Geometria - Semejanza y su razon
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Geometria - Semejanza y su razon Geometria - Semejanza y su razon Document Transcript

  • Unidad 4. Geometría I. Semejanza y Congruencia 4. Calcular medidas de figuras semejantes (razón) Semejanza: En geometría a las figuras se les llama semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Las dos vacas que se muestran a continuación son semejantes. Homotecia: Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación.Relación entre semejanza y homotecia:La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer unmovimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de lahomotecia correspondiente. Razón: Comparación de dos cantidades mediante una división. Proporción: Ecuación que establece que dos o mas razones son iguales.
  • Ejemplos de ejercicios que envuelven razón: r=5 3 r= 2 4 r= 5Como una proporción es una ecuación, las propiedades sobre la multiplicación y la suma de la igualdad las puedes utilizar para cambiar la proporción a una forma más útil. Observa la siguiente forma standard para explicarte lo que acabas de leer: a c Para los números positivos a, b, c, y d, si  , entonces: b d ad  bc Propiedad multiplicativa de la igualdad a b  Propiedad multiplicativa de la igualdad c d b d  Propiedad multiplicativa de la igualdad a c ab cd  Propiedad aditiva de la igualdad b d ab cd  Propiedad aditiva de la igualdad b d
  • Figuras semejantes que envuelven razón en sus medidas 14 D A 7 H E 10 12 10 5 6 F G C 6 B 12 Los polígonos ABCD y EFGH son semejantes porque sus ánguloscorrespondientes son congruentes y cada lado del polígono ABCD tiene el doble de la longitud del lado correspondiente del polígono EFGH. La razón de las longitudes de los lados correspondientes es 2:1. Esta relación puede expresarse mediante la proporción: AB BC CD DA 2     . EF FG GH HE 1 En los polígonos semejantes, las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales. Los siguientes polígonos son semejantes, tienen la misma forma pero no el mismo tamaño. Las longitudes de sus lados forman las proporciones. 3.5 3 6 7 4 8 Longitudes de sus lados: 1 Razón de proporcionalidad = 3 4 3 3.5 3.5 4 2    6 8 6 7 7 8
  • Trapecios semejantes 12 cm 1 49 cm 12.25 cmLos trapecios ABCD y A’B’C’D’ son trapecios semejantesCalcularemos la razón de semejanza AB BC DC AD   A B B C D C A D 15 49 20 24    43.75 12.25 5 6r4 ¿Cuanto medirá la altura D H ? Calcularemos la altura de los trapecios siguiendo el siguiente procedimiento 1. Establece una proporción DC DH  D C D H 2. Sustituir 20 12  3. Despeja para D’H’ 5 D H 20 D H  60 y halla la medida 20 D H 60  de la altura. 20 20 D H  3
  • ¿Cómo hallar el valor que falta en este par de triángulos semejantes? 30 42 35 25 45 n 25 45 1. Establece una proporción.  30 n 2. Haz la multiplicación cruzada aplicando la propiedad que se muestra en la página 2 (Propiedad multiplicativa de la igualdad). 25n  1350 3. Despeja para la variable y halla el valor de n. n  54¿Recuerdas uno de los teoremas de la semejanza de triángulos estudiados en la lección 2, específicamente el de la recta paralela?Observa el siguiente diagrama y la aplicación de razón y proporción en los triángulossemejantes.