Aula Sobre BinôMio De Newton

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Aula Sobre BinôMio De Newton

  1. 1. Binômio de Newton<br />Introdução<br />   Pelos produtos notáveis, sabemos que <br />(a+b)² = a² + 2ab + b².    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:<br />(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3<br />Se quisermos calcular , podemos adotar o <br />mesmo procedimento:<br />(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)<br />= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4<br />
  2. 2. Binômio de Newton<br />De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, demodo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .  Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como Binômio de Newton. Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal. <br />
  3. 3. O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:<br />É também imediato que, para qualquer n natural, temos:<br />
  4. 4.
  5. 5. Propriedades dos <br />coeficientesbinomiais <br />Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.<br />
  6. 6. Relação de Stifel<br />Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).<br />
  7. 7. Relação de Stifel<br />Exemplos<br />
  8. 8. Triângulo de Pascal<br />Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662) foi um filósofo religioso, físico e matemáticofrancês de curta existência de vida, que como filósofo criou uma das afirmações mais pronunciadas pela humanidade nos séculos posteriores<br />O coração tem razões que a própria razão desconhece.<br />
  9. 9. Triângulo de Pascal<br />Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:<br />A  disposição  ordenada  dos números   binomiais,  como<br />na tabela ao lado, recebe  o  nome   de Triângulo de Pascal<br />Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.<br />
  10. 10. Construção do triângulo de Pascal<br />Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:<br />1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.<br />2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.<br />3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel).<br />
  11. 11. Construção do triângulo de Pascal<br />Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:<br />
  12. 12. Propriedade do triângulo de Pascal<br />P1.  Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.<br />De fato, esses binomiais são complementares.<br />
  13. 13. Propriedade do triângulo de Pascal<br />P2   Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésimalinha é .<br />   De modo geral temos:<br />
  14. 14. Propriedade do triângulo de Pascal<br />P3   Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.<br />
  15. 15. Propriedade do triângulo de Pascal<br />P4    Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.<br />
  16. 16. Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton<br />Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. <br />Atenção!<br />LOGO TEMOS<br /> O<br /> “TRIÂNGULO <br />DE PASCAL”<br /><ul><li>quando n = 0 temos:
  17. 17. quando n = 1 temos:
  18. 18. quando n = 2 temos:
  19. 19. quando n = 3 temos:
  20. 20. quando n = 4 temos: </li></li></ul><li>Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton<br />Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:<br />
  21. 21. Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton<br />De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:<br />Fórmula do termo geral do binômio<br />   Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a+b)n,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma:<br />
  22. 22. Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem <br /> p + 1pode ser expresso por: <br />
  23. 23. Vejamos alguns exemplos!<br />

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