Algebra Linear cap  05
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    Algebra Linear cap  05 Algebra Linear cap 05 Document Transcript

    • 42ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 5MATRIZ MUDANÇA DE BASEDefinição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e}u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linearda base B. Então existem escalares Kaij ∈ , tais que:+++=+++=+++=nnn2n21n1nn2n222112n1n2211111va...vavau..................................va...vavauva...vavau:S 2. A matriz=nn2n1nn22221n11211a...aa............a...aaa...aaP échamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada porBC]M[P = .OBS: Na matriz mudança de base=nn2n1nn22221n11211a...aa............a...aaa...aaP , as colunas representam ascoordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,===nnn2n1Bn2n2212B21n2111B1a...aa]u[,...,a...aa]u[,a...aa]u[ . A matriz mudança de base é sempreinversível.Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2. Determine amatriz de mudança da base B para a base C.Solução: Para determinarBC]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinaçãolinear da base B. Então:+=−−+=)0,1(d)1,1(c)3,4()0,1(b)1,1(a)2,1(:S . Vamos obter dois sistemas
    • 43lineares:=+=a2ba1e=−+=−c3dc4. Resolvendo os sistemas vamos obter−−−===1132dbca]M[P BC . Note que, na combinação linear S os escalaresestão em linha e na matriz P eles estão em colunas.Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matrizde mudança da base B para C. Então:a) BPC t⋅=b) C]P[B 1t⋅= −Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. SejaBC]M[P = a matriz demudança da base B para C eCD]M[Q = a matriz de mudança da base C para D.Então, a matriz de mudança de B para D éCDBC ]M[]M[QP ⋅=⋅ .Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. SejaBC]M[P = a matriz demudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então:a) B1C ]v[P]v[ ⋅= −b) CB ]v[P]v[ ⋅=Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e =1022P a matriz mudança dabase B para a base C. Determine a base B.Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t⋅= −. Então, −=−110)P( 211te escrevemosos vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os comolinhas de uma matriz. Assim: =⋅−=10011202110B 21, ou seja, a base B é abase canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .
    • 44É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problemausando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dosescalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetoresda base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:+++=++++=)tbb(1)taa(2t2)tbb(0)taa(221o1o1o1o⇒+++=++=+t)bta2()ba2(t12ta2a2t0211oo1o⇒=⇒==⇒=0aa201aa2211o0e=⇒+==⇒+=1bba210bba22111oo0. Portanto, a base }t,1{B = .Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do2ℜ e =35313231P a matriz de mudançada base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação abase C.Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B1C ]v[P]v[ ⋅= −. Primeiro determinamos ascoordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒+=−=ba23ba2⇒ −==3135Bba]v[ e −−=−1125P 1. Assim:−⋅−−=3135C1125]v[ ⇒ −=29]v[ CIgualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição damatriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja abase )}d,c(),b,a{(C = . Então:−=−+==−+=)3,1()1,1()2,1()d,c()1,0()1,1()2,1()b,a(35323131. Assim,)}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a baseC, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒β+α=β−=332⇒ −=29]v[ C
    • 45Exercícios Propostos1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2. Seja −=3102Q amatriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para abase D. Quem é a base D?Resp: −=6435]M[ BD e )}6,9(),4,1{(D −=2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2+−+−= para a base}t3,tt2,t1{C 22++−+= . Resp:−−−==212147413BC00211]M[P3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e −=8532A . Sabendo que a matriz demudança da B para a base C é−−=1100011000120001P , determine as coordenadas de A emrelação a base C. Quem é a base C?Resp:−−=41272]A[ C e− −=1000,1100,0110,0021C4) No3ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinteforma:++=++=+=32133212311ee2egeee2geeg. Sabendo que−−=152]v[ B são as coordenadas do vetor v emrelação a base B, determine C]v[ . Resp:−−=313]v[ c5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matrizde mudança da base B para a base C pode ser determinada port1BC ]BC[]M[P −⋅== .