1ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 1MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES1 MATRIZESHISTÓRICOO pai das matrizes foi...
2• Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, ( ) 11111x1 aaM == . Assim, todonúmero real pode ser repr...
3a) Triangular Inferior: é tal que jise0aij <= ⇒=nn2n1n222111nxna...aa............0...aa0...0aAb) Triangular...
4Propriedades da adição: Sejam mxnijmxnijmxnij )c(Ce)b(B,)a(A === . Então são válidas asseguintes propriedades:a) Comutati...
5a) Não vale a comutativa: ABBA ⋅≠⋅b) Associativa: C)BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅c) Distributiva:⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+⋅CBCAC)BA(:direitaàCABA)C...
61.3.1 Determinação da inversa1º Método - Por DefiniçãoAplicando a definição, onde 1A−será escrita genericamente, vamos en...
7O método das operações elementares consiste no seguinte: do lado esquerdo escrevemosa matriz A e do lado direito a matriz...
82 DETERMINANTESHISTÓRICOOs primeiros estudos sobre determinantes datam provavelmente do século 111 a.C.Mas foi só em 1683...
9a)2423−b)243231021−−Solução: a) 1486)42()23(2423−=−−=⋅−⋅−=−b) )]1(22)4(21330[)]4()1(0322231[243231021−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅...
10OBS: Podemos aplicar o Teorema de Laplace a qualquer linha ou coluna da matriz A, depreferência aquela que tiver a maior...
11)210(2521025302324)1(02)1(23)1()Adet( 11⋅−−⋅=−=⋅−⋅−−−⋅⋅−−⋅−⋅−= +⇒ 30)Adet( =2.4 Propriedades dos determinantes• 0)Adet( ...
12Proposição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ . Então, a matriz inversa damatriz A é determinada por: ...
13independente e n21 x,...,x,x são variáveis reais, com expoente igual a 1, chamadas deincógnitas . Uma equação desse tipo...
14Exemplo (10): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição=++−=+−−=−+8z5yx9z3yx23zy2x:SSolução: Not...
15• Método do Escalonamento: Dado um sistema linear=+++=+++=+++mnmn22m11m2nn22221211nn1212111mxnbxa...xaxa............
16na primeira equação e teremos 1x = . Portanto, o sistema S é SPD, pois admite umaúnica solução }2z,1y,1x{ =−== .Exemplo ...
17Solução: a) Da primeira equação temos que z3y2x +−= (*). Substituindo nas outras duas,teremos:=+++−=−++−0zy3)z3y2(30z...
183) Sejam ==1132Be1423A . Determine:a) [ ] 1t)BA(det−⋅ Resp (a):51b) Mostre que [ ] )Bdet()Adet(1)BA(det1...
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Algebra Linear cap 01

  1. 1. 1ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 1MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES1 MATRIZESHISTÓRICOO pai das matrizes foi Cayley que, em 1850 divulgou esse nome e iniciou ademonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só hápouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram dasombra dos determinantes. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve aLagrange em 1790.O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy que as chamavam detabelas. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Sylvester ainda via asmatrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a tervida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada pormxnij )a(A = , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento ijadentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" aqual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que oíndice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Todamatriz pode ser representada, genericamente, por:=mn2m1mn22221n11211a...aa............a...aaa...aaAIndicaremos por )(Mmxn ℜ o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e comelementos reais.• Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por )(Mn ℜ ousimplesmente nM . Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas.• Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por)(Mmxn ℜ ou simplesmente mxnM .
  2. 2. 2• Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, ( ) 11111x1 aaM == . Assim, todonúmero real pode ser representado por umas matriz de ordem 1x1.Exemplo (1): Escrever a matriz 3x2ij )a(A = tal que<−=>+=jise,ji2jise,ijise,j2ia jijSolução: A matriz 3x2ij )a(A = é representada por: =232221131211aaaaaaA . Então:11ia 1j11 === ; 42ia 2j22 === , pois i = j0212ji2a12 =−⋅=−= ; 1312ji2a13 −=−⋅=−= ; 1322ji2a23 =−⋅=−= , pois i < j3112j2ia21 =⋅+=+=Portanto:  −=143101A1.1 Matrizes Especiais• Matriz Nula: é a matriz mxnO , na qual todos os seus elementos são nulos, ou seja:=0...00............0...000...00A• Matriz Linha: é toda matriz de ordem 1xn, ou seja: ( )n11211 a...aaA = .• Matriz Coluna: é toda matriz de ordem mx1, ou seja:=1m2111a...aaA• Matriz Quadrada: é toda matriz de ordem nxn, ou seja:=nn2n1nn22221n11211nxna...aa............a...aaa...aaA . Oselementos onde i = j formam o que chamamos de diagonal principal.• Matriz Triangular: é uma matriz quadrada, e pode apresentar dois casos;
  3. 3. 3a) Triangular Inferior: é tal que jise0aij <= ⇒=nn2n1n222111nxna...aa............0...aa0...0aAb) Triangular Superior: é tal que jise0aij >= ⇒=nnn222n11211nxna...00............a...a0a...aaA• Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada, na qual cada≠=ℜ∈∀=jise,0jise,xaij ⇒=nn2211nxna...00............0...a00...0aA• Matriz Identidade: é uma matriz quadrada, denotada por nId , na qual cada≠==jise,0jise,1aij ⇒=1...00............0...100...01Anxn• Matriz Transposta: Dada uma matriz mxnij )a(A = , então sua transposta é uma matriznxmjit)a(A = . É a matriz tal que jiij aa = . Assim, dada uma matriz A, para obter suatransposta trocamos as linhas com as respectivas colunas.• Matriz Simétrica: é uma matriz An, quadrada, tal que At= A.• Matriz Anti-Simétrica: é uma matriz quadrada tal que At= -A.1.2 Operações com Matrizes• Igualdade: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:jei,baBA ijij ∀=⇔=• Adição: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:mxnijij )ba(BA +=+ .
  4. 4. 4Propriedades da adição: Sejam mxnijmxnijmxnij )c(Ce)b(B,)a(A === . Então são válidas asseguintes propriedades:a) Comutativa: A + B = B + Ab) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + Cc) Elemento Neutro: ∀A∈Mmxn, ∃O∈Mmxn (matriz nula de ordem mxn) tal que A+O=O+A=A.d) Elemento Oposto: ∀A∈Mmxn, ∃(-A)∈Mmxn (matriz oposta de ordem mxn) tal queA + (-A) = (-A) + A = O.• Subtração: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:mxnijij )ba(BA −=− .OBS: A subtração não possui nenhuma propriedade. Vamos interpretar a subtração da seguinteforma: )B(ABA −+=− , ou seja, a subtração é a adição com a matriz oposta de B,nestas condições, as propriedades são as mesmas da adição.• Produto por escalar: Sejam mxnij )a(A = e ℜ∈α∀ . Então: mxnij )a(A ⋅α=⋅α .Propriedades: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == e ℜ∈βα∀ e .a) A)()A()A( αβ=βα=αβb) BA)BA( α+α=+αc) AAA)( β+α=β+αd) AA1 =⋅• Multiplicação: Sejam pxqjkmxnij )b(Be)a(A == . O produto da matriz A por B, indicado porBA ⋅ , só é possível de n = p, e a nova matriz terá ordem mxq, representada por mxqik )c(C = ,sendo que : ∑=⋅=n1jjkijik bac , para i=1,2,...,m e k=1,2,...,q.OBS: Para haver o produto entre as matrizes pxqmxn BeA , é necessário que o número decolunas da matriz à esquerda seja igual ao número de linhas da matriz à direita e, aordem da matriz produto é o número de linhas da matriz à esquerda pelo número decolunas da matriz à direita, ou seja:Propriedades: Sejam A, B e C, matrizes tais que o produto entre elas sejam possíveis. Então:mxqA m x n ⋅ B p x qn=p
  5. 5. 5a) Não vale a comutativa: ABBA ⋅≠⋅b) Associativa: C)BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅c) Distributiva:⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+⋅CBCAC)BA(:direitaàCABA)CB(A:esquerdaàd) Elemento Neutro: Seja mxnij )a(A = . O elemento neutro é a matriz identidade de ordem m( mId ) ou ordem n ( nId ), pois: AIdA n =⋅ e AAIdm =⋅ .Exemplo (2): Sejam  −=1012A , −−=312105B e  −=0184C . Determine se possível:a) CA2 + d) CB⋅b) BA⋅ e) B)C3A( ⋅−c) CB+ f) 2ASolução: a)  −=++−−+= −+ −=+119601108142018410122CA2b) −⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅−⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅=−−⋅ −=⋅)3(110)1(1002150)3()1(12)1()1(022)1(523121051012BA ⇒−−=⋅312518BAc) Não é possível pois, B e C não têm a mesma ordem.d) Não é possível pois, o número de colunas da matriz 3x2B não é igual ao número delinhas da matriz 2x2C .e) −−⋅−−=−−⋅ −− −=⋅−312105132310312105018431012B)C3A( ⇒−−−−−−=⋅−611379234B)C3A(f)  −= −⋅ −=⋅=103410121012AAA21.3 Matriz InversívelDefinição: Uma matriz quadrada de ordem n se diz inversível, se , e somente se, existe uma matrizquadrada B de ordem n, de modo que nIdABBA =⋅=⋅ . Essa matriz B, caso exista, éúnica e chamada de inversa de A, denotada por 1A−.
  6. 6. 61.3.1 Determinação da inversa1º Método - Por DefiniçãoAplicando a definição, onde 1A−será escrita genericamente, vamos encontrar umsistema linear. Se o sistema for possível e determinado (apenas uma solução),então existe a inversa.Se o sistema for impossível, então não existe a inversa.Exemplo (3): Sejam =4231A e=112123021B . Determine a inversa pela definição, se houver.Solução: Seja =−dcbaA 1. Por definição 21IdAA =⋅ −. Então: =⋅1001dcba4231⇒=++++1001d4b2c4a2d3bc3a⇒=+=+0c4a21c3ae=+=+1d4b20d3b. Resolvendo os sistemaslineares teremos −−=−2123112A .Seja=−ihgfedcbaB 1. Então, 31IdBB =⋅ −⇒=⋅100010001ihgfedcba112123021⇒=++=++=+0gda20gd2a31d2ae=++=++=+0heb21he2b30e2be=++=++=+1ifc20if2c30f2cResolvendo os três sistemas lineares teremos:−−−−=−431111221B 12º Método - Por Operações ElementaresPodemos aplicar operações nas filas (linhas ou colunas) de uma matriz, sem alterar suaspropriedades. Estas operações, chamadas de operações elementares são as seguintes:a) Permutar duas filas paralelas;b) Multiplicar uma fila por um escalar α, ℜ∈α∀ , com 0≠α ;c) Somar a uma fila uma outra fila paralela multiplicada por α, ℜ∈α∀ , com 0≠α ;
  7. 7. 7O método das operações elementares consiste no seguinte: do lado esquerdo escrevemosa matriz A e do lado direito a matriz identidade de mesma ordem da A. Através de operaçõeselementares transformamos a matriz A na matriz identidade. As mesmas operações que aplicamosna matriz A, devemos aplicar na matriz identidade que está do lado direito. No final do processo oque resulta do lado esquerdo é a matriz identidade e do lado direito a matriz inversa 1A−.Exemplo (4): Sejam =4231A e=112123021B . Determine sua inversa, por operaçõeselementares, se houver.Solução: −−− →−− → ++−12*202*0112*2001*3110*4201*31 23LLLL2 122321−− →−2123L1*102*01221⇒ −−=−2123112A →−−−−−+−+−→2412131LLL3LL2102*130013*140001*021100*112010*123001*021→++−−− →−−−−23332LLL4434141414341LL34143411*000*10001*021102*1300*10001*021−−−− →−−+−431*100111*010221*001431*100111*010001*02112 LL2⇒−−−−=−431111221B 1OBS: No exemplo acima, por exemplo, 21 LL2 +− significa: menos duas vezes a linha 1 somada alinha 2. Note que, nesta passagem, quem sofreu alteração foi a linha 2, que a ela foi soma alinha 1 multiplicada por -2. Se ao aplicarmos operações elementares em uma matriz e elaapresentar uma ou mais filas nulas, então a matriz não admite inversa.
  8. 8. 82 DETERMINANTESHISTÓRICOOs primeiros estudos sobre determinantes datam provavelmente do século 111 a.C.Mas foi só em 1683 que o japonês Seki Kowa usou a idéia de determinante em seus trabalhossobre sistemas lineares.O uso do determinante no Ocidente começou 10 anos depois num trabalho deLeibniz, ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730-1783),sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de umdeterminante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonte (1735-1796), a primeiraabordagem da teoria dos determinantes.O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho deCauchy sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dosdeterminantes foi o alemão Carl Jacobi (1804-1851). Deve-se a ele a forma simples como essateoria se apresenta até hoje.Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de determinante da matriz A, denotado pordet(A), ao número real obtido através de operações realizadas com os elementos damatriz, conforme os métodos apresentados abaixo.2.1 Regra de SarrusA regra de Sarrus se aplica a determinantes de 2ª e 3ª ordem com segue:• Determinante de 2ª ordem: Seja =22211211aaaaA ⇒22211211aaaa)Adet( = ⇒)aa()aa()Adet( 21122211 ⋅−⋅= .• Determinante de 3ª ordem: Seja=333231232221131211aaaaaaaaaA ⇒333231232221131211aaaaaaaaa)Adet( = ⇒)aaaaaaaaa()aaaaaaaaa()Adet( 122133322311312213133221312312332211 ++−++=Regra prática:322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa)Adet( =Exemplo (5): Resolver os determinantes usando a regra de Sarrus:)aaaaaaaaa( 133221312312332211 +++)aaaaaaaaa( 122133322311312213 ++−
  9. 9. 9a)2423−b)243231021−−Solução: a) 1486)42()23(2423−=−−=⋅−⋅−=−b) )]1(22)4(21330[)]4()1(0322231[243231021−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅=−− =301218)480()0126( =+=−−−++=2.2 Regra de LaplaceDefinição: Dada uma matriz quadrada nxnij )a(A = , de ordem 2n ≥ , chamamos de cofator doelemento aij, e indicado por Aij, ao seguinte número: ijjiij D)1(A ⋅−= +, onde Dij é odeterminante de ordem menor, formado pelos elementos restantes, quando retiramos alinha e a coluna as quais pertence o elemento aij.Exemplo (6): Determine o cofator dos elementos a23 e a31 da matriz−−=133011212A .Solução: 9)36(13312)1(D)1(A 5233223 −=+⋅−=−⋅−=⋅−= +2)20(10121)1(D)1(A 4311331 =+⋅+=−−⋅−=⋅−= +Teorema de Laplace: Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . O determinanteda matriz A é a somatória dos elementos aij pelos seus respectivos cofatoresAij, em relação a qualquer linha ou coluna da matriz A, ou seja, se=nn2n1nn22221n11211nxna...aa............a...aaa...aaA , então, em relação a primeira linha, temosque: n1n112121111 Aa...AaAa)Adet( +++= .
  10. 10. 10OBS: Podemos aplicar o Teorema de Laplace a qualquer linha ou coluna da matriz A, depreferência aquela que tiver a maior quantidade de zeros, pois evita cálculos. O Teorema deLaplace é uma regra geral, ele se aplica a determinantes de qualquer ordem.Exemplo (7): Resolver o determinante243231021)Adet(−−= usando o Teorema de Laplace.Solução: Vamos aplicar o teorema de Laplace para os elementos da coluna 3:333323231313 AaAaAa)Adet( ++=3121)1(24321)1(24331)1(0)Adet( 333231−−⋅+−−⋅+−−−⋅= +++301020)5(2)10(2)Adet( =+=⋅+−⋅−=2.3 Regra de ChióSeja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . No determinante da matrizA, identificar um elemento 1aij = . Retirar a linha e a coluna as quais pertence o elemento 1aij = .Restará um determinante de ordem menor, do qual devemos retirar de cada elemento ija , o produtodos elementos referentes a linha e a coluna que foram retiradas. Este determinante deverá sermultiplicado por ji)1( +− , onde i e j são os índices do elemento 1aij = .Por exemplo, suponhamos que 1a11 = . Se a matriz=nn3n2n1nn3333231n2232221n1131211a...aaa...............a...aaaa...aaaa...aaaA ,então1nn1nn1n133n1n122n31n1n331133331123221n1n221132321122211aaa...aaaaaa............aaa...aaaaaaaaa...aaaaaa)1()Adet(⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−= +Exemplo (8): Resolver o determinante243231021)Adet(−−= usando o a regra de Chió.Solução: Vamos aplicar a regra de Chió para o elemento 1a11 = :
  11. 11. 11)210(2521025302324)1(02)1(23)1()Adet( 11⋅−−⋅=−=⋅−⋅−−−⋅⋅−−⋅−⋅−= +⇒ 30)Adet( =2.4 Propriedades dos determinantes• 0)Adet( = , se possui uma fila (linha ou coluna) nula; se duas filas paralelas são iguais; se duasfilas paralelas são proporcionais (múltiplas) ou se uma das filas é combinação linear da demais.• Determinante da matriz triangular (e também a matriz diagonal) é o produto dos elementos dadiagonal principal.• Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante ficarámultiplicado por α.• Se permutarmos duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante ficará multiplicado por -1.• Se numa matriz A adicionarmos a uma fila uma outra paralela, multiplicada por um escalar,ℜ∈α∀ , o determinante são se altera.• Senn2nnn2222n1121nn2n1nn22221n11211nn2nn1nn222221n112111a...ax............a...axa...axa...aa............a...aaa...aaa...axa............a...axaa...axa)Adet( +=+++=• )Adet()Adet( t=•)Adet(1)Adet( 1=−• )Bdet()Adet()BAdet( ⋅=⋅2.5 Matriz Inversa através da Matriz AdjuntaDefinição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Cofatorada matriz A, denotada por Cof(A), a matriz constituída dos cofatores de cada elementoaij. (veja a definição de cofator no item 2.2)Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Adjunta,denotada por Adj(A), a transposta da matriz cofatora, ou seja, t))A(Cof()A(Adj = .
  12. 12. 12Proposição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ . Então, a matriz inversa damatriz A é determinada por: )A(Adj)Adet(1A 1⋅=−, com 0)Adet( ≠ .Exemplo (9): Seja e=112123021B . Determine sua inversa, através da matriz adjunta, se houver.Solução: Como 01)Bdet( ≠−= , então a matriz B admite inversa.−−−−−=−−−−−−−−−=+++++++++4123121112321)1(1301)1(1202)1(1221)1(1201)1(1102)1(1223)1(1213)1(1112)1()B(Cof332313322212312111( )−−−−−==431111221)B(Cof)B(Adj t⇒−−−−−−=⋅=−43111122111)B(Adj)Bdet(1B 1−−−−=−431111221B 13 SISTEMAS LINEARESHISTÓRICONa matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equaçõeslineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especialpor diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientesescritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaramdescobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes pormeio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Novecapítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C.Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (comopolinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maiormatemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemaslineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).Definição: Considere uma equação da seguinte forma: bxa...xaxa nn2211 =+++ ,ℜ∈∀ n21 a,...,a,a , chamados de coeficientes; ℜ∈∀b , chamado de termo
  13. 13. 13independente e n21 x,...,x,x são variáveis reais, com expoente igual a 1, chamadas deincógnitas . Uma equação desse tipo é chamada de equação linear a n incógnitas.Definição: Seja uma equação linear bxa...xaxa nn2211 =+++ . Chama-se solução dessaequação, uma seqüência de n números reais (n-úpla) n21 ,...,, ααα , tal que:ba...aa nn2211 =α++α+α é uma igualdade verdadeira.Definição: Chama-se de sistema linear, denotado por Smxn, a um conjunto formado por duas oumais equações lineares nas mesmas variáveis reais n21 x,...,x,x . O par de índices mxné chamado de ordem do sistema indicando m equações e n incógnitas. Genericamenterepresentado por:=+++=+++=+++mnmn22m11m2nn22221211nn1212111mxnbxa...xaxa....................................................bxa...xaxabxa...xaxa:SDefinição: Chama-se solução de um sistema linear S, uma n-úpla n21 ,...,, ααα de números reais,que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema S.3.1 Classificação dos Sistemas Lineares• Sistema Possível e Determinado (SPD): admite apenas uma única solução• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): admite infinitas soluções• Sistema Impossível (SI): não admite solução.3.2 Métodos de Resolução de Sistemas LinearesAlgumas operações elementares podem ser aplicadas nas equações de um sistemalinear, sem que isso altere sua solução, obtendo, assim, um sistema equivalente ao primeiro. Estasoperações são as seguintes:i) Permutar uma ou mais equações;ii) Multiplicar uma ou mais equações por escalares reais diferentes de zero;iii) A uma equação, adicionar uma outra multiplicada por um escalar diferente de zero.• Método da Substituição: consiste em "isolar" uma das variáveis de qualquer equação e substituí-la nas demais, abaixando a ordem do sistema. Repetir o processo até obtermos uma únicaequação dependendo apenas de uma só variável.
  14. 14. 14Exemplo (10): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição=++−=+−−=−+8z5yx9z3yx23zy2x:SSolução: Note que o sistema S tem ordem 3x3. Vamos isolar a variável x da primeira equação esubstituí-la nas demais: 3zy2x −+−= (*). Então:=++−+−−=+−−+−8z5y)3zy2(9z3y)3zy2(2⇒=+=+−′5z4y315z5y5S . Agora temos um sistema S′ equivalente de ordem 2x2. Vamos isolar avariável y na primeira equação e substituí-la na segunda: 3zy −= (**). Então:2z5z4)3z(3 =⇒=+− . Fazendo 2z = em (**) obtemos 1y −= . Fazendo 2z = e1y −= em (*) obtemos 1x = . Portanto o sistema S é SPD, pois admite uma únicasolução }2z,1y,1x{ =−== .OBS: Se ao aplicarmos o método da substituição ou o método do escalonamento (veremos a seguir)na resolução de um sistema linear e, aparecerem uma ou mais equações do tipo0x0...x0x0 n21 =+++ , isso significa que elas eram combinação linear das demais e deverser retiradas do sistema. Caso apareçam equações do tipo α=+++ n21 x0...x0x0 , com0≠α , estas serão igualdades falsas, indicando que o sistema é SI e não tem solução.Exemplo (11): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição=−+=+−=+−0z3yx1z2yx2zyx3:SSolução: Isolando a variável y na primeira equação e substituindo nas demais teremos:2zx3y −+= (*) ⇒=−−++=+−+−0z3)2zx3(x1z2)2zx3(x⇒=−−=+−′2z2x41zx2:SIsolando a variável z na primeira equação e substituindo na segunda: 1x2z −= (**) ⇒0x02)1x2(2x4 =⇒=−− , ou seja, esta equação é combinação linear das outras.Portanto o sistema está resolvido e ele é SPI e sua solução geral é dada por: substitua (**)em (*) e teremos 3x5y −= .Solução Geral: { }ℜ∈∀−=−= x,1x2z;3x5y .
  15. 15. 15• Método do Escalonamento: Dado um sistema linear=+++=+++=+++mnmn22m11m2nn22221211nn1212111mxnbxa...xaxa....................................................bxa...xaxabxa...xaxa:Satravés de operações elementares aplicadas em suas equações, obtemos o seguinte sistemaequivalente, chamado de sistema escalonado:β=αβ=α++αβ=α++α+αβ=α++α+α+α′mnmn3nn33332nn23232221nn1313212111x......................................................................x...xx...xxx...xxx:Scom o objetivo de que a última equação dependa somente da incógnita xn, determinando, assim,o seu valor e depois o valor das demais incógnitas. Note que, se associarmos ao sistemaescalonado S′ , uma matriz dos coeficientes, teremos uma matriz triangular superior na formaescalonada, ou seja:ααααααααααmnn333n22322n1131211...000..................00...0...Exemplo (12): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento=++−=+−−=−+8z5yx9z3yx23zy2x:SSolução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e dos termosindependentes. Então:−−−−→−−−→−−−− −+−+5430311031215430155503121851193123121 2512131LLL2LL−−−−→+−147003110312132 LL3. Note que a matriz está escalonada e, portanto, podemos voltarao sistema escalonado. Assim:=−=−−=−+′14z73zy3zy2x:S . Da última equação temos que 2z = .Substituindo na segunda equação teremos 1y −= . Com os valores de y e z, substituímos
  16. 16. 16na primeira equação e teremos 1x = . Portanto, o sistema S é SPD, pois admite umaúnica solução }2z,1y,1x{ =−== .Exemplo (13): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento=++−=++−=−+8zy4x3z2yx5zy3x2:SSolução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e do termoindependente trocando a primeira equação com a segunda. Então:−−−→−−−→−−− +−++600013503211535013503211814151323211322131LL1LL2LL. Note que a matrizestá escalonada e apresenta a última equação 6z0y0x0 =++ , o que é uma falsidade,indicando que o sistema é SI e, portanto, não tem solução.3.3 Sistema Linear HomogêneoÉ o sistema linear em que todos os termos independentes das equações são nulos, ouseja:=+++=+++=+++0xa...xaxa....................................................0xa...xaxa0xa...xaxa:Hnmn22m11mnn2222121nn1212111mxn .Uma particularidade dos sistemas homogêneos é que eles são sempre possíveis (SPD ouSPI). Note que, um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial (0,0,...,0). Assim, suaclassificação se reduz a:• Sistema Possível e Determinado (SPD): só admite a solução trivial• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): além da solução trivial admite outras infinitas.Exemplo (14): Resolver os sistemas homogêneos aplicando o método indicado:a)=++=−+=−+0zy3x30z2yx20z3y2x:H , método da substituiçãob)=+=−−=++0y3x40z2yx20zy2x:H , método do escalonamento
  17. 17. 17Solução: a) Da primeira equação temos que z3y2x +−= (*). Substituindo nas outras duas,teremos:=+++−=−++−0zy3)z3y2(30z2y)z3y2(2⇒=+−=+−′0z10y30z4y3:H .Da primeira equação vem que z4y3 −=− (**). Substituindo na segunda, teremos:0z0z60z10z4 =⇒=⇒=+− . Fazendo 0z = em (**), temos que 0y = . Fazendo0ze0y == em (*), temos que 0x = . Portanto, o sistema é SPD e a solução é atrivial }0z,0y,0x{ === .b) Vamos trabalhar com a matriz dos coeficientes, uma vez que não é necessário trabalharcom a coluna dos termos independentes, pois são todos nulos. Então:−−→−−−−→−−+−+−+−00045012145045012103421212132211LL1LL23LL4. A matriz já estáescalonada. Retirando a linha nula e voltando ao sistema equivalente, teremos:=−−=++′0z4y50zy2x:H . Da segunda equação, temos: zy 54−= . Substituindo na primeiraequação, teremos: ( ) zx0zz2x 5354 =⇒=+−+ . Portanto, o sistema é SPI e suasolução geral é { }ℜ∈∀−== z,zy,zx 5453 . Note que, para 0z = , teremos x = y = 0,ou seja, a solução trivial, mas não é a única, existem outras infinitas soluções.Exercícios Propostos1) Sejam −=1021A , −−=121430B e −=012111C . Determine a matriz X tal que)C3B(AC2X 2−=+ . Resp: −−−−−=167185X2) Determine a matriz inversa, se houver.a) −−=4612A Resp (a): −−=−132A 211b)−−−=301232312B Resp (b):−−−−−=−41310381139B 1
  18. 18. 183) Sejam ==1132Be1423A . Determine:a) [ ] 1t)BA(det−⋅ Resp (a):51b) Mostre que [ ] )Bdet()Adet(1)BA(det1t⋅=⋅−4) Sejam =−=−−=2361De1220C,2173A . Sabendo que 1ADACBA −⋅⋅=+⋅ ,determine det(B). Resp: 172)Bdet( −=5) Classificar e resolver os sistemas lineares;a)=+−=++−=+−1z5yx74z2y2x7zy3x2Resp (a): SPD e { }2z;3y;2x −===b)=−+=−+−=++7z4y19x1z2y5x2zy2x2Resp (b): SPI eℜ∈∀−=−−= z,34y12ze35y9xc)=++−=+−−=++5z4y14x0z4y2x32z4y6xResp (c): SI, não tem solução

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