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  • 1. ÁLGEBRA Y MATEMÁTICA DISCRETA 1 LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1. Definiciones básicas TEMA 1 1.2. Operaciones lógicas y tablas de verdad 1.3. Implicación y equivalencia lógicas 1.4. Métodos lógicos de demostración LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS Término cada una de las partes que constituyen un Proposición lógica enunciado o discurso agrupación de términos de la que se puede afirmar si su contenido es cierto o falso. Términos categoremáticos tienen significado propio e independiente Términos sincategoremáticos se utilizan para enlazar y modificar los términos categoremáticos 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS Proposición atómica no se puede descomponer en partes que sean a su vez proposiciones y está en afirmativo. Conectores proposicionales términos sincategoremáticos que se utilizan Proposición molecular para modificar o enlazar proposiciones. formada por una o más proposiciones atómicas modificadas o enlazadas por términos sincategoremáticos. 1
  • 2. 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS Conectores Proposicionales Monádicos Conectores Proposicionales Diádicos se aplican a una sola proposición se aplican a dos proposiciones Negación (no...) Conjunción (...y...) Disyunción no exclusiva (...o...) Disyunción exclusiva (o...o...) Condicional (si...entonces...) Bicondicional (...si y sólo si...) 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS Signo conectivo o constante lógica Variable Proposicional símbolo que sustituye a un conector símbolo que sustituye a una proposición proposicional. atómica. negación ¬ conjunción ∧ disyunción no exclusiva ∨ disyunción exclusiva ∆ condicional o implicador → bicondicional o coimplicador ↔ 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.2 OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD NEGACIÓN Fórmula lógica p ¬p Expresión simbólica que sustituye a una proposición molecular 0 1 1 0 2
  • 3. 1.2 OPERACIONES LÓGICAS 1.2 OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN NO EXCLUSIVA p q p∧q p q p∨q 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1.2 OPERACIONES LÓGICAS 1.2 OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD DISYUNCIÓN EXCLUSIVA CONDICIONAL p q p∆q p q p→q 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1.2 OPERACIONES LÓGICAS 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD BICONDICIONAL p q p↔q TAUTOLOGÍAS 0 0 1 PROPOSICIONES CONTRADICCIONES 0 1 0 PROPOSICIONES CONTINGENTES 1 0 0 1 1 1 3
  • 4. 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS SUFICIENCIA DE LA NEGACIÓN Y LA DISYUNCIÓN EQUIVALENCIA LÓGICA A⇔B p∧q ⇔ ¬(¬p∨¬q) A↔B es tautología p→q ⇔ ¬p∨q IMPLICACIÓN LÓGICA A⇒B A→B es tautología p∆q ⇔ ¬(¬p∨q)∨¬(p∨¬q) p↔q ⇔ ¬(¬(¬p∨q)∨¬(p∨¬q)) 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS p q ¬p ¬q p∧q ¬p∨¬q ¬(¬p∨¬q) p∧q↔¬(¬p∨¬q) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN p q ¬p p→q ¬p∨q p→q↔¬p∨q 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 REGLAS BÁSICAS DE INFERENCIA 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 4
  • 5. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN A A∧B A∧B A B A∨B B A C A∧B A B A∨B A∨B B C C producto simplificación adición prueba por casos 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN NEGACIÓN CONDICIONAL INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN A A→B A ¬¬A B A B ∧ ¬B A→B B ¬A A absurdo doble negación teorema de deducción modus ponens 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN BICONDICIONAL INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN REGLAS DE INFERENCIA DERIVADAS A→B A↔B A↔B B→A A↔B A→B B→A 5
  • 6. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN SILOGISMO HIPOTÉTICO MUTACIÓN DE PREMISAS A → (B →C) A→B B→C B → (A →C) A→C 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN CARGA DE PREMISAS IDENTIDAD A A A B→ A 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PROPIEDAD ASOCIATIVA PROPIEDAD CONMUTATIVA A∨B A∧B (A ∨ B) ∨ C (A ∧ B) ∧ C B∨A B∧A A ∨ (B ∨ C) A ∧ (B ∧ C) 6
  • 7. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PROPIEDAD DE IDEMPOTENCIA (A ∧ B) ∨ C (A ∨ B) ∧ C A∧A A∨A (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) A A 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN LEY DE ABSORCIÓN CONTRAPOSICIÓN A→B A ∧ (A ∨ B) A ∨ (A ∧ B) ¬B→¬A A A 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN INTRODUCCIÓN DE LA MODUS TOLLENS DOBLE NEGACIÓN A→B A ¬B ¬¬A ¬A 7
  • 8. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PRINCIPIO DE NO EX CONTRADICTIONE QUODLIBET CONTRADICCIÓN A ∧¬A ¬ (A ∧ ¬ A) B 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUSO EXPORTACIÓN-IMPORTACIÓN DE PREMISAS A∨¬A A → (B → C) (A ∧ B) → C 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN SILOGISMO DILEMAS DISYUNTIVO Constructivos Destructivos A∨B A∨B simple compuesto simple compuesto ¬A ¬B A∨B A∨B ¬A∨¬B ¬A∨¬B B A A→C A→C C→A C→A B→C B→D C→B D→B C C∨D ¬C ¬C∨¬D 8
  • 9. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN LEYES DE DE MORGAN ¬ (A ∨ B) ¬ (A ∧ B) ¬A ∧¬B ¬A∨¬B 9