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Algebra Linear cap 03
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Algebra Linear cap 03

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  • 1. 26ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 3DEPENDÊNCIA LINEAR1 COMBINAÇÃO LINEARDefinição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam VueV}v,...,v,v{ n21 ∈⊂ .Dizemos que o vetor u é combinação linear dos vetores }v,...,v,v{ n21 , se existiremescalares K,...,, n21 ∈ααα tais que ∑=α=α++α+α=n1iiinn2211 vv...vvu .Exemplo (1): Verificar se o vetor )5,2,0(u −= é combinação linear dos vetores )1,1,1(v1 −= ,)0,1,1(v2 = e )1,0,2(v3 −= .Solução: Para que u seja combinação linear dos vetores }v,v,v{ 321 , vamos verificar se existemescalares ℜ∈c,b,a tais que 321 cvbvavu ++= . Então:)1,0,2(c)0,1,1(b)1,1,1(a)5,2,0( −++−=− ⇒=+−−=+=−+5ca2ba0c2ba. Resolvendo osistema linear (SPD) vamos obter 1ce4b,6a −==−= . Portanto, existe acombinação linear e 321 vv4v6u −+−= .Exemplo (2): Verificar se o vetor2t5t22)t(q +−= é combinação linear dos vetorest1)t(p1 +−= ,22 tt)t(p −= e23 t23)t(p += .Solução: Para que )t(q seja combinação linear dos vetores )}t(p),t(p),t(p{ 321 , vamos verificarse existem escalares ℜ∈c,b,a tais que )t(cp)t(bp)t(ap)t(q 321 ++= . Então:)t23(c)tt(b)t1(at5t22 222++−++−=+− ⇒
  • 2. 2722t)c2b(t)ba()c3a(t5t22 +−++++−=+− ⇒=+−−=+=+−5c2b2ba2c3a. Resolvendoo sistema linear (SPD) vamos obter 1ce3b,1a =−== . Portanto, existe acombinação linear e )t(p)t(p3)t(p)t(q 321 +−= .OBS: Se ao verificar a existência de uma combinação linear aparecer um sistema linear SI, significaque não existe a combinação linear. Veja o exemplo (3).Exemplo (3): Verificar se o vetor )1,1,2(u = é combinação linear dos vetores )2,1,1(v1 −−= ,)1,2,3(v2 −= e )3,1,4(v3 −= .Solução: Para que u seja combinação linear dos vetores }v,v,v{ 321 , vamos verificar se existemescalares ℜ∈c,b,a tais que 321 cvbvavu ++= . Então:)3,1,4(c)1,2,3(b)2,1,1(a)1,1,2( −+−+−−= ⇒=−−−=++−=++1c3ba21cb2a2c4b3a. Resolvendo osistema linear vamos obter: da primeira equação vem que 2c4b3a +−−= . Substituindona 2ª e 3ª equações, teremos=+=+5c5b53c5b5⇒ 53 = (FALSO!). O que indica que nãoexiste a combinação linear, pois o sistema linear é SI.1.1 Subespaço GeradoDefinição: Seja S um subconjunto, não vazio, de um espaço vetorial V. O subespaço gerado por S,denotado por [S], é o conjunto de todos os vetores de V que se escrevem comocombinação linear dos vetores de S.Exemplo (4): Seja3)}1,2,1(),2,0,1{(S ℜ⊂−= . Determine o subespaço gerado por S.Solução: Seja3)z,y,x(v ℜ∈= . Vamos escrever o vetor v como combinação linear dos vetoresde S. Então: )1,2,1(b)2,0,1(a)z,y,x(v −+== ⇒+==−=ba2zb2ybax. Da segunda
  • 3. 28equação temos que yb 21= . Substituindo na primeira equação temos: yxa 21+= .Substituindo a e b na terceira equação teremos: ( ) yyx2z 2121++= ⇒0z2y3x4 =−+ , que é a equação geral de um plano passado pela origem. Portanto,}0z2y3x4/)z,y,x{(]S[ 3=−+ℜ∈= .Exemplo (5): Seja )(M1100,0301,0012S 2x2 ℜ⊂−− −= . Determine o subespaçogerado por S.Solução: Seja )(MdcbaM 2x2 ℜ∈= . Vamos escrever a matriz M como combinação lineardas matrizes de S. Então: −+−+ −=1100p0301n0012mdcba⇒=−=−=−=pdpn3cmbnm2a. Resolvendo o sistema linear vamos obter que3dcb6a−++= . Portanto,ℜ∈∀= −++d,c,b,dcb]S[ 3dcb6OBS: Os exemplos anteriores mostram com determinar o subespaço gerado [S] a partir de umsistema de geradores }v,...,v,v{S n21= . É também interessante saber determinar ocontrário, ou seja, a partir de um subespaço [S] , determinar o sistema de geradores}v,...,v,v{S n21= . Veja os exemplos a seguir.Exemplo (6): Seja }t2zx/)t,z,y,x{(W 4+=ℜ∈= . Determine um sistema de geradorespara W.Solução: Podemos escrever }t,z,y),t,z,y,t2z{(W ℜ∈∀+= . Assim, todo vetor de W seescreve com )t,z,y,t2z(v += . Temos três variáveis livres y, z e t. Cada uma delasgera um vetor, ou seja, )1,0,0,2(t)0,1,0,1(z)0,0,1,0(y)t,z,y,t2z(v ++=+= . Osvetores )]1,0,0,2(),0,1,0,1(),0,0,1,0[( forma um sistema de geradores de W.
  • 4. 29Exemplo (7): Seja===−=−+ℜ∈= befe0b2cfba/)(MfedcbaW 2x3 .Determine um sistema de geradores para W.Solução: Podemos escreverℜ∈∀= f,d,b,bbdb2b0W . Assim, toda matriz de W se escrevecomobbdb2b0. Temos duas variáveis livres b e d. Então:+=001000d110210bbbdb2b0. As matrizes001000,110210formam umsistema de geradores de W.2 Vetores LI e LDDefinição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam V}v,...,v,v{ n21 ⊂ . Dizemosque os vetores }v,...,v,v{ n21 são Linearmente Independentes (LI), se a equação0v...vv nn2211 =α++α+α se verifica para os escalares K,...,, n21 ∈αααtodos nulos, ou seja, 0... n21 =α==α=α .Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam V}v,...,v,v{ n21 ⊂ . Dizemosque os vetores }v,...,v,v{ n21 são Linearmente Dependentes (LD), se a equação0v...vv nn2211 =α++α+α se verifica para os escalares K,...,, n21 ∈αααnão todos nulos, ou seja, pelo menos um dos escalares deverá ser diferente de zero.OBS: 1) A diferença entre um conjunto de vetores ser LI ou LD está na relação que existe entreeles. O próprio nome já diz: se os vetores são LD é porque existe uma "dependência"
  • 5. 30entre eles (veremos a seguir que esta dependência será uma combinação linear), e se osvetores são LI não existe nenhuma "dependência" entre eles.2) A solução da equação homogênea 0v...vv nn2211 =α++α+α será dada através deum sistema linear homogêneo, o qual sempre admite a solução trivial, ou seja,0... n21 =α==α=α . Todo sistema linear homogêneo é possível. Se ele por SPD,então admite somente a solução trivial e os vetores serão LI. Caso o sistema seja SPI,além da solução trivial ele admite outras infinitas, então os vetores serão LD.Exemplo (7): Verificar a dependência linear entre os vetores abaixo:a) { }22t3t5,tt2,t21 +−+−−b)−−−251010,9543,1021Solução: a) Vamos escrever a equação homogênea. Sejam os escalares ℜ∈c,b,a . Então:222t0t00)t3t5(c)tt2(b)t21(a ++=++−+−+− ⇒22t0t00t)c3b(t)c5ba2()b2a( ++=+−+++−+− ⇒=+−=++−=−0c3b0c5ba20b2a. Este sistema homogêneo é SPD e a solução é a trivial, ou seja,0cba === . Portanto, os polinômios { }22t3t5,tt2,t21 +−+−− são LI.b) Sejam ℜ∈γβα ,, . Então: =−−γ+−β+α000025101095431021⇒=γ−β+α=γ−β=γ+β+α=γ+β−α029055010420103. O sistema homogêneo é SPI, cuja solução geral é},e7{ ℜ∈γ∀γ=βγ−=α . Claro que, para 0=γ , teremos a solução trivial0=γ=β=α , mas não é a única, existem outras infinitas. Portanto, as matrizes−−−251010,9543,1021são LD.
  • 6. 31Teorema (1): Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um conjunto de vetoresV}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LD se, e somente se, um deles é combinação linear dosdemais.OBS: O teorema (1) é uma bi-implicação, ou seja, o termo "se e somente se" (cujo símbolo é ⇔),nos diz que o teorema é válido nos dois sentidos. Assim, tanto é verdade afirmar que: "seum conjunto de vetores é LD então um deles é combinação linear dos demais" comoafirmar em sentido contrário que "se num conjunto de vetores um deles é combinaçãolinear dos demais então estes vetores são LD".Demonstração do Teorema (1):(⇒⇒⇒⇒) Hipótese: V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LDTese: um deles é combinação linear dos demaisComo os vetores são LD, então, por definição 0v...vv nn2211 =α++α+α , para os escalaresnão todos nulos. Suponhamos que 01 ≠α . Então: n1n3132121 v...vvvαα−−αα−αα−= , ouseja, 1v é combinação linear dos demais vetores.(⇐⇐⇐⇐) Hipótese: um deles é combinação linear dos demais.Tese: V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LDPor hipótese, seja 1v combinação linear dos demais vetores. Então existem escalaresK,...,, n32 ∈ααα tais que nn33221 v...vvv α+α+α= . Assim, teremos:0v...vvv)1( nn33221 =α+α+α+− . Logo, a equação homogênea é satisfeita para osescalares não todos nulos, pois 11 −=α . Portanto, }v,...,v,v{ n21 é LD.Teorema (2): Dados }v,...,v,v{ n21 vetores LD, então k desses vetores serão LD, para k ≥ n.OBS: O teorema (2) está afirmando que se um conjunto de vetores é LD, se aumentarmos esteconjunto ele sempre será LD. Como este teorema é de uma implicação, ou seja, o termo"então" (cujo símbolo é ⇒) só garante um sentido do teorema, a reciproca não é verdadeira,ou seja, se diminuirmos um conjunto de vetores LD, nada podemos afirmar.Demonstração do Teorema (2):
  • 7. 32Se }v,...,v,v{ n21 é LD, então existem escalares não todos nulos K,...,, n21 ∈ααα tais que0v...vv nn2211 =α++α+α (*). Seja }v,...,v,v,...,v,v{ k1nn21 + , ou seja, vamos aumentaro conjunto inicial. Então 0v...vv...vv kk1n1nnn2211 =α++α+α++α+α ++ para osescalares não todos nulos, pois, mesmo que K0... k2n1n ∈=α==α=α ++ , na equação (*) jáexistiam escalares não nulos.Teorema (3): Dados }v,...,v,v{ n21 vetores LI, então k desses vetores serão LI, para k ≤ n.OBS: O teorema (3) está afirmando que se um conjunto de vetores é LI, se diminuirmos esteconjunto ele sempre será LI. Analogamente, a reciproca não é verdadeira, ou seja, seaumentarmos um conjunto de vetores LI, nada podemos afirmar.Demonstração do Teorema (3):Se }v,...,v,v,...,v,v{ n1kk21 + é LI, então existem escalares K,...,,,...,, n1kk21 ∈ααααα +tais que 0v...vv...vv nn1k1kkk2211 =α++α+α++α+α ++ (*), com os escalares0...... n1kk21 =α==α=α==α=α + . Seja agora, o conjunto }v...,,v,v{ k21 . Então0v...vv kk2211 =α++α+α para os escalares todos nulos, pois na equação (*) os escalares jáeram todos nulos.Conseqüências:Sejam V um espaço vetorial qualquer. Então:1) O vetor nulo { }0 é LD.2) Um único vetor { }v , com 0v ≠ , é LI.Exemplo (8): No exemplo (7), item (b), mostramos que o conjunto de matrizes−−=−==251010C,9543B,1021A é LD. Pelo teorema (1), umadelas é combinação linear das outras duas. Mostre que existe esta combinaçãolinear.Solução: Vamos escrever a matriz C como combinação linear das matrizes A e B. Então, existemescalares ℜ∈n,m tais que nBmAC += .
  • 8. 33−+=−− 9543n1021m251010⇒+=−=−+=−=n9m2n55n4m210n3m10⇒ 1ne7m −== .Portanto, existe a combinação linear que é BA7C −= .Exercícios Propostos1) Verificar a dependência linear entre os vetores e escrever a combinação linear quando existir.a) )}1,3(c),5,1(b),2,2(a{ −==−= Resp (a): LD e cba 4341−−=b)−−−− 310032,121130,311102Resp (b): LI2) Determine os valores de m para que os vetores )}1,2,2(),1,m,2(),3,1,2m{( −−+ sejam LD.Resp: 8mou2m −=−=3) Determine o subespaço gerado pelo conjunto }t23,t32{S 2−−= .Resp: }0a9a4a6/)(Ptataa{]S[ 21o2221o =++ℜ∈++=4) Seja }0a2aa5a3a/)(Ptatataa{W 3221o333221o =+=−+ℜ∈+++= . Determineum sistema de geradores para W. Resp: }tt5,t3{S 3212−++−=5) Se o conjunto }w,v,u{ é LI, mostre que }wu,wv,vu{ +++ é LI.