Algebra d boole
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Algebra del Boole en Diapositivas

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Algebra d boole Presentation Transcript

  • 1. Álgebra de Boole
  • 2.      Hacia 1850, el matemático y lógico irlandés George Boole (18511864), desarrolló un sistema matemático para formular proposiciones lógicas con símbolos, de manera que los problemas pueden ser escritos y resueltos de una forma similar al álgebra tradicional. El Álgebra de Boole se aplica en el análisis y el diseño de los sistemas digitales. Una variable booleana es cualquier símbolo que en un instante determinado sólo puede tomar uno de dos valores: 0 y 1. Existen varios tipos de circuitos lógicos que se utilizan para implementar funciones lógicas u operaciones lógicas. Estos circuitos son los elementos básicos que constituyen los bloques sobre los que se construyen sistemas digitales más complejos, como por ejemplo una computadora. Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta álgebra es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.
  • 3.    El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 ó 1. Y las operaciones básicas son OR(+) y AND(·). Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR). En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el ´algebra normal.
  • 4. Álgebra de Boole  En el álgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes: 1) Conmutatividad: X+Y=Y+X X·Y=Y·X 2) Asociatividad: X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z X · (Y · Z) = (X · Y ) · Z 3) Distributividad: X + (Y · Z) = (X + Y ) · (X + Z) X · (Y + Z) = (X · Y ) + (X · Z)
  • 5. Álgebra de Boole 4) Elementos Neutros (Identidad): X+0=X X·1=X 5) Complemento: X+X=1 X·X=0
  • 6. Álgebra de Boole 6) Dominación: X+1=1X·0=0 Demostración: X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X) (X + 1) · (X + X) = X + (1 · X) = 1 7) Idempotencia: X+X=X X·X=X
  • 7. Álgebra de Boole 8) Doble complemento: X=X 9) Absorción: X+X·Y=X X · (Y + X) = X Demostración: X + X · Y = (X · 1) + (X · Y ) = X · (1 + Y)=X 10) De Morgan: A·B=A+B A+B=A·B
  • 8. Álgebra de Boole  Luego se establecen los siguientes Teoremas: Teorema de la Simplificación A+A·B=A+B A · (A + B) = A · B Demostración: → A·A=0 A·A+B=B (A + B) · (A + B) = B A · (A + B) · (A + B) = A · B A · (A + B) = A · B
  • 9. Álgebra de Boole  Teorema del complemento único Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2) A + A1 = 1 A + A2 = 1 A · A1 = 0 A · A2 = 0 Luego, A1 = A1 · 1 = A1 · (A + A2) = A1 · A + A1 · A2 A1 = 0 + A2 · A1 A1 = A · A2 + A1 · A2 = (A + A1) · A2 A1 = 1 · A2 = A2
  • 10. Expresiones de Conmutación  Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin complementar, en una expresión de conmutación. Por ejemplo, en la expresión de conmutación: A·B+C·A+D+B·1 A, B, C y D son Variables. A, B, C, A, D y B son Literales. 1 es una Constante.
  • 11. Expresiones de Conmutación  Expresión Dual: Esta expresión se obtiene, intercambiando las operaciones AND por OR (y vice versa), e intercambiando las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresión de conmutación. Por ejemplo, para la expresión de conmutación: (A · B) + (C · D) + 0 La Expresión Dual es: (A + B) · (C + D) · 1
  • 12. Expresiones de Conmutación    Las funciones de conmutación se pueden expresar: de Forma Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma Canoníca. La manera más didáctica de representar una función de conmutación es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella se muestran los valores de salida para cada combinación de valor de entrada. Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas Combinacionales.
  • 13. Tablas de Verdad Dada la función de conmutación: La Tabla de Verdad es:
  • 14. Operaciones Booleanas   Adición o suma lógica: Supongamos que tenemos dos variables booleanas “a” y “b”, cuando se combinan con la operación lógica OR, el resultado se expresa de la siguiente forma: F = a + b. La tabla de verdad de la función suma lógica será:
  • 15. Operaciones Booleanas    Es decir la función a + b es 1 cuando al menos una de las dos variables es uno Generalizando para N variables: F=a1+a2+…aN es igual a uno cuando al menos una de la ai es uno, o dicho de otra forma, para que F=0 tienen que ser todas las ai cero al mismo tiempo. Símil eléctrico (Función OR de dos variables):
  • 16. Operaciones Booleanas Multiplicación o producto lógico: Supongamos que tenemos dos variables booleanas “a” y “b”, cuando se combinan con la operación lógica AND, el resultado se expresa de la siguiente forma: F = a * b.  La tabla de verdad de la función AND será: 
  • 17. Operaciones Booleanas    Es decir la función a * b es 1 cuando ambas variables son uno a la vez. Generalizando para N variables: F=a1*a2*…*aN es igual a uno cuando todas las variables ( ai ) son uno. Símil eléctrico (Función AND de dos variables):
  • 18. Operaciones Booleanas  Complementación o Inversión lógica: Dada una variable booleana cualquiera, complementarla o invertirla significa definir una función que valga 0 cuando dicha variable vale 1, y que valga 1 cuando dicha variable valga cero F= a. La tabla de verdad de la función NOT será:
  • 19. Formas Normales Dada una tabla de verdad también es posible obtener la forma algebraica.  Existen 2 métodos para identificar la forma algebraica: la forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva.  En el caso de la forma normal disyuntiva, es necesario identificar los 1’s que resultan de la tabla de verdad y formar los términos (conjunciones fundamentales) que los representan.  Para formar las conjunciones fundamentales, se usa la variable complementada si para esa combinación tiene un cero, o se deja sin complementar, si en la combinación hay un 1. 
  • 20. Formas Normales Dada la Tabla de Verdad:
  • 21. Formas Normales  Del ejemplo anterior, se suman las conjunciones fundamentales, resultando la forma normal disyuntiva:  Estos términos formados por todas las variables conectadas mediante operadores AND se denominan mintérminos (conjunciones fundamentales).  Como la función de conmutación corresponde a un OR de todos los mintérminos, se puede expresar también de la forma canoníca (OR canónico de AND).
  • 22. Formas Canonícas  Para la representación de la forma canoníca, se utilizan las posiciones de los mintérminos en la Tabla de Verdad. Para el ejemplo anterior resulta:
  • 23. Formas Canonícas Mintérminos en una Tabla de Verdad Dada una Tabla de Verdad:
  • 24. Formas Normales    En el caso de la forma normal conjuntiva, se opera de manera contraria a la vista anteriormente. En este caso es necesario identificar los 0’s que resultan de la tabla de verdad y formar los términos (disyunciones fundamentales o maxtérminos) que los representan. Para ello se utiliza la variable complementada si para esa combinación tiene un 1, o se deja sin complementar si en la combinación hay un 0.
  • 25. Formas Normales Dada la Tabla de Verdad:
  • 26. Formas Normales  Del ejemplo anterior, se opera con un AND sobre las disyunciones fundamentales, resultando la forma normal conjuntiva:  De igual manera es posible expresar esta función de conmutación, compuesta por maxtérminos, de la forma canoníca (AND canónico de OR)
  • 27. Formas Canonícas  Para la representación de la forma canoníca, se utilizan las posiciones de los mintérminos en la Tabla de Verdad. Para el ejemplo anterior resulta:
  • 28. Formas Canonícas  ¿Como pasar de una forma directamente a una forma canoníca? algebraica,
  • 29. Formas Canonícas  ¿Como convertir de una forma OR canónico de AND a una forma AND canónico de OR?
  • 30. Funciones equivalentes   Se dice que dos funciones de conmutación son equivalentes si tienen expansiones en forma canoníca idénticas. Es decir, que tienen valores de salida idénticos para las mismas combinaciones de entrada. Dicho de otra manera, dos funciones de conmutación son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.
  • 31. Funciones equivalentes   ¿Cuántas funciones distintas (No equivalentes) existen para un número n de variables? Esto se puede demostrar fácilmente, construyendo tablas de verdad y basándose en que las funciones no equivalentes tienen tablas de verdad distintas.
  • 32. Algunos Operadores Algunos Operadores…
  • 33. Operadores funcionalmente completos    Se dice que un conjunto de operadores es funcionalmente completo si se puede expresar cualquier función de conmutación, utilizando sólo los operadores del conjunto. Por ejemplo el conjunto {AND, OR, NOT} es funcionalmente completo por definición del álgebra. Sin embargo el conjunto {AND, NOT} también lo es. Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR} y {NAND}.
  • 34. Compuertas Lógicas Existen dispositivos electrónicos que son capaces de representar funciones de conmutación. Estos dispositivos denominan Compuertas Lógicas y están construidos a base de silicio.  Las compuertas lógicas son altamente usadas en el campo de la electrónica digital, debido al bajo costo que se logra con la alta densidad de integración.  Las compuertas corresponden a bloques fundamentales para la construcción de circuitos lógicos y sistemas digitales.  Una red de compuertas lógicas constituye un circuito combinacional. 
  • 35. Compuertas Lógicas
  • 36. Compuertas Lógicas  Las compuertas pueden tener más de una o dos entradas. Por ejemplo la ecuación de conmutación F(A,B, C) = A · B · C puede ser representada por: O bien por:
  • 37. Compuertas Lógicas Ejemplo de compuertas Representar la siguiente compuertas lógicas. ecuación mediante
  • 38. Compuertas Lógicas   Las compuertas lógicas se pueden encontrar en dispositivos pequeños de uso general, llamadas pastillas lógicas TTL. Su numeración corresponde a 74LSXXX. También existen dispositivos con alta densidad de integración como PLA, CPLD y FPGA.
  • 39. Compuertas Lógicas  Las pastillas lógicas internamente están diseñadas con varias compuertas, dependiendo de la pastilla. Por ejemplo un 74LS32 internamente es de la siguiente forma:
  • 40. Minimización de Funciones   Minimizar una función F(X1,X2,X3, . . . Xn) es encontrar una función equivalente G(X1,X2,X3, . . . Xn) que tenga el mínimo número de términos y literal Por ejemplo, si tenemos la siguiente tabla de verdad:
  • 41. Minimización de Funciones  Luego extraemos los mintérminos
  • 42. Minimización de Funciones  La forma normal disyuntiva de la ecuación queda de la siguiente manera:
  • 43. Minimización de Funciones
  • 44. Minimización de Funciones  Si intentamos minimizar la ecuación, resulta la siguiente expresión:
  • 45. FIN  Fin…