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  • 1. La constante universal π Luz Myriam Echeverry 26 H I P ÓT E S I S / A P U N T E S C I E N T Í F I C O S U N I A N D I N O S
  • 2. 27
  • 3. La primera aproximación teórica conocida fue hecha por Arquímedes de Siracusa (287-212) quien obtuvo la aco- tación: 223/71 < π < 22/7. Es de notar que Arquímedes no proclamó un valor exacto de la constante sino que dio un rango en donde se encuentra el valor. Su libro Medida del círculo trae tres proposiciones: 1. El área del círculo es igual a la de un triángulo rec- tángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo. [Esto es 1/2 bh = 1/2 (2πr)r = πr 2.] 2. El área de un círculo es al cuadrado del diámetro Papiro de Rhind. http://trucsmaths.free.fr/images/papyrus_gd.jpg como 11 es a 14. [Esta proposición es probablemen- > La constante universal π te apócrifa pues lógicamente debería ir después de la tercera y además es mucho menos precisa]. Luz Myriam Echeverry 3. La razón de la circunferencia, de cualquier círculo, a su diámetro es menor que 31/7 pero mayor que 310/71. Una de las constantes matemáticas más importantes se representa por la letra griega π (léase pi). Corresponde a la La última proposición es muy interesante porque sienta razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y los precedentes de precisión para las aproximaciones fu- su diámetro, o a la razón entre el área del círculo y el cua- turas de π. Parte de una aproximación curiosa de 3 y drado de su radio. Su uso y conocimiento se remontan al del método de exhausión. En lenguaje moderno, este nacimiento de las matemáticas, ha intrigado a los mate- método se presenta así: en un círculo de radio uno, se máticos desde entonces. Su estudio se ha revivido en los inscribe un polígono regular de 3 × 2 n −1 lados, cuyo semi- últimos años con los computadores con los cuales se cal- perímetro (la mitad del perímetro) es qn. Se circunscribe cula un número cada vez mayor de cifras decimales. otro polígono regular de 3 × 2 n −1 lados, cuyo semi-perí- metro es pn. Con n = 2 se tienen dos hexágonos, como se La primera referencia que se conoce de π se encuentra muestra en la figura 1, con n = 3 se tienen dodecágonos en el papiro de Rhind, que en 1858 fue comprado en Egipto y así se va duplicando el número de lados de los polígo- por Alexander Henry Rhind. El papiro, también llamado nos. Resultan dos sucesiones de números, y , de Ahmes en honor al escribano que lo copió en 1700 la primera decreciente y la segunda creciente. Las dos con- a.C. de un documento posiblemente doscientos años más vergen a π que es el semi-perímetro del círculo unitario. antiguo, se encuentra en el Museo Británico de Londres. En él se resuelven 85 problemas que se cree eran conoci- Usando notación trigonométrica moderna y llamando el dos por los egipcios desde 3500 a.C. de los cuales cinco número de lados M = 3 × 2 n −1 , se obtiene que los semi- tratan sobre el volumen de graneros cilíndricos. No se perímetros son: menciona la constante explícitamente sino que se da un método para encontrar el área de las bases restándole la (1) novena parte al diámetro y elevando esta cantidad al cua- drado. Esto corresponde a usar un valor de 256/81= 3.16049… para π. A lo largo de la historia se han calculado diferentes aproxi- maciones para esta constante. En la Biblia, en las especi- ficaciones para construir el templo de Salomón, aparece el valor aproximado de 3.0. En Mesopotamia y Egipto, además de la de Ahmes, se usaron las aproximaciones de 31/8 = 3.125 y . Arquímedes [6] 28 H I P ÓT E S I S / A P U N T E S C I E N T Í F I C O S U N I A N D I N O S
  • 4. Una explicación más completa se puede encontrar en la obra de Heat [2]. En los pasos siguientes, Arquímedes biseca los ángulos, al tiempo que duplica el número de lados de los polígonos, hasta llegar a polígonos regula- res de 96 lados y a la aproximación: que es precisamente la del enunciado. La estimación entonces es muy geométrica y todos los pasos se hacen con regla y compás. Queda muy claro del libro Medida del círculo que la aproxi- mación del valor de π está íntimamente ligada al problema clásico griego de la cuadratura del círculo, que consistía en construir un cuadrado con la misma área del círculo. En la tercera proposición, Arquímedes muestra cómo construir, con regla y compás, una línea poligonal que mida lo mis- Figura 1. mo que la circunferencia del círculo. Y en la primera pro- Polígonos (hexágonos) inscritos y circunscritos a un círculo unitario: M = 6, n = 2 posición muestra que el triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio del círculo y su circunferencia tiene la misma (véase la Figura 1). Al duplicar el número de lados, el área del círculo. De ahí es muy fácil construir un rectángu- ángulo central se hace la mitad del anterior, es decir π/2M y lo que tenga la misma área y por la Proposición 14 del los polígonos se acercan más a la circunferencia. Arquí- segundo Libro de Los Elementos de Euclides [8] se puede medes usó explícitamente las razones, lado opuesto so- llegar al cuadrado de la misma área. Hay un problema, sin bre adyacente en lugar de la función tangente y lado embargo, pues la construcción de la línea cuya longitud es opuesto sobre hipotenusa para el seno, como se puede la circunferencia requiere un número infinito de pasos, algo ver en la traducción de Heath [2]. prohibido por el riguroso método de regla y compás. Sin embargo, desde un punto de vista moderno, Arquímedes Arquímedes parte de triángulos equiláteros, o sea, con n = 1, demostró la fórmula del área del círculo y la posibilidad de los polígonos tienen M = 3 lados y los ángulos son de calcularla con la precisión que se desee. π /3 radianes ó 60˚. En este caso p1 = 3 tan ( / 3) = 3 3 π y q1 = 3 sen ( / 3) = 3 3 / 2 . A la raíz de 3 la acota de la π > Fórmulas para calcular π siguiente manera sin decir cómo. Del trabajo de Arquímedes se puede deducir una fórmula de recurrencia para calcular π, a partir de las fórmulas (1) que para el caso n + 1 se convierten en: Para explicar este paso, muchos historiadores de la ma- temática han llegado a la siguiente fórmula usada parcial- mente por Herón de Alejandría: De estas ecuaciones es fácil ver que se cumple: y con a = 26 y b = 1, que da: Luego, despejando, la cual, dividida entre 15, resulta en: 29
  • 5. y Comenzando con p1 = 2 3 ≈ 3.4641 y q1 = 3 , cuando De la misma familia son las fórmulas propuestas por el número de lados de los polígonos es M = 6, se obtienen John Machin (1706): y y, así sucesivamente, se construyen las dos sucesiones: p1 , p 2 , p 3 ,.... = 3.4641, 3.2154, 3.1597, 3.1409, 3.1427, 3.1419, 3.1417, … , q1 , q 2 , q 3 ,.... = 3.0000, 3.1058, 3.1326, 3.1394, 3.1410, 3.1415, 3.1416, … . que numéricamente dan mejores resultados que la fórmula Ambas sucesiones convergen a π. de Leibniz porque llegan más rápidamente a mejores aproxi- maciones, es decir, convergen más rápidamente. Ya en nuestra era, François Viète (1579) propuso un pro- ducto infinito que abre la discusión sobre la convergencia, Otra serie famosa es de Isaac Newton (1666): En 1768, en un artículo presentado a la Academia de Ber- Otro producto infinito es de John Wallis (1650): lín, Johann Lambert mostró, finalmente que π es irracio- nal, es decir que no se puede escribir como razón de dos enteros, y por consiguiente, que su expansión decimal no tiene repetición periódica. En 1882 Ferdinand von Otros han visto el camino por las sumas infinitas o series. Lindemann mostró que π no podía ser algebraico o raíz Una que se encuentra en cualquier libro de cálculo se atri- de una ecuación polinomial, por lo que no se puede cons- buye a Madhavade Sangamagrama (India, 1400), James truir con regla y compás, método que sólo permite la Gregory (1668) y, en especial, a Gottfried Leibniz (1671): construcción de algunas magnitudes algebraicas. Se dice entonces que π es trascendente, como lo es también e. (2) Como nota curiosa, aún no se sabe si π + e es trascen- dente, ni siquiera se sabe si es irracional. Esta aproximación proviene de la serie de la función arco tangente, la cual se deduce, por integración, de la serie Ya en el siglo XX la búsqueda se concentró en la rapidez geométrica: de convergencia. Unas fórmulas muy llamativas se de- ben a Srinivasa Ramanujan (1914), matemático indio que siempre se distinguió por su intuición en el manejo de los números: con 30 H I P ÓT E S I S / A P U N T E S C I E N T Í F I C O S U N I A N D I N O S
  • 6. plo, después de cien mil términos calcula- (3) dos apenas tiene 3.141602. La segunda fór- mula de Ramanujan (3) es muy precisa, el primer término da 3.14159273001331 y el Lo interesante de la última serie, aparte de los siguiente 3.14159265358979. números tan curiosos utilizados, es que agrega ocho cifras significativas correctas con cada tér- Con estos tres ejemplos sencillos se ven va- mino que se suma. rias dificultades al querer calcular π con un número arbitrario de cifras decimales correc- Actualmente hay una gran cantidad de fórmu- tas. Una de las dificultades es la rapidez de las para calcular π, en las cuales se busca, ge- convergencia, se busca minimizar el número neralmente, rapidez de convergencia. Por de cálculos requerido para lograr un buen re- Newton [6] ejemplo, la fórmula de Leibniz es muy lenta. sultado. En ese sentido la fórmula de Para una buena lista de fórmulas se puede con- Ramanujan (3) es muy buena. Otra dificultad sultar P. Borwein [4]; allí también se encuentra es el manejo de las operaciones aritméticas una tabla con los diferentes investigadores que necesarias. Los programas usuales usan sólo han calculado π, y el número de dígitos correc- 32 ó 64 cifras decimales significativas. Esto tos calculados, desde los babilonios hasta 1999. implica un esfuerzo adicional de programa- ción. Finalmente, queda por verificar la exac- > Cálculo numérico de π titud de la respuesta. Cuando se obtiene un A finales del siglo XIX se tenían unas 500 cifras resultado semejante al de Kanada, no hay un decimales correctas de π. El interés por estos valor para compararlo ni un experimento que cálculos fue grande. Por ejemplo, en el Palais corrobore los cálculos. de la Decouverte en París hay una sala redonda que tiene escrito, en la parte superior, el desa- > Algunos problemas no resueltos rrollo decimal de π con 627 cifras decimales. Teniendo a la mano una buena cantidad de cifras decimales se pueden hacer algunas pre- Hoy día, se tienen 1’240.000’000.000 cifras ofi- guntas, por ejemplo, si en la expansión deci- cialmente correctas de π, dato aceptado por la mal aparecen siete sietes seguidos. Ya se han comunidad matemática. Estas fueron calcula- encontrado hasta doce sietes seguidos. En das, por Yasumassa Kanada y nueve investiga- esa misma dirección, se puede preguntar si π Ramanujan [6] dores más del Information Technology Center es un número normal, noción que presentó de la Universidad de Tokio. Extraoficialmente Emile Borel en 1909. Un número real x es sim- se tienen 1’241.100’000.000 cifras [5]. Usaron plemente normal en la base 10 si en su repre- un super computador Hitachi durante 400 ho- sentación decimal los diez dígitos aparecen con ras aproximadamente, en septiembre de 2002. la misma frecuencia, asintóticamente. Un nú- El equipo de Kanada trabajó durante cinco años mero es normal si bloques de la misma longi- en el algoritmo usado en este cálculo. tud, de los diferentes dígitos repetidos, aparecen con la misma frecuencia. Para entender el desafío que representa, hay Por ejemplo, se sabe que el número que volver a la sección anterior y analizar los 0.1234567891011121314…, que se forma al resultados con algunas de esas fórmulas. Cu- colocar consecutivamente los números ente- riosamente, las fórmulas de Arquímedes (1) ros positivos, es normal (demostrado por dan una buena recursión, el décimo término Champernowne en 1933), en cambio, el irra- da: p10 = 3.1415937 y q10 = 3.1415921, lo cual cional 0.101001000100001… definitivamen- es aceptable. Por el contrario, la fórmula atri- te no es normal ni simplemente normal. Del buida a Leibniz (2) tiene una convergencia comportamiento de las proporciones en que muy lenta, es decir, en cada paso no se acer- aparecen los dígitos en el desarrollo decimal ca de manera notoria al valor de π. Por ejem- de π conocido hasta ahora, parece ser que Kanada. www.hints.org/~kanada/ 31
  • 7. tienden a 1/10, que sería lo propio culos de π con los ya conocidos. En conclusión, es real- para que sea simplemente normal, mente sorprendente lo que puede encerrar un concepto pero no se ha podido demostrar nada. geométrico sencillo que se relaciona con áreas tan dife- rentes como las series y la algorítmica. Los siguientes son problemas acerca del desarrollo decimal de π que continúan abiertos [3]: 1. ¿Aparecen todos los dígitos, 0, > Referencias 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, un número [1] Kline, Morris. El pensamiento matemático Viète [6] infinito de veces? de la antigüedad a nuestros días. 3 vols. Alianza Universidad, 1992. 2. ¿Aparece el primer millón de dígitos, [2] Heath, Sir Thomas. A History of Greek 314159256358979…, repetido en otra parte exactamente Mathematics, vol II. New York: Dover Publications, 1981. en el mismo orden? [3] O’Connor, J.J. y Robertson, E.F. “A history 3. ¿Es π normal? Si esta pregunta se responde afirmativa- of Pi”. MacTutor History of Mathematics archive. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ mente, automáticamente las dos primeras preguntas ante- ~history/ HistTopics riores tendrían respuesta afirmativa. Pi_through_the_ages.html [4] Borwein, Peter. “The amazing number π”. 4. ¿En algún lugar aparecen mil ce- Nieuw Archif voor Wieskunde 5/1 nr 3, sept ros consecutivos? (Brouwer). 2000. http://www.math.leidenuniv.nl/~naw/ serie5/deel01 sep2000/pdf/borwein.pdf Como se puede ver, π ha acompa- [5] Smith, Harry J. “Declared Record: ñado el desarrollo de las matemáti- 1,240,000,000,000 Decimal Digits”. (Feb. 7, 2004). http://pw1.netcom.com/~hjsmith/Pi/ cas a lo largo de su historia; es la Rec1240.html constante más constante. La aproxi- mación de Arquímedes fue sufi- [6] School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. MacTutor ciente para los cálculos de la Edad History of Mathematics archive. http:// Media y no son muchas las cifras www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ Wallis [6] decimales que se necesitan para [7] Wagon, Stan. “Is Pi normal?”. The los actuales, con unas veinte es Mathematical Intelligencer 7, 65. más que suficiente. Las millones de cifras conocidas ni http://pi314.at/math/normal.html siquiera han ayudado a responder la pregunta sobre su [8] Euclid. Elements. http://aleph0.clarku.edu/ normalidad. La explicación de la gran cantidad de cifras ~djoyce/java/elements/toc.html decimales que se ha calculado no está en su utilidad, es un reto intelectual que ha generado preguntas tan desa- [9] “The π Files Download Page” (Sept. 22, 2002) http://www.geocities.com/ fiantes como “inútiles”. Y sin embargo, esta investiga- thestarman3/math/pi/picalcs.htm ción milenaria ha dado sus frutos en el desarrollo de métodos de in- tegración y otros algoritmos. En los > Reseña de la autora últimos años, con el uso del com- Luz Myriam Echeverry putador, ha sido un campo de Matemática de la Universidad de los aprendizaje para el desarrollo de al- Andes con doctorado de tercer ciclo de la goritmos cada vez más rápidos y Universidad Pierre y Marie Curie, París eficientes. Los resultados también VI. Profesora asociada del Departamento se emplean para hacer el diagnós- de Matemáticas de la Universidad de los tico de nuevos computadores y Andes. Su área de especialización es el compiladores al comparar sus cál- Análisis Numérico. Leibniz [6] 32 H I P ÓT E S I S / A P U N T E S C I E N T Í F I C O S U N I A N D I N O S