Dimensi Tiga ( Proyeksi & Sudut )

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga

Proyeksi Pada Bangun Ruang : proyeksi titik pada garis proyeksi titik pada bidang proyeksi garis pada bidang

Proyeksi Pada Bangun Ruang :

proyeksi titik pada garis

proyeksi titik pada bidang

proyeksi garis pada bidang

Proyeksi titik pada garis Dari titik P ditarik garis m  garis k garis m memotong k di Q, titik Q adalah hasil proyeksi titik P pada k P Q k m

Proyeksi titik pada garis

Dari titik P

ditarik garis m  garis k

garis m memotong k di Q,

titik Q adalah

hasil proyeksi

titik P pada k

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH Tentukan proyeksi titik A pada garis a. BC b.BD c. ET (T perpotongan AC dan BD). T A B C D H E F G

Contoh

Diketahui

kubus ABCD.EFGH

Tentukan proyeksi

titik A pada garis

a. BC b.BD

c. ET

(T perpotongan

AC dan BD).

Pembahasan Proyeksi titik A pada a. BC adalah titik b. BD adalah titik c. ET adalah titik B T A’ A’ (AC  ET) (AB  BC) (AC  BD) A B C D H E F G T

Pembahasan

Proyeksi titik A pada

a. BC adalah titik

b. BD adalah titik

c. ET adalah titik

Proyeksi Titik pada Bidang Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g  H. Garis g menembus bidang H di titik P’. Titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H P P’ g H

Proyeksi Titik pada Bidang

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah…. b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah…. A B C D H E F G

Contoh

Diketahui kubus

ABCD.EFGH

a. Proyeksi titik E

pada bidang ABCD

adalah….

b. Proyeksi titik C

pada bidang BDG

adalah….

Pembahasan a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah CE  BDG (EA  ABCD) A P P A B C D H E F G

Pembahasan

a. Proyeksi titik E

pada bidang ABCD

adalah

b. Proyeksi titik C

pada bidang BDG

adalah

CE  BDG

Proyeksi garis pada bidang Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyek- sikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang. A A’ g Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’ B B’ g’ H

Proyeksi garis pada bidang

Fakta-fakta 1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis 2. Jika garis h   maka proyeksi garis h pada bidang  berupa titik. 3. Jika garis g // bidang  maka g’ yaitu proyeksi garis g pada  dan sejajar garis g

Fakta-fakta

1. Proyeksi garis pada bidang

umumnya berupa garis

2. Jika garis h   maka

proyeksi garis h pada bidang 

berupa titik.

3. Jika garis g // bidang  maka

g’ yaitu proyeksi garis g pada 

dan sejajar garis g

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah…. b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah…. A B C D H E F G

Contoh 1

Diketahui kubus

ABCD.EFGH

a. Proyeksi garis EF

pada bidang ABCD

adalah….

Pembahasan a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB A B C D H E F G

Pembahasan

a. Proyeksi garis EF

pada bidang ABCD

berarti menentukan

proyeksi titik E dan F

pada bidang ABCD,

yaitu titik A dan B

Pembahasan b. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya? P 6 cm A B C D H E F G

Pembahasan

b. Proyeksi garis CG

pada bidang BDG

berarti menentukan

proyeksi titik C

dan titik G

pada bidang BDG,

yaitu titik P dan G

• Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG . • PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6 P R • Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm 6 cm A B C D H E F G

Contoh 2 Diketahui limas beraturanT.ABCD dengan panjang AB = 16 cm, TA = 18 cm Panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah…. 16 cm 18 cm T A D C B

Contoh 2

Diketahui limas

beraturanT.ABCD

dengan panjang AB

= 16 cm, TA = 18 cm

Panjang proyeksi TA

pada bidang ABCD

adalah….

Pembahasan Proyeksi TA pada bidang ABCD adalah AT’. Panjang AT’= ½AC = ½.16√2 = 8√2 16 cm 18 cm T’ Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah 8 √2 cm T A D C B

Pembahasan

Proyeksi TA

pada bidang ABCD

adalah AT’.

Panjang AT’= ½AC

= ½.16√2

= 8√2

Sudut Pada Bangun Ruang : Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan bidang Sudut antara bidang dan bidang

Sudut Pada Bangun Ruang :

Sudut antara dua garis

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara bidang dan bidang

Sudut antara Dua Garis Yang dimaksud dengan besar sudut antara dua garis adalah besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut k m

Sudut antara Dua Garis

Yang dimaksud dengan

besar sudut antara

dua garis adalah

besar sudut terkecil

yang dibentuk

oleh kedua

garis tersebut

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antara garis-garis: a. AB dengan BG b. AH dengan AF c. BE dengan DF A B C D H E F G

Contoh

Diketahui

kubus ABCD.EFGH

Besar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

b. AH dengan AF

c. BE dengan DF

Pembahasan Besar sudut antara garis-garis: a. AB dengan BG = 90 0 b. AH dengan AF = 60 0 ( ∆ AFH smss) c. BE dengan DF = 90 0 (BE  DF) A B C D H E F G

Pembahasan

Besar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

= 90 0

b. AH dengan AF

= 60 0 ( ∆ AFH smss)

c. BE dengan DF

= 90 0 (BE  DF)

Sudut antara Garis dan Bidang Sudut antara garis a dan bidang  dilambangkan (a,  ) adalah sudut antara garis a dan proyeksinya pada  . Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q =  PQP ’ P’ P Q V

Sudut antara

Garis dan Bidang

Sudut antara

garis a dan bidang 

dilambangkan (a,  )

adalah sudut antara

garis a dan

proyeksinya pada  .

Sudut antara garis PQ dengan V

= sudut antara PQ dengan P’Q

=  PQP ’

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm. Gambarlah sudut antara garis BG dengan ACGE, 6 cm Kemudian hitunglah besar sudutnya! A B C D H E F G

Contoh 1

Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 6 cm.

Gambarlah sudut

antara garis BG

dengan ACGE,

Pembahasan Proyeksi garis BG pada bidang ACGE adalah garis KG (K = titik potong AC dan BD) 6 cm Jadi  (BG,ACGE) =  (BG,KG) =  BGK K A B C D H E F G

Pembahasan

Proyeksi garis BG

pada bidang ACGE

adalah garis KG

(K = titik potong

AC dan BD)

Pembahasan BG = 6 √2 cm BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm ∆ BKG siku-siku di K 6 cm sin  BGK = Jadi, besar  BGK = 30 0 K A B C D H E F G

Pembahasan

BG = 6 √2 cm

BK = ½BD

= ½.6√2

= 3√2 cm

∆ BKG siku-siku di K

Contoh 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 8 cm. 8 cm Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah…. A B C D H E F G

Contoh 2

Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 8 cm.

Pembahasan tan  (CG,AFH) = tan  (PQ,AP) = tan  APQ = = 8 cm P Q Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ½√2 A B C D H E F G

Pembahasan

tan  (CG,AFH)

= tan  (PQ,AP)

= tan  APQ

=

=

Contoh 3 Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang, sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. T A B C D a cm a cm

Contoh 3

Pada limas

segiempat beraturan

T.ABCD yang semua

rusuknya sama panjang,

Pembahasan • TA = TB = a cm • AC = a√2 ( diagonal persegi) • ∆ TAC = ∆ siku-siku samakaki sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut antara TA dan AC yang besarnya 45 0 T A B C D a cm a cm

Pembahasan

• TA = TB = a cm

• AC = a√2 ( diagonal

persegi)

• ∆ TAC = ∆ siku-siku

samakaki

Sudut antara Bidang dan Bidang Sudut antara bidang  dan bidang  adalah sudut antara garis g dan h , dimana g  (  ,  ) dan h  (  ,  ). (  ,  ) garis potong bidang  dan    (  ,  ) g h

Sudut antara

Bidang dan Bidang

Sudut antara

bidang  dan bidang 

adalah sudut antara

garis g dan h , dimana

g  (  ,  ) dan h  (  ,  ).

(  ,  ) garis potong bidang  dan 

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCD b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD! A B C D H E F G

Contoh 1

Diketahui kubus

ABCD.EFGH

a. Gambarlah sudut

antara bidang BDG

dengan ABCD

b. Tentukan nilai sinus

sudut antara BDG

dan ABCD!

Pembahasan a.  (BDG,ABCD) • garis potong BDG dan ABCD  BD • garis pada ABCD yang  BD  AC • garis pada BDG yang  BD  GP Jadi  (BDG,ABCD) =  (GP,PC) =  GPC P A B C D H E F G

Pembahasan

a.  (BDG,ABCD)

• garis potong BDG

dan ABCD  BD

• garis pada ABCD

yang  BD  AC

• garis pada BDG

yang  BD  GP

Pembahasan b. sin  (BDG,ABCD) = sin  GPC = = = ⅓√6 Jadi, sin  (BDG,ABCD) = ⅓√6 P A B C D H E F G

Pembahasan

b. sin  (BDG,ABCD)

= sin  GPC

=

=

= ⅓√6

Contoh 2 Limas beraturan T.ABC, panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah…. A B C T 6 cm 9 cm

Contoh 2

Limas beraturan

T.ABC, panjang

rusuk alas 6 cm dan

panjang rusuk tegak

9 cm. Nilai sinus sudut

antara bidang TAB

dengan bidang ABC

adalah….

Pembahasan • sin  (TAB,ABC) = sin  (TP,PC) = sin  TPC • TC = 9 cm, BP = 3 cm • PC = = • PT = = P 3 A B C T 6 cm 9 cm

Pembahasan

• sin  (TAB,ABC)

= sin  (TP,PC)

= sin  TPC

• TC = 9 cm, BP = 3 cm

• PC =

=

• PT =

=

• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3 Aturan cosinus TC 2 = TP 2 + PC 2 – 2TP.TC.cos  TPC 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos  TPC 36√6.cos  TPC = 99 – 81 36√6.cos  TPC = 18 cos  TPC = = A B C T 9 cm P 6 √2 3 √3 2 1

• Lihat ∆ TPC cos  P = Maka diperoleh Sin  P = Jadi sinus  (TAB,ABC) = 12 √ 6 P

Contoh 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH, pan- jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD. Sudut antara bidang FHQP dan bi- dang AFH adalah  . Nilai cos  =… 4 cm P Q A B C D H E F G

Contoh 3

Diketahui kubus

ABCD.EFGH, pan-

jang rusuk 4 cm

Titik P dan Q

berturut-turut

di tengah-tengah

AB dan AD.

Pembahasan •  (FHQP,AFH) =  (KL,KA) =  AKL =  • AK = ½a√6 = 2√6 • AL = LM = ¼ AC = ¼a√2 = √2 • KL = = =3√2 4 cm P Q K L  M A B C D H E F G

Pembahasan

•  (FHQP,AFH)

=  (KL,KA)

=  AKL = 

• AK = ½a√6 = 2√6

• AL = LM = ¼ AC

= ¼a√2 = √2

• KL =

=

=3√2

Pembahasan • AK = 2√6 , AL = √2 KL = 3√2 Aturan Cosinus: AL 2 = AK 2 + KL 2 – 2AK.KLcos  2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos  24√3.cos  = 42 – 2 24√3.cos  = 40 cos  = K L  M A Jadi nilai cos  =

Pembahasan

• AK = 2√6 , AL = √2

KL = 3√2

Aturan Cosinus:

AL 2 = AK 2 + KL 2 – 2AK.KLcos 

2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos 

24√3.cos  = 42 – 2

24√3.cos  = 40

cos  =

SELAMAT BELAJAR

SELAMAT BELAJAR