Num complejos

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ALGUNAS NOTACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS Y MAS

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Num complejos

  1. 1. “ CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS”. EMPLEANDO SISTEMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO” Lic. Adriana Raquel Fauroux
  2. 2. BREVE DESCRIPCIÓN DEL TRABAJOEl presente trabajo tiene por fin, lograr un mejor rendimiento estudiantil en laformación del alumno universitario. Para ello, se han desarrollado los puntosteóricos con rigurosidad y se fomenta la fijación del conocimiento medianteejemplificaciones.En vista de que la inserción del alumnado al mundo tecnológico es una necesidadvital para su futuro profesional, en el presente trabajo, se emplea el softwarematemático “Mathematica versión 4.0 ” que, le brindan a los estudiantes todas lasherramientas necesarias para la realización de la ejercitación y entrenamientoante la posibilidad de usar otros software que ellos mismos pudieren adquirir. Poreste motivo es necesario tener instalado el programa en la versiónmencionada o superior.El trabajo cuenta con un índice interactivo, permitiéndole al alumno accederrápidamente a los contenido temáticos requeridos y retornar nuevamente a aquéluna vez finalizado el estudio. Asimismo, un Apéndice posibilitan complementar lainformación analizada, y los hipervínculos entre los temas tratados facilitan sucomprensión.Se agrega una lista con los comandos necesarios del Mathematica para facilitarsu empleo.Los links existentes con páginas web, le brindan al alumno un panorama real yconcreto del empleo del conjunto de los números complejos.Lic. Fauroux, Adriana Raquel 2
  3. 3. OBJETIVOS DEL TRABAJOA) GENERALES: Adquirir el concepto de número complejo y aprender a operar con ellos. Adquirir destreza en el manejo del software Mathematica para la resolución de ejercicios. Resolver ejercicios de aplicación.B) ESPECÍFICOS: Aprender las propiedades de los números complejos. Adquirir destreza en el empleo de las operaciones con números complejos. Visualizar la necesidad de conocer el tema, para la resolución de problemas concretos y de aplicación a otras materias o disciplinas.SABERES PREVIOS Concepto de vector. Conocimientos de geometría plana básica. Conocimientos básicos de manejo de PC. Conocimientos básicos del software “Mathematica versión 4.0” (no excluyente). Conocimientos básicos de Internet. Buscadores. Conocimientos de Cálculo I –integrales- (no excluyente)Lic. Fauroux, Adriana Raquel 3
  4. 4. INDICE1.INTRODUCCIÓN...........................................................................................62. NÚMEROS COMPLEJOS ...........................................................................72.1Representación gráfica de un complejo.......................................................72.2 Parte real e imaginaria de un complejo......................................................82.3 Opuesto y conjugado de un complejo.........................................................82.4 Complejo nulo...........................................................................................102.5 Igualdad de complejos..............................................................................103. 0PERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS..........................................103.1 Adición. Propiedades................................................................................103.2 Producto por un escalar. Propiedades.....................................................113.3 Multiplicación de complejos. Propiedades................................................123.4. Potenciación.............................................................................................124. ISOMORFISMO ENTRE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS REALES PUROS Y LOS NÚMEROS REALES..................135. UNIDAD IMAGINARIA................................................................................145.1Potencias sucesivas de la unidad imaginaria.............................................146. FORMA BINOMICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS...........................156.1 Operaciones en forma binómica ...............................................................167. PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS ................................................188. MÓDULO DE UN COMPLEJO...................................................................208.1 Propiedades del módulo un complejo.......................................................219. ARGUMENTO DE UN COMPLEJO...........................................................2410. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO......................................2710.1.Igualdad de complejos en forma trigonométrica.....................................2910.2. Operaciones en forma trigonométrica....................................................29Lic. Fauroux, Adriana Raquel 4
  5. 5. 10.2.1 Multiplicación........................................................................................2910.2.2 División.................................................................................................2910.2.3 Potenciación. Fórmula de De Moivre...................................................3110.2.4.Radicación............................................................................................3311. FORMA EXPONENCIAL...........................................................................3911.1 Igualdad de complejos en forma exponencial..........................................4011.2 Operaciones en forma exponencial .........................................................4012. LOGARITMACIÓN EN C...........................................................................4013. FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA GENERAL....................................4314. APÉNDICE.................................................................................................4514.1 Sentencias para trabajar con el programa Mathematica..........................4414.2 Empleo de los números complejos...........................................................4614.3 Link con páginas web ..............................................................................4714.4 Raíz cuadrada de un complejo ................................................................4814.5 Raíces primitivas de la unidad .................................................................4814.6 Los complejos y la geometría plana.........................................................5115. APLICACIONES AL ANÁLISIS MATEMÁTICO I......................................5616. EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................5817. BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................63Lic. Fauroux, Adriana Raquel 5
  6. 6. 1. INTRODUCCIÓNDesde AlKhwarizmi (800 DC), quien fuera precursor del Álgebra, sólo seobtenían las soluciones de las raíces cuadradas de números positivos.La primera referencia conocida relacionada con raíces cuadradas de númerosnegativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos (entre ellos Herón deAlejandría en el siglo Ι antes de Cristo), ella surge como resultado de unaimposible sección de una pirámide.Los números complejos se hicieron más populares en el siglo XVI, cuando sebuscaba hallar las fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios desegundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano yaunque sólo estaban interesados en las raíces reales , se encontraron con lanecesidad de manejar raíces de números negativos.Girolamo Cardano (1501-1576) menciona por primera vez en su libro Ars Magna(1545) la necesidad de definir y utilizar números que respondan a la forma acon a<0 . En el libro aparece el siguiente problema: “dado un segmento de 10unidades, dividirlo en dos partes de manera tal, que el área del rectángulo que seobtenga con esas dos partes sea de 40 unidades cuadradas”.La solución debía ser fácil. Si una parte es “x” la otra parte es “y = x-10”, tal quex.y = 40. Reemplazando: x.(10-x) = 40, operando x2 –10 x + 40 = 0.Al resolver la ecuación queda x1,2= 5 ± − 15 . A tales soluciones el filósofo ymatemático alemán Descartes (1596-1650) las llamó imposibles o imaginarios,y en 1637 dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones, son númerosde la forma a+bi, con a y b reales.Fue Karl F. Gauss (1777-1855) físico, matemático y astrónomo alemán quien usólos números complejos en forma realmente confiable y científica. En 1799demostró que las soluciones de cualquier ecuación algebraica de cualquier grado,pertenecen a un conjunto de números que él llamo complejos, y que esteconjunto estaba formado por un número ordinario ( número real) más un múltiplode la raíz cuadrada de –1, llamado unidad imaginaria.La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en elSiglo XIX.IndiceLic. Fauroux, Adriana Raquel 6
  7. 7. 2. NÚMEROS COMPLEJOSDefinición 1: Un número complejo es un par ordenado de números reales.De acuerdo a la definición, la expresión analítica del conjunto de los númeroscomplejos es: C ={(a; b) / a ∈ R ∧ b ∈ R } }2.1 Representación gráfica de un número complejo.Para graficar un complejo en el plano real, se tiene en cuenta que el eje deabscisas recibe el nombre de eje real (Re) y el eje de ordenadas, eje imaginario(Im).La representación gráfica de un número complejo presenta dos posibilidades noexcluyentes: • Por el punto afijo: de la definición 1 se deduce que, cada complejo se representa en el plano real como un único punto y a su vez cada punto del plano real representa a un único número complejo. Por lo tanto, existe una relación biunívoca entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de los puntos del plano real. Este punto se denomina afijo. • Por el vector posición: se puede representar a un número complejo mediante un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el afijo. Este vector se denomina vector posición. Im Dado el complejo z = (a; b) b z oz es el vector posición y el punto z de coordenadas (a; b) es el afijo. 0 a ReLic. Fauroux, Adriana Raquel 7
  8. 8. 2.2 Parte real e imaginaria de un complejo.Definición 2: Dado un complejo z = (a; b), la primer componente se denomina parte real ( Re(z) ) y la segunda componente parte imaginaria ( Im(z) ).De acuerdo a la definición si: ⎧ parte real = Re(z) = a z=(a;b) ⎨ ⎩parte imaginaria = Im(z) = bLos complejos de la forma (a; 0) reciben el nombre de complejos reales puros(CR ) y se encuentran situados en el eje real. Los complejos de la forma (0;b) sedenominan complejos imaginarios puros y se ubican sobre el eje imaginario.2.3 Opuesto y conjugado de un complejoDefinición 3 : Dado el complejo z = (a;b) su opuesto es – z = ( - a;- b )Definición 4: Dado el complejo z = (a;b) su conjugado es z = ( a;- b )Observación: en el complejo conjugado, la parte real queda igual y la parteimaginaria cambia su signo respecto del complejo dado.Interpretación geométrica Im Im z = (a; b) z = (a; b)Igualdad entre complejos. Re ReSean= (-a;- b) -z los complejos z1= (a; b) y z2 = z = (a;- b)Lic. Fauroux, Adriana Raquel 8
  9. 9. Gráficamente, entre un complejo y su opuesto, existe una simetría puntual decentro en el origen y, entre un complejo y su conjugado existe una simetría axialde eje real. Ejemplo:Dado el complejo z = ( -2;3) graficarlo, hallar su opuesto y su conjugado.El complejo opuesto es –z= -(-2;3)=(2;-3) ⇒ -z = (2;3)El complejo conjugado es z = (− 2 ; 3 ) =(-2;-3) ⇒ z = ( −2 ;−3)Para realizar el gráfico con el programa Mathematica, se necesita “llamar” alpaquete Graphics Arrow:In[2]:=<<Graphics`Arrow`In[3]:=Show[Graphics[{Arrow[{0,0},{-2,3}], Arrow[{0,0},{2,-3}], Arrow[{0,0},{-2,-3}], Text[“z”,{-2,2.5}], Text[“-z”,{2,-2.1}], Text[“ z ”,{-2,-2.5}]}],Axes->True, AxesLabel->{“Re”,”Im”},PlotRange->{{-3,4},{-4,4}}, AspectRatio->Automatic];Lic. Fauroux, Adriana Raquel 9
  10. 10. 2.4 Complejo nuloDefinición 5: z = (a; b) el es complejo nulo, si y sólo si a = b = 0, anotándose z = (0; 0) = 02.5 Igualdad de complejosDefinición 6: Dados los complejos z = (a; b) y w = ( c;d), resulta z = w si y sólo si a = c ∧ b = d. Ejemplo:Hallar el valor de h y k reales para que los complejos z1= ( 3.h +1; h +2.k) yz2 = ( 7; k) sean iguales. ⎧3.h + 1 = 7Por definición de igualdad de complejos, se tiene: ⎨ . De la primer ⎩h + 2k = kecuación resulta h = 2 y reemplazando en la segunda ecuación k = -2.Indice3. 0PERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS3.1 Adición: Dados los complejos z1= (a; b) y z2 = (c; d), se define: z1 + z2 = (a; b)+(c; d) = (a+c; b+d)Observación: La sustracción entre números complejos se obtiene sumando alminuendo el opuesto del sustraendo:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 10
  11. 11. z1 - z2 = z1 +(- z2) = (a; b)+(- c; - d) = (a - c; b - d)PROPIEDADESLey de composición interna : ∀z1, ∀z 2 ∈ C : (z1 + z2 ) ∈ CConmutatividad: ∀z1, ∀z2 ∈ C : z1 + z 2 = z2 + z1Existencia de elemento neutro: ∀z ∈ C, ∃ 0 = (0;0) ∈ C/ z + 0 = 0 + z = zExistencia de elemento puesto: ∀z ∈ C, ∃ (-z) ∈ C/ z + (-z) = (-z) + z = 0Asociativa : ∀z1, ∀z2, ∀z3 ∈ C : (z1 + z 2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )3.2 Producto por un escalar Dado el complejo z=(a;b) y α R , se define: α .z = α .(a;b)=( α .a; α .b)PROPIEDADES:Ley de composición externa: ∀α ∈ R, ∀z ∈ C : (α . z) ∈ CDistributividad con respecto a la adición de complejos:∀α ∈ R, ∀z1, ∀z 2 ∈ C : α . (z1 + z 2 ) = α . z1 + α . z2Distributividad con respecto a la adición de escalares:∀α, ∀β ∈ R, ∀z ∈ C : (α + β) . z = α . z + β . zAsociatividad mixta: ∀α, ∀β ∈ R, ∀z ∈ C : (α . β ) . z = α . (β . z)De la unidad: ∀z ∈ C, ∃ 1∈ R / 1. z = zObservación: Como el conjunto de los números complejos con las operacionesadición y producto por un escalar definidas, cumple con las propiedadesenunciadas se dice que tiene estructura de Espacio vectorial.Lic. Fauroux, Adriana Raquel 11
  12. 12. 3.3 Multiplicación de complejos: Dados los complejos z1= (a; b) y z2 = (c; d), se define: z1 . z2 = (a; b).(c; d) = (a.c- b.d; a.d+b.c)PROPIEDADES:Ley de composición interna: ∀ z 1 , ∀ z 2 ∈ C : (z 1 • z 2 ) ∈ CConmutatividad: ∀ z1 , ∀ z2 ∈ C : z1 • z2 = z 2 • z1Existencia de elemento neutro: ∀z = (a; b) ∈ C, ∃ e = (1;0) ∈ C / z • e = e • z = zExistencia de elemento inverso:∀z = (a; b) ≠ 0 ∈ C, ∃ z ∈ C / z • z = z•z = e = (1;0)Asociativa: ∀z1, ∀z 2 , ∀z3 ∈ C : (z1 • z 2 ) • z3 = z1 • (z 2 • z3 ) Ejercicio: ⎛ a −b ⎞Verificar que el inverso multiplicativo de z = (a;b) ≠ 0 es z’ = ⎜ 2 ; 2 2 ⎟ ⎝a +b a +b ⎠ 23.4. PotenciaciónLa potenciación de un número complejo con potencia natural, se resuelve comouna multiplicación reiterada: n nz = (a; b) = (a;b) • (a;b) • ... • (a;b) asociando de a dos los pares ordenados. 1444 24444 4 3 n veces Ejemplo 1: 1Calcular : z = 2. ( 2 ;−1) + ( −2;3).(0;−1)Lic. Fauroux, Adriana Raquel 12
  13. 13. 1 ( )z = 2. ( 2 ;−1) + ( −2;3).(0;−1) = 2. 1 ; 2.( −1) + (-2.0 − 3.( −1); − 2.( −1) + 3.0 ) = 2 = (1;-2)+(0+3;2+0) = (1;-2)+(3;2) = (1+3;-2+2) = (4;0) ⇒ z =(4;0)Observar que el resultado es un complejo real puro. Ejemplo 2:Calcular z = (2; -1)3Z = (2; -1)3 = (2; -1)2 .(2; -1) = [(2; -1).(2; -1)].(2; -1) = = [(2.2-(-1).(-1); 2.(-1)+(-1).2)].(2; -1) = = (4-1; -2-2).(2; -1) = (3; -4).(2; -1) = [3.2 - (-4).(-1); 3.(-1)+(-4).2]= = (6 - 4; -3 - 8) = (2; -11) ⇒ z =(2;-11)Indice4, ISOMORFISMO ENTRE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOSREALES PUROS Y LOS NÚMEROS REALES.Existe una función biyectiva F: CR → R denominada isomorfismo entre elconjunto CR (conjunto de los números reales puros) y R (conjunto de los númerosreales), de manera tal que F (a; 0) = a ( Ι ) ( volver a forma binómica)Sean los complejos :z1 = (a; 0) y z2 = (b; 0) se debe verificar que :a) F (z1 + z2) = F(z1) +F (z2)b) F (z1.z2) = F (z1) .F (z2)D)a) F (z1 + z2) = F [(a; 0)+(b; 0)] = F (a+b; 0) = a+b por ( Ι ) = F (z1)+ F (z2 )b) F (z1 . z2) = F[(a; 0).(b; 0)]= F[(a.b - 0; a.0+b.0)]= f (a.b;0) = a.b por ( Ι ) = F (z1).F (z2 )Lic. Fauroux, Adriana Raquel 13
  14. 14. Ejemplo:Calcular el producto entre un número complejo z=(a;b) cualquiera y su conjugado.z. z = (a; b).(a;-b) = (a.a -b.(-b); a.(-b)+b.a) = (a2 + b2 ; 0) = a2 +b2 por definicióndel isomorfismo entre CR y R.De acuerdo al resultado obtenido se enuncia la siguiente propiedad: El producto entre un complejo y su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de sus respectivas partes reales y partes imaginarias.Indice volver a división5. UNIDAD IMAGINARIADefinición 7: La unidad imaginaria, es el número complejo imaginario puro (0;1) y se lo representa con la letra i o j. Ejemplo : Verificar que i2 = -1.i2 = (0;1)2 = (0;1).(0;1)= (0 -1;0+0) = (-1;0) = -1 por el isomorfismo entre CR y R.5.1 Potencias sucesivas de la unidad imaginaria.Se calculan algunas potencias n ∈ N0 de la unidad imaginaria i: 4 4 4i0 =1 i = i2.i2 = 1 i8 = i .i = 1 4i1 = i i5 = i. i = i …i2 =-1 i6 = (i2)3 =-1i3 = i . i2 = -i i7 = i .i6 = -iSe observa que, cada cuatro potencias sucesivas de la unidad imaginaria serepiten las soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n∈ N0 cualquiera, se puede proceder de la siguiente manera:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 14
  15. 15. n 4 Tal que n = 4.c+r r c siendo r ∈ {0;1;2;3} ,posibles restos de la división por 4. nLuego i = i (4.c+ r) =i 4.c r .i = i 4( ) c .i r = 1c.i r = i r 163 Ejemplo: Calcular i 163 4 3 40 Luego, i 163 = i 3= - iIndice6. FORMA BINÓMICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOSDado el número complejo z = (a;b) cualquiera, se lo puede escribir:z = (a; b) = (a; 0)+(0; b) por definición de adición. = (a; 0) +b.(0;1) por producto de un escalar por un complejo. = a+b.i por el Isomorfismo entre CR y R y por definición de la unidad imaginaria.Por lo tanto, la forma binómica de un complejo z = (a; b) es z = a + b.i Ejemplo1:Dado el complejo z = (2; -7) su forma binómica es z = 2 - 7.i , su opuesto es-z = -2 +7.i y su conjugado es z = 2+7.i. Ejemplo 2: Dado el complejo z = 3-2i hallar su parte real, su parteimaginaria y su conjugado empleando el programa Matemática.In[2]:= Re[3-2I]Lic. Fauroux, Adriana Raquel 15
  16. 16. Out[2]= 3In[3]:= Im[3-2I]Out[3]= -2In[4]:= Conjugate[3-2I]Out[4]= 3+2i6.1 Operaciones en forma binómicaSean los complejos z1= a + b.i y z2 = c + d.i1) Adición: z1+ z2 = (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d). i2) Producto por un escalar : ∀α ∈ R : α .z1 = α .(a + b.i) = α .a + α .b.i3) Multiplicación: z1.z2 = (a + b.i) . (c + d.i) = (a.c – b.d) + (a.d + b.c).i . Ejemplo: Verificar la definición de multiplicación operando entre loscomplejos como binomios cualesquiera:z1.z2 = (a + b.i) . (c + d.i)= a.c+ a.d.i +b.c.i +b.d.i 2 = a.c + (a.d+b.c).i – b.d = = (a.c – b.d) + (a.d + b.c).i . z1 z1 z 24) División: si z2 ≠ 0 ⇒ = . Al multiplicar el denominador por el conjugado z2 z2 z2de z2 , de acuerdo a la propiedad del producto de un complejo por su conjugado(ver propiedad) , queda la fracción dividida por un número real. 1 Ejemplo 1: Si z1 = − i ; z2 =-2+3i ; z3 = - i. Calcular: 2. z1+ z2 . z3 2 ⎛1 ⎞ 22. z1+ z2 . z3 = 2. ⎜ − i ⎟ + (-2+3i) . (-i) = 1-2.i +2.i -3.i = 1-3.(-1)= 1+3 = 4 ⎝2 ⎠⇒ 2. z1+ z2 . z3=4Lic. Fauroux, Adriana Raquel 16
  17. 17. Ejemplo 2: Efectuar el ejercicio anterior empleando el programaMatemática. 1In[2]:=z1= -I;z2=-2+3I;z3=-I 2In[3]:=2*z1+z2*z3Out[3]= 4 (1 − 2.i)2 .( −1 + i) Ejemplo 3: Calcular z = 1 + 2.iEl complejo elevado al cuadrado se lo desarrolla como un binomio polinómicoelevado al cuadrado. (1 − 2.i)2 .( −1 + i) (1 − 4.i + 4.i2 ).( −1 + i) (1 − 4.i − 4 ).( −1 + i) (-3 − 4.i) .( −1 + i)z= = = = 1 + 2.i 1 + 2.i 1 + 2.i 1 + 2.i (3 − 3.i + 4..i − 4.i2 ) (3 − 3.i + 4..i + 4. ) (7 + .i ) 7 + .i 1- 2.i = = = = . = 1 + 2.i 1 + 2.i 1 + 2.i 1 + 2.i 1- 2.i 7 − 14.i + i − 2.i2 7 − 14.i + i + 2 9 − 13.i 9 13 = = = = − .i 12 − (2.i)2 1+ 4 5 5 5 (1 − 2.i)2 .( −1 + i) 9 13 ⇒ z= = − .i 1 + 2.i 5 5 Ejemplo 4: Efectuar el cálculo anterior empleando el programaMatemática.In[2]:= ((1-2I)^2*(-1+I))/(1+2I) 9 13Out[2]= − i Indice 5 5Lic. Fauroux, Adriana Raquel 17
  18. 18. 7. PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.Dados los complejos z = a + b.i y w = c + d.iPropiedad 1: z=zEl conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo complejo:D) z = (a + b.i) = a − b.i = a + b.i = zPropiedad 2:La adición de dos complejos conjugados es igual al duplo de la parte real: z+ z =2.Re(z)D) z+ z = (a + b.i) + (a - b.i) = 2.a = 2.Re(z)Propiedad 3:El producto de un complejo por su conjugado es un número real: (z. z ) ∈ RObservación: esta propiedad fue demostrada en producto de complejos.Propiedad 4:Un número complejo es real, si y sólo si es igual a su conjugado: z∈ R ⇔ z = zD)Condición necesaria : z ∈ R ⇒ z = zSi z ∈ R ⇒ z = a + 0.i ⇒ z = a por el isomorfismo entre R y CR ⇒ z = a ⇒ z = zLic. Fauroux, Adriana Raquel 18
  19. 19. Condición suficiente : z = z ⇒ z ∈ RSi z = z ⇒ a + b.i = a - b.i ⇒ b.i = - b.i ⇒ b = 0 ⇒ z = a ⇒ z ∈ R.Propiedad 5:El conjugado de una adición de complejos es igual a la adición de losrespectivos conjugados: z+w =z+wD) z + w = (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i = (a + c) − (b + d).i = a + c − b.i − d.i = = (a − b.i) + (c − d.i) = z + wPropiedad 6:El conjugado del producto de un escalar por un complejo es igual, alproducto del escalar por el conjugado del número complejo: α .z = α .zD)α .z = α .(a + b.i) = α .a + α .b.i = α .a − α .b.i = α .(a − b.i) = α .zPropiedad 7:El conjugado de una multiplicación de complejos es igual a la multiplicaciónde los respectivos conjugados: z.w = z.wD) z.w = (a + b.i).(c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i − b.d = (a.c − b.d) + (a.d + b.c).i = = (a.c − b.d) − (a.d + b.c).i = a.c − b.d − a.d.i − b.c.i = (a.c − a.d.i) − (b.d + b.c.i) = = a.(c − d.i) − b.(d + c.i) = a.(c − d.i) − b.i(c − d.i) = (a − b.i).(c − d.i) = z . wLic. Fauroux, Adriana Raquel 19
  20. 20. Propiedad 8:El inverso del conjugado es igual al conjugado del inverso del complejodado (z ) −1 = z −1D) z( ) = (a + b.i) −1 −1 = (a − b.i) = −1 1 = 1 . a + b.i a + b.i = a − b.i a − b.i a + b.i a2 + b2 = a b a b ⎛ a − b.i ⎞ ⎛ a − b.i ⎞= + 2 .i = 2 − 2 .i = ⎜ 2 2 ⎟ =⎜ ⎜ (a − b.i).(a + b.i) ⎟ = ⎟ a +b a +b a +b a +b ⎝a +b ⎠ ⎝ 2 2 2 2 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ −1=⎜ ⎟=⎜ ⎟=z ⎝ a + b.i ⎠ ⎝ z ⎠Propiedad 9:El conjugado de una división entre números complejos, es igual a ladivisión de los respectivos conjugados del numerador y del denominador.Sea w no nulo : ⎛z⎞ z ⎜ ⎟= ⎝w⎠ w ⎛ z ⎞ ⎛ 1⎞D) ⎜ ⎟ = ⎜ z . ⎟ = z . w −1 = z . w −1 por propiedad 7 ⎝w⎠ ⎝ w⎠ ( ) = z .. w −1 = z. 1 z = w wIndice8. MÓDULO DE UN COMPLEJO b zDado el complejo z = (a; b)El módulo del vector oz se representa con oz = z = ρ . θ 0 aPara calcularlo se emplea el teorema de Pitágoras en elLic. Fauroux, Adriana Raquel 20
  21. 21. Δ 2triángulo: oaz : z = ρ 2= a2+ b2 luego: 2 z =ρ = a 2 + b2Definición 8: El módulo de un complejo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria. Ejemplo 1: Calcular el módulo de los siguientes complejos.z1 = -1+2.i ⇒ z1 = ( −1)2 + 22 = 1 + 4 = 5 ⇒ − 1 + 2.i = 5z2 = -5.i ⇒ z2 = 0 − 5.i ⇒ z2 = 02 + ( −5)2 = 25 = 5 ⇒ − 5.i = 5 Ejemplo 2: Calcular los módulos de los complejos del ejercicioanterior empleando el programa Mathematica. • z1 = -1+2.iIn[2]:= Abs[-1+2I]Out[2]= 5 • z2 = -5.iIn[3]:= Abs[-5I]Out[3]= 58.1 Propiedades del módulo de un complejoDados los complejos z = a + b.i y w = c + d.iPropiedad1El módulo de todo complejo es mayor o igual que su parte real. z ≥ Re(z)Lic. Fauroux, Adriana Raquel 21
  22. 22. D) 2 2 2 2∀a ∈ R : a = a 2 ⇒ a ≤ a 2 + b 2 ⇒ a ≤ z ⇒ a ≤ z ⇒ a ≤ a ≤ z ⇒ Re(z) ≤ zPropiedad 2:El módulo de todo complejo es mayor o igual que su parte imaginaria. z ≥ Im(z)D) 2 2 2 2∀b ∈ R : b = b 2 ⇒ b ≤ a 2 + b 2 ⇒ b ≤ z ⇒ b ≤ z ⇒ b ≤ b ≤ z ⇒ Im(z) ≤ zPropiedad 3:El producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado de sumódulo. 2 z.z = z 2D) z.z = (a + b.i).(a − b.i) = a2 − (b.i)2 = a2 + b2 = zPropiedad 4:El módulo del producto de dos números complejos es igual al producto desus módulos. z.w = z . wD) Por la propiedad 3: 2 2 2 z.w = (z.w).( z.w) = z .w. z . w = z.z .w.w = z . wSimplificando cuadrados del primer y último miembro: z.w = z . wLic. Fauroux, Adriana Raquel 22
  23. 23. Propiedad 5:El módulo de la suma de dos complejos es menor o igual que la suma delos módulos. z+w ≤ z + w __D) z+w 2 . . __ _ __ . . ___ __ = (z + w) (z + w) = (z + w) ( z + w) = z z + z w + w z + w w = . . + z. w + w. z + w + z . w + w. z + w = z + z .w + w. z + w 2 __ _ 2 2 = _ _ 2 2 __ _ 2= z = zlos términos centrales son complejos conjugados y su suma es el duplo de la parte real, es decir :______ ________ . _ __ . _ . _z w + w z = z w + z .w = 2.Re( z .w) reemplazando : 2 2 _ 2z + w = z + 2.Re( z .w) + w (I) _ _por la propiedad 1 , Re( z .w) ≤ z .w ⇒ 2.Re( z .w) ≤ 2. z .w = 2. z . w = 2. z . w _luego : 2.Re( z . w) ≤ 2. z . w (II) sumando miembro a miembro (I) y (II) : 2 _ 2 _ 2 _z + w + 2.Re( z .w) ≤ z + 2.Re( z .w) + w + 2. z . w cancelando 2.Re( z .w) ⇒ 2 2 2 2z + w ≤ z + w + 2. z . w ⇒ z + w ≤ ( z + w )2 simplificando cuadrados :z+w ≤ z + wPropiedad 6:El módulo de una potencia de exponente natural es igual a la potencia delmódulo. n zn = zD) zn = z.z.....z = z . z .... z = z n n vecesIndiceLic. Fauroux, Adriana Raquel 23
  24. 24. 9. ARGUMENTO DE UN COMPLEJOEl ángulo determinado entre el semieje positivo de abscisas y el vector oz sedenomina argumento. Cuando el argumento está comprendido dentro del primergiro se lo llama argumento principal representándolo θ . Conocidos los valores bde la parte real e imaginaria de un complejo, resulta que: tg θ = luego a b z =(a;b) b θ θ = arc tg a 0 aConocido el argumento principal, existen infinitos ángulos congruentes con él ytodos difieren en giros completos, es decir en 2.k. π con k entero. Luego: θ = θ + 2.kπ Con k entero.Para facilitar el cálculo del argumento cuando se realiza en forma manual, setiene presente que si α ∈ 1º Cuad., los ángulos equivalentes en los restantescuadrantes cuyas funciones trigonométricas se mantienen invariantes se obtienenhaciendo: 2º Cuad. : π − αequivalente en 3º Cuad. : π + α 4º Cuad : 2.π − α Ejemplo 1: Hallar los argumentos de los siguientes complejo 3 s:z1= -3+3. 3 .i ; z2 = -1- i ; z3 = 3 - i ; z4 = 3 ; z5 = 3.i ; z6 = -3 ; z7 = -3.i • z1= -3+3. 3 .i ∈ 2º Cuad⇒ θ1 = arc tg 3 3 −3 ( π ) π = arc tg − 3 = π − = 2 ⇒ θ1 = 2 3 3 π 3 • z2 = -1- i ∈ 3º CuadLic. Fauroux, Adriana Raquel 24
  25. 25. −1 π π π⇒ θ 2 = arc tg = arc tg 1 = π + = 5 ⇒ θ 2 = 5 −1 4 4 4 • z3= 3 - i ∈ 4º Cuad • −1 π π⇒ θ3 = arc tg = 2π − = 11 ⇒ θ 3 = 11 π 3 6 6 6Cuando el complejo pertenece al eje real o al eje imaginario, el cálculo delargumento se facilita “observando” el ángulo formado entre el semieje realpositivo y el vector posición del complejo: • z4=3 Im El semieje positivo real determina con el vector posición de z4 un ángulo de 0 grado 3 Re ⇒ θ4 = 0 • z5= 3.i Im El semieje positivo real determina con el 3 vector posición de z5 un ángulo de 90 Re π grados. ⇒ θ 5 = 2 • z6= -3 Im El semieje positivo real determina con el vector posición de z6 un ángulo de 180º -3 Re ⇒ θ6 = π • z7= -3.i Im El semieje positivo real determina con el vector posición de z7 un ángulo de 270º Re π -3 ⇒ θ7 = 3 2Lic. Fauroux, Adriana Raquel 25
  26. 26. Ejemplo 2: Calcular los argumentos de los complejos del ejercicio 1empleando el programa Matemática.z1= -3+3. 3 .i ; z2 = -1- i ; z3 = 3 - i ; z4 = 3 ; • z1= -3+3. 3 .iIn[2]:= Arg[-3+3 3 I] πOut[2]= 2 3 • z2 = -1- iIn[3]:=Arg[-1-I] πOut[3]= 5 4 • z3 = 3- iIn[4]:=Arg[ 3 -I] πOut[4]= 11 6 • z4 = 3In[5]:=Arg[3]Out[5]= 0 • z5 = 3.iIn[6]:=Arg[3I] πOut[6]= 2 • z6 = -3In[7]:=Arg[-3]Out[7]= π • z7 = -3.iLic. Fauroux, Adriana Raquel 26
  27. 27. In[8]:=Arg[-3I] πOut[8]= 3 2Indice10. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJODado el complejo z = (a; b) = a+ b.i, de acuerdo a la figura: Im b z a cos θ = ⇒ a = ρ .cos θ (Ι ) ρ θ a Re b sen θ = ⇒ b = ρ .sen θ (ΙΙ ) ρReemplazando (I) y (II) en la forma binómica de z:z= ρ .cos θ + i.ρ .sen θ = ρ (cos θ + i.sen θ ) z = ρ (cos θ + i.sen θ ) ⇒ Forma trigonométricaPara facilitar el trabajo en forma trigonométrica conviene tener presente losiguiente:a) Signo de las funciones (seno, coseno, tangente) en los distintoscuadrantes:cuadrante Funciones positivas I Todas II seno III tangente IV cosenob) Reducción de un ángulo al 1º cuadrante: β ∈ 2º Cuad. : π − βSi γ ∈ 3º Cuad : γ − π δ ∈ 4º Cuad : 2.π - δLic. Fauroux, Adriana Raquel 27
  28. 28. Observación: Hay autores que a la forma trigonométrica la llaman tambiénforma polar, otros en cambio a la escritura z = ρ θ = ( ρ ; θ ) la denominanexpresión polar. Ejemplo 1: Hallar la expresión trigonométrica de z = - 2 + 2 .iz = ( 2 )2 + ( 2 )2 = 2+2 = 2 2 πθ = arc tg = arc tg( −1) = 3 − 2 4 ⎛ π π⎞⇒ z = 2.⎜ cos 3 + i.sen 3 ⎟ ⎝ 4 4⎠ Ejemplo 2: Calcular la forma trigonométrica de z = - 2 + 2 .iempleando el programa Matemática.In[2]:=tri[z_]:=(u=Abs[z];v=Arg[z];Print[u,”(cos”,v,”+isen”,v,”)”])In [3]:= tri[- 2 + 2 I] π πOut[3]= 2(cos3 +isen3 ) 4 4 Ejemplo 3: Hallar la expresión binómica de ⎛ π π⎞z = 3. ⎜ cos3 + i.sen3 ⎟ ⎝ 4 4⎠El argumento representa a un ángulo de 135º con lo cual z ∈ 2º Cuad., luego elcoseno resulta negativo y el seno positivo, siendo el ángulo equivalente en el 1º πCuad. . Entonces: 4Lic. Fauroux, Adriana Raquel 28
  29. 29. ⎛ π π⎞ ⎛ π π⎞ ⎛ 2 2⎞z = 3. ⎜ cos3 + i.sen3 ⎟ =3. ⎜ - cos + i.sen ⎟ = 3. ⎜ − ⎜ 2 +i ⎟= ⎝ 4 4⎠ ⎝ 4 4⎠ ⎝ 2 ⎟ ⎠ 2 2 2 2=−3 + i.3 ⇒ z= − 3 + i.3 2 2 2 2Observación: Los resultados trigonométricos se pueden obtener directamenteempleando una máquina de calcular. Ejemplo 4: Realizar el ejercicio anterior empleando el programaMatemática. ⎛ ⎡ 3Pi ⎤ ⎡ 3Pi ⎤ ⎞In[17]:=3* ⎜ Cos⎢ ⎜ ⎥ + Sin⎢ 4 ⎥I⎟ ⎟ ⎝ ⎣ 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ 3 − 3iOut[17]= - 210.1. Igualdad de complejos en forma trigonométricaSean los complejos z1 = ρ1.(cos θ1 + i.sen θ1) y z2 = ρ2.(cos θ2 + i.sen θ2 ) resulta: z1= z2 ⇔ ρ1 = ρ2 ∧ θ1 = θ 210.2. Operaciones en forma trigonométrica 10.2.1 .Multiplicación:El producto de dos complejos en forma trigonométrica es igual a otro complejo enforma trigonométrica, cuyo módulo es igual al producto de los módulos y suargumento es igual a la suma de los argumentos de los complejos dados. .H) z1 = ρ1 (cosθ1 + i.sen θ1) T) z1.z2 = ρ1.ρ 2 .[cos (θ1 + θ 2 ) + i.sen (θ1 + θ 2 ) ] . z2 = ρ 2 (cos θ 2 + i. sen θ 2 ) . .D) z1.z2 = ρ1 (cosθ1 + i. sen θ1) . ρ 2 (cos θ 2 + i. sen θ 2 ) = . = ρ1.ρ 2 (cosθ1.cosθ 2 + i.cosθ1. sen θ 2 + i.sen θ1.cosθ 2 − senθ1.sen θ 2 ) . = ρ1.ρ 2 [cosθ1.cosθ 2 − sen θ1.sen θ 2 + i.(sen θ1.cosθ 2 + cosθ1.sen θ 2 ) ]Lic. Fauroux, Adriana Raquel 29
  30. 30. En el corchete, la parte real es el desarrollo del coseno de la suma de dosángulos, es decir cos ( θ1 + θ 2 ) y la parte imaginaria es el desarrollo del seno de lasuma de dos ángulos: sen( θ1 + θ 2 ). Reemplazando: z1.z2 = ρ1.ρ 2 .[cos (θ1 + θ 2 ) + i.sen (θ1 + θ 2 ) ] 10.2.2. División:La división entre dos complejos en forma trigonométrica es igual a otro complejoen forma trigonométrica cuyo módulo es igual al cociente de los módulos y suargumento es igual a la diferencia de los argumentos de los complejos dados. .H) z1 = ρ1 (cosθ1 + i.sen θ1) . z2 = ρ 2 (cos θ 2 + i. sen θ 2 ) no nulo. z1 ρ1T) z2 = ρ2 . [cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) ] z1 ρ .(cos θ1 + i.sen θ1) (cos θ2 − i.sen θ 2 )D) = 1 . = z2 ρ2 .(cos θ2 + i.sen θ 2 ) (cos θ2 − i.sen θ 2 ) ρ1 (cosθ1.cosθ2 − i.cosθ1.senθ2 + i.senθ1.cosθ2 − i2 senθ1.senθ2 ) = . ρ2 cos2θ 2 + sen2θ2En el denominador se aplicó la propiedad de producto de un complejo por suconjugado y por la relación pitagórica trigonométrica resulta cos 2θ 2 + sen 2θ 2 =1.z1 ρ1 = . (cosθ1.cosθ 2 − i.cosθ1.sen θ 2 + i.sen θ1.cosθ 2 + sen θ1.sen θ 2 )z2 ρ2z1 ρ1 = .[ (cosθ1.cosθ 2 + senθ1.senθ + i.(sen θ1.cosθ 2 − cosθ1.sen θ 2 ) ]z2 ρ2En el corchete, la parte real es el desarrollo del coseno de la diferencia de dosángulos, es decir cos ( θ1 − θ 2 ) y la parte imaginaria es el desarrollo del seno de ladiferencia de dos ángulos: sen( θ1 − θ 2 ). Reemplazando: z1 ρ1 z2 = ρ2 . [cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) ]Lic. Fauroux, Adriana Raquel 30
  31. 31. 10.2.3. Potenciación . Fórmula de De Moivre. . n .Dado z = ρ (cosθ + i. sen θ ) si n ∈ N, resulta: z =[ ρ (cosθ + i.sen θ ) ] n pero n nz = z.z23 , es decir, calcular z es lo mismo que multiplicar a z por sí mismo n 1 .....z 4 4 n vecesveces, luego de acuerdo a la multiplicación de complejos en forma trigonométrica,se debe multiplicar su módulo n veces y sumar n veces su argumento: n . n .z = [ ρ (cosθ + i.sen θ ) ] = ρ .ρ ....ρ [cos (θ + θ + ... + θ ) + i.sen (θ + θ + ... + θ ) z n = ρ n (cos n.θ + i.sen n.θ ) Fórmula de De MoivreSe analiza que sucede cuando la potencia es nula o entera negativa. • Si n = 0, reemplazando en la fórmula: 0 0 . .z = ρ (cos 0. θ +i.sen 0. θ ) = 1 (cos 0 + i.sen 0) = 1 (1 + i.0) = 1 , solución queverifica el primer miembro. • Si la potencia es un número entero negativo se puede escribir: n = - k con k natural, reemplazando en la fórmula de De Moivre: -k -kz = ρ [(cos (-k. θ )+i.sen(-k. θ )] por relaciones trigonométricas del ángulo -k -kopuesto queda z = ρ [(cos (k. θ ) - i.sen(k. θ )]Luego la fórmula de De Moivre puede aplicarse a cualquier potencia entera. Ejemplo 1:Siendo z1=1+ i y z2 = -6, calcular a) z1 . z2Lic. Fauroux, Adriana Raquel 31
  32. 32. z10 1 b) . z2Se calculan primero las expresiones trigonométricas de cada complejo: ⎧ z = ρ = 12 + 12 = 2 ⎧ z = ρ = ( −6)2 = 6 ⎪ 1 1 ⎪z1 = 1+ i ⇒ ⎨ π z2 = −6 ⇒ ⎨ 2 2 ⎪ θ 1 = arc tg 1 = ⎪ ⎩ θ2 = π ⎩ 4 ⎡ ⎛ π π ⎞⎤a) z1.z2 = ⎢ 2 ⎜ cos + i.sen ⎟⎥.[6.(cos π + i.sen π )] = ⎣ ⎝ 4 4 ⎠⎦ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎡ π π⎤= 6. 2 ⎢cos⎜ + π ⎟ + i.sen⎜ + π ⎟⎥ = 6. 2 ⎢cos 5. + i.sen 5. ⎥ = ⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ 4 4⎦ ⎡ π π⎤ ⎡ 2 2⎤ 6.( 2 )2 6.( 2 )2= 6. 2 ⎢- cos − i.sen ⎥ = 6. 2 ⎢− − i. ⎥ =− − i. = −6 − 6.i ⎣ 4 4⎦ ⎣ 2 2 ⎦ 2 2⇒ z1.z2 = -6 - 6.i 10 ⎡ π π⎤ 10 ⎛ π π⎞ 10 z1 ⎢ 2 (cos 4 + i. sen 4 ⎥ 2 ⎜ cos 10. 4 + i. sen10. 4 ⎟ b) =⎣ ⎦ = ⎝ ⎠= z2 6.(cos π + i. sen π) 6.(cos π + i. sen π) ⎛ π π⎞ 25 ⎜ cos 5 + i. sen5 ⎟ 2 2 ⎠ 32 ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ = ⎝ = .⎢cos ⎜ 5 − π ⎟ + i. sen ⎜ 5 − π ⎟⎥ = 6.(cos π + i. sen π) 6 ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ 16 ⎛ π π ⎞ 16 16 = .⎜ cos 3 + i. sen 3 ⎟ = (0 − i) = − i 3 ⎝ 2 2⎠ 3 3 z10 1 16⇒ =− .i z2 3 Ejemplo 2:Realizar el ejercicio anterior empleando el programa Mathemática.Lic. Fauroux, Adriana Raquel 32
  33. 33. In[2]:=tri[z_]:=(u=Abs[z];v=Arg[z];Print[u,”(cos”,v,”+isen”,v,”)”])In[3]:=z1=1+I;z2=-6;In[4]:=tri[z1*z2] 3 30ut[4]= 6 2(cos − + isen − ) 4 4Observar que el argumento aparece como un ángulo negativo. ⎛ ⎡ 3Pi ⎤ ⎡ 3Pi ⎤ ⎞In[5]:=6 2⎜ Cos⎢− ⎜ ⎥ + Sin⎢ 4 ⎥I⎟ ⎟ ⎝ ⎣ 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎠Out[5]=-6-6i10.2.4. Radicación: .Dado el complejo z = ρ (cosθ + i. sen θ ) ≠ 0 se quiere calcular:n . z = w = r (cos δ + i. sen δ ) (I )Luego si n z = w ⇒ z = w n , reemplazando “z” y “w”queda : . . ρ (cosθ + i. sen θ ) = [ r (cos δ + i. sen δ ) ] nSe aplica en el segundo miembro la fórmula De Moivre: . .ρ (cosθ + i. sen θ ) = r n [cos( n.δ ) + i. sen( n.δ ) ]. Por igualdad de complejos enforma trigonométrica se tiene que: ρ = rn ⇒ r = n ρ θ + 2.k .π reemplazando r y δ en (Ι) θ + 2k π . = n.δ ⇒ δ = n n . z = n ρ (cos θ + 2.k .π n + i. sen θ + 2.k .π n ) con k = 0;1;2;...; (n-1)El número de soluciones complejas de n z es “n”, por este motivo al argumentoprincipal se le suman giros completos, los cuales están limitados por los valoresque toma la variable “k” que es la que representa el número de giros completos.Si “k” toma valores superiores a (n-1), los argumentos que se van obteniendoresultan coincidentes con los hallados para valores inferiores o iguales a (n-1).Lic. Fauroux, Adriana Raquel 33
  34. 34. En efecto: θ + 2.k.πEn la expresión se reemplaza “k” por 0;1;2;.... y se comparan con los nobtenidos de reemplazar “k” por n; n+1; n+2;...... θ + 2.0.π θ k=0 ⇒ = se compara con el argumento n n obtenido para k = n: θ + 2.n.π θ 2.n.π θ θ ⇒ = + = + 2.π = n n n n n θ + 2.1.π θ 2..π k = 1⇒ ⇒ = + se compara con el argumento n n n obtenido para k = n+1: θ + 2.(n + 1).π θ + 2.n.π + 2.π θ 2.n.π 2.π θ 2.π θ 2.π ⇒ = = + + = + 2.π + = + n n n n n n n n n θ + 2.2.π θ + 4.π θ 4.π k=2 ⇒ = = + se compara con el argumento n n n n obtenido para k = n+2: θ + 2.(n + 2).π θ + 2.n.π + 2.2.π θ 2.n.π 4.π θ 4.π θ 4.π⇒ = = + + = + 2.π + = + n n n n n n n n nEn cada una de las comparaciones anteriores se observa la repetición del valordel argumento.Por otro lado se pueden hallar los argumentos para k = 1; 2; ...; (n-1) en funcióndel obtenido para k = 0 pues a partir del primer argumento obtenido para k = 0 los πdemás argumentos forman una progresión aritmética de razón 2. . En efecto: n π • Si al argumento hallado para k = 0 se le suma 2. , se obtiene el calculado n para k =1. π • Si al argumento hallado para k = 1 se le suma 2. , se obtiene el n calculado para k =2 .Lic. Fauroux, Adriana Raquel 34
  35. 35. Las soluciones de la raíz n-sima de un complejo representan gráficamentelos vértices de un polígono regular inscripto en una circunferencia que tieneel centro en el origen de coordenadas y su radio es r =. n ρObservación: para el caso especial de n=2, se puede trabajar el complejo enforma binómica. Ver Apéndice Raíz cuadrada.Cuando se quiere calcular las raíces n-simas de un complejo real puro, seencierra al número con doble paréntesis para diferenciar el comportamiento delcomplejo real puro del número real.Si z ∈ CR ⇒ se escribe n ((z)) Ejemplo 1 : Hallar todas las soluciones de la ecuación : x3 + 27= 0.x3 + 27= 0 ⇒ x = 3 ((−27)) de esta forma –27 no es considerado como un númeroreal sino como un complejo. Luego z = -27 ⇒ z = 27 y θ = π , reemplazando en lafórmula de radicación:3 . ((-27)) = 3 27 (cos π + 2.k.π 3 + i.sen π + 2.k.π 3 ) con k = 0;1;2.A cada una de las soluciones de la raíz se la designa con w k. ⎛ π + 2.0.π π + 2.0.π ⎞ ⎛ π π⎞ ⎛1 3 ⎞k= 0 ⇒ w0 = 3. ⎜ cos + i.sen ⎟ = 3.⎜ cos + i.sen ⎟ = 3.⎜ + ⎟ ⎜ 2 2 .i⎟ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ ⎠ 3 3. 3 ⇒ w0 = + .i 2 2k =1 ⇒ ⎛ π + 2.1.π π + 2.1.π ⎞ ⎛ 3.π 3.π ⎞w1 = 3. ⎜ cos + i.sen ⎟ = 3.⎜ cos + i.sen ⎟ = 3.(cosπ + i.senπ ) = ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ = 3.(− 1 + 0.i) ⇒ w1 = -3k =2 ⇒ ⎛ π + 2.2.π π + 2.2.π ⎞ ⎛ 5.π 5.π ⎞ ⎛1 3 ⎞w 2 = 3. ⎜ cos + i.sen ⎟ = 3.⎜ cos + i.sen ⎟ = 3.⎜ − ⎟ ⎜ 2 2 .i ⎟ = ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ ⎠Lic. Fauroux, Adriana Raquel 35
  36. 36. 3 3. 3⇒ w2 = − .i 2 2 Ejemplo 2: Calcular las soluciones de x3 + 27= 0 empleando elprograma Matemática.In[2]:= raiz[n_,z_]:= (For[k=0<n,k=k+1, Print[“z”,k+1,”=”,Abs[z]^(1/n),”(cos”, (Arg[z]+2*k*Pi)/n,”+isen”;(Arg[z]+2*k*Pi)/n, ”)”]])In[3]:=raiz[3,-27]Out[3]= ⎛ π π⎞z1 = 3 ⎜ cos + isen ⎟ ⎝ 3 3⎠z2 = 3 (cosπ + i senπ ) ⎛ 5π 5π ⎞z3 = 3 ⎜ cos + i sen ⎟ ⎝ 3 3 ⎠Se pueden obtener las soluciones como una lista:In[4]:= u=Solve[z^3= =-27]Out[4]= ⎧ z , ⎧ 3 ( ⎫ ⎧ ) ( ⎫⎫ ⎨{ − > −3} ⎨z− > 1 − i 3 ⎬,⎨z− > 1 + i 3 ⎬⎬ 3 ) ⎩ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭⎭Se calculan los valores aproximados de la lista:In[5]:=N[%]Out[5]={{N(z− > −3),{N(z− > 1.5 − 2.59808i),{N(z− > 1.5 + 2.59808i)} } } }Gráficamente:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 36
  37. 37. In[6]:=Graf[3,-27]=(u=N[Solve[z^3= =-27]]; ListPlot[Table[{Re[z]/.u[[k]],Im[z]/.u[[k]]}, {k,1,3}],PlotStyle->PointSize[0.02], AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{“Re”,”Im”}])Con esta sentencia se obtienen los afijos de cada una de las soluciones dela raízObservación: a la sentencia anterior se le puede agregar el comando Print conel cual se obtienen las soluciones de la ecuación:In[7]:=Graf[3,-27]=(u=N[Solve[z^3= =-27]]; ListPlot[Table[{Re[z]/.u[[k]],Im[z]/.u[[k]]}, {k,1,3}],PlotStyle->PointSize[0.02], AspectRatio->Automatic, AxesLabel->{“Re”,”Im”}];Print[u])Se obtiene el gráfico y la siguiente lista:{{N(z− > −3),{N(z− > 1.5 − 2.59808i),{N(z− > 1.5 + 2.59808i)} } } }Para graficar la circunferencia que inscribe a las soluciones de la raíz, esnecesario abrir el paquete Graphics`ImplicitPlot`In[8]:=<<Graphics`ImplicitPlot`In[9]:=ImplicitPlot[x^2+y^2==9,{x,-3,3},AxesLabel {”Re”,”Im”},PlotSyle->{Dashing[{0.15,0.05}],RGBColor[1,0,0]}]Para que las soluciones de la raíz y la circunferencia que las contiene, quedenrepresentadas en un solo gráfico, se escribe.In[10]:=Show[%6,%9]Lic. Fauroux, Adriana Raquel 37
  38. 38. En este caso queda determinado un triángulo equilátero inscripto en uncircunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 3 ρ = 3 27 =3. Ejemplo 3: Empleando el programa Mathematica resolver y graficar 4las soluciones de la ecuación z = 1+i .In[2]:=Graf[4,1+I]=(u=N[Solve[z^4= =1+I]]; ListPlot[Table[{Re[z]/.u[[k]],Im[z]/.u[[k]]}, {k,1,4}],PlotStyle->PointSize[0.03], AspectRatio->Automatic, AxesLabel->{“Re”,”Im”}];Print[u]){{z− > −1.06955 -0.212748i },{z− > 0.212748 − 1.06955i }{z− > -0.212748 + 1.06955i },{z− > 1.06955 + 0.212748i}}In[3]:=<<Graphics`ImplicitPlot`In[4]:=ImplicitPlot[x^2+y^2== 4 2 ,{x,-2,2},AxesLabel {”Re”,”Im”},PlotSyle->{Dashing[{0.15,0.05}],RGBColor[1,0,0]}]In[5]:=Show[%2,%4]Lic. Fauroux, Adriana Raquel 38
  39. 39. En este caso queda determinado un cuadrado inscripto en un circunferencia decentro en el origen de coordenadas y radio 4 ρ = 4 2 =82.Indice11. FORMA EXPONENCIAL xEn los cursos de Análisis se demuestra que la función f(x) = e con x real, sepuede expresar mediante el siguiente desarrollo en series: x 2n 3n xne = 1+ x + + +...+ +... 2! 3! n!Asimismo, la función f(x) = ex , conserva las propiedades básicas de los númerosreales, es decir:a) e0 = 1 x y x+yb) e . e = ePara preservar estas propiedades reales, se define la forma exponencialcompleja de la siguiente manera: x.i e = cos x + i .sen x Fórmula de EulerLic. Fauroux, Adriana Raquel 39
  40. 40. Se emplea la fórmula de Euler para demostrar las propiedades realesenunciadas: 0.ia) e = cos 0 + i.sen 0 = 1 x.i y.ib) e . e = (cos x+ i. sen x).( cos y+ i. sen y) = cos (x+y) + i sen (x+y) porproducto de complejos en forma trigonométrica. ( x + y).i =e .En consecuencia, si z = ρ (cos θ + i. sen θ ) ⇒ z = ρ . e θ .i θi Forma exponencial del complejo z z = ρ .e Ejemplo : Escribir el complejo z = − 2 + 2.i en forma exponencial. πEl módulo de z es ρ =2 y su argumento θ = 3 ,por lo tanto, la forma exponencial 4 3. π .ide z = − 2 + 2.i es z = 2. e 4 .11.1 Igualdad de complejos en forma exponencialDados los complejos z = ρ . eθ .i y w = r. eδ .i ⇒ z= w ⇔ ρ =r ∧ θ =δ11.2 Operaciones en forma exponencial:Dados los complejos z = ρ (cos θ + i.sen θ ) = ρ . eθ .i y w = r (cos δ + i.sen δ ) = r. eδ .i (θ +δ ).i1) Producto: z.w = ρ . eθ .i .r. eδ .i = ρ .r.e2) Cociente: = = e . z ρ eθ .i ρ (θ - δ ).i . con w no nulo. w r eδ .i r .Lic. Fauroux, Adriana Raquel 40
  41. 41. n.θ .i3) Potencia: z = ( ρ . eθ .i ) = ρ n. e n nSi z no es nulo, la fórmula de potenciación sirve para los enteros negativos.Indice12. LOGARITMACIÓN EN CDado el complejo no nulo z = ρ (cos θ + i.sen θ ) = ρ . eθ .i , se quiere calcular ellogaritmo de z.De acuerdo a la definición de logaritmo en reales se tiene: w( I ) Ln z = w ⇔ z = e ( II ), donde w es un complejo de la forma w = x + y.i .Reemplazando z y w en ( II ): x +y.i) x y.iρ . eθ .i = e( ⇒ ρ . eθ .i = e . e por igualdad de complejos en formaexponencial: ρ = ex ; θ= y⎧ρ = e x ⇒ Ln ρ = Ln e x ⇒ Ln ρ = x.Ln e ⇒ Lnρ = x (III)⎨⎩ y = θ + 2.k π con k ∈ Z ( IV)Reemplazando (III) y (IV) en (I) teniendo en cuenta que w = x+y.i: Ln z = Ln ρ + ( θ + 2.k.π).i Con k entero.De la fórmula del Ln z se deduce que las soluciones son infinitas, siendo éstaspares ordenados de la forma (Ln ρ ; θ +2.k. π ), tal que la parte real es constante yla imaginaria difiere en 2. π .Gráficamente, las soluciones están alineadas respecto de la recta vertical deecuación x = ln ρ , en efecto:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 41
  42. 42. θ +2.2 π w2 solución para k = 2 θ +2 π w1 solución para k = 1 θ w0 solución en el primer giro θ -2. π w-1 solución para k= -1Cuando k = 0 se obtiene el valor principal de Ln z, anotándose: V.P.Ln z = Ln ρ + i.θ Ejemplo 1:Hallar el Ln (2 - 2. 3 .i) y el valor principal.z = 2 - 2. 3 .i ⇒ ρ = 4 + 4.3 = 16 = 4 πθ = arc tg (- 3 )= 5. 3 ⎛ π ⎞ πLuego Ln z= Ln 4 + ⎜ 5. + 2.k .π ⎟.i siendo V.P. Ln z = Ln 4 + 5. .i ⎝ 3 ⎠ 3Lic. Fauroux, Adriana Raquel 42
  43. 43. Ejemplo 2:Calcular el V.P. Ln (2 - 2. 3 .i) empleando el programa Mathematica.In[2]:=z=2-2*Sqrt[3]IOut[2]=2− 2i 3In[3]:=Log[Abs[z]]+Arg[z]IOut[3]= iπ− + Log[4] 3Observar que los argumentos obtenidos son equivalentes. Uno está medidoen sentido antihorario ( Ejercicio 1) y el otro en sentido horario (Ejercicio 2).Indice13 .FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA GENERALDados los complejos z1 y z2 , tal que z1 no sea el complejo nulo, se desea calcular zel complejo z = z 1 2 . Los valores de z se obtienen mediante la siguientedefinición: z z2.Lnz1 z = z1 2 = e . Ejemplo 1: iCalcular el valor principal de z = (-1+i)3. i 3.i. ln (-1+i)De acuerdo a la definición : z = (-1+i)3. = e (I)Lic. Fauroux, Adriana Raquel 43
  44. 44. Se calcula el V.p. Ln (-1+i)= Ln −1+ i + θ . iLn − 1 + i = Ln 2 πθ = arc tg( −1) = 3. pues (–1+i ) pertenece al 2º Cuad. 4 π⇒ V.p. Ln (-1+i)= Ln 2 +i. 3. . Reemplazando en ( I ): 4 3.i (Ln 2 +i.3 π ) ⎛ π 2⎞ 3.i 3.i. ln (-1+i) ⎜ −9. +3.i.Ln ⎜ ⎟ ⎟z = (-1+i) =e = e 4 = e ⎝ 4 ⎠ ⎛ −9.π +3.i.Ln 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠⇒ z=e Ejemplo 2:Realizar el ejercicio anterior empleando el programa Mathematica.In[3]:= Exp[(3I)*(Log[Abs[-1+I]]+Arg[-1+I]I)] ⎛ 3i π ⎞ 3i⎜ ⎜ + Log[2]⎟ ⎝ 4 2 ⎟ ⎠Out[3]= eIn[4]:=N[%]Out[4]= (0.00043122035361897433`+0.0007341636453976188`i)NO bien directamente:In[5]:= Exp[(3I)*(Log[Abs[-1+I]]+Arg[-1+I]I)]//NOut[5]= (0.00043122 + 0.00073416 364i)IndiceLic. Fauroux, Adriana Raquel 44
  45. 45. 14. APENDICE14.1. Sentencias para trabajar con el programa MathematicaIntroducir un complejo z=a+bIParte real Re[z]Parte imaginaria Im[z]Conjugado Conjugate[z]Introducir dos o más complejos(separarlos z1=a+bI;z2=c+dI con ; )Sumar o restar z1+z2 o bien z1-z2Producto por un escalar “m” m*z1Producto de complejos z1*z2Cociente de complejos z1/z2Potenciación ( potencia “n” entera) z^nModulo de z, z Abs[z]Argumento principal θ Arg[z]Para escribir π PiIntroduciendo z * (Cos[θ ] + Sin[θ ] I )Devuelve la forma binómicaPara expresar la forma trigonométrica tri[z_]:=(u=Abs[z];v=Arg[z];Print[u,introducir primero la sentencia ”(cos”,v,”+isen”,v,”)”])Luego tri[a+bI]Para resolver raíces de índice “n”, primero Raiz[n_,z_]:=(For[k=0,k<n,k=k+1,introducir Print[“z”,k+1,”=”,Abs[z]^(1/n), ”(cos”,(Arg[z]+2*k*Pi)/n,”+isen”, (Arg[z]+2*k*Pi)/n,”)”]])Luego escribir raiz[n,a+bI]Para obtener las soluciones como una u=Solve[z^n==a+bI]listaPara calcular los valores aprox. de la lista N[%]Para graficar las soluciones de la raíz de Graf[n_,W_]=(u=N[Solveun complejo z con índice “n” y soluciones [z^n==W]];ListPlot[Table[{W. Re[z]/.u[[k]],Im[z]/. u[[k]]},{k,1,3}], PlotStyle-> PointSize[0.02], AspectRatio->Automatic])Para calcular el Lnz Ln[z_]:=Log[Abs[z]]+Arg[z]I w Exp[w*(Log[Abs[z]]+Arg[z]I)]Para calcular z m.i Exp[mI]//Traditional FormPara escribir eIndiceLic. Fauroux, Adriana Raquel 45
  46. 46. 14.2 Empleos de los números complejos.Los números complejos se emplean en Ingeniería Electrónica, por ejemplo, paradescribir en forma adecuada las señales periódicas variables.En ingeniería Electrónica, como en Eléctrica o bien los físicos, utilizan la letra jpara definir la variable imaginaria, pues la letra i se la destina para indicar laintensidad de corriente.En mecánica cuántica, (conocida también como mecánica ondulatoria o comofísica cuántica, siendo la rama de la física que explica el comportamiento de lamateria a escala muy pequeña), los complejos están involucrados en laformulación matemática que utiliza los Espacios de Hilbert de dimensión infinitasobre C ( es un espacio de producto interior ) para clarificar y generalizar elconcepto de extensión de Fourier y ciertas Transformaciones lineales tales comola transformación de Fourier.En Telecomunicaciones se los emplea en el estudio de filtros de paso bajo o depaso alto, en diagramas de Bode para representar ganancias.En Aerodinámica mediante la introducción de fuentes, sumideros y dobletes sepuede conocer un campo de velocidades o líneas de corriente gracias a losnúmeros complejos.En La Teoría de la Relatividad Especial o Teoría de la RelatividadRestringida,( publicada en 1905 por el físico Albert Einstein, indica que lavelocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referenciainercial) y en La Teoría general de la relatividad o relatividad general (es unateoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicadapor Einstein entre 1915 y 1916 que generaliza la teoría de la relatividadespecial), algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho mássimples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.En las ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raícescomplejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primergrado y luego resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: rtf(t) = e .Los fractales ( objeto semi- geométrico cuya estructura básica se repite adiferentes escalas), fueron definidos originariamente mediante cálculos connúmeros complejos en el plano.IndiceLic. Fauroux, Adriana Raquel 46
  47. 47. 14.3 Link con páginas web.Algunas páginas interesantes de la web, de enero 2008, resultan muy ilustrativassobre el empleo de los números complejos: http://ejerciciosyexamenes.com/complejos.pdfEsta página presenta una interesante gama de enunciados de ejercicios con susrespuestas. http://www.cam.educaciondigital.net/pbs3/pu3pbs/COMPLEJOS.docPágina con enunciados de ejercicios y sus respuestas. http://www.xtec.es/~fgonzal2/Num_complejos/aplica_giros_num_complejos .htmInteresante página en donde se encuentra una aplicación geométrica delproducto de números complejos con un simulador gráfico. http://neoparaiso.com/logo/numeros-complejos-aplicaciones.htmlSe encontrará el empleo de los números complejos para dibujar y animar en 2Den el programa LOGO y LOGOFE. http://tauro.unex.es/vaquiti/SISTEMAS DE TRANSMISION-5 IETRO- /LINEAS TXON-2003.pdfSe encontrará el empleo del número complejo a la Línea de Transmisión, fasoresy circuitos. http://www.terra.es/personal2/equipos2/rlc.htmSe encontrará el empleo del número complejo para circuitos RLC en corrientealterna. http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Algebra/Numeros_complejos_aplicacione s_movimientos/producto.htmSe encontrará un programa graficador para las operaciones producto de unnúmero real por un complejo y producto de complejos.IndiceLic. Fauroux, Adriana Raquel 47
  48. 48. 14.4 Raíz cuadrada de un complejo volver a radicaciónDado el complejo z = x+y.i , se quiere hallar el complejo w = a+b.i de modo talque z = w = a+b.i ( I ) entonces: 2 x+y.i =(a+b.i)aplicando módulo desarrollando el cuadradox + y.i = ( a + b.i )2 x+y.i = a2 – b2 +2.a.b.i por igualdad de complejos z = ( a +b ) 2 2 2 x = a2 – b2 (2) y = 2.a.b (3) z = a +b 2 2 (1) z +xS.m.a m. (1) y (2): z +x =2. a2 ⇒ a = ± (4) 2 z −xR.m.a m. (1) y (2): z -x =2. b2 ⇒ b = ± (5) 2Luego reemplazando (4 ) y (5 ) en ( I): z +x z −x z = w ⇒ z = a + b.i = ± ± i. 2 2 z +x z −xEntonces: z =± ± i. 2 2Las soluciones de la raíz cuadrada de un complejo son dos, para conocer lacombinación de signos correcta, se tiene presente la ecuación (3) : ⎧y > 0 ⇒ sig. a = sig. bSi ⎨ ⎩y < 0 ⇒ sig. a ≠ sig. bLic. Fauroux, Adriana Raquel 48
  49. 49. Ejemplo 1:Calcular las soluciones de − 4 + 3.i z +x z −xDe acuerdo a la fórmula z=± ± i. donde z = 16 + 9 = 5 . 2 2Reemplazando: z +x z −x z = − 4 + 3.i = ± ± i. = ± 5 + (-4) ± i. 5 − (-4) = ± 1 ± i. 9 2 2 2 2 2 2Se emplea la ecuación y = 2.a.b ⇒ 3 = 2.a.b ⇒ como y>0 ⇒ sig. a =sig.b 1 3 1 3Las soluciones de − 4 + 3.i son + i. y − − i. 2 2 2 2 Ejemplo 2:Calcular las soluciones de − 4 + 3.i empleando el programa Mathematica.In[2]:=N[Sqrt[-4+3I]]Out[2]= + 0.7071067811865476`` 2.1213203435596424``iPara hallar las dos soluciones se procede como en el ejemplo realizado, teniendoen cuenta el signo de y =3>0.14.5 Raíces primitivas de la unidadDefinición: Se llaman raíces primitivas de la unidad de orden n, a las raíces n-simas de 1 que no resultan soluciones de la raíz de 1 de orden inferior a n.Si en la fórmula obtenida en radicación:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 49
  50. 50. n z = n ρ .⎛ cos θ + 2.k.π + i. sen θ + 2.k.π ⎞ con k = 0;1;2;...; (n-1) ⎜ ⎟ ⎝ n n ⎠Cuando z toma el valor de 1 , resulta ρ = 1 y θ = 0, entonces la fórmula queda: ⎡ 2.k .π 2.k .π ⎤n ((1)) = ⎢cos + i. sen con k = 0;1;2;...; (n-1) ⎣ n n ⎥ ⎦Por ejemplo: las soluciones de 3 ((1)) son : 1 3 1 3w0 = 1 ; w1= − + .i ; w2 = − − .i 2 2 2 2w1 y w2 son raíces primitivas de tercer orden pues no son soluciones de n ((1))con n<3 ( las soluciones de 2 ((1)) son 1 y –1).w0 = 1 se llama primitiva de primer orden. Ejercicio 1:Verificar que las raíces primitivas de la unidad de cuarto orden son w1 = i y w3 =–i Ejercicio 2: 1 3Verificar que las raíces primitivas de la unidad de sexto orden son w1= + .i 2 2 1 3y w5 = − .i 2 2Propiedad: Dada la n ((1)) , wk 0 ≤ k < n es una raíz primitiva de la unidad de orden n, si y sólo si n y k son coprimos.Lic. Fauroux, Adriana Raquel 50
  51. 51. Se recuerda que dos números resultan coprimos cuando el único divisorcomún a ambos es la unidad. Ejemplo :Calcular las raíces primitivas de la unidad de orden 8.8 ((1)) ⎛ 2.k .π 2.k .π ⎞ ⎛ k .π k .π ⎞ = ⎜ cos + i. sen ⎟ = ⎜ cos + i. sen ⎟ con k = 0;1;2;3,4,5,6,7 ⎝ 8 8 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠Los valores de k que resultan coprimos con n=8 son 1;3;5 y 7.Se calculan las raíces primitivas de orden 8: ⎛ π π⎞ 2 2w1 = ⎜ cos + i. sen ⎟ = + .i ⎝ 4 4⎠ 2 2 ⎛ 3.π 3.π ⎞ 2 2w3 = ⎜ cos + i. sen ⎟=− + .i ⎝ 4 4 ⎠ 2 2 ⎛ 5..π 5.π ⎞ 2 2w5 = ⎜ cos + i. sen ⎟=− − .i ⎝ 4 4 ⎠ 2 2 ⎛ 7..π 7.π ⎞ 2 2w7 = ⎜ cos + i. sen ⎟= − .i ⎝ 4 4 ⎠ 2 214.6 Los complejos y la geometría planaCiertas entidades planas pueden ser representadas mediante ecuaciones einecuaciones con complejos. Ejemplo 1:Hallar los z= x+y.i que satisfacen :a) z −2+i = 3b) z −2+i < 3c) z −2+i ≤ 3Lic. Fauroux, Adriana Raquel 51
  52. 52. a) z − 2 + i = 3 ⇒ x + y.i − 2 + i = 3 ⇒ x + y.i − 2 + i = 3 ⇒ ⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 3 ⇒ elevando al cuadrado ambos miembros (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9Luego el conjunto solución es:S= {(x;y) ∈ R / (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 } . La solución esta dada por cada uno de los 2puntos de la circunferencia de centro C=(2;-1) y radio 3.Gráficamente:In[2]:=<<Graphics`ImplicitPlot`In[3]:=ImplicitPlot[(x-2)^2+(y+1)^2= =9, {x,-2,6},AspectRatio->Automatic, AxesLabel->{“x”,”y”},PlotStyle-> RGBColor[1,0,0]]b) z − 2 + i < 3 ⇒ x + y.i − 2 + i < 3 ⇒ x + y.i − 2 + i < 3 ⇒ ⇒ ⇒ elevando al cuadrado ambos miembros (x − 2)2 + (y + 1)2 < 9Luego el conjunto solución es:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 52
  53. 53. S= {(x;y) ∈ R / (x − 2)2 + (y + 1)2 < 9 } . La solución esta dada por cada uno de los 2puntos del círculo de centro C=(2;-1) y radio 3.Gráficamente:In[2]:=<<Graphics`FilledPlot`In[3]:=FilledPlot[{ 9 −(x − 2)^2 − 1,− 9 −(x − 2)^2 − 1 }, {x,-2,6},AspectRatio->Automatic,PlotStyle-> Dashing[{.05,.05}]]c) z − 2 + i ≤ 3 ⇒ x + y.i − 2 + i ≤ 3 ⇒ x + y.i − 2 + i ≤ 3 ⇒ ⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 ≤ 3 ⇒ elevando al cuadrado ambos miembros (x − 2)2 + (y + 1)2 ≤ 9Luego el conjunto solución es:S= {(x;y) ∈ R / (x − 2)2 + (y + 1)2 ≤ 9 } . La solución esta dada por cada uno de 2los puntos del círculo y de la circunferencia de centro C=(2;-1) y radio 3.Lic. Fauroux, Adriana Raquel 53
  54. 54. Ejemplo 2:Hallar los z= x+y.i que satisfacen :a) z 2 − (Re(z))2 = Im(z)b) z – y.i + Im(z) =2c) z – y.i + Im(z) >2a) z 2 − (Re(z))2 = Im(z) ⇒ x + y.i 2 − x2 = y ⇒ ( x +y ) −x 2 2 2 2 = y ⇒ x2 + y2 − x2 = y 2⇒ y = y ⇒ y2 –y =0 ⇒ y.(y-1)=0 ⇒ y =0 ∨ y =1Luego el conjunto solución es: 2S = {(x;y) ∈ R / y =0 ∨ y =1} . La solución esta dada por cada uno de los puntospertenecientes a las rectas horizontales cuyas ecuaciones son y =0 e y = 1.Gráficamente:In[2]:=<<Graphics`ImplicitPlot`In[2]:= ImplicitPlot[{y= =0,y= =1},{x,-1,2}, PlotRange->{-0.5,1.5},AxesLabel->{“x”,”y”}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[1,0,0]}] b)z – y.i + Im(z) =2 ⇒ x+y.i – y.i +y =2 ⇒ x+y = 2Lic. Fauroux, Adriana Raquel 54
  55. 55. Luego el conjunto solución es: 2S = {(x;y) ∈ R / x+y = 2} . La solución esta dada por cada uno de los puntospertenecientes a la recta de ecuación x+y =2.In[2]:=<<Graphics`ImplicitPlot`In[2]:= ImplicitPlot[{x+y= =2},{x,-1,3}, AxesLabel->{“x”,”y”},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]] x+y =2 x+y=2c) z – y.i + Im(z) >2 ⇒ x+y.i – y.i +y >2 ⇒ x+y > 2Luego el conjunto solución es:S = {(x;y) R2 / x+y > 2} . La solución esta dada por cada uno de lospuntos pertenecientes al semiplano de ecuación x+y>2 y la recta borde(de ecuación x+y=2) no forma parte de la solución..Lic. Fauroux, Adriana Raquel 55
  56. 56. In[2]:=<<Graphics`ImplicitPlot`In[2]:= ImplicitPlot[{x+y= =2},{x,-1,3}, AxesLabel>{“x”,”y”},PlotStyle->Dashing[{0.10,0.05}]]Indice15. APLICACIONES AL ANÁLISIS MATEMÁTICO ISe verán en este apartado, algunos ejemplos del Análisis Matemático I en dondelos números complejos se encuentran “presentes”. dx dx Ejemplo 1 Calcular a) ∫ ; b) ∫x 1 + 4x 2 2 − 2x + 2Se trata de integrales de funciones racionales, donde el denominador no poseeraíces reales y por lo tanto no se puede reducir el denominador a factores primosreales. dxa) ∫ 1 + 4x 2Lic. Fauroux, Adriana Raquel 56
  57. 57. 1Recordando que ∫ 1+ u 2 dx = arc tg u + k, se tienen: dx dx du∫ 1 + 4x 2 = ∫ 1+ (2x) 2 haciendo u =2x ⇒ du =2.dx ⇒ dx= 2 reemplazando: dx dx 1 du 1 1∫ 1 + 4x 2 = ∫ 1+ (2x) 2 = .∫ 2 1+ u 2 = arc tg u+k = arc tg (2x)+k 2 2Luego: dx 1 ∫ 1+ 4x 2 = 2 acr tg(2 x) + k dxb) ∫x 2 − 2x + 2Se observa que nuevamente el denominador tiene raíces complejas. En estecaso para poder resolverlo de la misma manera que el ejercicio anterior, esnecesario completar cuadrados para llegar a la forma del tipo 1+u2:X2 -2x+2= x2 –2x +1+1=(x-1)2 +1.Haciendo u = x-1 ⇒ du= dx reemplazando: dx dx du∫x 2 − 2x + 2 =∫ 1 + (x - 1)2 =∫ 1 + u2 =arc tg u+k = arc tg(x-1)+k dxLuego : ∫x 2 − 2x + 2 = arc tg(x − 1) + k x +1 Ejemplo 2: Calcular ∫x 3 −1 dxEn este caso el denominador presenta tres raíces, una real y dos complejasconjugadas.En efecto: x3 –1 = (x-1)(x2 +x+1)Se resuelve empleando el método de fracciones simples:x +1 x +1 A Bx + C A(x 2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1) = = + 2 =x 3 − 1 (x − 1) (x 2 + x + 1) x − 1 x + x + 1 (x − 1) (x 2 + x + 1)Comparando el primer y último miembro:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 57
  58. 58. x +1= A(x2+x+1)+(B.x+C) (x -1) Se calculan los valores de A,B y C : 2si x =1 ⇒ 2= A.3 ⇒ A = 3 2 1si x =0 ⇒ 1 = +C.(-1) ⇒ C = − 3 3 2 1 2si x =-1 ⇒ 0= +(-B - ).(-2) ⇒ B = - 3 3 3Luego: x +1 ⎛ A Bx + C ⎞ A Bx + C∫x 3 −1 dx = ∫ ⎜ + 2 ⎟ dx = ∫ ⎝ x − 1 x + x + 1⎠ x −1 dx + ∫ 2 x + x +1 dxReemplazando los valores de A, B y C: x +1 2 -2 x - 1 2x + 1 3 dx = 2 1 1∫ x −1 3 dx = ∫ 3 dx + ∫ 23 x −1 x + x +1 3 ∫ x − 1 dx − 3 ∫ x 2 + x + 1 dxLa primer integral es inmediata, la segunda se resuelve por sustitución.Luego: ∫x x. dx 2 3 1 [ = ln x − 1 − ln x 2 + x + 1 + k −8 3 3 ]Indice16. Ejercicios propuestos1) Calcular 3 2a) 2(1+3.i)- (-2+i) b) (3-2i).3i+(4+i).(-2-i) c) (2+2i) -4(-5i) 2 3+i 1 2 + 3i 2 − 2.i 2.id) + e) –2. +(2-i) f) − 2 − i 1+ i 1+ i 3 +i 3 −iRtas:Lic. Fauroux, Adriana Raquel 58
  59. 59. 9 3 i 6a) 5+ i b) –1+3i c) 28i d) + e) –2 - 5i f) - i 2 2 2 5------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Siendo z1 =2-3i ; z2 = -4i ; z3 = -2 ; z4 = -1+i, calcular: z3a) z1 + z2 +Re(z4).Im(z1) b) - (z3)3 +(z2)2 c) z1 . z 4 .z2 z4Rtas:a) 5-i b) –7- i c) -20-4i-------------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Hallar el complejo z = a+bi tal que satisfaga las siguientes ecuaciones: 2.ia) (2+3i).z+2.i =3-4i b) 2.i.z+ =4.i 1− i 12 21 3 1a) − − i b) − + i 13 13 2 2-------------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Hallar los complejos z = a+bi tal que satisfagan las siguientes fórmulas:a) z − 2 + i =2 b) z − 2 + i <2 c) z − 2 + i ≥ 2d) Re(z2)+[Im(z)]2=Re(z) e) Im(z) -1=2.Re(z) f) 2.Re(z)-Im(z2)=0Rtas:a)S={(x;y) ∈ R2/ (x-2)2+(y+1)2=4} , representa el conjunto de los puntos de lacircunferencia de centro(2;-1) y radio 2.b)S={(x;y) ∈ R2/ (x-2)2+(y+1)2<4} , representa el conjunto de los puntos del círculode centro(2;-1) y radio 2.c)S={(x;y) ∈ R2/ (x-2)2+(y+1)2 ≥ 4} , representa el conjunto de los puntos de lacircunferencia de centro(2;-1) y radio 2 y al conjunto de los puntos exteriores aella.Lic. Fauroux, Adriana Raquel 59

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