Este documento describe las propiedades fundamentales de los números reales. Primero, enumera nueve axiomas (A1-A9) que definen a los números reales como un cuerpo algebraico. Luego, presenta cuatro axiomas adicionales (B1-B4) que describen el orden de los números reales. Finalmente, enuncia el axioma de completitud, el cual establece que todo subconjunto no vacío acotado superiormente de números reales tiene un supremo.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
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Propiedades de los n´ meros reales
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Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
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Consideraremos al conjunto R de n´meros reales, al conjunto P de n´me-
u u
ros reales positivos, y a las funciones + y . de R × R en R. A lo largo de
este art´
ıculo listaremos tres grupos de axiomas. El primer grupo describe las
propiedades algebraicas y el segundo las propiedades de orden. El tercero
comprende el axioma que involucra a la menor cota superior.
A. Axiomas de cuerpo
A1. x + y = y + x
A2. (x + y) + z = x + (y + z)
A3. ∀x ∈ R, ∃ 0 ∈ R : x + 0 = x
A4. ∀x ∈ R, ∃ w ∈ R : x + w = 0
A5. x y = y x
A6. (x y) z = x (y z)
A7. ∀x ∈ R, ∃ 1 ∈ R : (1 = 0 ∧ x,1 = x)
A8. ∀x ∈ R − 0, ∃ w ∈ R : x w = 1
A9. x (y + z) = x y + x z
Un conjunto que satisface estos axiomas es llamado un cuerpo (respecto
de + y .).

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ıa
Observaciones:
Se sigue de A1 que el 0 en A3 es unico, hecho que tenemos asumido
´
en la formulaci´n de A4, A7 y A8.
o
El w en A4 es unico y se denota por “−x”. As´ definimos la sustrac-
´ ı,
ci´n x − y como x + (−y).
o
El 1 en A7 es unico.
´
Puede demostrarse que el w en A8 es unico y se denota por “x−1 ”.
´
Si tenemos un cuerpo, esto es, un sistema que satisface de A1 a A9, po-
demos efectuar todas las operaciones del ´lgebra elemental incluyendo
a
la soluci´n de ecuaciones lineales simult´neas.
o a
Es claro que R es un cuerpo.
El segundo grupo de propiedades tiene que ver con el hecho de que
los n´meros reales est´n ordenados. La noci´n de a menor que b puede
u a o
axiomatizarse, pero es m´s conveniente el uso de la noci´n de n´mero real
a o u
positivo como el primitivo uno. Cuando esto se hace, el grupo de axiomas
toma la siguiente forma:
B. Axiomas de orden
B1. x, y ∈ P → x + y ∈ P
B2. x, y ∈ P → x y ∈ P
B3. x ∈ P → −x ∈ P
B4. x ∈ P → (x = 0 ∨ x ∈ P ∨ −x ∈ P)
Cualquier sistema que verifique los axiomas de grupo A y B se dice un
cuerpo ordenado. Claramente R es un cuerpo ordenado.
En un cuerpo ordenado definimos la noci´n x < y mediante y − x ∈ P.
o
Escribiremos x ≤ y cuando x < y o x = y. As´ recuperamos la noci´n
ı, o
habitual de orden de los n´meros reales.
u
Otra propiedad importante de los n´meros reales es la completitud. Pero
u
antes de enunciarla debemos recordar algunos conceptos.
Definici´n: Sea S ⊂ R. Diremos que b ∈ R es una cota superior de S
o
si x ≤ b, ∀ b ∈ S.

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Observaci´n:
o
b ∈ R no es cota superior de S si y s´lo si ∃ x ∈ S : b < x.
o
Un subconjunto S de R puede no tener cotas superiores.
Si S tiene una cota superior, entonces tendr´ una infinidad de ellas en
a
R.
Si se aplican las definiciones al conjunto vac´ ∅, resulta que cualquier
ıo
n´mero real es cota superior de ∅.
u
Definici´n: Un conjunto de n´meros reales se dice acotado superior-
o u
mente si tiene cotas superiores.
Definici´n: Sea S ⊂ R. Si S est´ acotado superiormente, se llama su-
o a
premo a la menor cota superior.
Notaci´n: Al supremo de un conjunto S lo denotaremos por cualquiera
o
de las siguientes formas:
sup S; sup x; sup{x : x ∈ S}.
x∈S
An´logamente se define la noci´n de cota inferior y de ´
a o ınfimo de un
subconjunto de R, y pueden deducirse propiedades similares.
Proposici´n 1 Una cota superior b de un conjunto no vac´ S de R es el
o ıo
supremo de S si y s´lo si
o
∀ > 0, ∃ x ∈ S : b − < x.
C. Axioma de completitud
Todo conjunto no vac´ S de n´meros reales acotado superiormente posee
ıo u
supremo.
As´ R es un cuerpo ordenado completo.
ı,
Aplicaciones de las propiedades de completitud:
Sean S ⊂ R no vac´ acotado superiormente, y a ∈ R. Entonces
ıo
sup (a + S) = a + sup S
donde a + S = {a + x : x ∈ S}.

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ıa
Sean A y B subconjuntos no vac´ de R acotados. Entonces
ıos
sup (A + B) = sup A + sup B
´ (A + B) = ´ A + ´ B
ınf ınf ınf
donde A + B = {a + b : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Sean X un conjunto no vac´ de n´meros reales, y f , g definidas en X
ıo u
y con codominios acotados en R. Entonces
sup {f (x) + g(x) : x ∈ X} ≤ sup {f (x) : x ∈ X} + sup {g(x) : x ∈ X}
´ {f (x) : x ∈ X} + ´ {g(x) : x ∈ X} ≤ ´ {f (x) + g(x) : x ∈ X}
ınf ınf ınf
Bibliograf´
ıa:
Lima, E. L. (1976) Curso de an´lise. Vol 1, Projeto Euclides, IMPA,
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tem´tico de una variable. Limusa Grupo Noriega, M´xico.
a e