Los números

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Los números

  1. 1. PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información. PDF generated at: Tue, 28 May 2013 01:25:52 UTC Los Números Los Números Naturales
  2. 2. Contenidos Artículos Número natural 1 Conjunto numerable 6 Conjunto 8 Blackboard bold 14 Teoría de conjuntos 16 Operación matemática 18 Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo 22 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 23 Licencias de artículos Licencia 24
  3. 3. Número natural 1 Número natural Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …). Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Convenios de notación Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la matemática, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas: •• Definición sin el cero: •• Definición con el cero: donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra". Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica, [1] pero no se consideraba un número natural. [2] Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina, [3] y otras, como la teoría de la computación. [4] En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición. [4] Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven. [5] Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como . Alternativamente también se utiliza . [6] Por el contrario, cuando el 0 no se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota . Historia Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos. Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la
  4. 4. Número natural 2 existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann. Las propiedades de los números naturales son: 1.1. Que un número natural va después del otro 2.2. Que dentro de dos números naturales consecutivos no puede haber otro 3.3. Que son infinitos Construcciones axiomáticas Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos. Axiomas de Peano Los axiomas de Peano rigen la estructura de los números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son (definición sin el cero): 1.1. El 1 es un número natural. 2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. 3.3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural. 4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. 5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática. Definición en teoría de conjuntos En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0. Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple 1. Para cada , 2. La relación es un orden total estricto en 3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor. Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:
  5. 5. Número natural 3 De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo: • Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores) • 1 es el sucesor de 0, entonces • 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces •• y en general Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de . También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así si y sólo si . Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática. Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo. Se define la suma por inducción mediante: Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros. De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo. Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.
  6. 6. Número natural 4 Operaciones con los números naturales Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación. La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir: • El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a+b = b+a, y a×b = b×a. • Para sumar — o multiplicar — tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c. Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa: Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de: • Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales. • Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a. • No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 ó b = 0. Propiedades de los números naturales Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo si existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple: Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado 1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:     y     . Los números q y r están unívocamente determinados por a y b. Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números. Uso de los números naturales Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes. • Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en N×N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N×N: (a,b) ~ (c,d) si y solo si a + d = b + c.
  7. 7. Número natural 5 Sustracción o resta con números naturales Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3,...} y sea H = {(m, n)/ m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m,n)= m-n = d si solo si m = d + n, donde m,n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción o resta en N. La diferencia d = m-n , sólo es posible en el caso que m ≥ n. Proposiciones •• Si m - n = p, entonces m - p= n •• Si m - n = p, entonces (m +r) - ( n+ r) = p • Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0; •• como m- 0 = m , 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha. •• La resta no es conmutativa ni asociativa. • Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´y m´tal que m´- n´= p; de modo tal que en ℕxℕ la relación (m,n) ≈ (m´,n´) s.s.s. m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la construcción del ℤ de los números enteros [7] . Referencias [3][3] Véanse textos como o [4][4] Véase . [5][5] Véase [6][6] , p. 27. [7][7] "Concepto de número" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidad Nacional de Buenos Aires Bibliografía • Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana. ISBN 970-32-1392-8. • Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN 978-84-8236-049-2. • Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++. Apress. ISBN 9781590595022idioma=inglés.
  8. 8. Conjunto numerable 6 Conjunto numerable En matemáticas, un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo. Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los conjuntos finitos. Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe correspondencia uno a uno entre el conjunto y algún subconjunto de los números naturales y es por esto que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable o a lo sumo numerable para evitar ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y la segunda permitiendo conjuntos finitos. Georg Cantor fue el primero que hizo uso de este concepto en un artículo publicado en 1874 que marcaría el nacimiento de la teoría de conjuntos. [1] Sin embargo, su importancia se manifiesta en numerosos campos de las matemáticas, en particular en el análisis, en teoría de la medida y en topología. Ejemplos • El conjunto de todos los números pares, es numerable porque la función: es una biyección: cada número natural corresponde a un único número par y viceversa. • El conjunto de todos los enteros también es numerable. • El conjunto es numerable. •• Como consecuencia del ejemplo anterior, el conjunto de todos los racionales también es numerable. • Por inducción puede probarse que son numerables para cualquier número natural k. Introducción Definiciones De manera más formal, un conjunto C se dice que es numerable cuando es equipotente con el conjunto de los números naturales , es decir, cuando existe una biyección de con C. Algunos autores extienden la definición para incluir los conjuntos finitos, y bajo esta extensión un conjunto numerable es aquel que se puede poner en biyección con un subconjunto de los números naturales. Esta extensión será designada en este artículo con la expresión «conjunto a lo sumo numerable» o «conjunto finito o numerable». [2] En caso de que pueda haber ambigüedad, siempre se puede especificar que un conjunto equipotente con es un «conjunto infinito numerable». Por el contrario, un conjunto (infinito) no numerable es un conjunto infinito que no es equipotente con . El argumento de la diagonal de Cantor permite demostrar que el conjunto de los números reales y el conjunto de las
  9. 9. Conjunto numerable 7 partes de no son numerables, y asimismo muestra la existencia de numerosos infinitos distintos de los anteriores y que tampoco son numerables. Teorema de Cantor Un conjunto que contiene un subconjunto infinito numerable es necesariamente infinito. A partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, en particular el axioma de elección, se puede mostrar que el infinito numerable es el infinito más pequeño en el sentido de que todo conjunto infinito contiene un conjunto infinito numerable. Se puede entonces caracterizar un conjunto infinito como un conjunto que contiene un subconjunto numerable, definición que tiene aplicaciones en teoría de la cardinalidad. El cardinal de , y por tanto el cardinal de cualquier conjunto numerable, se denota (alef cero). Es el primero de los ordinales transfinitos álef, que representan todos los cardinales dado el axioma de elección. Origen del término La noción de numerabilidad fue introducida por Georg Cantor en un artículo de 1874, [3] Sobre una propiedad del sistema de todos los números algebraicos reales [4] donde establece por una parte que el conjunto de números algebraicos reales (es decir, el conjunto de los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros) es numerable, [5] y por otra que el conjunto de todos los números reales no lo es, a partir de lo cual deduce inmediatamente la existencia de números trascendentes o no algebraicos, redescubriendo así un resultado de Liouville. Su origen está ligado a la concepción del infinito en matemáticas. Hasta el descubrimiento de Cantor, el infinito era el infinito potencial, la posibilidad de continuar un proceso sin detenerse nunca. La comparación de conjuntos infinitos trae consigo la noción de infinito alcanzado, actual o completo: un conjunto infinito visto como un todo, un concepto que ha sido rechazado por numerosos matemáticos (Gauss, o, en la época de Cantor, Kronecker, etc). [6] Para ellos, el hecho de considerar una infinidad de objetos como un todo, es decir, el concepto de conjunto infinito, no tiene sentido, sino que el infinito sólo puede surgir del proceso de enumeración sin repetición que nunca se detiene. Sólo el infinito numerable puede tener en rigor algún sentido. Notas y referencias [1] Thomas Jech, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophia, (http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/) [2][2] Formalmente, para que estas dos expresiones sean equivalentes, hace falta demostrar que todo subconjunto de UNIQ-math-0-30d28ee347dbf0e7-QINU es finito o numerable. [3][3] y en 1873 en su correspondencia con Dedekind. [4] Cantor (1874) Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262 (ver el centro de numeración de Göttingen (http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=49464)). Disponemos del origen de esta demostración, que todavía no es la demostración más conocida que utiliza el argumento diagonal, gracias a las cartas del 7 y 9 de diciembre de 1873 de Georg Cantor a Richard Dedekind. [5][5] Demostración de Dedekind, según su correspondencia. [6] Véase por ejemplo Kneale and Kneale, The development of Logic Clarendon Press 1962, p 673.
  10. 10. Conjunto 8 Conjunto Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero. En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. [1] Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos. Historia El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito. [2] Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo. La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las
  11. 11. Conjunto 9 diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos. Definición [...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley. —Georg Cantor [3] Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son: A es el conjunto de los números naturales menores que 5. B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo. C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u. D es el conjunto de los palos de la baraja francesa. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈: [4] a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: 3 ∈ A , ♠ ∈ D amarillo ∉ B, z ∉ C Notación Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no. Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: B = {verde, blanco, rojo} C = {a, e, i , o, u} Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad: A = {Números naturales menores que 5} D = {Palos de la baraja francesa} Otra notación habitual para denotar por comprensión es: A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5} D = {p : p es un palo de la baraja francesa} F = {n 2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
  12. 12. Conjunto 10 En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la forma n 2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» . Igualdad de conjuntos Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante. Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como: Propiedad de la extensionalidad Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B. Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También: B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México} C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español} D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦} El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos: B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco} C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o} Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo: {1, 2} = {1, 2, 1} En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que 1 es uno de sus elementos.
  13. 13. Conjunto 11 Subconjuntos Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio). Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos): Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B. Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A». Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A). [5] Ejemplos. El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas». {1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} Conjuntos disjuntos A y B son conjuntos disjuntos. Un conjunto A es disjunto a otro B si los elementos de A no pertenecen a B: la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es disjunto de B, B es disjunto de A: Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, que también puede decirse: Los conjuntos A y B son disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.
  14. 14. Conjunto 12 Cardinalidad Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto: El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal. El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅. En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito. Operaciones con conjuntos Operaciones con conjuntos Unión Intersección Diferencia Complemento Diferencia simétrica Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:
  15. 15. Conjunto 13 • Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. • Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. • Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. • Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A ∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene. • Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. • Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B. Ejemplos • {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0} • {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠} • {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z} •• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8} • {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)} Notas [1][1] Para esta introducción, véase y . [2][2] Esta sección está basada en [3][3] Véase [4] Este símbolo lo introdujo Peano. Vid Matemática Moderna de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su Álgebra Elemental (pág.1 y pág.2) habla de: "La notación de Peano x ∈ X". [5] También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A. Véase Subconjunto. Referencias Bibliografía • Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996) (en inglés). What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplemento del capítulo II. • Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el 18-04-2011. • Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): « Set Theory (http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/ set-theory/)» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultado el 22-04-2011. • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. •• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.
  16. 16. Conjunto 14 Bibliografía adicional • Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F. primera edición en español. Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ConjuntosCommons. • Weisstein, Eric W., « Set (http://mathworld.wolfram.com/Set.html)» (en inglés), MathWorld, consultado el 22-04-2011 • Esta obra deriva de la traducción de Set, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés. Blackboard bold La palabra "bold" (negrita) escrita en Blackboard bold. La negrita de pizarra o blackboard bold en inglés, es una tipografía utilizada en textos matemáticos para ciertos símbolos, que se distingue porque ciertas líneas en el símbolo (usualmente verticales) se duplican. Esta tipografía se utiliza habitualmente para denotar conjuntos. La tipografía blackboard bold se originó como un intento de representar en un pizarrón símbolos tradicionalmente impresos en negrita. Este hábito terminó por introducirse en los textos impresos, diferenciado de la negrita normal. Uso TeX, el lenguaje estándar para escritura de textos matemáticos, no soporta directamente símbolos en blackboard bold, pero los tipos de letra de la AMS (amsfonts) incluyen esta capacidad. Una "R" con esta tipografía se escribe como mathbb R, y genera . Ejemplos La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:
  17. 17. Blackboard bold 15 TeX Unicode Uso en matemáticas ℂ Números complejos ℍ Cuaterniones ℕ Números naturales ℙ Números primos ℚ Números racionales ℝ Números reales ᵔ Esfera ℤ Números enteros Referencias • Clark, Malcolm (1992) (en inglés). A plain TEX primer. Oxford University Press. ISBN 9780198537243. Enlaces externos • Weisstein, Eric W. "Doublestruck." [1] . Definción del tipo de letra en MathWorld. • Esta obra deriva de la traducción de Blackboard bold, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores [2] de la Wikipedia en inglés. Referencias [1] http://mathworld.wolfram.com/Doublestruck.html [2] http://toolserver.org/~daniel/WikiSense/Contributors.php?wikilang=en&wikifam=.wikipedia.org&page=Blackboard+bold& grouped=on&hidebots=on&hideanons=on&order=-edit_count&max=200&order=first_edit&format=html
  18. 18. Teoría de conjuntos 16 Teoría de conjuntos Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. [1] Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática. El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX. Teoría básica de conjuntos La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A. Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A. Ejemplos. • Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno
  19. 19. Teoría de conjuntos 17 es subconjunto del siguiente: • El espacio tridimensional E 3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E 3 . Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E 3 , r ⊆ E 3 y α ⊆ E 3 . Álgebra de conjuntos Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos: • Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos. • Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. • Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. • Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A ∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A. • Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. • Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B. Teoría axiomática de conjuntos La teoría de conjuntos «informal» o «elemental» apela a la intuición para determinar como se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados. Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son: • La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel • La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel • La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
  20. 20. Teoría de conjuntos 18 Referencias [1][1] Véase o Bibliografía • Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el 18-10-2010. • Jech, Thomas. « Set Theory (http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/set-theory/)» (en inglés). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Consultado el 16-12-2011. Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teoría de conjuntosCommons. Operación matemática En matemática una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición. El conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial). Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas. Operación interna Una operación es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto . es un conjunto. Que también puede expresarse: O también: Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar: • Operaciones finitas si el conjunto inicial es producto cartesiano finito. • Operaciones infinitas en caso contrario.
  21. 21. Operación matemática 19 Operación n-aria Diremos que es una operación n-aria en el conjunto , si: a se le llama la ariedad o anidad. Operación binaria Una operación es binaria cuando es igual a dos: y también: Ejemplo: En el conjunto de los números naturales, , la operación de adición: , , con las diferentes expresiones: 1. 2. 3. donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma. Operación unaria Una operación unaria, con un solo parámetro: también suelen denominarse funciones. Ejemplos: • Dado el conjunto de los números naturales , la operación unaria incremento o siguiente, como: Donde: • Dado el conjunto de los números enteros , la operación opuesto, como: esto es:
  22. 22. Operación matemática 20 Operación 0-aria Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación es decir: Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi: Que asigna a a el valor real del número pi. • Una operación que designa un elemento distiguido de , en teoría de grupos sería el elemento neutro de un grupo. [1][2] Operación externa Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación: esta aplicación se dice que es una operación externa. Ejemplo: Dado el conjunto de los vectores en el plano y el conjunto de escalares de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano: Dado el vector: Si lo multiplicamos por un escales 3: podemos ver que los dos vectores son del plano: Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación: se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es: Tomando los vectores del plano: Y siendo su producto escalar: Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico: Operando
  23. 23. Operación matemática 21 Referencias [1][1] J. Barja Perez, pg 7 [2][2] Donald w. Barnes, pg 2 Bibliografia • J. Barja Perez.Álgebras Universales en el Cálculo de Proposiciones.Universidad de Santiago de Compostela España. 1978. • Donald W. Barnes, John M. Mack.Una Introducción Algebraica a la Lógica Matemática. 1978. • Lang, Serge Álgebra lineal (1975), Fondo educativo interamericano S.A. impreso en Puerto Rico, segunda edición.
  24. 24. Fuentes y contribuyentes del artículo 22 Fuentes y contribuyentes del artículo Número natural  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=67181153  Contribuyentes: -jem-, 217-127-165-236.uc.nombres.ttd.es, 2fast4all, AVIADOR, Airunp, Akhram, Akma72, Alephcero, Alexander-Venezuela, Alvaro qc, Amadís, Andreasmperu, Angelito7, Angelsaracho, Antonorsi, Antur, Antón Francho, Arrt-932, Arturo Reina, Ascánder, AstroNomo, Ayleen, BL, Banfield, Barteik, Barymar, Belb, Beto29, BetoCG, BlackBeast, Blitox, Carloszelayeta, Cgb, Charly Toluca, Cinabrium, Cobalttempest, Criscam.11, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Damián del Valle, Dangelin5, Daniel JG, Danyfarfan, Dark, David0811, DayL6, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Domaniom, Dorieo, Drappy Dan, Dreitmen, Eduardo 09fut, Eduardosalg, Eferro, Eloy, Elsenyor, Elvenbyte, Emiduronte, Ernessaul, Ernesto Trento, Erudición, Eyetheunlord, Faustito, Feministo, Fmariluis, Foundling, Fran89, Fsd141, GermanX, Ggenellina, Gizmo II, Grillitus, Gusgus, Gustronico, Góngora, HUB, Helmy oved, House, Hugoses, Humberto, Ignacio cifuentes, JMCC1, Jarisleif, Jkbw, Jndvdrm, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Marquez, Julio grillo, Kikones34, Kismalac, Kn, Komputisto, Lahi, Las Colinas, Laura Fiorucci, Leonpolanco, LlamaAl, Locos epraix, Lourdes Cardenal, Luienrike, Lulu123, Macheledesma, Mafores, Magister Mathematicae, Manwë, Marcelo, Marcoantoniothomas, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Mel 23, MiguelMTN, Miss Manzana, Montgomery, Moriel, Mortadelo, Mortadelo2005, Msdus, Muro de Aguas, Nachosan, Netito777, Nihilo, Opti72, Ornitododo, Oscarthebig, Palissy, Pan con queso, Platonides, Poco a poco, Pólux, Queninosta, Raulshc, Ricardogpn, RoyFocker, Rumpelstiltskin, Sabbut, Saloca, Sigmanexus6, Sittsam, SuperBraulio13, Superzerocool, Taichi, Technopat, Tefaa :D, Tguardia, Toad32767, Tonatihu, Tuncket, UA31, Valentin vendetta, Vatelys, Vitamine, Vivero, Vubo, WILLIAM ARANGO RESTREPO, Waka Waka, Wesisnay, Wikipedico wikipedico, Xatufan, Yeza, Ysidoro, Zorosandro, conversion script, dup-200-65-89-249.prodigy.net.mx, Érico Júnior Wouters, 708 ediciones anónimas Conjunto numerable  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64760265  Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dusan, Farisori, Gdrama, Ggenellina, Ingenioso Hidalgo, JA Galán Baho, Juan Marquez, Kismalac, Leptictidium, Lobillo, Luis Felipe Schenone, Magister Mathematicae, Manuel Valadez Sánchez, Pino, Sabbut, Tomatejc, Wewe, Xenoforme, 12 ediciones anónimas Conjunto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66737027  Contribuyentes: .José, .Sergio, AFLastra, ALE!, Abajo estaba el pez, Acratta, Aeoris, Albert0013, Albertobsd, Aleator, Aloriel, Alvaro qc, Andreasmperu, Arcibel, Argentinoo, AstroNomo, Atila rey, Axvolution, Açipni-Lovrij, Banfield, Camilo, Cgb, Chien, Cyberdelic, DJ Nietzsche, Daniel unam, David0811, Davius, Demiannnn, Diegusjaimes, Dnu72, Echani, Farisori, Fsd141, Galandil, Ginés90, Gusgus, Götz, HUB, Harpagornis, Helmy oved, HiTe, Hprmedina, Humbefa, Humberto, Ialad, Igna, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, JMCC1, Jcaraballo, Jkbw, Jorge c2010, Juan Marquez, Juana Banana, Julio grillo, Kismalac, Kn, Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Loku, Luis Felipe Schenone, Maestro de matemáticas, Mafores, Magister Mathematicae, MarcoAurelio, Marianov, MarisaLR, Matdrodes, Mctpyt, Mel 23, Moriel, Nachosan, Netito777, Olivares86, PhJ, Pilaf, Piolinfax, Porao, Pólux, Rafamarley, Ricardogpn, Savh, Sergio Andres Segovia, Serser, Sittsam, SuperBraulio13, Technopat, Tesla91, The crazy01, Tirithel, Tomatejc, UA31, UAwiki, Unf, Vargenau, Waka Waka, Wewe, Xerox 5B, Yayoloco, Yormilenio, conversion script, w066.z064003107.lax-ca.dsl.cnc.net, 284 ediciones anónimas Blackboard bold  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64732718  Contribuyentes: Ggenellina, Kismalac, SuperBraulio13, 3 ediciones anónimas Teoría de conjuntos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66604523  Contribuyentes: .José, 4lex, Aadrover, Acastiello, Airunp, Aleator, Alephcero, AlfonsoERomero, Alhen, Allforrous, Andreasmperu, Antur, Antón Francho, Aracne, Ascánder, Açipni-Lovrij, Banfield, Biasoli, Cain31415, Chalisimo5, Chanchocan, Cheveri, Cinabrium, Cobalttempest, Comae, Crescent.Moon, Cuate77, Cuky, Cyberdelic, Daipop, Danieleditor, Davidsevilla, Davius, Dianai, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Ebr, Edslov, Eduardosalg, Ejrrjs, Elessar.telkontar, Elodar, Elwikipedista, Eqcedwin, Eyetheunlord, Farisori, Fmr cosm, Fsd141, GermanX, Götz, Halfdrag, Helmy oved, HiTe, Humbefa, Héctor Guido Calvo, JAGT, Javierito92, Jkbw, Joe orella, Jorge C.Al, JorgeGG, Joseaperez, Joxemai, Juan Marquez, Juanes.the.best, Julio grillo, Kiaramaria, Kismalac, Klauestte, Kn, Kolmogorov, Kronoss, Kved, Latiniensis, Laura Fiorucci, Lauranrg, Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Lolmaker, Lucien leGrey, Mafores, Magister Mathematicae, Maldoror, Manwë, Marsa, Matdrodes, Mauricio Maluff, Maximiliano Ulloa Castillo, Moriel, Mortadelo2005, Mpagano, Muro de Aguas, Nicolasdiaz, Nicop, Nyx, Oblongo, Oscar.st, Paintman, Palach, Pan con queso, Pólux, Qoan, Ramjar, Raulshc, Raystorm, Redjhawk, Retama, Richy, Rimeju, Rioman, Roman.astaroth, Rsg, Rubenerm, Sabbut, Samid Limon, Savh, SuperBraulio13, Superzerocool, Tano4595, Technopat, Tirithel, Tito HX, Toad32767, Tomas Sánchez, Torquemado, Ty25, UA31, Vargenau, Vitamine, Vivero, Waeswaes, Waka Waka, Wewe, Wikisilki, Wikiullu, Willtron, Yeza, 484 ediciones anónimas Operación matemática  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64488295  Contribuyentes: Antonorsi, Ascánder, BlackBeast, David0811, Desatonao, Dnu72, Egaida, GermanX, HUB, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Jharni Elmer Neyra Valverde, Jkbw, Jmread, Jorge c2010, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julian Mendez, Leonpolanco, ManuelMore, Marianov, Moriel, Murphy era un optimista, Mushii, Tostadora, 43 ediciones anónimas
  25. 25. Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 23 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Three apples.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Three_apples.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Oleg Alexandrov Archivo:PolygonsSet.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSet.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalac Archivo:Membership.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Membership.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalac Archivo:PersonsSet.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PersonsSet.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: Toilets_unisex.svg: AIGA symbol signs collection derivative work: kismalac Archivo:Subset-2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Subset-2.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalac Archivo:DisjointSets.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DisjointSets.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:Kismalac Archivo:SetUnion.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetUnion.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalac Archivo:SetIntersection.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetIntersection.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalac Archivo:SetDifferenceA.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetDifferenceA.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: kismalac Archivo:SetComplement.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetComplement.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:kismalac Archivo:SetSymmetricDifference.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetSymmetricDifference.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:kismalac Archivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab. Archivo:Blackboard_bold.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Blackboard_bold.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Bryan Derksen, conversion of public domain png created by en:User:Deco Archivo:ContinuumHypothesis.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:ContinuumHypothesis.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:kismalac
  26. 26. Licencia 24 Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

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