Your SlideShare is downloading. ×
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Mmc
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Mmc

1,606

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
1,606
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
118
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  1. Mécanique desMilieux ContinusGolay Frédéric - Bonelli Stéphane 01/02/2011 ISITV
  2. MMCGolay - Bonelli -2-
  3. Ce cours de mécanique des milieux continus est à la base de l’enseignement de mécanique à l’ISITV. Lesnotions abordées ici, transport de champs, lois de conservation, ..., seront reprises ultérieurement enmécanique des solides et mécanique des fluides. Dans une première partie, nous aborderons les notationstensorielles et vectorielles indispensables à toute étude scientifique, puis dans une deuxième partie, nousétudierons la cinématique des milieux continus. Après avoir introduit la modélisation des efforts et les lois deconservation par le principe des puissances virtuelles, nous appliquerons ces lois de conservation aux lois decomportement de l’élasticité linéaire (en mécanique des solides) et aux lois de comportement des fluidesnewtoniens (en mécanique des fluides). -3- Golay - Bonelli
  4. MMCGolay - Bonelli -4-
  5. Sommaire TABLE DES MATIERESNotations tensorielles ....................................................................................................... 91 Vecteurs et tenseurs ............................................................................................... 9 1.1 Notations ............................................................................................................................................... 9 1.2 Changement de repère ........................................................................................................................ 122 Permutations et déterminants............................................................................... 14 2.1 Les symboles de permutation .............................................................................................................. 14 2.2 Déterminant d’une matrice ................................................................................................................. 14 2.3 Polynôme caractéristique .................................................................................................................... 15 2.4 Adjoint d’un tenseur antisymétrique ................................................................................................... 153 Calcul vectoriel et analyse vectorielle .................................................................... 16 3.1 Calcul vectoriel ..................................................................................................................................... 16 3.2 Analyse vectorielle ............................................................................................................................... 16 3.3 Transformation d’intégrales ................................................................................................................ 174 Formules essentielles en Mécanique des Milieux Continus .................................... 18 4.1 Coordonnées cartésiennes orthonormées .......................................................................................... 18 4.2 Coordonnées cylindriques ................................................................................................................... 19 4.3 Coordonnées sphériques ..................................................................................................................... 20 4.4 Comment retrouver les formules ........................................................................................................ 215 A retenir ............................................................................................................... 23CINEMATIQUE ................................................................................................................. 251 Le mouvement et ses représentations ................................................................... 25 1.1 Configuration ....................................................................................................................................... 25 1.2 Variables de Lagrange et variables d’Euler .......................................................................................... 26 1.3 Dérivées particulaires .......................................................................................................................... 262 Déformation d’un milieux continu ......................................................................... 27 2.1 Notion de déformation ........................................................................................................................ 27 2.2 Tenseur des déformations ................................................................................................................... 28 2.3 Conditions de compatibilité ................................................................................................................. 303 Transport, dérivées particulaires ........................................................................... 30 3.1 Transport d’un volume ........................................................................................................................ 30 3.2 Transport d’une surface orientée ........................................................................................................ 31 3.3 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume .................................................................................. 32 3.4 Dérivée particulaire d’une intégrale de surface .................................................................................. 334 A retenir ............................................................................................................... 35EFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS ........................................................................... 37 -5- Golay - Bonelli
  6. MMC1 Définitions ............................................................................................................ 37 1.1 Forces ................................................................................................................................................... 37 1.2 Vecteur-contrainte et tenseur des contraintes .................................................................................... 372 Equilibre ............................................................................................................... 39 2.1 Le Principe des Puissances Virtuelles (Germain 1972) ......................................................................... 39 2.2 Puissance virtuelle des efforts intérieurs ............................................................................................. 39 2.3 Puissance virtuelle des efforts extérieurs ............................................................................................ 40 2.4 Application du Principe des Puissances Virtuelles ............................................................................... 40 2.5 Equilibre ............................................................................................................................................... 41 2.6 Autre présentation: Principe fondamental de la dynamique............................................................... 423 Quelques propriétés du tenseur des contraintes ................................................... 43 3.1 Symétrie du tenseur des contraintes ................................................................................................... 43 3.2 Contrainte normale et contrainte tangentielle .................................................................................... 44 3.3 Directions principales, contraintes principales .................................................................................... 44 3.4 Invariants .............................................................................................................................................. 44 3.5 Cercles de Mohr ................................................................................................................................... 444 Exemples de tenseur des contraintes .................................................................... 47 4.1 Tenseur uniaxial ................................................................................................................................... 47 4.2 Tenseur sphérique................................................................................................................................ 475 A retenir ............................................................................................................... 48ELASTICITE ...................................................................................................................... 491 Approche expérimentale: essai de traction............................................................ 492 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) .................................................. 50 2.1 Forme générale .................................................................................................................................... 50 2.2 Matériau élastique homogène isotrope............................................................................................... 50 2.3 Matériau élastique homogène orthotrope .......................................................................................... 50 2.4 Matériau élastique homogène isotrope transverse ............................................................................. 51 2.5 Caractéristiques de quelques matériaux .............................................................................................. 51 2.6 Critères de limite d’élasticité ............................................................................................................... 523 Le problème d’élasticité ........................................................................................ 53 3.1 Ecriture générale .................................................................................................................................. 53 3.2 Formulation en déplacement ............................................................................................................... 53 3.3 Formulation en contrainte ................................................................................................................... 53 3.4 Théorème de superposition ................................................................................................................. 53 3.5 Elasticité plane ..................................................................................................................................... 54 3.6 Thermoélasticité .................................................................................................................................. 554 A retenir ............................................................................................................... 58INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES............................................................... 591 Loi de comportement ............................................................................................ 59 1.1 Fluide Newtonien ................................................................................................................................. 59 1.2 Fluide incompressible........................................................................................................................... 60 1.3 Fluide non-visqueux ............................................................................................................................. 60 1.4 Fluide au repos ..................................................................................................................................... 60Golay - Bonelli -6-
  7. Sommaire2 Conservation de la masse ...................................................................................... 603 Equation du mouvement ....................................................................................... 614 A retenir ............................................................................................................... 62Bibliographie ................................................................................................................... 63Annexes: Rappels de mécaniques des solides rigides ....................................................... 651 Cinématiques du solide ......................................................................................... 65 1.1 Description du mouvement ................................................................................................................. 65 1.2 Composition des mouvements ............................................................................................................ 662 Cinétique .............................................................................................................. 68 2.1 Définitions ............................................................................................................................................ 68 2.2 Eléments de cinétique ......................................................................................................................... 68 2.3 Cinétique du solide rigide .................................................................................................................... 693 Equations fondamentales de la mécanique des solides .......................................... 72 3.1 Torseur associé aux efforts externes ................................................................................................... 72 3.2 Loi fondamentale de la dynamique ..................................................................................................... 72 -7- Golay - Bonelli
  8. MMCGolay - Bonelli -8-
  9. Notations tensoriellesNOTATIONS TENSORIELLES1 Vecteurs et tenseursAvertissement: L’objectif de ce chapitre, est de familiariser les étudiants avec les notations tensorielles. Afind’en simplifier le contenu, nous ne considérerons que des bases orthonormées.1.1 Notations1.1.1 VecteurDans un espace euclidien ξ à trois dimensions, soit e1, e2 , e3 une base orthonormée. Un vecteur V estreprésenté par ses composantes V1 , V2 , V3 3 V = V1e1 +V2e2 +V3e3 = ∑Viei i =1 (1.1)En utilisant la convention de sommation, ou convention d’Einstein, on écrit V = Viei (1.2)où, chaque fois qu’un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de 1 à 3 et de faire la somme. Dansl’expression (2) l’indice i est un "indice muet".En notation matricielle on écrira parfois       V     1  {}       V = V = V      2       (1.3)   V     3     et le vecteur transposé {} T T V = V = V = V1 V2 V3 (1.4)1.1.2 Application linéaire de ξ dans ξSoit A une application linéaire, dans la base e1, e2 , e3 . Cette application est représentée par une matrice 3x3notée A :   A A A   11 12 13  A A A   21 22 23     A31 A32 A33  Si W est un vecteur tel que W = AV , alors les composantes de W sont données par W1 = A11V1 + A12V2 + A13V3 W2 = A21V1 + A22V2 + A23V3 W3 = A31V1 + A32V2 + A33V3et en utilisant les conventions de sommation où j est un indice muet -9- Golay - Bonelli
  10. MMC Wi = AijVj (1.5)et en notation vectorielle {W } = A {V }On définit les symboles de Kronecker par 1  si i=j δij =   0  si i≠j (1.6)  En particulier l’application identité 1 est représentée par la matrice δ13  1 0 0    δ  11  δ12 δ23  = 0 1 0    δ δ22  21       δ  31 δ32 δ33  0 0 1    La composition de deux applications linéaires se traduit par le produit de leur matrice représentative, c’est-à-dire C =A B ou encore C  = A B       et en notation indicielle C ij = Aik Bkj (1.7)1.1.3 Formes bilinéairesSoit A une forme bilinéaire sur ξ , c’est-à-dire une application bilinéaire de ξ × ξ dans ℝ . Dans la basee1, e2 , e3 elle est représentée par une matrice Aij telle que ( ) A V ,W = AijVWj i (1.8)ou en notation matricielle ( ) A V ,W = V A {W }  En particulier, la forme bilinéaire représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produitscalaire. Si ( e1, e2 , e3 ) est une base orthonormée, alors ei ⋅ e j = δijet le produit scalaire de deux vecteurs est donné par V ⋅W = Viei ⋅Wje j = VWj ei ⋅ e j = δijVWj = VWi i i iou en notation matricielleV ⋅W = V {W }1.1.4 Tenseurs1.1.4.1 Tenseur du second ordreUn tenseur du second ordre T est un opérateur linéaire qui fait correspondre à tout vecteur V de l’espaceeuclidien un vecteur W de ce même espace.Golay - Bonelli - 10 -
  11. Notations tensorielles W =T V ()  Cet opérateur peut être représenté par une matrice 3x3, notée T  ou T  ou T , telle que     Wi = TijVjou en notation matricielle {W } = T  {V }ou W = TV* Un tenseur est dit symétrique si Tij = Tji* Un tenseur est dit antisymétrique si Tij = − ji T* Un tenseur est dit isotrope si Tij = t δij* On peut toujours décomposer un tenseur en une partie symétrique et antisymétrique S A T = T +T Tij = TijS + TijA ou 1 1 TijS = ( T + Tji 2 ij ) TijA = Tij −Tji 2 ( ) avec et1.1.4.2 Tenseur d’ordre supérieurOn peut définir un vecteur V par ses composantes Vi , ou par les coefficients de la forme linéaireX → X ⋅V = XiVi , car la base choisie est orthonormée (voir les notions de vecteurs covariants etcontravariants).On peut alors considérer le vecteur comme un tenseur du premier ordre.De même, une fonction scalaire peut être considérée comme un tenseur d’ordre zéro.Un tenseur du troisième ordre S est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur Z fait correspondre un tenseurdu second ordre T . T = S (Z ) ou encore Tij = Sijk Z k1.1.4.3 Produit tensorielOn définit le produit tensoriel du vecteur U par le vecteur V , noté U ⊗ V , comme le tenseur d’ordre deux, (défini par la forme bilinéaire qui aux vecteurs X et Y fait correspondre U ⋅ X V ⋅Y )( )Les 9 produits tensoriels ei ⊗ e j définissent une base de l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre deux, si bienque l’on peut écrire un tenseur T comme T = Tijei ⊗ e jou encore, par exemple, - 11 - Golay - Bonelli
  12. MMC    uv 1 1  u1v2 u1v3    u ⊗ v = ui v jei ⊗ e j = u v    2 1 u2v2 u2v3    uv u3v2 u3v3   3 1  1.1.4.4 Contraction et produit contractéSoit le produit tensoriel A ⊗ B ⊗ C , on appelle contraction, l’opération qui lui fait correspondre le vecteurA(B ⋅ C ) . Le produit contracté d’un tenseur d’ordre 4 R et d’un tenseur d’ordre 3 S est défini par le tenseurd’ordre 5 ( )( ) R ⋅ S = Rijklei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el ⋅ S pqrep ⊗ eq ⊗ er = Rijkm Smqrei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ eq ⊗ erLe produit doublement contracté d’un tenseur d’ordre 4 R et d’un tenseur d’ordre 3 S est défini par letenseur d’ordre 3 ( )( ) R : S = Rijklei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el : S pqrep ⊗ eq ⊗ er = Rijnm Smnrei ⊗ e j ⊗ erPar exemple, le produit doublement contracté de deux tenseurs d’ordre 2 T et T ′ est le scalaire ( )( ) T : T ′ = Tijei ⊗ e j : T ′ pqep ⊗ ea = TijTji′1.2 Changement de repère1.2.1 Matrice de passageSoit e1, e2 , e3 une base orthonormée et e1′, e2 , e3 une autre base orthonormée. ′ ′On définit la matrice de passage Q telle que: e1′ = Q11e1 + Q12e2 + Q13e3 e2′ = Q21e1 + Q22e2 + Q23e3 ′ e3 = Q31e1 + Q32e2 + Q33e3ou encore, en notations indicielles ei′ = Qije jet en notation matricielle {e ′} = Q  {e }Les deux bases étant orthonormées, on doit avoir δij = ei′ ⋅ e j′ = Qikek ⋅ Qjlel = QikQjl δkl = QikQjkce qui montre que la matrice inverse de Q est QT . En particulier on tire la relation inverse: ei = Qjie j′1.2.2 VecteursSoit V un vecteur de composantes Vi dans la base e1, e2 , e3 et Vi ′ dans la base e1′, e2 , e3 . ′ ′ V = Viei = Viei′ ′Golay - Bonelli - 12 -
  13. Notations tensoriellesEn utilisant la matrice de passage V = Viei = VQkiek isoit Vk′ = VQki i et i ′ Vk = VQikou encore, en notation matricielle {V ′} = Q  {V } {V } = Q  {V ′} T etRemarque: le produit scalaire est un invariant, c’est à dire que cette fonction est indépendante du repèrechoisi.En notation indicielle V ′. ′ = VkWk′ = VQkiWjQkj = δijVWj = VWi = V . W ′ i i i Wet en notation matricielle { }   {} { } T V ′. ′ = V ′ W ′ =  Q  V  W     Q  W     Q  Q  W = V T = V         { } {W } = V .W1.2.3 Application linéaire ′Soit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base e1, e2 , e3 . et Aij dans la base e1′, e2 , e3 . ′ ′En notation indicielle Wi ′ = AikVk′ = QijWj = Qij AjmVm = Qij AjmQkmVk′ ′d’où ′ Aik = Qij AjmQkmet en notation matricielle {W ′} = A′ {V ′} = Q  {W } = Q  A {V } = Q  A Q  {V } Tsoit A′ = Q  A Q  T        1.2.4 Forme bilinéaire ′Soit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base e1, e2 , e3 . et Aij dans la base e1′, e2 , e3 . ′ ′ A(V ,W ) = AijVWj = AijVWj′ = AijQkiVk′ mjWm i ′ i′ Q ′soit ′ Akm = AijQkiQmjet en notation matricielle { } A(V ,W ) = V A W = V ′ A′  W ′ =     { }   { } { } { } T  Q  V ′  A Q  W ′ = V ′ Q  A Q  W ′ T T T              - 13 - Golay - Bonelli
  14. MMCsoit A′ = Q  A Q  T        1.2.5 Tenseur d’ordre 2Soit T un tenseur d’ordre 2, en notation indicielle T = Tijei ⊗ e j = Tij′ei′ ⊗ e j′ = TijQkiek′ ⊗ Qmjem = TijQkiQmjek′ ⊗ em ′ ′puis ′ Tkm = TijQkiQmj2 Permutations et déterminants2.1 Les symboles de permutationOn introduit les symboles de permutation +1 si i, j , k est une permutation paire de 1, 2, 3    εijk = −1 si i, j , k est une permutation impaire de 1, 2, 3   0   si deux indices sont répétés Ces symboles représentent le produit mixte des vecteurs de base ( εijk = ei , e j , ek )εijk sont les composantes d’un tenseur du troisième ordre, qui représente, par exemple, la forme trilinéaireproduit mixte: (U ,V ,W ) = ε ijk U iVjWkAvec un peu de patience on peut démontrer les résultats suivants      δim δin     δil    εijk εlmn = Det  δjl δjm δjn          δ δkm δkn      kl    ε ε = δ δ −δ δ    ijk imn jm kn jn km   εijk εijn = 2δkm    εijk εijk = 6  2.2 Déterminant d’une matriceLes symboles de permutation permettent le calcul du déterminant d’une matrice par εijk Det(A) = εmnp Aim Ajn Akp (1.9)ou encore 1 Det(A) = ε ε A A A 6 ijk mnp im jn kpOn peut également déterminer l’inverse d’une matriceGolay - Bonelli - 14 -
  15. Notations tensorielles 1 B = A−1 et Bji = ε ε A A 2Det(A) imn jpq mp nq2.3 Polynôme caractéristiqueLes valeurs propres d’un tenseur du second ordre sont obtenues par la résolution de l’équation caractéristique P (λ ) = Det (A − λI )soit en développant 1 ε ε (A − λδim )(Ajn − λδjn )(Akp − λδkp ) = 0 6 ijk mnp imou encore P (λ ) = I 3 − λI 2 + λ 2 I 1 − λ 3avec   1   I 3 = εijk εmnp Aim Ajn Akp = Det(A)   6   I = A A − A A  = 1 (Tr A)2 − Tr A2   2 1                  2  ii jj  ij ji  2     I1 =Aii =Tr A     I 1, I 2 , I 3 sont appelés les invariants fondamentaux du tenseur A.2.4 Adjoint d’un tenseur antisymétriqueSoit un tenseur antisymétrique  0 − 31   12 − =  12 0  23     31 − 23 0  on peut également lui associer le vecteur          ω1                  23          ω = ω2  =              31           ω3               12         soit  0 ω3 −ω2   = −ω3 0 ω1     ω2 −ω1 0  Le vecteur ω est le vecteur adjoint du tenseur antisymétrique . En notation indicielle on a:       ij = εijk ωk       ωi = 1 εijk jk 2   (1.10) - 15 - Golay - Bonelli
  16. MMC3 Calcul vectoriel et analyse vectorielle3.1 Calcul vectorielLe produit vectoriel c = a ∧bs’écrit en notation indicielle ciei = εijk a jbkeiOn peut montrer que (a ∧ b) ∧ c = (a ⋅ c)b − (b ⋅ c)a (a ∧ b) ⋅ (c ∧ d ) = (a ⋅ c)(b ⋅ d ) − (a ⋅ d )(b ⋅ c)3.2 Analyse vectorielleOn note d’une virgule la dérivée partielle, soit , i = ∂ . Les opérateurs exposés dans cette partie seront ∂x iexprimés dans un repère cartésien orthonormé.* Soit f une fonction scalaireLe gradient d’une fonction scalaire est un vecteur  ∂f        ∂x   1    ∂f     grad f = ∇f = f,i ei =      ∂x   2   ∂f       ∂x   3     Le laplacien d’une fonction scalaire est un scalaire ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∆ f = f,ii = + + ∂x 1 2 ∂x 2 2 ∂x 3 2* Soit v un vecteurLa divergence d’un vecteur est un scalaire ∂v1 ∂v2 ∂v3 Div v = vi,i = + + ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3Le rotationnel d’un vecteur est un vecteur  ∂v  3 ∂v 2       ∂x − ∂x   2     ∂v 3  1 ∂v 3   rot v = ∇ ∧ v = εijk vk , j ei =   −    ∂x  3 ∂x 1     ∂v   2 ∂v1    −   ∂x 1 ∂x 2      Le gradient d’un vecteur est une matriceGolay - Bonelli - 16 -
  17. Notations tensorielles  ∂v ∂v1 ∂v1   1  ∂x ∂x 2 ∂x 3   1  ∂v ∂v2 ∂v2  ∇ v = vi, j ei ⊗ e j =  2   ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3   ∂v ∂v 3 ∂v 3   3    ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 Le laplacien d’un vecteur est un vecteur  2     ∂ v1 + ∂ v1 + ∂ v1  2 2   2  2   ∂x 1  ∂x 22 ∂x 3     △v   2       ∂ v2  ∂ v2 2 ∂ v2   1  2  = △v  ∆ v = vi, jj ei =  2 + +   2  ∂x  1 ∂x 22 ∂x 3    2   2   △v        ∂ v3  ∂ 2v 3 ∂ 2v 3   3    2 +  ∂x +   1   ∂x 22 ∂x 3  2   * Soit T un tenseur du second ordreLa divergence d’un tenseur est un vecteur  ∂T  11 ∂T12 ∂T13     + +    ∂x  1 ∂x 2 ∂x 3     ∂T   21 ∂T22  ∂T23    Div T = Tij , j ei =  + +   ∂x  1 ∂x 2 ∂x 3     ∂T   31 ∂T32 ∂T33     + +    ∂x 1  ∂x 2 ∂x 3    * Quelques formules utiles ( ) Div f a = f Div a + a ⋅ grad f Div (a ∧ b ) = b ⋅ rot a − a ⋅ rot b Div (rot a ) = 0 rot (grad f ) = 0 ( ) grad f g = f grad g + g grad f ( ) rot f a = f rot a + grad f ∧ a ( ) Div grad f = ∆ f rot (rot a ) = grad (Div a ) − ∆a3.3 Transformation d’intégralesSoit un domaine borné et ∂ sa frontière, de normale n .Soit φ une fonction scalaire, alors ∫∫∂ φ n dS = ∫∫∫ grad φ dVSoit A un vecteur, alors ∫∫∂ A ⋅ n dS = ∫∫∫ Div(A) dV - 17 - Golay - Bonelli
  18. MMCSoit T un tenseur, alors ∫∫∂ T ⋅ n dS = ∫∫∫ Div(T ) dVSoit ∂ un domaine plan de normale n , de frontière Γ . Soit U un vecteur défini sur ce domaine. Si τ est levecteur unitaire tangent à Γ , alors ∫∫∂ rot(U ) ⋅ n dS = ∫ΓU ⋅ τ dlTous ces résultats sont issus du théorème de la divergence ∫∫∂ t jkl nl dS = ∫∫∫ t jkl ,l dV4 Formules essentielles en Mécanique des Milieux Continus4.1 Coordonnées cartésiennes orthonormées OM = xex + yey + zez* Soit v = vxex + vyey + vzez un vecteur, alors  ∂v ∂vx ∂vx   x  ∂x ∂y ∂z   ∂vi  ∂v ∂vy ∂vy  ∇(v ) = ∇v = ei ⊗ e j = vi, j ei ⊗ e j =   y ∂x j  ∂x ∂y ∂z   ∂v ∂vz ∂vz   z  ∂x ∂y ∂z   et ∂vy divv = ∂vi ∂x i ( ) = vi,i = Tr grad(v) = ∇v : I = ∂vx ∂x + ∂y + ∂vz ∂z ( ) ∆v = div ∇(v ) = ∂2vi ∂x j ∂x j ei = vi, jj ei = ∆vxex + ∆vyey + ∆vzez* Soit f une fonction scalaire, alors  ∂f     ∂x   ∂f  ∂f grad ( f ) = ∇f = ei = f,i ei =  ∂y    ∂x i  ∂f     ∂z       et ( ∆f = div grad (f ) = ) ∂2 f ∂x j ∂x j = f, jj = ∂2 f ∂2 f ∂2 f + 2 + 2 ∂x 2 ∂y ∂z    T  xx  Txy Txz   * Soit T = Tij ei ⊗ e j = T   yx  Tyy Tyz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:   T  Tzy Tzz   zx  Golay - Bonelli - 18 -
  19. Notations tensorielles  ∂T  ∂Txy ∂Txz    xx     + +   ∂x  ∂y ∂z  ∂Tij  ∂T  yx ∂Tyy ∂Tyz   div(T ) = ei = Tij , j  ei =  + +   ∂x j  ∂x  ∂y ∂z    ∂T   zx ∂Tzy ∂Tzz     ∂x + ∂y + ∂z        et  ∆T ∆Txy ∆Txz  ∂ 2Tij  xx ∆T = ei ⊗ e j = Tij ,kk ei ⊗ e j = ∆Tyx ∆Tyy ∆Tyz  ∂x k ∂x k  ∆T  ∆Tzy ∆Tzz  zx 4.2 Coordonnées cylindriques ∂OM 1 ∂OM ∂OM OM = rer + zez et = er , = eθ , = ez ∂r r ∂θ ∂z d(OM ) = erdr + rd θeθ + ez dz ∂er ∂eθ ∂ez =0 , =0 , =0 ∂r ∂r ∂r ∂er ∂eθ ∂ez = eθ , = −er , =0 ∂θ ∂θ ∂θ ∂er ∂eθ ∂ez =0 , =0 , =0 ∂z ∂z ∂z* Soit v = vrer + vθeθ + vzez un vecteur, alors  ∂v     r 1  ∂vr − v  ∂vr       ∂r r  ∂θ   θ  ∂z      ∂v  ∂v   ∂v 1 θ +v   grad (v ) = ∇v =  θ   r θ   ∂r r  ∂θ   ∂z       ∂v ∂vz   z 1 ∂v z   ∂r r ∂θ ∂z   et ( ) div v = Tr ∇(v ) = ∇v : I = vr r + ∂vr ∂r + 1 ∂vθ r ∂θ ∂v + z ∂z  2 ∂vθ vr    ( )   ∆v = div ∇v = ∆vr − 2   r ∂θ     2 ∂v v   − 2 er + ∆vθ + 2 r − θ eθ + ∆vzez r     2 r ∂θ r  * Soit f une fonction scalaire, alors ∂f 1 ∂f ∂f grad( f ) = ∇f = er + eθ + e ∂r r ∂θ ∂z zet ∂2 f 1 ∂f 1 ∂2 f ∂2 f ∆f = div (∇f ) = + + 2 + 2 ∂r 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂z - 19 - Golay - Bonelli
  20. MMC    T  rr  Tr θ Trz   * Soit T = T    θr Tθθ Tθz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:    T Tz θ Tzz   zr    ∂T  rr 1 ∂Tr θ ∂Trz Trr − Tθθ     + + +    ∂r  r ∂θ ∂z r    ∂T  2Tr θ    1 ∂Tθθ ∂Tθz  div(T ) =  θr + + +   ∂r  r ∂θ ∂z r    ∂T  1 ∂Tz θ ∂Tzz Tzr     zr + + +     ∂r r ∂θ ∂z r    4.3 Coordonnées sphériques ∂OM 1 ∂OM 1 ∂OM OM = rer et = er , = eθ , = eφ ∂r r ∂θ rsin θ ∂φ d(OM ) = erdr + rd θeθ + rsin θ d φ eφ ∂ er ∂eθ ∂ eφ =0 , =0 , =0 ∂r ∂r ∂r ∂er ∂eθ ∂ eφ = eθ , = −er , =0 ∂θ ∂θ ∂θ ∂er ∂eθ ∂eφ = sin θeφ , = cos θeφ , = sin θer − cos θeθ ∂φ ∂φ ∂φSoit v = vrer + vθeθ + vφeφ un vecteur, alors           ∂vr 1  ∂vr        1 1 ∂vr               − vθ         − vφ          ∂r r ∂θ         sin θ ∂φ  r                      ∂v θ 1  ∂vθ        1  1 ∂v θ         grad (v ) = ∇v =       + vr         − cotg θvφ           ∂r r  ∂θ         r  sin θ ∂φ                  1 ∂vφ 1  1 ∂v φ       ∂vφ             + cotg θvθ + v    r    ∂r r ∂θ r  sin θ ∂φ           et ∂vr vr 1 ∂vθ 1 ∂vφ v divv = ∇v : I = +2 + + cot g θ θ ∂r r r ∂θ r sin θ ∂φ r      ∆v − 2 v + 1 ∂(sin θvθ ) 1 ∂vφ    r   r +     r2    sin θ ∂θ sin θ ∂φ           ∆v + 2  ∂vr − vθ − cos θ ∂vφ   ( ) ∆v = div ∇(v ) =    θ   r 2  ∂θ   2 sin2 θ sin2 θ ∂φ              2  r  ∂v ∂vθ  vφ     ∆vφ +     + cotg θ −    r 2 sin θ  ∂φ    ∂φ 2 sin θ       Golay - Bonelli - 20 -
  21. Notations tensorielles* Soit f une fonction scalaire, alors   ∂f         ∂r   1 ∂f     grad (f ) =      r ∂θ    1 ∂f       r sin θ ∂φ        et ( ∆f = div grad( f ) = ) ∂2 f ∂r 2 + 2 ∂2 f 1 + 2 cotg θ r ∂θ 2 r ∂f 1 + 2 2 ∂2 f ∂θ r sin θ ∂φ2    T rr  Tr θ Tr φ   * Soit T = T  θr Tθθ Tθφ  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:     T  φr Tφθ Tφφ          ∂Trr ∂Tr θ ∂Tr φ   ( )        +1 + 1 + 1 2Trr − Tθθ − Tφφ + Tr θ cot g θ          ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r         ∂Tθr ∂Tθθ ∂Tθφ   ( )   +1 + 1 + 1 (Tθθ − Tφφ )cotg θ + 3Tr θ   div(T ) =           ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r           ∂Tφr ∂Tφθ ∂Tφφ           ∂r +1 r ∂θ + 1 r sin θ ∂φ + 1 2Tθφcotg θ + 3Tr φ r ( )              4.4 Comment retrouver les formulesNous nous plaçons par exemple en coordonnées cylindriques. On notev = vrer + vθeθ + vzez = viei avec i = r , θ, z et , i = ∂ , 1 ∂ , ∂ ∂r r ∂θ ∂zDonc, avec cette convention eθ er er ,θ = et eθ,θ = − r rChercher le gradient d’un tenseur consiste à augmenter l’ordre de ce tenseur, soit ∇(∗∗) = (∗∗), j ⊗ e jSi on applique cette remarque à un vecteur, on obtient: ∇(v ) = (viei ), j ⊗ e jEn n’oubliant pas de dériver les vecteurs de base, car nous sommes dans un système de coordonnéescylindrique, ∇v = vi, j ei ⊗ e j + vi ei, j ⊗ e j = vi, j ei ⊗ e j + vi ei,θ ⊗ eθ = vi, j ei ⊗ e j + vr er ,θ ⊗ eθ + vθ eθ,θ ⊗ eθ vr vθ = vi, j ei ⊗ e j + eθ ⊗ eθ − er ⊗ eθ r rPour obtenir l’opérateur divergence, il suffit de contracter doublement avec le tenseur unité d’ordre 2, div(∗∗) = ∇(∗∗) : 1soit dans le cas d’un vecteur: - 21 - Golay - Bonelli
  22. MMC vr vr ∂vr 1 ∂vθ ∂v div(v ) = ∇(v ) : 1 = vi,i + = + + + z r r ∂r r ∂θ ∂zet donc l’opérateur Laplacien pour un scalaire ϕ,r ∂ 2ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ = div (∇ϕ) = ϕ,ii + = + + 2 + 2 r ∂r 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂zAppliquons maintenant cette méthodologie à un tenseur d’ordre 2. ∇(T ) = (T e ij i ⊗ ej ) ,k ⊗ ek = Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei,k ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei ⊗ e j ,k ⊗ ek = Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei,θ ⊗ e j ⊗ eθ + Tij ei ⊗ e j ,θ ⊗ eθ Trj Tθ j = Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + eθ ⊗ e j ⊗ eθ − e ⊗ e j ⊗ eθ r r r T T + ir ei ⊗ eθ ⊗ eθ − iθ ei ⊗ er ⊗ eθ r rPour obtenir la trace de ce tenseur d’ordre 3 on contracte les deux derniers indices:   Tr θ Tθθ Tir   div T  = ∇(T ) : 1 = Tij , j ei + eθ − e er +     r r r i  ∂T 1 ∂Tr θ ∂Trz Tθθ Trr   =  rr   ∂r + + − + e   r ∂θ ∂z r   r  r   ∂T 1 ∂Tθθ ∂Tθz Tr θ Tθr   +  θr   + + + + e  θ  ∂r r ∂θ ∂z  r   r   ∂T 1 ∂Tz θ ∂Tzz Tzr   +  zr   + + + e   ∂r  r ∂θ ∂z r  z  On peut donc maintenant retrouver l’opérateur Laplacien d’un vecteur : ∆v = div ∇v( ) vθ vr vr ,θ v θ, θ vr ,θ − v θ, θ + = vi, jjei + eθ − r e + vi,r e er + r e − r r r r r r i θ   2 ∂v θ vr   2 ∂vr v    = ∆vr − 2  − 2 er + ∆vθ + 2  − θ  eθ + ∆vzez      r ∂θ r    r ∂θ r2   Golay - Bonelli - 22 -
  23. Notations tensorielles5 A retenirConvention de sommation : V = VieiProduits tensoriels :    uv  1 1  u1v2 u1v3    u ⊗ v = ui v jei ⊗ e j = u v    2 1 u2v2 u2v3    uv  u3v2 u3v3   3 1  Symboles de permutation : +1  si i, j , k est une permutation paire de 1, 2, 3   ( εijk = ei , e j , ek ) = −1   si i, j , k est une permutation impaire de 1, 2, 3 0  si deux indices sont répétés  Produit vectoriel : c = a ∧ b = εijk a jbk eiQuelques opérateurs :Div v = vi,i , rot v = ∇ ∧ v = εijk vk , j ei , ∇ v = vi, j ei ⊗ e j , Div T = Tij , j eiEn systèmes de coordonnées cylindrique ou sphérique, mieux vaut utiliser un formulaire ! - 23 - Golay - Bonelli
  24. MMCGolay - Bonelli - 24 -
  25. CinématiqueCINEMATIQUE1 Le mouvement et ses représentations1.1 ConfigurationL’espace physique est rapporté à un repère orthonormé direct (O, e1 , e2 , e 3 ) . L’ensemble des particules oupoints matériels constituant le milieu continu étudié, occupe à chaque instant t, un ensemble de positions dansl’espace: c’est la configuration du système à l’instant t, noté (t ) (d’intérieur (t ) et de frontière ∂ (t ) ).On introduit aussi la notion de configuration de référence: c’est la configuration particulière du système à uninstant t 0 fixé. Souvent on prendra 0 = (0) , et on parlera alors de configuration initiale.Toute particule M 0 de 0 est repérée par son vecteur position X (t ) dans la configuration de référence. Touteparticule M de (t ) est repérée par son vecteur position x (t ) dans la configuration actuelle (à l’instant t). ∂ 0 ( ) Φ X, t ∂ (t ) e3 0 e2 (t ) M x e1 M0 X ( ) u X,t Figure 1 : Configurations de référence et actuelleLa position de chaque particule M sera donc déterminée si on connaît sa position dans la configuration deréférence et une fonction Φ telle que: ( ) x (t ) = Φ X , t (2.1)Φ définit le mouvement par rapport à (O, e1 , e2 , e 3 ) . On devra donc déterminer trois fonctions scalaires, tellesque:  x = Φ (X , X , X , t )   1  1 1 2 3 x = Φ (X , X , X , t )  2  2 1 2 3 x = Φ (X , X , X , t ) (2.2)  3   3 1 2 3Dire que le milieu est continu, c’est dire que Φ est une fonction continue et biunivoque de X . On supposeraque Φ est différentiable. Le déplacement par rapport à la configuration 0 , à l’instant t, de la particule M 0 estle vecteur u (X , t ) = x (X , t ) − X (2.3) - 25 - Golay - Bonelli
  26. MMC1.2 Variables de Lagrange et variables d’EulerUne grandeur attachée à une particule (masse volumique, vitesse,...) peut être définie,- Soit en fonction de X et t : variables de Lagrange- Soit en fonction de x et t : variables d’EulerLe vecteur vitesse d’une particule M est défini par dOM ∂Φ(X , t ) V (X , t ) = = dt ∂t (2.4)Le vecteur accélération d’une particule M est défini par dV (X , t ) ∂2Φ(X , t ) Γ(X , t ) = = dt ∂t 2 (2.5)1.2.1 TrajectoireOn appelle trajectoire d’une particule, la courbe géométrique lieu des positions occupées par cette particule au ( )cours du temps. x (t ) = Φ X , t est une représentation paramétrée en temps de la trajectoire. Par définitionde la vitesse, dOM dx dx dx V (x , t ) = = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 dt dt dt dtles trajectoires peuvent être obtenues par la résolution des trois équations dx 1 dx 2 dx 3 = = = dt V1 (x 1, x 2 , x 3 , t ) V2 (x 1, x 2 , x 3 , t ) V3 (x 1, x 2 , x 3 , t ) (2.6)1.2.2 Lignes de courantA un instant donné, on appelle lignes de courant du mouvement, les lignes qui sont en tout point tangentes auvecteur vitesse de la particule située en ce point. Soit pour t fixé, deux équations: dx 1 dx 2 dx 3 = = V1 (x 1, x 2 , x 3 , t ) V2 (x 1, x 2 , x 3 , t ) V3 (x 1, x 2 , x 3 , t ) (2.7)Remarque: Pour un mouvement stationnaire (ou permanent) V (x , t ) = V (x ) . Les lignes de courant et lestrajectoires sont confondues.1.3 Dérivées particulaires1.3.1 DéfinitionLorsque l’on suit une particule dans son mouvement, la grandeur A attachée à la particule ne dépend que det. Par définition, on appelle dérivée particulaire de A à l’instant t , la dérivée de A par rapport à la seulevariable t .En variables de Lagrange: A = A(X , t ) dA ∂A (X , t ) = (X , t ) dt ∂t (2.8)En variables d’Euler: A = A(x , t )Golay - Bonelli - 26 -
  27. Cinématique ∂A ∂A dA(x , t ) = (x , t )dt + (x , t )dx j ∂t ∂x j dA ∂A ∂A dx j (x , t ) = (x , t ) + (x , t ) dt ∂t ∂x j dt dA ∂A ∂A (x , t ) = (x , t ) + (x , t ) j V dt ∂t ∂x jou encore dA ∂A dt = ∂t + V ⋅∇ A ( ) (2.9)1.3.2 Application à l’accélération Γ(x , t ) = dV (x , t ) ∂V dt = ∂t + V ⋅∇ V ( ) (2.10)que l’on peut également écrire ∂V 1 2 Γ(x , t ) = + ∇V + rotV ∧V ∂t 22 Déformation d’un milieux continu2.1 Notion de déformationOn dira qu’un milieu continu en mouvement subit des déformations si les distances relatives des pointsmatériels varient au cours du temps.En différenciant (2.1), on obtient: ∂Φi dx (t ) = ∇ Φ dX dx iei = dX jei ∂X jOn note F l’application linéaire qui fait passer de l’espace vectoriel dans lequel peut varier dX dans l’espacevectoriel où varie a priori dx . Cette application linéaire, appelée tenseur gradient ou application linéairetangente, permet donc le passage de la configuration 0 à la configuration (t ) . ∂ 0 F ∂ (t ) 0 e3 e2 dX (t ) dx M e1 M0 Figure 2 : Application linéaire tangenteEn notation indicielle,  ∂x ∂x 1 ∂x 1   1  ∂X ∂X 2 ∂X 3   1 ∂Φi ∂x i  ∂x ∂x 2 ∂x 2  Fij = = soit F =  2  ∂X j ∂X j  ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3  (2.11)  ∂x ∂x 3 ∂x 3   3    ∂X1 ∂X 2 ∂X 3  - 27 - Golay - Bonelli
  28. MMC2.2 Tenseur des déformations2.2.1 DéfinitionLe tenseur gradient décrit la transformation locale au voisinage d’une particule donnée. Afin de rendre comptedes déformations, c’est à dire des changements de forme autour de cette particule, on s’intéresse à l’évolutiondu produit scalaire de deux vecteurs matériels pris respectivement dans les deux configurations 0 et (t ) .Considérons trois particules voisines X , X + dX , X + dX ′ . Après déformations, elles occupent dans (t )les positions respectives x , x + dx , x + dx ′ . ∂ 0 ∂ (t ) 0 e3 dX ′ dx ′ (t ) e2 dX M dx e1 M0 Figure 3 : Notion de déformation           ∂x   ∂ ′   dx ⋅ dx ′ = F (X , t )dX  ⋅ F (X , t )dX ′ =  k dXi  ⋅  x k dX j′                        ∂X   i    ∂   X ′j        d’où sa variation autour de la transformation       ∂x k ∂x k′       dx ⋅ dx ′ − dX ⋅ dX ′ =     − δij  dX idX j′ = Fki Fkj − δij  dX idX j′             ∂X ∂X ′           i j soit dx ⋅ dx ′ − dX ⋅ dX ′ = 2 dX ε dX ′en posant 1 T  F (X , t ) F (X , t ) − 1  ε=    2     (2.12)L’application linéaire ε est appelée tenseur des déformations. Cette application est symétrique mais dépendbien sûr de la base (O, e1 , e2 , e 3 ) initialement choisie.2.2.2 Remarques* S’il n’y a pas de déformations, alors ε = 0 (et inversement). T* C = F F est appelé le tenseur des dilatations. Ce tenseur est symétrique.On peut démontrer:Théorème 1: Les valeurs propres de C sont strictement positives.  Théorème 2: Det F  > 0   ∀t    Théorème 3: ε est symétrique et possède les mêmes vecteurs propres que C .* Variation de longueurSoit dX ′ = dX = dl 0 ex et dx = dl , alorsGolay - Bonelli - 28 -
  29. Cinématique dx ⋅ dx ′ − dX ⋅ dX ′ = dl 2 − dl0 = 2 dX ε dX ′ = 2dl0 εxx 2 2ou encore, si les déformations sont petites dl dl − dl0 = 1 + 2εxx ≈ 1 + εxx → εxx ≈ dl0 dl0εxx représente au premier ordre la variation de longueur dans la direction x .* Variation d’angleSoit dX = dl 0 ex , dX = dl 0 ey , alors dx ⋅ dx − dX ⋅ dX = cos θdldl ′ = 2 dX ε dX ′ = 2dl0 εxy 2ou encore, 2εxy = cos θ 1 + 2εxx 1 + 2εyydonc εxy représente au premier ordre la variation d’angle entre les directions x et y .2.2.3 Autre écritureD’après (2.3) et (2.1) ∂x ∂u F (X , t ) = (X , t ) = 1 + (X , t ) ∂X ∂Xsoit  T T   1  ∂u  ∂u  ε=   X (X , t ) + ∂u (X , t ) + ∂u (X , t ) (X , t )  2 ∂ ∂X   (2.13)   ∂X ∂X  ou encore en notation indicielle 1  ∂u i   ∂u j ∂ uk ∂ uk    εij =  + +   2  ∂X j   ∂X i  ∂X i ∂X j 2.2.4 Cas des petites perturbations ∂uCette hypothèse correspond au cas où u(X , t ) et (X , t ) sont petits. ∂XEn reprenant (20) et en ne retenant que les termes d’ordre 1, on obtient:  T   1  ∂u  ∂u (X , t )  =  (X , t ) +  ε HPP 2 X ∂  ∂X    (2.14)  ou encore en notation indicielle 1  ∂u i    ∂u j   εijHPP =  +  2  ∂X j   ∂X i    - 29 - Golay - Bonelli
  30. MMC2.3 Conditions de compatibilitéA tout déplacement u on fait correspondre une déformation ε . On peut aussi se poser le problème inverse.Ce problème est dit ’problème de compatibilité géométrique d’un champ de déformation’, ou encore ’problèmed’intégrabilité d’un champ de déformation’.Les conditions de compatibilité peuvent être établies dans le cas général, cependant nous ne les établirons quedans le cas des petites perturbations.Décomposons maintenant le gradient des déplacements en une partie symétrique ε et une partieantisymétrique ω . ∂u (X , t ) = ε(X , t ) + ω(X , t ) ∂X  T     1  ∂u   1  ∂ui ∂u j  ω=  (X , t ) − ∂u (X , t )  ωij =  −    2 X ∂  ∂X     2  ∂X j   ∂X i    On a ωij ,k = εki, j − εjk ,isoit en dérivant une nouvelle fois ωij ,kl = ωij ,lk i, j, k, l dans { 1, 2, 3} ∀ i, j, k, l εij ,kl + εkl ,ij − εik , jl − εjl ,ik = 0 (2.15)ou encore  2ε  = ε33,22 + ε22,33 + permutation circulaire Six équations   23,23 ε13,23 + ε32,31 − ε12,33 − ε33,21  + permutation circulaire  Réciproquement, si ε vérifie (2.15), alors les formes différentielles   d ωij =  εki, j − εjk ,i  dx k         sont exactes; elles permettent donc de construire le champ ω de tenseur antisymétrique. On vérifie ensuiteque les formes différentielles   dui =  ωik + εik  dx k        sont exactes, d’où la possibilité de construire un champ de déplacement u (X , t ) défini dans 0 .3 Transport, dérivées particulaires3.1 Transport d’un volumeSoit d 0 un élément de volume de la configuration de référence, défini par trois vecteurs dX1 , dX 2 , dX 3 . Par latransformation, ces trois vecteurs se transportent en trois vecteurs dx 1 , dx 2 , dx 3 qui définissent dans laconfiguration actuelle un volume d .Golay - Bonelli - 30 -
  31. Cinématique d dx 3 dX 3 d 0 dx 2 dX 2 dx1 dX1 Figure 4 : Transport d’un élément de volumeLe volume d est représenté par le produit mixte des vecteurs dx 1 , dx 2 , dx 3 : d = (dx 1 ∧ dx 2 ) ⋅ dx 3donc d = εijk dx 1 j dx 2k dx 3iOr, d’après (2.11) d = εijk Fjp Fkq Fir dX1p dX2q dX 3ret, d’après (1.9) ( d = εpqr det(F ) dX1p dX2q dX 3r = det(F ) dX1 ∧ dX 2 ⋅ dX 3 )donc en définitive d = Det(F ) d 0 (2.16)3.2 Transport d’une surface orientéeSoit dS un élément de surface de la configuration de référence de normale N . Par la transformation, cettesurface se transporte en une surface ds de normale n dans la configuration actuelle. En considérant unvecteur V dans la configuration de référence qui se transporte en un vecteur v dans la configuration actuelle,on peut définir l’élément de volume (dS N ) ⋅V qui se transporte en un élément de volume (ds n ) ⋅ v . N n dS ds Figure 5 : Transport d’un élément de surfaceD’après (2.16) ds n ⋅ v = det(F ) dS N ⋅Vet comme avec (2.11) v =FV    T     ds n ⋅ FV  = ds   F n  ⋅V = det F dS N ⋅V          - 31 - Golay - Bonelli
  32. MMCon obtient finalement −T ds n = det(F )F dS N (2.17)3.3 Dérivée particulaire d’une intégrale de volumeSoit K (t ) = ∫∫∫ (t ) k (x , t ) d , une intégrale de volume sur le domaine (t ) dans la configuration de référence.Pour en déterminer la dérivée temporelle, nous devons au préalable exprimer K (t ) sur la configuration deréférence pour "passer" la dérivation sous l’intégrale. En effectuant le changement de variable (2.1), et enutilisant (2.16) d = Det(F ) d 0 =J d 0on obtient K (t ) = ∫∫∫ k (ϕ(X , t ), t ) J d 0 0puis dK dk  dJ   = ∫∫∫  J + k   dt d dt 0   dt   0A ce stade nous devons expliciter dJ / dt . En utilisant les notations indicielles, et en particulier les symboles depermutation, on a: 1 J = det F = ε ε F F F 6 ijk pqr ip jq krsoit dJ 1 ∂Fip = εijk εpqr F F dt 2 ∂t jq kror ∂Fip ∂2ϕi (X , t )  ∂ϕ  ∂  i  = ∂ V (X , t ) = ∂ v (x , t ) = ∂vi ∂xl = ∂vi F ∂t = ∂t ∂X p = ∂X p      ∂t  ∂X    ( i ) ( ∂X p i ) ∂x ∂X ∂x lp p l p ldonc dJ 1 ∂v = εijk εpqr i Flp Fjq Fkr dt 2 ∂xlmais εpqr Flp Fjq Fkr = εljk det Fsoit dJ 1 ∂v ∂v ∂v = εijk εljk i det F = δil i det F = i J dt 2 ∂xl ∂xl ∂x i dJ = J div v dt (2.18)En reportant dans l’expression de dK / dt   dK = ∫∫∫ dk J + k J divv  d    dt    0 dt 0  Golay - Bonelli - 32 -
  33. Cinématiquepuis en exprimant l’intégrale sur la configuration actuelle, on obtient finalement dk   + k divv  d dK  = ∫∫∫   dt (t )  dt     (2.19)En utilisant les égalités suivantes, dk ∂k = + v ⋅ ∇k dt ∂t div (kv ) = v ⋅ ∇ k + kdivvon peut écrire (2.19) sous la forme dK  ∂k   = ∫∫∫   + div (kv ) d  dt (t )   ∂t   ou encore, en utilisant le théorème de la divergence dK ∂k = ∫∫∫ d + ∫∫∂ kv ⋅ n d ∂ dt (t ) ∂t (t )Application fondamentale: conservation de la masseLa masse d’un système matériel qu’on suit dans son mouvement reste constante. M = ∫∫∫ ρ(x, t ) d dM (t ) =0 et dtoù ρ est la masse volumique. On a alors: dρ ∂ρ + ρ divv = 0 + div (ρv ) = 0 dt ou ∂t (2.20)3.4 Dérivée particulaire d’une intégrale de surfaceSoit K (t ) = ∫∫Σ(t ) k (x , t ) ⋅ n d Σ , une intégrale de volume sur le domaine Σ(t ) dans la configuration deréférence. Pour en déterminer la dérivée temporelle, nous devons au préalable exprimer K (t ) sur laconfiguration de référence pour "passer" la dérivation sous l’intégrale. En effectuant le changement de variable(2.1), et en utilisant (2.17) −T d Σ n = det(F )F d Σ0Non obtient −T ( ) K (t ) = ∫∫Σ k ϕ(X , t ), t ⋅ J F d Σ0 N 0puis   −T   J F  N  d Σ −T dK  dk d  = ∫∫Σ  ⋅ J F N + k ⋅      0 0   dt  dt  dt     −Ton doit donc calculer dF / dt −1 −1 −1 −1 −1 dF dF dF dF −1 F F =I ⇒ F +F =0 ⇒ = −F F dt dt dt dt - 33 - Golay - Bonelli
  34. MMC dF −1 ∂v i ∂ X k ∂ vi F = ei ⊗ e j = e ⊗ e j = ∇v dt ∂X k ∂x j ∂x j idonc −T  −1  T −T  = −F ∇v  = −∇T v F dF    dt     et  −T −T −T   dK  dk = ∫∫Σ  ⋅ J F N + k ⋅ J divv F N − k ⋅ J ∇T v F N d Σ 0    0   dt  dt       −T dK  dk    = ∫∫Σ  + divv k − k ⋅ ∇T v J F Nd Σ0 0   dt  dt   puis en exprimant l’intégrale sur la configuration actuelle, on obtient finalement    dK  dk  = ∫∫Σ(t )  + divv k − ∇v   k  ⋅ nd Σ dt  dt      (2.21)en utilisant la dérivée particulaire, (2.21) s’écrit    dK ∂k   = ∫∫Σ(t )   + divv k + ∇ k v − ∇v k  ⋅ nd Σ dt  ∂t        dK dt ∂k = ∫∫Σ(t )    ∂t   ( )  + rot k ∧ v + v div k  ⋅ nd Σ     car ( ) rot k ∧ v = k divv − vdiv k + ∇ k v − ∇ v kGolay - Bonelli - 34 -
  35. Cinématique4 A retenirOn appelle Variables de Lagrange le temps et la position initiale : X et tOn appelle Variables d’Euler le temps et la position courante : x et tDérivée particulaire dA ∂A dt = ∂t + V ⋅∇ A ( )Application linéaire tangente ∂x i F= ei ⊗ e j ∂X jTenseur des déformations 1 T  F (X , t ) F (X , t ) − 1  ε=    2    Tenseur des déformations sous l’hypothèse des petites perturbations ε= 2 ( 1 T ∇ u + ∇u )Transport d’un volume d = Det(F ) d 0Transport d’une surface −T ds n = det(F )F dS NDérivée d’une intégrale de volume   dK  ∂k + div kv  d = ∫∫∫    ( )   ∂t (t ) dt Dérivée d’une intégrale de surface    dK  dk  = ∫∫Σ(t )  + divv k − ∇v   k  ⋅ nd Σ dt  dt      - 35 - Golay - Bonelli
  36. MMCGolay - Bonelli - 36 -
  37. EquilibreEFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS1 Définitions1.1 ForcesElles résument les effets mécaniques, autres que cinématiques, exercés sur le milieu continu considéré par lereste du domaine physique. Leur schématisation à chaque instant repose sur la définition d’un champ devecteur Φ(x , t ) et d’une mesure positive ω , définis sur la configuration actuelle (t ) . Φ(x , t ) est une densitéde force pour la mesure ω .* Si ω est une mesure de volume, alors Φ(x , t ) est une force volumique (densité volumique de force) définiedans (t) de la configuration actuelle, par la fonction f : x ∈ (t ) → f (x , t ) ∈ ℝ 3* Si ω est une mesure de surface, alors Φ(x , t ) est une force surfacique (densité surfacique de force) définiesur ∂ F (t ) de la configuration actuelle, par la fonction F: x ∈∂ F (t ) → F (x , t ) ∈ ℝ 3* ... etc ...Remarques:* Les forces sont définies sur la configuration actuelle.* A un instant donné et en un point donné x de ∂ (t ) , on ne peut imposer à la fois le déplacement et la force!.Mais l’un des deux doit être imposé. On note ∂ F (t ) la frontière où la force est imposée, et ∂ U (t ) lafrontière où le déplacement est imposé. Dans le cas des appuis mobiles, les composantes non imposéescinématiquement le sont pour les forces* Le monde extérieur au milieu considéré doit, pour imposer le déplacement U (t ) au bord ∂ U (t ) , exercerdes forces que nous noterons R(x , t ) . Comme elles sont à priori inconnues, nous les appellerons réactionspour éviter de les confondre avec les autres forces qui, elles, sont données.1.2 Vecteur-contrainte et tenseur des contraintes1.2.1 Contrainte de Cauchy dF C Soit un corps (C) en équilibre par application d’un système d’actions mécaniques (2) extérieures. Imaginons qu’une surface Σ divise (C) en deux parties (1) et (2). La Σ n partie(1) est en équilibre sous les actions mécaniques extérieures qui lui sont M dΣ appliquées et les actions mécaniques exercées par la partie (2). Nous admettrons que (1) sur chaque élément de surface dΣ de Σ , (2) exerce sur (1) une force dF (x , t, n )1/2 dedensité superficielle T (x , t , n ) . dF (x , t, n )1/2 = T (x , t, n ) d Σ (3.1) - 37 - Golay - Bonelli
  38. MMCT (x , t , n ) est le vecteur contrainte au point x , relativement à la facette dΣ définie par son vecteur normal n .La densité surfacique de forces exercées en x dépend de x, t et aussi de l’orientation de la surface Σ auvoisinage de x. Elle est linéairement dépendante de n . On introduit alors l’application σ telle que: T (x , t, n ) = σ(x , t ) n (3.2)L’application σ(x , t ) s’appelle le tenseur des contraintes de Cauchy en x à l’instant t ; il caractérise, dans laconfiguration actuelle, les efforts intérieurs de cohésion exercés sur une partie du solide à travers l’élément desurface n d Σ1.2.2 Autre écriture du tenseur des contraintesEn utilisant (2.17), (3.1) devient: ( ) dF x (X , t ), t, n(N , t ) = Π N (X ) dSoù Π est le tenseur Π(X , t ) : N ∈ R 3 → Π(X , t, N ) = Π(X , t )N ∈ ℝ3défini par −T Π(X , t ) = (det F ) σ F (3.3)Cette application linéaire Π(X , t ) , définie pour X ∈ 0 , s’appelle le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff en X à l’instant t; la composante Πij est la i ème composante du vecteur contrainte exercée sur ladéformée d’une surface unité, normale à e j , de la configuration de référence. On prendra garde au fait que letenseur Π n’est pas symétrique.Si maintenant on cherche le vecteur "force de cohésion" dans la configuration de référence ( ) ( ) −1 dF 0 X , t, N = F (X , t ) dF x (X , t ), t, n(N , t ) = S N (X ) dSoù S est le tenseur défini par −1 S =F Π (3.4)Cette application linéaire S (X , t ) , définie pour X ∈ 0 , s’appelle le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff en X à l’instant t. Attention, sa composante Sij n’est pas la i ème composante du vecteur contrainteexercée sur la déformée d’une surface unité, normale à e j , de la configuration de référence, mais seulement lai eme composante de son transporté dans la configuration de référence.Selon le jeu d’écriture adopté, on a donc trois descriptions des contraintes: −1 −1   T   T σ = det F  Π F = det F  F S F             (3.5)Golay - Bonelli - 38 -
  39. Equilibre2 Equilibre2.1 Le Principe des Puissances Virtuelles (Germain 1972)Pour schématiser les efforts mis en jeu, il est commode d’imaginer des mouvements fictifs (ou virtuels) etd’analyser le travail ou la puissance qui en résulte. Par exemple, pour évaluer les forces de gravité agissant surun objet, on peut imaginer de le soulever (mouvement virtuel de bas en haut).Un milieu matériel étant isolé, on peut distinguer les actions extérieures qui agissent sur le milieu, des actionsintérieures qui représentent les liaisons existant entre toutes les parties du milieu. Axiome d’objectivité La puissance virtuelle des efforts intérieurs associée à tout mouvement rigidifiant est nulle. Axiome d’équilibrePour tout milieu matériel repéré dans un référentiel absolu, à chaque instant et pour tout mouvement virtuel, la puissance virtuelle des quantités d’accélération ∏a est égale à la somme des puissances virtuelles des efforts intérieurs ∏i et des efforts extérieurs ∏e .2.2 Puissance virtuelle des efforts intérieurs F e3 e2 n Σ(t ) e1 O f (t )Soit un milieu continu (t ) d’intérieur (t ) et de frontière ∂ (t). Isolons maintenant un domaine Σ(t ) defrontière ∂Σ (t) intérieur à (t), et soit n la normale en un point de ∂Σ(t ) . A un instant t fixé, un mouvementvirtuel défini par une vitesse virtuelle δv est appliqué à Σ(t ) . Cette vitesse est supposée continue etcontinûment dérivable sur Σ(t ) .Pour déterminer la puissance virtuelle des efforts intérieurs nous ferons les hypothèses suivantes:* Πi admet une densité volumique p i : Πi = ∫∫∫Σ pi dx* Πi est en chaque point une forme linéaire des valeurs en ce point de dv et de ses dérivées premières:En décomposant le gradient des vitesses virtuelles en une partie symétrique δD et une partie antisymétriqueδW , ∂δv = δD + δW ∂x  T    1   ∂δv − ∂δv  1  ∂δvi ∂δv j  δW =    δWij =  −    ∂x  2   ∂x    2   ∂x j  ∂x i     - 39 - Golay - Bonelli
  40. MMC  T     ∂δv  ∂δvi ∂δv j  δD = 1   ∂δv   1    ∂x +    δDij =   + ∂x i    2   ∂x   2  ∂x j  la densité volumique des efforts intérieurs devient: pi = Ai δVi + Bij δWji − σij δDjiLe premier axiome du principe des puissances virtuelles impose que pour tout mouvement de solide rigide lapuissance des efforts intérieurs soit nulle. D’où:- Soit un mouvement de translation: δv ≠ 0 , δW = 0 et δD = 0alors Πi = ∫∫∫Σ pi dx = ∫∫∫Σ A ⋅ δv dx = 0 ∀Σ danssoit A ⋅ δv = 0 ∀ δv , ou encore A = 0- Soit un mouvement de rotation: δv = 0 , δW ≠ 0 et δD = 0alors Πi = ∫∫∫Σ pi dx = ∫∫∫Σ B : δW dx = 0 ∀Σ danssoit B : δW = 0 ∀ δW , ou encore B = 0 .Donc en définitive: Πi = − ∫∫∫Σ σ : δD dx (3.6)On peut montrer que le tenseur σ introduit ici correspond bien au tenseur des contraintes de Cauchy.2.3 Puissance virtuelle des efforts extérieursLes efforts extérieurs comprennent- des efforts exercés à distance par des systèmes extérieurs à , supposés définis par une densité volumiquede forces f ,- des efforts de cohésion schématisés par une densité surfacique de force T sur ∂Σ Πe = ∫∫∫Σ f ⋅ δv dx + ∫∫∂ΣT ⋅ δv dx (3.7)2.4 Application du Principe des Puissances VirtuellesSi γ est l’accélération et ρ la masse volumique de chacun des points de ∑ , alors    d  ∂ρv   Πa = ∫∫∫Σ ρ v ⋅ δv dx = ∫∫∫Σ   + div(ρv ⊗ v ) ⋅ δv dx dt  ∂t          ∂v  ∂ρ  Πa = ∫∫∫Σ ρ +v  + ρ∇v ⋅ v + div(ρv )v  ⋅ δv dx  ∂t  ∂t    et en utilisant la conservation de la masse (2.20) et la définition de laccélération (2.10) Πa = ∫∫∫Σ ρ γ ⋅ δv dx (3.8)Golay - Bonelli - 40 -
  41. EquilibreEn application du Principe des Puissances Virtuelles on obtient: −∫∫∫Σ σ : δD dx + ∫∫∫Σ f ⋅ δv dx + ∫∫∂ΣT ⋅ δv dx = ∫∫∫Σ ρ γ ⋅ δv dx (3.9)Pour exploiter le fait que (3.9) est vérifié pour tout mouvement virtuel, nous allons faire apparaître δv danschacun des termes.En appliquant le théorème de la divergence, le premier terme devient: ∂δv −∫∫∫Σ σ : δD dx = −∫∫∫Σ σ : dx = − ∫∫∂Σ σ ⋅ δv ⋅ n dx + ∫∫∫Σ divx σ ⋅ δv dx ∂xSoit:     ∫∫∂Σ T − σ ⋅ n  ⋅δv dx + ∫∫∫Σ  f + divx σ − ργ  ⋅ δv dx         ∀ δv    Ou encore    f + divx σ = ργ dans Σ    T = σ ⋅n  sur ∂Σ (3.10)   2.5 EquilibreEn considérant les développements du paragraphe précédent et en se ramenant au domaine (t ) , nouspouvons donc écrire les équations d’équilibre d’un solide soumis à un champ de forces extérieures f dans (t ), à un champ de forces extérieures F e sur ∂ F (t ) et à un déplacement imposé U i sur ∂ U (t ) .Dans la configuration actuelle: f (x , t ) + divx σ(x , t ) = 0 ∀ x ∈ (t ) (3.11)   F e (x , t ) ∀ x ∈∂ (t ) σ(x , t ) ⋅ n(x , t ) =   F R(x , t )  ∀x ∈∂ (t ) (3.12)   UDans la configuration de référence:De même, si on note f 0 , R 0 et F 0 les densités volumiques et surfaciques de forces mesurées dans laconfiguration de référence: f 0(X , t ) + divX Π(X , t ) = 0 ∀x∈ 0 (3.13)  F 0 (x , t )  ∀ x ∈ x −1 (∂ (t ), t ) Π(X , t ) ⋅ N (X , t ) =   F  (x , t ) R 0 ∀ x ∈ ∂ 0U   (3.14)Cas des petites perturbationsReprenons (3.10), en l’exprimant en fonction de X ∂σij fi (x (X , t ), t ) + (x (X , t ), t ) = 0 ∀ x (X , t ) ∈ (t ) ∂x j ∂σij ∂Xk fi (x (X , t ), t ) + (X , t ) (X , t ) = 0 ∀X∈ ∂Xk ∂x j 0 - 41 - Golay - Bonelli
  42. MMCOr x (X , t ) = X + u(X , t ) soit ∂x (X , t ) = 1 + ∂u (X , t ) ∂X ∂XOn peut donc écrire l’équation d’équilibre sous la forme −1 ∂σij    ∂u  fi (x (X , t ), t ) + (X , t ) 1 + (X , t ) = 0 ∀X∈ ∂X k  ∂X  0   kjSous l’hypothèse des petites perturbations, on peut alors écrire: −1    ∂u  ∂u 1 + (X , t ) =1− (X , t )  ∂X  ∂X  soit ∂σij  ∂ uk  fi (x (X , t ), t ) + (X , t ) δjk − (X , t ) = 0 ∀X ∈ ∂X k  ∂X j  0Enfin, en ne retenant que les termes d’ordre 0, et après avoir effectué un développement de fi au voisinage deX, on obtient: ∂σij fi (X , t ) + (X , t ) = 0 ∀X∈ ∂X j 0soit f (X , t ) + divX σ(X , t ) = 0 ∀x∈ 0 (3.15)Le raisonnement qui a permis de remplacer f (x (X , t )) par f (X , t ) , permet aussi de remplacer F e (x (X , t )) parF e (X, t ) et R(x (X , t )) par R(X , t ) . Donc, comme condition sur la frontière on obtient:        F e (X , t ) ∀ X ∈∂ σ(X , t ) ⋅ N (X , t ) =    0F    R(X ,t ) ∀ X ∈∂ (3.16)   0U  2.6 Autre présentation: Principe fondamental de la dynamique(3.10) revient à écrire le Principe Fondamental de la dynamique. Dans un repère galiléen, pour tout système Σ, le torseur dynamique (dérivée par rapport au temps du torseur cinématique) est égal à la somme des torseursdes actions intérieures. Soit: d d ∫ v dm = ∫ v ρd Σ dt Σ dt Σ     dv ρ   =∫  d Σ + v ρdivv   Σ  dt          dv dρ = ∫ ρ  +v + v ρdivv d Σ   Σ  dt dt      d ρ     = ∫ ργ + v  + ρdivv d Σ  Σ  dt     donc avec la conservation de la masseGolay - Bonelli - 42 -
  43. Equilibre d ∫ v dm = ∫ ργd Σ dt Σ Σ = ∫ fd Σ + ∫ σnd ∂Σ Σ ∂Σet le théorème de la divergence ∫ ργd Σ = ∫ fd Σ + ∫ div σd Σ Σ Σ Σon retrouve le bilan de la quantité de mouvement div σ + f = ργL’équation de bilan sur les moments du principe fondamental de la dynamique s’écrit: dv ∫∫∫Σ OM ∧ dm = ∫∫∂Σ OM ∧ σ ⋅ n dx + ∫∫∫Σ OM ∧ f dx (3.17) dt3 Quelques propriétés du tenseur des contraintesDans tous les développements à venir, nous nous placerons dans le cas des petites perturbations pour unsolide en équilibre. En conséquence, nous omettrons les variables x et t.3.1 Symétrie du tenseur des contraintesOn sait que ( ) ∫∫∫ OM ∧ ργ − f dx = ∫∫∂ OM ∧ σn dxsoit en notation indicielle ∫∫∫ εijk x j (ργk − fk ) e i dx = ∫∫∂ εijk x j σkl nl e i dxpuis, par application du théorème de la divergence  ∂  ∫∫∫ εijk x j (ργk − fk ) − (εijk x j σkl ) e i dx = 0  ∂x l  ε x (ργ − f − σ ) − ε σ  dx = 0 ∫∫∫  ijk j k k kl ,l ijk kj  e i et par application de l’équation du mouvement ∫∫∫ εijk σkjei dx = 0 ∀ (t )c’est à dire εijk σkj = 0 ∀ice qui implique ε123 σ23 + ε132 σ32 = 0 ε213 σ13 + ε231σ31 = 0 ε312 σ12 + ε321σ21 = 0 +σ23 − σ32 = 0 − σ13 + σ31 = 0 + σ12 − σ21 = 0donc en définitive σpq = σqpLe tenseur des contraintes est symétrique - 43 - Golay - Bonelli
  44. MMC3.2 Contrainte normale et contrainte tangentielle T (n ) Considérons une facette de normale n . Tout naturellement, le vecteur contrainte σn T (n ) peut être décomposé en une composante normale σn et une composante tangentielle τ . τ n σn = T (n ) ⋅ n = n ⋅ σ ⋅ n (3.18)et     2 2 τ = σ ⋅ n  − n ⋅ σ ⋅ n              (3.19)On dira que σn est positive en traction et négative en compression.3.3 Directions principales, contraintes principalesLa matrice représentant le tenseur des contraintes est symétrique, elle est donc diagonalisable. Les valeurspropres sont réelles et appelées contraintes principales (σI , σII , σIII ) . Les vecteurs propres, orthogonaux deuxà deux, sont les directions principales (n I, n II , n III ) . On a donc: σI = T (nI ) ⋅ nI , σII = T (nII ) ⋅ nII , σIII = T (nIII ) ⋅ nIII3.4 InvariantsLe tenseur des contraintes possède trois invariants définis mathématiquement comme les coefficients de  l’équation caractéristique det σ − α 1 . C’est à dire les quantité scalaires:       ΣI = Tr (σ) (3.20) 1   ΣII = Tr (σ)2 − Tr (σ 2 ) 2   (3.21) ΣIII = Det(σ) (3.22)Exprimés en fonction des contraintes principales, on obtient ΣI = σI + σII + σIII ΣII = σI σII + σII σIII + σIII σI ΣIII = σI σII σIII3.5 Cercles de MohrConnaissant le tenseur des contraintes σ , on se propose de déterminer le domaine engendré par l’extrémitédu vecteur contrainte quand n varie. Par commodité, nous nous plaçons dans une base orthonormée dirigéesuivant les directions principales de σ . SoitGolay - Bonelli - 44 -
  45. Equilibre              n     1  σI    0 0  n σI     1                  n= n       2  , σ= 0    σII 0  et T = n σII      2                 n   3    0   0 σIII  n σIII    3               avec n1 + n2 + n 3 = 1 2 2 2 on trouve aisément σn = σI n1 + σII n2 + σIII n 3 2 2 2 et τ 2 + σn = σI2 n1 + σII n2 + σIII n 3 2 2 2 2 2 2 Dans l’hypothèse où les contraintes principales sont distinctes, on obtient alors après résolution du système: τ 2 + (σn − σII )(σn − σIII ) 2 n1 = (σI − σII )(σI − σIII ) τ 2 + (σn − σI )(σn − σIII ) 2 n2 = (σII − σI )(σII − σIII ) τ 2 + (σn − σI )(σn − σII ) n 2 = 3 (σIII − σI )(σIII − σII ) Si on ordonne les contraintes principales de telle sorte que σI ≥ σII ≥ σIII , alors τ 2 + (σn − σII )(σn − σIII ) ≥ 0 τ 2 + (σn − σI )(σn − σIII ) ≤ 0 τ 2 + (σn − σI )(σn − σII ) ≥ 0 ou encore     2 2  σII + σIII   σII − σIII   τ + σn − 2   ≥           2      2    (3.23)     2 2  σI + σIII   σI − σIII   τ + σn − 2   ≤           2      2    (3.24)     2 2  σI + σII   σI − σII   τ + σn − 2   ≥           2      2    (3.25) τ Dans le plan de Mohr, l’extrémité du vecteur contrainte, d’après (3.24), est donc intérieure au cercle centré sur Oσn d’abscisse (σI + σIII ) / 2 et de rayon T (σI − σIII ) / 2 . Par contre, d’après (3.23) (res. (3.25)), l’extrémité du vecteurσIII σI contrainte est extérieure au cercle centré sur Oσn d’abscisses (σII + σIII ) / 2 σII σn (resp.( (σI + σII ) / 2 ) et de rayon (σII − σIII ) / 2 (resp. (σI + σII ) / 2 ). - 45 - Golay - Bonelli
  46. MMCDescription des Cercles principaux: Nous allons étudier la description du grand Cercle de Mohr. Les facettes concernées III sont parallèles à la direction associée à la contrainte principale σII . n t On constitue avec les directions I,III,II un trièdre direct (O , eI , eIII , eII ) , la normale n θ de la facette évoluant dans le plan I III. I Et on définit l’angle θ = (I , n ) , et le vecteur t tel que (n, t , II ) soit direct.On a alors n = Cosθ eI + Sinθ eIIIet T = σI Cosθ eI + σIII Sinθ eIIIEn utilisant les formules de changement de base de (O , e I , eIII , eII ) à (n, t , II ) , on a donc σI + σIII σI − σIII σn = + Cos 2θ 2 2 σI − σIII τ =− Sin 2θ 2 τ Lorsque la facette tourne autour de la direction de la contrainte principale σII d’un angle donné, l’extrémité du vecteur-contrainte σI + σIII tourne sur le cercle de Mohr d’un angle double dans le sens opposéσIII 2 σI (autour du centre du cercle). −2θ σn TGolay - Bonelli - 46 -
  47. Equilibre4 Exemples de tenseur des contraintes4.1 Tenseur uniaxial  σ 0 0   σ = σ e1 ⊗ e1 =  0 0 0    0 0 0L’équilibre des forces sur la frontière du domaine nous donne:Sur Σ0 : n = −e1 donc σn = F 0 et F 0 = −σe1Sur Σ1 : n = e1 donc σn = F 1 et F 1 = σe1Sur la frontière latérale les pressions sont nulles.On se trouve en présence d’un chargement uniaxial de traction/compression.Si σ > 0 c’est un état de tension uniaxialeSi σ < 0 c’est un état de compression uniaxialeLa direction principale est e14.2 Tenseur sphérique −p 0 0   σ = −pI =  0 −p 0     0 0 −p  Dans ce cas, toute direction est direction principale. La contrainte normale principale est -p. p est appelé lapression. Si p > 0 on a un état de compression, et si p < 0 on a un état de tension.Par exemple pour un fluide au repos:D’après l’équation d’équilibre div σ + ρg = 0 −divpI + ρg = 0 −gradp + ρg = 0 ∂p ∂p ∂p soit = = 0 et = −ρg ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 et p = p0 − ρgx 3Donc, pour un fluide au repos p + ρgx 3 = Cste . - 47 - Golay - Bonelli
  48. MMC5 A retenirVecteur contrainte et tenseur des contraintes de Cauchy T (x , t, n ) = σ(x , t ) nLe tenseur des contraintes est symétrique !Equilibre f (x , t ) + divx σ(x , t ) = 0 ∀ x ∈ (t )   F e (x , t ) ∀ x ∈∂ (t ) σ(x , t ) ⋅ n(x , t ) =   F R(x , t )  ∀x ∈∂ (t )   UContrainte normale σn = T (n ) ⋅ n = n ⋅ σ ⋅ nContrainte tangentielle     2 2 τ = σ ⋅ n  − n ⋅ σ ⋅ n             Golay - Bonelli - 48 -
  49. Elasticité ELASTICITE 1 Approche expérimentale: essai de traction Pour déterminer l’évolution d’un système déformable, nous avons déjà déterminé les équations de la cinématique et de la sthénique. A ces équations, il est maintenant nécessaire d’adjoindre une relation supplémentaire reliant les efforts internes et les grandeurs cinématiques. Cette relation, appelée Loi de Comportement, dépend du matériau considéré. La construction d’une loi de comportement est basée sur des observations expérimentales. Dans ce chapitre nous exposerons le modèle de comportement des matériaux élastiques, sous l’hypothèse des petites perturbations. Pour effectuer un essai de traction simple sur un métal, on utilise une F éprouvette cylindrique caractérisée par: - des extrémités surdimensionnées - des congés de raccordement (pour éviter les concentrations de contrainte) S0 L L +△L - une partie médiane cylindrique dans laquelle le champ de contrainte est supposé homogène, de traction simple parallèlement à l’axe de l’éprouvette. L’essai de traction consiste à enregistrer l’évolution de l’allongement relatif de la longueur initiale L0 en fonction de la force de traction F , ou du rapport F / S 0 F , où S 0 représente l’aire initiale de la section de l’éprouvette. La figure ci-contre représente un tel enregistrement pour un acier Plasticité inox. On remarque alors les propriétés suivantes: irréversible - Le diagramme est indépendant de la vitesse de chargement F Élasticitéσ11 = S réversible - La partie OA du diagramme est réversible. Si on charge jusqu’à un σe A niveau inférieur à σ 0 , alors la décharge décrit la même courbe OA. - La partie réversible est linéaire - Si on effectue un chargement au delà du seuil σ 0 , puis une décharge, l’éprouvette présente une déformation permanente. O La partie réversible du diagramme de traction est, par définition, ∆L représentative du comportement élastique du matériau. σ 0 est la ε11 = Déformation L permanente limite initiale d’élasticité du matériau. La linéarité du segment OA A caractérise le comportement élastique linéaire du matériau. - 49 - Golay - Bonelli
  50. MMC2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP)2.1 Forme généraleA partir des observations expérimentales on peut écrire que les contraintes dépendent linéairement desdéformations. En l’absence d’effets thermique et de contraintes initiales on a: σ(x, t ) = C (x ) : ε(x , t ) (4.1)C est un tenseur du quatrième ordre, dont les composantes sont les coefficients d’élasticité du matériau. σij (x, t ) = C ijkl εkl (x , t )En utilisant les propriétés des tenseurs de contrainte et de déformation, on peut montrer que: C ijkl = C jikl = C ijlk = C jilkLe tenseur C , dont la matrice représentative comporte 81 composantes, ne dépend donc plus que de 21paramètres indépendants.2.2 Matériau élastique homogène isotropeToutes les directions sont équivalentes, de telle sorte que la loi de comportement est invariante dans touterotation de la configuration de référence. Ce modèle s’applique à la plupart des matériaux: acier, béton, ...Si la configuration est libre de contraintes, alors la loi de comportement s’écrit: σ = λ Tr (ε) 1 + 2 µ ε (4.2)ou encore en notation indicielle σij = λεkk δij + 2µεijLes coefficients matériel λ et µ , qui dépendent de la particule considérée, sont appelés les coefficients deLamé. Leur expression en fonction du module d’Young E et du coefficient de Poisson ν , est E νE µ= et λ= 2 (1 + ν ) (1 + ν ) (1 − 2ν )ou µ(3λ + 2µ) λ E= et ν= λ+µ 2(λ + µ)avec, en inversant (4.2) ν 1+ν ε= − Tr (σ) 1 + σ E E (4.3)2.3 Matériau élastique homogène orthotropeLe matériau possède trois directions privilégiées deux à deux orthogonales. La loi de comportement estinvariante par les symétries par rapport aux plans orthogonaux construits à partir de ces directions. Dans cesmatériaux, on peut classer les tôles laminées, les composites tissés, le bois, certains bétons structurés, ...Dans ce cas on montre que la matrice de comportement est définie par 9 paramètres indépendants. Dans lerepère principal d’orthotropie, la loi se met sous la forme:Golay - Bonelli - 50 -
  51. Elasticité  −ν12 −ν13   1 0 0 0   E E1 E1  1   −ν 1 −ν 23       21 0 0 0         ε11        σ11           E2 E2 E2           ε22     −ν −ν 32     σ22           31 1           ε      0 0 0       σ33      33  =  E3 E3 E3         2ε          σ12   (4.4)     12    0 0 0 1 0 0           2ε             σ23       23    G12                      0 σ13  0  2ε      13  1              0 0 0        G23     0 0 0 0 0 1     G13 Avec les conditions de symétrie ν12 ν21 ν13 ν 31 ν 32 ν23 = = = E1 E2 E1 E3 E3 E22.4 Matériau élastique homogène isotrope transverseUn matériau homogène isotrope transverse est tel que la matrice de comportement est invariante par touterotation autour d’un axe privilégié. En utilisant cette invariance, on montre que seuls 5 paramètresindépendants caractérisent le comportement. Si l’axe est porté par la direction 3, on a alors:  −ν12 −ν13   1 0 0 0   E E1 E1  1   −ν 1 −ν13       21 0 0 0         ε11        σ11           E1 E1 E1           ε22     −ν −ν 31     σ22           31 1           ε      0 0 0       σ33      33  =  E3 E3 E3         2ε          σ12   (4.5)     12    0 0 0 1 0 0           2ε             σ23       23    G12                      0 σ13  0  2ε      13  1              0 0 0        G13     0 0 0 0 0 1     G13 2.5 Caractéristiques de quelques matériauxMatériaux isotropes usuels:Matériau E en Gpa ν ρ en kg/lacier 210 0.285 7.8fonte grise 90 à 120 0.29 7.1aluminium 71 0.34 2.6béton 10 0.15 2.4fibre de verre E 73 0.15 2.54Graphite HM 350 0.4 1.92résine époxy 3.8 0.31 1.15 - 51 - Golay - Bonelli
  52. MMCMatériaux composites: Unidirectionnel Tissu Unidirectionnel Unidirectionnel Verre/Epoxy Verre/Epoxy CarboneHT/Epoxy Kevlar/Epoxy 50% 50% 50% 50% ρ en g/cm 3 1,87 1,87 1,49 1,32 E 1 en Mpa 38000 21000 116000 65000 E 2 en Mpa 11500 21000 7500 4900 ν12 0,28 0,26 0,32 0,342.6 Critères de limite d’élasticitéLes critères de résistance que nous allons définir représentent des valeurs limites pour les contraintesmaximales, et permettent de ce fait de garder un caractère élastique aux déformations.2.6.1 Critère de TrescaIl consiste à considérer de manière indépendante les trois contraintes de cisaillement maximal du tricercle deMohr. Soit en fonction des contraintes principales     Sup  σI − σII , σI − σIII , σII − σIII        ≤ 2σ0       (4.6)2.6.2 Critère de Von-Mises 1   (σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ    − σIII )2      ≤ σ0 2  I II I III II  (4.7)ou encore 1 2 ( (σ11 − σ22 )2 + (σ11 − σ33 )2 + (σ22 − σ33 )2 + 6(σ12 + σ13 + σ23 ) 2 2 2 ) ≤ σ02.6.3 Critère de Hillle critère de Hill s’applique dans le cas de matériaux élastique orthotropes F (σ11 − σ22 )2 + H (σ11 − σ 33 )2 + G (σ22 − σ 33 )2 + 2L σ23 + 2M σ13 + 2N σ12 = 1 2 2 2 (4.8)où F , H ,G , L, M , N sont des constantes fonctions des contraintes à ruptures.Golay - Bonelli - 52 -
  53. Elasticité3 Le problème d’élasticité3.1 Ecriture généraleCinématique : + Equations de compatibilité ε= 1 2 ( ∇ u + ∇T u ) u = U 0 (X ) sur ∂ UEquilibre : div σ + f = 0 dans    F sur ∂     σn =     F     R sur ∂ U  Loi de comportement : σ = λTr (ε)I + 2µε3.2 Formulation en déplacement div σ + f = 0 div (λTr (ε)I + 2µε) + f = 0 λ∇(Tr (ε)) + 2µdiv(ε) + f = 0 λ∇(div u ) + µdiv(∇ u ) + µdiv(∇T u ) + f = 0soit l’équation de Navier (λ + µ)∇(div u ) + µdiv(∇ u ) + f = 0 (4.9)Remarque: Si on prend la divergence de l’équation de Navier (λ + 2µ)∆(div u ) + div( f ) = 0Donc, si le champ de forces volumiques est tel que div f = 0 alors div u est une fonction harmonique.3.3 Formulation en contrainteEn partant de l’écriture des équations de compatibilité, on peut démontrer les équations de Michell 1 ν div(∇ σ) + ∇(∇Tr (σ)) + div f I + ∇ f + ∇T f = 0 1+ν 1−ν (4.10)Soit, si le champ de force est uniforme, on obtient les équations de Beltrami. (1 + ν )div(∇ σ) + ∇(∇Tr (σ)) = 0 (4.11)3.4 Théorème de superposition - 53 - Golay - Bonelli
  54. MMCSi ( , f , F ) et ( , g,G ) sont deux jeux de données engendrant respectivement des solutions u et v , alors U Vαu + β v est solution du problème de données (αU + βV , α f + βg, αF + βG ) (Le problème estévidemment linéaire).3.5 Elasticité plane3.5.1 Contraintes planesDans le cas où le chargement est dans le plan 12, la structure mince dans la direction 3, on peut fairel’hypothèse que le problème est plan et libre de contraintes dans la direction 3.Dans ce cas σ (x , x ) σ (x , x ) 0  11 1 2 12 1 2  σ = σ21 (x 1, x 2 ) σ22 (x 1, x 2 ) 0    0 0 0 et d’après la loi de comportement  ε (x , x ) ε (x , x ) 0   11 1 2 11 1 2  ε = ε21 (x 1, x 2 ) ε22 (x 1, x 2 ) 0      0 0 ε33 (x 1, x 2 ) On remarquera que la déformation suivant 3 est non nulle.3.5.2 Déformations planesDans le cas où le chargement est dans le plan 12, la structure très élancée dans la direction 3, sans possibilitésde déplacement suivant 3, on peut faire l’hypothèse que le problème est plan sous l’hypothèse desdéformations planes.Dans ce cas  ε (x , x ) ε (x , x ) 0  11 1 2 12 1 2  ε = ε21 (x 1, x 2 ) ε22 (x 1 , x 2 ) 0    0 0 0 et d’après la loi de comportement σ (x , x ) σ (x , x ) 0   11 1 2 12 1 2  σ = σ21 (x 1, x 2 ) σ22 (x 1, x 2 ) 0      0 0 σ33 (x 1, x 2 ) On remarquera que la contrainte suivant 3 est non nulle.D’après (4.3) 1+ν ν   ε33 = σ33 − σ11 + σ22 + σ33  = 0         E Edonc   σ33 = ν σ11 + σ22         Nous allons prouver que les contraintes peuvent être déterminées par une seule fonction scalaire.En appliquant l’équation d’équilibre (3.11) on a :Golay - Bonelli - 54 -
  55. Elasticité σ + σ = 0  11,1  12,2  σ21,1 + σ22,2 = 0   donc       ∃φ(x 1, x 2 ) / σ11 = φ,2 et σ12 = −φ,1       ∃ψ(x1,x2 ) / σ21 =ψ,2 et σ22 =−ψ,1  comme le tenseur des contraintes est symétrique, on a ψ,2 + φ,1 = 0 , donc ∃χ(x 1, x 2 ) / φ = χ,2 et ψ = −χ,1en définitive on a prouvé     σ = χ,22  11    ∃χ(x 1 , x 2 ) / σ =χ,11     22     σ =−χ,12  12  χ est appelée la fonction d’Airy.Le tenseur des contraintes devant vérifier l’équation de Beltrami (4.11), on a (1 + ν )σij ,kk + σkk ,ij = 0d’où ∆∆ χ = 0χ est donc une fonction biharmonique.3.6 Thermoélasticité3.6.1 Thermodynamique : équations de bilanJusqu’à présent nous avons utilisé les équations de bilan suivantes:Conservation de la masse dρ + ρ divv = 0 dtConservation de la quantité de mouvement div σ + f = ργ dansConservation du moment cinétique (3.17)Nous introduisons maintenant l’équation de bilan de conservation d’énergie, ou encore le premier principe dela thermodynamique: d dt (E + K ) = Pext + QoùE représente l’énergie interne E = ∫ ρe d (e densité d’ énergie interne)K représente l’énergie cinétique K = ∫ 2 ρv ⋅ v d 1 ( v la vitesse) - 55 - Golay - Bonelli
  56. MMCPext représente la puissance des efforts extérieurs Pext = ∫ f ⋅ v d + ∫ F ⋅ v d ∂Q représente le taux de chaleur reçu Q = ∫ r d − ∫ q ⋅ n d (q vecteur de chaleur et r source de chaleur) ∂Par application du premier principe, en utilisant (5.7) on a: de ∫ρ d + ∫ ρv ⋅ γ d = ∫ f ⋅ v d + ∫ F ⋅ v d + ∫ r d − ∫ q ⋅ n d dt ∂ ∂en utilisant la conservation de la quantité de mouvement (3.9) de ∫ρ d = ∫ σ : ε d + ∫ r d − ∫ q ⋅n d dt ∂Soit, par application du théorème de la divergence, la forme locale du premier principe ρe = σ : ε + r − divq ɺ (4.12)Nous présentons également, sans plus de discussion le second principe de la thermodynamique: dS r q ⋅n ≥∫ d −∫ d dt T ∂ Toù T est la température et S l’entropie. Ce second principe s’écrit sous sa forme locale q r ρs + div ɺ − ≥0 T T (4.13)où s représente l’entropie massique3.6.2 Equation de la chaleurOn peut exprimer l’énergie interne massique e en fonction de l’entropie massique s , de la température T etl’énergie libre ψ . e = ψ + Ts (4.14)En thermoélasticité, sous l’hypothèse des petites perturbations, pour un écart de température par rapport à latempérature au repos T − T0 petit, on a: ψ = ψ(ε,T )Grace au second principe on peut montrer que ∂ψ ∂ψ σ=ρ et s =− ∂ε ∂Tdonc, le premier principe peut s’écrire ɺ ɺ ρe = ρψ + ρTs + ρTs ɺ ɺet comme ɺ ∂ψ ∂ψ ɺ σ ɺ ψ= :ε+ ɺ T = : ε − sT ɺ ∂ε ∂T ρon a ɺ ɺ ɺ ɺ σ : ε − ρsT + ρsT + ρsT = σ : ε + r − divq ɺorGolay - Bonelli - 56 -
  57. Elasticité  ∂ψ   ∂2 ψ ∂2 ψ ɺ 1 ∂σ ∂s ɺ  s = −  ɺ  =−   ∂T  :ε− ɺ T =− :ε+ ɺ T  ∂ ε∂T ∂T 2 ρ ∂T ∂Tc’est à dire que le premier principe s’écrit ∂σ ∂s ɺ −T : ε + ρT ɺ T = r − divq ∂T ∂TEn introduisant la chaleur spécifique C = T ∂s ∂T ∂σ ɺ −T : ε + ρCT = r − divq ɺ ∂Tpuis la loi de Fourier q = −k∇T , où k représente la conductivité thermique, ∂σ ɺ −T : ε + ρCT = r + divk∇T ɺ ∂TEn général la contribution mécanique est négligeable par rapport aux autres contributions, si bien quel’équation de bilan de l’énergie conduit à l’équation de la chaleur :  ∂T  ρCT = ρC  ɺ   + v ⋅ ∇T  = r + divk∇T    ∂t    (4.15)Dans le cas où le problème à traiter est stationnaire, sans source de chaleur, avec une conductivité constante,on retrouve l’équation habituelle : ∆T = 03.6.3 Loi de comportement thermo-élastiqueDans le cadre de la thermoélasticité , l’énergie libre spécifique s’écrit comme un développement limité ausecond ordre en déformation et température, ou plutôt en déformation et écart de température τ = T − T0(supposés “ petits ”) : 1 1 ρψ(ε,T ) = ε : C : ε − ρs τ − ρbτ − β : ε τ 2 2Par définition ∂ψ   σ=ρ (ε,T ) = C : ε − βτ = C : ε − ατ        ∂εoù α représente le tenseur des dilatations thermiquesDans le cas isotrope la loi de comportement thermo-élastique s’écrit : σ = λTr (ε)1 + 2µε − (3λ + 2µ)ατ - 57 - Golay - Bonelli
  58. MMC4 A retenirLoi de comportement élastique linéaire isotrope σ = λ Tr (ε) 1 + 2 µ ε ν 1+ν ε= − Tr (σ) 1 + σ E ECritère de Tresca     Sup  σI − σII , σI − σIII , σII − σIII          ≤ 2σ0    Le problème d’élasticité         2 ( ε = 1 ∇ u + ∇T u )  u = U 0 (X ) sur ∂   U  div σ + f = 0  dans       σ n = F sur ∂ F             R   sur ∂ U      σ = λTr (ε)I + 2µε   Equation de Navier (λ + µ)∇(div u ) + µdiv(∇ u ) + f = 0En élasticité plane sous l’hypothèse des deformations planes :   σ33 = ν σ11 + σ22  et ε33 = 0        Conservation de l’énergie d dt (E + K ) = Pext + QForme locale de la conservation de l’énergie ρe = σ : ε + r − divq ɺEquation de la chaleur  ∂T      ∂t + v ⋅ ∇T  = r + divk∇T ρC     Loi de comportement thermoélastique isotrope σ = λTr (ε)1 + 2µε − (3λ + 2µ)ατGolay - Bonelli - 58 -
  59. Mécanique des fluidesINTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES1 Loi de comportementEn mécanique des fluides, nous travaillerons toujours en variables d’EulerComme pour les matériaux solides (qui sont des fluides qui s’ignorent ..) les lois de comportement fluide sontélaborées à partir de l’expérience. Fluide viscoplastique Fluide à seuil τ Fluide fluidifiant Newton Fluide épaississant dU dy1.1 Fluide NewtonienPour un fluide Newtonien, les contraintes sont une fonction affine des vitesses de déformation. Soit, σ = −pI + λTr (D)I + 2µD (5.1)où D= 1 2 ( T grad v + grad v ) (5.2)soit, en notation indicielle 1  ∂vi    ∂v j   Dij =  +  2  ∂x j   ∂x i   µ est la viscosité dynamique (dimension Poiseuille ≡ M ) LTλ est le second coefficient de viscosité µ 2On introduit également la viscosité cinématique ν = (dimension Stokes ≡ L ) ρ T - 59 - Golay - Bonelli
  60. MMC1.2 Fluide incompressibleSi le fluide est incompressible, alors on a vu que divv = 0 ou TrD = 0Donc, (5.1) devient σ = −pI + 2µD (5.3)1.3 Fluide non-visqueuxSi le fluide est parfait, alors on a ne tient pas compte de la viscosité, donc (5.1) devient σ = −pI (5.4)Le tenseur des contraintes est alors sphérique.En particulier, l’action d’un fluide non visqueux sur une paroi est normale à la paroi (d’après l’équationd’équilibre).1.4 Fluide au reposSi le fluide est au repos, alors v = 0 , donc (5.1) devient σ = −pI (5.5)2 Conservation de la masseLa masse d’un système matériel qu’on suit dans son mouvement reste constante. dM M = ∫∫∫ (t ) ρ(x, t ) d et =0 dtoù ρ est la masse volumique. On a alors (2.20) dρ dt + ρ divv = 0 ou ∂ρ ∂t ( ) + div ρv = 0 (5.6)Si on considère une grandeur différentiable Ψ quelconque, on a alors pour un fluide incompressible d dψ ∫∫∫ ψ dm = ∫∫∫ dm dt (t ) (t ) dt (5.7)Démonstration: d d ∫∫∫ (t ) ψ dm = ∫∫∫ (t ) ψ ρd dt dt d ψρ  = ∫∫∫    + ψρdiv v  d   (t )  dt     dψ dρ   = ∫∫∫ ρ  +ψ  + ψρdiv v  d (t )    dt  dt    = ∫∫∫ ρ d ψ + ψ  d ρ + ρdiv v  d    dt  dt    (t )      dψ  = ∫∫∫ (t ) ρ  d  dt      dψ = ∫∫∫ (t ) dm dtSoit Σ un domaine géométrique fixe traversé par le fluide,Golay - Bonelli - 60 -
  61. Mécanique des fluides ∫∫∂Σ ρv ⋅ n d ∂Σ = ∫∫∫Σ div(ρv ) d Σ (d ′aprés le théorème de la divergence) ∂ρ = ∫∫∫Σ − dΣ (d ′après la conservation de la masse) ∂t ∂ = − ∫∫∫Σ ρ d Σ (car Σ est fixé ) ∂t ∂ = − ∫∫∫Σ dm ∂tSi le fluide est incompressible, alors la masse volumique est constante et ∂ρ d ρ = =0 ∂t dtSi on note qm le débit massique à travers une surface S et q v le débit volumique, alors qm = ∫ ∫S ρv ⋅ n d ∂Σ = ρ ∫ ∫S v ⋅ n d ∂Σ = ρqvDonc, en définitive:Pour un domaine Σ fixe traversé par un fluide incompressible ∫∫∂Σ v ⋅ n d ∂Σ = 0 : le débit volumique àtravers la frontière ∂Σ est nul.3 Equation du mouvementD’après l’équation du mouvement(3.10), dv f + div σ = ρ dtD’où, pour un fluide newtonien dv   ρ = f + div −pI + λTr (D )I + 2µD     dt          = f − div pI  + λdiv Tr (D )I  + 2µdiv D                    ( ) ( = f − ∇p + λ∇ divv + µdiv ∇v + ∇T v )Soit l’équation de Navier-Stokes compressible ρ dv dt ( ) = f − ∇p + (λ + µ)∇ divv + µ∆v (5.8)* Pour un fluide incompressible, divv = 0 , donc (5.8) devient:    dv ∂v   ρ = ρ  + v ⋅ ∇v  = f − ∇p + µ∆v dt  ∂t      (5.9)* Pour un fluide non visqueux, (5.8) devient:    dv ∂v   ρ = ρ  + v ⋅ ∇v  = f − ∇p dt  ∂t      (5.10) - 61 - Golay - Bonelli
  62. MMC4 A retenirLoi de comportement pour un fluide newtonien σ = −pI + λTr (D)I + 2µDConservation de la masse pour un fluide incompressible divv = 0Grace à la conservation de la masse pour un fluide incompressible d dψ ∫∫∫ (t ) ψ dm = ∫∫∫ (t ) dm dt dtEquation de Navier Stokes compressible ρ dv dt = f − ∇p + (λ + µ)∇ divv + µ∆v ( )Golay - Bonelli - 62 -
  63. Bibliographie BIBLIOGRAPHIE[1] Mécanique des Milieux Continus, Cours ESIM 1984, Equipe IMST Marseille.[2] G. Duvaut, Mécanique des Milieux Continus, ed. Masson 1990.[3] P. Germain - P. Muller, Introduction à la Mécanique des Milieux Continus, ed. Masson 1995.[4] J. Salençon, Mécanique des Milieux Continus, ed. ellipse 1988.[5] P. Germain, Mécanique, ed. ellipse, ecole polytechnique, tomes I et II.[6] G. Dhatt, J.L. Batoz, Modélisation des structures par éléments finis: Solides élastiques, ed. Hermes, tome I.[7] A. Bazergui, T. Bui-Quoc,A. Biron, G. McIntyre, C. Laberge, Résistance des matériaux, ed. de l’écolepolytechnique de Montréal 1993.[8] J. Coirier, Mécanique des Milieux Continus, ed. Dunos 1997.[9] J. Lemaitre, J.L. Chaboche, Mécanique des matériaux solides, ed. Dunos 1996.[10] O. Débordes, Thermodynamique des milieux continus, ESM2, Cours du DEA de Mécanique 2001. - 63 - Golay - Bonelli
  64. MMCGolay - Bonelli - 64 -
  65. AnnexesANNEXES: RAPPELS DE MECANIQUES DES SOLIDES RIGIDES1 Cinématiques du solideAvertissement: L’objectif de ce chapitre, est de familiariser les étudiants avec les notations tensorielles. Afind’en simplifier le contenu, nous ne considérerons que des bases orthonormées.1.1 Description du mouvementSoit S un ensemble de particules tel que la distances entre deux particules quelconques reste pratiquementconstante au cours du mouvement. On étudie lensemble S en le considérant indéformable: solide rigide.1.1.1 Système de référenceDans un espace euclidien ξ à trois dimensions, soit e1, e2 , e3 une base orthonormée. On définit un référentieldobservation par cet espace euclidien et le temps: ℜ (ξ,t ) . On définit la dérivée dun vecteur U par rapportau temps dans ce référentiel par: dU dU i = ei dt dt ℜ1.1.2 Mouvement dun solideSoit S un solide rigide en mouvement par rapport à ℜ . Soit ξS (O, e1 , e2 , e3 ) un espace euclidien lié à S.Considérons un vecteur lié à S, dont les composantes sont représentées par X dans ξ et X S dans ξS .On note Q lopérateur linéaire définissant le passage de ξ à ξS . X S = Q X et X = Q T X SComme X S est indépendant du temps puisque lié à S, on a: dX dQ T dQ T = XS = Q X = LX dt dt ℜ dt ℜ ℜor Q TQ = ICest à dire dQ T dQ Q + QT =0 dt dt L + LT = 0L est un opérateur linéaire antisymétrique, on peut donc définir un vecteur (daprès (1.10)) tel que: dX = LX = ∧X dt ℜ (6.1)avec - 65 - Golay - Bonelli
  66. MMC 1 = ε L e 2 ijk ji k1.1.3 Torseur cinématiqueSoient A et P deux particules du solide S. OP = OA + APdonc par dérivation dOP dOA d AP dOA = + = + ∧ AP dt dt dt dt ℜ ℜ ℜ ℜsoit V (P ) = V (A ) + ∧ AP (6.2)On définit le torseur cinématique par le vecteur vitesse de A par rapport à ℜ , V (A ) et le vecteur de rotation  V (A )   instantanée :V =    ℜ        1.1.4 Accélération V (P ) = V (A ) + ∧ AP dV (P ) dV (A ) d d AP = + ∧ AP + ∧ dt dt dt dt ℜ ℜ ℜ ℜSoit γ (P ) = γ (A ) + d dt ∧ AP + ∧ ( ) ∧ AP = γ (A ) + d dt ∧ AP + ( ⋅ AP ) − 2 AP ℜ ℜ (6.3)1.2 Composition des mouvementsLespace temps est commun à tous les référentiels dobservation. on considère deux référentiels ℜa ξ a , t et ( ) ( )ℜb ξ , t .1.2.1 Dérivation composée ( )Soit U un vecteur dans la base ξ a O, e1a , e2a , e3a , U = U ieia par dérivation: . dU dU i = eia dt dt ℜa ( )Soit U un vecteur dans la base ξ b O, e1b , e2b , e3b , U = U ieib par dérivation: . dU dU i deib = eib + U i dt dt dt ℜaGolay - Bonelli - 66 -
  67. AnnexesCar ξ b est en mouvement par rapport à ξ a , et daprès (6.1) deib = ξq /ξb ∧ eib dtdoù, avec ξq / ξb représentant le vecteur rotation de ξ b par rapport à ξ a : dU dU = + ξq / ξb ∧U dt a dt b ℜ ℜ (6.4)1.2.2 Composition des vitessesSoit P ∈ S : O a P = O aO b + O b P dO a P dO aO b dO b P = + dt dt dt ℜa ℜa ℜaEt donc d’après (6.4) dO a P dO aO b dO b P = + + ξq / ξb ∧ ObP dt dt dt ℜa ℜa ℜbsoit V a (P ) = V b (P ) + V e (P ) (6.5) a b Vitesse d entrainement Vitesse / ℜ Vitesse / ℜ1.2.3 Composition des accélérationsOn dérive (6.5) par rapport à ℜa : d 2O a P d 2O aO b d 2O b P dO b P d ξ q / ξb dO b P 2 = 2 + 2 + ξq / ξb ∧ + ∧ Ob P + ξ q / ξb ∧ dt dt dt dt dt dt ℜa ℜa ℜb ℜb ℜa ℜa γ a (P ) = γ a (O b ) + γ b (P ) + ξq / ξb ∧ V b (P ) +    b    d ξq / ξb    dO P     dt q b q b  + ξ /ξ ∧ ξ /ξ  ∧ O b P + + q b ∧   dt + q b ∧O P   b  ξ /ξ ξ /ξ         ℜb   b ℜ  d ξ q / ξb    γ a (P ) = γ b (P ) + γ a (O b ) + ∧ ObP + ξq / ξb  ∧ ξ q / ξb ∧ ObP  + 2 ξ q / ξb ∧ V b (P ) dt   ℜ b Accélération de Coriolis Accélération d entrainement γ a (P ) = γ b (P ) + γ e (P ) + γ c (P ) (6.6) - 67 - Golay - Bonelli
  68. MMC2 CinétiqueLa cinématique ne sintéresse au mouvement des corps que du point de vue de lespace et du temps: durée,vitesse, distance, etc …; tandis quen cinétique on introduit, en plus, le concept de masse, cest à dire quontient compte aussi de la masse2.1 DéfinitionsOn définit la masse d’un solide S par : m = ∫∫∫S dm(P ) = ∫∫∫S ρ(P , t )dv (6.7)Où ρ représente la densité volumique de masse.On définit G le centre de masse (ou d’inertie) du solide S par : ∀O ∈ξ ∫∫∫S OPdm(P ) = mOG (6.8)2.2 Eléments de cinétique2.2.1 Torseur cinétiqueOn définit le Torseur Cinétique ou Torseur des quantités de mouvement par :   R=  ∫∫∫S V (P )dm (P ) Résultante cinétique de S /ℜ κ =  ℜ k A = ∫∫∫ AP ∧ V (P )dm (P ) Moment cinétique en A /ℜ  (6.9)   SOn peut remarquer que si le repère ℜ est fixe, alors : d R= ∫∫∫S OP (P )dm(P ) = mV (G ) dt2.2.2 Torseur dynamiqueOn définit le Torseur dynamique par :    d = ∫∫∫S γ(P )dm (P ) Résultante dynamique de S /ℜ A =  ℜ δ A = ∫∫∫ AP ∧ γ(P )dm (P ) Moment dynamique en A /ℜ  (6.10)   S2.2.3 Relation entre torseur cinématique et torseur dynamiqueEn dérivant par rapport au temps dans ℜ on obtient : dR d= dt (6.11) dk A dAP = ∫∫∫S ∧V (P )dm(P ) + ∫∫∫S AP ∧ γ(P )dm(P ) dt dt dAO dOP = ∫∫∫S ∧ V (P )dm(P ) + ∫∫∫S ∧V (P )dm(P ) + ∫∫∫S AP ∧ γ(P )dm(P ) dt dt = − (A) ∧ ∫∫∫S V (P )dm(P ) + δ A V dk A δA = +V (A) ∧ mV (G ) dt (6.12)Golay - Bonelli - 68 -
  69. Annexes δ A = ∫∫∫S AP ∧ γ(P )dm(P ) = ∫∫∫S AG ∧ γ(P )dm(P ) + ∫∫∫S GP ∧ γ(P )dm(P ) δ A = AG ∧ d + δG dk G δA = + AG ∧ m γ(G ) dt (6.13)2.2.4 Energie cinétiqueOn définit l’énergie cinétique du solide S par : 1 2 T (S ) = ∫∫∫S V (P )dm(P ) 2 (6.14)2.2.5 Théorème de KoenigSoit ξ (O, e1, e2 , e3 ) un espace euclidien et ξG (G, e1 , e2 , e3 ) un espace euclidien barycentrique lié au solide S. k A = k G + AG ∧ mV (G ) (6.15) δ A = δG + AG ∧ m γ(G ) (6.16) dOP dOP T (S ) = ∫∫∫S ⋅ dm dt dt 1 dOG dOG 1 dGP dGP dGP dOG T (S ) = ∫∫∫S ⋅ dm + ∫∫∫S ⋅ dm + ∫∫∫S ⋅ dm 2 dt dt 2 dt dt dt dt 1 T (S ) = Tℜ (S ) + mV 2 (G ) G 2 (6.17)2.3 Cinétique du solide rigide2.3.1 Opérateur d’inertieOn définit l’opérateur d’inertie par J A tel que : JA : ( u ∈ ξ → J A (u ) = ∫∫∫ AP ∧ u ∧ AP dm )Si AP = x iei alors ( ) AP ∧ u ∧ AP = εijk x j εkpq u p x qei = δpi δqj x j u p x qei − δqi δpj x j u p xqei = x j ui x jei − x j u j x iei ( ) ( ) ( ) ( AP ∧ u ∧ AP = x j2ek ⊗ ek ⋅ (uiei ) − (x k x iek ⊗ ei ) ⋅ u je j = x j2ek ⊗ ek − x k x jek ⊗ e j ⋅ (uiei ) )Et l’opérateur d’inertie est représenté par la matrice :  I −I 12 −I 13   1 I A = −I 12 I2 −I 23    −I 13 −I 23 I3  Où - 69 - Golay - Bonelli
  70. MMC ( I 1 = ∫∫∫ x 2 + x 3 dm 2 2 ) I 12 = ∫∫∫ x 1x 2dm I2 = ∫∫∫ (x 2 1 + x )dm2 3 I 13 = ∫∫∫ x 1x 3dm I3 = ∫∫∫ (x 2 1 + x )dm2 2 I 23 = ∫∫∫ x 2x 3dm2.3.2 Influence des symétries matérielles • Si le solide S possède un plan de symétrie (A, e1, e2 ) , alors ∫∫∫ x 1x 3dm = ∫∫∫ x 1x 3dm + ∫∫∫ x 1x 3dm = ∫∫∫ x 1x 3dm − ∫∫∫ x 1x 3dm = 0 x 3 ≥0 x 3 <0 x 3 ≥0 x 3 ≥0Soit  I −I 12 0   1 I A = −I 12 I2 0     0 0 I3   • Si le solide S possède un axe de symétrie (A, e3 ) , alors ∫∫∫ ⋯ ρdx 1dx 2dx 3 = ∫∫∫ ⋯ ρrdrd θdx 3Et comme ∫∫∫ x 1x 3 ρdx 1dx 2dx 3 = ∫∫∫ r cos θx 3 ρrdrd θdx 3 = 0 ∫∫∫ x 1x 2 ρdx 1dx 2dx 3 = ∫∫∫ r sin θ cos θx 3 ρrdrd θdx 3 = 0 2on a finalement I 0 0   1 I A =  0 I2 0     0 0 I3   • Moment d’inertie par rapport à une droite ∆ (de vecteur unitaire δ ) passant par A Soit H le projeté orthogonal d’un point P du solide S, on a alors :  2  2 ( ) 2 2 2 2       I ∆ = ∫∫∫ PH dm = ∫∫∫  AP − AH dm = ∫∫∫  δ   AP − AP .δ dm S S    S      ( )( ) ( ) dm = ∫∫∫ δ.δ (AP.AP ) − AP (AP.δ)dm 2  I ∆ = ∫∫∫  δ.δ AP .AP − AP .δ  S  S S   ( I ∆ = δ.∫∫∫ δ AP .AP − AP AP .δ  ) ( )dm ( )Et comme a ∧ b ∧ c = (a ⋅ c )b − a ⋅ b c , ( ) ( ) I ∆ = δ.∫∫∫ AP ∧ δ ∧ AP dm = δ ⋅ J A (δ) = δ ⋅ I A ⋅ δ SGolay - Bonelli - 70 -
  71. Annexes • Théorème de Huyggens généralisé ( J A (u ) = ∫∫∫ AP ∧ u ∧ AP dm ) ( ) ( = ∫∫∫ AG ∧ u ∧ AP dm + ∫∫∫ GP ∧ u ∧ AP dm ) = AG ∧ (u ∧ ∫∫∫ APdm ) + ∫∫∫ GP ∧ (u ∧ AG )dm + ∫∫∫ GP ∧ (u ∧ GP )dm = AG ∧ (u ∧ mAG ) + ( ∫∫∫ GPdm ) ∧ (u ∧ AG ) + ∫∫∫ GP ∧ (u ∧ GP )dmSoit ( ) J A (u ) = AG ∧ u ∧ mAG + J G (u ) • Théorème de Huyggens appliqué au moment d’inertie par rapport à une droite ∆ (de vecteur unitaire δ ) passant par A (tel que AG ⊥ δ ) et ∆’ (de vecteur unitaire δ )passant par G.    (  ) ( ) 2 I ∆ = δ ⋅ J A (δ) = δI A δ = δ ⋅ AG ∧ δ ∧ mAG + J G (δ) = δ ⋅ mAG δ − m δ ⋅ AG AG + IG δ             soit  2   2   I ∆ = δI A δ = δ ⋅ mAG + IG  δ = mAG + IG    2.3.3 Moment cinétique du solide k A = ∫∫∫S AP ∧V (P )dm(P )Soit Q un point quelconque du solide ( k A = ∫∫∫S AP ∧ V (Q ) + ∧ QP dm(P ) ) ( k A = mAG ∧V (Q ) + ∫∫∫S AQ + QP ∧ ) ( ) ∧ QP dm(P ) k A = mAG ∧V (Q ) + AQ ∧ ( ) ∧ ∫∫∫S QPdm(P ) + ∫∫∫S QP ∧ ( ) ∧ QP dm(P )D’où k A = mAG ∧ V (Q ) + mAQ ∧ ( ) ∧ QG + J G ( )Dans le cas particulier où Q=G, on obtient : k A = mAG ∧V (G ) + J G ( )Cest-à-dire kG = JG ( )2.3.4 Energie cinétique du solide 1 2 T (S ) = ∫∫∫S V (P )dm(P ) 2Soit Q un point quelconque du solide - 71 - Golay - Bonelli
  72. MMC ( ) 2 1 T (S ) = ∫∫∫S V (Q ) + ∧ QP dm(P ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 T (S ) = ∫∫∫S V (Q ) dm(P ) + ∫∫∫S V (Q ) ⋅ ∧ QP dm(P ) + ∫∫∫S ∧ QP dm(P ) 2 2 T (S ) = m 2 2 V (Q ) + mV (Q ) ⋅ ( ∧ QG +) 1 2 ∫∫∫S  ⋅ QP ∧   ( )  ∧ QP dm(P )  Soit T (S ) = m 2 2 V (Q ) + mV (Q ) ⋅ ( ∧ QG +) 1 2 ⋅ JQ ( )Dans le cas particulier où Q=G, on obtient : m 2 1 T (S ) = V (G ) + ⋅ JG ( ) 2 23 Equations fondamentales de la mécanique des solides3.1 Torseur associé aux efforts externesSoit f (P ) une densité volumique de force exercée sur le solide S .Soit F (P ) une densité surfacique de force exercée sur la frontière du solide ∂S .Soit F(P ) une densité linéique de force exercée sur une courbe Γ .Soit F i une force ponctuelle exercée en un point Pi de S .Le torseur des efforts extérieurs est défini par :   R = ∫∫∫ f (P ) + ∫∫ F (P ) + ∫ F(P ) + ∑ F i   Fe (S ) =  S ∂S Γ i C A = ∫∫∫ AP ∧ f (P ) + ∫∫ AP ∧ F (P ) + ∫ AP ∧ F(P ) + ∑ AP ∧ F i     S ∂S Γ i3.2 Loi fondamentale de la dynamiqueIl existe au moins un référentiel Galiléen associé à une chronologie, tel que : ∀S , ∀ t Torseur dynamique =Torseur des forces extérieuresOu encore ∀S , ∀ t ( ) A d, δ A = Fe (R,C A )En conséquence, on peut énoncer :Théorème de la résultante dynamique : dans un référentiel galiléen R = m γ(G )Théorème du moment dynamique : dans un référentiel galiléen, soit A un point fixe dk A δA = =CA dtGolay - Bonelli - 72 -

×