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71OBS: Se VV:T → é um operador linear e }v,...,v,v{B n21= é uma base de auto-vetores de T,entãoλλλ=n21B...00...
72−−300030004ou−−400030003Exemplo (6): Verificar quais dos operadores abaixo é diagonalizável. Em caso...
73b) Determinando o polinômio característico de T:−−=−−=−=)4,2,6()1,0,0(T)6,4,6()0,1,0(T)3,1,5()0,0,1(T⇒−−−...
74−=420110012]T[ ⇒ 12167420110012)(P 23C +λ−λ+λ−=λ−−λ−λ−=λ . Então2C )2()3()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-val...
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Algebra Linear cap 09

  1. 1. 66ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 9OPERADORES DIAGONALIZÁVEISNo capítulo 8, vimos que é possível determinar a matriz de uma transformação linear oude um operador linear em relação a qualquer base dos espaços onde elas estão definidas. O objetivodeste capítulo é: dado um operador linear VV:T → , determinar uma base de V, em relação aqual, a matriz de T seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal.1 AUTO-VALORES E AUTO-VETORESDefinição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (complexos ou reais). Seja VV:T → umoperador linear. Um vetor Vv∈ , 0v ≠ , é um auto-vetor de T, se existir um escalarK∈λ tal que v)v(T λ= . Neste caso, λ é chamado de auto-valor de T associado aoauto-vetor v.OBS: São sinônimos: auto-valor, valor próprio ou valor característico.São sinônimos: auto-vetor, vetor próprio ou vetor característico.Proposição (1): Seja VV:T → um operador linear. O auto-valor λ é univocamente determinadopelo auto-vetor v de T.OBS: A proposição (1) nos diz que cada auto-vetor está associado a apenas um auto-valor. Mascada auto-valor pode gerar até infinitos auto-vetores, com veremos a seguir.Seja VV:T → um operador linear. Seja λ um auto-valor. Note que, o conjunto}v)v(T/v{ λ= é um subespaço vetorial de V, pois: v)v(T λ= ⇒ 0v)v(T =λ− ⇒0)v(Id)v(T =λ− ⇒ 0)v)(IdT( =λ− ⇒ )IdT(Kerv λ−∈ . O que acabamos de demostrar é que}v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− .Definição: Seja VV:T → um operador linear. O subespaço }v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− échamado de subespaço próprio e será denotado por V(λλλλ).
  2. 2. 67Exemplo (1): Seja 22:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T = , que é a reflexão emtorno da bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Determine os subespaços próprios, seexistirem.Solução: Vamos verificar se existem auto-valores. Sejam 2)y,x(v ℜ∈= , 0v ≠ e ℜ∈λ tal quev)v(T λ= . Então )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ= ⇒λ=λ=yxxy⇒ 1±=λ . Logo,existem auto-valores 1±=λ . Determinando os auto-vetores associados a cada auto-valor,teremos:Para 11 =λ ⇒⋅=⋅=y1xx1y, ou seja, 11 =λ gera todo vetor da forma )x,x(v1 = . Maisprecisamente, 11 =λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2=ℜ∈= que a retabissetriz do 1º e 3º quadrantes, onde 11 v)v(T =Para 12 −=λ ⇒⋅−=⋅−=y1xx1y, ou seja, 12 −=λ gera todo vetor da forma )x,x(v2 −= .Mais precisamente, 12 −=λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2−=ℜ∈=−que a reta bissetriz do 2º e 4º quadrantes, onde 22 v)v(T −=V(1) V(-1)T(v1) = v1T(v2) = -v2v2T(w)wyx
  3. 3. 68Note que, w não é auto-vetor, pois não existe um escalar λ tal que w)w(T λ= .Exemplo (2): Seja 22:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T −= , que é a rotação de90oem torno da origem. Determine os subespaços próprios, se existirem.Solução: Não existem escalares ℜ∈λ tais que )y,x()y,x(T λ= , ou seja, não existem auto-valoresnem auto-vetores, pois: )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ=− ⇒λ=λ=−yxxy⇒ℜ∉−±=λ⇒−=λ⇒λ−λ= 11)x(x 2.Exemplo (3): Seja 33:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )0,y,x()z,y,x(T = , que é a projeçãoortogonal sobre o plano xy. Determine os subespaços próprios, se existirem.Solução: Seja ℜ∈λ e 0v,)z,y,x(v 3≠ℜ∈= tal que )z,y,x()z,y,x(T λ= ⇒ )z,y,x()0,y,x( λ=⇒λ=λ=λ=z0yyxx⇒=λ=λ0121Para 11 =λ ⇒ )0,y,x(v1 = , ou seja, }0z/)z,y,x{()1(V 3=ℜ∈= é o subespaçopróprio gerado por 11 =λ que é o plano xy.Para 02 =λ ⇒ )z,0,0(v2 = , ou seja, }0yx/)z,y,x{()0(V 3==ℜ∈= é o subespaçopróprio gerado por 02 =λ que é o eixo Oz..yxT(v) v
  4. 4. 69Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chama-se polinômio característico da matrizA, denotado por )(PC λ , ao seguinte determinante: )IdAdet( λ− , ou seja, se=nn2n1nn22221n11211a...aa............a...aaa...aaA , então:λ−λ−λ−=λnn2n1nn22221n11211Ca...aa............a...aaa...aa)(P . Onde Id é ooperador linear identidade.Proposição (2): Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico.Exemplo (4): Mostre que as matrizes =1231A e −−−=21232525B são semelhantes.Solução: Usando a proposição (2), vamos determinar os polinômios característicos das matrizes A eB. Então:λ−λ−=λ−=λ1231)IdAdet()(P AC ⇒ 52)(P 2AC −λ−λ=λx V(1)V(0)T(v2)v1T(v1)yzv2
  5. 5. 70λ−−−−λ−=λ−=λ21232525BC )IdBdet()(P ⇒ 52)(P 2BC −λ−λ=λComo BCAC )(P)(P λ=λ , pela proposição (2) A e B são semelhantes.Definição: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. Chama-sepolinômio característico do operador T, cuja notação é )(PT λ , ao polinômiocaracterístico da matriz de T em relação a qualquer base.Exemplo (5): Seja 33:T ℜ→ℜ o operador linear definido por )zx,yx,x()z,y,x(T ++= .Determine o polinômio característico de T em relação a:a) base canônica do ℜ3.b) )}2,1,1(),0,3,2(),1,0,1{(B −= .Solução: a)===)1,0,0()1,0,0(T)0,1,0()0,1,0(T)1,1,1()0,0,1(T⇒=101011001]T[ C ⇒λ−λ−λ−=λ101011001)(PT ⇒133)1()(P 233T +λ−λ+λ−=λ−=λb)=−==)3,0,1()2,1,1(T)2,5,2()0,3,2(T)2,1,1()1,0,1(T⇒ −−−=21052529188]T[ C ⇒λ−λ−−−λ−−=λ21052529188)(PT⇒ 133)1()(P 233T +λ−λ+λ−=λ−=λPortanto, independente da base o polinômio característico de um operador linear T ésempre o mesmo.Proposição (3): Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. Asraízes do polinômio característico do operador T são os auto-valores.2 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORESTeorema (1): Auto-vetores associados a Auto-valores distintos são LI.Corolário (1): Se V é um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → é um operador linear queadmite n auto-valores distintos, então V possui uma base cujos elementos são auto-vetores de T.
  6. 6. 71OBS: Se VV:T → é um operador linear e }v,...,v,v{B n21= é uma base de auto-vetores de T,entãoλλλ=n21B...00............0...00...0]T[ . Onde os λi são os auto-valores, não necessariamentedistintos. Reciprocamente, se }u,...,u,u{B 321= é uma base de V e=n21Ba...00............0...a00...0a]T[ , então os ui são auto-vetores de T associados aos auto-valores ai.Portanto, esta observação nos diz que: A matriz B]T[ de um operador linear VV:T → , emrelação a base B, é uma matriz diagonal se, e somente se, essa base B é formada por auto-vetores de T.Definição: Seja VV:T → um operador linear. Dizemos que T é um Operador Diagonalizável seexistir uma base de V formada por auto-vetores de T.OBS: Quando um operador é diagonalizável, sua matriz, em relação a base B de auto-vetores, éuma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja, entãoλλλ=n21B...00............0...00...0]T[ , onde os λi são os auto-valores. Na verdade, quem determina aposição dos auto-valores na diagonal é a posição dos auto-vetores dentro da base B. Amatriz B]T[ é formada por blocos de ordem n, respectivamente igual a multiplicidade dasraízes do polinômio característico, ou seja, respectivamente igual a multiplicidade dos auto-valores. Por exemplo: se o polinômio característico de um operador linear está na formafatorada 2C )3()4()(P +λ⋅−λ=λ , isso significa que a raiz 41 =λ tem multiplicidade igual a1, então ela aparece na diagonal um vez, formando um bloco de ordem 1; a raiz 32 −=λtem multiplicidade igual a 2, então ela aparece na diagonal duas vezes, formando um blocode ordem 2. Portanto, a matriz B]T[ pode apresentar as seguintes formas:
  7. 7. 72−−300030004ou−−400030003Exemplo (6): Verificar quais dos operadores abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir amatriz de T em relação a base de auto-vetores.a) )y3x2,y4x()y,x(T ++=b) )z4y6x3,z2y4x,z6y6x5()z,y,x(T −−++−−−=Solução: a) Vamos determinar os auto-valores determinando o polinômio característico de T ecalculando a suas raízes. Como o polinômio característico é o mesmo em relação aqualquer base, vamos usar sempre a base canônica para construir a matriz de T. Então:==)3,4()1,0(T)2,1()0,1(T⇒ =3241]T[ ⇒λ−λ−=λ3241)(PC ⇒ 54)(P 2C −λ−λ=λ ,cujas raízes são os auto-valores 1e5 21 −=λ=λ . Para determinar os auto-vetoressabemos que v)v(T λ= ⇒ 0)v](IdT[ =λ− . Essa expressão podemos escrevê-la naforma matricial. Então, seja )0,0(0e)y,x(v == .• Para 51 =λ , temos: =⋅−−00yx532451⇒=−=+0y2x20y4x4⇒ yx = . Logo,serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,1(x)x,x(v == . Seja )1,1(v1 = umrepresentante destes auto-vetores.• Para 12 −=λ , temos: =⋅−−−−00yx)1(324)1(1⇒=+=+0y4x20y4x2⇒ y2x −= .Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,2(y)y,y2(v −=−= . Seja)1,2(v2 −= um representante destes auto-vetores.• Como )}1,2(),1,1{(B −= é uma base de auto-vetores do ℜ2, então T é um operadordiagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de auto-vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja: −=−=5001]T[ou1005]T[ BB . A ordem dos auto-valoresna diagonal da matriz depende da posição dos auto-vetores dentro da base B.
  8. 8. 73b) Determinando o polinômio característico de T:−−=−−=−=)4,2,6()1,0,0(T)6,4,6()0,1,0(T)3,1,5()0,0,1(T⇒−−−−−=463241665]T[ ⇒ 485463241665)(P 23C +λ−λ+λ−=λ−−−λ−−−−λ−=λ . Então2C )2()1()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 11 =λ com multiplicidade 1 eum auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2.• Para 11 =λ , temos:=⋅−−−−−000zyx563231664⇒=−−=++−=−−0z5y6x30z2y3x0z6y6x4⇒−=−=y3zy3x.Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )3,1,3(y)y3,y,y3(v −−=−−= .Seja )3,1,3(v1 −−= um representante destes auto-vetores.• Para 22 =λ , temos:=⋅−−−−−000zyx663221663⇒=−−=++−=−−0z6y6x30z2y2x0z6y6x3⇒z2y2x += . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo)1,0,2(z)0,1,2(y)z,y,z2y2(v +=+= . Sejam )0,1,2(v2 = e )1,0,2(v3 = osrepresentantes destes auto-vetores.•Como )}1,0,2(),0,1,2(),3,1,3{(B −−= é uma base de auto-vetores do ℜ3, então T é umoperador diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B deauto-vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja:==100020002]T[ou200020001]T[ BB .Exemplo (7): Mostre que o operador linear )z4y2,zy,yx2()y,x(T +−+= não é diagonalizável.Solução: Determinando o polinômio característico de T:−===)4,1,0()1,0,0(T)2,1,1()0,1,0(T)0,0,2()0,0,1(T⇒
  9. 9. 74−=420110012]T[ ⇒ 12167420110012)(P 23C +λ−λ+λ−=λ−−λ−λ−=λ . Então2C )2()3()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 31 =λ com multiplicidade 1 eum auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2.•Para 31 =λ , temos:=⋅−−−000zyx120120011⇒=+=−−=+−0zy20zy20yx⇒−==y2zyx. Logo,serão gerados todos os auto-vetores do tipo )2,1,1(y)y2,y,y(v −=−= . Seja)2,1,1(v1 −= um representante destes auto-vetores.•Para 22 =λ , temos:=⋅−−000zyx220110010⇒=+=−−=0z2y20zy0y⇒=−==0yz0y. Logo,serão gerados todos os auto-vetores do tipo )0,0,1(x)0,0,x(v == . Seja )0,0,1(v2 =o representante destes auto-vetores.•Como )}0,0,1(),2,1,1{(B −= não é uma base de auto-vetores do ℜ3, então T não é umoperador diagonalizável. Isso significa que T não possui uma matriz diagonal emrelação a base qualquer base do ℜ3.Exercícios Propostos1) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir amatriz do operador em relação a base de auto-vetores.a) )z3x2,zy2x,zx2()z,y,x(T +−++=b) t)a7a9()a6a8()taa(T 1o1o1o −+−=+Resp: a) É diagonalizável e ...400010002ou200040001ou400020001]T[ B=b) É diagonalizável e −−=2001ou1002]T[ B2) Seja )TS(M)TS(M:T 22 → , onde )TS(M2 é o espaço vetorial das matrizes triangularessuperiores, cuja base canônica é=10000010,0001C . Mostre que o operador linear
  10. 10. 75++−=cb3a0b3a3c0baT é um operador diagonalizável e exibir sua matriz em relação abase de auto-vetores.Resp: É diagonalizável e=300030001ou100030003]T[ B3) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir amatriz do operador em relação a base de auto-vetores.a) )zyx,zyx,zyx()z,y,x(T −−−+++=b)  +−=4y3x2,4yx6)y,x(Tc) )z2,zy,x()z,y,x(T +=d) )zy3x3,z2yx2,z3y2x()x,y,x(T ++++++=Resp: a) É diagonalizável e ...200010002ou200020001ou200020001]T[ B−−−=b) É diagonalizável e =4545B001ou100]T[c) Não é diagonalizável.d) É diagonalizável e ...600010002ou100020006ou200010006]T[ B−−−−−−=

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