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202 ESPAÇO VETORIALDefinição: Um conjunto V, não vazio, munido com duas operações: uma adição (+) e um produtopor escalar ...
21Propriedades dos espaços vetoriais:Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Então:a) O vetor nulo, denotado por 0, é ...
22a) W = V b) W = {0}, ou seja, o espaço nulo.Exemplo (5): Mostre que toda reta passando pela origem é um subespaço do ℜ2....
23iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V.Demonstração:i) 21 WW + é subespaço de V.O conjunto { }22112121 WweWw/wwuWW ∈∈+==+ .a)...
24Para demostrar este fato, vamos exibir um contra-exemplo. Sejam { }0y/)y,x(W 21 =ℜ∈=e { }0x/)y,x(W 22 =ℜ∈= , ou seja, W1...
25Então, toda função )x(f)x(f)x(f 21 += ⇒2)x(f)x(f2)x(f)x(f)x(f−−+−+=E a única função que é par e ímpar é a função nula 0)...
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Algebra Linear cap 02

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  1. 1. 19ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 2ESPAÇOS VETORIAIS1 CORPODefinição: Um conjunto K, munido com duas operações: uma adição (+) e uma multiplicação (·), éum corpo (cujos elementos são chamados de escalares), se ele é um subconjunto docomplexos e satisfaz, para Kz,y,x ∈∀ :AdiçãoA1) Kyx ∈+ (fechamento)A2) xyyx +=+ (comutativa)A3) z)yx()zy(x ++=++ (associativa)A4) xxxxx/Kx***=+=+∈∃ (elemento neutro)A5)*^^^xxxxxx/Kx =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico)MultiplicaçãoM1) Kyx ∈⋅ (fechamento)M2) xyyx ⋅=⋅ (comutativa)M3) z)yx()zy(x ⋅⋅=⋅⋅ (associativa)M4) xxxxx/Kx~~~=⋅=⋅∈∃ (elemento neutro)M5)~xxxxx/Kx =⋅=⋅∈∃ (elemento inverso)Exemplo (1): Conjuntos que são copos:a) (»,+,·) = conjunto dos números complexos com as operações usuais de adição e multiplicação.b) (»,+,·) = conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação.c) (»,+,·) = conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.Exemplo (2): Conjuntos que não são corpos:a)(»,+,·) = conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação.b) (»,+,·) = conjunto dos números naturais com as operações usuais de adição e multiplicação.
  2. 2. 202 ESPAÇO VETORIALDefinição: Um conjunto V, não vazio, munido com duas operações: uma adição (+) e um produtopor escalar (·), é um espaço vetorial sobre um corpo K, se para Vw,v,u ∈∀ eK, ∈βα∀ , ele satisfaz as seguintes propriedades:AdiçãoA1) uvvu +=+ (comutativa)A2) w)vu()wv(u ++=++ (associativa)A3) uuuuu/Vu***=+=+∈∃ (elemento neutro)A5)*^^^uuuuu/Vu =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico)Produto por escalarP1) u)()u( ⋅βα=⋅α⋅βP2) vu)vu( ⋅α+⋅α=+⋅αP3) uuu)( ⋅β+⋅α=⋅β+αP4) uu1 =⋅OBS: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de vetores. Quando nada for dito,vamos sempre considerar o corpo K com sendo o conjunto dos números reais.Exemplo (3): Conjuntos que são espaços vetoriais:a) (ℜℜℜℜ2,+,·) = o plano com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar.b) (ℜℜℜℜ3,+,·) = o espaço com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar.c) (Pn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientesreais, com as operações usuais de adição e produto por escalar.d) (Mmxn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e elementos reais, com asoperações usuais de adição e produto por escalar.e) ( ,+,·) = conjunto de todas as funções reais de uma variável real com as operações usuais deadição e produto por escalar.
  3. 3. 21Propriedades dos espaços vetoriais:Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Então:a) O vetor nulo, denotado por 0, é único.b) Vv,0v0 ∈∀=⋅c) K,00 ∈α∀=⋅αd) Vw,v,u,wvwuvu ∈∀=⇒+=+ (lei do cancelamento)e) Vv,v)1(v ∈∀⋅−=−f) KeVv,0v0e0vse ∈α∀∈∀=⇒≠α=⋅αO Espaço Vetorial ℜℜℜℜnO espaço vetorial { }ℜ∈=ℜ n21n21nx,...,x,x/)x,...,x,x( , sobre o corpo dosreais, é o conjunto de todas as n-úplas de números reais, munido com as operações de adiçãovetorial e produto por escalar definidas por:Adição vetorial:nn212n211 )y,...,y,y(ve)x,...,x,x(v ℜ∈==∀ então)yx,...,yx,yx(vv nn221121 +++=+Produto por escalar:ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)x,...,x,x(v nn21 então )x,...,x,x(v n21 ααα=⋅αOBS: Os únicos espaços vetoriais que possuem visão geométrica são ℜ, ℜ2e ℜ3.3 Subespaço VetorialDefinição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto W⊆V é um subespaçovetorial de V se:a) W0 ∈ (ou seja, o elemento zero do espaço V pertence a W)b) Wwew,Www 2121 ∈∀∈+c) KeWw,Ww ∈α∀∈∀∈⋅αExemplo (4): Seja V um espaço vetorial qualquer. São considerados subespaços triviais:
  4. 4. 22a) W = V b) W = {0}, ou seja, o espaço nulo.Exemplo (5): Mostre que toda reta passando pela origem é um subespaço do ℜ2.Solução: Seja { }0mcom,mxy/)y,x(W 2≠=ℜ∈= , ou seja, W é uma reta passado pelaorigem. Então todo vetor de W se escreve com )mx,x( . Assim, podemos escrever que{ }ℜ∈≠∀ℜ∈∀= 0mex),mx,x(W .a) W)0,0( ∈ , pois para : )0,0()0m,0(0x =⋅⇒=b) Sejam W)mx,x(weW)mx,x(w 222111 ∈∈= . Então:( ) W)xx(m,xxww 212121 ∈++=+c) Sejam ℜ∈α∀∈= eW)mx,x(w . Então: ( ) W)x(m,xw ∈αα=⋅αExemplo (6): Mostre que todo plano passando pela origem é um subespaço do ℜ3.Solução: Seja { }0czbyax/)z,y,x(W 3=++ℜ∈= , ou seja, W é um plano passado pelaorigem. Então todo vetor de W se escreve com  −−z,y,aczby, supondo a ≠ 0.Assim, podemos escrever queℜ∈∀ −−= z,y,z,y,aczbyW .a) W)0,0,0( ∈ , pois para : )0,0,0(0,0,a0c0b0zy = ⋅−⋅−⇒==b) Sejam Wz,y,aczbyweWz,y,aczbyw 2222211111 ∈ −−=∈ −−= .Então: Wzz,yy,a)zz(c)yy(bww 2121212121 ∈+++−+−=+c) Sejam Wz,y,aczbyw ∈ −−= e ℜ∈α∀ . Então:Wz,y,azcybw ∈ααα−α−=⋅αProposição (1): Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V sobre um corpo K, então:i) 21 WW + é subespaço de V.ii) 21 WW ∩ é subespaço de V.
  5. 5. 23iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V.Demonstração:i) 21 WW + é subespaço de V.O conjunto { }22112121 WweWw/wwuWW ∈∈+==+ .a) 21 WW0 +∈ . De fato, como W1 é subespaço, então 1W0 ∈ e como W2 é subespaço, então2W0∈ . Portanto, 21 WW000 +∈+= .b) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒∈∈2211WwWwe2121 WWwwv +∈+= ⇒∈∈2211WwWwEntão: )ww()ww(vu 2211 +++=+ . Note que, 111 Www ∈+ e 222 Www ∈+ ,pois eles são subespaços. Portanto, 21 WWvu +∈+ .c) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒∈∈2211WwWwe K∈α∀ . Então 21 wwu α+α=⋅α .Como W1 e W2 são subespaços ⇒∈α∈α2211WwWw. Portanto, 21 WWu +∈⋅αii) 21 WW ∩ é subespaço de V.a) Como W1 e W2 são subespaços, então 1W0 ∈ e 2W0∈ . Portanto, 21 WW0 ∩∈ .b) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒∈∈21WuWue 21 WWv ∩∈ ⇒∈∈21WvWv. Como W1 e W2 sãosubespaços, então 1Wvu ∈+ e 2Wvu ∈+ . Portanto, 21 WWvu ∩∈+ .c) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒∈∈21WuWue K∈α∀ . Como W1 e W2 são subespaços, então1Wu ∈α e 2Wu ∈α . Portanto, 21 WWu ∩∈α .iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V.
  6. 6. 24Para demostrar este fato, vamos exibir um contra-exemplo. Sejam { }0y/)y,x(W 21 =ℜ∈=e { }0x/)y,x(W 22 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy. Seja 21 WW ∪ que éo conjunto de todos os vetores que estão sobre o eixo Ox ou sobre o eixo Oy. Sejam21 WW)0,1(u ∪∈=re 21 WW)1,0(v ∪∈=r. Então, 21 WW)1,1(vu ∪∉=+rr.Portanto, 21 WW ∪ não é subespaço do ℜ2.Definição: Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Dizemos que o espaço V ésoma direta dos subespaços W1 e W2, denotado por 21 WWV ⊕= , se:i) 21 WWV +=ii) }0{WW 21 =∩Exemplo (7): Mostre que o ℜ2é soma direta de { }0y/)y,x(W 21 =ℜ∈= com{ }0x/)y,x(W 22 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy.Solução: Podemos escrever que { }ℜ∈∀= x),0,x(W1 e { }ℜ∈∀= y),y,0(W2 . Assim, todovetor do ℜ2se escreve com )y,0()0,x()y,x(v +==r. Logo, 212WW +=ℜ .Note que, )}0,0{(WW 21 =∩ . Portanto, 212WW ⊕=ℜ .Exemplo (8): Mostre que toda função é soma direta de uma função par com uma função ímpar.Solução: Função par: )x(f)x(f −= . Ela pode ser escrita como2)x(f)x(f)x(f1−+=Função ímpar: )x(f)x(f −−= . Ela pode ser escrita como2)x(f)x(f)x(f2−−=vurr+vrurW2W1
  7. 7. 25Então, toda função )x(f)x(f)x(f 21 += ⇒2)x(f)x(f2)x(f)x(f)x(f−−+−+=E a única função que é par e ímpar é a função nula 0)x(f = , logo }0{)x(f)x(f 21 =∩ .Exercícios Propostos1) Seja }2,1,0{K = . Defina em K duas operações:Adição: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 + k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3.Multiplicação: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 · k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3.Mostre que K com as operações acima é um corpo.2) Seja }0v/v{V >ℜ∈= . Defina em V duas operações:Adição: 2121 vvvv ⋅=⊕ , Vvev 21 ∈∀Produto por escalar:α=⊗α vv , ℜ∈α∀∈∀ eVvMostre que V com as operações acima é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.3) Mostre que=−=+ℜ∈= 0dcb2a/)(MdcbaW 2x2 é um subespaço de M2x2(ℜ).4) Mostre que { }0a2a/)(Ptataa)t(pU 1o2221o =−ℜ∈++== é um subespaço de P2(ℜ).5) Verificar quais dos conjuntos é um subespaço do ℜn.a) { }2n1nn21 xx/)x,...,x,x(W =ℜ∈= Resp (a): nãob) { }21nnn21 xxx/)x,...,x,x(U +=ℜ∈= Resp (b): simc) { }0x/)x,...,x,x(X 1nn21 ≥ℜ∈= Resp (c): não6) Sejam { }0xy/)y,x(W 21 =−ℜ∈= e { }0xy/)y,x(W 22 =+ℜ∈= , ou seja, as retasbissetrizes dos quadrantes do ℜ2. Mostre que 212WW ⊕=ℜ .

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