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Aula Sobre BinôMio De Newton
 

Aula Sobre BinôMio De Newton

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    Aula Sobre BinôMio De Newton Aula Sobre BinôMio De Newton Presentation Transcript

    • Binômio de Newton
      Introdução
         Pelos produtos notáveis, sabemos que
      (a+b)² = a² + 2ab + b².    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
      (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
      Se quisermos calcular , podemos adotar o
      mesmo procedimento:
      (a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
      = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
    • Binômio de Newton
      De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, demodo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .  Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como Binômio de Newton. Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.
    • O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:
      É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
    • Propriedades dos
      coeficientesbinomiais
      Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.
    • Relação de Stifel
      Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).
    • Relação de Stifel
      Exemplos
    • Triângulo de Pascal
      Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662) foi um filósofo religioso, físico e matemáticofrancês de curta existência de vida, que como filósofo criou uma das afirmações mais pronunciadas pela humanidade nos séculos posteriores
      O coração tem razões que a própria razão desconhece.
    • Triângulo de Pascal
      Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
      A  disposição  ordenada  dos números   binomiais,  como
      na tabela ao lado, recebe  o  nome   de Triângulo de Pascal
      Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
    • Construção do triângulo de Pascal
      Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:
      1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
      2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.
      3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel).
    • Construção do triângulo de Pascal
      Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
    • Propriedade do triângulo de Pascal
      P1.  Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
      De fato, esses binomiais são complementares.
    • Propriedade do triângulo de Pascal
      P2   Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésimalinha é .
         De modo geral temos:
    • Propriedade do triângulo de Pascal
      P3   Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
    • Propriedade do triângulo de Pascal
      P4    Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
    • Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
      Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton.
      Atenção!
      LOGO TEMOS
      O
      “TRIÂNGULO
      DE PASCAL”
      • quando n = 0 temos:
      • quando n = 1 temos:
      • quando n = 2 temos:
      • quando n = 3 temos:
      • quando n = 4 temos:
    • Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
      Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
    • Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
      De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
      Fórmula do termo geral do binômio
         Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a+b)n,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma:
    • Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem
      p + 1pode ser expresso por:
    • Vejamos alguns exemplos!