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  1. C´alculo I 1 Limites e Continuidade Ricardo Pereira Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro Setembro de 2012
  2. Vizinhan¸ca 2 Def 1.1 Sejam a ∈ R e ε ∈ R+. Chamamos vizinhan¸ca-ε de a ou vizinhan¸ca de centro a e raio ε ao conjunto Vε(a) := {x ∈ R: |x − a| < ε} =]a − ε, a + ε[ Exe 1.2 Determine os conjuntos: (a) V2(3) (b) V1 3 (−2)
  3. Ponto interior, exterior e fronteiro 3 Def 1.3 Sejam a ∈ R e S ⊂ R. a ´e ponto interior de S se existe ε > 0 tal que Vε(a) ⊂ S a ´e ponto exterior de S se a ´e ponto interior do complementar de S em R a ´e ponto fronteiro de S se a n˜ao ´e ponto interior nem ponto exterior de S Obs 1.4 O complementar de S em R ´e o conjunto R S
  4. Interior, exterior, fronteira e fecho 4 Def 1.5 Interior de S: int(S) conjunto dos pontos interiores de S Exterior de S: ext(S) conjunto dos pontos exteriores de S Fronteira de S: frt(S) conjunto dos pontos fronteiros de S Fecho de S ¯S = int(S) ∪ frt(S) Exe 1.6 Indique int(S), ext(S), frt(S) e ¯S, sendo: (a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10} (b) S = [−1, 1] ∪ {3}
  5. Conjunto aberto, fechado e compacto 5 Def 1.7 S ´e um conjunto aberto se int(S) = S S ´e um conjunto fechado se ¯S = S S ´e um conjunto compacto se S ´e fechado e limitado Obs 1.8 S ⊂ R ´e limitado se existe L > 0 tal que |x| ≤ L, ∀x ∈ S Exe 1.9 Verifique se S ´e fechado, aberto e/ou compacto, sendo: (a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10} (b) S = [−1, 1] ∪ {3} Obs 1.10 R ´e aberto e fechado; R n˜ao ´e compacto
  6. Ponto de acumula¸c˜ao e ponto isolado 6 Def 1.11 a ∈ R ´e um ponto de acumula¸c˜ao de S ⊂ R se toda a vizinhan¸ca de a cont´em um ponto de S distinto de a, isto ´e, se, ∀ε > 0, (Vε(a) {a}) ∩ S = ∅ a ∈ S ´e um ponto isolado de S se n˜ao ´e ponto de acumula¸c˜ao de S. Exe 1.12 Indique os pontos de acumula¸c˜ao e os pontos isolados de: (a) S = [1, 4[ ∪ {2π, 10} (b) S = 1 n : n ∈ N
  7. Fun¸c˜ao real de vari´avel real 7 Def 1.13 Uma fun¸c˜ao real de vari´avel real f ´e uma correspondˆencia que a cada elemento de Df ⊂ R (dom´ınio de f ) faz corresponder um e um s´o elemento de R. Nota¸c˜ao: f : Df → R Obs 1.14 1 As fun¸c˜oes que consideraremos ter˜ao sempre dom´ınio em R. Assim, os dom´ınios para elas considerados dever˜ao ser sempre tomados como subconjuntos de R, mesmo que tal esteja omisso. 2 Os alunos devem recapitular, de forma aut´onoma, as v´arias defini¸c˜oes b´asicas relativas a f.r.v.r., tais como dom´ınio, contradom´ınio, injetividade, sobrejetividade, monotonia, etc. Recomenda-se a leitura atenta do texto“Pr´e-requisitos”e dos apontamentos da Prof. Virg´ınia Santos, pp. 14-24, ambos dispon´ıveis no Moodle@UA.
  8. Limite segundo Cauchy 8 Def 1.15 Seja f : Df → R uma f. r. v. r.. Sejam a um ponto de acumula¸c˜ao de Df e ∈ R. Dizemos que ´e o limite de f no ponto a ou que f (x) tende para quando x tende para a e escrevemos lim x→a f (x) = se, ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , 0 <| x − a |< δ ⇒| f (x) − |< ε Caso a seja um ponto isolado de Df , por defini¸c˜ao, lim x→a f (x)=f (a) Obs 1.16 Esta defini¸c˜ao traduz que f (x) est´a t˜ao pr´oximo de quanto se queira desde que x, distinto de a, esteja suficientemente pr´oximo de a.
  9. Limite segundo Heine 9 Def 1.17 Sendo a um ponto de acumula¸c˜ao de Df , diz-se que lim x→a f (x) = se para toda a sucess˜ao (xn)n∈N de elementos de Df convergente para a, a correspondente sucess˜ao das imagens f (xn)n∈N converge para . Caso a seja um ponto isolado de Df , por defini¸c˜ao, lim x→a f (x)=f (a) Obs 1.18 As defini¸c˜oes de limite de uma fun¸c˜ao num ponto segundo Cauchy e segundo Heine s˜ao equivalentes Prop 1.19 Sejam f : Df −→ R uma fun¸c˜ao e a ∈ R um ponto de acumula¸c˜ao de Df . Se existe lim x→a f (x), esse limite ´e ´unico.
  10. Propriedades dos limites 10 Prop 1.20 Sejam f : Df −→ R uma fun¸c˜ao, a ∈ R um ponto de acumula¸c˜ao de Df e ∈ R. Ent˜ao, lim x→a f (x) = sse lim x→a (f (x) − ) = 0 Prop 1.21 Sejam f e g f.r.v.r. e a um ponto de acumula¸c˜ao de D = Df ∩ Dg . Se lim x→a f (x) = 1 ∈ R e lim x→a g(x) = 2 ∈ R, ent˜ao 1 lim x→a (f (x) ± g(x)) = 1 ± 2 2 lim x→a (αf (x)) = α 1, para todo o α ∈ R 3 lim x→a (f (x).g(x)) = 1 2 4 Se 2 = 0 ent˜ao lim x→a f (x) g(x) = 1 2
  11. Lei do enquadramento 11 Prop 1.22 Sejam f , g e h f.r.v.r. e a um ponto de acumula¸c˜ao de D = Df ∩ Dg ∩ Dh. Se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) , para todo o x ∈ (Vδ(a) {a}) ∩ D , e lim x→a f (x) = lim x→a h(x) = ent˜ao lim x→a g(x) = . Exe 1.23 Sabendo que, ∀x ∈ R {0}, −|x| ≤ x sen 1 x ≤ |x|, calcule lim x→0 sen 1 x 1 x
  12. Produto de infinit´esimo por fun¸c˜ao limitada 12 Prop 1.24 Sejam f : Df → R, g : Dg → R e a um ponto de acumula¸c˜ao de Df ∩ Dg . Se lim x→a f (x) = 0 e g ´e limitada em(Vδ(a) {a}) ∩ Dg , para algum δ > 0 , ent˜ao lim x→a f (x)g(x) = 0. Exe 1.25 Calcule lim x→0 x cos 1 x
  13. Pontos de acumula¸c˜ao laterais 13 Def 1.26 Sejam S = ∅, S ⊂ R e a ∈ R. a ´e ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de S se ]a − δ, a[∩S = ∅, qualquer que seja δ > 0 . a ´e ponto de acumula¸c˜ao `a direita de S se ]a, a + δ[∩S = ∅, qualquer que seja δ > 0 . Exe 1.27 Considere o conjunto S = [1, 4[ ∪ {2π, 10} Indique os pontos de acumula¸c˜ao `a esquerda e os pontos de acumula¸c˜ao `a direita de S
  14. Limites laterais 14 Def 1.28 Sejam f uma f.r.v.r., a um ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de Df e ∈ R. Dizemos que ´e o limite de f (x) quando x tende para a por valores inferiores a a e escrevemos lim x→a− f (x) = se ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a − δ < x < a ⇒| f (x) − |< ε. Def 1.29 Sejam f uma f.r.v.r., a um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df e ∈ R. Dizemos que ´e o limite de f (x) quando x tende para a por valores superiores a a e escrevemos lim x→a+ f (x) = se ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a < x < a + δ ⇒| f (x) − |< ε.
  15. Existˆencia de limite 15 Prop 1.30 Sejam f uma f.r.v.r., a um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df e `a esquerda de Df e ∈ R. Ent˜ao lim x→a f (x) = sse lim x→a− f (x) = = lim x→a+ f (x). Exe 1.31 Calcule, caso exista, lim x→1 f (x), onde: (a) f (x) = x2 − 2x + 1 se x ≥ 1 1 x+1 se x < 1 (b) f (x) =    x se x < 1 3 se x = 1 1 2x−1 se x > 1
  16. Limites finitos no infinito 16 Def 1.32 Sejam f : Df ⊂ R −→ R, Df tal que ]a, +∞[⊂ Df e ∈ R lim x→+∞ f (x) = se ∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x > M ⇒| f (x) − |< ε Sejam f : Df ⊂ R −→ R, Df tal que ] − ∞, a[⊂ Df e ∈ R lim x→−∞ f (x) = se ∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x < −M ⇒| f (x) − |< ε Obs 1.33 1 Estes limites, quando existem, s˜ao ´unicos. 2 As propriedades operat´orias s˜ao an´alogas `as do slide 10
  17. Limites laterais infinitos 17 Def 1.34 Sejam f :Df ⊆R−→R e a um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df lim x→a+ f (x) = +∞ se ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a < x < a + δ ⇒ f (x) > L lim x→a+ f (x) = −∞ se ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , a < x < a + δ ⇒ f (x) < −L Exe 1.35 Escreva as defini¸c˜oes de lim x→a− f (x) = +∞ e lim x→a− f (x) = −∞
  18. Limites infinitos 18 Def 1.36 Sejam f : Df ⊆ R −→ R e a um ponto de acumula¸c˜ao de Df . lim x→a f (x) = +∞ se ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , 0 <| x − a |< δ ⇒ f (x) > L lim x→a f (x) = −∞ se ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df , 0 <| x − a |< δ ⇒ f (x) < −L Obs 1.37 Tamb´em neste caso lim x→a f (x) = +∞ sse lim x→a− f (x) = +∞ = lim x→a+ f (x) lim x→a f (x) = −∞ sse lim x→a− f (x) = −∞ = lim x→a+ f (x)
  19. Limites infinitos no infinito 19 Def 1.38 Sejam f : Df ⊆ R −→ R, Df tal que ]a, +∞[⊂ Df , lim x→+∞ f (x) = +∞ se ∀L > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x > M ⇒ f (x) > L Sejam f : Df ⊆ R −→ R, Df tal que ] − ∞, a[⊂ Df , lim x→−∞ f (x) = +∞ se ∀L > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ Df , x < −M ⇒ f (x) > L Exe 1.39 Escreva as defini¸c˜oes de lim x→+∞ f (x) = −∞ e lim x→−∞ f (x) = −∞
  20. Conven¸c˜oes: opera¸c˜oes envolvendo −∞ e +∞ 20 Obs 1.40 (+∞) + (+∞) = +∞ e (−∞) + (−∞) = −∞ ∀α ∈ R, +∞ + α = +∞ e −∞ + α = −∞ (+∞) × (+∞) = +∞, (−∞) × (−∞) = +∞ e (+∞) × (−∞) = −∞ = (−∞) × (+∞) ∀α > 0, α × (+∞) = +∞ e α × (−∞) = −∞ ∀α < 0, α × (+∞) = −∞ e α × (−∞) = +∞ 0+∞ = 0 e 0−∞ = +∞ Indetermina¸c˜oes: 0 × ∞ ∞ ∞ + ∞ − ∞ 00 0 0 1∞ ∞0
  21. Conven¸c˜oes: 0+ e 0− 21 Obs 1.41 Caso f : Df ⊂ R −→ R seja tal que lim x→a f (x) = 0 e que, para algum δ > 0, f (x) > 0 [resp.f (x) < 0], para todo o x ∈ (Vδ(a) {a}) ∩ Df , escrevemos lim x→a f (x) = 0+ [resp. lim x→a f (x) = 0− ]. Prop 1.42 1 Se lim x→a f (x) = ±∞, ent˜ao lim x→a 1 f (x) = 0; 2 Se lim x→a f (x) = 0+ , ent˜ao lim x→a 1 f (x) = +∞; 3 Se lim x→a f (x) = 0− , ent˜ao lim x→a 1 f (x) = −∞.
  22. Exerc´ıcios de limites 22 Exe 1.43 Calcule, caso existam, os limites seguintes: (a) lim x→+∞ 1 x2 − 1 (b) lim x→+∞ 3x2 + 2x − 1 5x2 − x (c) lim x→−∞ x − 1 x3 − 2x − 1 (d) lim x→−∞ x2 + 1 1 − x (e) lim x→1+ 1 x2 − 1 (f) lim x→−1 1 x2 − 1 (g) lim x→1 √ x − 1 x − 1 (h) lim x→2 x4 − 16 x − 2
  23. Fun¸c˜ao Cont´ınua 23 Def 1.44 Sejam f : Df −→ R, a ∈ Df e ∅ = S ⊂ Df um conjunto aberto. Dizemos que f ´e cont´ınua em a se o limite lim x→a f (x) existe e ´e finito e lim x→a f (x) = f (a). Caso contr´ario, dizemos que f ´e descont´ınua em a. f ´e cont´ınua em S se f ´e cont´ınua em todo o ponto de S Exe 1.45 Seja a ∈ R e f (x) =    x + a2 + 6 se x < 3 9 − a se x = 3 3x + a se x > 3 Para que valores de a (a) existe lim x→3 f (x) (b) f ´e cont´ınua em x = 3
  24. Continuidade `a direita e `a esquerda 24 Obs 1.46 1 Se S = [a, b] podemos falar em continuidade lateral: se lim x→a+ f (x)=f (a) diz-se que f ´e cont´ınua `a direita em a se lim x→b− f (x)=f (b) diz-se que f ´e cont´ınua `a esquerda em b 2 Se S = [a, +∞[ (resp. S =] − ∞, a]) podemos falar de conti- nuidade `a direita em a (resp. continuidade `a esquerda em a) 3 Sendo S um intervalo, dizemos que f ´e cont´ınua em S se f ´e cont´ınua no interior de S e cont´ınua lateralmente nos extremos de S que pertencem a S. Exe 1.47 Estude a continuidade em x = 0 da fun¸c˜ao f (x) = x + 2 se x ≥ 0 −x + 1 se x < 0
  25. Propriedades de fun¸c˜oes cont´ınuas 25 Prop 1.48 Sejam f e g duas fun¸c˜oes cont´ınuas num ponto a. Ent˜ao as fun¸c˜oes f + g, αf (α ∈ R) e fg s˜ao cont´ınuas em a. Se g(a) = 0, ent˜ao f /g ´e tamb´em uma fun¸c˜ao cont´ınua em a. Prop 1.49 Sejam f :Df −→ R e g :Dg −→ R tais que a fun¸c˜ao composta g ◦ f est´a definida. Se f ´e cont´ınua em a e g ´e cont´ınua em f (a), ent˜ao g ◦ f ´e cont´ınua em a.
  26. Teorema de Bolzano 26 Teo 1.50 Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao. Se f ´e cont´ınua em [a, b] e f (a) = f (b), ent˜ao, para todo o y entre f (a) e f (b), existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = y. Cor 1.51 Seja f : [a, b] −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Se f (a) · f (b) < 0, ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0. Exe 1.52 1 Considere a fun¸c˜ao f (x) = x2 + 2x. Mostre, usando o Teorema de Bolzano, que existe c ∈ ]0, 3[ tal que f (c) = 5. 2 Mostre que, no intervalo ] − 1, 0[, a fun¸c˜ao f definida por f (x) = −2 + 3x2 tem pelo menos um zero.
  27. Teorema de Weierstrass 27 Teo 1.53 Se f : Df −→ R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e Df ´e um conjunto compacto de R, ent˜ao f atinge em Df o m´aximo e o m´ınimo globais (isto ´e, existem x1, x2 ∈ Df tais que f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), ∀x ∈ Df ). Obs 1.54 Notar que um intervalo [a, b], com a < b, ´e um conjunto compacto de R. Assim, toda a fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] tem a´ı m´aximo e m´ınimo globais. Exe 1.55 Seja f (x) = x + 2 se x ≥ 0 −x + 1 se x < 0 (a) A fun¸c˜ao f tem m´ınimo global em [−1, 1] ? (b) A al´ınea (a) contradiz o teorema de Weierstrass?
  28. C´alculo I 28 Derivadas Ricardo Pereira Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro Setembro de 2012
  29. Derivada num ponto 29 Def 2.1 Sejam f : Df −→ R uma fun¸c˜ao e a ∈ Df um ponto interior de Df . Chama-se derivada da fun¸c˜ao f no ponto a, e denota-se por f (a) ou df dx (a), ao limite lim h→0 f (a + h) − f (a) h se este limite existir, podendo ser finito, +∞ ou −∞. Neste caso, f diz-se deriv´avel em a. Se o limite for finito dizemos que f ´e diferenci´avel em a. Obs 2.2 Recordar que lim h→0 f (a + h) − f (a) h = lim x→a f (x) − f (a) x − a Exe 2.3 Seja f (x) = x2 + 1. Calcular, por defini¸c˜ao, f (3).
  30. Interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada 30 Caso f (a) seja finita, f (a) ´e o declive da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f (a)). x y x−a f (x) − f (a) mt = f (a) = lim x→a f (x) − f (a) x − a ms = f (x)−f (a) x−a a x f (x) f (a) s t Quando f (a) = +∞ ou f (a) = −∞, essa reta tangente ´e x = a.
  31. Reta tangente e reta normal 31 Def 2.4 A equa¸c˜ao da reta tangente `a curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) ´e y − f (a) = f (a)(x − a) Chamamos normal `a curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) `a reta que passa nesse ponto e ´e perpendicular `a tangente `a curva nesse ponto. Exe 2.5 Determine a equa¸c˜ao da reta tangente e da normal `a curva y = x2 + 1: (a) no ponto (3, 10) (b) no ponto (0, 1)
  32. Derivadas Laterais 32 Def 2.6 Seja a ∈ Df um ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de Df . Chama-se derivada lateral de f `a esquerda de a, e denota-se por f−(a), ao limite lim h→0− f (a + h) − f (a) h se este limite existir, podendo ser finito, +∞ ou −∞. Seja a ∈ Df um ponto de acumula¸c˜ao `a direita de Df . Chama-se derivada lateral de f `a direita de a, e denota-se por f+(a), ao limite lim h→0+ f (a + h) − f (a) h se este limite existir, podendo ser finito, +∞ ou −∞.
  33. Diferenciabilidade 33 Prop 2.7 Sejam f : Df ⊂ R → R uma fun¸c˜ao e a ∈ Df um ponto interior de Df . Ent˜ao f ´e diferenci´avel em a sse f−(a) e f+(a) existem, s˜ao finitas e f−(a) = f+(a). Exe 2.8 Considere a fun¸c˜ao f definida por f (x) = x2 + x4 se x ≥ 0 x3 se x < 0 (a) f ´e diferenci´avel em x = 0? (b) Qual o valor de f (0)?
  34. Continuidade e diferenciabilidade 34 Prop 2.9 Sejam f : Df ⊂R→R uma fun¸c˜ao e a∈Df um ponto interior de Df Se f ´e diferenci´avel em a, ent˜ao f ´e cont´ınua em a. Cor 2.10 Se f n˜ao ´e cont´ınua em a, ent˜ao f n˜ao ´e diferenci´avel em a. Exe 2.11 Verifique se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao diferenci´aveis no ponto x = 0. (a) f (x) = sen 1 x se x = 0 0 se x = 0 (b) g(x) = x se x ≥ 0 −x se x < 0
  35. Regras de deriva¸c˜ao 35 Prop 2.12 Sejam f e g duas fun¸c˜oes diferenci´aveis em a. Ent˜ao f + g ´e diferenci´avel em a e (f + g) (a) = f (a) + g (a) f − g ´e diferenci´avel em a e (f − g) (a) = f (a) − g (a) f · g ´e diferenci´avel em a e (f · g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) αf , com α ∈ R, ´e diferenci´avel em a e (αf ) (a) = αf (a)
  36. Regras de deriva¸c˜ao 36 Prop 2.12 (cont.) se g(a) = 0, ent˜ao f g ´e diferenci´avel em a e f g (a) = f (a)g(a) − f (a)g (a) (g(a))2 Prop 2.13 Regra da Cadeia: Sejam f : Df → R e g : Dg → R duas fun¸c˜oes tais que g ◦ f est´a definida. Se f ´e diferenci´avel em a e g ´e diferenci´avel em f (a), ent˜ao g ◦ f ´e diferenci´avel em a e (g ◦ f ) (a) = g (f (a)) · f (a)
  37. Formul´ario de derivadas 37 Obs 2.14 Sejam u e v fun¸c˜oes de x, k ∈ R e a ∈ R+ {1} • (k) = 0 • uk = kuk−1u • (eu) = u eu • (au) = u au ln a • (ln u) = u u • (loga u) = u u ln a • (sen u) = u cos u • (cos u) = −u sen u • (tan u) = u cos2 u • (u + v) = u + v • (uv) = u v + uv • u v = u v − uv v2
  38. Exerc´ıcios 38 Exe 2.15 Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = x2 ex2 (b) f (x) = (x − 1)(x2 + 3x) (c) f (x) = cos x 1 − sen x (d) f (x) = 3 (2x − 1)2 (e) f (x) = 3tg x (f) f (x) = cos log2 x2 (g) f (x) = 1 − x2 ln x (h) f (x) = x2 − ln x2 x Exe 2.16 Calcule, usando a regra da cadeia, (g ◦ f ) (1) sendo f (x) = ex3−1 e g(x) = sen x2 .
  39. Fun¸c˜ao Derivada 39 Def 2.17 Seja f : Df −→ R uma fun¸c˜ao. Seja D ⊆ Df o conjunto dos pontos interiores de Df onde f ´e diferenci´avel. Chamamos fun¸c˜ao derivada de f `a fun¸c˜ao: f : D −→ R x −→ f (x) Exe 2.18 Caracterize a fun¸c˜ao derivada das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = x (b) f (x) = |x|
  40. Derivadas de ordem superior 40 Def 2.19 A f tamb´em se chama fun¸c˜ao derivada de primeira ordem de f . A partir de f podemos determinar a sua fun¸c˜ao derivada, f , definida nos pontos onde f ´e diferenci´avel, tal que f (x) = (f ) (x), f ´e a chamada fun¸c˜ao derivada de ordem dois ou fun¸c˜ao derivada de segunda ordem de f . Dada a fun¸c˜ao derivada de ordem n − 1 de f , f (n−1), a fun¸c˜ao derivada de ordem n ´e a fun¸c˜ao f (n), cujo dom´ınio ´e o conjunto de pontos onde f (n−1) ´e diferenci´avel e f (n)(x) := (f (n−1)) (x). Exe 2.20 Seja f (x) = 1 x , cujo dom´ınio ´e R {0}. Por deriva¸c˜ao sucessiva, intua a express˜ao anal´ıtica de f (n)(x), ∀n ∈ N.
  41. M´etodo de indu¸c˜ao matem´atica 41 Obs 2.21 Para provar que a express˜ao anal´ıtica de f (n)(x) que se obteve no exerc´ıcio 2.20 est´a correta pode-se usar um m´etodo de prova designado por m´etodo de indu¸c˜ao matem´atica. Def 2.22 Seja P(n) uma propriedade que depende de n ∈ N. O m´etodo de indu¸c˜ao matem´atica ´e uma t´ecnica de demonstra¸c˜ao que tem como objetivo: mostrar que P(n) ´e verdadeira ∀n ∈ N. Este m´etodo consiste em dois passos: 1 Passo de base: mostrar que P(1) ´e verdadeira; 2 Passo de indu¸c˜ao (ou hereditariedade): assumindo que P(k) ´e verdadeira, mostrar que P(k + 1) ´e verdadeira, para k ∈ N arbitr´ario.
  42. M´etodo de indu¸c˜ao matem´atica 42 Obs 2.23 1 P(k) chama-se hip´otese de indu¸c˜ao e P(k+1) tese de indu¸c˜ao 2 Este m´etodo pode generalizar-se para situa¸c˜oes onde se pretenda mostrar que P(n) ´e verdadeira ∀n ∈ Z, com n ≥ n0, n0 ∈ Z. Para tal basta, no passo base tomar n0 em vez de 1 e no passo de indu¸c˜ao considerar k inteiro e k ≥ n0. Exe 2.24 (a) Prove que a express˜ao anal´ıtica de f (n)(x) que se obteve no exerc´ıcio 2.20 est´a correta. (b) Prove que a soma dos n primeiros n´umeros naturais ´e dada por n(1+n) 2
  43. Exerc´ıcios 43 Exe 2.25 1 Considere a fun¸c˜ao f (x) = ex−1 − 1 se x < 1 sen(x − 1) se x ≥ 1 . (a) Estude f quanto `a continuidade em x = 1. (b) Calcule as derivadas laterais f−(1) e f+(1). (c) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em x = 1? Justifique. 2 Considere a fun¸c˜ao f definida por f (x) = x2 ln x + 11x − x2 2 . Determine o valor de a ∈ R+ por forma a que a tangente ao gr´afico de f no ponto de abcissa x = a tenha declive m = 11. 3 Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = 2x2 −5 (b) f (x) = (1 + cos x)3 (c) f (x) = ex − 1 ex + 1 (d) f (x) = 3 sen2 x + 1 (e) f (x) = ln(ln x) (f) f (x) = (5x)x , com x > 0
  44. C´alculo I 44 Fun¸c˜oes Inversas Ricardo Pereira Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro Outubro de 2012
  45. Inversa de uma fun¸c˜ao 45 Def 3.1 f : Df → R ´e uma fun¸c˜ao injetiva se, para todo o ∀x1, x2 ∈ Df , f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 Exe 3.2 Verifique se as fun¸c˜oes f (x) = 2x − 1 e g(x) = x2 s˜ao injetivas. Def 3.3 Seja f : Df ⊂ R → R uma fun¸c˜ao injetiva. A fun¸c˜ao f −1 : CDf → R y → x onde x ´e tal que f (x) = y, ´e designada por fun¸c˜ao inversa de f . Dizemos que uma fun¸c˜ao ´e invert´ıvel se admite inversa.
  46. Consequˆencias da defini¸c˜ao de inversa 46 Obs 3.4 f ´e invert´ıvel sse f ´e injetiva O contradom´ınio de f −1 ´e Df ∀x ∈ Df , f −1 ◦ f (x) = x ∀y ∈ CDf , f ◦ f −1 (y) = y ∀x ∈ Df , ∀y ∈ CDf , f (x) = y ⇔ x = f −1(y) Os gr´aficos de f e f −1 s˜ao sim´etricos relativamente `a reta y = x Exe 3.5 Caracterize a inversa das fun¸c˜oes f (x) = 2x − 1 e g(x) = x−1 x+2.
  47. Algumas propriedades das fun¸c˜oes invert´ıveis 47 Prop 3.6 Se f :Df ⊂ R → R ´e estritamente mon´otona em Df , ent˜ao f ´e injetiva. Prop 3.7 Se f :Df ⊂ R → R ´e estritamente crescente (resp. estritamente decrescente) em Df , ent˜ao f −1 ´e estritamente crescente (resp. estritamente decrescente) em CDf . Prop 3.8 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua e estritamente crescente (resp. estritamente decrescente) num intervalo [a, b]. Sejam c, d ∈ R tais que f (a) = c e f (b) = d. Ent˜ao: (i) f −1 ´e estritamente crescente em [c, d] (resp. estritamente decrescente em [d, c]); (ii) f −1 ´e cont´ınua.
  48. Inversa da fun¸c˜ao exponencial 48 Def 3.9 Fun¸c˜ao exponencial de base e: f : R −→ R x −→ ex onde e ´e o n´umero de Neper, i.e., lim n→+∞ 1 + 1 n n = e. Def 3.10 f ´e estritamente crescente, logo invert´ıvel. A sua inversa ´e a fun¸c˜ao f −1 : R+ −→ R x −→ y = ln x onde y = ln x sse ey = x, ∀y ∈ R, ∀x ∈ R+. Obs 3.11 ln x lˆe-se logaritmo de x ou logaritmo neperiano de x
  49. Gr´aficos das fun¸c˜oes y = ex e y = ln x 49 x y e 1 1 e y = ln x y = ex y = x
  50. Propriedades do logaritmo neperiano 50 Prop 3.12 Para todos x, y ∈ R+ e todo α ∈ R, 1 ln(xy) = ln x + ln y 2 ln(x y ) = ln x − ln y 3 ln(xα) = α ln x Exe 3.13 1 Prove que as propriedades anteriores s˜ao v´alidas. 2 Caracterize a inversa das fun¸c˜oes: (a) f (x) = e1−2x (b) f (x) = 5 ln(x−3)−1 4
  51. Inversa da fun¸c˜ao exponencial de base a 51 Def 3.14 Fun¸c˜ao exponencial de base a: (a > 0, a = 1, a = e) g : R −→ R x −→ ax Def 3.15 g ´e estrit. crescente se a > 1 e estrit. decrescente se a < 1. Portanto g ´e invert´ıvel nos dois casos. A inversa de g ´e a fun¸c˜ao g−1 : R+ −→ R x −→ y = loga x onde y = loga x sse ay = x, ∀y ∈ R, ∀x ∈ R+. Obs 3.16 loga x lˆe-se logaritmo de x na base a
  52. Gr´aficos das fun¸c˜oes y = ax e y = loga x 52 x y a 1 1 a y = loga x y = ax y = x Caso a > 1 x y a 1 1 a y = loga x y = ax y = x Caso 0 < a < 1
  53. Propriedades dos logaritmos 53 Prop 3.17 Sejam x, y ∈ R+, α ∈ R e a, b ∈ R+ {1} 1 loga(xy) = loga x + loga y 2 loga(x y ) = loga x − loga y 3 loga(xα) = α loga x 4 loga x = logb x logb a Exe 3.18 1 Prove que as propriedades anteriores s˜ao v´alidas. 2 Caracterize a inversa das fun¸c˜oes: (a) f (x) = log3(2 − x) (b) f (x) = ex ex +1
  54. Fun¸c˜ao seno 54 Def 3.19 Fun¸c˜ao seno: sen : R −→ R x −→ sen x Prop 3.20 Propriedades da fun¸c˜ao seno: Dom´ınio: R Contradom´ınio: [−1, 1] Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e, sen x = sen(x + 2kπ), ∀x ∈ R e k ∈ Z Fun¸c˜ao ´ımpar N˜ao ´e injetiva
  55. Gr´afico da fun¸c˜ao seno 55 x y π 2 −π 2 3π 2 −3π 2 π 2π−π−2π y = sen x 1 −1 Obs 3.21 A fun¸c˜ao seno n˜ao ´e injetiva em R. No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo −π 2 , π 2 j´a ´e injetiva.
  56. Inversa da fun¸c˜ao seno 56 Def 3.22 A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao seno ´e a fun¸c˜ao f : [−π 2 , π 2 ] −→ R x −→ sen x que j´a ´e injetiva. A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco seno, denota-se por arcsen, e define-se do seguinte modo arcsen : [−1, 1] −→ R x −→ y = arcsen x onde y = arcsen x sse sen y = x, ∀x ∈ [−1, 1], ∀y ∈ −π 2 , π 2 . Obs 3.23 arcsen x lˆe-se arco cujo seno ´e x
  57. Gr´afico da fun¸c˜ao arco seno 57 x y • 1 π 2 • −1 −π 2 y = arcsen x Exe 3.24 Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = 1 2 sen x + π 2 (b) f (x) = π 2 − 2 arcsen(1−x) 3
  58. Fun¸c˜ao cosseno 58 Def 3.25 Fun¸c˜ao cosseno: cos : R −→ R x −→ cos x Prop 3.26 Propriedades da fun¸c˜ao cosseno: Dom´ınio: R Contradom´ınio: [−1, 1] Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e, cos x = cos(x + 2kπ), ∀x ∈ R e k ∈ Z Fun¸c˜ao par N˜ao ´e injetiva
  59. Gr´afico da fun¸c˜ao cosseno 59 x y π 2 −π 2 3π 2 −3π 2 π 2π −π −2π y = cos x 1 −1 Obs 3.27 A fun¸c˜ao cosseno n˜ao ´e injetiva em R. No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo [0, π] j´a ´e injetiva.
  60. Inversa da fun¸c˜ao cosseno 60 Def 3.28 A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao cosseno ´e a fun¸c˜ao f : [0, π] −→ R x −→ cos x que j´a ´e injetiva. A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco cosseno, denota-se por arccos, e define-se do seguinte modo arccos : [−1, 1] −→ R x −→ y = arccos x onde y = arccos x sse cos y = x, ∀x ∈ [−1, 1], ∀y ∈ [0, π]. Obs 3.29 arccos x lˆe-se arco cujo cosseno ´e x
  61. Gr´afico da fun¸c˜ao arco cosseno 61 x y • 1 π 2 • −1 π y = arccos x Exe 3.30 Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = 1 2+cos x (b) f (x) = 2π − arccos x 2
  62. Fun¸c˜ao tangente 62 Def 3.31 Fun¸c˜ao tangente: tg : D ⊂ R −→ R x −→ tg x = sen x cos x Prop 3.32 Propriedades da fun¸c˜ao tangente: Dom´ınio: {x ∈ R : x = π 2 + kπ, k ∈ Z} Contradom´ınio: R Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo π, isto ´e, tg x = tg(x + kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z Fun¸c˜ao ´ımpar N˜ao ´e injetiva
  63. Gr´afico da fun¸c˜ao tangente 63 x y π 2 −π 2 3π 2 −3π 2 π 2π−π−2π y = tg x Obs 3.33 A fun¸c˜ao tangente n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio. No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo −π 2 , π 2 j´a ´e injetiva.
  64. Inversa da fun¸c˜ao tangente 64 Def 3.34 A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao tangente ´e a fun¸c˜ao f : −π 2 , π 2 −→ R x −→ tg x que j´a ´e injetiva. A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco tangente, denota-se por arctg, e define-se do seguinte modo arctg : R −→ R x −→ y = arctg x onde y = arctg x sse tg y = x, ∀x ∈ R, ∀y ∈ −π 2 , π 2 . Obs 3.35 arctg x lˆe-se arco cuja tangente ´e x
  65. Gr´afico da fun¸c˜ao arco tangente 65 x y y = arctg x π 2 −π 2 Exe 3.36 Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = tg π 2−x (b) f (x) = π 2 − 2 3 arctg(1 − x)
  66. Fun¸c˜ao cotangente 66 Def 3.37 Fun¸c˜ao cotangente: cotg : D ⊂ R −→ R x −→ cotg x = cos x sen x Prop 3.38 Propriedades da fun¸c˜ao cotangente: Dom´ınio: {x ∈ R : x = kπ, k ∈ Z} Contradom´ınio: R Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo π, isto ´e, cotg x = cotg(x + kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z Fun¸c˜ao ´ımpar N˜ao ´e injetiva
  67. Gr´afico da fun¸c˜ao cotangente 67 x y π 2 −π 2 3π 2 −3π 2 π 2π−π−2π y =cotg x Obs 3.39 A fun¸c˜ao cotangente n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio. No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo ]0, π[ j´a ´e injetiva.
  68. Inversa da fun¸c˜ao cotangente 68 Def 3.40 A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao cotangente ´e a fun¸c˜ao f : ]0, π[ −→ R x −→ cotg x que j´a ´e injetiva. A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco cotangente, denota-se por arccotg, e define-se do seguinte modo arccotg : R −→ R x −→ y = arccotg x onde y = arccotg x sse cotg y = x, ∀x ∈ R, ∀y ∈]0, π[. Obs 3.41 arccotg x lˆe-se arco cuja cotangente ´e x
  69. Gr´afico da fun¸c˜ao arco cotangente 69 x y y = arccotg x π π 2 Exe 3.42 Caracterize a inversa das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = 2 cotg x 3 (b) f (x) = π + arccotg x−1 2
  70. Fun¸c˜ao secante 70 Def 3.43 Fun¸c˜ao secante: sec : D ⊂ R −→ R x −→ sec x = 1 cos x Prop 3.44 Propriedades da fun¸c˜ao secante: Dom´ınio: {x ∈ R : x = π 2 + kπ, k ∈ Z} Contradom´ınio: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e, sec x = sec(x + 2kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z Fun¸c˜ao par N˜ao ´e injetiva (sec x) = tg x sec x, ∀x ∈ D
  71. Gr´afico da fun¸c˜ao secante 71 x y π 2 −π 2 3π 2 −3π 2 π 2π −π −2π y = sec x 1 −1 Obs 3.45 A fun¸c˜ao secante n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio. No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo 0, π 2 ∪ π 2 , π j´a ´e injetiva.
  72. Inversa da fun¸c˜ao secante 72 Def 3.46 A restri¸c˜ao principal da fun¸c˜ao secante ´e a fun¸c˜ao f : 0, π 2 ∪ π 2 , π −→ R x −→ sec x que j´a ´e injetiva. A inversa de f ´e chamada de fun¸c˜ao arco secante, denota-se por arcsec, e define-se do seguinte modo arcsec : ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ −→ R x −→ y = arcsec x onde, ∀x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, ∀y ∈ [0, π] π 2 y = arcsec x sse sec y = x Obs 3.47 arcsec x lˆe-se arco cuja secante ´e x
  73. Gr´afico da fun¸c˜ao arco secante 73 x y y = arcsec x π 2 • 1 • −1 π
  74. Fun¸c˜ao cossecante 74 Def 3.48 Fun¸c˜ao cossecante: cosec : D ⊂ R −→ R x −→ cosec x = 1 sen x Prop 3.49 Propriedades da fun¸c˜ao cossecante: Dom´ınio: {x ∈ R : x = kπ, k ∈ Z} Contradom´ınio: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ Fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, isto ´e, cosec x = cosec(x + 2kπ), ∀x ∈ D e k ∈ Z Fun¸c˜ao ´ımpar N˜ao ´e injetiva (cosec x) = − cotg x cosec x, ∀x ∈ D
  75. Gr´afico da fun¸c˜ao cossecante 75 x y π 2 −π 2 3π 2 −3π 2 π 2π−π−2π y = cosec x 1 −1 Obs 3.50 A fun¸c˜ao cossecante n˜ao ´e injetiva no seu dom´ınio. No entanto, a sua restri¸c˜ao ao intervalo −π 2 , 0 ∪ 0, π 2 j´a ´e injetiva. `A inversa dessa restri¸c˜ao chama-se fun¸c˜ao arco cossecante Exe 3.51 Defina formalmente e esboce o gr´afico da fun¸c˜ao arco cossecante.
  76. Fun¸c˜oes inversas trigonom´etricas - resumo 76 Obs 3.52 Fun¸c˜ao Dom´ınio Contradom´ınio arcsen x [−1, 1] −π 2 , π 2 arccos x [−1, 1] [0, π] arctg x R −π 2 , π 2 arccotg x R ]0, π[ arcsec x ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ [0, π] π 2 arccosec x ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ −π 2 , π 2 {0}
  77. Algumas f´ormulas trigonom´etricas 77 Prop 3.53 1 sen2 x + cos2 x = 1 2 cosec2 x = 1 + cotg2 x, para x = kπ, k ∈ Z 3 sec2 x = 1 + tg2 x, para x = π 2 + kπ, k ∈ Z 4 cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y 5 cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y 6 sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y 7 sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y 8 cos(2x) = cos2 x − sen2 x 9 sen(2x) = 2 sen x cos x 10 cos2 x = 1+cos(2x) 2 11 sen2 x = 1−cos(2x) 2
  78. Deriva¸c˜ao da inversa de uma fun¸c˜ao 78 Teo 3.54 Teorema da derivada da fun¸c˜ao inversa Sejam f :[a, b] −→ R uma fun¸c˜ao estritamente mon´otona e cont´ınua e f −1 a inversa de f . Se f ´e diferenci´avel em x0 ∈]a, b[ e f (x0) = 0, ent˜ao f −1 ´e diferenci´avel em y0 = f (x0) e f −1 (y0) = 1 f (x0) . Exe 3.55 1 Sendo f : [1, 4] → R cont´ınua e estritamente crescente tal que f (2) = 7 e f (2) = 2 3, calcule, caso exista, (f −1) (7). 2 Sabendo que f (x) = 4x3+x+2 ´e invert´ıvel, calcule f −1 (2). 3 Seja f (x) = x3. Determine f −1 (x) utilizando o teorema da fun¸c˜ao inversa.
  79. Deriva¸c˜ao das fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas 79 Obs 3.56 Resulta do teorema da derivada da fun¸c˜ao inversa que: 1 (arcsen x) = 1 √ 1 − x2 , ∀x ∈] − 1, 1[ 2 (arccos x) = − 1 √ 1 − x2 , ∀x ∈] − 1, 1[ 3 (arctg x) = 1 1 + x2 , ∀x ∈ R 4 (arccotg x) = − 1 1 + x2 , ∀x ∈ R Exe 3.57 Prove as f´ormulas anteriores usando o teorema da derivada da fun¸c˜ao inversa.
  80. Formul´ario de derivadas trigonom´etricas 80 Obs 3.58 Seja u uma fun¸c˜ao de x • (sen u) = u cos u • (cosec u) = −u cotg u cosec u • (cos u) = −u sen u • (arcsen u) = u√ 1−u2 • (tan u) = u sec2 u • (arccos u) = − u√ 1−u2 • (cotg u) = −u cosec2 u • (arctg u) = u 1+u2 • (sec u) = u tg u sec u • (arccotg u) = − u 1+u2
  81. Exerc´ıcios 81 Exe 3.59 1 Seja f (x) = ln(arcsen x), com x ∈]0, 1[. Calcule f −1 (x) utilizando o teorema da fun¸c˜ao inversa. 2 Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = 1 + x2 arctg x (b) f (x) = arcsen 1 x2 (c) f (x) = arccotg sen 4x3 (d) f (x) = 3 √ arccos x 3 Considere a fun¸c˜ao f (x) = arcsen(1 − x) + √ 2x − x2. (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Mostre que f (x) = − x √ 2x − x2
  82. C´alculo I 82 Estudo anal´ıtico de fun¸c˜oes Ricardo Pereira Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro Outubro de 2012
  83. Extremos locais de uma fun¸c˜ao 83 Def 4.1 Sejam f : Df ⊂ R −→ R e a ∈ Df . a ´e um maximizante local de f e f (a) diz-se um m´aximo local de f se existir δ > 0 tal que f (a) ≥ f (x), ∀x ∈ Vδ(a) ∩ Df a ´e um minimizante local de f e f (a) diz-se um m´ınimo local de f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ Vδ(a) ∩ Df Aos m´aximos e m´ınimos locais chamamos extremos locais Aos maximizantes e minimizantes locais chamamos extremantes locais.
  84. Extremos globais de uma fun¸c˜ao 84 Def 4.2 Sejam f : Df ⊂ R −→ R e a ∈ Df . a ´e um maximizante global de f e f (a) diz-se um m´aximo global de f se f (a) ≥ f (x), ∀x ∈ Df a ´e um minimizante global de f e f (a) diz-se um m´ınimo global de f se f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ Df Aos m´aximos e m´ınimos globais chamamos extremos globais Aos maximizantes e minimizantes globais chamamos extremantes globais.
  85. Condi¸c˜ao necess´aria de existˆencia de extremo 85 Prop 4.3 Seja f :]a, b[−→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel em c ∈]a, b[. Se c ´e um extremante local de f ent˜ao f (c) = 0. Ilustra¸c˜ao gr´afica: x y c1 c2 a b y = f (x)
  86. Observa¸c˜oes 86 Obs 4.4 1 O rec´ıproco da proposi¸c˜ao do slide anterior n˜ao ´e verdadeiro. De facto, existem fun¸c˜oes com derivada nula em determinado ponto e esse ponto n˜ao ´e extremante. Por exemplo, f (x) = x3, no ponto x = 0. 2 Pode acontecer que a derivada de f n˜ao exista num dado ponto x0, mas x0 ser extremante. Por exemplo: f (x) = |x|, no ponto x0 = 0. f (x) = 1 x2 se x = 0 0 se x = 0 , no ponto x0 = 0 Def 4.5 Seja f : Df −→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel em c ∈ int(Df ). Se f (c) = 0 dizemos que c ´e ponto cr´ıtico de f .
  87. Teorema de Rolle 87 Teo 4.6 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[. Se f (a) = f (b), ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0 Ilustra¸c˜ao Gr´afica: x y c a b y = f (x)
  88. Corol´arios do Teorema de Rolle 88 Cor 4.7 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[. (i) Entre dois zeros de f existe pelo menos um zero de f . (ii) Entre dois zeros consecutivos de f existe, no m´aximo, um zero de f . Exe 4.8 1 Mostre que se a > 0 a equa¸c˜ao x3 + ax + b = 0 n˜ao pode ter mais que uma raiz real, qualquer que seja b ∈ R. 2 Mostre que a fun¸c˜ao definida por f (x) = sen x + x tem um ´unico zero no intervalo [−π, π]. 3 Seja f (x) = x ln x se x > 0 sen x se x ≤ 0 Mostre que ´e poss´ıvel aplicar o Teorema de Rolle a f em [0, 1] e determine o ponto c ∈ [0, 1[ tal que f (c) = 0.
  89. Teorema de Lagrange 89 Teo 4.9 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[. Ent˜ao, existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = f (b) − f (a) b − a . Ilustra¸c˜ao Gr´afica: x y ca f (a) b f (b) y = f (x)
  90. Exerc´ıcios 90 Exe 4.10 1 Seja f (x) =    x2 sen 1 x se x < 0 0 se x = 0 π 2 − arctg 1 x se x > 0 (a) Estude f quanto `a continuidade em x = 0. (b) Mostre que existe pelo menos um c ∈ − 2 π , 0 tal que f (c) = 2 π . 2 Seja f (x) = arcsen(ln x). (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Mostre que existe pelo menos um c ∈ ]1, e[ tal que f (c) = π 2(e−1) . 3 Seja f (x) = x x+1. Determine, caso existam, os valores de c ∈ R para os quais a tangente ao gr´afico de f no ponto (c, f (c)) seja paralela `a reta que passa pelos pontos (1, f (1)) e (3, f (3)).
  91. Consequˆencias do Teorema de Lagrange 91 Prop 4.11 Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua em I e diferenci´avel em int(I). Ent˜ao (i) Se f (x) = 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e constante em I. (ii) Se f (x) ≥ 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e crescente em I. (iii) Se f (x) ≤ 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e decrescente em I. (iv) Se f (x) > 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e estritamente crescente em I. (v) Se f (x) < 0, ∀x ∈ int(I), ent˜ao f ´e estritamente decrescente em I.
  92. Cond. suficientes para a existˆencia de extremo 92 Prop 4.12 Seja f : Df −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] ⊂ Df e diferenci´avel em ]a, b[, exceto possivelmente em c ∈]a, b[. Ent˜ao, (i) se f (x) > 0, ∀x < c e f (x) < 0, ∀x > c, ent˜ao f (c) ´e um m´aximo local de f . (ii) se f (x) < 0, ∀x < c e f (x) > 0, ∀x > c, ent˜ao f (c) ´e um m´ınimo local de f . Prop 4.13 Seja c um ponto cr´ıtico de f num intervalo ]a , b[. Admitamos que f ´e cont´ınua em ]a, b[ e f existe e ´e finita em todo o ponto de ]a, b[. Ent˜ao verificam-se as condi¸c˜oes seguintes: (i) se f (c) < 0, ent˜ao f admite em c um m´aximo local. (ii) se f (c) > 0, ent˜ao f admite em c um m´ınimo local.
  93. Exerc´ıcios 93 Exe 4.14 1 Seja f (x) = ln x x . (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto `a monotonia e existˆencia de extremos locais. 2 Mostre que f (x) = ex ex +1 ´e estritamente crescente em R. 3 Seja f (x) = x x+1 + ln(x + 1). (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Estude f quanto `a monotonia e existˆencia de extremos locais. 4 Seja h(x) = x + 2 sen x − 1. (a) Mostre que h tem pelo menos um zero no intervalo ]0, π 2 [. (b) Prove que a equa¸c˜ao x + 2 sen x − 1 = 0 tem uma ´unica solu¸c˜ao no intervalo ]0, π 2 [.
  94. Concavidades 94 Def 4.15 Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel em ]a, b[. Dizemos que o gr´afico de f tem a concavidade voltada para cima em ]a, b[ se, para todo o c ∈]a, b[, f (x) > f (c) + f (c)(x − c) , para todo o x ∈]a, b[{c} , isto ´e, o gr´afico de f est´a situado acima da tangente ao gr´afico de f no ponto (c, f (c)). Dizemos que o gr´afico de f tem a concavidade voltada para baixo em ]a, b[ se, para todo o c ∈]a, b[, f (x) < f (c) + f (c)(x − c) , para todo o x ∈]a, b[{c} , isto ´e, o gr´afico de f est´a situado abaixo da tangente ao gr´afico de f no ponto (c, f (c)).
  95. Concavidades (graficamente) 95 x y ca b y = f (x) y = f (c) + f (c)(x − c) Concavidade voltada para cima x y ca b y = f (x) y = f (c) + f (c)(x − c) Concavidade voltada para baixo
  96. Concavidades e pontos de inflex˜ao 96 Prop 4.16 Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel em ]a, b[ tal que existe e ´e finita f (x), para todo o x ∈]a, b[. (i) Se f (x) > 0, ∀x ∈]a, b[, ent˜ao o gr´afico de f tem concavidade voltada para cima em ]a, b[. (ii) Se f (x) < 0, ∀x ∈]a, b[, ent˜ao o gr´afico de f tem concavidade voltada para baixo em ]a, b[. Def 4.17 Seja f :]a, b[−→ R uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel excepto possivelmente em c ∈]a, b[. Dizemos que o ponto de coordenadas (c, f (c)) ´e um ponto de inflex˜ao do gr´afico de f se f (x) muda de sinal em x = c.
  97. Exerc´ıcios 97 Exe 4.18 1 Estude o sentido das concavidades e determine, se existirem, os pontos de inflex˜ao da fun¸c˜ao f (x) = x4 − 8x3 + 12x − 4. 2 Seja f (x) = ln(2ex − 1). (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Mostre que f tem a concavidade voltada para baixo em todo o seu dom´ınio.
  98. Teorema de Cauchy 98 Teo 4.19 Sejam f e g duas fun¸c˜oes cont´ınuas em [a, b] e diferenci´aveis em ]a, b[. Se g (x) = 0, para todo o x ∈]a, b[, ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f (c) g (c) = f (b) − f (a) g(b) − g(a) . Obs 4.20 Do Teorema de Cauchy pode estabelecer-se uma regra — Regra de Cauchy — de grande utilidade no c´alculo de limites quando ocorrem indetermina¸c˜oes do tipo ∞ ∞ ou 0 0 . Nos cinco slides seguintes enunciam-se as v´arias formas dessa regra.
  99. Regra de Cauchy (vers˜ao 1) 99 Prop 4.21 Sejam f e g fun¸c˜oes diferenci´aveis em I =]a, b[ tais que, ∀x ∈ I, g(x) = 0 e g (x) = 0. Se lim x→a+ f (x) e lim x→a+ g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos e existe o limite lim x→a+ f (x) g (x) ent˜ao lim x→a+ f (x) g(x) = lim x→a+ f (x) g (x) .
  100. Regra de Cauchy (vers˜ao 2) 100 Prop 4.22 Sejam f e g fun¸c˜oes diferenci´aveis em I =]a, b[ tais que, ∀x ∈ I, g(x) = 0 e g (x) = 0. Se lim x→b− f (x) e lim x→b− g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos e existe o limite lim x→b− f (x) g (x) ent˜ao lim x→b− f (x) g(x) = lim x→b− f (x) g (x) .
  101. Regra de Cauchy (vers˜ao 3) 101 Prop 4.23 Sejam I =]a, b[ e c ∈ I. Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I e diferenci´aveis em I {c}, tais que g(x) = 0, ∀x ∈ I {c}. Se g (x) = 0, ∀x ∈ I {c}, lim x→c f (x) e lim x→c g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos e existe o limite lim x→c f (x) g (x) ent˜ao lim x→c f (x) g(x) = lim x→c f (x) g (x) .
  102. Regra de Cauchy (vers˜ao 4) 102 Prop 4.24 Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I =]a, +∞[ e diferenci´aveis em I, com g(x) = 0, ∀x ∈ I. Se g (x) = 0, ∀x ∈ I, lim x→+∞ f (x) e lim x→+∞ g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos e existe lim x→+∞ f (x) g (x) ent˜ao lim x→+∞ f (x) g(x) = lim x→+∞ f (x) g (x)
  103. Regra de Cauchy (vers˜ao 5) 103 Prop 4.25 Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I =] − ∞, b[ e diferenci´aveis em I, com g(x) = 0, ∀x ∈ I. Se g (x) = 0, ∀x ∈ I, lim x→−∞ f (x) e lim x→−∞ g(x) s˜ao ambos nulos ou ambos infinitos e existe lim x→−∞ f (x) g (x) ent˜ao lim x→−∞ f (x) g(x) = lim x→−∞ f (x) g (x)
  104. Exerc´ıcios 104 Exe 4.26 1 Calcule, caso existam, os seguintes limites: (a) lim x→0 2 arcsen x 3x (b) lim x→1 1 − x ln(2 − x) (c) lim x→0 x2 arctg x (d) lim x→+∞ ln x x3 (e) lim x→0− x2 ln(−x) (f) lim x→−∞ xe 1 x (g) lim x→0 xe 1 x2 (h) lim x→1+ (ln x)ln x 2 Mostre que existe lim x→+∞ x − sen x x + sen x , mas n˜ao pode aplicar-se para o seu c´alculo a regra de Cauchy.
  105. Assintotas 105 Def 4.27 Seja f tal que ]a, +∞[⊂ Df , para algum a ∈ R. Dizemos que a reta de equa¸c˜ao y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f `a direita ou quando x → +∞ se lim x→+∞ [f (x)−(mx + b)] = 0 Seja f tal que ] − ∞, a[⊂ Df , para algum a ∈ R. Dizemos que a reta de equa¸c˜ao y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f `a esquerda ou quando x → −∞ se lim x→−∞ [f (x)−(mx + b)] = 0 Quando lim x→+∞ f (x) = b ou lim x→−∞ f (x) = b diz-se que y = b ´e uma assintota horizontal ao gr´afico de f A reta de equa¸c˜ao x = a diz-se uma assintota vertical ao gr´afico de f se se verificar uma das condi¸c˜oes: lim x→a+ f (x) = +∞ ou lim x→a+ f (x) = −∞ ou lim x→a− f (x) = +∞ ou lim x→a− f (x) = −∞ .
  106. Carateriza¸c˜ao das assintotas n˜ao verticais 106 Prop 4.28 Seja f tal que ]a, +∞[⊂ Df , para algum a∈R. A reta de equa¸c˜ao y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f `a direita se e s´o se existem e s˜ao finitos os limites lim x→+∞ f (x) x e lim x→+∞ [f (x) − mx]. Nesse caso, temos m = lim x→+∞ f (x) x e b = lim x→+∞ (f (x) − mx) . Prop 4.29 Seja f tal que ] − ∞, a[⊂ Df , para algum a∈R. A reta de equa¸c˜ao y = mx + b ´e uma assintota ao gr´afico de f `a esquerda se e s´o se existem e s˜ao finitos os limites lim x→−∞ f (x) x e lim x→−∞ [f (x) − mx]. Nesse caso, temos m = lim x→−∞ f (x) x e b = lim x→−∞ (f (x) − mx) .
  107. Exerc´ıcios 107 Exe 4.30 1 Determine o dom´ınio e, caso existam, as assintotas ao gr´afico das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = π 2 − arctg 1 x (b) f (x) = x x+1 + ln(x + 1) (c) f (x) = x + arctg x (d) f (x) = 1−cos(3x) x−2 2 Considere a fun¸c˜ao f definida em R {0} por f (x) = ln x x se x > 0 xe 1 x se x < 0 Determine, caso existam, as assintotas ao gr´afico de f .
  108. Esbo¸co do gr´afico de uma fun¸c˜ao 108 Obs 4.31 Para esbo¸car o gr´afico de uma fun¸cao deve-se ter em conta: o dom´ınio da fun¸c˜ao os pontos de interse¸c˜ao com os eixos OX e OY o sinal da fun¸c˜ao os pontos de descontinuidade as assintotas ao gr´afico os intervalos de monotonia os extremantes locais os pontos de inflex˜ao e as concavidades.
  109. Exerc´ıcios 109 Exe 4.32 Considere a fun¸cao f definida por f (x) = x2 x2 − 1 . (a) Determine o dom´ınio de f . (b) Calcule os zeros de f . (c) Determine a fun¸c˜ao derivada de f . (d) Estude f quanto `a monotonia. (e) Calcule, caso existam, os extremos locais de f . (f) Estude os intervalos de concavidade de f . (g) Determine, caso existam, as assintotas ao gr´afico de f . (h) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f .
  110. C´alculo I 110 Integrais indefinidos Ricardo Pereira Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro Outubro de 2012
  111. Primitiva de uma fun¸c˜ao 111 Def 5.1 Seja f : I −→ R uma fun¸c˜ao, onde I ´e um intervalo n˜ao degenerado de R. Chama-se primitiva ou antiderivada de f a toda a fun¸c˜ao F diferenci´avel em I tal que, para todo o x ∈ I, F (x) = f (x). Se f admite uma primitiva em I dizemos que f ´e primitiv´avel em I. Obs 5.2 Caso I = [a, b], dizer que F ´e diferenci´avel em I significa que, para todo o x ∈]a, b[, F ´e diferenci´avel em x e que existem e s˜ao finitas F+(a) e F−(b). Conven¸c˜oes an´alogas para I = [a, b[ ou I =]a, b]. Toda a primitiva de uma fun¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.
  112. Primitiva de uma fun¸c˜ao (cont.) 112 Exe 5.3 Indique uma primitiva das seguintes fun¸c˜oes (no intervalo indicado) (a) f (x) = 2x, em R (b) f (x) = ex , em R (c) f (x) = cos x, em R (d) f (x) = 1 x , em R+ Prop 5.4 Seja f : I → R uma fun¸c˜ao e F : I → R uma primitiva de f em I. Ent˜ao, para cada C ∈ R, G(x) = F(x) + C ´e tamb´em uma primitiva de f em I. Prop 5.5 Se F : I → R e G : I → R s˜ao duas primitivas de f : I → R, ent˜ao existe C ∈ R tal que F(x) − G(x) = C, para todo o x ∈ I.
  113. Integral Indefinido 113 Def 5.6 `A fam´ılia de todas as primitivas de uma fun¸c˜ao f chamamos integral indefinido de f . Denota-se esse conjunto de fun¸c˜oes por f (x) dx A f chamamos fun¸c˜ao integranda e a x vari´avel de integra¸c˜ao Obs 5.7 Atendendo `a segunda proposi¸c˜ao do slide anterior, se F for uma primitiva de f , ent˜ao f (x) dx = F(x) + C, C ∈ R
  114. Alguns Integrais Indefinidos Imediatos 114 Obs 5.8 1 xp dx = xp+1 p + 1 + C , C ∈ R, p ∈ R {−1} 2 1 x dx = ln | x | +C , C ∈ R (onde x ∈ R+ ou x ∈ R− ) 3 ex dx = ex + C , C ∈ R 4 ax dx = ax ln a + C , C ∈ R, a ∈ R+ {1} 5 sen x dx = − cos x + C , C ∈ R 6 cos x dx = sen x + C , C ∈ R
  115. Alguns Integrais Indefinidos Imediatos (cont.) 115 Obs 5.8 (cont.) 7 sec2 x dx = tg x + C , C ∈ R 8 cosec2 x dx = − cotg x + C , C ∈ R 9 1 √ 1 − x2 dx = arcsen x + C , C ∈ R 10 1 1 + x2 dx = arctg x + C , C ∈ R 11 sec x tg x dx = sec x + C , C ∈ R 12 cosec x cotg x dx = − cosec x + C , C ∈ R
  116. Exerc´ıcios 116 Prop 5.9 Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em I e α, β ∈ R n˜ao simultaneamente nulos. Se f e g s˜ao primitiv´aveis em I, ent˜ao αf +βg ´e primitiv´avel em I e (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx . Exe 5.10 Calcule: (a) (2x − 3 sen x) dx (b) (x + 3)x2 dx (c) x + 3 x2 dx (d) 5 √ x3 dx
  117. F´ormula para a Primitiva¸c˜ao Imediata 117 Prop 5.11 Sejam I e J dois intervalos de n´umeros reais, f : I → R uma fun¸c˜ao primitiv´avel e g : J → R uma fun¸c˜ao tal que a composta f ◦ g est´a definida. Se g ´e diferenci´avel em J, ent˜ao (f ◦ g)g ´e primitiv´avel e tem-se f (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + C , C ∈ R , onde F ´e uma primitiva de f . Exemplo de aplica¸c˜ao 2x cos(x2 ) dx = sen(x2 ) + C , C ∈ R
  118. Lista de Integrais Indefinidos Imediatos 118 Obs 5.12 (Esta lista generaliza os slides 145 e 115, e ´e uma consequˆencia da Prop 5.11) Seja u uma fun¸c˜ao de x 1 u up dx = up+1 p + 1 + C , C ∈ R, p ∈ R {−1} 2 u u dx = ln |u| + C , C ∈ R 3 u eu dx = eu + C , C ∈ R 4 u au dx = au ln a + C , C ∈ R, a ∈ R+ {1} 5 u sen u dx = − cos u + C , C ∈ R 6 u cos u dx = sen u + C , C ∈ R
  119. Lista de Integrais Indefinidos Imediatos (cont.) 119 Obs 5.12 (cont.) 7 u sec2 u dx = tg u + C , C ∈ R 8 u cosec2 u dx = − cotg u + C , C ∈ R 9 u √ 1 − u2 dx = arcsen u + C , C ∈ R 10 u 1 + u2 dx = arctg u + C , C ∈ R 11 u sec u tg u dx = sec u + C , C ∈ R 12 u cosec u cotg u dx = − cosec u + C , C ∈ R
  120. Exerc´ıcios 120 Exe 5.13 Calcule os seguintes integrais indefinidos: (a) x4 1 + x5 dx (b) sen( √ 2x) dx (c) x7x2 dx (d) tg x dx (e) ln x x dx (f) 5 x ln3 x dx (g) 1 x ln x dx (h) 1 x2 + 9 dx (i) sen x cos5 x dx (j) etg x sec2 x dx (k) 3x √ 1 − x4 dx (l) x3 √ 1 − x4 dx
  121. Exerc´ıcios (cont.) 121 Exe 5.14 1 Determine a fun¸c˜ao f : R → R tal que f (x) = 2ex 3 + ex e f (0) = ln 4 2 Sabendo que a fun¸c˜ao f satisfaz a igualdade f (x) dx = sen x − x cos x − 1 2 x2 + c, c ∈ R, determinar f π 4 . 3 Determine a primitiva da fun¸c˜ao f (x) = 1 x2 + 1 que se anula no ponto x = 2.
  122. Primitiva¸c˜ao por Partes 122 Prop 5.15 Sejam u e v fun¸c˜oes de x diferenci´aveis em I. Ent˜ao u v dx = uv − uv dx Exemplo de aplica¸c˜ao x u ln x v dx = x2 2 ln x − x2 2 1 x dx = x2 2 ln x − x 2 dx = x2 2 ln x − x2 4 + C , C ∈ R .
  123. Observa¸c˜oes sobre a Primitiva¸c˜ao por Partes 123 Obs 5.16 Esta f´ormula ´e ´util sempre que a fun¸c˜ao integranda se pode escrever como o produto de duas fun¸c˜oes e, al´em disso, ´e conhecida uma primitiva de pelo menos uma delas. Sabendo primitivar apenas uma das fun¸c˜oes, escolhe-se essa para primitivar e deriva-se a outra fun¸c˜ao. Quando conhecemos uma primitiva de cada uma das fun¸c˜oes, devemos escolher para derivar a fun¸c˜ao que mais se simplifica por deriva¸c˜ao. Por vezes essa escolha ´e indiferente. Por vezes ´e necess´ario efetuar v´arias aplica¸c˜oes sucessivas da f´ormula de integra¸c˜ao por partes. Por vezes obt´em-se novamente o integral que se pretende determinar. Nesses casos, interpreta-se a igualdade obtida como uma equa¸c˜ao em que a inc´ognita ´e integral que se pretende determinar.
  124. Exerc´ıcios 124 Exe 5.17 Calcule, usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por partes, os seguintes integrais indefinidos: (a) x cos x dx (b) e−3x (2x + 3) dx (c) arctg x dx (d) x3 ln x dx (e) x3 ex2 dx (f) e2x sen x dx (g) sen(ln x) dx (h) ln2 x dx
  125. Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes trigonom´etricas 125 Obs 5.18 1 Potˆencias ´ımpares de sen x ou cos x Destaca-se uma unidade `a potˆencia ´ımpar e o fator resultante passa-se para a co-fun¸c˜ao usando sen2 x + cos2 x = 1. 2 Potˆencias pares de sen x ou cos x Passam-se para o arco duplo atrav´es das f´ormulas cos2 x = 1+cos(2x) 2 ou sen2 x = 1−cos(2x) 2 3 Produtos onde existem fatores tipo sen (mx) ou cos (nx) Aplicam-se as f´ormulas • sen x sen y = 1 2 cos(x − y) − cos(x + y) • cos x cos y = 1 2 cos(x + y) + cos(x − y) • sen x cos y = 1 2 sen(x + y) + sen(x − y)
  126. Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes trigonom´etricas 126 Obs 5.18 (cont.) 4 Potˆencias pares e ´ımpares de tan x ou cotg x Destaca-se tan2 x ou cotg2 x e aplicam-se as f´ormulas tan2 x = sec2 x − 1 ou cotg2 x = cosec2 x − 1 5 Potˆencias pares de sec x ou cosec x Destaca-se sec2 x ou cosec2 x e ao fator resultante aplicam-se as f´ormulas sec2 x = 1 + tan2 x ou cosec2 x = 1 + cotg2 x 6 Potˆencias ´ımpares de sec x ou cosec x Destaca-se sec2 x ou cosec2 x e primitiva-se por partes escolhendo esse fator para primitivar.
  127. Exerc´ıcios 127 Exe 5.19 Calcule os seguintes integrais indefinidos: (a) cos2 x dx (b) sen3 x dx (c) tan6 x dx (d) sen4 x dx (e) sec3 x dx (f) sen x cos2 x dx (g) sen5 x cos2 x dx (h) cos x cos(5x) dx (i) sen(3x) cos(4x) dx (j) sen(2x) sen(−3x) dx
  128. Primitiva¸c˜ao por Substitui¸c˜ao 128 Prop 5.20 Sejam I e J intervalos de R, f : I −→ R uma fun¸c˜ao primitiv´avel e ϕ : J −→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel e invert´ıvel tal que ϕ(J) ⊂ I. Ent˜ao a fun¸c˜ao (f ◦ ϕ)ϕ ´e primitiv´avel e, sendo H uma primitiva de (f ◦ ϕ)ϕ , tem-se que H ◦ ϕ−1 ´e uma primitiva de f . Obs 5.21 Na pr´atica, quando calculamos uma primitiva recorrendo `a Proposi¸c˜ao anterior, usando a mudan¸ca de vari´avel x = ϕ(t), escrevemos, por abuso de linguagem, f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt = H(ϕ−1 (x)) + C , C ∈ R .
  129. Exemplo 129 Exemplo de aplica¸c˜ao da t´ecnica de primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao 1 1 + √ 2x dx Substitui¸c˜ao de vari´avel: √ 2x = t, donde resulta x = t2 2 , t ≥ 0. ϕ(t) = t2 2 ´e diferenci´avel e invert´ıvel em R+ 0 e ϕ (t) = t. Assim 1 1 + √ 2x dx = t 1 + t dt = 1 − 1 1 + t dt = t − ln |1 + t| + C , C ∈ R = √ 2x − ln(1 + √ 2x) + C , C ∈ R .
  130. Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes envolvendo radicais 130 Obs 5.22 As substitui¸c˜oes trigonom´etricas dadas na seguinte tabela permitem transformar a primitiva¸c˜ao de uma fun¸c˜ao que envolve radicais na primitiva¸c˜ao de uma fun¸c˜ao trigonom´etrica. fun¸c˜ao com o radical substitui¸c˜ao √ a2 − b2x2, a, b > 0 x = a b sen t, com t ∈] − π 2 , π 2 [ √ a2 + b2x2, a, b > 0 x = a b tan t, com t ∈] − π 2 , π 2 [ √ b2x2 − a2, a, b > 0 x = a b sec t, com t ∈]0, π 2 [
  131. Exerc´ıcios 131 Exe 5.23 Calcule, usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao, os seguintes integrais indefinidos: (a) x2 √ 1 − x dx (b) x(2x + 5)10 dx (c) 1 √ ex − 1 dx (d) √ x 1 + 3 √ x dx (e) x2 4 − x2 dx (f) 1 x2 √ x2 − 7 dx (g) 1 x √ x2 + 4 dx (h) 1 x2 √ 9 − x2 dx
  132. Primitiva¸c˜ao de Fun¸c˜oes Racionais 132 Def 5.24 Uma fun¸c˜ao cuja express˜ao anal´ıtica admite a forma N(x) D(x) onde N e D s˜ao polin´omios em x com coeficientes reais e D ´e n˜ao nulo, diz-se uma fun¸c˜ao racional. Caso grau(N) < grau(D) dizemos que N(x) D(x) ´e uma fra¸c˜ao pr´opria. Prop 5.25 Se grau(N) ≥ grau(D), ent˜ao existem polin´omios Q e R tais que N(x) = D(x)Q(x) + R(x), com grau(R) < grau(D). A Q e R chamamos quociente e resto da divis˜ao de N por D, respetivamente.
  133. Primitiva¸c˜ao de Fun¸c˜oes Racionais (cont.) 133 Obs 5.26 Assim, caso grau(N) ≥ grau(D), N(x) D(x) = Q(x) + R(x) D(x) polin´omio fra¸c˜ao pr´opria Como N(x) D(x) dx = Q(x) dx + R(x) D(x) dx , e a primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes polinomiais ´e imediata, a primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais reduz-se `a primitiva¸c˜ao de fra¸c˜oes pr´oprias, que por sua vez se pode reduzir `a primitiva¸c˜ao de fra¸c˜oes simples.
  134. Fra¸c˜oes simples 134 Def 5.27 Chamamos fra¸c˜ao simples a toda a fra¸c˜ao do tipo A (x − α)p ou Bx + C (x2 + βx + γ)q , onde p, q ∈ N, A ∈ R {0}, B, C ∈ R n˜ao simultaneamente nulos e α, β, γ ∈ R s˜ao tais que β2 − 4γ < 0. Exemplos de fra¸c˜oes simples 2 x − 1 , 1 x2 , x − 2 x2 + x + 1 , 1 (x2 + x + 2)3 Prop 5.28 Toda a fra¸c˜ao pr´opria pode ser decomposta numa soma de fra¸c˜oes simples.
  135. Decompor fra¸c˜oes pr´oprias em fra¸c˜oes simples 135 Obs 5.29 Fra¸c˜ao a decompor: R(x) D(x) , com grau(R) < grau(D) Procedimento 1 Decompor D(x) em fatores irredut´ıveis: D(x)=a(x−α1)p1. . .(x−αn)pn (x2+β1x+γ1)q1. . .(x2+βmx+γm)qm onde a ∈ R {0}, pi , qj ∈ N, αi , βj , γj ∈ R, com βj − 4γj < 0, para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , m. 2 Fazer corresponder a cada factor de D(x) uma determinada fra¸c˜ao simples de acordo com o seguinte: (i) Ao fator de D(x) do tipo (x − α)r (r ∈ N) corresponde A1 x − α + A2 (x − α)2 + · · · + Ar (x − α)r onde A1, . . . , Ar s˜ao constantes reais a determinar.
  136. Decompor fra¸c˜oes pr´oprias em fra¸c˜oes simples 136 Procedimento (cont.) (ii) Ao fator de D(x) do tipo (x2 + βx + γ)s , com β2 − 4γ < 0 e s ∈ N corresponde B1x + C1 x2 + βx + γ + B2x + C2 (x2 + βx + γ)2 + · · · + Bsx + Cs (x2 + βx + γ)s onde Bi , Ci s˜ao constantes reais a determinar, i = 1, . . . , s. 3 Escrever R(x) D(x) como soma dos elementos simples identificados no ponto anterior e determinar as constantes que neles ocorrem, usando o m´etodo dos coeficientes indeterminados.
  137. Primitiva¸c˜ao de Fra¸c˜oes Simples 137 Primitiva¸c˜ao de Fra¸c˜oes Simples 1 Fra¸c˜ao do tipo: A (x − α)r Se r = 1, A x − α dx = A ln |x − α| + C, C ∈ R Se r = 1, A (x − α)r dx = A(x − α)−r+1 −r + 1 + C, C ∈ R 2 Fra¸c˜ao do tipo: Bx + C (x2 + βx + γ)s Reduz-se `a primitiva¸c˜ao de fra¸c˜oes do tipo (i) ou (ii): (i) t (1 + t2)s (ii) 1 (1 + t2)s
  138. Primitiva¸c˜ao de Fra¸c˜oes Simples 138 Primitiva¸c˜ao das fra¸c˜oes do tipo (i) e (ii) do slide anterior (i) Fra¸c˜ao do tipo: t (1 + t2)s Se s = 1, t 1 + t2 dt = 1 2 ln |1 + t2 | + C, C ∈ R Se s = 1, t (1 + t2)s dt = (1 + t2)−s+1 2(−s + 1) + C, C ∈ R (ii) Fra¸c˜ao do tipo: 1 (1 + t2)s Se s = 1, 1 1 + t2 dt = arctg t + C, C ∈ R Se s = 1, aplica-se o m´etodo de primitiva¸c˜ao por partes recursivamente, partindo de 1 1 + t2 dt.
  139. Exerc´ıcios 139 Exe 5.30 Calcule os seguintes integrais indefinidos: (a) x x2 − 5x + 6 dx (b) 2x − 1 (x − 2)(x − 3)(x + 1) dx (c) x + 1 x3 − 1 dx (d) x5 + x4 − 8 x3 − 4x dx (e) x + 2 x(x2 + 4) dx (f) 3x − 1 x3 + x dx (g) x + 1 x2 + 4x + 5 dx (h) 5x − 4 x(x2 − 2x + 2) dx
  140. C´alculo I 140 Integral definido Ricardo Pereira Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro Novembro de 2012
  141. Motiva¸c˜ao `a defini¸c˜ao de Integral de Riemann 141 Quest˜ao: Como calcular a ´area delimitada pelo gr´afico de f , pelas retas x = a, x = b e y = 0 ? y = f (x) A ba
  142. ´Area calculada por defeito 142 y y = f (x) x0 = a b = x6 x1 x2 x3 x4 x5 Am = 6 i=1 mi (xi − xi−1) mi =min {f (x): x ∈ [xi−1, xi ]} m1 m2 m5 m6 m3 m4
  143. ´Area calculada por excesso 143 y y = f (x) x0 = a b = x6 x1 x2 x3 x4 x5 AM = 6 i=1 Mi (xi − xi−1) Mi =max {f (x): x ∈ [xi−1, xi ]} M6 M1 M2 M3 M5 M4
  144. Outra aproxima¸c˜ao para o valor da ´area 144 x y y = f (x) x0 = a b = x6 x1 x2 x3 x4 x5 A∗ = 6 i=1 f (x∗ i )(xi − xi−1) Notar que: Am ≤ A∗ ≤ AM x∗ 1 x∗ 2 x∗ 3 x∗ 4 x∗ 5 x∗ 6 f (x∗ 1 ) f (x∗ 3 ) f (x∗ 4 ) f (x∗ 5 ) f (x∗ 6 ) f (x∗ 2 )
  145. Parti¸c˜ao de um intervalo 145 Def 6.1 Chama-se parti¸c˜ao de [a, b] a todo o subconjunto finito de [a, b] P = {x0, x1, . . . , xn} tal que a ≡ x0 < x1 < · · · < xn ≡ b. Chama-se diˆametro de P, e denota-se por ∆P, `a maior das amplitudes dos intervalos [xi−1, xi ], i = 1, 2, . . . , n, isto ´e ∆P = max {xi − xi−1 : i = 1, 2, . . . , n} . Chama-se sele¸c˜ao de P a todo o conjunto C = {x∗ 1 , x∗ 2 , . . . , x∗ n } tal que x∗ 1 ∈ [x0, x1], x∗ 2 ∈ [x1, x2], . . . , x∗ n ∈ [xn−1, xn].
  146. Soma de Riemann 146 Def 6.2 Sejam f : [a, b] → R, P = {x0, x1, . . . , xn} uma parti¸c˜ao de [a, b] e C = {x∗ 1 , x∗ 2 , . . . , x∗ n } uma sua sele¸c˜ao. Chama-se soma de Riemann de f associada `a parti¸c˜ao P e sele¸c˜ao C `a seguinte soma, Sf (P, C) := n i=1 f (x∗ i )(xi − xi−1) . Obs 6.3 Nos slides anteriores, as somas Am, AM e A∗ s˜ao somas de Riemann de f para uma mesma parti¸c˜ao de [a, b] em 6 sub-intervalos, para trˆes sele¸c˜oes diferentes.
  147. Integral de Riemann 147 Def 6.4 Sejam f : [a, b] → R e I ∈ R. Diz-se que I ´e o integral de Riemann (ou integral definido) de f em [a, b] (ou de a para b) se para todo o > 0 existe δ > 0 tal que, para toda a parti¸c˜ao P de [a, b], tal que ∆P < δ, se tem |Sf (P, C) − I| < para toda a sele¸c˜ao C de P. Caso exista I, nas condi¸c˜oes anteriores, diz-se que f ´e integr´avel em [a, b] e escreve-se I = b a f (x) dx .
  148. Nomenclatura 148 b a f (x) dx limite superior de integra¸c˜ao limite inferior de integra¸c˜ao vari´avel de integra¸c˜ao fun¸c˜ao integranda Obs 6.5 A vari´avel de integra¸c˜ao ´e uma vari´avel muda, i.e., podemos escrever b a f (x) dx = b a f (t) dt = b a f (u) du, por exemplo. Na defini¸c˜ao de integral de Riemann considerou-se a < b. Caso a = b, b a f (x) dx = 0 ; Caso a > b, b a f (x) dx = − a b f (x) dx .
  149. Integral de Riemann - caracteriza¸c˜ao 149 Prop 6.6 Sejam f : [a, b] → R e I um n´umero real. Ent˜ao I ´e o integral de Riemann de f de a para b se e s´o se, para toda a sucess˜ao (Pn)n∈N de parti¸c˜oes do intervalo [a, b] tal que lim n→+∞ (∆Pn) = 0 se tem lim n→+∞ Sf (Pn, Cn) = I , para toda a sucess˜ao (Cn)n∈N tal que, para cada n ∈ N, Cn ´e uma sele¸c˜ao de Pn.
  150. Exerc´ıcios 150 Exe 6.7 1 Sabendo que f definida por f (x) = x ´e integr´avel em [0, 1], mostre usando a proposi¸c˜ao anterior que 1 0 x dx = 1 2 2 Seja k ∈ R. Sabendo que f definida por f (x) = k ´e integr´avel no intervalo [a, b], mostre usando a proposi¸c˜ao anterior que b a k dx = k(b − a)
  151. Carateriza¸c˜ao das fun¸c˜oes integr´aveis 151 Prop 6.8 Seja f uma f.r.v.r definida em [a, b]. Ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b] se e s´o se, para todo o > 0, existe uma parti¸c˜ao P = {x0, x1, · · · , xn} do intervalo [a, b] tal que, para todas as sele¸c˜oes C = {x∗ 1 , x∗ 2 , · · · , x∗ n } e C = {x1, x2, · · · , xn} de P, se tem n i=1 |f (x∗ i ) − f (xi )|(xi − xi−1) < .
  152. Propriedades das fun¸c˜oes integr´aveis 152 Prop 6.9 Sejam f e g fun¸c˜oes integr´aveis em [a, b] e α ∈ R. 1 f + g ´e integr´avel em [a, b] e b a (f (x) + g(x)) dx = b a f (x) dx + b a g(x) dx; 2 αf ´e integr´avel em [a, b] e b a αf (x) dx = α b a f (x) dx; 3 |f | ´e integr´avel em [a, b]; 4 fg ´e integr´avel em [a, b]; 5 f ´e integr´avel em qualquer sub-intervalo [c, d] de [a, b]; 6 Se c ∈]a, b[, ent˜ao f ´e integr´avel em [a, c] e em [c, b] e b a f (x) dx = c a f (x) dx + b c f (x) dx ;
  153. Propriedades das fun¸c˜oes integr´aveis (cont.) 153 Prop 6.9 (cont.) 7 Se f (x) ≥ 0, para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao b a f (x) dx ≥ 0; 8 Se f (x) ≤ g(x), para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao b a f (x) dx ≤ b a g(x) dx 9 Se m ≤ f (x) ≤ M, para todo o x ∈ [a, b], onde m, M ∈ R, ent˜ao m(b − a) ≤ b a f (x) dx ≤ M(b − a) 10 b a f (x) dx ≤ b a |f (x)| dx
  154. Crit´erios de Integrabilidade 154 Prop 6.10 Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao. Se f ´e integr´avel em [a, b] ent˜ao f ´e limitada em [a, b]. Obs 6.11 A proposi¸c˜ao anterior, permite concluir que se f n˜ao for limitada em [a, b] ent˜ao f n˜ao ´e integr´avel em [a, b]. A proposi¸c˜ao anterior ´e apenas necess´aria, isto ´e, existem fun¸c˜oes limitadas num intervalo que n˜ao s˜ao integr´aveis nesse intervalo.
  155. Exerc´ıcios 155 Exe 6.12 1 Mostre que a fun¸c˜ao f definida por f (x) = 1 x se x = 0 0 se x = 0 n˜ao ´e integr´avel em qualquer intervalo fechado e limitado que contenha a origem. 2 Verifique que a fun¸c˜ao definida por h(x) = 0 se x ∈ Q 1 se x ∈ R Q ´e limitada mas n˜ao ´e integr´avel em [0, 1].
  156. Condi¸c˜oes de integrabilidade 156 Prop 6.13 Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao. 1 Se f for cont´ınua em [a, b] ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b]. 2 Se f for limitada em [a, b] e descont´ınua num n´umero finito de pontos ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b]. 3 Se f for mon´otona em [a, b] ent˜ao f ´e integr´avel em [a, b]. Prop 6.14 Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em [a, b]. Se f ´e integr´avel em [a, b] e g difere de f apenas num n´umero finito de pontos, isto ´e, f (x) = g(x), para todo o x ∈ [a, b], exceto para um n´umero finito de x, ent˜ao g ´e integr´avel em [a, b] e b a g(x) dx = b a f (x) dx .
  157. Exerc´ıcios 157 Exe 6.15 Diga, justificando, se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao integr´aveis no intervalo considerado: 1 f (x) = cos(x2 − 2x), em [0, 4] 2 f (x) = tg x se x ∈ 0, π 2 2 se x = π 2 , em 0, π 2 3 f (x) =    x + 1 se x ∈ [−2, 0[ 2 se x = 0 x se x ∈]0, 1] , em [−2, 1] 4 f (x) = x + 1 se x ∈ [3, 7] e x ∈ N 1 se x ∈ [3, 7] ∩ N , em [3, 7]
  158. Teorema Fundamental de C´alculo Integral 158 Teo 6.16 Seja f uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, b] e F a fun¸c˜ao definida em [a, b] do modo seguinte F(x) = x a f (t) dt. Ent˜ao (i) F ´e cont´ınua em [a, b]; (ii) se f ´e cont´ınua em c ∈]a, b[, ent˜ao F ´e diferenci´avel em c e F (c) = f (c).
  159. Corol´ario do Teorema Fundamental 159 Obs 6.17 Uma vez que tamb´em ´e poss´ıvel mostrar que 1 se f ´e cont´ınua `a direita em a, ent˜ao existe F+(a) e tem-se F+(a) = f (a); 2 se f ´e cont´ınua `a esquerda em b, ent˜ao existe F−(b) e tem-se F−(b) = f (b). do Teorema Fundamental do C´alculo Integral temos o seguinte corol´ario que diz que toda a fun¸c˜ao cont´ınua ´e primitiv´avel. Cor 6.18 Se f ´e cont´ınua em [a, b], ent˜ao F(x) = x a f (t)dt, x ∈ [a, b], ´e uma primitiva de f em [a, b].
  160. Teorema do Valor M´edio para Integrais 160 Cor 6.19 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo [a, b]. Ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que b a f (t) dt = f (c)(b − a) . Exe 6.20 Seja f (x) = x2 e F(x) = x 1 f (t)dt. 1 Justifique que a fun¸c˜ao F ´e cont´ınua em [1, 4]. 2 Calcule F(1) e F (2). 3 Mostre que existe um c ∈]1, 4[ tal que F(4) = 3c2.
  161. Deriva¸c˜ao de integrais 161 Cor 6.21 Sejam I um intervalo aberto de R e [a, b] um intervalo de R. Sejam f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em ]a, b[ e g1 : I → R e g2 : I → R duas fun¸c˜oes diferenci´aveis em I tais que g1(I) ⊂]a, b[ e g2(I) ⊂]a, b[. Ent˜ao a fun¸c˜ao H definida por H(x) = g2(x) g1(x) f (t) dt , para todo o x ∈ I , ´e diferenci´avel em I e, para todo o x ∈ I, H (x) = f g2(x) g2(x) − f g1(x) g1(x) .
  162. Exerc´ıcios 162 Exe 6.22 1 Calcule F (x) sendo F a f.r.v.r. dada por (a) F(x)= x 1 sen t2 +e−t2 dt (b) F(x)= 2 x cos t4 dt (c) F(x)= x3 cos x ln(t2 + 1) dt (d) F(x)= x3 x 1 e−t2 dt 2 Seja F(x) = x2 0 sen t2 dt. Calcule F 4 π 4 . 3 Considere a fun¸c˜ao F definida em R por F(x) = x2 0 (4 + sen t) dt (a) Calcule F (x) para todo o x ∈ R. (b) Estude a fun¸c˜ao F quanto `a monotonia e existˆencia de extremos locais.
  163. Exerc´ıcios 163 Exe 6.23 1 Considere a fun¸c˜ao F definida em R por F(x) = x3 0 tesen t dt (a) Justifique que F ´e diferenci´avel em R e determine F (x). (b) Calcule lim x→0 F(x) sen x 2 Seja f : R → R um fun¸c˜ao cont´ınua. Considere a fun¸c˜ao ϕ dada por ϕ(x) = 1+x2 ex f (t) dt, x ∈ R. (a) Justifique que ϕ ´e diferenci´avel em R e determine ϕ (x). (b) Mostre que lim x→0 ϕ(x) x = −f (1).
  164. F´ormula de Barrow 164 Prop 6.24 Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua em [a, b] e se F : [a, b] → R ´e uma primitiva de f ent˜ao b a f (x) dx = F(b) − F(a) . Nota¸c˜ao: F(b) − F(a) = F(x) b a = F(x) b a Exe 6.25 1 2 1 (x2 − 1) dx = x3 3 − x 2 1 = 8 3 − 2 − 1 3 − 1 = 4 3 2 e2 e 1 y ln y dy = ln|ln y| e2 e = ln|ln(e2 )| − ln|ln(e)| = ln(2)
  165. Exerc´ıcios 165 Exe 6.26 1 Calcule (a) 1 0 2x x2 + 1 dx (b) 0 −π sen(3x) dx (c) 1 2 0 1 √ 1 − x2 dx (d) 11 3 1 √ 2x + 3 dx (e) e2 e 1 x(ln x)2 dx (f) 2 1 1 x2 + 2x + 5 dx 2 Calcule 1 −1 f (x) dx onde f (x)=    2 1 + x2 se x ∈[−1, 0[ 7 se x = 0 1 1 + x se x ∈]0, 1]
  166. Integra¸c˜ao por partes no integral definido 166 Prop 6.27 b a u v dx = uv b a − b a uv dx. Exemplo de aplica¸c˜ao: π 0 x cos x dx = sen x . x π 0 − π 0 sen x dx = 0 − − cos x π 0 = cos π − cos 0 = −2 Exe 6.28 Calcule: (a) 1 2 0 (x + 1)e2x dx (b) e 1 x ln x dx
  167. Mudan¸ca de vari´avel no integral definido 167 Prop 6.29 Sejam f uma fun¸c˜ao cont´ınua em I e ϕ : J −→ I t → x = ϕ(t) diferenci´avel em J e tal que ϕ ´e cont´ınua em J. Sejam a, b ∈ I e c, d ∈ J tais que ϕ(c) = a e ϕ(d) = b. Ent˜ao b a f (x) dx = d c f (ϕ(t))ϕ (t) dt. Obs 6.30 I e J denotam intervalos n˜ao degenerados de R Exe 6.31 Calcule: (a) ln 2 − ln 2 1 ex + 4 dx (b) 1 0 4 − x2 dx
  168. Aplica¸c˜ao ao c´alculo de ´areas 168 Prop 6.32 Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] tal que f (x) ≥ 0, para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao a ´area da regi˜ao plana delimitada pelo gr´afico de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b ´e dada por b a f (x) dx Ilustra¸c˜ao gr´afica y = f (x) A ba A = b a f (x) dx
  169. Aplica¸c˜ao ao c´alculo de ´areas (cont.) 169 Prop 6.33 Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] tal que f (x) ≤ 0, para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao a ´area da regi˜ao plana delimitada pelo gr´afico de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b ´e dada por − b a f (x) dx Ilustra¸c˜ao gr´afica x y y = f (x) A ba A = − b a f (x) dx
  170. Aplica¸c˜ao ao c´alculo de ´areas (cont.) 170 Prop 6.34 Se f e g s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas em [a, b] tais que f (x) ≥ g(x), para todo o x ∈ [a, b], ent˜ao a ´area da regi˜ao plana delimitada pelos gr´aficos de f e de g e pelas retas x = a e x = b ´e dada por b a (f (x) − g(x)) dx Ilustra¸c˜ao gr´afica A = b a (f (x) − g(x)) dx
  171. Exerc´ıcios 171 Exe 6.35 1 Calcule a ´area da regi˜ao delimitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes f (x) = 1 x e g(x) = x2 e pelas retas x = 2 e y = 0. 2 Seja f (x) = x3 − 3x2 + 2x. Calcule a ´area da regi˜ao limitada do plano situada entre as retas de equa¸c˜ao x = 0 e x = 2 e limitada pelo gr´afico de f e pelo eixo Ox. 3 Calcule a ´area da regi˜ao do plano situada entre x = −1 2 e x = 0 e limitada pelo eixo das abcissas e pelo gr´afico da fun¸c˜ao h definida por h(x) = arcsen x √ 1 − x2 4 Seja A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ (x − 3)2, y ≥ x − 1, y ≤ 4}. (a) Represente geometricamente a regi˜ao A. (b) Calcule o valor da ´area da regi˜ao A.
  172. C´alculo I 172 Integrais impr´oprios Ricardo Pereira Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro Dezembro de 2012
  173. Integrais Impr´oprios 173 Obs 7.1 A defini¸c˜ao de integral de Riemann exige que a fun¸c˜ao integranda, f , esteja definida num intervalo fechado e limitado, I, e que f seja limitada. Vamos agora estender este conceito omitindo uma (ou as duas) dessas condi¸c˜oes, passando ao estudo do que chamamos Integrais Impr´oprios. Os Integrais Impr´oprios podem ser de trˆes esp´ecies: 1.a Esp´ecie: I ´e ilimitado 2.a Esp´ecie: f ´e ilimitada ou n˜ao definida em alguns pontos de I 3.a Esp´ecie: I ´e ilimitado e f ´e ilimitada ou n˜ao definida em alguns pontos de I
  174. Integrais Impr´oprios de 1.a Esp´ecie 174 Def 7.2 Integral impr´oprio de 1.a esp´ecie no limite superior de integra¸c˜ao Seja f : [a, +∞[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, t], para todo o t ≥ a. Se existe e ´e finito o limite lim t→+∞ t a f (x) dx ent˜ao o integral impr´oprio +∞ a f (x) dx diz-se convergente e escreve-se +∞ a f (x) dx = lim t→+∞ t a f (x) dx. Caso contr´ario, o integral em causa diz-se divergente.
  175. Exemplo 175 Exe 7.3 Como lim t→+∞ t 0 1 1 + x2 dx = lim t→+∞ [arctg(x)]t 0 = lim t→+∞ arctg t = π 2 , o integral impr´oprio +∞ 0 1 1 + x2 dx ´e convergente e +∞ 0 1 1 + x2 dx = π 2 .
  176. Exerc´ıcios 176 Exe 7.4 1 Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em caso de convergˆencia, calcule o seu valor: (a) +∞ π cos(x)dx (b) +∞ 2 1 (x + 2)2 dx (c) +∞ 1 (ln x)3 x dx 2 Prove que o integral impr´oprio +∞ 1 1 xα dx ´e: divergente se α ≤ 1; convergente se α > 1 e, neste caso, +∞ 1 1 xα dx = 1 α − 1 . 3 Prove que o integral impr´oprio +∞ 0 eβx dx ´e: divergente se β ≥ 0; convergente se β < 0 e, neste caso, +∞ 0 eβx dx = − 1 β .
  177. Integrais Impr´oprios de 1.a Esp´ecie (cont.) 177 Def 7.5 Integral impr´oprio de 1.a esp´ecie no limite inferior de integra¸c˜ao Seja f : ] − ∞, a] → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t, a], para todo o t ≤ a. Se existe e ´e finito o limite lim t→−∞ a t f (x) dx ent˜ao o integral impr´oprio a −∞ f (x) dx diz-se convergente e escreve-se a −∞ f (x) dx = lim t→−∞ a t f (x) dx. Caso contr´ario, o integral em causa diz-se divergente.
  178. Exemplo 178 Exe 7.6 Como lim t→−∞ 1 t 1 1 + x2 dx = lim t→−∞ [arctg(x)]1 t = lim t→−∞ ( π 4 − arctg t) = 3π 4 , o integral impr´oprio 1 −∞ 1 1 + x2 dx ´e convergente e 1 −∞ 1 1 + x2 dx = 3π 4 .
  179. Exerc´ıcios 179 Exe 7.7 1 Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em caso de convergˆencia, calcule o seu valor: (a) 0 −∞ xe−x2 dx (b) 2 −∞ 1 4 − x dx (c) 0 −∞ 4 1 + (x + 1)2 dx 2 Estude a natureza do seguinte integral impr´oprio em fun¸c˜ao do parˆametro a ∈ R+ {1} 0 −∞ ax dx
  180. Propriedades dos integrais impr´oprios 180 Prop 7.8 Sejam f : [a, +∞[→ R e g : [a, +∞[→ R fun¸c˜oes integr´aveis em [a, t], ∀t ≥ a. Ent˜ao verificam-se as seguintes condi¸c˜oes: 1 Se +∞ a f (x) dx e +∞ a g(x) dx s˜ao convergentes, ent˜ao +∞ a (αf (x) + βg(x)) dx ´e convergente, ∀α, β ∈ R, e +∞ a (αf (x)+βg(x)) dx = α +∞ a f (x) dx +β +∞ a g(x) dx. 2 Se +∞ a f (x) dx ´e divergente, ent˜ao +∞ a (αf (x)) dx ´e divergente, para todo o α ∈ R {0}. Obs 7.9 Resultado an´alogo ´e v´alido para integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie no limite inferior de integra¸c˜ao.
  181. Propriedades dos integrais impr´oprios (cont.) 181 Prop 7.10 Sejam f : [a, +∞[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, t], para todo o t ≥ a, e b > a. Ent˜ao os integrais impr´oprios +∞ a f (x) dx e +∞ b f (x) dx tˆem a mesma natureza (i.e., ou s˜ao ambos convergentes ou ambos divergentes). Em caso de convergˆencia, tem-se que +∞ a f (x) dx = b a f (x) dx + +∞ b f (x) dx. Obs 7.11 Resultado an´alogo, com as devidas adapta¸c˜oes, ´e v´alido para integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie no limite inferior de integra¸c˜ao.
  182. Exemplos 182 Exe 7.12 1 Pelo Exerc´ıcio 7.4.2 tem-se que +∞ 1 1 x3 dx converge e que +∞ 1 1 x3 dx = 1 2 . Portanto +∞ 1 2 1 x3 dx = 1 1 2 1 x3 dx + +∞ 1 1 x3 dx = 3 2 + 1 2 = 2. 2 Como, atendendo ao Exerc´ıcio 7.4.2, o integral impr´oprio +∞ 1 x2 dx ´e divergente, ent˜ao o integral impr´oprio +∞ 3 x2 dx tamb´em ´e divergente.
  183. Integrais Impr´oprios de 1.a Esp´ecie (cont.) 183 Def 7.13 Integral impr´oprio de 1.o esp´ecie em ambos os limites de integra¸c˜ao Seja f : R → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [α, β] para todos os α, β ∈ R tais que α < β. 1 Se, para algum a ∈ R, os integrais impr´oprios a −∞ f (x) dx e +∞ a f (x) dx s˜ao ambos convergentes dizemos que o integral impr´oprio +∞ −∞ f (x) dx ´e convergente e escrevemos +∞ −∞ f (x) dx = a −∞ f (x) dx + +∞ a f (x) dx .
  184. Integrais Impr´oprios de 1.a Esp´ecie (cont.) 184 Def 7.14 (cont.) 2 Se, para algum a ∈ R, pelo menos um dos integrais impr´oprios a −∞ f (x) dx ou +∞ a f (x) dx ´e divergente dizemos que o integral impr´oprio +∞ −∞ f (x) dx ´e divergente. Exe 7.15 Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em caso de convergˆencia, calcule o seu valor: (a) +∞ −∞ x dx (b) +∞ −∞ 1 1 + x2 dx (c) +∞ −∞ 2x dx
  185. Crit´erio de Compara¸c˜ao 185 Prop 7.16 Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em [a, +∞[, integr´aveis em [a, t], para todo o t ≥ a, tais que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) , para todo o x ∈ [a, +∞[. Ent˜ao: (i) se +∞ a g(x) dx ´e convergente, ent˜ao +∞ a f (x) dx ´e convergente (ii) se +∞ a f (x) dx ´e divergente, ent˜ao +∞ a g(x) dx ´e divergente. Obs 7.17 Com ligeiras adapta¸c˜oes, pode enunciar-se o mesmo crit´erio para integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie, impr´oprios no limite inferior de integra¸c˜ao.
  186. Exemplo 186 Exe 7.18 Usando o Crit´erio de Compara¸c˜ao estudar a natureza do integral +∞ 1 sen 1 x2 dx . Notar que, para todo o x ∈ [1, +∞[ temos 0 ≤ sen 1 x2 ≤ 1 x2 . (justifique!) (1) Uma vez que o integral impr´oprio +∞ 1 1 x2 dx ´e convergente e que a desigualdade (1) se verifica, pelo Crit´erio de Compara¸c˜ao, o integral impr´oprio +∞ 1 sen 1 x2 dx ´e convergente.
  187. Crit´erio do Limite 187 Prop 7.19 Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em [a, +∞[ e integr´aveis em [a, t], ∀t ≥ a, tais que f (x) ≥ 0 e g(x) > 0, ∀x ∈ [a, +∞[. Seja L = lim x→+∞ f (x) g(x) . Ent˜ao: (i) Se L ∈ R+, ent˜ao +∞ a f (x) dx e +∞ a g(x) dx tˆem a mesma natureza. (ii) Se L = 0 e +∞ a g(x) dx ´e convergente, ent˜ao +∞ a f (x) dx ´e convergente. (iii) Se L = +∞ e +∞ a g(x) dx ´e divergente, ent˜ao +∞ a f (x) dx ´e divergente.
  188. Exemplo 188 Exe 7.20 Usando o Crit´erio do Limite estudar a natureza do integral +∞ 1 sen 1 x2 dx . Notar que, ∀x ∈ [1, +∞[, sen 1 x2 ≥ 0 e 1 x2 > 0. Al´em disso L = lim x→+∞ sen 1 x2 1 x2 = 1 . Uma vez que L ∈ R+ e que +∞ 1 1 x2 dx ´e convergente, pelo Crit´erio do Limite, o integral impr´oprio +∞ 1 sen 1 x2 dx ´e convergente.
  189. Crit´erios de Convergˆencia (cont.) 189 Obs 7.21 Tanto o Crit´erio de Compara¸c˜ao como o Crit´erio do Limite tˆem as suas vers˜oes para integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie, impr´oprios no limite de integra¸c˜ao inferior, basta fazer pequenas adapta¸c˜oes nos enunciados apresentados nos slides anteriores. Exe 7.22 Estudo da natureza do integral impr´oprio 0 −∞ ex (x − 1)2 dx. ∀x ∈] − ∞, 0], ex (x−1)2 > 0 e 1 (x−1)2 > 0 . Uma vez que L = lim x→−∞ ex (x−1)2 1 (x−1)2 = lim x→−∞ ex = 0 e que 0 −∞ 1 (x − 1)2 dx ´e convergente (verifique!), conclu´ımos, pelo Crit´erio do Limite, que 0 −∞ ex (x − 1)2 dx ´e convergente.
  190. Exerc´ıcios 190 Exe 7.23 Estude, utilizando o crit´erio de compara¸c˜ao ou crit´erio do limite, a natureza dos seguintes integrais impr´oprios: (a) +∞ 1 sen2 x x 5 2 dx (b) +∞ 1 5x2 − 3 x8 + x − 1 dx (c) +∞ 0 ex2 dx (d) +∞ 1 x ex − 1 dx
  191. Convergˆencia absoluta 191 Def 7.24 Seja f : [a, +∞[→ R integr´avel em [a, t], para todo o t ∈ [a, +∞[. Dizemos que o integral impr´oprio +∞ a f (x) dx ´e absolutamente convergente, se o integral impr´oprio +∞ a |f (x)| dx ´e tamb´em convergente. Prop 7.25 Seja f : [a, +∞[→ R integr´avel em [a, t], para todo o t ∈ [a, +∞[. Se o integral impr´oprio +∞ a f (x) dx ´e absolutamente convergente, ent˜ao tamb´em ´e convergente.
  192. Exerc´ıcios 192 Obs 7.26 Com ligeiras adapta¸c˜oes, pode definir-se convergˆencia absoluta e enunciar-se a mesma proposi¸c˜ao para integrais impr´oprios de 1.a esp´ecie, impr´oprios no limite inferior de integra¸c˜ao. Exe 7.27 Verifique se os seguintes integrais impr´oprios s˜ao absolutamente convergentes: (a) +∞ 1 sen x x2 dx (b) +∞ 2 (−1)n 1 + 2x4 dx, para todo o n ∈ N
  193. Integrais Impr´oprios de 2.a Esp´ecie 193 Def 7.28 Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie no limite de integra¸c˜ao inferior Seja f : ]a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t, b], para todo o a < t ≤ b. Se existe e ´e finito lim t→a+ b t f (x) dx dizemos que o integral impr´oprio b a f (x) dx ´e convergente e escrevemos, por defini¸c˜ao, b a f (x) dx = lim t→a+ b t f (x) dx . Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
  194. Integrais Impr´oprios de 2.a Esp´ecie (cont.) 194 Def 7.29 Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie no limite de integra¸c˜ao superior Seja f : [a, b[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, t], para todo o a < t ≤ b. Se existe e ´e finito lim t→b− t a f (x) dx dizemos que o integral impr´oprio b a f (x) dx ´e convergente e escrevemos, por defini¸c˜ao, b a f (x) dx = lim t→b− t a f (x) dx . Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
  195. Integrais Impr´oprios de 2.a Esp´ecie (cont.) 195 Def 7.30 Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie em ambos os limites de integra¸c˜ao Seja f : ]a, b[→ R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t1, t2], para todos os t1 e t2 tais que a < t1 < t2 < b. Dizemos que o integral impr´oprio b a f (x) dx ´e convergente se, para algum c ∈]a, b[, os integrais c a f (x) dx e b c f (x) dx s˜ao ambos convergentes e escreve-se b a f (x) dx = c a f (x) dx + b c f (x) dx . Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
  196. Integrais Impr´oprios de 2.a Esp´ecie (cont.) 196 Def 7.31 Integral impr´oprio de 2.a esp´ecie num ponto interior do intervalo de integra¸c˜ao Seja f uma fun¸c˜ao definida em [a, b] exceto possivelmente em c ∈]a, b[, e integr´avel em [a, t], para todo o a ≤ t < c e em [r, b], para todo o c < r ≤ b. Se os integrais impr´oprios c a f (x) dx e b c f (x) dx forem ambos convergentes, ent˜ao o integral impr´oprio b a f (x) dx diz-se convergente e escreve-se b a f (x) dx = c a f (x) dx + b c f (x) dx . Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
  197. Exerc´ıcios 197 Exe 7.32 Determine a natureza dos seguintes integrais impr´oprios e, em caso de convergˆencia, calcule o seu valor: (a) 1 0 1 √ 1 − x2 dx (b) π 2 0 cos x 1 − sen x dx (c) 3 −3 x √ 9 − x2 dx (d) 1 −2 1 |x| dx (e) 3 0 1 (x − 1)(x − 2) dx
  198. Observa¸c˜ao 198 Obs 7.33 As propriedades, defini¸c˜oes e crit´erios de convergˆencia apresentados para o integral de 1.a esp´ecie tˆem as suas vers˜oes para os integrais de 2.a esp´ecie (no limite inferior de integra¸c˜ao ou no limite superior de integra¸c˜ao). Nos slides seguintes apresentamos esses resultados para o caso dos integrais de 2.a esp´ecie no limite inferior de integra¸c˜ao, para os outros o estudo faz-se mutatis mutandis.
  199. Propriedades dos integrais impr´oprios 199 Prop 7.34 Sejam f :]a, b] → R e g :]a, b] → R fun¸c˜oes integr´aveis em [t, b], para todo o t ∈]a, b]. Ent˜ao verificam-se as seguintes condi¸c˜oes: 1 Se b a f (x) dx e b a g(x) dx s˜ao convergentes, ent˜ao b a (αf (x) + βg(x)) dx ´e convergente, ∀α, β ∈ R, e b a (αf (x) + βg(x)) dx = α b a f (x) dx + β b a g(x) dx . 2 Se b a f (x) dx ´e divergente, ent˜ao b a (αf (x)) dx ´e divergente, para todo o α ∈ R {0}.
  200. Propriedades dos integrais impr´oprios (cont.) 200 Prop 7.35 Sejam f : ]a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel em [t, b], para todo o t ∈]a, b], e a < b < b. Ent˜ao os integrais impr´oprios b a f (x) dx e b a f (x) dx tˆem a mesma natureza (i.e., ou s˜ao ambos convergentes ou ambos divergentes). Em caso de convergˆencia, tem-se que b a f (x) dx = b a f (x) dx + b b f (x) dx.
  201. Crit´erio de Compara¸c˜ao 201 Prop 7.36 Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em ]a, b], integr´aveis em [t, b], para todo o t ∈]a, b], tais que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) , para todo o x ∈]a, b]. Ent˜ao: (i) se b a g(x) dx ´e convergente, ent˜ao b a f (x) dx ´e convergente (ii) se b a f (x) dx ´e divergente, ent˜ao b a g(x) dx ´e divergente.
  202. Crit´erio do Limite 202 Prop 7.37 Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas em ]a, b] e integr´aveis em [t, b], ∀t ∈]a, b], tais que f (x) ≥ 0 e g(x) > 0, ∀x ∈]a, b]. Seja L = lim x→a+ f (x) g(x) . Ent˜ao: (i) Se L ∈ R+, ent˜ao b a f (x) dx e b a g(x) dx tˆem a mesma natureza. (ii) Se L = 0 e b a g(x) dx ´e convergente, ent˜ao b a f (x) dx ´e convergente. (iii) Se L = +∞ e b a g(x) dx ´e divergente, ent˜ao b a f (x) dx ´e divergente.
  203. Convergˆencia absoluta 203 Def 7.38 Seja f : ]a, b] → R integr´avel em [t, b], para todo o t ∈]a, b]. Dizemos que o integral impr´oprio b a f (x) dx ´e absolutamente convergente, se o integral impr´oprio b a |f (x)| dx ´e tamb´em convergente. Prop 7.39 Seja f : ]a, b] → R integr´avel em [t, b], para todo o t ∈]a, b]. Se o integral impr´oprio b a f (x) dx ´e absolutamente convergente, ent˜ao tamb´em ´e convergente.
  204. Exerc´ıcios 204 Exe 7.40 1 Prove que o integral impr´oprio 1 0 1 xα dx ´e: divergente se α ≥ 1; convergente se α < 1 e, neste caso, 1 0 1 xα dx = 1 1 − α . 2 Estude a natureza dos seguintes integrais impr´oprios: (a) 1 0 π 1 − √ x dx (b) π 2 0 sen √ x 4 √ x dx
  205. Integrais Impr´oprios de 3.a Esp´ecie 205 Def 7.41 Integral impr´oprio de 3.a esp´ecie do tipo +∞ a f (x) dx, onde f ´e ilimitada ou n˜ao est´a definida em x = a. Seja f : ]a, +∞[→ R integr´avel em [t, t ], quaisquer que sejam t, t ∈ R tais que a < t < t . Dizemos que o integral impr´oprio +∞ a f (x) dx ´e convergente se, para algum c ∈]a, +∞[, os integrais impr´oprios c a f (x) dx e +∞ c f (x) dx forem ambos convergentes e escrevemos +∞ a f (x) dx = c a f (x) dx + +∞ c f (x) dx Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
  206. Integrais Impr´oprios de 3.a Esp´ecie (cont.) 206 Def 7.42 Integral impr´oprio de 3.a esp´ecie do tipo b −∞ f (x) dx, onde f ´e ilimitada ou n˜ao est´a definida em x = b. Seja f : ] − ∞, b[→ R integr´avel em [t, t ], quaisquer que sejam t, t ∈ R tais que t < t < b. Dizemos que o integral impr´oprio b −∞ f (x) dx ´e convergente se, para algum c ∈] − ∞, b[, os integrais impr´oprios c −∞ f (x) dx e b c f (x) dx forem ambos convergentes e escrevemos b ∞ f (x) dx = c −∞ f (x) dx + b c f (x) dx Caso contr´ario, dizemos que o integral impr´oprio ´e divergente.
  207. Integrais Impr´oprios de 3.a Esp´ecie (cont.) 207 Obs 7.43 Definem-se de modo an´alogo os integrais impr´oprios de 3.a esp´ecie dos tipos +∞ a f (x) dx, b −∞ f (x) dx e +∞ −∞ f (x) dx, onde f n˜ao est´a definida ou ´e ilimitada em algum ponto do interior do intervalo de integra¸c˜ao. Atendendo `as defini¸c˜oes apresentadas, para estudar a natureza de integrais impr´oprios de 3.a esp´ecie, devemos decompor o intervalo de integra¸c˜ao de modo conveniente e estudar a natureza de integrais impr´oprios de 1.a e de 2.a esp´ecies (correspondentes).
  208. Exerc´ıcios 208 Exe 7.44 1 Estude a natureza dos seguintes integrais impr´oprios: (a) +∞ 0 e− √ x √ x dx (b) +∞ −∞ 1 x3 dx 2 Calcule +∞ −∞ f (x) dx sendo f (x) =    1 x−1 se x ≤ 0 arctg x se x > 0

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