Algebra Linear cap  08
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Algebra Linear cap  08 Algebra Linear cap 08 Document Transcript

  • 60ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 8MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEARO objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , definir umamatriz que represente a transformação linear. Assim, ao invés de trabalharmos com a expressão datransformação, passaremos a trabalhar com sua representação matricial.Sejam U e V dois espaços vetoriais, sobre o mesmo corpo dos ℜ, de dimensão n e m,respectivamente. Consideremos uma transformação linear VU:T → . Dadas as bases}u,...,u,u{B n21= de U e }v,...,v,v{C m21= de V, então, os vetores )u(T),...,u(T),u(T n21estão em V. Logo, se escrevem como combinação linear da base C. Assim:+++=+++=+++=mmn2n21n1nm2m2221122m1m2211111va...vava)u(T....................................................va...vava)u(Tva...vava)u(TDefinição: A matriz mxn sobre ℜ, formada pelos escalares das combinações lineares acima, ouseja,=mn2m1mn22221n11211a...aa............a...aaa...aaP , é chamada matriz da transformação linear T emrelação às bases B e C, cuja notação será BC]T[P = .OBS: Note que, cada coluna da matriz P são as coordenadas dos vetores )u(T),...,u(T),u(T n21em relação a base C, ou seja:=1m21111a...aa)]u(T[ ,=2m22122a...aa)]u(T[ ,...,=mnn2n1na...aa)]u(T[Exemplo (1): Seja )z2x,yx()z,y,x(T +−= uma transformação linear. Determine a matriz de Tem relação a base canônica do ℜ3e a base )}1,1(),1,1{(C −= do ℜ2.
  • 61Solução: Seja )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B = a base canônica do ℜ3. Aplicando a transformação nosvetores da base B teremos:=−==)2,0()1,0,0(T)0,1()0,1,0(T)1,1()0,0,1(T. Escrevendo cada vetor como combinação linear da base C teremos:−+=−+=−−+=)1,1(f)1,1(e)2,0()1,1(d)1,1(c)0,1()1,1(b)1,1(a)1,1(⇒−−=−−−=−−+=)1,1(1)1,1(1)2,0()1,1(21)1,1(21)0,1()1,1(0)1,1(1)1,1(. Portanto, a matriz datransformação é −−−===1011fdbeca]T[P2121BC .Definição: Seja U um espaço vetorial sobre ℜ e B1 e B2 duas de suas bases. Seja Id o operadoridentidade de U. As coordenadas de um vetor Uu ∈ , em relação as bases B1 e B2, estãorelacionadas por: 2121 BBBB ]u[]Id[]u[ ⋅= . Onde, 12BB]Id[ é a matriz de mudança da base B1para a base B2.Teorema (1): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C, bases de U e V,respectivamente. Então: BBCC ]u[]T[)]u(T[ ⋅= .Exemplo (2): Seja 2t)yx(t)yx2()yx()y,x(T ++++−= . Sejam as bases )}0,2(),2,1{(B = do ℜ2e }t2,t1,2{C 2−+−= do P2(ℜ). Verificar o teorema (2) para )1,1(u −= .Solução: Vamos determinar B]u[ que são as coordenadas do vetor um em relação a base B.Fazendo: )0,2(b)2,1(a)1,1( +=− ⇒=−+=a21b2a1⇒ −=4321B]u[ .Determinando C)]u(T[ que são as coordenadas do vetor )u(T em relação a base C.Então: 22tt)22()t2()t1()2(t2)1,1(T γ−β+γ+β+α−=−γ++β+−α=+=− ⇒=γ=β=γ+β+α−01222⇒−=01)]u(T[21C .Determinando BC]T[ que é a matriz de T em relação as bases B e C, teremos:
  • 62−+++−=++=−+++−=++−=)t2(f)t1(e)2(dt2t42)0,2(T)t2(c)t1(b)2(at3t41)2,1(T2222⇒−−−−=23441]T[21BC .Verificando o teorema (2), fazemos:−=−⋅−−−−=0123441)]u(T[21432121CTeorema (3): Sejam VU:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B e C bases de Ue V, respectivamente. Então BCBCBC ]S[]T[]ST[ +=+ .Teorema (4): Sejam WV:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B, C e D, basesde U, V e W, respectivamente. Então: BCCDBD ]T[]S[]TS[ ⋅=o .Exemplo (3): Sejam )y2,yx()y,x(Se)zx,yx()z,y,x(T +=−+= duas transformações lineares.Sejam )}1,1,1(),1,2,2(),1,0,1{(B −= , )}2,0(),1,1{(C = e )}2,1(),1,0{(D −= . Verificaro teorema (4).Solução: Determinando )z2x2,zyx2()zx,yx(S))z,y,x(T(S)z,y,x)(TS( −−+=−+==o .Vamos calcular a matriz BD]TS[ o .−+==−−+==−+==)2,1(f)1,0(e)0,0()1,1,1)(TS()2,1(d)1,0(c)2,5()1,2,2)(TS()2,1(b)1,0(a)0,1()1,0,1)(TS(ooo⇒ −−=0510122]TS[ BDoCalculando a matriz BC]T[ :+==−+==+==)2,0(f)1,1(e)0,0()1,1,1(T)2,0(d)1,1(c)1,4()1,2,2(T)2,0(b)1,1(a)0,1()1,0,1(T⇒ −−=0041]T[2321BCCalculando a matriz CD]S[ :−+==−+==)2,1(d)1,0(c)4,2()2,0(S)2,1(b)1,0(a)2,2()1,1(S⇒ −−=2286]S[ CDVerificando o teorema (4), temos:−−=−−⋅−−=051012200412286]TS[2321BDo
  • 63Proposição (1): Se VU:T → é um isomorfismo e B e C são bases de U e V, respectivamente,então ( ) 1BCCB1]T[]T[−−= .Proposição (2): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e V,respectivamente. Então T é um isomorfismo (ou seja, T é inversível) se, e somentese, ( ) 0]T[det BC ≠ .Proposição (3): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e D e E basesde V. Então: BCCEEDBD ]Id[]T[]Id[]T[ ⋅⋅= .Teorema (5): Seja VV:T → um operador linear. Sejam B e C bases de V. Seja, ainda, BC]M[P =a matriz de mudança da base B para a base C. Então: P]T[P]T[ B1C ⋅⋅= −.OBS: A matriz BBB ]T[]T[ = .Exemplo (4): Determine o operador linear do ℜ2cuja matriz em relação a base )}5,0(),2,1{(B = é−1213.Solução: Temos que −==1213]T[]T[ BBB . Esta matriz é formada pelos escalares da combinaçãolinear dos vetores, ou seja, T foi aplicada nos vetores da base B e esses vetores foramescritos como combinação linear da própria base B. Então:−=−==+=)3,1()5,0(1)2,1(1)5,0(T)16,3()5,0(2)2,1(3)2,1(T. Determinando a expressão da T, fazemos:)5,0(b)2,1(a)y,x( += ⇒+−==5yx2bxa⇒ )5,0(T5yx2)2,1(Tx)y,x(T ⋅ +−+⋅= ⇒)3,1(5yx2)16,3(x)y,x(T −⋅ +−+⋅= ⇒  −+=5y3x86,5yx13)y,x(T
  • 64Exercícios Propostos1) Consideremos as transformações lineares 3232:Ge:F ℜ→ℜℜ→ℜ , tais que a matriz deF+G em relação as bases canônicas do ℜ2e do ℜ3seja331012e que )y2,yx,x()y,x(F −= .Determine a matriz de G em relação as bases canônicas do ℜ2e do ℜ3. Quem é )y,x(G ?Resp:−=132111]G[ e )yx3,y2x,yx()y,x(G ++−+=2) Seja ℜ→ℜ)(P:F 2 a transformação linear definida por ( ) ∫−=11dt)t(p)t(pF . Determine a matrizde F em relação as bases )(Pde}t1,t1,1{B 22ℜ+−+= de ℜ−= de}2{C . Resp:−−−=31BC 11]F[3) Seja )(M:T 2x23ℜ→ℜ a transformação linear, cuja matriz em relação as bases canônicas doℜ3e do )(M 2x2 ℜ é100110011001. Determine as coordenadas do vetor )u(T em relação a basecanônica do )(M 2x2 ℜ , onde )3,1,2(u −= . Quem é )z,y,x(T ?Resp:=3212)]u(T[ e ++=zzyyxx)z,y,x(T4) Seja F o operador linear do ℜ2, cuja matriz em relação a base )}4,1(),0,1{(B = é =1511]F[ BB .Determine a matriz de F em relação a base canônica do ℜ2. Resp: −−=42016]F[ CC5) Seja−−−−=003101121211]T[ BC a matriz de uma transformação linear )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ .Sejam B e C as bases canônicas de )(Pe)(M 22x2 ℜℜ , respectivamente. Sabendo que as
  • 65coordenadas do vetor )(Mu 2x2 ℜ∈ em relação a base B é−3112, determine as coordenadas dovetor )u(T em relação a base C. Que é )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ ?Resp:=522)]u(T[ C e 2t)b3a(t)cba2()dc2ba(dcbaT −+−++−+−=