;3) {u , v , u ∧ v } é uma base positiva de V3.3.2.2.1 PropriedadesQuaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3e qualquer que seja oescalar α, valem as seguintes propriedades:1) Associativa para a multiplicação por um escalar: )vu(α)v(αuv)u(α ∧=∧=∧2) Distributiva à esquerda e à direita em relação à adição:u ∧ ( v + w ) = u ∧ v + u ∧ w(u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w3) Anticomutativa: u ∧ v = - v ∧ u
  55. 55. 54OBSERVAÇÕES1) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva, resulta da definição de produtovetorial que:⎪⎩⎪⎨⎧=∧=∧=∧=∧=∧=∧0kkjjiiejik,ikj,kji2) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)Be v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B são vetores quaisquer de V3, dados na base B,então o produto vetorial, u ∧ v , pode ser obtido pelo determinante simbólico:k)yxy(xj)zxz(xi)zyz(yk)yxy(xj)zxz(xi)zyz(yzyxzyxkji122121121221122112211221222111−+−+−=−+−−−=Exemplos: dados u e v na base B = { k,j,i } , calcule u ∧ v .1) u = (1, -1, 2)B e v = (3, -1, -1)u ∧ v = B2)7,(3,k3)1(j6)1(i2)(1113211kji=+−+−−−+=−−−2) u = (3, 2, -1)B e v = (1, -1, -1)Bu ∧ v = B5)2,3,(111123kji−−=−−−
  56. 56. 553.2.3 Interpretação Geométrica do Produto VetorialObservem o paralelogramo OADB da figura acima.A área desse paralelogramo é dada por: A = | u | x h (1)Do triângulo OHB, retângulo em H, temos que:θsen|v|h|v|hθsen ×=⇒= (2)Substituindo (2) em (1), vem:A = | u | x θsen|v| × ⇒ |vu|A ∧=Portanto, a área de qualquer paralelogramo cujos lados sejamrepresentantes dos vetores u e v é dada por | u ∧ v | .EXEMPLOSNos exemplos que seguem, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }.1) Dados os vetores 1v = (1, 0, 5) e 2v = (-3, 0, 2), calcular um vetor unitário uortogonal aos vetores 1v e 2v .OA BChθDu vvu ∧H
  57. 57. 560)17,(0,αu203501kjiαu)vv(αuvuevu 2121 −=⇒−=⇒∧=⇒⊥⊥| u | = 1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒=⇒−=⇒=⇒=⇒=−⇒171αou171α171|α|1|α|17117)(|α| 2⇒−=⇒⇒−−=⇒0)17,(0,171uou0)17,(0,171u0)1,(0,uou0)1,(0,u−==2) Dados os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -2, 1), determinar o vetor w paralelo aoplano xOz tal que v = u ∧ w .Seja w = (x, y, z)z)0,(x,w0y00)1,(0,.z)y,(x,0j.wjwxOz||w =⇒=⇒=⇒=⇒⊥⇒v = u ∧ w⎪⎩⎪⎨⎧−=⇒=−−=⇒−==⇒−=−⇒−=⇒1x1x1x22x3z1)2,(3,x)2x,(z,1)2,(3,z0x210kjiLogo, 3)0,1,(w −=3) Calcular a área do triângulo de vértices: A = (2, 1, 3), B = (6, 4, 1), C = (-6, -2, 6).ABC
  58. 58. 57A área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo3)3,8,(ACe2)3,(4,AB −−=−=ACAB21AACABA triparal. ∧=⇒∧=12)4,(3,338234kjiACAB =−−−=∧13169144169ACAB ==++=∧Portanto,213Atri =3.3 Produto Misto3.3.1 DefiniçãoSejam três vetores .Vw,v,u 3∈Chama-se produto misto dos vetores u , v , w , tomados nessa ordem, àexpressão: )wv(.u ∧ .Notação: [u , v , w ] = )wv(.u ∧Observe que o produto misto de três vetores u , v , w é um escalar.OBSERVAÇÃOSe B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)B ,
  59. 59. 58v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B e w = x3 i + y3 j + z3 k = (x3, y3, z3)B são vetoresquaisquer de V3, dados na base B, então o produto misto [u , v , w ] = )wv(.u ∧ , podeser obtido pelo determinante333222111zyxzyxzyxExemplos: dados os vetores u = (-2, 1, 2)B, v = (1, -1, 1)B e w = (1, 1, 1)B, calcular:a) [u , v , w ]; b) [ w ,u , v ]; c) [v ,u , w ]a) [u , v , w ] = 84422012)(2111111212=+=×+×−−×−=−−b) [ w ,u , v ] = 8143114)(131111212111=++=×+−×−×=−−c) [v ,u , w ] = 83413)(14)(11)(1111212111−=−−−=−×+−×+−×=−−3.3.2 Interpretação Geométrica do Produto MistoA partir de um ponto O qualquer do espaço, vamos construir umparalelepípedo de arestas wOC,vOB,uOA === .
  60. 60. 59Seja θ o ângulo formado entre u e wv ∧ .Seja uprojh wv∧= .Vamos calcular |θcos||wv||u||wv.u||]w,v,u[| ∧=∧= (1)Mas, no triângulo OAH, retângulo em H, temos que :| cos θ | = |θcos||u||h||u||h|=⇒ (2)Paral.A|wv| =∧ (3)Substituindo (2) e (3) em (1), fica:pedoParalelepíParal. V|h|A|]w,v,u[| =×=Portanto concluímos que o módulo do produto misto [u , v , w ] é igual aovolume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores u , v , w .Decorre da interpretação geométrica do produto misto que:a) se u ,v , w são vetores L. D. e portanto coplanares, o produto misto entre eles é iguala zero;OABCuvwhwv ∧θH(u ,v , w ) é L. D. ⇔ [u , v , w ] = 0
  61. 61. 60b) se u , v , w são vetores L. I. e portanto não coplanares, o produto misto entre eles édiferente de zero;c) se B = {u ,v , w } é uma base qualquer de V3, então B é de orientação positiva se[u ,v , w ] > 0 (quando θ é um ângulo agudo ⇒ cos θ > 0);d) se B = {u ,v , w } é uma base qualquer de V3, então B é de orientação negativa se[u ,v , w ] < 0 (quando θ é um ângulo obtuso, pois é o ângulo entre u e w ∧ v , ouseja, o ângulo entre u e – (v ∧ w )) ⇒ cos θ < 0).3.3.3 Propriedades1) Se permutarmos dois dos três vetores u , v , w , o produto misto muda de sinal.[u ,v , w ] = - [u , w ,v ][u ,v , w ] = - [v ,u , w ]2) Efetuando-se uma permutação cíclica dos três vetores u , v , w , o produto misto nãose altera.[u ,v , w ] = [v , w ,u ] = [ w ,u , v ]Observação: u.wvuw.vuw.vwv.uu.wvwv.u∧=∧⇒⎪⎭⎪⎬⎫∧=∧∧=∧3) Qualquer que seja ℜ∈λ , temos:(u ,v , w ) é L. I. ⇔ [u , v , w ] ≠ 0
  62. 62. 61[ λ u ,v , w ] = [u ,λ v , w ] = [u ,v , λ w ] = λ [ u , v , w ]4) [ ]w,v,u[]w,v,u[]w,v,uu 2121 +=+[ ]w,v,u[]w,v,u[]w,vv,u 2121 +=+[ ]w,v,u[]w,v,u[]ww,v,u 2121 +=+EXEMPLONo exemplo que segue, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }.Determinar o volume do tetraedro ABCD, cujos vértices são: A = (1, 1, -1), B = (2, 2, -1),C = (3, 1, -1), D = (2, 3, 1).VTetraedro =61VParalelepípedoAC = (2, 0, 0), AD = (1, 2, 2), AB = (1, 1, 0)VT =61| [ AC , AD , AB ] | =613264461011221002==−=ABCD
  63. 63. 623.4 3ª Lista de Exercícios41) Dados u = (3, -1, 5) e v = (1, 2, -3), determinar um vetor w , ortogonal ao eixo Ox etal que w .u = 9 e w .v = 4.2) Dados u = (2, 1, -3) e v = (1, 2, 1), seja w = u + λ v . Determinar λ para que w eu sejam ortogonais.3) Dados u = (1, -3, 1), pede-se determinar um vetor v , ortogonal ao eixo Oy, tal que| u ∧ v | = 118 e u . v = 5.4) Dados os vetores u = (1, -1, 0), v = (0, 0, 2) e w = (2, -3, 0), pede-se determinar ovetor x , paralelo a w e que satisfaz a condição x ∧ u = v .5) Dados os vetores u = (1, -1, 0) e v = (2, 1, 3), determinar um vetor w sabendo-seque w é ortogonal a u e a v , | w | = 243 e o ângulo formado por w com o eixo Oy éagudo.6) Os vetores a e b formam um ângulo de 60°. Sabendo-se que | a | = 5, | b | = 8,calcular | a + b |, | a - b |, a . b e | a ∧ b |.7) Numa base ortonormal positiva temos: AB = (3, 1, -2), AC = (0, 2, -1) e AD = (1, 1, 1).a) Calcular o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.b) Calcular a área do triângulo BCD.c) Calcular a distância do ponto A ao plano BCD.d) Calcular a distância de B à reta CD.8) Dados aOA = = (1, 1, 0), bOB = = (0, 1, 1) e cOC = = (2, 1, 0), pede-se um vetorxOP = tal que, simultaneamente:a) x é coplanar com a ∧ b e cb ∧ ;b) x é ortogonal a a + c ;4Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica – Exercícios, 1985
  64. 64. 633.5 Respostas da 3ª Lista de Exercícios1) )722,747(0, ; 2) -14; 3) (3, 0, 2) ou (2, 0, 3); 4) (4, -6, 0); 5) (9, 9, -9);6) 129 ; 7; 20; 320 ;7) 12;393;31626;262;8) ),,( βββ 332 −−=x ; βα −=
  65. 65. 644 RETAS E PLANOS NO R34.1 Sistema de CoordenadasSeja O um ponto de R3e B = { k,j,i } uma base ortonormal positiva de V3.Ao par (O, B), que também pode ser indicado por (O, k,j,i ) damos o nomede sistema ortogonal de coordenadas em R3.O ponto O é a origem do sistema e os eixos concorrentes em O e que têmos sentidos dos vetores k,j,i denominam-se, respectivamente, eixo das abscissas(indicado por Ox, ou simplesmente x), eixo das ordenadas (indicado por Oy, ousimplesmente y) e eixo das cotas (indicado por Oz, ou simplesmente z), sendochamados de eixos coordenados. O plano que contém os eixos x e y, recebe o nomede plano xy; o plano que contém os eixos y e z é chamado de plano yz; o plano xz éaquele que contém os eixos x e z; estes três planos recebem o nome de planoscoordenados.xyzOP = (x, y, z)vijk
  66. 66. 65A cada ponto P do espaço corresponde um único segmento orientado OP ,com origem em O, que por sua vez determina um único vetor OPv = , que é escrito demaneira única como combinação linear dos vetores k,j,i , do seguinte modo:kzjyixv ++= . Desse modo, a cada ponto P do espaço corresponde um único ternoordenado (x, y, z) de números reais, que são as coordenadas cartesianas de P nosistema de coordenadas ortogonal (O, B). Reciprocamente, a cada terno ordenado (x,y, z) de números reais corresponde um único ponto P do espaço, tal quekzjyixOP ++= . Assim, podemos representar os pontos do espaço por ternosordenados de números reais e escrever, P = (x, y, z), ou ainda P (x, y, z).Desse modo, sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos de R3.Quais são as coordenadas do vetor AB ?Observem que AB pode ser escrito do seguinte modo:)zz,yy,x(x)z,y,(x)z,y,(xOAOBOBOAOBAOAB 121212111222−−−=−=−=+−=+=Portanto, AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).xyzOi jkAB
  67. 67. 66r: P = A + ABλ , Rλ ∈ (1)r: P = A + vλ , Rλ ∈ (1)4.2 A Reta no R3Um dos axiomas da Geometria Euclidiana afirma que dois pontos distintosdeterminam uma única reta.Sejam então, dois pontos distintos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) de R3.Esses dois pontos determinam uma reta r.Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores AP eAB são linearmente dependentes (L. D.), ou ainda, se AP e AB são paralelos.Logo, um ponto P pertence à reta r se, e somente se, existe um escalar λ talque ABλAP = .Como OPAOAP += , temos: ABλOPAO =+ , que nos fornece aQue também pode ser escrita da seguinte forma:Observem que dado Rλ ∈ , (1) nos dá um ponto P de r, e dado P ∈ r, existeRλ ∈ tal que (1) se verifica.Fazendo-se AB = v , (v ≠ 0 , pois A ≠ B) podemos escrever (1) do seguintemodo:Equação Vetorial da Reta r: ABλOAOP += , Rλ ∈
  68. 68. 67Assim, defini-se reta:Simbolicamente, escrevemos:O vetor v é chamado vetor diretor da reta r.Logo, uma reta fica bem definida, isto é, bem determinada, quando delaconhecemos um ponto e a direção que é dada pelo vetor diretor.Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorialda reta r, fica:k)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix 121212111−+−+−+++=++k)]z(zλ[zj)]y(yλ[yi)]x(xλ[xkzjyix 121121121−++−++−+=++Fazendo-se: x2 – x1 = a, y2 – y1 = b, z2 – z1 = c, vem:kc)λ(zjb)λ(yia)λ(xkzjyix 111+++++=++Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos:Se em (2) tivermos a ≠ 0, b≠ 0 e c ≠ 0, ou seja, a.b.c ≠ 0, podemos tirar ovalor de λ de cada equação, obtendo:r = {P Rλ,vλA/PR3∈+=∈ }Equações Paramétricas da Reta rR)(λcλzzbλyyaλxx111∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=:r (2)Definição de RetaReta determinada por um ponto A e um vetor v ≠ 0 é o conjunto dos pontosP de R3que satisfazem a relação: Rλ,vλAPvλAP ∈+=⇔=
  69. 69. 68czzbyyaxxλ 111−=−=−=REFLITA E RESPONDA1) Fixado um sistema de coordenadas, existe uma reta da qual (2) são equaçõesparamétricas. É a reta que passa pelo ponto (x1, y1, z1) e é paralela ao vetor (a, b, c). Sefixarmos outro sistema de coordenadas e mantivermos o mesmo sistema de equações(2), este representará a mesma reta no espaço? (Tente exemplificar sua resposta comuma figura)2) Para uma mesma reta, as equações do tipo (1) e (2) são determinadas de modoúnico? Isto é, só existe uma equação de cada tipo representando uma mesma reta?OBSERVAÇÃO: para os exemplos e exercícios que veremos no decorrer destaapostila, consideraremos fixado um sistema de coordenadas (O, k,j,i ).EXEMPLOS1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e normais da reta r que passa pelospontos P1 = (5, -4, 2) e P2 = (3, 1, 6).A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (5, -4, 2) e pelo vetordiretor 4)5,2,(PPv 21−== .Equação Normal ou Simétrica da Reta rczzbyyaxx 111−=−=−:r (3)
  70. 70. 69Equação Vetorial: P = P1 + ⇒vλ r: (x, y, z) = (5, -4, 2) + λ (-2, 5, 4), λ ∈ RR)(λ4λ2z5λ4y2λ5x::asParamétricEquações ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=−=rEquações Normais: r:42z54y25x −=+=−−2) Escrever as equações paramétricas e simétricas da reta r que passa pelo ponto P1 =(1, -2, 5) e cuja direção é dada pelo vetor diretor u = (2, 1, -3).Equações Normais: r:35z12y21x−−=+=−Equações Paramétricas: r: R)(λλ35zλ2yλ21x∈⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+=4.2.1 Condição de Alinhamento de Três PontosSejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3) três pontos de R3, comA ≠ B.A condição necessária e suficiente para que C pertença à reta determinadapor A e B é:EXEMPLOVerificar se os pontos P1 = (-1, -2, 1), P2 = (1, 1, 5) e P3 = (3, 4, 9) estão alinhados.Vamos determinar os vetores 3121PPePP : 8)6,(4,PPe4)3,(2,PP 3121== .Rλ,ABλAC ∈=
  71. 71. 70Logo, existe R2λ ∈= , tal que: 31PP = 21PP2 . Portanto os pontos estão alinhados ousão colineares.Observação: uma outra forma de resolvermos este exercício é determinarmos, porexemplo as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P1 e P2 everificarmos se o ponto P3 pertence à reta r.A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (-1, -2, 1) e pelo vetordiretor v = 4)3,(2,PP 21= , tendo as seguintes equações paramétricas:⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+−=λ41zλ32yλ21x:rSubstituindo P3 em r, vem:⎪⎩⎪⎨⎧=⇒+==⇒+−==⇒+−=2λ4192λ3242λ213:λλλrComo das três equações do sistema tiramos o mesmo valor de λ , temos que P3 ∈ r.Logo, os pontos são colineares.4.3 O Plano no R3Um dos axiomas da Geometria Espacial afirma que três pontos nãocolineares determinam um único plano.Sejam então, três pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C =(x3, y3, z3) de R3.Esses três pontos determinam um plano π .Observem que do fato de A, B e C não pertencerem a uma mesma reta,decorre que os vetores ACeAB são linearmente independentes (L. I.).
  72. 72. 71Um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, os vetoresAP , AB e AC são linearmente dependentes (L. D.), ou seja, AP é uma combinaçãolinear dos vetores AB e AC .Logo, um ponto P pertence a um plano π se, e somente se, existemescalares λ e μ tais que ACμABλAP += .Como OPAOAP += , temos: ACμABλOPAO +=+ , que nos fornece aQue também pode ser escrita da seguinte forma:Observem que dado um par ordenado ( μλ, ) de números reais, (1) nos dáum ponto P de π , e dado P ∈ π , existe um par ordenado ( μλ, ) de números reais talque (1) se verifica.Fazendo-se AB = u e AC = v , (u e v L. I.) podemos escrever (1) doseguinte modo:Assim, defini-se plano:Equação Vetorial do Plano π : Rμλ,,ACμABλOAOP ∈++=Rμλ,,ACμABλAP: ∈++=π (1)Rμλ,,vμuλAP: ∈++=π (1)Definição de PlanoPlano determinado por um ponto A e por dois vetores L. I. u ev é o conjunto dos pontos P de R3que satisfazem a relação:Rμλ,,vμuλAPvμuλAP ∈++=⇔+=
  73. 73. 72Simbolicamente, escrevemos:Os vetores L. I., u e v , são chamados vetores diretores do plano π .Logo, um plano fica bem definido, isto é, bem determinado, quando deleconhecemos um ponto e duas direções não paralelas que são dadas pelos vetoresdiretores.Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorialdo plano π , fica:k)z(zμj)y(yμi)x(xμk)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix131313121212111−+−+−+−+−+−+++=++k)]z(zμ)z(zλ[zj)]y(yμ)y(yλ[yi)]x(xμ)x(xλ[xkzjyix131211312113121−+−++−+−++−+−+=++Fazendo-se: x2 – x1 = a1, y2 – y1 = b1, z2 – z1 = c1 e x3 – x1 = a2, y3 – y1 = b2,z3 – z1 = c2, vem:k)cμcλ(zj)bμbλ(yi)aμaλ(xkzjyix 211211211++++++++=++Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos:Podemos também usar o produto misto entre vetores para obter umacondição necessária e suficiente para que um ponto P pertença a um plano π .Já vimos anteriormente que um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano πdeterminado pelos pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3)π = {P ∈ R3/P = A + λ u + μ v , Rμλ, ∈ }Equações Paramétricas do Plano π⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=211211211cμcλzzbμbλyyaμaλxx:π R)μ( ∈,λ (2)
  74. 74. 73de R3se, e somente se, os vetores AP , AB e AC são linearmente dependentes (L.D.), ou seja, [ AP , AB , AC ] = 0 ⇒ [ AP ,u ,v ] = 0, com AP = (x – x1, y – y1, z – z1), u =(a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2).Desenvolvendo-se este produto misto, teremos:)abb(a)z(z)acc(a)y(y)bcc(b)x(x0cbacbazzyyxx212112121121211222111111−−+−−−−−⇒=−−−Chamando-se: a = b1c2 – c1b2 ; b = -a1c2 + c1a2 ; c = a1b2 – b1a2, teremos:(x – x1) a + (y – y1) b + (z – z1) c = 0, que desenvolvendo-se, fica:a x + b y + c z – (ax1 + by1 + cz1) = 0 e finalmente, fazendo-se d =– (ax1 + by1 + cz1), teremos:A equação (3) também recebe o nome de equação normal do plano π , poisdecorre da definição de vetor normal a um plano.Da definição de produto misto sabemos que:[ AP ,u ,v ] = AP . u ∧ vDa definição de produto vetorial sabemos que o vetor obtido do produtovetorial de u por v é, simultaneamente, perpendicular ou ortogonal a u e v .Equação Cartesiana ou Geral do Plano π : a x + b y + c z + d = 0 (3)Vetor NormalUm vetor 0≠n é perpendicular ou normal a um plano π se, esomente se, n é perpendicular a todos os vetores que possuemrepresentantes em π .
  75. 75. 74Chamando-se n = u ∧ v , vamos calcular suas coordenadas em relação ao sistema decoordenadas (O, k,j,i ):k)abb(aj)acc(ai)bcc(bcbacbakjivu 212121212121222111 −+−−−==∧=n , onde:b1c2 – c1b2 = a ; - a1c2 + c1a2 = b ; a1b2 – b1a2 = c.Portanto, da definição de vetor normal, n = u ∧ v = kcjbia ++ é um vetornormal ao plano π , definido pelo ponto A = (x1, y1, z1) e pelos vetores diretores u = (a1,b1, c1) e v = (a2, b2, c2).Logo, um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, o vetorAP é perpendicular ou ortogonal ao vetor n.Sabemos que: 0n.APnAP =⇔⊥ . Efetuando-se esse produto escalar,vem:(x – x1, y – y1, z – z1) . (a, b, c) = 0a (x – x1) + b (y – y1) + c (z – z1) = 0a x + b y + c z – (a x1 + b y1 + c z1) = 0, chamando-se d = – (a x1 + b y1 + c z1), temos:Assim, um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, suascoordenadas satisfazem à equação acima.Observem que a equação normal obtida acima é idêntica à equação (3) eque a, b, e c, coeficientes respectivamente de x, y, e z, são as coordenadas do vetor n,normal ao plano π .Desse modo, podemos também dizer que um plano fica bem definido, isto é,bem determinado, quando dele conhecemos um ponto e uma direção normal que édada pelo vetor normal ao plano.Equação Normal do Plano π : a x + b y + c z + d = 0
  76. 76. 75PLANO BEM DETERMINADOEXEMPLOS1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e cartesiana do plano π que passapelos pontos P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1) e P3 = (1, 2, 1).O plano π fica bem determinado, por exemplo, pelo ponto P1 = (1, 0, 1) e pelos vetoresdiretores 0)2,(0,PPve0)1,1,(PPu 3121==−== .Equação Vetorial: P = P1 + vμuλ +π : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (-1, 1, 0) + μ (0, 2, 0), (λ ,μ ∈ R)⎪⎩⎪⎨⎧=+=−=1zμ2λyλ1x::asParamétricEquações π (λ ,μ ∈ R)Equação Cartesiana: P = (x, y, z) ∈ π 0]v,u,PP[ 1=⇔01z:022z:00)2(1)(z0)(0y0)(01)(x:00200111zy1x:=−⇒=+−=−−−+−−−−⇒=−−−ππππouπuvA P = (x, y, z)uλvμ⎪⎩⎪⎨⎧vuA:ππAn⎪⎩⎪⎨⎧nA:πP = (x, y, z)
  77. 77. 762) Escrever a equação cartesiana do plano que contém o ponto P = (1, -1, 2) e éperpendicular ao vetor n = (2, -3, 1).A equação cartesiana do plano π é da forma: a x + b y + c z + d = 0, onde a, b, c sãoas coordenadas do vetor normal ao plano. Então fica:π : 2 x – 3 y + z + d = 0O ponto P = (1, -1, 2) pertence ao plano π , logo, suas coordenadas satisfazem aequação do plano, isto é: 2 (1) – 3 (-1) + 2 + d = 0 ⇒ 2 + 3 + 2 + d = 0 ⇒ d = -7.Portanto, π : 2 x – 3 y + z – 7 = 0.3) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 1) e é paraleloaos vetores k2jibekji2a −+=−+= .Se o plano é paralelo aos vetores bea , então, no plano, existem representantesdesses vetores.Um ponto P = (x, y, z) pertence a esse plano se, e somente se, 0]b,a,PP[ 0=06zy3x:06zy3x:01z6y31x:01)(21)(z1)4(2)(y1)2(1)(x02111121z2y1x:=+−−⇒=−++−⇒=−+−++−=−−++−−−+−−⇒=−−−−−ππππOutra maneira de resolvermos este exercício é determinando o vetor normal ao plano.Então, fica:1)3,1,(k1j3i211112kji−=++−=−−=n∴ π : - x + 3 y + z + d = 06d0d1610d(1)(2)31πP0−=⇒=+++−⇒=+++−⇒∈∴ π : - x + 3 y + z – 6 = 0 ⇒ π : x – 3 y – z + 6 = 0
  78. 78. 774.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro PontosSejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) e D = (x4, y4, z4) quatropontos de R3, com A, B e C não colineares e consequentemente determinando umúnico plano π .A condição necessária e suficiente para que D pertença ao plano π , é:EXEMPLOVerificar se os pontos P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (1, 2, 1) e P4 = (-1, 4, 1) sãocoplanares.Vamos determinar os vetores :PPePP,PP 4131210)4,2,(PPe0)2,(0,PP,0)1,(-1,PP 413121−=== .04)(000)(010)(01042020011]PP,PP,PP[ 413121 =++−−−−=−−= . Portanto os quatropontos são coplanares.Observação: uma outra forma de resolvermos este exercício é determinarmos, porexemplo a equação cartesiana do plano π , bem definido pelo ponto P1 = (1, 0, 1) epelos vetores diretores 0)2,(0,PPe0)1,(-1,PP 3121== e verificarmos se o ponto P4 =(-1, 4, 1) pertence a este plano.Seja um ponto genérico P = (x, y, z) pertencente a π01z:02z2:0)2(1)(z0)(0y0)(01)(x:00200111zy1x:0]PP,PP,PP[: 31211=−⇒=+−⇒−−−+−−−−⇒=−−−⇒=πππππ0]AD,AC,AB[ =
  79. 79. 78Substituindo as coordenadas de P4 na equação cartesiana do plano π , temos:1 – 1 = 00 = 0 (V)Portanto, como as coordenadas de P4 satisfazem a equação cartesiana do plano π ,segue que o ponto P4 pertence ao plano π . Logo, os quatro pontos são coplanares.4.4 4ª Lista de Exercícios51) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontosP1 = (1, -2, 1) e P2 = (3, 0, -1).2) Escrever as equações normais da reta r que passa pelos pontos P1 = (3, 0, -1) e P2 =(1, -3, 0).3) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P = (1, -1, 2) etem por vetor diretor k5j2i3u +−= .4) Achar os pontos da reta dada por A = (-3, 3, -2) e B = (6, -3, 1) que têm umacoordenada nula.5) Dados os vértices A = (1, 0, -1), B = (2, 1, 0) e C = (2, 1, 2) de um triângulo ABC,pedem-se as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice A.6) Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto P1 = (3, 1, 2) e cujadireção é dada pelos vetores diretores 1)2,(1,ue1)1,(3,u 21−=−= .7) Escrever a equação cartesiana do plano determinado pelos pontos P1 = (1, 1, 1), P2= (2, -2, 2) e P3 = (-1, 1, 1).5Exercícios retirados de Lima, Elementos de Geometria Analítica, 1969
  80. 80. 794.5 Respostas da 4ª Lista de Exercícios1) )R(zyx:r ∈⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+=λλλλ212221;2) r:11z3y23x−+==−−;3)⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+=λ52zλ21yλ31x:r ;4) (0, 1, -1); (210,,23− ); (3, -1, 0); 5)⎪⎩⎪⎨⎧+−==+=λ21zλyλ1x:m ;6) π : x + 4 y + 7 z – 21 = 0;7) y + 3 z – 4 = 0;4.6 Posição RelativaFixado um sistema ortogonal de coordenadas (O, k,j,i ), vamos estudar asposições relativas de:4.6.1 Reta e RetaEm R3, duas retas r e s podem ser coplanares (situadas num mesmo plano)ou reversas (não existe um plano que contenha ambas).
  81. 81. 80Se r e s forem coplanares, ainda poderão ser concorrentes (quando têm umúnico ponto em comum) ou paralelas.No caso de r e s serem paralelas, ainda podem ser distintas (nenhum pontoem comum) ou coincidentes (todos os pontos em comum, ou uma só reta).POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETASConcorrentes r ∩ s = {P} (3)COPLANARES(situadas num mesmoplano)r ∩ s = Ø (1)(paralelas distintas)Paralelasr = s (2)(paralelas coincidentes)REVERSAS(r ∩ s = Ø e não situadas num mesmo plano) (4)Vamos ver agora como expressar analiticamente as posições relativas entreduas retas, no R3.Para tanto, seja r definida por um ponto A e um vetor diretor u , r: (A, u ) e sdefinida por um ponto B e um vetor diretor v , s: (B, v ).(1): Rα,vαuv||u ∈=⇔(2): Rα,vαuv||u ∈=⇔ e )vγAB(ouuβABseja,our),B(ousA ==∈∈(3): 0]AB,v,u[evαu =≠(4): 0]AB,v,u[ ≠rsr = srsP●rs●P
  82. 82. 81EXEMPLOS1) Estudar a posição relativa das retas:⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−=λz1λ2y2λ3x:r e2z44y64x: =−+=−sr: (u = (3, -2, 1), A = (-2, 1, 0)) s: (v = (6, -4, 2), B = (4, -4, 0))Observem que v = 2 u = 2 (3, -2, 1) = (6, -4, 2). Logo r || s.Devemos agora verificar se são coincidentes ou distintas. Para isto vamos substituir,por exemplo, o ponto A de r na equação da reta s.A em s: sA(F)045120441642∉∴=−=−⇒=−+=−−. Logo as retas r e s sãoparalelas distintas.2) Estudar a posição relativa das retas:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=λ2zλ54yλ32x:r e⎪⎩⎪⎨⎧+−=+−=+−=μ2zμ41yμ21x:sr: (A = (2, 4, 0), u = (3, 5, 2)) s: (B = (-1, -1, -2), v = (2, 4, 1))Observem que u e v não são paralelos, pois,124523≠≠ (coordenadas não múltiplas).Logo as retas r e s não são paralelas.Vamos agora verificar o produto misto entre os vetores u , v e AB = (-3, -5, -2).0253142253]AB,v,u[ =−−−= , pois a 1ª linha é igual a (-1) x 3ª linha. Portanto as retasr e s são coplanares e pelo fato de não serem paralelas, sabemos que sãoconcorrentes.Vamos determinar as coordenadas do ponto P = (x, y, z), intersecção das duas retas.Temos, então:
  83. 83. 82⎪⎩⎪⎨⎧+−+−+−=⇒∈++=⇒∈⇒∩=μ)2μ,41μ,21(PPeλ)2λ,54λ,3(2PP{P}srsrComo em R3, fixado um sistema de coordenadas, a cada termo ordenado de númerosreais corresponde um único ponto, temos que:μ)2μ,41μ,21(λ)2λ,54λ,3(2 +−+−+−=++0μ1λ4λ41λ322)λ(221λ32:vem(1),emdosubstituin2,λ2μμ2λ2(2)μ41λ54(1)μ21λ32=∴−=⇒++−=+⇒++−=+⎪⎩⎪⎨⎧+=⇒+−=+−=++−=+Observem que 0μe1λ =−= satisfazem a equação (2) do sistema de equações.Portanto P é dado por: P = (-1, -1, -2).3) Estudar a posição relativa das retas:43z32y21x:−=−=−r e11z24y43x:−=−=−sr: (A = (1, 2, 3), u = (2, 3, 4)) e s: (B = (3, 4, 1), v = (4,2, 1))Observem que u e v não são paralelos, pois,142342≠≠ (coordenadas não múltiplas).Logo as retas r e s não são paralelas.Vamos agora verificar o produto misto entre os vetores u , v e AB = (2, 2, -2).0341630124)(842)8(32)4(2222124432]AB,v,u[ ≠=++−=−+−−−−−=−=Portanto os vetores u , v e AB são L. I. e as retas r e s são reversas.4) Estudar a posição relativa das retas :r: X = (1, 2, 3) + λ (0, 1, 3), λ ∈ R e s: X = (1, 3, 6) + μ (0, 2, 6), μ ∈ Rr: (A = (1, 2, 3), u = (0, 1, 3)) e s: (B = (1, 3, 6), v = (0, 2, 6))Observem que v = 2 u = 2 (0, 1, 3) = (0, 2, 6). Logo r || s.
  84. 84. 83Devemos agora verificar se são coincidentes ou distintas. Para isto vamos substituir,por exemplo, o ponto A de r na equação da reta s.(1, 2, 3) = (1, 3, 6) + μ (0, 2, 6) ⇒ (1, 2, 3) = (1, 3 + 2μ , 6 + 6μ ) ⇒s∈∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=⇒−=⇒+=−=⇒−=⇒+==A21μ3μ6μ66321μ1μ2μ23211.Portanto as retas r e s são paralelas coincidentes.4.6.2 Plano e PlanoEm R3, dois planos π 1 e π 2 podem ser concorrentes ou paralelos.Se forem concorrentes, sua intersecção será uma reta.Se π 1 e π 2 forem paralelos, poderão ser paralelos distintos (intersecçãovazia) ou paralelos coincidentes (um único plano).POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOSr (Concorrentes) (3)π 1 ∩ π 2 = Ø (Paralelos Distintos) (1)π 1 = π 2 (Paralelos Coincidentes) (2)π 1 = π 2π 1π 2π 1π 2n1 n2rv
  85. 85. 84Vamos ver agora como expressar analiticamente as posições relativas entredois planos, no R3.Para tanto, sejam as equações cartesianas dos planos π 1 e π 2:π 1: a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e π 2: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0, onden1 = (a1, b1, c1) é o vetor normal do plano π 1 e n2 = (a2, b2, c2) é o vetor normal doplano π 2.(1): n1 || n2 21212121dαdecαcbαbaαaα ≠⎪⎩⎪⎨⎧===⇒=⇒ 21 nn(2): n1 || n2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒=⇒21212121dαdcαcbαbaαaα 21 nn(3): 21 nn α≠ e sendo v o vetor diretor da reta r = π 1 ∩ π 2, temos que v || 21 nn ∧ .Neste caso, as equações da reta r são da forma:⎩⎨⎧=+++=+++0dzcybxa0dzcybxa:22221111r , recebendo o nome de equações da reta r na forma geral.EXEMPLOS1) Os planos π 1: x + 2 y + 3 z + 5 = 0 e π 2: 2 x + 4 y + 6 z + 7 = 0 são paralelosdistintos, pois, n2 = (2, 4, 6) = 2 (1, 2, 3) = 2 n1 e 7 ≠ 2 x 5 = 10.Também podemos fazer:75634221≠== .2) Os planos π 1: x + 3 y + 6 z + 5 = 0 e π 2: 2 x + 6 y + 12 z + 10 = 0 são paraleloscoincidentes, pois, n2 = (2, 6, 12) = 2 (1, 3, 6) = 2 n1 e 10 = 2 x 5.Também podemos fazer:1051266321=== .3) Determinar as equações simétricas da reta r, intersecção dos planosπ 1: x - 2 y + z - 5 = 0 e π 2: 2 x - y + 3 z - 1 = 0.
  86. 86. 85A reta r está dada na forma geral:⎩⎨⎧=−+−=−+−01z3yx205zy2x:rO vetor diretor v da reta r é obtido pelo produto vetorial entre os vetores normais dosplanos π 1 e π 2, respectivamente, n1 = (1, -2, 1) e n2 = (2, -1, 3), com 21 nn α≠ .3)1,5,(k3ji5312121kjiv −−=+−−=−−=Para que a reta r fique bem definida, devemos determinar um ponto P dessa reta, quepertence simultaneamente aos planos π 1 e π 2. Para isto, temos que resolver osistema de equações:⎩⎨⎧=−+−=−+−01z3yx205zy2xComo se trata de um sistema a duas equações e três incógnitas, para resolvê-lo,atribuímos um valor real para uma das incógnitas e determinamos as outras duas emfunção desse valor atribuído. Temos então: por exemplo, para z = 0:⎩⎨⎧=−−=+−⇒⎩⎨⎧=−−×=−(2)1yx2(1)10y4x21yx22)(5y2xDe (1) + (2), vem: 3 y = -9⇒ y = -3. Substituindo-se em x – 2 y = 5, temos:x + 6 = 5 ⇒ x = -1. Logo, um ponto P da reta r, é: P = (-1, -3, 0).Portanto a reta r fica bem determinada pelo ponto P = (-1, -3, 0) e pelo vetor diretor v =(-5, -1, 3), podendo ser escrita na forma simétrica como:3z13y51x: =−+=−+r .4.6.3 Reta e PlanoEm R3, uma reta r e um plano π podem ser paralelos ou concorrentes.Se forem concorrentes, sua intersecção será um ponto, denominado traço dareta r com o plano π .
  87. 87. 86Se forem paralelos, pode ocorrer que r é estritamente paralela a π(intersecção entre eles é vazia, isto é, nenhum ponto em comum) ou r está contida emπ (intersecção entre eles é a própria reta, isto é, todos os pontos da reta pertencem aoplano).POSIÇOES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANOr ∩ π = Ø (1)(r é estritamenteparalela a π )r é paralela a π(r || π )r ⊂ π (2)(r ∩ π = r)r e π são concorrentes(r ∦ π )(r ∩ π = { T }) (3)Vamos ver agora como expressar analiticamente as posições relativas entrereta e plano, no R3.Consideremos então, uma reta r definida por um ponto A = (x1, y1, z1) e porum vetor diretor n)m,(k,v = , 0v ≠ , e um plano π de equação cartesiana,a x + b y + c z + d = 0, onde c)b,(a,n = é o vetor normal do plano π .πrπrπrT●
  88. 88. 87(1):⎪⎩⎪⎨⎧≠+++⇒∉=++⇒=⇒=0dzcybxaA0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v111πe(2):⎪⎩⎪⎨⎧=+++⇒∈=++⇒=⇒=0dzcybxaA0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v111πe(3): 0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v ≠++⇒≠⇒≠EXEMPLOS1) Estudar a posição relativa da reta⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+=λ45zλ42yλ31x:r com o planoπ : 4 x – 3 y – 6 z + 3 = 0.Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (3, -4, 4) e o vetornormal do plano, n = (4, -3, -6).v . n = (3, -4, 4) . (4, -3, -6) = 12 + 12 – 24 = 0, o que indica que a reta r é paralela aoplano π .Vamos verificar se a reta está contida no plano. Então, substituímos na equação doplano o ponto A = (1, -2, 5), pertencente à reta.4 + 6 – 30 + 3 = -17 ≠ 0. Portanto, o ponto A não pertence ao plano, o que indica que areta r é estritamente paralela ao plano π .2) Estudar a posição relativa da reta⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+−=λ31zλ45yλ21x:r com o planoπ : x + y – 2 z – 2 = 0.Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (2, 4, 3) e o vetornormal do plano, n = (1, 1, -2).v . n = (2, 4, 3) . (1, 1, -2) = 2 + 4 – 6 = 0, o que indica que a reta r é paralela ao planoπ .
  89. 89. 88Vamos verificar se a reta está contida no plano. Então, substituímos na equação doplano o ponto A = (-1, 5, 1), pertencente à reta.-1 + 5 – 2 – 2 = 0. Portanto, o ponto A pertence ao plano, o que indica que a reta r estácontida no plano π .3) Estudar a posição relativa da reta⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=−=1λ2z5λ3y2λ2x:r com o planoπ : 3 x – 2 y + 8 z + 40 = 0.Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (2, 3, -2) e o vetornormal do plano, n = (3, -2, 8)v . n = (2, 3, -2) . (3, -2, 8) = 6 – 6 – 16 = -16 ≠ 0 , o que indica que a reta r éconcorrente com o plano π . Então, vamos agora determinar o ponto T, traço da reta rno plano π , ou seja, o ponto de intersecção da reta r com o plano π .⎩⎨⎧=++−++−−⇒∈+−+−=⇒∈⇒=∩(2)0401)λ2(85)λ(322)λ(23πT1)λ25,λ32,λ(2TrT}T{πrDesenvolvendo-se (2), temos: 6λ - 6 – 6λ - 10 – 16λ + 8 + 40 = 0- 16λ + 32 = 0λ = 2 ∴ T = (2, 11, -3)OBSERVAÇÕES1) Retas Ortogonais: duas retas, r e s, são ortogonais quando seus vetores diretoressão ortogonais.Notação: r ⊥ sSejam as retas r: (A, u ), com u = (k1, m1, n1) e s: (B, v ), comv = (k2, m2, n2).r ⊥ s ⇔ u .v = 0 ⇔ k1k2 + m1m2 + n1n2 = 0
  90. 90. 89Observem que retas ortogonais é um caso particular de retas reversas (4).2) Retas Perpendiculares: duas retas, r e s, são perpendiculares se são ortogonais ecoplanares.Notação: r ⊥ sSejam as retas r: (A, u ), com u = (k1, m1, n1) e A = (x1, y1, z1) e s: (B, v ),com v = (k2, m2, n2) e B = (x2, y2, z2).Observem que retas perpendiculares é um caso particular de retasconcorrentes (3).r ⊥ s ⇔ u .v = 0 e [ AB ,u , v ] = 0 ⇔ k1k2 + m1m2 + n1n2 = 0 e0nmknmkzzyyxx22211121212=−−−rs●Sπ 1π 2r ⊂ π 1 e s ⊂ π 2r e s ortogonaisrsP●πr ⊂ π e s ⊂ πr e s perpendiculares
  91. 91. 903) Reta Perpendicular a um PlanoSabemos da Geometria Espacial que uma reta é perpendicular a um planoquando é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes desse plano.Vamos ver agora, como expressar analiticamente esta condição.Sejam as retas concorrentes s e t, contidas num plano π e a reta rperpendicular ou ortogonal a s e a t, e, consequentemente perpendicular a π .A reta s fica bem definida por um ponto B e um vetor diretor 1v ,s: (B, 1v ), a reta t fica bem definida por um ponto C e um vetor diretor 2v , t: (C, 2v ) ea reta r fica bem definida por um ponto A e um vetor diretor v , r: (A, v ). Seja ainda0c)b,(a,n ≠= , o vetor normal do plano π .Da definição de produto vetorial sabemos que⎪⎩⎪⎨⎧⊥∧2121vv)vv(Portanto, qualquer vetor simultaneamente ortogonal a 1v e 2v será paraleloa )vv( 21∧ .Logo, )vv(λv)vv(||v 21121∧=⇒∧ (1)nλ1vv)vv(λn)vv(||n22121221=∧⇒∧=⇒∧ (2)rstn v1v2vπr ortogonal a s e a trstnv2v1vπr perpendicular a s e a t
  92. 92. 91De (1) e (2) temos que: n||vnλvnλλv21⇒=⇒=Simbolicamente escrevemos:Observem que a perpendicularidade entre reta e plano é um caso particularde reta e plano concorrentes (3).4) Planos PerpendicularesSabemos da Geometria Espacial que dois planos são perpendicularesquando um deles contém uma reta perpendicular ao outro.Vamos ver agora, como expressar analiticamente esta condição.Sejam 1n = (a1, b1, c1) e 2n = (a2, b2, c2), 0e0 ≠≠ 21 nn , vetores normais,respectivamente dos planos 21ππ e e 0≠v o vetor diretor da reta r, contida no plano1π e perpendicular ao plano 2π .Do fato de r ⊂ 1π , temos que: 1n ⊥ v (1).Do fato de r ⊥ 2π , temos que: v || 2n (2).De (1) e (2), temos que 1n ⊥ 2n .Logo, 1π é perpendicular a 2π se, e somente se, 1n é ortogonal a 2n .Simbolicamente escrevemos:c)b,(a,λn)m,(k,n||v =⇒⇔⊥ πr0ccbbaa0)c,b,(a.)c,b,(a0n.nnn 2121212221112121 =++⇒=⇒=⇔⊥⇔⊥ 21ππ
  93. 93. 92Observem que planos perpendiculares é um caso particular de planosconcorrentes (3).EXEMPLOS1) Escrever as equações normais da reta r que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e éperpendicular à reta s: 2 x – 1 = 3 y = 4 z +1.Inicialmente, vamos transformar as equações da reta s na forma normal:4141z31y2121x:+==−s , de onde tiramos que s passa pelo ponto B = (21, 0, -41) e temvetor diretor )41,31,21(u = .⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−−=⇒==⇒⊥(2)0nmk41312145021(1)0)41,31,21(.n)m,(k,0]v,u,PB[e0u.vsr(1): 0n3m4k604n3m2k=++⇒=++ (3)(2): ⇒=+−+−⇒=−−−− 0k125m85m81n610k)31m21(45m)41n31(211π2π1n2nrv
  94. 94. 93(4)0n2-m6-k50k125m21n61=⇒=+−−2 x (3) + 3 x (4): 27 k -10 m = 0 ⇒ ⇒=−−= 0n2m6m2750:(4)emm2710km2756nm112n540n54m162m50 −=⇒−=⇒=−− m)2756m,m,2710(v −=∴Para m = 27, um vetor diretor é: v = (10, 27, -56).Logo, r tem equações normais:561z27y101x−−==−:r .2) Determinar uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A = (2, 1, 0) e éperpendicular aos planos 1π : x + 2 y – 3 z + 2 = 0 e 2π : 2 x – y + 4 z – 1 = 0.Queremos determinar um plano π , tal que:⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∈=2πππ 1πππ0)1,(2,A:Analisando as condições que o problema nos fornece, temos:11nnππ ⊥⇒⊥ (1)22nnππ ⊥⇒⊥ (2)De (1) e (2) temos que )nn(αn)nn(||n 2121∧=⇒∧ , podendo então adotar1)(αnnn 21=∧= .1)2,(1,n1)2,(1,5k5j10i5412321kjinn 21 −−=⇒−−=−−=−−=∧Portanto, uma equação cartesiana do plano π é dada por:π : x – 2 y – z + d = 0Para determinarmos o termo independente d usamos o fato de que A π∈ , e portanto,suas coordenadas satisfazem a equação do plano π . Então, substituindo essascoordenadas na equação do plano, temos:2 – 2 – 0 + d = 0 ⇒ d = 0
  95. 95. 940zy2x: =−−∴ π .Observem que se tivéssemos usado 1)2,(1,α55)10,(5,αn −−=−−= , poderíamosdividir a equação cartesiana do plano por α5 , obtendo assim a equação encontradacomo resposta, acima.3) Dados o plano π : x + 2 y – 3 z + 3 = 0 e a reta⎪⎩⎪⎨⎧=−==1zλ35yλx:r :a) determinar a intersecção da reta com o plano;b) determinar a projeção ortogonal do ponto A = (0, 5, 1) sobre o plano;c) determinar as equações normais da reta r’, simétrica de r em relação ao plano.Identificando os elementos da reta e do plano, temos:r: (A = (0, 5, 1), v = (1, -3, 0)) π : (n = (1, 2, -3))Observem que: v . n = (1, -3, 0) . (1, 2, -3) = 1 – 6 = -5 ≠ 0, o que comprova que r e πsão concorrentes.a) r ∩ π = { T }⎪⎩⎪⎨⎧=⇒−=−⇒=+−−+=+−−+⇒∈−=⇒∈⇒2λ10λ5033λ610λ03(1)3λ)3(52λπTλ,1)35(TrT ,λPortanto, T = (2, -1, 1).TAMA’rr’stπnθθ
  96. 96. 95b) Pela figura acima, notamos que a projeção ortogonal do ponto A ∈ r sobre o planoπ , é o ponto M, intersecção da reta t com o plano π . A reta t é uma reta passando porA, perpendicular a π . Logo, um vetor diretor da reta t é o vetorn = (1, 2, -3), normal ao plano π .Portanto a reta t fica bem definida pelo ponto A = (0, 5, 1) e pelo vetor diretorn = (1, 2, -3), tendo as seguintes equações paramétricas:⎪⎩⎪⎨⎧−=+==λ31zλ25yλx:t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=⇒=++−++=+++⇒∈−+=⇒∈⇒∩=75-λ-10λ1403λ93λ410λ03λ)3-(13-λ)2(52λπMλ)31,25,(MtM λλπtMPortanto, M = )722,725,75(− .NOTAS1) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano ou sobre uma reta é feita semprepor uma reta traçada pelo ponto, perpendicularmente ao plano ou à reta sobre osquais queremos projetar.2) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é feita por um plano traçado pelareta, perpendicularmente ao plano sobre o qual queremos projetar.A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano também pode ser obtida atravÀ

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