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Algebra Linear cap 07
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Algebra Linear cap 07

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  • 1. 54ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 7ISOMORFISMOO objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , tentar definir atransformação linear inversa, ou seja, VW:T 1→−. Quando ela existir será chamado de umisomorfismo. Mas, antes precisamos de alguns conceitos.Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de injetora seVvev,vv)v(T)v(T 212121 ∈∀=⇒= .Definição: Uma transformação linear WV:T → é sobrejetora se, e somente se .W)TIm( =Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de bijetora se, e somente se, ela éinjetora e sobrejetora.Exemplo (1): Seja )yx,yx()y,x(T −+= uma transformação linear. Verificar se T é bijetora.Solução: Temos que verificar se T é injetora e sobrejetora. Sejam )y,x(ve)y,x(v 222111 ==dois vetores quaisquer do ℜ2. Note que 22:T ℜ→ℜ .Se )yx,yx()yx,yx()v(T)v(T 2222111121 −+=−+⇒= ⇒−=−+=+22112211yxyxyxyx.Resolvendo o sistema linear temos que 2121 yyexx == , ou seja, 21 vv = . Logo T éinjetora. Os vetores que formam a )TIm( são do tipo )yx,yx(v −+= . Então)1,1(y)1,1(xv −+= , ou seja, )}1,1(),1,1{( − é uma base da Im(T) mas também é uma basedo ℜ2. Logo, )dim()TIm(dim 2ℜ= . Como 22)TIm()TIm( ℜ=⇒ℜ⊂ . Assim, T ésobrejetora. Portanto T é bijetora.Vamos enunciar a seguir, alguns teoremas que nos ajudarão a verificar se umadeterminada transformação linear é ou não bijetora.Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então T é injetora se, e somente se,}0{)T(Ker = .
  • 2. 55Demonstração:(⇒⇒⇒⇒) hipótese: T é injetoraTese: }0{)T(Ker =Seja )T(Kerv∈ , então 0)v(T = ⇒ )0(T)v(T = . Com T é injetora, então 0v = . Portanto}0{)T(Ker = .(⇐⇐⇐⇐) hipótese: }0{)T(Ker =Tese: T é injetoraSeja 0)vv(T0)v(T)v(T)v(T)v(T 212121 =−⇒=−⇒= . Isso significa que}0{)T(Kervv 21 =∈− . Logo, 2121 vv0vv =⇒=− . Portanto, T é injetora.Teorema (2): Uma transformação linear injetora WV:T → , leva vetores LI de V em vetores LI deW.Demonstração:hipótese: T é injetora e V}v,...,v,v{ n21 ⊂ são LI.Tese: W)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 ⊂ são LISeja os escalares K,...,, n21 ∈ααα tais que 0)v(T...)v(T)v(T nn2211 =α++α+α . Então:0)v...vv(T nn2211 =α++α+α . Como T é injetora, então, 0v...vv nn2211 =α++α+α . Como}v,...,v,v{ n21 são LI, então 0... n21 =α==α=α . Portanto, )}v(T),...,v(T),v(T{ n21 são LI.Teorema (3): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: )T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( +=Demonstração: Seja V}u,...,u,u{ n21 ⊂ uma base do Ker(T). Podemos completar esse conjuntode modo a obter uma base de V. Sejam V}v,...,v,v{ m21 ⊂ tais que a base de V seescreva como }v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 . Logo mn)Vdim( += . Basta mostrarque )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é base da )TIm( . Para isso vamos mostrar que:a) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 gera )TIm( .b) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI.a) Seja )TIm(w ∈∀ , então existe Vv∈ tal que w)v(T = . Como Vv∈ ele seescreve como combinação linear dos vetores da base de V. Logo, existem escalarestais que mm2211nn2211 v...vvu...uuv α++α+α+β++β+β= . Daí vem que)v(T...)v(T)v(T)u(T...)u(T)u(Tw)v(T mm2211nn2211 α++α+α+β++β+β==Como }u,...,u,u{ n21 é base do Ker(T), então, 0)u(T...)u(T)u(T n21 ==== .
  • 3. 56Logo, )v(T...)v(T)v(Tw)v(T mm2211 α++α+α== . Isso mostra que w écombinação linear de )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 . Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21gera a Im(T).b) Sejam m21 ,...,, ααα escalares tais que 0)v(T...)v(T)v(T mm2211 =α++α+α .Então, 0)v...vv(T mm2211 =α++α+α ⇒ )T(Kerv...vv mm2211 ∈α++α+α .Podemos escrever que: mm2211mm2211 u...uuv...vv β++β+β=α++α+α ⇒0u...uuv...vv mm2211mm2211 =β−−β−β−α++α+α . Como a base de V é}v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 , logo 0...... m21m21 =β−==β−=β−=α==α=α .Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI.Teorema (4): Se )Wdim()Vdim( = então WV:T → é injetora se, somente se, T é sobrejetora.Demonstração:(⇒⇒⇒⇒) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é injetoraTese: T é sobrejetora.Como T é injetora ⇒ }0{)T(Ker = ⇒ 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que)Wdim(0)TIm(dim)Vdim( =+= . Como )Wdim()TIm(dim = e W)TIm( ⊆ , pelaproposição (2) do capítulo (4), vem que W)TIm( = , ou seja, T é sobrejetora.(⇐⇐⇐⇐) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é sobrejetoraTese: T é injetoraComo T é injetora ⇒ )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que)T(Kerdim)Wdim()Vdim( += . Como )Wdim()Vdim( = ⇒ 0)T(Kerdim = ⇒ }0{)T(Ker = .Pelo teorema (1), T é injetora.Teorema (5): Se WV:T → é uma transformação linear injetora e )Wdim()Vdim( = então T levabase de V em base de W.Demonstração: Seja }v,...,v,v{ n21 base de V ⇒ n)Vdim( = . Como )Wdim()Vdim( = e T éinjetora, pelo teorema (4), T é sobrejetora ⇒ nW)TIm( == . Temos que)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 geram W e são LI pelo teorema (2). Portanto)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 é base de W.
  • 4. 57Teorema (6): Se WV:T → é uma transformação linear, então:a) Se )Wdim()Vdim( > ⇒ T não é injetorab) Se )Wdim()Vdim( < ⇒ T não é sobrejetoraDemonstração:a) Suponhamos que T seja injetora, então 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que:)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( >+= ⇒ )Wdim()TIm(dim > (absurdo!). Portanto, Tnão é injetora.b) Suponhamos que T seja sobrejetora, então )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( <+= ⇒ 0)T(Kerdim < (absurdo!). Portanto, T não ésobrejetora.Exemplo (2): Vamos resolver, novamente, o exemplo (1) utilizando os teoremas enunciados.Solução: Como )yx,yx()y,x(T −+= , ou seja, 22:T ℜ→ℜ , estamos nas condições do teorema(4). Vamos determinar o Ker(T). Seja )0,0()yx,yx()y,x(T =−+= ⇒=−=+0yx0yx.Resolvendo o sistema temos que )}0,0{()T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora. Peloteorema (4), se T é injetora então T é sobrejetora. Portanto T é bijetora.Exemplo (3): Seja )(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ uma transformação linear definida por−−=++21102210aa00aa)tataa(T . T é sobrejetora? T é injetora? Determine adimensão do Ker(T) e da Im(T).Solução: Como )(Mdim)(Pdim 2x22 ℜ<ℜ , pelo teorema (6), T não é sobrejetora. Vamos verificarse ela é injetora. Seja )T(Kertataa)t(p 2210 ∈++= . Então( ) −−==2110aa00aa0000)t(pT ⇒=−=−0aa0aa2110⇒ 210 aaa == . Logo, todo)T(Ker)t(p ∈ é da forma: )tt1(atataa)t(p 202000 ++=++= , ou seja, }tt1{ 2++ ébase do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Pelo teorema (1), T não é injetora e pelo teorema (3)temos: 2)TIm(dim1)TIm(dim)T(Kerdim)TIm(dim3)(Pdim 2 =⇒+=+==ℜ .
  • 5. 58Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. Dizemos que T é um isomorfismo se T éuma transformação linear bijetora.OBS: Quando WV = , ou seja, temos que VV:T → é um operador linear bijetor, então T échamado de um automorfismo.Definição: Seja WV:T → um isomorfismo. Então, a aplicação inversa VW:T 1→−, se existir, étambém um isomorfismo tal que IdTTTT 11== −−oo .Definição: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles.Teorema (7): Dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K são isomorfos se, e somente se, elestêm a mesma dimensão.Exemplo (4): Seja )aaa,aa,aa()tataa(T 21021102210 ++−+=++ . T é um isomorfismo? Emcaso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.Solução: Note que 32 )(P:T ℜ→ℜ e 3)dim()(Pdim 32 =ℜ=ℜ . Seja )T(Kertataa 2210 ∈++ .Então, )aaa,aa,aa()0,0,0( 2102110 ++−+= ⇒=++=−=+0aaa0aa0aa2102110. Resolvendo osistema temos que 0aaa 210 === . Logo }0{)T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora epelo teorema (4), T é sobrejetora. Portanto T é um isomorfismo. Seja )(P:T 231ℜ→ℜ−.Então 22101tataa)z,y,x(T ++=−⇒ )tataa(T)z,y,x(TT 22101++=−o ⇒)aaa,aa,aa()z,y,x( 2102110 ++−+= ⇒++=−=+=2102110aaazaayaax⇒+−=++−=−−=zxazyxazyx2a210.Portanto, 21t)zx(t)zyx()zyx2()z,y,x(T +−+++−+−−=−
  • 6. 59Exercícios Propostos1) Seja )cba,dc,cb,ba(dcbaT +++++=uma transformação linear. Mostre que T é umisomorfismo e determine o isomorfismo inverso. Resp: −++−−++−=−tzxtxtyxty)t,z,y,x(T 12) Seja )y,zx,zx()z,y,x(T −+= um operador linear. Mostre que T é um automorfismo edetermine o automorfismo inverso. Resp:  −+=−2yx,z,2yx)z,y,x(T 13) Dada à transformação linear )z,zy,yx,x()z,y,x(T −−= . Determine a dimensão da Im(T) e doKer(T). T é um isomorfismo? Porque?Resp: 0)T(Kerdim = ⇒ T é injetora; 3)TIm(dim = ⇒ T não é sobrejetora. Portanto, T não éum isomorfismo.4) Se 21t)zy(t)yx()zyx2()z,y,x(T −+−+−+=−é o isomorfismo inverso da T, determine a T eonde ela está definida.Resp:  −−−−−=++2a3a2a,2aa2a,2aa)tataa(T 210210202210 ; 32 )(P:T ℜ→ℜ5) Sabendo que T é um automorfismo do ℜ2e que =−= −32,31)0,1(Te)1,1()1,0(T 1, determine aexpressão da T e da 1T−. Resp:  −+=−+= −3yx2,3yx)y,x(Te)yx2,yx()y,x(T 1